BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI BÀI T ẬP MÔðUN TỰ DO Cán bộ hướng dẫn khoa học Người thực hiện TS PHAN VĂN THI ỆN NGÔ THỊ NHẬT ANH Khóa K20 Chuyên nghành LL và PP dạy học môn Toán Huế, tháng 1 năm 2012 MỤC LỤC Trang Lời nói ñầu 1 Chương I Ki ến thức chuẩn bị 2 1 Miền nguyên chính 2 1 1 Vành 2 1 2 Ideal và ideal chính 2 1 3 Ước của không, miền nguyên 3 1 4 Miền nguyên chính 3 2 Mô ñun tự do 3 2 1 Môñun 3 2 2 ðồng cấu môñun, dãy khớp 4 2 3.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI BÀI TẬP MÔðUN TỰ DO Cán hướng dẫn khoa học: TS PHAN VĂN THIỆN Người thực hiện: NGƠ THỊ NHẬT ANH Khóa K20 Chun nghành: LL PP dạy học mơn Tốn Huế, tháng năm 2012 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu: Chương I: Kiến thức chuẩn bị: Miền nguyên chính: 1.1 Vành: 1.2 Ideal ideal chính: 1.3 Ước không, miền nguyên: 1.4 Miền nguyên chính: Mơ đun tự 2.1 Mơđun: 2.2 ðồng cấu mơđun, dãy khớp: 2.3 Mơđun tự do: Chương II: Bài tập: 12 Kết luận: 15 Tài liệu tham khảo: 16 Tiểu luận sở ñại số ñại LỜI NÓI ðẦU: Trong phát triển tốn học đại, sở đại số đại mơn học quan trọng, sở tiền ñề cho phát triển ñại số đại Trong vành mơđun đóng vai trị tảng mơn học Mơđun cấu trúc ñại số ñại số đại Nó chia làm nhiều loại như: mơđun tự do, mơđun nội xạ, mơđun xạ ảnh… Vì tiểu luận tơi tập trung trình bày mơđun tự Chương I: Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại kiến thức vành, ideal, ideal chính, miền ngun, miền ngun chính, mơđun, mơđun tự do, đồng cấu mơđun Chương II: Trình bày cách giải tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự Vì khả thời gian hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn ñọc ðể hoàn thành tiểu luận em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Văn Thiện bạn lớp Tốn K20 Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số ñại Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Miền ngun chính: 1.1 Vành: • ðịnh nghĩa 1: Vành tập hợp R với hai phép toán hai ngơi R, kí hiệu cộng nhân, cho i, ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z) ii, ∀∃ 1R ∈ R, ∀x ∈ R : 1R x = x1R = x iii, ∀x ∈ R, ∃ x-1 ∈ R : x-1 1x = x x-1 = 1R 4i, ∀ x, y ∈ R, x + y = y + x 5i, ∀ x, y, z ∈ R, (xy)z = x(yz) 6i, ∀ x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx • ðịnh nghĩa 2: Một vành gọi giao hoán phép nhân giao hốn 1.2 Ideal ideal chính: • ðịnh nghĩa 1: Cho X vành, vành A X gọi ideal trái ( phải ) Vành A gọi ideal ñều có vừa ideal trái, vừa ideal phải • ðịnh lý 1: Tập A vành X ñược gọi ideal trái (phải) X thỏa mãn ñiều kiện sau: i) ii) iii) • ðịnh nghĩa 2: Cho S tập vành X Giao tất ideal trái (phải, hai phía) X chứa S ideal trái (phải, hai phía) nhỏ chứa tập S, nên gọi ideal trái (phải, hai phía) sinh tập S Ký hiệu: • ðịnh nghĩa 3: Ideal sinh phần tử {a} gọi ideal sinh phần tử a Ký hiệu: Ngô Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại • ðịnh nghĩa 