Một vài vấn đề về môđun tự do

Nếu một mơ đun con là hạng tử trực tiếp của một mơ đun tự do thì nĩ cĩ là mơ đun tự do hay khơng?. Chương II : Lực lượng cơ sở của một mơ đun tự do, Đây là phần nội dung cơ bản của luận

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỖ CHÍ MINH

LUẬN VĂN GỨ NHÂN T0ÁN CHUYEN NGANH BAI $0

MOT VAI VAN DE VE

MODUN TU DO

Người hướng dẫn : TS Cẩm 2uyêø

Người thực hiện : HUYNH TH) BOANG DUNG

Trang 2

-MOT VAI VAN DE VE MO BUN TU DO

LOICAMTA

Để hồn thành được luận văn này, tơi đã nhờ sự giảng dạy và giúp đỡ

rất nhiều của qúy Thầy Cơ và Cán bộ của Trường ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Thành phố Hồ Chí Minh trong suốt quá trình tơi đã học tập ở trường và làm luận văn tốt nghiệp

Tơi xin chân thành cảm ơn qúy Thây Cơ và cán bộ của trường ĐẠI

HỌC SƯ PHẠM

Đặc biệt, tơi xín chân thành cảm ơn và biết ơn sâu sắc thầy Trần

Huyện, Người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tơi trong suốt thời gian làm

luận văn tốt nghiệp

Trang 3

MOT VAI VAN DE VE MO BUN TU DO

LỜI NĨI ĐẦU

Luận văn này được chia làm hai phần : Phan | : Kiến thức chuẩn bị

Phần H : Nội dung

Phần kiến thức chuẩn bị dành để liệt kê một vài khái niệm và kết qủa về

kiến thức mơ đun được dùng nhiều về sau Cách trình bày chỉ tiết cĩ thể tìm thấy

hầu hết trong các giáo trình được đưa ra ở danh mục tham khảo của luận văn này

Phần nội dung của luận văn được chia làm hai chương : Chương I : Mơ đun tự do

Trong chương này tơi nêu lên mội số khái niệm và tính chất của Mơđun tự do để làm cơ sở cho các phép chứng minh ở phẩn sau Trong đĩ cĩ xét một số vấn đề liên quan như :

- Tổng trực tiếp của các mơ đun tự do cĩ là mơđun tự do 2 - Tích tenxơ của 2 mơ đun tự do cĩ là mơ đun tự do ?

Tiếp đĩ, tơi xét đến mơđun con và mơ đun thương của mơ đun tự do Nếu một mơ đun con là hạng tử trực tiếp của một mơ đun tự do thì nĩ cĩ là mơ đun tự do hay khơng? Đồng thời, tơi cũng nêu ra một kết qủa của mơ đun tự doÏfÊn vành

chính

Chương II : Lực lượng cơ sở của một mơ đun tự do,

Đây là phần nội dung cơ bản của luận văn Nội dung chính của chương II là việc nghiên cứu tính duy nhất của lực lượng cơ sở của mơ đun tự do Ở chương

này, tơi chia làm 2 tiết :

Tiết | : Lực lượng cơ sở của mơ đun tự do Tiết 2 : Vành phụ thuộc

ở tiết 1, để cập đến tính duy nhất của lực lượng cơ sở vơ hạn của mơđun bất kỳ và tính duy nhất của lực lượng cơ sở của một khơng gian véc tơ trên trường K.Từ đĩ suy ra tính duy nhất của lực lượng cơ sở mơ đun tự do trên vành giao

hốn và trên vành hữu hạn Ở tiết 2, tơi nêu ra khái niệm vành phụ thuộc Với

khái niệm này ta mở rộng được tính duy nhất của lực lượng cơ sở của mơđun tự do

trên vành phụ thuộc khơng cĩ ước của 0 Với tẩm hiểu biết và kiến thức cịn cĩ

Trang 4

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO

PHAN I:

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Tiết 1: CÁC KHÁI NIỆM VỀ MƠ ĐUN

1.1 MO DUN, MO DUN VA MODUN THUONG :

1.1.1 M6 dun :

Định nghĩa L.1.1.1 : Giả sử R là vành giao hốn, cĩ đơn vị Một Mơ đun R (hay R mơđun) là một nhĩm cơng giao hốn (X +) cùng với một hàm: RxX ->›X (r,X)—>r x Thoả mãn 4 điều kiện sau : (M,) (r+s)x =rXx+sx (M;) r(®+9 =rX+* ru (Mì) (rs)x =r(sX) (M,) 1.x = x

VrseR, VxyeX ;R gọi là vành hệ tử

Thí dụ : L1.1.2: Mỗi nhĩm cơng giao hốn bất kỳ đều là một Z - mơ đun (Z.: vành số nguyên) thật vậy, cho (X,+) là một nhĩm giao hốn, hàm : M:ZxX >X (n,x)—> nx, VneZ ,VxeX Với nx là bội nguyên n của phẩn tử x : xá + <<: +X ne Z’ nlan nx = 0 n=0 -X xe +x) ———————Ƒ— neZ - niần

Phép nhân này hiển nhiên thoả mãn 4 điều kiện ( MI) => (M4)

Thí dụ : I.1.1.3: Khơng gian vectơ X là R - mơđun ( R : trường số thực)

Thí dụ : I.1.1.4: Giả sử R là vành giao hốn, cĩ đơn vị gọi là một iđêan

của R khi đĩ I là một R - mơ đun Thật vậy (1+) là một nhĩm Aben (do I là một

iđêan của R),hàm:M:RxI ->Ï

(r,X) > rx,VreR,VvxeL

Trang 5

e DoR là một iđê an của chính nĩ nên R cũng là một mơđun trên chính nĩ Nĩi

cách khác, mỗi vành giao hốn, cĩ đơn vị điều là một mơđun trên chính nĩ Thí dụ : IL.1.1.5: Cho X = R` =( ánh xa f:S -> R ) với phép cộng các hàm

đình nghĩa bởi :

(f+g2 )(s)=f(s) +g(s), VigeX,VseS

Khi đĩ (X, +) lập thành một nhĩm Aben, hàm :

M:RxX °>X

(œ,f)>› œf(œf :S —>R cho bởi (ơ Ð (s) = œ [ƒ(sJ].WVs e S)

Phép nhân này hiển nhiên thoả 4 điều kiện (MI) => (M4) Đo đĩ X là một R -mưđun

Thí dụ : LI.1.6: Giả sử VỊ+] là tập hợp tất cả các đa thức của ẩn x trên vành V

Ta xét Vx] vớp phép cộng thơng thường và phép nhân vơ hướng

như sau ; [ (dạ + Œ¡X + + a,x" )= B ay + Bayx + + Bax"

Ta dễ thấy các phép tốn trên xác định một cấu trúc V -mơđun trên V [x]

1.1.2 Mơđun con :

L inh cu

Giả sử R là vành giao hốn, cĩ đơn vị X là R- mơđun và tập 2 4 A

cX

A goi la ổn định với 2 phép tốn + và e trên X nếu :

i) AtA cA (x+yeEA.Vxy EA) ii) RAcA (ra eA,VreR,aeA)

1.1.2 2 /Ménh dé :

Tập khác rỗng A c X ổn định đối với 2 phép tốn trén X thi A cùng với 2 phép tốn đĩ lập thành một R -mơđun Ta gọi A là R- mơđun con của X

Ký hiệu : A VX

Chứng mỉnh :

Trang 6

MOT VAI VAN ĐỀ VE MO DUN TU DO

(do x e A.(-lly € A)

(2)›M:RxẦA DA

(r,a) > ra

Đây là phép nhân trong A là phép nhân cảm sinh trong X, nên hiển nhiên

thoả 4 tiên để (M1) —> (M4) của định nghĩa một R-mơđun

Thí đu : I.1.2.3: Cho (X.+) là nhĩm Aben Mọi nhĩm con A của X đều là

một mơđun con của X, xem như mơt Z- mơđun (2 : vành các số nguyên) Vì mỗi nhĩm cơng giao hốn bất kỳ một Z -mơđun và nếu A là nhĩm con của X thì : va

€ À,X€Ztacĩ xae€Ầ,

Thí dụ : I.1.2.4 : Giả sử R là vành giao hốn cĩ đơn vị.R làmột mơđun trên chính nĩ Khi đĩ, mọi iđêan của R là một mơđun con của R vì đĩ là những tập hợp con A # Ø của R sao cho : ra + sb œ A, Vr.s eR,a.be A

e_ Một mơđun X bao giờ cũng cĩ ít nhất 2 mơđun con : X và (0 : (0) được gọi là

mơđun khơng Ký hiệu : Ơ

í dụ: Š-

Cho X = R* = [ánh xa f : § -> R } là một R-mơđun

Tập con của X là A = [f:Š—» R/ f(s) = 0, trừ một số hữu hạn những phần tử s

eS}

A là một mơđun con của X

Giả sử X là khơng gian vectơ thực Ngồi X và (0] thì X cịn cĩ 2 loại khơng gian vec tơ con :

(1) Tập hợp các vectơ gốc 0 nằm trên một đường thẳng đã cho đi qua 0 (2) Tập hợp các vectơ gốc 0 nằm trong một mặt phẳng đã cho đi qua 0

Hai khơng gian vectơ con này chính là hai R- mơđun con của X 1.1.2.7/ Ménh dé :

Giả sử X là R-mơđun và (A,),c T là một họ mơđun con của X Khi đĩ,

Tare là một mơđun con của X

(2) Nếu I là hữu hạn thì iy Ai là một mơđun con của X

Trang 7

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TY DO

1.1.3 Mơ đun thương :

Giả sử X là R-mơđun A là mốt R-mơđun con của X (A.+) là một nhĩm

con của nhĩm Aben cơng X nên nhĩm thương : X/A = (x + A/ x © X} la mot

nhĩm Aben hồn tồn xác định với phép cơng định nghĩa bởi (X+A)+(y+Ấ)=(x+y)+A,VXxyeX Ta định nghĩa một phép nhân vơ hướng bằng cách đặt : r(X+®À)=rX+A Phép nhân như vậy là hợp lý vì nếu x + À = x'` + A tức x` =x+a(a e A) Thì : r (x` +A)=rX`+ A=rX+ra+Ầ=rx+A Phép nhân vơ hướng nà y thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa một R-mơđun Thật vậy, VreR,seR, V(x +À), (y +À) e X/A (MI):(r+s)(xX+A)=(r+s)xX+ẦZrx+“X+A =(rx+A)+(sx +A) =r{x +A) +s(x +A) (M2):r(x+ Á) +(y+AJ=r(xX+y)+Á =r(X+y)+A =rX+ry +Á =(r‹t+A)+(m+A) =r(x+A)+r(y +A) (M3):r (s(x+ A))=rÍ2©+ A)=r(sx)+A = (r4 )X + A) =(rA)(x + A) (M4): l(x +À)= lx+Ấ = X+A

Vậy X/A là một R-mơđun gọi là mơđun thương của X theo A

I2/ TẬP SINH CỦA MƠĐUN CON, ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN

TÍNH :

1.2.1/ Tp sinh cua médun con :

Giả sử S là một tập con tuỳ ý của R-mơđun X Giao của tất cả cá»nơđun

con của X chứa S được gọi là mơđun con của X sinh bởi S

Ký hiệu : A (S) hay < S> Ta nĩi : S là tập sinh của A(S) hay S sinh ra A(S),A(S)

Trang 8

1.2.2/ Dinh nghia :

Néu phan wr x © X cd thé viet dudi dang mét t6 hop tuyến tính của các phint® se S:x=Yaey (ao, © R)thita néi: x biéu thi twyén tinh qua cdc phần tử cua S

L.2.3./ Định nghĩa :

+ Tập con § c X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tổ hợp tuyến tính

của tất cả các phẩn tử ca S: Ơô, s=0, trong dé tén tais € S sao cho a, + 0 e Néus c€ § mọi tập hữu hạn của tập con A của X (R-mơđun) là độc lập tuyển

tính thì tập con A của X độc lập tuyển tính

I.3/ TÍCH TRỰC TIẾP, TỔNG TRỰC TIẾP :

I.3.1 : Tích trực tiếp :

L.3.1.1 : Tích trực tiếp của 2 mơđun :(tổng trực tiếp của 2 mơđun)

1.3.1.1.1 Định nghĩa :

Giả sử A và 8 là 2 R-mơđun Trên A x B = ((a,b)/a <A,b e BỊ Xác

định 2 phép tốn : (ay,b, ) + (a;,bạ )=(ai+a;,b,+byạ)c6AxB r (a,b) = (ra,rb) eAxB

Khi đĩ (A x B ,+, ® ) là một R-mơđun Ký hiệu : A xB hay A ® B

L3.1.1.2 Mệnh để : (Tổng trực tiếp trong của 2 mơđun)

Giả sử ÀA, B là 2 mơđun con của R-mơđun X sao cho: A + B #£X và

A@B=0 Khi đĩ :X z A @B và X được gọi là tổng trực tiếp trong của 2

mơđun A,B Ký hiệu : X=Á ®B

Chứng minh : Xét ọ :A ®B ->»X (a,b)>a+b

i) @ là đồng cấu , thật vậy , V (ay,b,) (a;bạ) eA®B, Vrir; ER @ (ry, ai, by ) rạ (ap,b2 )) = @ (1, ay ry a2, rịị ¿ rạ bạ )

= (r, (ay+ by) + rạ (aa¿ +bạ ) =ri (@(ai+ bị), rạ( aạb; )

ii) — @là đơn cấu Thật vậy :

Kero= [(a.b)/a +b=0|z= [(a.b)/a =-b € AQB=0)}

= { (0,0)) =(0,0)

Trang 9

Kétluan :A@B =X

1.3.1.2 /Tích trực tiếp của họ mơđun : 1.3.1.2.1/ Dinh nghĩa :

Giá sử {| Xu | „ ¡ là một hồ bất kỳ R-mơđun trên

iI Xx ={x:1—>U,X« thoa xx € Xx} =| (xx), ¡/X„ 6 X#] xát định hai phép tốn : (L(x yh + CYS = (XK + VK) (2) r(x#ly =r(X#) khi đĩ ( Xa, +, ¢) 14 một R-mơđun Gọi là tích trực tiếp của ho mơđun {Xx pre; I.3.1.2.2/ Họ các phép chiếu : Cho một họ khơng rỗng các R-mơđun (X+ ]}#el với mỗi ~e l, xét ánh xa, tà : IX + Xe (Xj =} Xụ Rõ ràng tla tồn ánh L.3.1.2.3/ Mệnh để : Họ các phép chiếu {fơ : []XY, -> Xeœ] œ el cĩ tính chất phổ dụng theo eal nghĩa sau :

Với một R - mơđun X bất kỳ và với bất kỳ họ đồng cấu Íh, : X —> X,}

thì tổn tại và duy nhất một đồng cấu @:X-> []X sao cho: h„=[' -.0,VXxel

tức là sao cho biểu đồ sau giao hốn : X —*t# —xIX a! [ÙX,

An,

P

I.3.2./ Tổng trực tiếp : X

1.3.2.1 : Định nghĩa : d

Cho họ khơng rỗng các R-mơ đun {X,} Mơ đun con của tích trực tiếp f[ X, bao gồm tất cả các bộ (x,), e;¡ mà hầu hết các thành phần x, = Ơ trừ ra mơi

số hữu han được gọi là tổng trực tiếp của họ {X,]

Trang 10

MOT VAI VAN DE VE MO BUN TU DO Néu [1a hitu han Khi d6 @ X, =[].Y, 1.3.2.2/ Ho cac phép nhing : Cho ho khĩng rỗng các R-mơ đun [X,} ¿ e / Với mỗi #el, xét ánh xạ : Jan : Xz — @& ÄX, Xu => (Xu = o,néul +a h ,HẾU 1= Œ L.3.2.3 Mệnh để : Họ các phép nhúng |¡, : X „ —> @ X, ]„ ¡ Cĩ tính chất phổ dụng thoe nghĩa sau: Với mọi R-mơ đun X với bất kỳ họ các đồng cấu (h,: X, -> XỊ, ¡ tốn tại và duy nhất một đồng cấu : ự : @X, —> X sao cho hụ„ : ựf, Vơ e [, tức là sao cho biểu để sao giao ief hốn : OX Tw, X i| Is Xu L.4./Cơ sở của mơ đun : L4.1/ Định nghĩa :

Tập con khơng rỗng A của R-mơ đun X là một cơ sở của X nếu : A sinh ra X và A độc lập tuyến tính (X = <A> : A là tập sinh của X)

1.4.2/ Ménh dé :

Tập con Ø # A c<X (R-mơ đun) là cơ sở của X khi và chỉ khi mọi phan tt

của X đều cĩ một biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính những phần

tử của A Chứng minh :

+ Điều kiện cần : Giả sử A là cơ sở của X Khi đĩ A là hệ sinh của X vì vậy : Wx c X thì x điều được viết dưới dạng : x = YXơ,a trong đĩ : họ (œ,), ,a chỉ hữu hạn

những phẩn tử khác 0 Giả sử ta cĩ cách viết khác : x =Ề j,a = Ú suy ra Yø,a

=XY 8a = Xưu -YX đa=0 5 (a,-jØ)a=0

wa ức ‡

Trang 11

MOT VAI VAN DE VE MO BUN TU DO 1.5/ Day Khép Ngan : 1.5.1/ Day khép ngan : Cho A, B, C là các R-mơ đun, dãy hai đồng cấu các R-mơđun : O_ ,A _a »~B_ » ».» C_ 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu a don cau, @ tồn cấu và Imœ = Kero 1.5.2/ Day khớp ngắn chẻ ra :

Day khépngin O0 .A co g3_ ¿CC g0 được gọi là chẻ ra nếu : Imơœ = Ker @ là một hạng tử trực tiếp của B Tức là : B = Imơ ® C' trong đĩ C'eB,C'z:C.,

1.6 /Hang Ti Trực Tiếp :

1.6.1/ Định nghĩa :

Tập khác rỗng N là một mơ đun con của một R-mơ đun X được gọi là một

hạng tử trực tiếp của X nếu tổn tại một mơđun con P của X sao cho ;

X=N+P,NnP=0

Ký hiệu ; X =N @ P (P : gọi là mơđun con phụ của N)

Nĩi chung, P khơng phải là duy nhất nhưng tất cả các mơđun con phụ của

mơđun con N nếu cĩ, đều đẳng cấu với nhau

1.6.2/ Định lý :

Giả sử N là một mơđun con của R-mơđun X Khi đĩ các tính chất sau là

tương đương :

(1) N là hạng tử trực tiếp của X

(2) Tổn tại một tự đồng cấu p của mơ đun X sao cho pop = p va p(X) =N (3) Tén tai một đồng cấu p' từ X tới N sao cho p`(x) = x, Va eN Chứng mính : (1) => (2) Giả sử X=N ®P Khi đĩ Wx e X x điều viết được dưới dạng sau một cách duy nhất : x =n +pín eN, pe P) ta đặt p:X->X X hen

e plà ánh xa do với mỗi x e X thì n là tổn tại và duy nhất :

e plà một tự đồng cấu của X Thật vậy, VxX),X2 EX :XI =n¡ +ịị

} => X, + Xo= (ny + No) + (p; + pre N® P

Trang 12

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO P(X, + Xy) = nị + nạ =p(X¿) + p(X:) ŒxeX.VneR:x=n+p =rx=rn+rpeNGP p(rx) =rn =r p(x) e VxXe€ X:p;p(x) =p(n)=n =p(x) (Đo n €N nên n e€ X:n=n+Ð =>p(n)=n) e Hiển nhiên p(x)=N

(2) => (3) Vi p:X —X 1a mét ánh xạ từ X lên N nên ta cĩ thể định nghĩa một đồng cấu mơ đun p' : X => N bằng cách đặt p`(x) = p(x) Vx e X Ta chứng minh p`(x)=x.VxeN Thật vậy, nếu x e Nthì p(y)c X sao cho : p(y) = x khi đĩ : p '(X)=p(Pp(y)) = p(y)=x (3) = (4): Giả sử p= Ker p' khi đĩ N=P=<0 Vìx eNøAP suy ra : xeN=p(x)=x eed xep=p(x)=o Vx eX, ta cĩ : p`(p`(x))=p (x) Vậy p'(x -p'(x)) =0 đo đĩ x - p`(x) e P Vì x=p`(x) + (x - p`(x)) e N+P nên X=N +Pmà N¬+P=0=>X=N ®P hay là một hạng tử trực tiếp của X 1.7/ M6 Dun Xa Anh : 1.7.1/ Dinh nghia :

Gia sf B.C là các R-mơđun P là mơ đun xạ ảnh nếu với mọi tồn cấu

õ:B ->C và mọi đồng cấu f; P ->C tổn tại ánh xạ đồng cấu :

7`: P->Bsaochof=ð;7, tức là biểu đổ sau giao hốn : co Tt bB_ ê ¢ 1.8 /Tích Ten Xơ: 1.8.1/ Dinh nghĩa :

Cho X, Y là hai R-mơ đun Ta gọi là tích ten xơ của X và Y là một cặp gồm

R- mơ đun T và một ánh xạ song tuyến tính ; X x Y -> T cĩ tính chất phổ dụng

đối với mọi ánh x4 song tuyến tính @ từ X + Y tới một R- mơ đun bất kỳ K, tổn tại duy nhất một đổng cấu f:T — K sao cho p= fy tức là sao cho biểu đổ sau giao hốn : Ẩ er ———_— GC » gS

Œ a

Trang 13

Ký hiệu : T= X€')Y I.8.2/ Mơ tả các phần tử của T = X © Y :

Vixyle Xx Y Uh glee Oy Tap {x@y/xeX,ye Y | lahésinhcdaXOY

Yze XOY:z= wir (X, ® v,), với (À, ),„,„ ER

z=Ÿ (À, X, © V,) = Š {x', @y,)

t⁄:

hay z= (x,@ Ay) = Š (x,@y',)

Nhân xét :

- _ Các phẩn tử của tích ten xơ là tổng của hữu hạn phần tử nào đĩ

Trang 14

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO PHAN II Chudng 1: MO DUN TV DO Tiết 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA MƠ ĐUN TỰ DO L.1.1 Định nghĩa : Một R-mơ đun X được gọi là mơ đụn tự do nếu X cĩ cơ sở hoặc X là mơ đun khơng

Thí dụ I.1.1.1: Mọi vành giao hốn, cĩ đơn vị R là một mơ đun tự do trên chính nĩ Thật vậy, phần tử đơn vi {1} cũng chính là cơ sở của vành R

Thí dụ 1.1.1.2 : R-m6 dun R” cũng là mơ đun tự do Thật vậy, R° cĩ cơ sở là

-11;=(10 0), lạ = (Ø,1.0 0) I„ =( 0,0 0,1)]

Thí dụ L.1.1.3: Giá sử R là mơi vành giao hốn Vành đa thức R {x] là một

mơ đun tự do Thật vậy, lấy bất kỳ đa thức f(x) © R[x] thi:

[(X)= asÌ + a¡x +a2x 1Ú + a,x” + oc

Rõ ràng ta thấy rằng ( 1, x, xỶ x” } là một cơ sở của R[x|

Thí dụ I.1.1.4 : Giả sứ R là một vành tập các ma trận À = (3,); „ „„ trong đĩ : (alas mE Ri = Ín,j= [.m_, là một R-mơ đun tự do với các cơ sở là tập các ma trận { l¡, ¡ = Ï,n, j = 1m | cĩ phần tử nằm ở dịng ¡ cột j bằng | và moi phan uf khác của ma trận đều bằng 0

1.1.2 Ménh dé: (Tinh pho dụng của mơ đun tự do)

Cho tap S + @ M6 dun ti do sinh bởi tập S, Ký hiệu : F(S) là mơ đun sao

cho cĩ ánh xa j, : § —> F(S) cĩ tính chất phổ dụng đối với mọi ánh xạ h:S -> X (R-

mơ đun) bất kỳ, tức là tốn tại và duy nhất một ánh xạ đồng cấu : @; : F(S)—> X sao

cho h = @„„j tức là sao cho biểu đồ giao hốn : S_ $&$ „,f(S) f, | 3q X Chứngminh :

e Nếu S =Ø Khi đĩ F(S) là mơ đun O, mệnh để hiển nhiên đúng

e Nếu S £Ø Vì § là cơ sở của F(S) nên : xe E(S) thì x đều viết được một cách

duy nhất dưới dang : x = ra.s Trong đĩ (ø.), s là một họ của R và chỉ hữu

han phần tử khác khơng Ta xây dựng : @; : F(S) > X

1'= Yưs-> Ya hs)

