P a g e | 1 ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN, TRƯỜNG ĐHSP TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỀ TÀI KHÁI NIỆM PHẠM TRÙ Giảng viên hướng dẫn TS Phan Văn Thiện Học viên Phan Đình Sáu Chuyên nghành Giải tích Niên kh óa 2011 2013 Huế, tháng 4 năm 2012 P a g e | 2 MỤC LỤC Lời tựa 1 Lý thuyết Trình bày khái niệm về phạm trù, các định nghĩa về đơn xạ, toàn xạ, song xạ, đẳng xạ, định nghĩa về phạm trù cân đối 2 Giải ba bài tập 1, 2, 3 trong Bài 1 chương I 3 Tài liệu tham khảo P a g e | 3 Lời tựa Phạm trù và hàm tử là môn họ.
Page |1 ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN, TRƯỜNG ĐHSP TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐỀ TÀI : KHÁI NIỆM PHẠM TRÙ Giảng viên hướng dẫn: TS.Phan Văn Thiện Học viên: Phan Đình Sáu Chun nghành : Giải tích Niên khóa: 2011_2013 Huế, tháng năm 2012 Page |2 MỤC LỤC: Lời tựa Lý thuyết: Trình bày khái niệm phạm trù, định nghĩa đơn xạ, toàn xạ, song xạ, đẳng xạ, định nghĩa phạm trù cân đối Giải ba tập 1, 2, Bài chương I Tài liệu tham khảo Page |3 Lời tựa: Phạm trù hàm tử môn học trừu tượng, khái niệm, ký hiệu lạ, tổng hợp nhiều kiến thức liên quan đại số Vì vậy, việc vận dụng lí thuyết vào giải tập gặp nhiều khó khăn Tiểu luận gồm hai phần: Phần lí thuyết: Trình bày định nghĩa, định lý, mệnh đề có liên quan để giải tập Phần tập: Giải chi tiết ba tập 1, 2, Bài chương I Xin chân thành cám ơn TS.Phan Văn Thiện , giảng viên khoa toán trường ĐHSP Huế tận tình giảng dạy thời gian qua Vì kiến thức thời gian hạn chế, nên chắn tiểu luận khơng tránh khỏi nhiều sai sót Chân thành đón nhận ý kiến nhận xét Thầy bạn đọc để tiểu luận sau hoàn thiện Page |4 A/ LÝ THUYẾT: I Khái niệm phạm trù: 1.Định nghĩa 1.1 Cho phạm trù 𝒞 có nghĩa cho liệu sau: Cho lớp Ob𝒞 lớp Mor𝒞 Lớp Ob𝒞 gọi lớp vật, lớp Mor𝒞 gọi lớp xạ (cấu xạ) Với hai vật A,B Ob𝒞 ta có tập hợp (có thể rỗng) HomC(A,B) nằm Mor𝒞, HomC(A,B) gọi tập hợp xạ từ A đến B Để 𝑓 ∈ 𝐻𝑜𝑚𝐶 (𝐴, 𝐵),ta viết f : A f B hay A B Nếu nhầm lẫn, ta viết Hom(A,B) thay cho Hom C(A,B) Nếu A,B,C ∈ 𝑂𝑏𝒞, có ánh xạ : Hom(B,C)× Hom(A,B) ⟶ (g, f) ⟼ Hom(A,C) gf: gọi phép hợp thành xạ f g Các điều kiện sau phải thỏa mãn: a/ Phép hợp thành có tính kết hợp: Nếu A f B g C h D xạ cho ta có: h(gf)= (hg)f b/ Với 𝐴 ∈ 𝑂𝑏𝒞 có xạ 1𝐴 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝐴, 𝐴), gọi xạ đồng A cho với 𝑓 ∈ 𝐻𝑜𝑚 (𝐴, 𝐵),với g ∈ Hom(C,A) ta có 𝑓1𝐴 = 𝑓, 1𝐴 𝑔 = 𝑔 c/ Nếu cặp vật (A,B), (A’,B’) khác thì: Hom(A,B) ∩ Hom(A’,B’)=∅, xạ đồng 1𝐴 xác định vật A Với 𝐴 ∈ 𝑂𝑏𝒞, Hom(A,A) vị nhóm phép hợp thành (tính kết hợp, có đơn vị) Page |5 Phạm trù mà lớp vật tập hợp gọi phạm trù bé (nhỏ) Phạm trù mà với vật A, Hom(A,A) gồm ánh xạ đồng với cặp vật (A,B), A ≠ B ta có Hom(A,B)= ∅ gọi phạm trù rời rạc II.Các vật cấu xạ đặc biệt phạm trù: Định nghĩa 2.1 Cấu xạ : B C Mor𝒞 gọi đơn xạ với X O𝑏𝒞 với