Các nội dung chính của môn học bao gồm các kĩ năng thiết lập mô hình và giải mô hình từ tình huống thực tế nhờ lý thuyết về quy hoạch tuyến tính QHTT, các ứng dụng và thuật toán để giải
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Bài toán 1
Có 3 loại cám heo I, II và III chứa thành phần như sau: bột cá, bột đậu và bột thịt Hàm lượng các loại bột trong 100g cám và giá mua mỗi đơn vị của mỗi loại cám như sau:
Bột cá Bột đậu Bột thịt Giá ( Ngàn đồng)
Mỗi khẩu phần ăn yêu cầu cần phải có 5 đơn vị bột cá, tối thiểu 4 đơn vị bột đậu và tối đa 8 đơn vị bột thịt Cần tìm một loại cám sao cho chi phí ít nhất và đầy đủ dinh dưỡng Hãy lập mô hình toán học của bài toán
Gọi X1, X2, X3 lần lượt là hàm lượng các loại bột trong 3 loại cám
Tối thiểu 4 loại bột cá: 20x1+ 20x2+ 30x3 ≥ 4
Tối đa 8 loại bột thịt: 20x1+ 30x2+ 20x3 ≤ 8
Cần tìm một loại cám sao cho chi phí ít nhất và đủ dinh dưỡng:
Vậy mô hình của bài toán là:
1.1.3 Lập bài toán đối ngẫu g(y) = 5y1 + 4y2 + 8y3 → Max
Từ bài toán gốc, ràng buộc 2 trừ đi ẩn phụ X4 ≥ 0, ràng buộc 3 cộng thêm ẩn phụ X5 ≥ 0 thì ta sẽ được bài toán dạng chính tắc:
- Tất cả các hệ số tự do bj ≥ 0
Ma trận hệ số các ràng buộc:
Vì ma trận A thiếu vecto đơn vị thứ 1 và thứ 2 nên ta thêm ẩn giả X6 ≥ 0 vào ràng buộc 1, X7 ≥ 0 vào ràng buộc 2, hệ số các ẩn giả trong hàm mục tiêu là +M do f(x) → Min Ta được bài toán dạng chuẩn:
Ma trận hệ số các ràng buộc:
Ma trận A có đủ 3 vecto đơn vị ⇒ Bài toán đã được đưa về dạng chuẩn Ẩn cơ bản 1 là X6, ẩn cơ bản 2 là X7, ẩn cơ bản 3 là X5
Hệ số Ẩn cơ bản
Hệ số Ẩn cơ bản
Hệ số Ẩn cơ bản
Vậy phương án tối ưu là X* = ( 1/10; 0; 7/100; 0; 467/100) và giá trị của phương án tối ưu là f(x*)= 7/10
1.1.5 Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu
Vì PATƯ của bài toán gốc x*= (1/10; 0; 7/100) và f(x*)= 7/10 nên PATƯ của bài toán đối ngẫu là nghiệm của hệ:
Thay x* vào ràng buộc 3 của bài toán gốc: 3.4 ≠ 0 ⇒ y3 = 0
Sau khi giải hệ phương trình ta được PATƯ của bài toán đối ngẫu y*= (-1/10; 3/10; 0) và g(y*) = 7/10
1.1.6 Sử dụng phần mềm để kiểm tra lại kết quả
* Kiểm tra kết quả bài toán gốc:
1.1.7 Kết luận, nêu ý nghĩa của kết quả Để tìm được loai cám có chi phí ít nhất và đủ dinh dưỡng thì ta cần sử dụng hàm lượng 1/10 bột cá, 0 bột đậu, 7/100 bột thịt với mức chi phí ít nhất là 700 đồng
Bài toán 2
Một công ty sản xuất quần áo muốn sản xuất 3 loại sản phẩm: quần ngắn, áo, quần dài, để sản xuất 3 sản phẩm cần 2 chất liệu: vải, lụa Công ty đang có số lượng vãi là 10000m và số lụa tối đa là 12000m và đầy đủ các chất liệu khác Lượng vải, lụa và cho phí sản xuất cần để sản xuất cho 1 sản phẩm là:
Quần ngắn (m) Áo Quần dài
Chi phí 25 (ngàn đồng) 20 30 Để đáp ứng cho thị trường, yên cầu phải có tổng tối thiểu 2000 sản phẩm và tổng số lãi thu được lớn nhất
Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số lượng quần ngắn, áo, quần dài được sản xuất: ĐK: x1, x2, x3 ≥ 0
Tổng lượng vãi cần là (10000m)
Tổng lượng lụa là (tối đa 12000m)
Tổng lượng sản phẩm (tối thiểu 2000 sản phẩm)
Số tiền lãi thu được là:
1.2.2 Mô hình bài toán là:
Mô hình bài toán là:
Bài toán có dạng chuẩn:
THÊM ẨN GIẢ VÀO RB2 LÀ X6, RB3 LÀ X7
Vậy phương án tối ưu của bài toán gốc x*(5000, 0,0) thay vào các ràng buộc ta có:
Vậy phương án tối ưu Y*(12.5;0;0) hàm mục tiêu G(y) có giá trị: 125000
1.2.6 Sử dụng phần mềm hỗ trợ để kiểm tra lại kết quả
1.2.7 Kết luận/ nêu ý nghĩa của kết quả Ý nghĩa: để công ty tiết kiệm được chi phí sản xuất 125000 thì công ty nên sản xuất 500 quần ngắn để có tổng số lãi lớn nhất không sản xuất áo và quần dài
Bài toán 3
Cửa hàng Trái cây nhập khẩu có bán 3 loại trái cây phổ biến gồm: Quýt, Nho xanh, Chery Có 3 khách hàng cần mua 3 loại trái cây này, số lượng trái cây có sẵn ở cửa hàng trong ngày là 20kg Quýt, 18kg Nho xanh, 30kg Chery Số lượng trái cây khách hàng có nhu cầu mua được cho trong bảng:
Chị Hoa 2kg 1kg 1kg
Chị Nga 1kg 2kg 3kg
Chị Yến 2kg 1kg 2kg
Cửa hàng muốn lên kế hoạch bán trái cây để thu được số lãi nhiều nhất Yêu cầu mỗi ngày bán được ít nhất 16kg Chery và phải bán hết 18kg Nho xanh mỗi ngày
1.3.2 Mô hình bài toán là
Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số lượng Nho xanh, Chery, Táo Envy (kg) ĐK: x1, x2, x3 ≥ 0
- Lượng Quýt mà cửa hàng cần bán là:
- Lượng Nho xanh mà cửa hàng cần bán là:
- Lượng Chery mà cửa hàng cần bán là:
- Số tiền lãi thu được là:
Vậy mô hình bài toán là:
1.3.3 Bài toán đối ngẫu là:
Ta có bài toán dạng chính tắc:
⁃ Thêm ẩn giả x6 vào ràng buộc 2 và x7 vào ràng buộc 3
⁃ Hệ số ẩn giả trong hàm mục tiêu là –M
Ta có bài toán dạng chuẩn:
Hệ số Ẩn cơ bản
Vậy phương án tối ưu của bài toán là X* = (x1; x2; x3) = (3; 0; 5) và giá trị của phương án tối ưu là f(x*) = 18
1.3.5 Tìm phương án tối ưu cho bài toán đối ngẫu
⁃ Tìm các cặp ràng buộc đối ngẫu:
⁃ Tìm hệ phương trình tối ưu (theo y):
Ta có phương án tối ưu của bài toán gốc là x* = (x1; x2; x3) = (3; 0; 5) thay vào các cặp ràng buộc đối ngẫu phía trên, ta có:
Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y* = (y1; y2; y3) = (0; 1; 0) và giá trị phương án tối ưu là g(y*) = 18
Như vậy cửa hàng Trái cây nhập khẩu muốn thu được số lãi nhiều nhất trong ngày cần thực hiện theo kế hoạch bán 3kg Quýt và 5kg Chery sẽ thu được số tiền lãi là 18 USD