Trang 15

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO + Ta chứng mình : @,, là mộtR đồng cấu Thật vậy, VrrreR,Vx e Yưsx.v= Y se F6), ta cĩ : DM, (TX + PY) = One Saserd PBsd=oO(E tra,+r' Bos) = (rư +rÐ,)h(s)=r#X œh,,+r7VÈ B,h(s ) =F lx) +P Maly) „ #h là đồng cấu duy nhất vì nếu 3 đồng cấu : F(S) -» X cũng thoả : h= wj thi ¥s € Š ta cĩ : /(s) = ⁄1,(s) = h(s} đo đĩ Vx € F(S),x= x&ð

/(X)=W(Xứ,xs)= Xa, V(S) = Xứ, h(S) = @(X) suy ra yw =O, +h= 0/,J., that vay Vs € S: my (S) = pls) = hs)

1.1.3/ Ménh dé : (Cac điều kiện tương đương của mơđun tự do ) Các điều kiện sau là tương đương :

(1)R - mơ đun X cĩ cơ sở

(2)X= ® R,, trong đĩ R, = R, Vs cS,SzÚ

(3) Tổn tại tập § # Ø và hàm f :§ -> X cĩ tính chất phổ dụng đối với mọi hàm

Í :S —› Mtừ tập S đến R-mơ đun M tức là tốn tại duy nhất một đồng cấu

Trang 16

+ Thật vậy, lấy #x e X, do [I,| là cơ sở của X cho nên :x= Yø š trong đĩ (œ,)s là họ các phần tử của R và chỉ hữu han phần tử khác khơng do œ,s € R, cho nén: Yase TR mXc ER,

‘ `

Hiển nhiên ta cũng cĩ E8, c X Vậy X= E#

+ Mãi khác lấy : x e {| ÿ#, } ORs => xe ŸYĐ,.,xeRs'

rer

> x= Yrlhaenk > Erl, +(-re ly =0

vr =e

Do {hk js lacdsd cha X néntacér=r,=0.¥s #5'

Vay x=0.suyra [ER JARs ={ 0] ws Kétluan: X= @R, (2) => (3) Ta cĩ X z @ R, Xét hàm f:Š -> @R, L6 A Is Với mọi hàm h: S —> M đi từ tập S z Ø đến R-mơ đun M ta định nghĩa hàm @, nhu sau : , : @R, ->M a, l, ¬ œ,h(s)

+ Theo định nghĩa thì ta thấy @, hiển nhiên là ánh xạ

Trang 17

MOT VAI VAN DE VE MO BUN TU DO + Ta chứng minh @„Í = h

Lay se Stacé pf (s) =, (f(s) = (p„(s = h (s) điều này chứng tỏ : Oy=h, Vs ES

+ Ta chứng minh : , là duy nhất

Gia sử 3 đồng cấu : @R, =>M thỏa f =h ta cần chứng mình : ự= @;

That vay lấy x € @R, ‘x= >ai, , đo đĩ :

/(x)= ự(Sa/l, )= xa, w (hy) =Ya, yw f(s)= La, h(s)

= >4, (Myf) (s) = La, t0w(Í(S)) = La, @(1.)

=O (La, I)

Vay w=

(2) => (1) Ta can chitng minh ; f (S) 1a co sd cha X e X=<f(S)p>

Giả sử A là mơ đun con của X va A = <f($))> Ltic đĩ f xác định một ánh xạ g : S —> A sao cho iạg = f với ¡ là phép nhúng chính tắc ¡:ADX

)——_*

| ‡⁄ A 4!

Theo (3) : ĐoX-là-mơ-đụn-tự do, f cĩ tính chất phổ dụng với mọi đồng cấu g :

S —› A nghĩa là : 3! đồng cấu k: X => A sao cho k,f = g

=> 1 (Kof) = ing

«>( iak)f = 1, f

Do (3) về tính duy nhất của k ta cĩ i¿k = I, Mà 1, là tồn cấu nên ¡ là I tồn

cấu Suy ra ¡ là đẳng cấu hay A =X Vậy X =<f(S)>

e f(s) déc lap tuyén tinh :

Theo (3) ta chon ham g:S— @R,

ses

§ eh,

Trong đĩ l„ là phần tử cơ sở của R, và chúng ta thấy tổn tại đồng cấu duy nhất k: X => @R, sao cho kof = g

eX S x

Trang 18

Để chứng minh f(Š) độc lập tuyến tính, ta lấy tập hữu hạn f(s,), f (52) f(S,)¢ f(S), ta cần chứng mính f(s¡), Ê (s;) f(s„) độc lập tuyến tính Giả sử tốn tại tụ, tạ t, € R saocho: t, f(s) )+ t of(s) + +0, fls,) = 0 =>k (t, fis) )+ tof(sa) +o + t,f(s„)= 0 (do k là một đồng cấu ) « L¿ (kaf(s¿) + Đ(k¿fWs¿) + + tu(kạ đ(s„) = 0 > by Ø(S.) + 1; Ø(S>) + + els.) =O =() Do {1,,),-71a mét tập hữu hạn của cơ sở (l,}s cho nên {1 |, „ = k + + ` «> f(S) độc lập tuyến tính Vậy f(S) là cơ sở của X Hệ quả :

Tổng trực tiếp của họ tuỳ ý những mơđun tự do trên R là mơ đun tự do trên R

1.1.4 Ménh Dé : (tích tenxơ của 2 mơ đun tự do)

Nếu M và N là những R-mơ đun tự do với cơ sở (f); và (l,)¡ theo thứ tự, thì MŒ@N cũng là một R- mơ đun tự do với cơ sở (f, ©[,);,¿

Chứng minh : Trước khi chứng minh mệnh để này, ta đi chứng minh bổ đề sau : Bổ đề I.1.4.1 :

Giả sử N là một R-mơ đun tự do với cơ sở (l,)¿ và M là một R-mơ đun tùy ý Khi đĩ, mỗi phần tử của M @ N đều viết được một cách duy nhất dưới dạng :

¥ (x, @/,) Trong 46 x, € M va ho (x,) chỉ hữu hạn phân tử khác khơng

Chứng minh :

Thật vậy, giả sử x e M và y e N, ta cĩ y = Ya trong d6 a, € R và họ (a ,) chi hitu han phan wf khac 0 Do dé :

x®y= Lara, = Lax Owl.) = 2x, @l)

trong dé x, € M và họ (x,)¡ chỉ hữu hạn phần tử khác 0 Như vậy x © y cĩ một biểu

diễn dưới dạng mong muốn, và điều này cũng đúng cho mọi phần tử của M @ N

Giả sử ÿx @¡ =0, ta sẽ chứng mình rằng x,=0, Ví e I, vi (1); [A một cơ sở

‡

của N nên ta cĩ :N = SR =@ RI,

Suyra:M@N= M®& (@RI) = @ (MORI,)

Trong đẳng cấu M@®N = @(M ®@ RI), cdc phin wh Sx @/ va (x, © 1)

tương ứng với nhau vì theo giả thiết : #x,®/! =0nên Vi e L,ta cĩ x,@ l,=0,

Trang 19

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO Mặt khác ta cĩ đẳng cấu : R = RÌ, (ø + đi) Do đĩ:M ©R šM@RI, Nhưng ta

cũng cĩ M ®@R šM vậy M=M@® RI, trong dang cấu này, các phần tử x, © |, x:d -4 tương ứng với nhau: vì x, ( |= nên x,=0 Vì € 1

Chứng minh ménh dé :

Lay | phan uf bat ky cla M © N, phần tử này viết được ! cách duy nhất dudi dang S(x, @/) Trong dé, x, € M va ho (x,),chicé hữu han phần tử khác khơng

Vì M cĩ cơ sở là (ƒ); nên mỗi phân tử x, M, viết được một cá duy nhất dưới dạng : x,= #ø,/, Trong đĩ a, e R và họ (œ,); chỉ hữu hạn phần tử khác 0

sel

Khi đĩ mỗi phân tử của M ® N viết được mơt cách duy nhất dưới dang:

Y/(Xa,/,0/9đ11= #a,(( @1) Vy (fâ l)ị,¡ là một cơ sở của M ON Do do

af tet Jaf

Trang 20

Tiết 2 : po:

1.2.1 Mơ đun con của mơ đun tự do :

dưa Thí dụ 12.1, : Cho Z [x] là vành ‹ a thức, thức v0i hệ, số ee n Ta cĩ Z [x] la 4

fx) La, + a¡X Đá Thận “52 tay € aN ÉŒj TE; Do d6 = { 4 x, Xa ai | là một cở sơ của el Z [x]

Trong vanh Z[x], xét idéan I sinh bdi x va 2 ;

I= { f(x) x + 2.g(x)/ f(x) g(x) c Z{x] }=h(x) / hạng tử tự do của h(x) là số chẳn}

Iz Ø và I# Z{x| Hiển nhiên I là một mơ đun con của mơ đun tự do Z{x]

đo Z|x} là vành giao hốn nên nếu I cĩ cơ sở thì cơ sở của Ï cĩ khongqua mot phần tử, Giả sử Ï = <g{(x)> Ta cĩ :; x=lx +20ecl 2=0Dx+2lel SUY ra : g(x)/2 g(x) = + l hoặc g(x)= + 2 = g(x)= +1 2 (xx — a(x) = + Bhoiic p(x) = +x

Vi L = Z{X) nên g(x) khơng thể là + 1 Vậy I z <g(x)> Suy ra I khơng cĩ cơ

sở nên I khơng là mơđun tự do

Nhân xét : Từ thí dụ trên cho ta thấy mơ đun con của mơ đun tự do nĩi chung

khơng là mơ đun tự do Như vậy, nếu như A là hạng tử trực tiếp tự do X thì A cĩ là R-mơ đun tự đo hay khơng 2 ta xét thí dụ sau:

Thi du 1.2.1.2: Xét Z4 — Mơ đun Z4 :

Vì Z4 = <1 > nên nĩ là mơ đun tự do s

ĐặtM=(0,2, 4] vàN={0,3],; A*Đz 4, RInN - ©

RO ring M@N = Z4 Tuy nhiên M, N đều khơng phải là mơ đun tự do vì

mọi phần tử của chúng đều là phụ thuộc tuyến tính: 3,2 = 0; 3,4 =0 Do đĩ chúng khơng cĩ cơ sở được

Nhận xét : Mọi hang tử trực tiếp của một mơđun tự do nĩi chung khơng là

mơ đun tự do Tuy nhiên nếu A là hạng tử trực tiếp của R- mơ đun tự do X thì A

chính là mơ đun xạ ảnh Thật vậy, ta xét 2 bổ để sau :

Trang 21

Chifng minh :

e_ Xét một mơ đun tự do tuỳ ý X trên R sinh ra bởi một li Nà Sc=X Giả sử f:

X > B là một đồng cấu và g : A -> B là một tồn cấu tùy ý cho trước của

những mơ đun trên R với s e S bất kỳ 3 j(s) e A với g{[j(s)] = f(s) vì g là tồn

cấu Sự tương ứng s —> j(s) xác định mơt hàm j: S— A Vi X 1a R-mé dun ty do

lên tập S c X nên ¡ mở rộng ra thành một đồng cấu duy nhất h : X -> A (1) Sơ

để : ae = x

|

jE - et sb 240)

e Ta căn Si) phải thử lại rằng : gạh = f gọi x là 1 phần tử tùy ý thuộc 3é, vì X

được sinh ra bởi S, nên ta cĩ : x = vas, (a, € Ris, € S,i= bn)

Ta cĩ g(h(r!)= Sa g h(s,) '= Sa g j(S) J= Sa, f(s.) = f( Sas, } = f(x)

= goh = f (2)

từ (1) và (2) ta suy ra X là một mơ đun xa ảnh

B6 dé 1.2.1.4: Mọi hạng tử trực tiếp của một mơ đun xa ảnh trên R lại là xạ ảnh

Chứng mính : Giả sử rằng tổng trực tiếp X=U ® V của 2 mơ đun L và V

trên R là xạ ảnh Để chứng minh U là xạ ảnh, giả sử f : U -> B là một đồng cấu và

#: A —> B là một tồn cấu tuỳ ý cho trước những mơ đun trên R Gọi j : U -> X là

phép nhúng tự nhiên và p : X => U là phép chiếu tự nhiên Vì X là xạ ảnh nên tổn

tại một đồng cấu k : X —> A thod : gok = fop *=—>.\t

SY

*| Dos, | Ye

- - Xét đồng cấu hợp thành : h = kạj : U —-> A 2

- Vì pại là tự đồng cấu đồng nhất của U nén ta dude : goh = gokaj = fopaj = f Beu

này chứng tỏ U là mơ đun xạ ảnh Bổ để đã chứng minh xong

Thí dụ 1.2.1.5: Ta xét lại vành Z [x] là một Z- mơ đun tự do Cĩ I = (h(x) c Z(x)/ hạng tử tự do của h(xì là số chẳn] Ÿà một mơ đun con của Z{x] ta đã

chứng minh I khơng là mơ đun tự do Bây giờ ta đi chứng mình I cũng khơng là mơ

đun xạ ảnh A p dụng bồ để 1 ; Lí va bo’ fe 7.2 lá ta cân chdng andl Huế vị Và

ni tửtủ tứ” của ~ Z[x] Thật vậy, gọi P r veabertay WNT vui #ƒXK]

\ ‘teat t "i AN‹ +

fat - thức Pet (Gang tit sntcle tle 4 “2 sở ; tỷ oh frgh4 trike đtoitev3

cue{c] =) ieee 4 Z1‹J ati 4œ) phế: Ce

La» sở Ai? be la se! eh av ~ THz «€2

điểu này chứng tỏ rằng khơng tổn tại mơ đun con Ï' của Z{x] sao cho 1 ® P= Z{x]

Trang 22

Tất cá các trường hợp mà ta vừa xét đều trên vành hệ tử R là vành giao hốn, cĩ

đơn vị Bây giờ ta thử xét trên vành R là vành chính

Mệnh đề I.2.1.6 : Mọi mơ đun con M của một mơ đun tự do X trên mơi vành chính R đều là một R-mơ đun tự do

Chứng minh : Giả sử (1,0 là một cơ sở của X và p, là các hàm toa độ : my: X => R

x= Sal +a,

ip dung tiên để sắp thứ tự tốt, ta sắp thứ tư tốt tập hợp L ta gọi X, = <(l,),<, > là

mơ đun con của X sinh ra bởi các phần tử l, với j < ¡ ta đặt: M,=M 5X,

Ảnh của M, bởi hàm toa độ -, là một mơ đun con của R vậy là một iđêan

của R vì R là một vành chính nên ta cĩ : p M9) = Ra,

Giả sử a, là một phan wr M, sao chop , (a,) = a: néu @, = 0 thi ta quy ube lay a, = 0 Nhu vay ta được một họ phần tử của M : (a,), Ta sẽ chứng mình rằng ho

gồm các a, # 0 lập thành | cơ sở của M

oF Truéc hét, ho (a,),<, sinh ra M, Ta dp dung phép quy nap siêu hạn :

„ Giả sử | là phần tử bé nhất của l Wx e Mụ, ta cĩ : [4(x) € (X(Mo = Ra, Vay

pitx) = Ea, vai Ee R, nhưng a, = p,(a;)

=> pi) = Epi (ay) => pi (x-G ay) =0

Vix va a, déu thuéc M; =MoOX, va X, = ‘i => x-§ a= yk (yeR)

= O=p, (x-Ga))=yfi(l)=y vay x -G a, =

=> x -E a, tifc la M, dude sinh ra bdi a,

» Gidstt Vk < i; My, duge sinh ra bai (aj), <¥

‹ Ta sẽ chứng minh rằng M, được sinh ra bởi (aj),<, Thật vậy, Vx e M, ta CĨ (2,

(x) € p(M,) = Ra, Vậy D(X) = 6a, 6e€R vi pilx- ồa,) = p(x) = 5 p (ai)

=a, -5a,=0 -x-é8a; & M, vaik <i

Do đĩ theo giả thiết quy nạp, x - ỗ œ, là một tổ hợp tuyến tính của các (a/,<k Từ đĩ suy ra rằng x là một tổ hợp tuyến tính của các(a,)¡<, Vậy M, được

sinh ra bởi (aj),<„ Theo nguyên lý quy nạp siêu hạn, mọi M, (¡icl) đều được sinh ra

bởi họ (aj),<¡ Điều này kéo theo M được sinhra bởi họ (a,),„\

Sị Bây giờ ta chứng mình rằng họ các a, # 0 là độc lập tuyến tính Thật vậy

giả sử ngược lại rằng họ đĩ là phụ thuộc tuyến tính, tức là tổn tai một hệ thức

tuyến tính: #/đø =0 trong đĩ họ (/,)¡ e R, chỉ hữu hạn phẩn tử khác 0, với ít

tel

nhất một Ø z0 xi: ý C

Gọi m là chỉ số lớn nhất sao cho Ø,„ z0 khi đĩ ta cĩ đ_œ, #0vì!Ø, #0 và

Trang 23

=p mt Bed) =F m (LA@,) =P) m (O) = 0 Điều này mâu thuẫn Vậy họ (a,) khác khơng là độc lập tuyến tính