cặp cấu xạ , ' : X A ta có ' ' nghĩa giản ước bên trái Nếu : A B : B C đơn xạ : A C đơn xạ Định nghĩa 2.2 Một cấu xạ : A B Mor𝒞 gọi toàn xạ với vật Y Ob𝒞 với cặp cấu xạ , ' : B Y ta có ' ' nghĩa giản ước bên phải Nếu : A B : B C tồn xạ : A C toàn xạ Chú ý: toàn xạ chưa toàn ánh Định nghĩa 2.3 Một cấu xạ : A B Mor𝒞 gọi song xạ đồng thời đơn xạ toàn xạ Nếu : A B : B C song xạ : A C song xạ Nếu : A C song xạ đơn xạ toàn xạ Page |6 Định nghĩa 2.4 Một cấu xạ : A B Mor𝒞 gọi khả nghịch hay đẳng xạ tồn cấu xạ : B A Mor𝒞 cho 1A ; 1B Khi A gọi đẳng xạ hay tương đương với B Kí hiệu A B Xạ nghịch đảo f tồn Đẳng xạ ⇒ đơn xạ toàn xạ Đẳng xạ ⇒ song xạ Điều ngược lại nói chung khơng Định nghĩa 2.5 Phạm trù mà song xạ đẳng xạ gọi phạm trù cân đối B / BÀI TẬP: Bài tập 1: Đề bài: Giả sử (Ai ) 𝑖 ∈ 𝐼 họ vật phạm trù 𝒞 Hãy kiểm chứng 𝒞 Ai xây dựng sau phạm trù: Vật CAi họ cấu xạ ( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 , X vật C Cấu xạ hai vật ( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑔i : Y ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 cấu xạ f : X ⟶ Y 𝒞 cho với 𝑖 ∈ 𝐼 ta có 𝑓 i = 𝑔i𝑓 Hợp thành cấu xạ 𝒞Ai hợp thành cấu xạ 𝒞 Page |7 Bài giải: Ta có: Ob(𝒞 Ai) = [(𝑓i: 𝑋 ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ∕ 𝑋 ∈ 𝑂𝑏𝒞], [(𝑓i: 𝑋 ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Y ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ]CAi = [f : X ⟶ Y ∈ HomC(X,Y)∕ 𝑓 i = 𝑔i𝑓, ∀𝑖 ∈ 𝐼]C hợp thành cấu xạ 𝒞 Ai Do ta có: *) [(𝑓i: 𝑋 ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Y ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ]CAi ⊂ HomC(X,Y) nên tập hợp *) 1( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ) = Y *) Vì phép hợp thành cấu xạ 𝒞Ai tích cấu xạ 𝒞 nên 1( fi : X ⟶Ai )𝑖 ∈ 𝐼 ) = Y phép hợp thành có tính chất kết hợp Vậy 𝒞Ai phạm trù Bài tập 2: Đề : Giả sử (Ai) 𝑖 ∈ 𝐼 họ vật phạm trù 𝒞 Hãy kiểm chứng Ai𝒞 xây dựng sau làm thành phạm trù: Vật Ai𝒞 họ cấu xạ ( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼 , X vật 𝒞 Cấu xạ hai vật ( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼 ( gi : Ai ⟶Y)𝑖 ∈ 𝐼 cấu xạ f : X ⟶ Y 𝒞 cho với 𝑖 ∈ 𝐼 ta có 𝑓𝑓 i = 𝑔i Hợp thành cấu xạ Ai𝒞 hợp thành cấu xạ 𝒞 Page |8 Bài giải : Ta có : Ob( Ai𝒞) = [( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼 ∕ 𝑋 ∈ 𝑂𝑏𝒞 ], [( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Ai ⟶Y)𝑖 ∈ 𝐼 ] AiC = [f : X ⟶ Y ∈ HomC(X,Y)∕ 𝑓𝑓 i = 𝑔i , ∀𝑖 ∈ 𝐼] hợp thành cấu xạ Ai𝒞 Do ta có: *) [( fi : Ai ⟶X)𝑖 ∈ 𝐼, ( 𝑔i : Ai ⟶Y)𝑖 ∈ 𝐼 ] Ai𝐶 ⊂ HomC(X,Y) nên tập hợp *) 1( fi : Ai ⟶X )𝑖 ∈ 𝐼 ) = 1X *) Vì phép hợp thành cấu xạ Ai𝒞 tích cấu xạ 𝒞 nên 1( fi : Ai ⟶X )𝑖 ∈ 𝐼 ) = 1X phép hợp thành có tính chất kết hợp Vậy Ai 𝒞 phạm trù Bài tập 3: Đề bài: Chứng minh : a) Phạm trù Group nhóm, phạm trù R- Mod R-môđun phạm trù cân đối b) Phạm trù không gian tôpô tách với cấu xạ ánh xạ liên