Nội dung của Chương 2 là Bài toán vận tải, gồm có 4 bài:
Bài toán 1: Tổng phát < Tổng thu – Nguyễn Trung Hậu thực hiện
Bài toán 2: Cân bằng thu phát – Nguyễn Trung Hậu thực hiện
Bài toán 3: Tổng phát > Tổng thu – Nguyễn Duy Khang thực hiện
Bài toán 4: Bài toán có ô cấm – Huỳnh Thị Mỹ Lệ thực hiện
BÀI TOÁN VẬN TẢI
Bài toán 1 (Tổng phát Tổng thu)
Có ba cơ sở phân phối xi măng A, B, C phân phối cho 3 công trình I, II, III Bảng sau đây cho biết số lượng phát hành của mỗi cơ sở và số lượng xi măng yêu cầu của mỗi cửa hàng (dvt: bao), đồng thời cũng cho biết thời gian cần thiết để vận chuyển xi măng từ cơ sở phát hành đến các công trình (dvt: giờ)
Thời gian vận chuyển đến các công trình
Nhu cầu của các công trình
Hãy lập mô hình bài toán vận tải tìm phương án phân phối và vận chuyển xi măng sao cho tổng thời gian vận chuyển là nhỏ nhất
2.1.2 Lập mô hình bài toán
Gọi x11, x12, x13 lần lượt là số bao xi măng cần vận chuyển từ cơ sở A đến các công trình I, II và III
Gọi x21, x22, x23 lần lượt là số bao xi măng cần vận chuyển từ cơ sở B đến các công trình I, II và III
Gọi x31, x32, x33 lần lượt là số bao xi măng cần vận chuyển từ cơ sở C đến các công trình I, II và III
⇒ Thêm điểm phát giả P4 có lượng hàng a4 = 119-71= 48 Cước phí các ô giả bằng 0
Vậy phương án cơ bản ban đầu X0= 18 21 0 và cước phí f (x0)= 259 (đvt)
⇒ Phương án không suy biến
Quy 0 cước phí ô chọn, ta được:
Do còn ô loại có cước phí < 0 ⇒ X0 chưa tối ưu
Do tất cả các ô loại có cước phí ≥ 0
2.1.4 Sử dụng phần mềm hỗ trợ để kiểm tra lại kết quả
2.1.5 Kết luận/ ý nghĩa của kết quả
+39 bao xi măng ở cơ sở Achuyển 24 bao cho công trình I và 15 bao cho công trình II.
+12 bao xi măng ở cơ sở Bchuyển hết cho công trình II.
+20 bao xi măng ở cơ sở Cchuyển 6 bao cho công trình IIvà 14 bao cho công trình III.
Bài toán 2 ( Cân bằng thu phát)
Có 4 đại lý ở Đà Nẵng, Bảo Lộc, Huế và Hà Tĩnh cần phân phối cho 3 nhà máy tiêu thụ ở Hồ Chí Minh, Bình Dương, Đồng Nai Bảng sau cho biết lượng hàng ở mỗi kho và lượng hàng yêu cầu ở mỗi nơi tiêu thụ (đv: sản phẩm), đồng thời cũng cho biết chi phí vận chuyển (ngàn đồng) mỗi sản phẩm từ các đại lý các nhà máy tiêu thụ Đại lý phân phối Lượng hàng Chi phí vận chuyển đến các nhà máy
Hồ Chí Minh Bình Dương Đồng Nai Đà Nẵng 100 3 7 1
Hãy lập mô hình bài toán và tìm phương án vận chuyển tối ưu
2.2.2 Lập mô hình bài toán
Gọi x11, x12, x13 lần lượt là số lượng sản phẩm cần vận chuyển từ đại lý ở Đà Nẵng đến các nhà máy ở Hồ Chí Minh, Bình Dương, Đồng Nai
Gọi x21, x22, x23 lần lượt là số lượng sản phẩm cần vận chuyển từ đại lý ở Bảo Lộc đến các nhà máy ở Hồ Chí Minh, Bình Dương, Đồng Nai
