Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại MÔ ĐUN TỰ DO

ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại MÔ ðUN TỰ DO Cán b� h� ng d�n TS PHAN V�N THITS PHAN V�N THITS PHAN V�N THITS PHAN V�N THI����NNNN H�c viên TRTRTRTR����N THN THN THN TH���� THANH THTHANH THTHANH THTHANH TH OOOO Chuyên ngành %%%%I SI SI SI S VÀ LÝ THUYVÀ LÝ THUYVÀ LÝ THUYVÀ LÝ THUY T ST ST ST S L p TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN K20K20K20K20 Huế, tháng 2 năm 2012 MMMM««««đđđđun tun tun tun tựựựự dodododo TrÇn ThÞ Thanh Th¶o K20 1 MỞ ĐẦU Trong Toán học, lý thuyế.

ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM Tiểu luận sở đại số đại MƠ ðUN TỰ DO Cán b h ng d n: TS PHAN V N THI N H c viên: TR N TH THANH TH O Chuyên ngành: I S VÀ LÝ THUY T S L p : TOÁN K20 Huế, tháng năm 2012 M«đun tự MỞ ĐẦU Trong Tốn học, lý thuyết vành mơđun chiếm vị trí quan trọng hình thành phát triển tốn học ñại Nó sở, tảng ñể xây dựng nghiên cứu nhiều ngành toán học, khoa học khác Trong có nhiều loại mơđun đặc biệt như: mơđun tự do, mơđun xạ ảnh, mơđun nội xạ, ðể hiểu sâu mơđun tự do, tiểu luận trình bày kiến thức mơđun tự số tập mơđun tự Nội dung tiểu luận gồm hai phần: Phần 1: Khái niệm mơđun tự số tính chất Phần 2: Bài tập áp dụng Vì khả thời gian cịn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để đề tài hoàn thiện Huế, tháng năm 2012 Trần Thị Thanh Tho Trần Thị Thanh Thảo K20 Môun t MỤC LỤC MỞ ðẦU MỤC LỤC PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ I Miền nguyên 1.1 Vành 1.2 Iñêan iđêan 1.3 Miền nguyên II MÔðUN TỰ DO PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 Trần Thị Thanh Thảo K20 Môun t PHN 1: KIN THC CƠ SỞ I Miền nguyên 1.1 Vành ðịnh nghĩa 1.1.1: Vành tập hợp R với hai phép tốn hai ngơi R, mà ta thường kí hiệu + ⋅ thoả mãn ñiều kiện sau: i, ∀x, y, z ∈ R, ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ii, ∀x, y ∈ R, x + y = y + x iii, ∃0 R , ∀x ∈ R : R + x = x iv, ∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R : x + ( − x ) = R v, ∀x, y, z ∈ R, ( xy ) z = x ( yz ) vi, ∀x, y, z ∈ R, x ( y + z ) = xy + xz , ( x + y ) z = xz + yz Trường hợp phép nhân R có tính giao hốn R gọi vành giao hốn 1.2 Iđêan iđêan ðịnh nghĩa 1.2.1: Cho R vành Iđêan phải (trái) vành R nhóm I nhóm cộng R thoả mãn điều kiện: ∀r ∈ R, ∀x ∈ I , xr ∈ I ( rx ∈ I ) Khi I vừa iđêan phải vừa iđêan trái, I gọi iđêan (hai phía) R ðối với vành giao hốn, ta có iđêan phải iđêan trái ngược lại ðịnh nghĩa 1.2.2: Iđêan iđêan sinh phần tử 1.3 Miền nguyên ðịnh nghĩa 1.3.1: Vành R gọi vành có ước không tồn phần tử x ≠ y ≠ cho xy = Lúc x gọi ước trái khơng cịn y gọi ước phải khơng Trong trường