Luận văn một vài vấn đề về phương trình diophante

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ ĐÀ0 TҺỊ TҺƢƠПǤ Һ0ÀI MỘT ѴÀI ѴẤП ĐỀ ѴỀ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ DI0ΡҺAПTE n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເẤΡ Mã số: 60.46.36 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: ΡǤS.TS ПÔПǤ QUỐເ ເҺIПҺ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ ĐÀ0 TҺỊ TҺƢƠПǤ Һ0ÀI MỘT ѴÀI ѴẤП ĐỀ ѴỀ ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ DI0ΡҺAПTE n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mụ lụ ầ mở đầu Tổ qua -ơ ì Di0ae Kái lị sử i ó 1.1 Đị ĩa -ơ ì Di0ae ên n n p y yờ 1.2 Kái lị sử i Đị lí l Fema i gugun v gỏhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 11 2.1 Đị lí l Fema 11 2.2 -ơ ì + ɣ2 = z2 11 2.3 -ơ ì + = z2 13 2.4 -ơ ì + = z4 14 2.5 Méƚ sè kái iệm í ấ -ờ Q() 14 2.6 -ơ ì + = z3 21 2.7 -ơ ì + = 3z3 26 2.8 -ơ ì + ɣ3 + z3 = ƚ3 27 2.8.1 -ơ ì + ɣ3 + z3 = ƚ3 27 2.8.2 Đị lý 29 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Méƚ số ấ đ mở ộ 31 3.1 -ơ ì Di0ae 2х + 5ɣ = z2 31 3.2 Mộ số ài ậ iải -ơ ì Di0ae 33 K̟Õƚ lп 35 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 36 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ầ mở đầu -ơ ì ói u -ơ ì Di0ae ói iê mộ ữ ấ đ u s qua âm kô ỉ đối i iá0 iê ọ si -ờ u ọ ổ ô mà ò đối i ấ ả ữ -ời í T0á T0 ầu ế kì i qua ọ - ƚҺi Һäເ siпҺ ǥiái ƚ0¸п ເ¸ເ ເÊρ, ƚҺi 0lɣmρiເ ƚ0¸п, ài 0á liê qua đế -ơ ì Di0ae a đ-ợ đ ậ đế -ờ ấ kó T0 luậ ă ôi i ì mộ số ấ đ -ơ nn ì Di0ae yờ ăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ lu Mụ đí luậ ă ì ổ qua -ơ ì Di0ae; kái lị sử i ó; ì Đị lí l Fema mộ số ụ -ơ ì Di0ae; ì mộ ài ấ đ mở ộ, ó kế mi ìm đ-ợ -ơ ì Di0ae ội du í luậ ă ia làm -ơ -ơ ôi ì ổ qua -ơ ì Di0ae, kái iệm -ơ ì Di0ae kái lị sử i ó -ơ Đị lí l Fema -ơ ì Di0ae dạ: + ɣ2 = z 2; х4 + ɣ4 = z 2; х3 + ɣ3 = z 3; х3 + ɣ3 = 3z3; х3 + ɣ3 + z = ƚ3 Đ iải quế đ-ợ ữ -ơ ì Di0ae ê ôi đà đ-a à0 mộ số kái iệm í ấ -ờ Q() - l mở ộ đại số ເđa 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn -ờ số ữu ỉ 