tục phạm trù không cân đối Bài giải: a) Phạm trù Group nhóm phạm trù cân đối Phạm trù Group nhóm phạm trù lớp vật lớp tất nhóm , lớp xạ lớp tất đồng cấu nhóm Giả sử f : A → B song xạ ta chứng minh f đẳng xạ f song xạ nên f đơn xạ toàn xạ Page |9 +) Ta xét phép nhúng tắc i : Kerf → A ta có fi = = f0, f đơn xạ nên i = từ suy ∀x ∈ Kerf x = i(x) = 0(x) = nên Kerf = 0, mà f đ ồng cấu nhóm nên suy f đơn cấu +) Xét đồng cấu p : B → B / Im(f) ta có pf = = 0f mà f toàn xạ nên p = tức p(b) = 0; ∀b ∈ B suy B = Im(f) nên f toàn cấu Vậy f đẳng cấu suy 𝑓 −1 đẳng cấu, đặt g = 𝑓 −1 ta có : fg = 1𝐵 gf = 1𝐴 f đẳng xạ nên phạm trù Group nhóm phạm trù cân đối Phạm trù R- Mod R-môđun phạm trù cân đối Phạm trù R- Mod R-môđun phạm trù lớp vật lớp tất R-môđun, lớp xạ lớp tất đồng cấu R-môđun Giả sử f : A → B song xạ ta chứng minh f đẳng xạ f song xạ nên f đơn xạ toàn xạ +) Ta xét phép nhúng tắc i : Kerf → A ta có fi = = f0, f đơn xạ nên i = từ suy ∀x ∈ Kerf x = i(x) = 0(x) = nên Kerf = 0, mà f đ ồng cấu R-môđun nên suy f đơn cấu +) Xét đồng cấu mơđun p : B → Cokerf = B/Im(f) ta có pf = = 0f mà f tồn xạ nên p = tức p(b) = 0; ∀b ∈ B suy B = Im(f) nên f toàn cấu Vậy f đẳng cấu suy 𝑓 −1 đẳng cấu, đặt g = 𝑓 −1 ta có : fg = 1𝐵 gf = 1𝐴 f đẳng xạ nên phạm trù R-Mod R-môđun phạm trù cân đối b) Phạm trù không gian tôpô tách với cấu xạ ánh xạ liên tục phạm trù không cân đối Ta chứng minh có song xạ không đẳng xạ Xét X = (0; 1) Y = ℝ hai không gian tôpô với tôpô thông thường, xét ánh xạ liên tục sau: P a g e | 10 f:X→Y x ↦ x , ∀x ∈ X Trước tiên ta chứng minh f đơn xạ, ∀k : Z → X , l : Z → X cho fk = fl ta chứng minh k = l Giả sử k ≠ l tức ∃x ∈ Z : k(x) ≠ l(x) nên tồn lân cận U,V k(x), l(x) cho U ∩ V = ∅, f(U) = U, f(V ) = V nên f(U) ∩ f(V ) = ∅ mặc khác fk(x) ∈ U, fl(x) ∈ V suy fk(x) ≠ fl(x) mâu thuẫn nên k = l f đơn xạ Tiếp theo ta chứng minh f toàn xạ, ∀k : Y → T, l : Y → T cho kf = lf ta chứng minh k = l Giả sử k ≠ l tức ∃x ∈ Y : k(x) ≠ l(x) nên tồn lân cận U,V k(x), l(x) cho U ∩ V = ∅, k, l ánh xạ liên tục nên tồn lân cận U1,V1 x cho k(U1) ⊂ U l(V1) ⊂ V nên k(U1) ∩ l(V1) = ∅ mà kf(x) ⊂ k(U1) lf(x) ⊂ l(V1) nên kf(x) ≠ lf(x) mâu thuẫn nên k = l f toàn xạ Vậy f song xạ Cuối ta chứng minh f đẳng xạ, giả sử f đẳng xạ tức tồn ánh xạ liên tục g : Y → X cho fg = 1𝑌 ; gf = 1𝑋 , ta chọn x = fg(x) ∈ (0; 1) nên fg(x) ≠ x f không đẳng xạ nên ta có điều phải chứng minh P a g e | 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết, Cơ Sở Đại Số đại, NXB Giáo dục, 2001 Barry Mitchell, Lý thuyết phạm trù, Academic Press, 1965 Barr, Michel Wells, Charles (2002),Toposes, Triples and Theories Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Cat- egories, Types and Structures, MIT Press Saunder MacLane, Categories for mathematician working, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer- Verlag ... hợp Vậy Ai