hợp ngược lại ta gọi vành khơng có ước khơng ðịnh nghĩa 1.3.2: Miền ngun vành khác {0} , giao hốn khơng có ước ca khụng Trần Thị Thanh Thảo K20 Môun t ðịnh nghĩa 1.3.3: Miền nguyên miền ngun có phần tử đơn vị iđêan iđêan II MƠðUN TỰ DO ðịnh nghĩa 2.1: Cho R vành, S tập hợp Một R-mơđun tự S R-mơđun F với ánh xạ f : S → F cho với ánh xạ g : S → X từ tập S vào R-mơđun X, tồn đồng cấu R-mơđun h : F → X thoả mãn hf = g Mệnh ñề 2.1: Nếu (F,f) mơđun tự S f : S → F ñơn ánh f ( S ) hệ sinh R-mơđun F Chứng minh: • Chứng minh f : S → F ñơn ánh Giả sử f khơng đơn ánh ⇒ ∃a ≠ b ∈ S : f ( a ) = f ( b ) Lấy X R-mơđun có nhiều phần tử Lấy g : S → X ánh xạ thoả mãn g ( a ) ≠ g ( b ) Do ( F , f ) mơđun tự S nên tồn đồng cấu R-mơđun h : F → X thoả mãn hf = g Khi hf ( a ) = g ( a ) ≠ g ( b ) = hf ( b ) Mặt khác, theo f ( a ) = f ( b ) suy hf ( a ) = hf ( b ) , điều mâu thuẫn • Chứng minh f ( S ) hệ sinh F ðặt A = 〈 f ( S )〉 mơđun F sinh f ( S ) Gọi i : A → F ñồng cấu bao hàm Tương ứng g : S → A ánh xạ thoả mãn ig = f s ֏ f (s) g : S → A ánh xạ, A mơđun Vì ( F , f ) mơđun tự S nên có đồng cấu R-mơđun h : F → A thoả mãn hf = g Từ ihf = ig = f Trần Thị Thanh Thảo K20 M«đun tự Do (F, f ) mơđun tự S nên có đồng cấu R-mơđun id F : F → F thoả mãn id F f = f ⇒ ih = id F id F toàn ánh nên i toàn ánh Vậy A = F Cho ( F , f ) mơđun tự S Ta thấy rằng: ñồng S ≡ f ( S ) ta xem F R-mơđun sinh tập S Mọi ánh xạ g : S → X X R-mơđun, mở rộng thành đồng cấu Rmơđun h : F → X ðịnh lí 2.1: Với tập S, tồn sai khác đẳng cấu R-mơđun tự S Chứng minh: ðặt { } F = φ : S → R ánh xạ, ( s ) = hầu khắp nh ngha phộp cng: , F : (φ + ψ )( s ) = φ ( s ) + ψ ( s ) , ∀s ∈ S ðịnh nghĩa phép nhân: ∀r ∈ R, ∀φ ∈ F : ( rφ )( s ) = rφ ( s ) , ∀s ∈ S Kiểm chứng ñược F với hai phép toán làm thành R-mơđun Xét ánh xạ f : S → F s ֏ fs 1 nÕu t = s Với fs : S → R ánh xạ ñược xác ñịnh fs ( t ) =  0 R nÕu t ≠ s • Ta chứng minh ( F, f ) R-mơđun tự S Giả sử g : S → X ánh xạ từ S vào R-mơđun X Xét ánh xạ h : F → X φ ֏ ∑ φ ( s )g ( s ) s∈S • Chứng minh h đồng cấu R-mụủun Trần Thị Thanh Thảo K20 Môun t h (φ + ψ ) = ∑ (φ + ψ )( s ) g ( s ) =∑ (φ ( s ) + ψ ( s ) ) g ( s ) s∈S s∈S = ∑ φ ( s ) g ( s ) + ∑ψ ( s ) g ( s ) =h (φ ) + h (ψ ) s∈S s∈S h ( rφ ) = ∑ ( rφ )( s ) g ( s ) = ∑ rφ ( s ) g ( s ) = r ∑ φ ( s ) g ( s ) = rh (φ ) s∈S s∈S s∈S • Chứng minh hf = g ∀s ∈ S, hf ( s ) = h ( f ( s ) ) = h ( fs ) = ∑ fs ( t )g ( t ) = fs ( s ) g ( s ) = g ( s ) t∈S • Chứng minh h thoả hf = g Giả sử có đồng cấu R-mơđun h ' : F → X thoả mãn h ' f = g Khi đó, ∀φ ∈ F ta có φ = ∑ φ ( s ) fs s∈S Do   h ' (φ ) = h '  ∑ φ ( s ) fs  = ∑ φ ( s ) h ' ( fs ) = ∑ φ ( s ) h ' ( f ( s ) )  