1.2.2 Mơ đun thương của mơ đun tự do :

Mỗi R-mơ đun Ý đều đẳng cấu với mơ đun thương của một mơ đun tự do

nào đĩ (tính đủ nhiều của mơ đun tự do)

Chứng mỉnh : Giả sử X là R-mơ đun X # 2 gọi F(X) là mơ đun tự do

sinh bởi tập X xét sơ để : j x SS AX) x“ Trong đĩ j, : X —> F(‹}) “5 X n€ềU = s Xu, m ^h”” 0 Lễ si si:

Khi đĩ tốn tại duy nhất một ánh xạ đồng cấu @ : F(X) => X sao cho :

Qoj, = 1, do 1, 1A toan cấu nên ọ là tồn cấu theo định lý Nơ te suy ra tốn tai một

đẳng cấu : @ : FCX)/g„„ => X tức X đẳng cấu với mơ đun thương của mơ đun tự do

Trang 24

Chương II : LỰC LƯỢNG CO SG CUA MO DUN TỰ DO

Tiết 1: LỰC LƯƠNG CƠ SỞ CỦA MƠ ĐUN TỰ DO

II.1.1 : Mệnh để :

Giả sử nếu các cơ sở của R-mơ đun X bất kỳ đều cĩ lực lượng vơ hạn thì hai

cơ sở bất kỳ của R-mơ đun X đều cĩ lực lượng tương đương

Chứng mỉnh :

Goi U va V la 2 co sở của R-mơ đun X, ta ký hiệu (UỊ, (Ví lấn lượt 2 lực

lượng của cơ sở U và V ta cẩn chứng minh I! =|V|

Giả sử |U|< |V|

Lay x U thì x luơn luơn biểu thị tuyến tính qua một tập hữu hạn các phẩn tử của cơ sở V Gọi tập hợp tất cả các phần tử đĩ là V, và ta đặt :

V'= L Vi

Rõ ràng V'c V và V' là hợp của một họ cĩ lực lượng | của các tập hữu

han, cũng cĩ lực lượng là |U|, nên ta cĩ |V'†= |t|

Theo giả thiết : |U|< VỊ nên Ví& Wo = 3y e VW' trong đĩ y biểu thị

tuyến tính qua 1số hữu hạn phần tử của cơ sở, chẳng hạn qua x:.x; x„ Do

X,.X: X„ biểu thị tuyến tính qua các Vụ¡, Vụ¿, Vụ„ cho nên v biểu thị tuyến tính qua tập hữu hạn " \ V Điểu này mâu thuẫn với tập V là độc lập tuyến

tính Do vậy ta cĩ |U|> V| Vậy |U|= VỊ

Vấn để đặt ra ở đây là nếu R-mơ đun X cĩ lực lượng cơ sở hữu hạn thì các cơ sở cĩ lực lượng tương đương hay khơng? Ta xét mệnh để sau :

Mệnh để II.1.2 : Giả sử X là một khơng gian vec tơ trên trường K khi đĩ hai cơ sở bất kỳ của X trên K đều cĩ cùng lực lượng

Chứng mình :

Gọi lì, b, dạ là cơ sở của khơng gian véc tơ X (n z L), ta cấn chứng mình: mọi cơ sở khác của X cũng cĩ n phần tử, nghĩa là nếu v;,vạ, V„ là các phần tử thuộc X mà độc lập tuyến tính, thì ta phải cĩ m«<n

Thật vậy, ta chỉ cần chứng mình quy nạp theo m

Trang 25

Điều nay chifng t6 |; thudc khéng gian con sinh béi cdc phan wf vy, lah l, của X và khơng gian này trùng với khơng gian vectơ X và hệ vị, l›,Ìv, |, la doc

lap tuyén tinh That vay, gid si 3 tyh, t, € K sao cho ;

UV) + toby + oe, +t), =0 Néut, +0 hic dé ta cd: i j vị =( -J¿b +(=—JtiÌl*® + (-— il, (2) / f tị từ (|) và (2) ta suy ra : t, I ƒ Kyl) + (kot = Ile + (ka + —lạ*+ + (k,+— , =0 t, t,

Do #„, z 0 nên l¡, b, I„ là hệ phụ thuộc tuyến tính Điều này mẫu thuẫn với N | bi ¿¿ l„} là cơ sở của khơng gian vec tơ X vì vậy : t¡ =0, từ đây ta cũng suy ra được ty = lì = = t„ = 0 Suy ra hệ { vụ, bị,Ìà, I,} là độc lập tuyển tính, cho nên nĩ cũng là cơ sở của X

e Theo giả thiết quy nạp và sau khi đánh số thích hợp cho các {j ta tìm được vị,

Wass Wee es tai |, lA ơ sở của khơng gian vec tơ X

Trong đĩ hạ, h; hạ ¡, bạ, bạ € K va trong bạ,bm„¿ , bạ phải tổn tại

một phần tử khác khơne Thực vậy nếu bạ, bạ¿, b„ đều bằng 0 thì mâu thuẫn với hệ {vị,vạ, v„} làTtuyến tính do đĩ : 3bi,„m,„; khác 0 Khi đĩ ta cĩ :m < n và hệ { Vị,Vạ, Vựx Ìm«ị, „ lạ} là cơ sở của khơng gian vectơ X

Đo tính chất đối xứng, tương tự ta cũng chứng minh được ‹¡ < :›› Suy ran =m Mệnh để được chứng minh ,

Như chúng ta đã biết khơng gian vectơ trên trường K là một mơ đun tự do Như vậy mệnh đề 42 ta vừa xét chứng tổ rằng mọi cơ sở của mơ đun tự do trên một trường đều cĩ lực lượng như nhau bây giờ ta thử xét nếu X là một mơ đun tự

đo trên vành giao hốn thì điểu này cịn đúng nữa khơng? Mệnh để : H.1.3 (Mơđun tự do trên vành giao hốn)

Giả sử R là vành giao hốn, khi đĩ hai cơ sở bất kỳ của cùng một R-mơ đun tự do X đều cĩ cùng lực lượng Chứng minh : Trước hết ta đi chứng mình các bổ để sau : Bổ để H.1.3.1 : Mọi vành giao hốn M z0, cĩ đơn vị đều cĩ iđêan tối đại Chứng minh :

Trang 26

Ta c6S 4 @dole ĐS, gid sƠ (B,) 1A một tập con của S, được sắp theo quan hệ thứ tự tồn phần nghĩa là với mọi chỉ số ¡, j thì ta luơn cĩ :

B,< B, hoặc B, c B, ta đặt : B = t/ B,

Ta thấy B là một iđêan của M và I£B do 1eB, và hiển nhêntacĩ Ie

B ta cĩ B e S và là cận trên của (Bị) theo b6 dé Zo m ta kết luận S cĩ phẩn tử tối đại A, phần tử tốe đại đĩ là một iđêan tối đại của M chứa L Với I = 0 thì A

chính là idéan t6i dai của M

Bổ đề HI.1.3.2 :

Mọi iđêan A của vành giao hốn M là một iđêan tối đại nếu và chỉ nếu M/A là một trường

Chứng minh :

( Gọi A là iđêan tối đại của M cẩn chứng minh M/A là một trường

Do À # <l> cho nên M/A # {0)

Lấy x+A e M/A, với x + A #0 nên x £A suy ra: Aœ A+M+eDo A tối đại cho nên ta cĩ A + Mxa=M

Suy ra 3a € À,veM:a+yx= Ì =a+vwx

Vay x +A e M/A, với x + A < 0 luơn luơn tổn tại phần tử khả nghịch y + A cho nén M/A là một trường