4: Nếu tồn phần tử a cho ideal A= ideal A gọi ideal 1.3 Ước khơng, miền ngun: • ðịnh nghĩa 1: Vành R gọi có ước khơng R có phần tử x ≠ 0; y ≠ cho xy = Những phần tử x y gọi ước khơng • ðịnh nghĩa 2: Ta gọi vành giao hốn có đơn vị, nhiều phần tử khơng có ước khơng miền nguyên • ðịnh lý 1: Trong miền ngun, phần tử khác khơng thỏa mãn luật giản ước ñối với phép nhân Thật vậy, với 1.4 Miền ngun chính: • ðịnh nghĩa 1: Một miền nguyên X gọi mà miền nguyên ideal X ideal Mơ đun tự 2.1 Mơđun: • ðịnh nghĩa 1: M gọi mơđun trái có ánh xạ: x Thỏa mãn tính chất: Kí hiệu: R-mơđun trái M RM gọi mơđun trái R Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở ñại số ñại ðịnh nghĩa môñun phải tương tự, kí hiệu R -mơđun phải MxR→M (x,r) ֏ xr Nếu R vành giao hốn R-mơđun trái trùng với R-mơđun phải Thơng thường R-mơđun trùng với R- mơđun trái 2.2 ðồng cấu mơđun, dãy khớp: • ðịnh nghĩa 1: Cho M, N R- mơđun Ánh xạ f : M → N ñược gọi ñồng cấu R- mơđun điều khiện sau thỏa mãn: i) f(x + y)=f(x) + f(y) ii) f(rx) = rf(x) ∀x, y ∈ M ; r ∈ R ðồng cấu f ñược gọi ñơn cấu f ñơn ánh, toàn cấu f toàn ánh, ñẳng cấu f song ánh Nếu có ñẳng cấu f : M → N M ñược gọi đẳng cấu với N Kí hiệu: M ≅ N Nếu f : M → N ñồng cấu R- mơđun ta có : i) ii) f(0) = f(-x) = -f(x), ∀x ∈ M • Mệnh ñề 1: Cho f : M → N ñẳng cấu R-mơđun Suy f-1 : N → M ñẳng cấu • Mệnh ñề 2: Cho f : M → N đồng cấu R-mơđun Khi đó: i) Nếu H mơđun M thi f(H) mơđun N ii) Nếu K mơđun N thi f-1(K) mơđun M • Hệ 1: Cho f : M → N ñồng cấu R-mơđun Khi đó: i) Imf = f(M) mơđun N, ñược gọi ảnh f ii) Kerf = f-1(0) mơđun M, gọi hạt nhân f • Mệnh đề 3: Cho f : M → N đồng cấu R-mơđun F ñơn cấu Kerf = • ðịnh nghĩa 2: N mơđun R-mơđun M Mơđun N gọi hạng tử trực tiếp M tồn mơđun P M cho M = N ⊕ P Khi P gọi mơđun phụ N M Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại • ðịnh nghĩa 3: Một dãy đồng cấu R mơđun f i −2 fi −1 fi fi+1 → M i −1 → M i → M i +1 → gọi khớp I Im(fi-1)=Ker(fi) Dãy gọi dãy khớp khớp i Dãy khớp: f g → X → Y → Z →0 gọi dãy khớp ngắn Ta thấy dãy đồng cấu R-mơđun f g → X → Y → Z →0 khớp X ≅ Im(f) Z ≅ Y Im(f) Vậy dãy khớp mô tả mơđun mơđun mơđun thương • ðịnh nghĩa 3: Dãy khớp: f g → X → Y → Z → gọi chẻ Y Im(f) hạng tử trực tiếp Y Dãy khớp chẻ mơđun khơng nằm hai đầu gọi dãy khớp chẻ Dãy khớp ngắn: f g → X → Y → Z →0 chẻ X, Z Vậy dãy khớp ngắn chẻ chẻ Y • Mệnh đề 3: Dãy khớp: f g → X → Y → Z →0 chẻ Y Y = Im(f) ⊕ B với B ≅ N Chứng minh: Khi) Vì Im(f) hạng tử trực tiếp Chỉ khi) Giả sử dãy khớp chẻ tạ Y Khi có mơđun B Y cho Y = Im(f) ⊕ B Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở ñại số ñại Ta chứng minh B ≅ N Gọi h: B → Z, y֏g(y) Dể thấy h ñồng cấu R-mơđun Ker(h)=B ∩ Ker(g)=B ∩ Im(f)=0 Ta phải chứng minh h toàn cấu ∀z ∈ Z = Im( g ) ta có z = g(y), y ∈ Y Do Y = Im(f) ⊕ B = Ker(g) ⊕ B nên y = y1 + y2 , y1 ∈ Ker(g), y2 ∈ B Suy z = g ( y1 + y2 ) = g ( y1 ) + g ( y2 ) = g ( y2 ) ∈ Im(h) • Hệ 2: Dãy khớp ngắn: f g → X → Y → Z →0 chẻ Y ≅ X ⊕ Z • Mệnh đề 4: Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z đồng cấu R-mơđun Nếu gf đẳng cấu Y = Im(f) ⊕ Ker(g) • Hệ 3: Cho dãy khớp: f g → X → Y → Z → Nếu có đồng cấu h : Y → X cho hf đẳng cấu dãy chẻ Y Y ≅ Im(f) ⊕ Im (g) Chứng minh: hf : X → X ñẳng cấu nên Y = Im(f) ⊕ Ker(g) Do dãy khớp chẻ Y Xét dãy khớp: f → X → Y → Im( g ) →0 chẻ Y Theo mệnh ñề ta có Y = Im(f) ⊕ B B ≅ Im (g) • Hệ 4: Cho dãy khớp: f g → X → Y → Z → Nếu có đồng cấu cho gk đẳng cấu dãy chẻ Y Y ≅ Im(f) ⊕ Im (g) Ngô Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại 2.3 Mơđun tự do: • ðịnh nghĩa 1: Cho R vành, S tập hợp X R-mơđun Một R-mơđun tự S cặp (F,f) F R- mơđun với ánh xạ f : S → F cho ánh xạ g : S → X có đồng cấu R-mơđun h : F → X thõa mãn Tức sơ đồ sau giao hốn: S f g X F h Ví dụ: 1) O R-mơđun tự tập ∅ 2) Cho R vành Suy R mơđun tự {1R} • Mệnh đề 1: Nếu (F,f) R-mơđun tự S ñơn ánh Và f(S) hệ sinh R-môñun F Chứng minh: Xét (F,f) mơđun tự S ánh xạ Giả sử f không ñơn ánh, tức ∃a, b ∈ S cho a ≠ b mà f ( a ) = f (b) Lấy X mơđun tự có nhiều phần tử g : S → X ánh xạ cho g ( a ) ≠ g (b) Khi theo định nghĩa tồn đồng cấu R-mơđun cho hf = g Ta có f ( a ) = f (b) ⇒ hf ( a ) = hf (b) ⇒ g ( a ) = g (b) ⇒ f ( a ) ≠ f (b) Mâu thuẩn với giả thiết f (a ) = f (b) , Suy f ñơn ánh S f g F h X Lấy X= mơđun sinh f(S) ⊂ F g:S → X s ֏f(s) Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở ñại số ñại Tồn ñồng cấu h : F → X cho hf=g Xét ñồng cấu bao hàm d:X → F x ֏ x Suy = F (Vì d vừa tồn cấu vừa phép nhúng) • ðịnh nghĩa 2: R-mơđun X gọi R- mơđun tự X đẳng cấu R- mơđun tự S • ðịnh nghĩa 3: Trong ⊕M i∈S i ⊕M R- mơđun tự {M } i∈S i i i∈S R-mơđun tự tổng trực tiếp ngồi họ mơđun R-mơđun M {M i }i∈S • ðịnh lý 1: Cho M R- mơđun Tập S chứa M mở rộng thành đẵng cấu R- mơđun h : F → M F R-mơđun tự sinh S f S →F i h M • ðịnh nghĩa 4: Cho M R-mơđun, X tập M Một tổ hợp tuyến tính phần tử X tổng hữu hạn ∑ n r x = 0; ri ∈ R; xi ∈ X ; i = 1, n kéo theo i =1 i i ri = 0; ∀i = n Tập X M gọi độc lập tuyến tính Một tập M ñược gọi sở hệ sinh độc lập tuyến tính • ðịnh lý 2: Cho M R- mơđun Tập S chứa M khác rổng sở ánh xạ bao hàm d : S → M ñược mở rộng thành ñẳng cấu h : F → M Với F R-mơđun tự sinh S f S →F d h M Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại ðể chứng minh ñịnh lý ta cần chứng minh S sở M h ñẳng cấu ðiều kiện cần: Giả sử S sở M Khi đó: h(F)=h()====M suy h toàn cấu Mặt khác, φ ∈ F, h( φ )=0, h(φ )= ∑ φ (s)f s s∈S fs : S → R t֏ fs (t) Ta có: 0=h(φ )=h(∑ φ (s)fs ) = ∑ φ (s)hfs = ∑ φ (s)d ( s ) = ∑ φ (s).s s∈S s∈S ⇒ φ (s)=0,∀s ∈ S Suy φ =0 s∈S s∈S hay h ñơn cấu Vậy h ñẳng cấu ðiều kiện ñủ: Giả sử h ñẳng cấu ðể chứng minh S sở M ta cần chứng minh S hệ sinh ñộc lập tuyến tính M Thật vậy, ta có: ∑ n r s , ri ∈ S i =1 i i = ∑ i =1 ri si = ∑ i =1 ri d ( si ) = ∑ i =1 ri hf ( si ) = h(∑ i =1 ri f