s∈S  s∈S s∈S = ∑ φ ( s )( h ' f )( s ) = ∑ φ ( s ) g ( s ) = h (φ ) s∈S s∈S • Chứng minh ( F, f ) tồn sai khác ñẳng cấu Giả sử ( F ', f ' ) R-mơđun tự S ( F, f ) R-mơđun tự S nên có đồng cấu R-mơđun h : F → F ' thoả mãn hf = f ' ( F ', f ' ) R-mơđun tự S nên có đồng cấu R-mơđun h ' : F ' → F thoả mãn h ' f ' = f Suy h ' hf = f Mặt khác, ( F, f ) R-mơđun tự S nên có đồng cấu R-mơđun id F : F → F thoả mãn id F f = f Từ ta có h ' h = id F Lập luận tương tự ta có hh ' = id F ' Nhận xét: Cho họ R-mơđun ( Mi )i∈S , S ≠ ∅, Mi = R, ∀i ∈ S Xét tổng trực tiếp ⊕ Mi = iS Trần Thị Thanh Thảo K20 {( x ) i iS } xi = hầu khắp Môun t Mỗi phần tử ( xi )i∈S xem ánh xạ φ : S → R i ֏ xi ,φ ( i ) = hầu khắp So sánh với phần tử R-mơđun tự F định lí ta thấy ⊕ Mi Ri∈S mơđun tự F sinh S ðịnh nghĩa 2.2: R-mơđun X gọi tự X đẳng cấu với Rmơđun tự tập S Theo nhận xét ta thấy rằng, tổng trực tiếp R-mơđun tự R-mơđun tự Mệnh đề 2.2: Mọi R-mơđun M ảnh tồn cấu R-mơđun tự Suy R-mơđun M đẳng cấu với mơđun thương R-mơđun tự Chứng minh: Cho R-mơđun M Lấy tập S M cho 〈 S 〉 = M (chẳng hạn S=M) Gọi ( F, f ) R-mơđun tự sinh S Gọi i : S → M ánh xạ bao hàm Do ( F, f ) R-mơđun tự nên i mở rộng thành đồng cấu mơđun h : F → M thoả mãn hf = i S = i ( S ) = hf ( S ) = h ( f ( S ) ) ⊂ h ( F ) ⊂ M Do 〈 S 〉 = M nên 〈 h ( F )〉 = M Suy h ( F ) = M Vậy h toàn cấu Suy M ≅ F Kerh ðịnh nghĩa 2.3: Cho R-mơđun M, tập S ⊂ M gọi độc lập tuyến n tính ∑rx i =1 i i = 0, ri ∈ R, xi ∈ S ⇒ ri = 0, i = 1, n Tập S ⊂ M ñược gọi sở S hệ sinh ñộc lập tuyến tính ðịnh lí 2.2: Cho M R-mơđun Tập S ⊂ M sở ánh xạ bao hàm i : S → M mở rộng thành đẳng cấu R-mơđun h : F → M , với F R-mơđun tự sinh S Chứng minh: ( F, f ) l R-mụủun t trờn S Trần Thị Thanh Thảo K20 M«đun tự { } F = φ : S R ánh xạ, ( s ) = hầu khắp f :S F s fs Với fs : S → R 1 nÕu t = s t ֏ fs ( t ) =  0 nÕu t ≠ s F R-mơđun tự S nên i mở rộng thành đồng cấu R-mơđun h : F → M, hf = i • Ta chứng minh S sở h ñẳng cấu Giả sử S sở, 〈 S 〉 = M Do F R-mơđun tự sinh S nên F = 〈 f ( S )〉 Suy h ( F ) = h ( 〈 f ( S )〉 ) = 〈 hf ( S )〉 = 〈i ( S )〉 = 〈 S 〉 = M Vậy h toàn cấu ∀φ ∈ Kerh , φ ∈ F nên φ = ∑ φ ( s ) fs s∈S Ta có   = h (φ ) = h  ∑ φ ( s ) fs  = ∑ φ ( s )hfs = ∑ φ ( s )h ( f ( s ) ) = ∑ φ ( s )i ( s ) = ∑ φ ( s )s  s∈S  s∈S s∈S s∈S s∈S Do S sở M nên φ ( s ) = 0, ∀s ∈ S Từ φ = Suy h ñơn cấu ðảo lại, giả sử h ñẳng cấu Ta chứng minh S sở M • Chứng minh S độc lập tuyến tính Giả sử có tổ hợp tuyến tính hữu hạn n ∑r x j =1 j j = 0, rj ∈ R, x j ∈ S  rj nÕu s = x j ðặt φ : S → R ánh xạ tuyến tính xác định φ ( s ) =  0 nÕu s ∉ { x1 , , x n } Trần Thị Thanh Thảo K20 Môun t ( φ ( s ) = hầu khắp) Ta thấy φ ∈ F n   n h (φ ) = h  ∑ φ ( s ) fs  = ∑ rj h ( fs ) = ∑ rj x j =  s∈S  j =1 j =1 Do h ñơn cấu nên φ = Suy ri = φ ( xi ) = 0, j = 1, n • Chứng minh S hệ sinh M ∀x ∈ M Do h : F → M toàn cấu nên có φ ∈ F cho h (φ ) = x Do φ ∈ F nên φ ( s ) = hầu khắp, tức tồn hữu hạn phần tử y1 , , ym ∈ S cho φ ( s ) = 0, ∀s ∈ S \ { y1 , , ym } Ta có ( )  m  m x = h (φ ) = h  ∑ φ ( y j ) f y j  = ∑ φ ( y j ) h f y j  j =1  j =1 = ∑ φ ( y j ) hf ( y j ) =∑ φ ( y j ) i ( y j ) =∑ φ ( y j ) y j ∈〈 S 〉 m m m j =1 j =1 j =1 Suy M = 〈 S 〉 nên S hệ sinh M Vậy S sở M Hệ quả: R-mơđun M tự M có sở Mệnh đề 2.3: Mọi sở R-mơđun hữu hạn sinh hữu hạn Chứng minh: Giả sử S sở R-mơđun hữu hạn sinh M Do M hữu hạn sinh nên M có hệ sinh hữu hạn X S sở M nên ∀x ∈ X ⊆ M , x biểu thị tuyến tính qua sở S Gọi S’ tập bé (theo quan hệ bao hàm) S cho x ∈ X ñều biểu thị tuyến tính qua S’ Do X hữu hạn nên S’ hữu hạn Giả sử S ⊆ S ' Khi có s ∈ S \ S ' Do s ∈ S ⊆ M = 〈 X 〉 nên s biểu thị tuyến tính qua phần tử X Theo trên, phần tử X biểu thị tuyến tớnh qua cỏc phn t ca S Trần Thị Thanh Thảo K20 Môun t Do ủú s cú thể biểu thị tuyến tính qua phần tử S’ Suy S '∪ {s} phụ thuộc tuyến tính ðiều mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính sở S Vậy S=S’ Do S’ hữu hạn nên S hữu hạn ðịnh lí 2.3: Mọi khơng gian vectơ trường K K-mơđun tự Chứng minh: Giả sử V không gian vectơ trường K V = K-mơđun tự tập ∅ V ≠ Gọi M tập tập độc lập tuyến tính V Do V ≠ nên có ≠ x∈V Vì { x} độc lập tuyến tính nên M ≠ ∅ Giả sử N tập khác rỗng thứ tự tuyến tính (theo quan hệ bao hàm) M ðặt M= ∪ P P∈N Với tập hữu hạn N ⊆ M Do N thứ tự tuyến tính nên có Pt ∈ N cho N ⊆ Pt Do Pt độc lập tuyến tính nên N độc lập tuyến tính Suy M độc lập tuyến tính Vậy M ∈ M phần tử chặn N Theo bổ đề Zorn, M có phần tử tối ñại, gọi C Ta C sở V Do C phần tử tối ñại M nên C ≠ ∅ ñộc lập tuyến tính Ta cịn phải chứng minh C hệ sinh V ∀x ∈ V Nếu x = hay x ∈ C x ∈ 〈 C〉 Nếu x ≠ x ∉ C C ∪ { x} phụ thuộc tuyến tính (do C độc lập tuyến tính cực đại V) Suy có u1 , , un ∈ C r0 , r1 , , rn ∈ K không không tất cho r0 x + r1u1 + + rn un = Vì u1 , , un độc lập tuyến tính nên r0 ≠ Khi ủú Trần Thị Thanh Thảo K20 10 M«đun tự x = − r0−1 ( r1u1 + + rn un ) ∈ 〈 C〉 Suy ∀x ∈ V x ∈ 〈 C〉 nên C hệ sinh Do C sở V Trần Thị Thanh Thảo K20 11 Môun t PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho R vành giao hốn cho iđêan R ñều R-môñun tự Chứng minh R miền ngun Chứng minh: • Chứng minh R miền nguyên Lấy a phần tử khác tuỳ ý R Vì iđêan ( a ) R-mơđun tự nên tập {a} độc lập tuyến tính Do Ann ( a ) = Từ suy R khơng có ước khơng nên R miền ngun • Chứng minh iđêan R iđêan Gọi I iđêan R I R-mơđun tự nên I có sở Mặt khác hai phần