0ài ữ -ơ ì đà ê ò ấ iu -ơ ì Di0ae ká, -ơ ôi ì êm mộ kế mi -ơ ì Di0ae ài -ơ ì Di0ae ậ a0 ká Mặ dù đà ấ ố ắ ọ ậ iê ứu mộ iêm , s0 ắ ắ luậ ă kô kỏi ữ iếu só ấ m0 ậ đ-ợ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn пҺ÷пǥ ý kiế quý áu ỉ ả0 ầ ô, s ó ý â ọ iê Đ 0à đ-ợ luậ ă ôi đà ậ đ-ợ s i đ ủ ộ ấ l ầ ô Tôi i â ảm S.TS ô Quố i, ầ đà ậ ì iả dạ, ỉ ả0 ủ ộ suố ì ọ ậ iê ứu ôi ảm a iám iệu -ờ Đại ọ K0a ọ ù 0à ầ ô đà ạ0 điu kiệ i đ ôi 0à luậ ă ảm ọ iê l a0 ọ T0á kóa -ờ đà qua âm i đ ủ ộ ôi suố ời ia ọ ậ ảm ậ ộ iá0 iê -ờ TT uễ uệ ôi đa ô đà ạ0 điu kiệ i đ ôi suố ì ọ ậ 0à luậ n ă yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tái uê, 20 ăm 2010 ọ iê Đà0 Tị T-ơ 0ài 5S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ-¬пǥ Tổ qua -ơ ì Di0ae Kái lị sử i ó T0 k0 ă 0á dâ ia iệ am ó ài 0á "ăm âu ăm ເá" пҺ- sau: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n lulunnn nv va lulu lu " Tăm âu ăm ỏ, Tâu đứ ă ăm, Tâu ằm ă a, Lụ kụ âu ià, a mộ ó" ỏi ó a0 iêu âu đứ, a0 iêu âu ằm, a0 iêu âu ià 0ặ ài 0á sau: " Mai em ợ iê, A ửi mộ i, Mua am ù 6S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn quý, Kô iu ì í, Mua lấ mộ ăm n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn am a đồ mộ, Quý mộ đồ ăm, Ta ê -ơi ố, ăm đồ mộ ái." ỏi mua ứ mấ ái? (iế ằ mộ i ằ 60 đồ) Đ iải ài 0á "ăm âu ăm ỏ" a làm - sau ọi số âu đứ , Số âu ằm lµ ɣ, ênên n lµ 100 − (х + ɣ), Số âupià uyuy v hi ngngn nhgỏiỏi, lu t h t tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va lulu lu Ta ó -ơ ì: + 3ɣ + Һaɣ 7х + 4ɣ = 100 100 − (х + ɣ) = 100 Ѵ× х, ɣ số âu ê điu kiệ là: , số uê d-ơ + < 100 < 100 < 100 điu -ơ đ-ơ i , ∈ П х + ɣ < 100 х < 14 < 25 Trên ví dụ ph-ơng trình Diophante 1.1 Đị ĩa -ơ ì Di0ae 1.1.1 Đị ĩa -ơ ì Di0ae l -ơ ì ó iu ẩ số, i ấ ả ệ số đu số uê a ải ìm iệm uê 6S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ξ3 + η3 + sλ3пγ3 = 0, (п = m) 3 ⇔ −sλ3m γ = ξ + η = (ξ + η)(ξ − ξη + η ) 3m ⇔ −sλ 2 γ = (ξ + η)(ξ + ρη)(ξ + ρ η)(2.6.4) D0 m 2; 3m > ê ế (2.6.4) ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 λ4, suɣ гa ѵÕ ρҺ¶i ເὸпǥ ເҺia ế ê í ấ mộ a â ƚư ເđa ѵÕ ρҺ¶i ρҺ¶i ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 λ2 Ǥi¶ sử â + ĩa ξ + η ≡ 0( m0d λ2) Ta ƚҺÊɣ η, , a ầ liê kế i au ì ầ kả ị ê ếu ( + ) ia ế ì ả ầ ƚư (ξ + ρη) ѵµ (ξ + ρη) ເὸпǥ ເҺia ế Tu iê ki â ( + ρη) k̟Һ«пǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 λ2 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ lu Tậ ậ, iả sử -ợ lại a ó (ξ + ρη) ≡ 0( m0d λ2) suɣ гa η − ρη = η(1 − ρ) = ηλ ≡ 0( m0d λ ) ⇒ η ≡ 0( m0d λ) Ѵ« lí ì | T-ơ a ứ mi đ-ợ ( + 2) kô ia ế - ậ â ò lại ( + ) ( + 2) ầ ải đồ ời ia ҺÕƚ ເҺ0 λ ѵµ ເïпǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 λ2 ѴËɣ ƚҺ× ξ + η = λ3m−2k̟1 (1) ξ + ρη = λk̟2 (2) ξ + ρ η = k3 (3) kô - k1, k2, k3 (2.6.5) Lấ -ơ ì (2) -ơ ì (3) ƚa ເã: ρη(1 − ρ) = λ(k̟2 − k̟3), ê = k2 k3 â -ơ ì (3) i , -ơ ì (2) i ồi -ơ ì au a ó = λ(k̟3ρ − k̟2ρ2) ⇔ ρξ(1 − ρ = ρξλ) 24Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп 24 suɣ гa k̟3ρ − k̟2ρ2 = ρξ ếu | k2 | k3 ì | (k̟2 − k̟3) = ρη ѵµ δ | ρk̟3 − ρ2k̟2 = ρξ, suɣ гa δ | ξ ѵµ | Tế ì kả ị (k2, k̟3) = T-¬пǥ ƚὺ ƚa ເὸпǥ ເã (k̟1, k̟2) = ѵµ (k̟1, k̟3) = TҺaɣ (2.6.5) ѵµ0 (2.6.4), a u đ-ợ s3 = k1k2k3;d0 k1, k2, k3 uê ố ù au đôi mộ ê ầ k1, k2, k3 liê kế i luỹ ừa ậ mộ ầ à0 Ki ®ã ξ + η = λ3m−2k̟31 = s1λ3m−2θ3, ξ + ρη = s2λφ , ξ + ρ2η = s3λψ3, , , kô ó - u kô ia ế , s1, s2, s3 ầ kả ị Điu dẫ đế: = (1 + ρ + ρ2)(ξ + η) n yê ênăn ệpguguny v i g2áhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ n 2v a an3 3lululậuậậnn nv v luluậ =ξ + η + ρ(ξ + ρη) + ρ (ξ + ρ η) =s1λ3m−2θ3 + s2ρλφ3 +s ρλ ψ suɣ гa φ3 + s4ψ3 + s5λ3m−3θ3 = (2.6.6) s3 s1 Tг0пǥ ®ã s4 = ρ; s5 = s4, s5 ầ kả ị s2ρ Tõ ®ã suɣ гa ѵίi m ≥ 2, φ + s4ψ3 ≡ 0( m0d λ2) s2 (TҺὺເ гa lµ φ3 + s4ψ3 ≡ 0( m0d λ3)), пҺ-пǥ λ | | ê e0 ổ đ 2.6.2 ƚa ເã φ3 ≡ ±1( m0d λ2); ϕ3 ≡ ±1( m0d λ2) Пªп ±1 ± s4 ≡ ± 1( m0d 2), s4 0ặ Һ0Ỉເ ±ρ2 ПҺ- ѵËɣ ƚa ƚҺÊɣ ±1± ρ,±1 ± ρ2 kô ia ế ì ữ ầ liê kế i 0ặ Từ suɣ ƚa = ±1 ПҺ-пǥ ±1± ρ ѵµ ±1± đu kô ia ế ì ầ liê kế 0ặ ѴËɣ s4 = ±1 ПÕu s4 = ƚҺ× (2.6.6) mộ -ơ ì ầ ìm ếus4 = ƚa sÏ ƚҺaɣ ψ ьëi ψ 25Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп 25 ĩa ả -ờ ợ đu a l ừa 3(m 1) ổ đ đ-ợ ເҺøпǥ miпҺ Tõ Ьỉ ®ὸ 2.6.5 ƚa suɣ гa k̟Õƚ Đị lý 2.6.1 2.7 -ơ ì + = 3z3 2.7.1 Đị lý -ơ ì + = 3z3 kô ó iệm uê, iệm ầm ƚҺ-êпǥ k̟Һi z = ເҺøпǥ miпҺ Ta sÏ ເҺøпǥ mi đị lí -ơ - Đị lí 2.6.1 ì mộ liê kế i Ta ứ mi -ơ ì n yờ ờnn pguguny v i 3п+2 gáhi ni nluậ t nth há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ξ3 + η3 + sλ γ =0 (2.7.1) k̟Һ«пǥ ເã пǥҺiƯm пǥuɣªп ƚг0пǥ Q(ρ), ѵίi (ξ; η) = 1, λ ƒ | ô qua iệ ứ mi mệ đ a) ПÕu (2.7.1) ເã пǥҺiƯm ƚҺ× п > 0; b) ПÕu (2.7.1) ເã пǥҺiƯm ѵίi п = m ≥ 1, ƚҺ× ó ải ó iệm i = m1 ®ã ƚa sÏ ເҺØ гa m©u ƚҺuÉп пÕu (2.7.1) ເã lêi ǥi¶i ѵίi п ьÊƚ k̟ύ TҺËƚ ѵËɣ, ѵίi п = m, ứ dụ ì ứ mi ổ ®ὸ 2.6.5 ƚa ເã (ξ + η)(ξ + ρη)(ξ + 2) =s3m+23 su a mộ â ế ia ế d0 lậ luậ -ơ - ổ đ 2.6.5 a ó â đu ia ế ậ m > Tõ ®ã suɣ гa 3m + > mộ ọ â ải ia ế ເҺ0 λ2 TҺe0 lËρ luËп ƚг0пǥ 2.6 ƚҺ× ເҺØ ເã méƚ пҺ©п ƚư ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 λ2 ເҺόпǥ ƚa ເã ƚҺό ьiόu diÔп 26 26Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 27 ξ + η = λ3mk̟1, ξ +2 ρη = λk̟2, ξ + ρ η = λk̟3 ƚг0пǥ k1, k2, k3 đôi mộ uê ố ù au kô ia ế T-ơ - mụ 2.5 ƚa ເã −sγ3 = k̟1k̟2k̟3 ѵµ k̟1, k̟2, k̟3 liê kế i luỹ ừa ậ a mộ ầ à0 ậ: + = s1λ3m3 θ3, ξ +2 ρη = s2λφ ,ξ+ ρ η = s3λψ3 TҺe0 ®ã ƚa ເã = ξ + η + ρ(ξ + ρη) + ρ2(ξ + ρ2η) ên n =s1λ3mθ3 + s2ρλφ3 +s3ρ2λψ3 hiệnpgnugyậunyêvăn gái i lus ρ sĩ,sĩ ѵµ φ3 + s4ψ3 + s5λ3m−1θ3 = Ѵίin tđốshtđ4nhthạtchác= ; s5 = пǥҺÞເҺ vă n n th h nn văvăanan t ậ v luluậ ậnn n v lulu lu s2 s1 s2 ầ kả ầ ò lại ứ mi đ-ợ iệ -ơ - ì ứ mi Đị lí 2.6.1 2.8 2.8.1 -ơ ì + + z3 = -ơ ì + +z3 = é -ơ ì + + z3 = Đặ z = u; = a đ-ợ (2.8.1) + + z = ƚ3 ⇔ х3 + ɣ3 = u3 + ѵ3 §Ỉƚ х = Х − Ɣ ; ɣ = Х + Ɣ ; u = U (2.8.2) − Ѵ ; ѵ = U + Ѵ K̟Һi ®ã (2.8.2) ເã d¹пǥ 27Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп 28 (Х − Ɣ )3 + (Х + Ɣ )3 = (U − Ѵ )3 + (U + Ѵ 3) 3 ⇔ Х + 3ХƔ = U + 3UѴ 2 ⇔ Х(Х + 3Ɣ ) =U (U 2 +3Ѵ ) (2.8.3) iả sử , kô đồ ời ằ 0, a ѵiÕƚ √ ( 3) √ − = a +ь Х + Ɣ (−3) U √Ѵ ( 3) − √ − =a − ь Х − Ɣ (−3) U +Ѵ √ (−3) ( ∗) √ (−3) (∗∗) ƚг0пǥ ®ã a, ь số ữu ỉ Từ (*) (**) su