Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích sóng truyền trong dầm Composite có tách lớp bằng WSFEM

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Phân tích mô hình dầm composite có tách lớp sử dụng phương pháp biến đổi phần tử hữu hạn phổ wavelet WSFEM.. TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TÓM TẮT Mô hình dầm composit

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Chẩn đoán kỹ thuật là một lĩnh vực đang được sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam Chẩn đoán kỹ thuật có vai trò đặc biệt quan trọng cho các đối tượng kỹ thuật Trong đó, việc phát hiện, đánh giá các khuyết tật và hư hỏng trong kết cấu đã và đang nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả Các khuyết tật này có ảnh hưởng rất lớn đến khả năng chịu lực và tuổi thọ của công trình Trong nhưng năm gần đây, nhiều phương pháp xác định hư hại, khuyết tật trong kết cấu được phát triển dựa vào các thông số động lực học với các giải thuật và cơ sở dữ liệu thử nghiệm khác nhau, với những ưu nhược điểm khác nhau Để phát triển hoặc lựa chọn SDIM (structural damage identification method) đáng tin cậy, phù hợp thì cần phải hiểu rõ mức độ ảnh hưởng khuyết tật, hư hại trên các đặc tính động lực học của kết cấu Nhiều nhà nghiên cứu đã khảo sát hư hại bao gồm những thay đổi về tần số tự nhiên (natural frequency), dạng dao động (mode shape), và đường cong dao động (curvature mode shape) với sự thay đổi vị trí và mức độ hư hại

Một số phương pháp xác định hư hại như:

- Phương pháp tần số tự nhiên (Natural frequency-based methods) - Phương pháp dạng dao động ( Mode shape – based methods) - Phương pháp đường cong biến dạng

- Phương pháp dựa vào các thông số modal

Phương pháp tần số tự nhiên sử dụng sự thay đổi tần số như những tính năng cơ bản để xác định hư hại, các tần số tự nhiên được đo lường thuận lợi và ít bị ảnh hưởng của nhiễu (noise) Liang et al [26] phát triển phương pháp dựa vào ba tần số tự nhiên uốn để xác định vị trí vết nứt và đánh giá mức độ hư hại trong dầm công xôn Phương pháp này xem vết nứt như một lò xo xoay và nhận độ cứng của nó với vị trí vết nứt cho ba tần số modes thông qua phương trình đặc trưng Chinchalkar [27] sử dụng phần tử hữu hạn dựa vào phương pháp số tương tự như phương pháp bán phân tích

3 sử dụng kĩ thuật Frobenius để giải quyết các phương trình vi phân chủ đạo và sau đó sử dụng phương pháp số để nhận vị trí vết nứt Cách tiếp cận này là tương đối dễ dàng để áp dụng đối với các điều kiện biên khác nhau và chiều cao thay đổi của dầm có thể được mô hình dễ dàng

Kim và Stubbs [28] đã đề xuất một phương pháp chỉ số hư hại duy nhất (SDI – single damage indicator) để xác định vị trí và định lượng vết nứt trong dầm bằng cách sử dụng sự những thay đổi ở trong một vài tần số tự nhiên Mô hình vị trí và kích thước vết nứt được xây dựng bởi mối liên hệ những thay đổi phân đoạn trong phương thức năng lượng đối với thay đổi trong tần số tự nhiên phụ thuộc do hư hại

So với sử dụng phương pháp tần số tự nhiên, thuận lợi của việc sử dụng dạng dao động (mode shape) và các dẫn xuất của chúng như là tính năng cơ bản cho việc phát hiện hư hại là khá rõ ràng Đầu tiên, dạng dao động chứa các thông tin cục bộ nhạy cảm hơn đối với hư hại cục bộ và cho phép chúng được sử dụng trực tiếp trong nhiều phát hiện hư hại Thứ hai, dạng dao động ít bị ảnh hưởng bởi môi trường như là nhiệt độ Hạn chế của dạng dao động đầu tiên đó là việc đo lường các dạng dao động đòi hỏi phải có các cảm biến (sensors), thứ hai là đo lường dạng dao động dễ bị nhiễu (noise) hơn tần số tự nhiên Shi et al [29] đã mở rộng phương pháp định vị trí hư hại (MDLAC – multiple damage location assurance criterions) bằng cách sử dụng dạng dao động không đầy đủ thay vì tần số dao động (modal frequency) Hai bước để xác định hư hại là xác định sơ bộ vị trí hư hại bằng cách sử dụng đo lường dạng dao động không đầy đủ và sau đó xác định vị trí và mức độ khuyết tật bằng cách đo tần số tự nhiên