tử khác I phụ thuộc tuyến tính đẳng thức a.b – b.a = nên sở I khơng thể có q phần tử Do I iđêan Vậy R miền ngun Bài 2: Cho R vành cho iđêan trái R R-mơđun tự Chứng minh mơđun R-mơđun tự R-mơđun tự Chứng minh: Cho M R-mơđun tự ta có I sở M Khi ta đồng M = ⊕ Ri , Ri = R i∈I Gọi {ei i ∈ I} sở tắc M F mơđun M Ta I thành tập thứ tự tốt gọi Ai mơđun M sinh tập {e i i ∈ I} ðặt Fi = Ai ∩ F Xột phộp chiu: Trần Thị Thanh Thảo K20 12 Môun tự pi : ⊕ Ri → R i∈I ( xi )i∈I ֏ xi Khi pi ( Fi ) iđêan R Vì R iđêan nên pi ( Fi ) = Rai Khi có bi ∈ Fi cho pi ( bi ) = Nếu = ta chọn bi = ta ñược họ {bi i ∈ I} • Ta chứng minh Fi sinh họ {bj j ≤ i} phương pháp quy nạp Thật vậy, giả sử Fk sinh họ {bj j ≤ k} ñiều xãy với k < i Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ Fi Khi pi ( x ) = rai ñó: pi ( x − rbi ) = pi ( x ) − pi ( rbi ) = rai − rai = Suy x − rbi ∈ Fk , với k < i hay x − rbi ∈ Fk biểu thị tuyến tính qua bj , j ≤ k Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {bj j ≤ i} Vậy Fi sinh họ {bj j ≤ i} • Ta chứng minh F sinh họ {bi i ∈ I} Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ F , x = ei1 r1 + + eim rm , với i1 < < im Do x ∈ Aim nên x ∈ Fim Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {bj j ≤ im } • Ta chứng minh hệ {bi bi ≠ 0, i ∈ I} độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử bi1 r1 + + bim rm = 0, rm ≠ , với i1 < < im Khi  m  pim  ∑ bi j rj  = aim rm =  j =1  Vì R miền nguyên nên rm = hay aim = ðiều vơ lí Vậy hệ {bi bi ≠ 0, i ∈ I} ñộc lập tuyến tính Vậy {bi bi ≠ 0, i ∈ I} sở F Suy F R-mơđun t Trần Thị Thanh Thảo K20 13 Môun t TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thúc Lanh, ðại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất giáo dục, 1985 [2] S Lang, ðại số (T V Hạo, H Kỳ dịch), Nhà xuất ðHTHCN, 1978 [3] Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết, Bài giảng sở ñại số đại (Giáo trình sau đại học), ðHSP, 2001 [4] Lê Văn Thuyết, Các cấu trúc ñại số bn, Nh xut bn giỏo dc, 1999 Trần Thị Thanh Th¶o K20 14 ... Trong có nhiều loại m? ?đun đặc biệt như: m? ?đun tự do, m? ?đun xạ ảnh, m? ?đun nội xạ, ðể hiểu sâu m? ?đun tự do, tiểu luận trình bày kiến thức m? ?đun tự số tập m? ?đun tự Nội dung tiểu luận gồm hai phần:... với Rm? ?đun tự tập S Theo nhận xét ta thấy rằng, tổng trực tiếp R-m? ?đun tự R-m? ?đun tự Mệnh đề 2.2: Mọi R-m? ?đun M ảnh tồn cấu R-m? ?đun tự Suy R-m? ?đun M đẳng cấu với m? ?đun thương R-m? ?đun tự Chứng... b.a = nên sở I khơng thể có q phần tử Do I iđêan Vậy R miền ngun Bài 2: Cho R vành cho iđêan trái R R-m? ?đun tự Chứng minh m? ?đun R-m? ?đun tự R-m? ?đun tự Chứng minh: Cho M R-m? ?đun tự ta có I sở M Khi