Gọi x31, x32, x33 lần lượt là số lượng sản phẩm cần vận chuyển từ đại lý ở Huế đến các nhà máy ở Hồ Chí Minh, Bình Dương, Đồng Nai
Gọi x41, x42, x43 lần lượt là số lượng sản phẩm cần vận chuyển từ đại lý ở Hà Tĩnh đến các nhà máy ở Hồ Chí Minh, Bình Dương, Đồng Nai Điều kiện: 𝑥 𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1,4̅̅̅̅; 𝑗 = 1,3̅̅̅̅
Tổng lượng phát: 100 + 150 + 250 + 150 = 650 (sản phẩm)
Tổng lượng thu: 150 + 200 + 300 = 650 (sản phẩm)
Bài toán cân bằng cân bằng hết hàng nhận đủ hàng tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất
Vậy phương án cơ bản ban đầu X0= 0 0 100 và cước phí f(X0)= 3300 dvt
Số ô chọn là 5 m+n-1=6 ⇒ bài toán suy biến
Bổ sung ô (1;1) (trừ ô (1;2) và (2;2)) (không tạo vòng) Quy 0 cước phí ô chọn:
Do còn ô loại có cước phí < 0
+ Ô đưa vào là ô (3;1) vì c31 âm nhỏ nhất
+ Ô đưa ra là ô (1;1) vì x11 nhỏ nhất
Ta có phương án mới:
Quy 0 cước phí ô chọn, ta có:
Do tất cả các cước phí ≥ 0
2.2.4 Sử dụng phần mềm hỗ trợ để kiểm tra lại kết quả
2.2.5 Kết luận/ ý nghĩa của kết quả
+ 100 tấn hàng ở Đà Nẵng chuyển hết cho Đồng Nai
+ 150 tấn hàng ở Bảo Lộc chuyển hết cho Đồng Nai
+ 250 tấn hàng ở Huế chuyển 200 tấn cho Bình Dương và 50 tấn cho Đồng Nai + 150 tấn hàng ở Hà Tĩnh chuyển hết cho Hồ Chí Minh
Bài toán vận tải (Tổng phát > Tổng thu)
Nhà cung cấp Nhất Việt chuyên sản xuất nội thất có 3 chi nhánh 1,2,3,4 cung cấp đồng loại 1 sản phẩm là ghế gỗ (đvt: cái) cho 3 phường: An Tây, An Điền, Phú an Bảng sau cho biết số lượng phát của cửa hàng và lượng hàng mua kể cả chi phí vận tải( ngàn đồng/ghế)
Hảy lập mô hình bài toán vận tải và tìm phương án phân phối, vận chuyển sao cho chi phí nhỏ nhất
Gọi xij là lượng hàng chuyển từ kho từ 4 chi nhánh: (Ai1) chi nhánh 1, (Ai2) chi nhánh 2, (Ai3) chi nhánh 3, (Ai4) chi nhánh 4 đến 3 phường: (Bj1) Phường
An Tây, (Bj2) An Điền, (Bj3) Phú An với chi phí được cho
Thêm điểm phát giả t4 (nơi bán khác) có lượng hàng A4 = 130 - 120 = 10 Cước phí các ô giả bằng 0
Vậy phương án thấp nhất là X 0 =(
2.3.4 Ý Nghĩa: thứ nhất chi nhánh 1 vận chuyển 3 phường: An Tây 15 ghế, An Điền 5 ghế Chi nhánh 2 vận chuyển 2 phường : An Tây 10 ghế, Phú An 50 ghế
Chi nhánh 3 vận chuyển cho An Tây 20 ghế
Chi nhánh 4 vận chuyển cho An Điền 20 ghế
Bài toán 4 (Bài toán có ô cấm)
Công ty Bách Hóa Xanh có 4 cửa hàng có nhu cầu cần mua đường trắng với số lượng lần lượt là: 20kg cho cửa hàng ở Quận 9, 10kg cho cửa hàng ở Quận 12, 60kg cho cửa hàng ở TP.Thủ Đức và 60kg cho cửa hàng ở Quận Bình Thạnh Công ty Bách
Hóa Xanh đã đặt mua đường ở 3 công ty sản xuất đường với khả năng cung ứng là:
30kg – Công ty QFV, 30kg – Công ty KCP, 90kg – Công ty Mía đường 2 Cước vận chuyển (ngàn đồng/kg) từ công ty đường đến các cửa hàng được cho trong bảng sau:
Lập kế hoạch vận chuyển đường từ các công ty sản xuất đường đến các cửa hàng của công ty Bách Hóa Xanh sao cho tổng chi phí vận chuyển là thấp nhất Biết rằng quãng đường từ công ty KCP đến cửa hàng ở Thủ Đức và quãng đường từ công ty Mía đường 2 đến cửa hàng quận 12 đang bị hư hỏng nặng không thể đi được
⁃ Gọi X11,X12, X13, X14 lần lượt là cước phí vận chuyển từ công ty QFV đến các cửa hàng Quận 9, Quận 12, TP.Thủ Đức và Quận Bình Thạnh của công ty
⁃ Gọi X21, X22, X23, X24 lần lượt là cước phí vận chuyển từ công ty KCP đến các cửa hàng Quận 9, Quận 12, TP.Thủ Đức và Quận Bình Thạnh của công ty
⁃ Gọi X31, X32, X33, X34 lần lượt là cước phí vận chuyển từ công ty Mía đường
2 đến các cửa hàng Quận 9, Quận 12, TP.Thủ Đức và Quận Bình Thạnh của công ty Bách Hóa Xanh ĐK: xij≥0; 𝑖 = 1,3̅̅̅̅; 𝑗 = 1,4̅̅̅̅
Bài toán cân bằng cân bằng hết hàng nhận đủ hàng tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất
Khả năng cung cấp đường của công ty QFV cho các cửa hàng là:
Khả năng cung cấp đường của công ty KCP cho các cửa hàng là:
Khả năng cung cấp đường của công ty Mía đường 2 cho các cửa hàng là:
Nhu cầu mua đường của cửa hàng ở quận 9 là: x11 + x12 + x13 (kg)
Nhu cầu mua đường của cửa hàng ở quận 12 là: x21 + x22 + x23 = 10 (kg)
Nhu cầu mua đường của cửa hàng ở TP Thủ Đức là: x31 + x32 + x33 = 60 (kg)
Nhu cầu mua đường của cửa hàng ở quận Bình Thạnh là: x41 + x42 + x43 = 60 (kg)
Tổng cước phí vận chuyển là:
X11 + X12 + X13 + X14 + X21 + X22 + X23 + X24 + X31 + X32 + X33 + X34 → min Vậy mô hình bài toán là:
Do quãng đường từ công ty KCP đến cửa hàng ở Thủ Đức tức ô (2;3) và quãng đường từ công ty Mía đường 2 đến cửa hàng quận 12 tức là ô (3;2) đang bị hư hỏng nặng không thể đi được nên tiến hành thêm M làm ẩn giả vào 2 ô cấm, ta có bảng sau:
⁃ Ta có: m + n – 1 = 3 + 4 - 1 = 6 = số ô chọn → Phương án cơ bản không suy biến
⁃ Kiểm tra tính tối ưu:
Vì ∆ 22 =M-11 < ∆ 24 = M – 7 > 0 → Tiến hành cải thiện phương án và chọn 𝑐 24 làm ô điều chỉnh, ta có phương án mới:
⁃ Ta có: m + n – 1 = 3 + 4 - 1 = 6 = số ô chọn → Phương án cơ bản không suy biến
⁃ Kiểm tra tính tối ưu:
⁃ Ta có phương án tối ưu của bài toán mở rộng:
⁃ Giá trị tối ưu của bài toán mở rộng: f(X) = (10*2 + 20*6 + 20*4 + 10*2 + 40*6 + 50*1 = 530 (ngàn đồng)
Vì phương án tối ưu của bài toán mở rộng có lượng hàng của ô cấm (2,3) là 0 nên bài toán gốc có phương án tối ưu là: X o = [
⁃ Vậy phương án vận chuyển đường để chi phí vận chuyển nhỏ nhất là:
Vận chuyển 10kg đường từ công ty QFV đến cửa hàng ở quận 12 và 20kg đường đến cửa hàng ở TP.Thủ Đức
Vận chuyển 20kg đường từ công ty KCP đến cửa hàng ở quận 9 và 10kg đến cửa hàng ở quận Bình Thạnh
Vận chuyển 40kg đường từ công ty Mía đường 2 đến cửa hàng ở TP Thủ Đức và 50kg đến cửa hàng ở quận Bình Thạnh
Nội dung của Chương 3 là Bài toán phân công, gồm có 3 bài:
Bài toán 1: Phân công công việc cho công nhân ở một công trình xây dựng – Nguyễn Trung Hậu thực hiện
Bài toán 2: Phân công công việc cho nhân viên ở một quán Trà sữa – Nguyễn Duy Khang thực hiện
Bài toán 3: Phân công công việc cho nhân viên ở một quán Pizza Hurt – Huỳnh Thị Mỹ Lệ thực hiện
BÀI TOÁN PHÂN CÔNG
Bài toán 1
Một công trình xây dựng ở Bình Dương gồm có 5 công nhân đang làm việc là Mạnh, Nam, Khang, Lệ, Trí và 5 công việc cần thực hiện là xếp gạch, trộn hồ, đầm nền, xếp đá và uốn sắt Thời gian để các công nhân thực hiện các công việc đó được cho như bảng dưới đây:
Xếp gạch Trộn hồ Đầm nền Xếp đá Uốn sắt
Hãy phân công cho mỗi công nhân một công việc sao cho tổng thời gian làm việc (đvt: phút) là nhỏ nhất
Do số 0 bị gạch nhỏ hơn số công việc đã cho nên ta sẽ có ma trận chi phí mới:
Mạnh – Trộn hồ với thời gian là 40 phút
Nam – Đầm nền với thời gian là 18 phút
Khang – Xếp đá với thời gian là 40 phút
Lệ - Uốn sắt với thời gian là 15 phút
Trí – Xếp gạch với thời gian là 35 phút
Tổng thời gian thực hiện 5 công việc là 148 phút
Bài toán 2
Một quán trà sữa nổi tiếng ở TDM có 5 đơn tương ứng với 5 địa điểm xung quanh TDM có 5 nhân viên đi giao mỗi người 1 địa điểm Hảy lập bài toán phân công sao cho nhân viên giao hàng giao với thời gian (phút) ngắn nhất
CMT8 Ngô quyền HV lũy HV Nghệ Yersin
Vậy Khang đã giao trà sửa ở CMT8(15 phút), hậu giao ở Yesin(15 phút), Lệ giao ở HV Nghệ (15 phút), Phước giao ở HV Lũy (15 phút) và cuối cùng là Hung giao ở Ngô Quyền (19 phút) Vậy tổng thời gian giao ngắn nhất là 79 phút cho 5 địa điểm
3.2.4 Sử dụng phần mềm hổ trợ:
Bài toán 3
Quán Pizza Hurt ở Thuận An có 5 đơn hàng cần đi giao cùng với đó có 5 địa điểm lần lượt là: Bình Nhâm, Bình Đức, Bình Hòa, Cách mạng tháng Tám, An Phú Ứng với 5 địa điểm trên có 5 nhân viên giao hàng gồm Dũng, Nam, Bảo, Lộc, Minh
Hãy phân công cho mỗi nhân viên đi giao 1 địa điểm, sao cho tổng thời gian tính bằng (phút) là nhỏ nhất Địa điểm
Bình Nhâm Bình Đức Bình Hòa CMT8 An Phú
Ta có ma trận chi phí:
Bảng phân công dựa vào ma trận chi phí
NHÂN VIÊN ĐỊA ĐIỂM GIAO HÀNG THỜI GIAN (Phút)’[
Bảo Cách mạng tháng Tám 5
Vậy Dũng đi giao ở An Phú, Nam giao ở Bình Hòa, Bảo giao ở Cách mạng tháng Tám, Lộc giao ở Bình Nhâm, Minh giao ở Bình Đức thì tổng thời gian đi giao ngắn nhất là 51 phút