Một vài vấn đề về môđun tự do

BO GIAO DUC VA DAO TAO DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỖ CHÍ MINH LUẬN VĂN GỨ NHÂN T0ÁN CHUYEN NGANH BAI $0 MOT VAI VAN DE VE MODUN TU DO Người hướng dẫn : TS Cẩm Người thực : HUYNH TH) BOANG DUNG Người phản biện : TS Aly Oinh Quang Người phản biện : eS ae a "" Ta nói : S tập sinh A(S) hay S sinh A(S),A(S) môđun bé X chứa S Trang MOT VAI VAN DE VE MO DUN TU DO 1.2.2/ Dinh nghia : Néu phan wr x © X cd thé viet dudi dang mét t6 hop tuyn tớnh ca cỏc phintđ se S:x=Yaey (ao, â R)thita néi: x biéu thi twyén tinh qua cdc phần tử cua S L.2.3./ Định nghĩa : + Tập § c X gọi độc lập tuyến tính tổ hợp tuyến tính tất phẩn t ca S: Ơô, s=0, dộ tộn tais S cho a, + e Néus c€ § tập hữu hạn tập A X (R-mơđun) độc lập tuyển tính tập A X độc lập tuyển tính I.3/ TÍCH TRỰC TIẾP, TỔNG TRỰC TIẾP : I.3.1 : Tích trực tiếp : L.3.1.1 : Tích trực tiếp mơđun :(tổng trực tiếp môđun) 1.3.1.1.1 Định nghĩa : Giả sử A R-môđun Trên A x B = ((a,b)/a »X (a,b)>a+b i) @ đồng cấu , , V (ay,b,) (a;bạ) eA®B, Vrir; ER @ (ry, ai,by ) rạ (ap,b2 )) = @ (1, ay ry a2, rịị ¿ rạ bạ ) = (r, (ay+ by) + rạ (aa¿ +bạ ) =ri (@(ai+ bị), rạ( aạb; ) ii) — @là đơn cấu Thật vậy: Kero= [(a.b)/a +b=0|z= [(a.b)/a =-b € AQB=0)} = { (0,0)) =(0,0) iii) — @ toàn cẩu : Thật vậy, xe chọn (a.b) e ÀA ®B X=A+B :o@(a,b)=x Trang ;3a e A,beBđể x=a+b MOT VAI VAN DE VE MO DUN TY DO Kétluan :A@B =X 1.3.1.2 /Tích trực tiếp họ môđun 1.3.1.2.1/ Dinh nghĩa : : Giá sử {| Xu | „ ¡ hồ R-môđun iI Xx ={x:1—>U,X« thoa xx € Xx} =| (xx), ¡/X„ X#] xát định hai phép toán : (L(x yh + CYS (2) r(x#ly ( = (XK + VK) =r(X#) Xa, +, ¢) 14 R-mơđun Gọi tích trực tiếp ho mơđun {Xx pre; I.3.1.2.2/ Họ phép chiếu : Cho họ không rỗng R-môđun (X+ ]}#el với ~e l, xét ánh xa, tà : IX + (Xj =} Xe Xụ Rõ ràng tla toàn ánh L.3.1.2.3/ Mệnh để : Họ phép chiếu {fơ : []XY, eal -> Xeœ] œ el có tính chất phổ dụng theo nghĩa sau : Với R - môđun X với họ đồng cấu Íh, : X —> X,} tổn đồng cấu @:X-> cho: h„=[' -.0,VXxel a! —xIX[ÙX, X —*t# tức cho biểu đồ sau giao hoán : An, I.3.2./ Tổng trực tiếp : X 1.3.2.1 : Định nghĩa : f[ []X P d Cho họ không rỗng R-mô đun {X,} Mơ đun tích trực tiếp X, bao gồm tất (x,), e;¡ mà hầu hết thành phần x, = Ơ trừ mơi số hữu han gọi tổng trực tiếp họ {X,] Ky hiéu: @ X, = |(x,),e¡ e []|.V, / hữu hạn x, # } Trang MOT VAI VAN DE VE MO BUN TU DO Néu [1a hitu han Khi d6 @ X, =[].Y, 1.3.2.2/ Ho cac phép nhing : Cho ho khóng rỗng R-mơ đun [X,} ¿ e / Với #el, xét ánh xạ : Jan : Xz — @& ÄX, Xu => (Xu = o,néul h +a ,HẾU 1= Œ L.3.2.3 Mệnh để : Họ phép nhúng |¡, : X „ —> @ X, ]„ ¡ Có tính chất phổ dụng thoe nghĩa sau: Với R-mô đun X với họ đồng cấu (h,: X, -> XỊ, đồng cấu : ¡ tốn ự : @X, —> X cho hụ„ : ựf, Vơ e [, tức cho biểu để giao ief hốn : OX i| L.4./Cơ sở mơ đun : L4.1/ Định nghĩa Xu Tw, X Is : Tập không rỗng A R-mô đun X sở X : A sinh X A độc lập tuyến tính (X = : A tập sinh X) 1.4.2/ Ménh dé : Tập Ø # A c