si ) n n n ⇒ ∑ i =1 ri f si = n ⇒ ri = 0, ∀i = n Do S hệ độc lập tuyến tính Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) n Tiểu luận sở đại số ñại 10 Mặt khác ∀x ∈ M , ∃φ ∈ F : h(φ ) = x với φ = ∑ φ (s)f s Khi đó: s∈S x=h(φ )=h(∑ φ (s)f s ) = ∑ φ (s)hf(s) = ∑ φ (s)d ( s ) = ∑ φ (s).s ⇒ φ (s)=0 s∈S s∈S s∈S s∈S hầu khắp nơi Do ñó: ∃s1 , s2 , s3 , , sn cho : φ ( s ) ; t = si ∈ {s1 , s2 , s3 , , sn } φ (t ) = i ; t ∉ {s1 , s2 , s3 , , sn } Như x = ∑ φ (s )s , φ (s ) ∈ R,s ∈ S Do X = s∈S i i i i Vậy ñịnh lý chứng minh • Hệ 1: R-mơđun M tự M có sở Ví dụ: R- mơđun tự với sở ø Vành R R- mơđun tự với sở Mỗi Z- mơđun tự gọi nhóm aben tự Mọi nhóm cylic cấp vơ hạn aben tự với sở gồm phần tử sinh, ñều ñẳng cấu với Z • Mệnh ñề 2: Mọi sở R- mơđun hữu hạn sinh hữu hạn • Mệnh đề 3: R- mơđun M tự với sở S phần tử S viết ñược cách dạng: x = ∑ i =1 ri xi ; ri ∈ R; xi ∈ M ; i = 1, n n • ðịnh lý 3: Các điều sau tương ñương: i) M R- môñun tự ii) M = ⊕ M i , M i ≅ R, i ∈ I Chứng minh: Trước hết ta thấy i) ii) thỏa mãn vởi M=0 ( sở M ø tập I= ø) Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại 11 Vì giả thiết M ≠ i) ⇒ ii) Giả sử X = { xi , i ∈ I } sở M Khi ánh xạ ϕi : R → Rxi r֏ r xi toàn ánh Từ tính chất sở suy r xi =0 kéo theo r = 0, nghĩa ϕi ñẳng cấu Ta khẳng ñịnh M = ⊕I Rxi , i ∈ I Thật X hệ sinh nên hiển nhiên M = ⊕ Rxi , i ∈ I I Giả sử x j ∈ X ta có a ∈ Rx j ∩ ( Từ suy ra: ∑rx −r x i≠ j i i j ∑ Rx ) Khi : a = r x = ∑ r x , r ∈ R i≠ j i j j i≠ j i i i = j Do tính chất hệ độc lập tuyến tính suy ri = với hệ tử có mặt hệ thức trên, nghĩa là: Rx j ∩ ( ∑ Rx ) = i i≠ j Rxi , i ∈ I Bởi theo định nghĩa tổng trực tiếp ta có M = ⊕ I ii) ⇒ i) Giả sử ϕi : R → M i đẳng cấu nói mệnh ñề Ta khẳng ñịnh tập hợp {ϕi (1) / i ∈ I } sở M Thật vậy, M i = ϕi ( R) = Rϕi (1) nên M = ⊕ M i = ⊕ Rϕi (1), i ∈ I I I ðiều chứng tỏ {ϕi (1) / i ∈ I } hệ sinh F Nếu J ⊂ I , J hữu hạn ∑ r ϕ (1) = 0, r ∈ R i i i kéo theo riϕi (1) = ϕi (ri ) = 0; ∀i ∈ J J Do ϕi ñẳng cấu nên sở M ri = với ∀i ∈ J Vậy {ϕi (1) / i ∈ I } ñộc lập tuyến tính, Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số ñại Chương II: 12 BÀI TẬP BÀI 1: Cho R vành giao hoán cho ideal R ñều R-môñun tự Chứng minh R miền ngun Lời giải: • Trước hết ta chứng minh R miền nguyên: ∀a, b ∈ R , giả sử ab = Ta cần chứng minh a = b = Giả sử b ≠ Khi I = 〈b〉 (ideal sinh b) R-mơđun tự với sở S Lấy x ∈ S , x ≠ ta có x = rb ( Do I = 〈b〉 ) Suy ax=a(rb)=r(ab)=0 Mà x ∈ S S sở I nên ax = kéo theo a = Vậy R miền nguyên • Ta chứng minh R miền nguyên chính: Giả sử I ideal R, ta cần chứng minh I ideal Nếu I = I = 〈 0〉 Cịn I ≠ theo giả thiết I mơđun tự với sở S cho S ≠ Ta chứng minh tập S có phần tử Giả sử S chứa phần tử phân biệt a b Khi đó, từ đẳng thức ba – ab = ta suy a = b = Mâu thuẫn với giả sử ban đầu Vậy I có tập sinh chứa phần tử, I ideal Vậy miền nguyên R với ideal I ideal nên r miền