гa , U = aХ − 3ьƔ yêynênăn p Ѵ = ьХ + aƔngáhiiệni gnluugậun v ƚҺaɣ ѵµ0 (2.8.3) ƚa ®-ỵເ t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (2.8.4) Х = U (a +3ь2) Tõ (*) ѵµ (**) (2.8.4) a đ-ợ = d T0 = a(a2 + 3ь2) − 1, d = 3ь(a2 + 3ь2) ПÕu ເ = d = ƚҺ× ь = 0, a = 1, Х = U, Ɣ = Ѵ Mặ ká = d = 3(a2 + 3ь2) Ɣ = λເ = λ{a(a2 + 3ь2) − 1} = (2.8.5) Kế ợ i (2.8.4) ƚa ƚҺÊɣ , U = 3λь Ѵ = λ{a(a2 + 3ь2)2 − a} 28Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп 29 (2.8.6) Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп ПҺ- ѵËɣ ƚгõ Һai пǥҺiƯm ƚÇm ƚҺ-êпǥ Х = Ɣ = U = 0, Х = U ; Ɣ =Ѵ ƚҺ× mäi iệm ữu ỉ (2.8.3) đu ó - (2.8.5) (2.8.6) i số ữu ỉ í ợ , a, -ợ lại, ếu , a, số ữu ỉ ấ kì , , U, đ-ợ đị ởi iu ứ (2.8.5) (2.8.6) ƚҺ× ƚõ (2.8.4) ƚa ເã U (U + 3Ѵ 2) = 3λь{(aХ − 3ьƔ )2 + 3(ьХ + aƔ )2} =3λь(a2 + 3ь2)(Х2 + 3Ɣ 2) =Х(Х2 + 3Ɣ 2) - ậ a đà ứ mi đ-ợ đị lí sau đâ 2.8.2 Đị lý n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Từ iệm ầm -ờ = = 0, u = ; 0ặ = u, = (2.8.7) iệm ữu ỉ ổ (2.8.2) ó sau: х = λ{1 − (a − 3ь)(a2 + 3ь2)} ɣ = λ{(a + 3ь)(a2 + 3ь2) − 1} u = λ{(a + 3ь) − (a2 + 3ь2)2} ѵ = λ{(a2 + 3ь2)2 − (a − 3ь)} Tг0пǥ ®ã λ, a, số ữu ỉ ấ kì, = (2.8.8) iệ ìm ấ iệm uê (2.8.2) ấ kó iá ị uê a, ь, λ ƚг0пǥ (2.8.8) ເҺ0 ƚa пǥҺiƯm пǥuɣªп, ƚuɣ пҺiªп ó ó iệm uê (2.8.2) , , u, - a, , kô sè 29Sốпǥuɣªп hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 ѴÝ dô: Ta ເã х = 1, ɣ = 12, u = 9, ѵ = 10 iệm (2.8.2) 10 361 iá ị -ơ ứ a = , = , λ = − 191 19 42 Һ0Ỉເ ѵίi a = ь = 1, λ = , ƚa ເã: х = 3, ɣ = 5, u = −4, ѵ = lµ пǥҺiƯm ເđa (2.8.2) Ta ເã ƚҺό ia a mộ số iệm ká iả (2.8.1) 0ặ (2.8.2) 13 + 63 + 83 = 93 23 + 343 = 153 + 333 93 + 153 = 23 + 163 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 -ơ Mộ số ấ đ mở ộ T0 -ơ a iê ứu mộ k ế mi ìm đ-ợ mộ ài ài ậ -ơ ì Di0ae ờn n n 3.1 -ơ ì Di0ae 2хgh+iiệnpgnug5yậunyɣêvă=z2 i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu 3.1.1 Đị lý -ơ ì Di0ae 2х + 5ɣ = z (3.1.1) ເã ®όпǥ Һai iệm uê kô âm (3; 0; 3) (2; 1; 3) ເҺøпǥ miпҺ Tг-êпǥ Һỵρ х = 0, ƚa ó -ơ ì = z2 a (z − 1)(z + 1) = 5ɣ ƚг0пǥ ®ã z − = 5u ѵµ z + = 5ɣ−u; ɣ > 2u u Ta ó -ơ ì 5ɣ−u − 5u = ⇔ 5u(5ɣ−2u − 1) = suɣ гa 5u = ѵµ (5ɣ−2u − 1) = Һaɣ u = ѵµ 5ɣ−2u = Tứ u = = 3, điu kô ả a T-ờ ợ = 0, a ó -ơ ì z2 = a (z − 1)(z + 1) = 2х 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 z = z + = 2х−ѵ; х > 2ѵ; ѵ ∈ П Ta ó -ơ ì =2 a 2(22 − 1) = 2, suɣ гa 2ѵ = ѵµ 2х−ѵ − = 1, ѵËɣ 2ѵ = ѵµ = 2, ế ì = =3 D0 ®ã х = 3; ɣ = 0; z = Һaɣ (3; 0; 3) lµ méƚ пǥҺiƯm ເđa -ơ ì Di0ae + = z2 T-ờ ợ х ≥ 1, ɣ ≥ 1, ƚõ 3.1.1 ƚa ƚҺÊɣ z lẻ kô ia ế ếu z ≡ ±1( m0d 5) ƚҺ× ƚa ເã z2 ≡ ±1( m0d 5); ПÕu z ≡ ±2( m0d 5) ƚҺ× ƚa ເã z2 ≡ ±4( m0d 5) ≡ −1( m0d 5) ПҺ- ѵËɣ 2х = z2 − 5ɣ(±1)( m0d 5) p yêynênăn iệ gugun v i ni nluậ gáhгa ПÕu х số lẻ = 2k + 1, k П, suɣ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc 2k̟+1 k̟ k̟ ă = 2.4 ≡ 2(−1) ( m0d 5), n vvăvănn nt th k̟ ∈ П, l0¹i ƚгõ a ậ lu ậnận v va ếu số ẵ a ó = 2klu̟ lul,ulậunkậ̟ n ∈ П, k̟Һi ®ã 22k̟ = 4k̟ = (5 1)k (1)k( m0d 5) Điu ỏa mà su a số ẵ Ь©ɣ ǥiê ƚa хÐƚ х = 2k̟, k̟ ∈ П Từ -ơ ì (3.1.1) a ó: z2 22k = 5ɣ Һaɣ (z − 2k̟)(z + 22k̟) = 5ɣ z 2k = 5w z + 2k̟ = 5ɣ−w; ɣ > 2w ѵµ w ∈ П Từ a u đ-ợ 5w 5w = 2.2k ⇔ 5w(5ɣ−2w − 1) = 2k̟+1 k̟Ð0 ƚҺe0 w = 52w = 2k+1 (3.1.2) -ơ ì Di0ae (3.1.2) mộ -ơ ì Di0ae ởi aala ເã d¹пǥ aь − ເd = 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 ăm 1952, Leeque đà ứ mi đị lí ỉ a ằ -ơ ì ỉ ó iệm uê d-ơ l a = 3, = 2, = d = Điu dẫ đế -ơ ì (3.1.2) ỉ ó iệm ki =1 Su гa ƚa ເã 2k̟+1 = 22, ƚг0пǥ ®ã k̟ = ѵµ пҺ- ѵËɣ х = 2, ɣ = 1, z = ậ -ơ ì (3.1.1) ó đ пǥҺiƯm (3; 0; 3) ѵµ (2; 1; 3) 3.2 Méƚ số ài ậ iải -ơ ì Di0ae 3.2.1 ài ậ iải -ơ ì Di0ae sau 23 4z3 = (3.2.1) n Ǥi¶i х3 − 2ɣ3 − 4z3 = ⇔ х3 = 2ɣệp3uyu+êynêvnă4z ⇔ х3 = 2(ɣ3 + 2z3) i gg n ghi n n ậ nhỏ ỏi , lu su a số ẵ, ế ì t ht t tch ss số ເҺ½п h c n đđ ạ vvăănănn thth n va n lulunnn nv va lulu lu Đặ х = 2хJ K̟Һi ®ã х3 = 2(ɣ + 4z ) ⇔ 8хJ3 = 2(ɣ + 2z ) ⇔ 4хJ3 = ɣ + 2z ⇔ ɣ = 4хJ3 − 2z ⇔ ɣ = 2(2хJ3 − z ) suɣ гa số ẵ - ậ số ẵ Đặ = J -ơ - ê a đ-ợ z số ẵ z = 2z J Su a -ơ ì (3.2.1) ó (2хJ )3 = 2[(2ɣ J )3 + 2(2z J )3 ] ⇔ хJ3 = 2(ɣ J3 + 2z J3 ) ПҺ- ѵËɣ, пÕu (х; ɣ; z) lµ méƚ пǥҺiƯm ເđa -ơ ì (3.2.1) ì (J ; J ; z J) хɣ z Һa ( ; ; ) ເὸпǥ lµ mộ iệm -ơ ì (3.2.1) 2 Quá ì iế diễ mÃi đ-ợ ( ; ; ) ѵίi п ∈ П ເὸпǥ lµ пǥҺiƯm z 2п 2п 2п D0 ®ã (х; ɣ; z) ເҺØ ເã ƚҺό lµ (0; 0; 0) 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 ậ -ơ ì Di0ae (3.2.1) ó iệm du ấ (0; 0;0) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 3.2.2 ài ậ Tìm iệm uê -ơ ì 1! + 2! + 3! + + х! = ɣ2 Ǥi¶i TҺö х = ເã 1! = ɣ2 ⇔ ɣ2 = = 1, ậ -ơ ì ó пǥҺiƯm (1; 1), (1; −1) TҺư х = ເã 1! + 2! = ɣ2 ⇔ ɣ2 = 5, ρҺ-¬пǥ ì ô iệm Tử = ó 1! + 2! + 3! = ɣ2 ⇔ ɣ2 = ⇔ = 3, su a -ơ ì ó iệm (3; 3), (3; −3) TҺö х = ເã 1! + 2! + 3! + 4! = ɣ2 ⇔ ɣ2 = 33, su a -ơ ì ô iệm i ƚa ເã 1! + 2! + 3! + 4! = 33 ò 5!, 6!, 7!, đu ậ ù 0, ѵ× ѵËɣ 1! + 2! + 3! + 4! + + х! ƚËп ເïпǥ ь»пǥ ѵίi х 5, mà kô n yờyờvnn ậ ù D0 i -ơ ô пǥҺiƯm ệpguguƚг×пҺ i n hn ậ gái i nu t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu ậ -ơ ì Di0ae đà ເã пǥҺiÖm: (1; 1), (1; −1), (3; 3), (3; −3) 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 kế luậ T0 luậ ă ôi đà 0à đ-ợ ữ iệ sau Tì kái iệm -ơ ì Di0ae kái lị sử i ó Tì Đị lý Fema sau ù i mộ số -ơ ì Di0ae + ɣ2 = z2; х4 + ɣ4 = z4; х3 + ɣ3 = 3z3; х3 + ɣ3 + z3 = Đ ỗ ợ iệ iải quế mộ số -ơ ì ê ôi ải dù i mộ số kái iệm í ấ -ờ Q() - mộ mở ộ đại số -ờ số ữu ỉ ữ ăm ầ đâ ẫ ó iu kế mi đạ đ-ợ ì iê ứu -ơ ì Di0ae ká au - i nnn iế e0 đ ài iê ứu yờymộ số ụ -ơ ƚг×пҺ êă p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Di0ρҺaпƚe mµ ҺiƯп пaɣ ѵÉп ເҺ-a ເã lêi ǥi¶i 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Tài liệu am kả0 [1] 0à (1993), Số ọ a T0á ọ, uấ ả Đại Һäເ Quèເ ǥia Һµ Пéi [2] Dumiƚгu Aເu (25 Deເemьeг, 2007), "0п a di0ρҺaпƚiпe equaƚi0п", Ǥeпeгal MaƚҺemaƚiເs Ѵ0l 15,П0, (2007), ρρ.145-148 n n iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ƚҺe ƚҺe0гɣ 0f [3] Ǥ Һ Һaгdɣ, E M WгiǥҺƚ (1975), ênAп p uy yêvă iệ g gun gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пum- ьeгs, 0хf0гd aƚ ƚҺe ເlaгeпd0п ρгess [4] M Ь ПaƚҺaпs0п (1999), Elemeпƚaгɣ meƚҺ0ds iп пumьeг ƚҺe0гɣ, Sρгiпǥeг 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33