(<= ) M/A IA mét trudng Can chitng minh A t6i dai

do M/A la m6t truéng cho nén M # A gia sit 1 la iđêan của M ma Ag 1 ta cần chứng minh I = M, that vay, do A cI cho nén: 9x € NA: do dé x ¢ A xétx + A eM/Avax+AZ0+A * âđ3y+Ae MA sao cho : (xX+A)(y+A)=l+A => XY =l+A = xy +a = 1 (a €A)

Do x và a e l cho nên Ì elÏ =>l=M

Vậy A là iđêan tối đạtcủa M Chứng mỉnh mệnh đề H.1.3 :

Ấp dụng mệnh để IV.1, nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp R-mơ

đun X cĩ lực lượng cơ sở hữu hạn Thật vậy, do R là vành giao hốn cho nên th

bổ để II.1.3.1 tổn tại idéan A của # tối đại và theo bổ để H.1.3.2 ta cĩ R/A là một

trường

Trang 27

MOT VAI VAN ĐỀ VE MO BUN TU DO

Hién nhién AX 1a R-mé dun con cla R- mé dun © Ta xét vành thương X/AX trên trường R/A Trước hết, ta định nghĩa tích vơ hướng của phan th a+Ac R/A và x + AX e X/A như sau :

(a +®A)(x+ AX) = ơx + AX Định nghĩa này khơng phụ thuộc vào phần tử đại diện

của các lớp : Thật vậy, lấy œ + A (œ,ơ`e R)

tac6:a’ =aral(ae A) x+AX=x'+AX (X.X 6X)

=> K' =X + (aX; + AX? + + AnXy )

Kìu đĩ œ`x' = œŒX + aX + (Œ+a) (4¡X;: + + 4aX„ )

= 0X + aX + G(a¡Xị+ + AaX;)}+a (¡Xi + +a„X„)

đo R là vành giao hốn và AX là một mơ đun trên vành R cho nên ta cĩ :

aX, Œ (1;Xị+ + 8,X„) a ((8¡X¡+ 82Xà + a„X.) 6€ AX

=a’ x’ €ax+AX =a’ x'+AX=ax+AX

Với phép cộng các lớp và phép nhân vơ hướng vừa định nghĩa thì X/AX là một khơng gian vec tơ trên trường R/A

Gọi S là cơ sở của R-mơ đun tự do X Khi đĩ, với mỗi x e X thì : x= Ya,s, trong d6 (œ,), e R và chỉ hữu hạn phần tử khác khơng vel Mặt khác, lấy x+ AX © X/AX, ta cé | x+ AX = Ya.s+AX= Lia, + A)is+AX) (3) ta thay suf biéu dién cia (3) Ia eeS duy nhất thật vậy, giả sử x+ AX = +4 8, +A\(s+ AX) C+XA= 2B, 5+ AX) Mặt khác : x + XA = Sứ 3+AX) > Ÿœs +AX) = Xứ, at AN 2) i= LAREN = Sứ -Ø,R= Đan, Trong đĩ x,= 2,¿ s => 28, —Ø,R= 2a 2t, S2, 2(aib <3 = (0a, )s = “26s = dai b,, € A) mS

Điều này âu tổ d,- Ø, =€, eA =>œ¿+A= / +A chứng tỏ sự biểu diễn

(3) là duy nhất Vậy (s + AX), là cơ sở của X/AX và ta cĩ :

|S|= (s + AX)|= dim X/AX

Trang 28

MOT VAI VẤN ĐỀ VỀ MƠ ĐUN TỰ DO

H 1.4 Mơ đun tự do trên vành hữu hạn :

Giả sử R là vành hữu hạn Khi đĩ 2 cơ sở bat ky của cùng một R-mơ đun tự

đo X đều cĩ cùng lực lượng

Chứng mình :

Ap dụng mệnh để I4) ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp R-mơ đun X

Trang 29

Tiết 2: VÀNH PHỤ THUỘC

H.2.1 Vành phụ thuộc :

H.2.1.1 Định nghĩa :

Vành R được gọi là vành phu thuộc nếu như Vơ,/Ø' e R, bao giờ cũng tổn tại m n c R, khơng đồng thời bằng khơng sao cho :

m.œư+n Ø8=0

Thí dụ II.2.1.1.1 :

Xét vành Z [x] là vành đa thức với hệ số nguyên

Z [x] = (f(x) = ag â¡X + a:X”+ Pees +a,x"/a,€ Z.i= In) Trén Z[x] trang bi 2 phép tốn cộng và nhân đa thức thơng thường :

Ta cĩ Z{x] là vành phụ thuộc Thật vậy,

VÍ(x),g(x) c Z|x| : ta luơn cĩ :

g(x) Í(x) + (-f(x)) g (x) = 0 (do Z [x| là vành giao hốn)

Thí dụ H.2.1.1.2 :

Xét vành Z⁄ nZ(n #0, n khơng là số nguyên tố), là vành thương của vành Z

trên iđêan nZ Đây là vành giao hốn, cĩ ước của 0 và đây cũng là vành phụ

thuộc

Nhân xét : Vành giao hoấn R là vành phụ thuộc Thật vậy, lấy a, b e R thì

ta luơn luơncĩ ; b a+(-ab)=0

Thí dụ H.2.1.1.3 :

Cho X là I nhĩm cộng Hom (X,X) là tất cả các ánh xa đi từ nhĩm Xđến :

nhĩm X Trén Hom (X,X) ta trang bị các phép tốn cộng và nhân là các phép cộng và nhân các ánh xạ

Ta thấy (Hom (X,X), + ,® ) là một vành cĩ đơn vị là ánh xạ đồng nhất, nĩ là

một vành khơng giao hốn vì phép nhân các ánh xạ khơng cĩ tính giao hốn

Nhưng Hom (X,X) là một vành phụ thuộc

Thật vậy lấy f.g Hom(X,X) ta thấy tổn tại ánh xạ h e Hom (X.X) : h:X¬X x > h(x)= I Ta cĩ hf -hg =0 Vậy Hom(X,X) là một vành phụ thuộc 11.2.2 Ménh dé :

Giả sử R là vành phụ thuộc và #ơ,B e R, a, # 0 ,œ¿j z0 thì hai cơ sở

khác nhau của R-mơ đun tự do đều cĩ lực lượng bằng nhau

Trang 30

B6 dé 1.2.2.1 :

Nếu f là một đẳng cấu từ R-mơ đun X đến R-mơ đun Y thi f biến cơ sở của

lR-mơ đun X thành cơ sở của R-mơ đun Y Chứng minh :

Gọi {Xơ|„„ ¡ là một cơ sở của R-mơ đun X ta cần chứng mình :

(fÍ(x„)„ ¡} là một cơ sở của R-mơ đun Y *# |f(X„)„ ¡} là một hệ sinh của Y Thật vậy,

y e Y, do f là một đẳng cấu cho nên tổn tại x e X sao cho f(x) = y Hơn

nữa, đo |X„J.„„.¡ là cơ sở của X cho nên ta cĩ : X = kyX,; + koxX> + SE NNNG 6c (k, 6 R) vậy ˆ (x) = F (k,Xị + kạX;+ +kK;X„+ : = k,f(x¡) + k;Í(x;) + tha 240 + k;Í(X;)+ nghĩa là : y = kịf(x;) + kạf(xạ)+ SG) € Qeecc vậy {f(x,)„,.¡ } là hệ sinh của Y © {|Íf(x„)„.; } là độc tuyến tính, thật vậy ,

e lấy hữu hạn f(x;) Í(xạ) f(x„) e4f(x„), œ € Ip Giả sử tổn tại kạ, kạ k„ c R sao cho ;

k;f(x¡) + k;f(x;) + +k,f(x„) =0 <> f (k,x,) + f(k Xx») + + f(kyx, ) =O <> f (kK, xX; + K›Xạ+ + k.X,) =0

Do f là một đơn cấu nên ta cĩ : k,X¡ + k›X› + +k,x, =0

Hơn nữa | XI, X; Xa } C [X¿Ì¿‹¡ cho nên :

a x„ là độc tuyến tính => k, =k, = =k, =0

Vậy 4 f(x¡), f(xạ) , f(x„)}là độc lập tuyến tính, do lấy bất kỳ bộ phận hữu hạn nào của {f(x„)„.¡ } là độc lập tuyến tính Vậyá f(x,)„.¡} là cơ sở của R-

mơ đun, Y

Bổ để II.2.2.2 :