ngun Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại 13 BÀI 2: Cho F R-mơđun tự với sở {e1 , e2 , e3 , , en } ; a = e1 a1 + e a + e n a n , a i ∈ R A = ∑ i =1 R n Cho e phần tử lũy ñẳng, tức e2 = e Chứng minh ñiều sau tương ñương: i) A=eR ii) Ra hạng tử trực tiếp F, F ñẳng cấu với Re a ↔ e Lời giải: Chứng minh i) ⇒ ii) Ta có A = eR Với F R-mơđun tự với sở {e1 , e2 , e3 , , en } a = e1a1 + e2 a2 + en an , ∈ R Trước hết ta chứng minh Ra hạng tử trực tiếp F Ta cần chứng minh Ra mơđun M tồn tập B M cho F = Ra ⊕ B Thật vậy: ðặt e = ∑ n a r với ri ∈ R i =1 i i Với ∈ eR ta có e a i = a i Với ϕ ∈ HomR ( F , Re) ñược ñịnh nghĩa ϕ (ei ) = re i Với ψ ∈ HomR (Re, F ) ñược ñịnh nghĩa ψ (ei ) = Trong tập hợp HomR ( F , Re) tập hợp tất ñồng cấu từ F vào Re , tập HomR (Re, F ) tập hợp tất ñồng cấu từ Re F Với ψ ñược ñinh nghĩa ñược cho re = rai = reai = 0, ∀i Do = Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số ñại Từ ψ (re) = ϕ (ra) = 14 ∑i=1 rei ϕ (ai ei r ) = ∑i=1 rai rei = re2 = re n n Do ϕ tồn ánh ðặt B = Ker(ϕ ) ϕ (a ) = e ñược ñịnh nghĩa phép ñẳng cấu F = Ra ⊕ B hay Trong trường hợp F = Ra ⊕ Ker(ϕ ) Do ñó Ra hạng tử trực tiếp F Và Ra ≅ Re nên F ≅ Re a ↔ e Chứng minh ii) ⇒ i) ðặt F = Ra ⊕ B Và cho ánh xạ ϕ : Ra → Re ñẳng cấu với ϕ (a ) = e Ta cho ϕ ∈ HomR ( F , Re) với ϕ ( B ) = Với ϕ (ei ) = ri e, ri ∈ R Từ e = ϕ (a) = ∑ i =1 aiϕ (ei ) ∈ ∑ i =1 R = Ai n n Ta có eR ⊂ A ϕ (ea ) = eϕ (a ) = e2 = e = ϕ (a) Suy : ea = a ⇒ = e ∈ Re, ∀i Do Re = A (ðiều chứng minh) Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số ñại 15 KẾT LUẬN: Qua tài liệu tham khảo, ñã nêu ñược miền nguyên tính chất Nêu R-mơđun tự do, sở mơđun tự định lý, mệnh đề …để giải tập Mặc dù có gắng song khơng thể tránh sai sót Rất mong góp ý thầy bạn Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở ñại số ñại TÀI LIỆU THAM KHẢO N.T.Lanh, ðại số (Giáo trình sau đại học) Nhà xuất giáo dục, 1985 S.Lang, ðại số (T.V.Hạo,H Kỳ dịch), Nhà xuất ðHTHCN, 1987 N.T.Quang (Giáo trình Mơđun nhóm Aben), Nhà xuất DDHSP 2008 T.Y.Lam Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag,1999 T.Y.Lam Exercices in Modules and Rings, Springer-Verlag, 2007 Ngô Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) 16 Tiểu luận sở đại số đại Ngơ Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) 17 ... liệu tham khảo: 16 Tiểu luận sở ñại số ñại LỜI NÓI ðẦU: Trong phát triển tốn học đại, sở đại số đại mơn học quan trọng, sở tiền ñề cho phát triển ñại số đại Trong vành mơđun đóng vai trị... (g) Ngô Thị Nhật Anh (Tốn K20-PP&LL DH mơn Tốn) Tiểu luận sở đại số đại 2.3 Mơđun tự do: • ðịnh nghĩa 1: Cho R vành, S tập hợp X R-mơđun Một R-mơđun tự S cặp (F,f) F R- mơđun với ánh xạ f : S →... chứng minh • Hệ 1: R-mơđun M tự M có sở Ví dụ: R- mơđun tự với sở ø Vành R R- mơđun tự với sở Mỗi Z- mơđun tự gọi nhóm aben tự Mọi nhóm cylic cấp vơ hạn aben tự với sở gồm phần tử sinh, ñều ñẳng