Trang 31

MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO XV =[R@R® @RO[R@R@ ORI Mặt khác ta cĩ RORG .® R|Ð[R ® R® -®R=|£ ® R@ ® R| 2X =[RORđ SRE[RORG âR]e[RđRe@ .đR] v do : =|R@RO đRè]z lRâRđ -đ#b|ÊđRe@ đ R] cho nn : x=[RđâR@ .âRkb|RđR@ âRkb|RđRđ -®RP[R®RE ®R| Quá trình này ies hiện đến hữu hạn bước | ta cĩ : Xa ROR® .® RÌ®|[R ® R ® @ R}® [R ® R @ @ R}® © [R ® R ® ® / @ệúN~#ứr mw~#ft m- #ứĩ Viy X= prdinn) Ta chọn I đủ lớn để n+l(m-n)>k và &”?!“”=*Ì cĩ cơ sở như sau : W¿=(1.0.0, 0) W›=(0.1.0 0) vị tí thứ W=(00.0 1 0) W,«„.„=(0.0,0 0, 1) Do

R"†!08~"Ì cá cơ sở là (WW¿ W «se +} Theo bổ để 1.2.2.4,

thì X sẽ cĩ cơ sở gồm (n+l(m-n)) phần tử đo n+l(m-n)>k nên trong R-mơđun X cĩ cơ sở lớn hơn k phần tử

Bổ để II.2.2.3

Giả sử R là một vành phụ thuộc thỏa Va, Be Ra #0, 8 40,a8 #0 Néu R-médun X c6 mires’ om nh phad de D0 MnaB ewe Romediin ks Aes ue it

Chứ thà) hoi 2" giải tal”

Để chứng minh bổ để 1L2.2.3 ta cẩn chứng minh : Nếu R-mơđun X cĩ một

cơ sở gốm n phần tử thì mọi tập hợp của R-mơđun X cĩ 2° phần tử đều phụ thuộc tuyến tính Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp như sau :

* Nếu X cĩ cơ sở gồm | phần tử, X=<a> ta thấy đồng cấu :

[:X -R

ra —>r, là một đẳng cấu, suy ra : X=zR

Do R là vành phụ thuộc nên Vxy,ve® bao giờ cũng tén tai a, BER

Trang 32

Điểu này chứng tỏ mọi tập hợp gồm 2 phần tử của R đều phụ thuộc tuyển * Giả sử mệnh đề đúng với n tức là R-mơđun X cĩ một cơ sở gồm n phần tử,

thì moi hệ gồm 2"phần tử của R-mơđun X đều phụ thuộc tuyến tính

* Ta cần chứng mình nếu R-mơđun X cĩ cơ sở gốm n+] phần tử thì mọi hẻ

gốm 28*°' phần tử của R-mưđun X đều phu thuộc tuyến tính Thật vậy, đo X cĩ cơ sở gồm n+l phần tử nên tạ cĩ :

X z|R® R@® ® R® R để chứng minh 2°*' phần tử của R-mơđun X đều phụ

thuộc tuyến tính tương đương chứng mình hệ cĩ 2° phẩn tử của

[R ® R ® ® R|® R đều phụ thuộc tuyến tính

"

Lấy (đi, Xị),(+, X3 ) (Øa: 42s )k‹.s (Œ+ Xa ) [R ORO Re R

trong đĩ đ!¡,Œ Œ: y yŒ-‹ € [R® R® @® RÌ VÀ X\, Xa, Xf,X;.t 6

ta cần chỉ ra : 3f,,f;,fx fa‹ „ f2.‹ € # khơng đồng thời bằng Ư sao cho :

E(t, xy ) + f+(đ+,Xa lạ 4a: (a, vĂ+: ) xxx Ho (ds )= (0,0)

Ta thay 6 (jy ,05 4 PVA Ly.) Ae sy secceeees @>} theo gid thiét quy nap thì phụ thuộc tuyến tính (với œ, e [R ® R@ ® RÌ, ¡ =l.2 ,2°!) “ Do đĩ tổn tai aj,a9, ax € R khéng déng théi bing 0 để : 80) 8xŒ++ +8„ dạ + +az On = 0 a4) và 3b.bạ, ,b# e # khơng đồng thời bằng Ĩ sao cho : bịữœ>+ „¡„ ĐạŒ+~„‡+ +b» axe =0 (8)

Mặt khác ta xét 2 phần tử a,x;, a;x++ +83 e‹.‹ +a+*' xả Và

b¡xz*.¡ bạXx~„++ +ba#„.:, hai phần tử này eR và do R là vành phụ thuộc cho nên 3kfc R suo cho:

k(a¡X;„ asXz+ +â, Xu + +a#t X⁄t) + l (bịXx#,¡, bạX#,++ +b+# x#*9)= s trong đĩ k và l khơng đồng thời bằng 0

lây giờ ta xét biểu thức sau :

kai(ứy, Xị ) + kas(đ+, Xa }+ +ka+.(đ+ Xa- )}+(b\(đ+- ,1.X+- „¡3 (Eby (Œ3- ,2vX3-‹ ,2)+ + +lb;.(đ Kạ )

=k|(a;0; a;X,)#*(asơ; a;Xạ}+ +A), Og Ay Xp) + ooo +a" ar, axe k[( barry; byX2%))+ (byte 42, DaX2 ya) +(bd¿” ,bzxz°/)|

=k(Ú.k(a:Œ¡„ ayŒ+ +g Oly + +az ơ+)+l(0, bạơ+,¡ bạ? ++ +b."

as") = (0.0) (theo các biểu thức f4) (2), (3))

Trang 33

(lb+ )(Œa- ,+.Xa- ,+Ì* + +Íb (dœ- x- )=(0.0) Fi, ibe e - - - < - - 4! 1 t

Bây gid ta cin chỉ ra trong kịa;¿, kay, Ka, f cĩ một hệ sẽ thác () Thật vây, theo đắng thức (3' : |

* Néu k#0 vA theo (1) trong các hệ số a¡.a; a„ # cĩ các phần tử khác khơng, khơng mất tính tổng quát ta giả sử a, # O(do a;và k ER), do vanh R phu thuộc cho nên ka; £ Ư

=> hệ | (ứi,ị).(đŒ+,Xạ} (Øa-‹X+-}, ::- (đŒs-.‹ Xa-e } ƒ phụ thuọc tuyển tính

* Nếu I#0 tương tự như trên 3h, # Ú=> lh, # 0(do tính chất của vành phụ thuộc R) Vậy hệ :

hệ | (đi xị),(đ+,X+Ì (0a ,Xa-}, (yo Xqei) |

phu thudc tuyén tinh

Bổ để II.2.2.3 đã chứng minh xong

Bay giờ ta chứng minh mệnh để II.2.2, ta chỉ cẩn chứng minh cho trường

hợp R-mơđun X cĩ cơ sở lực lượng hữu hạn

That vay giả sử R-mơđun X cĩ hai cơ sở là M và N sao cho |M[=m.ÌNÍ=n

€iia sử m<n

+ Theo bổ để II.2.2.2 thì trong R-mơđun X cĩ một cơ sở cĩ lực lượng lớn hơn k phần tử W& e N Ta chọn k>2”

+ Theo bổ để IIL2.23 do trong R-mơđun X cĩ cơsở gồm n phan titcho

nên mọi cơ sở khác của R-mơđun X cĩ ít hơn 2° phần tử

Điều này mâu thuẩn với m<n vậy mn

Trang 34

—

tv

~

MOT VAI VAN DE VE MO BUN TY DO

SACH THAM KHAO Ngơ Thúc Lanh ; * Đại số (Giáo Trình sau đai học ) Nhà xuất bản Giáo dục - 1985 * Đại số và Số học (tập bốn) Nhà xuất bản giáo đục - 1988

§ze-Tsen Hu : Nhập mơn Đai số Đồng Đều

Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên - 1973

Serge Lang : Dai s6 - (Phan 1) ko

Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp - 1968,

Trang 35

MUC LUC

Trang Phần I : Kiến Thức Chuẩn Bị 3

Phần II : Nội Dung 13

Chương ï : Mơ đun tự do 13

Tiết ! : Định nghĩa và tính chất của mơ đun tự do 13

Tiết 2 : Mơ đun con và Mơđun thương của mơ đun tu do 19

Chương II : Lực lượng cơ sở của mơ đun tự do 23 Tiết I : Lực lượng cơ sở của mơ đun tự do 23

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	1,88 MB