Hu và Afzal [30] đã đề xuất một thuật toán thống kê để xác định hư hại trong kết cấu dầm bằng gỗ sử dụng sự khác biệt của các dạng dao động trước và sau hư hại Sự khác nhau về mức độ, vị trí, số lượng hư hại được mô phỏng bằng cách loại bỏ khối lượng dầm nguyên vẹn để xác minh các thuật toán Kết quả cho thấy các thuật toán là đáng tin cậy để xác định các hư hại cục bộ về mức độ, vị trí và số lượng

Như một nỗ lực để tăng tính nhạy của dữ liệu dạng dao động đối với hư hại, đường cong mode shape (MSC – mode shape curvature) được nghiên cứu như là một tính năng đầy hứa hẹn trong việc xác định hư hại Abdel Wahab và De Roeck [31] đã khảo sát độ chính xác của việc sử dụng một xấp xỉ vi phân trung tâm để tính toán MSC dựa vào phân tích phần tử hữu hạn Các tác giả đã đề nghị rằng phải có một lưới mesh tốt là cần thiết để suy ra các đường cong modal chính xác cho mode bậc cao hơn Đối với mode đầu tiên sẽ cung cấp đường cong tin cậy nhất trong áp dụng thực tế phụ thuộc vào số lượng giới hạn của các cảm biến cần thiết Kim et al [32] đã đề xuất một dạng đường cong dao động dựa vào phương pháp xác định hư hại cho dầm sử dụng biến đổi wavelet Sử dụng giả định hư hại nhỏ và biến đổi Haar wavelet, một tập hợp các phương trình đại số tuyến tính được cho bởi các hư hại cơ học

Ren và De Roeck [33] đã đề xuất kĩ thuật xác định hư hại từ mô hình phần tử hữu hạn sử dụng những thay đổi tần số và dạng dao động Phương trình phần tử hư hại được thiết lập thông qua các phương trình trị riêng đặc trưng cho ứng xử động Nhiều kĩ thuật được thảo luận và so sánh Kết quả cho thấy rằng phương pháp SVD-R dựa trên phân tích giá trị đơn (SVD) là hiệu quả nhất Phương pháp được xác minh bởi mô hình số một dầm đơn giản và dầm liên tục với số các kịch bản mô phỏng hư hại

Phương pháp này tiếp tục được kiểm chứng bằng một thí nghiệm trong phòng thí nghiệm của một dầm bê tông cốt thép

Wang và Qiao [34] đã phát triển một phương pháp nhiễu loạn tổng quát liên quan đến nhiều thông số nhiễu loạn cho các vấn đề trị riêng với những thay đổi trong các tham số độ cứng Phương pháp nhiễu loạn sau đó được sử dụng lặp đi lặp lại với một phương pháp tối ưu để xác định các thông số độ cứng của kết cấu Các phương pháp ngược tổng quát được sử dụng hiệu quả với các nhiễu loạn bậc đầu tiên, và các phương pháp gradient và quasi-Newton được sử dụng với các nhiễu loạn bậc cao.

CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

Phương pháp biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace cung cấp một phương pháp trình bày và phân tích hệ thống tuyến tính sử dụng phương pháp đại số Việc áp dụng phương pháp biến đổi Laplace là đặc biệt hiệu quả cho phương trình đạo hàm thường (ODEs) với các hệ số không đổi Để chuyển đổi một ODE, ta cần các giá trị đầu vào phù hợp của hàm liên quan và đạo hàm

Xét một hàm tín hiệu thời gian F(t) (t > 0) Biến đổi Laplace [3] của F(t) nhận được như sau:

F s hàm của Laplace, F t   hàm của thời gian, s là biến số phụ trợ

Các tính chất của biến đổi Laplace:

5 L   tF t     F ''   s trong đó F s   = L  F t    có nghĩa là L  tF t    =  F "   s

6 L e F t at     F s   a  trong đó F s   = L  F t    có nghĩa là e F t at   = L -1  F s   a  

Tín hiệu thời gian ban đầu F(t) có thể nhận được thông qua biến đổi ngược F(s) và được viết:

Xét F(t) = 1 đối với t > 0, biến đổi Laplace là

          Biến đổi này chỉ có thể được thực hiện phân tích và không có thực hiện bằng số Điều này hạn chế việc sử dụng biến đổi Laplace đối với phân tích các vấn đề phức tạp cao hơn, mà phải cần giải quyết về số.

Phương pháp biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier là một công cụ toán học thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học như vật lý Nó cho phép chuyển đổi một vấn đề phức tạp thành một dạng đơn giản hơn để dễ dàng giải quyết.

Một lợi thế chính của biến đổi Fourier đối với kết cấu động và vấn đề truyền sóng là nhiều thuộc tính quan trọng của hệ có thể nhận được chính xác từ chuyển đổi miền tần số Hơn nữa, biến đổi Fourier có thể đạt được độ chính xác cao trong việc tính đạo hàm và có thể được sử dụng giải quyết các phương trình vi phân

Biến đổi Fourier có thể thực hiện việc phân tích, bán phân tích và về số dưới các dạng: biến đổi Fourier liên tục (CFT), chuỗi Fourier (FS), biến đổi Fourier rời rạc (DFT) tương ứng

Trong phân tích Fourier hàm số mũ phức hợp e ix thường được sử dụng cos sin e ix  x i x (2.10)

Trong đó, e ix có thể được xem như đường sin phức hợp Hàm phức giá trị có dạng tổng quát:

      f x a x ib x x a(x) là phần thực của f(x) và b(x) là phần ảo của f(x), và a và b là hàm giá trị thực

2.2.1 Biến đổi Fourier liên tục (CFT – Continuous Fourier transforms)

Biến đổi Fourier liên tục (CFTs) tới và ngược lại của hàm tín hiệu thời gian F(t) có thể được viết:

F  là CFT của F t   ,  là tần số góc, i là số phức    1 

Xét tải xung hình chữ nhật truyền trong miền thời gian được viết dưới dạng toán học như sau:

 Thay phương trình (2.13) vào (2.12) của  F    ta có:

Các tính chất quan trọng của CFT

 Tuyến tính: CFT là chuyển đổi tuyến tính, cho hai hàm F(t) và G(t) đối với sóng tới và sóng phản xạ tương ứng theo thời gian, a và b là hằng số Biến đổi Fourier của một hàm aF t    bG t   có thể được nhận như a F      bG     Có thể được viết như sau aF t    bG t    a F      bG     Ký hiệu  miêu tả chuyển đổi Fourier

 Tỉ lệ: Nếu một hàm tín hiệu thời gian F(t) nhân với hệ số k khác không thì trở thành F(kt) CFT của F(kt) có thể được viết F kt   1  F k k

  Điều này thể hiện rằng nén xảy ra trong kết quả miền thời gian và sự giãn nở xảy ra trong kết quả miền tần số Tuy nhiên biên độ giảm để giữ cho năng lượng không đổi

 Trượt: Trượt trong tín hiệu thời gian bởi t s được biểu hiện như một giai đoạn thay đổi trong miền chuyển đổi tần số nhận được thông qua CFT, cặp chuyển đổi có thể được viết F t   t s    F    e  i t  s

 Tính chất đối xứng của CFT: CFT của hàm tín hiệu thời gian F(t) là ở dạng phức hợp, chia dạng phức hợp này thành phần thực và phần ảo bằng cách sử dụng phương trình (2.10) Phần thực và ảo của CFT có thể được viết:

Tích phân đầu tiên là hàm chẵn và tích phân thứ hai là hàm lẻ

Xét một điểm là điểm gốc    0 trên CFT Biến đổi biên phải của điểm gốc được viết: F      F  R     iF  I    Tương tự biến đổi biên trái của điểm gốc được viết:

F    F    iF    F   iF  Điểm ban đầu (điểm gốc) này được gọi là tần số Nyquist và rất quan trọng để xác định nửa dãy tần số

 Cuộn vòng: Thuộc tính này của CFT là rất hữu ích cho sự hiểu biết các khía cạnh xử lý tín hiệu và nó có tầm quan trọng rất lớn trong phân tích truyền sóng Thuộc tính này có thể nhận được bằng cách nhân hai tín hiệu thời gian F 1 (t) và F 2 (t) với nhau:

Thay phương trình (2.12) vào phương trình (2.17) cho cả hai hàm này được viết:

Phương trình (2.18) cũng có thể được viết:

Ngược lại ta cũng có thể viết:

2.2.2 Chuỗi Fourier (FS – Fourier Series)

Chuỗi Fourier là ở giữa biến đổi Fourier liên tục (CFT) và biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Chuỗi Fourier (FS) có thể được viết:

Phương trình (2.21) và (2.22) tương ứng là phép biến đổi nghịch và thuận của CFT, trong đó T đại diện rời rạc của tín hiệu thời gian và là chu kỳ Hai phương trình này có thể biểu diễn dưới dạng hàm mũ phức như sau:

   , và T là chu kỳ của F(t)

Tín hiệu thời gian này, cũng có thể được viết về tần số cơ bản như sau:

Trongđó tần số cơ sở 0 0 1 f 2

   (rad/s hay Hz) Xét tín hiệu thời gian hình chữ nhật và thay vào phương trình (2.24), ta có:

2.2.3 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT - Discrete Fourier transform)

CFT chỉ có thể được áp dụng đối với phân tích hàm, không thể được sử dụng cho phân tích số Đây là một hạn chế nghiêm trọng vì đa số những vấn đề ngày nay được yêu cầu phải được giải quyết số

Chuyển đổi tới và ngược DFT có thể được viết:

  n và m thay đổi từ 0 đến N-1

PHÂN TÍCH PHỔ

Mối quan hệ phổ và tán sắc

Phân tích phổ giúp nghiên cứu tần số độc lập các đặc tính sóng, phương pháp phần tích phần tử hữu hạn phổ (SFEM) sử dụng phân tích phổ để nhận ứng xử sóng địa phương đối với các ống dẫn sóng khác nhau và các đặc tính sóng, cụ thể là mối quan hệ giữa phổ và đường tán sắc Các đặc tính địa phương này được tổng hợp để nhận ứng xử sóng tổng thể Phân tích phổ sử dụng biến đổi Fourier rời rạc (DFT) mô tả các thành phần chuyển vị như một chuỗi hữu hạn liên quan một tập hợp các hệ số, mà đòi hỏi phải được xác định dựa trên các điều kiện biên

Phân tích phổ có thể xác định hai thông số sóng quan trọng đó là số sóng (wavenumber) và tốc độ sóng (group speed) Những thông số này cho phép ta biết được mode sóng (wave mode) là mode truyền (propagating mode) hay là mode cản (damping mode) hay là sự kết hợp của cả hai Nếu sóng đang truyền, số sóng (wavenumber) sẽ cho ta biết được đó là không tán sắc (tức là sóng vẫn giữ được hình dạng của nó như khi nó truyền) và tán sắc (tức là sóng thay đổi hình dạng của nó khi nó truyền sóng) Đầu tiên, xét phương trình đạo hàm riêng bậc hai sau:

Trong đó a, b, c là các hằng số đã biết, phụ thuộc và thuộc tính vật liệu và hình học của ống dẫn sóng u x t  ,  được biến đổi đến miền tần số sử dụng DFT như sau:

Trong Biến đổi Fourier rời rạc (DFT), tần số vòng rời rạc được biểu thị bằng  n (rad/s), trong khi N là tổng số điểm tần số được sử dụng Hệ số thứ n của DFT là  u n, phụ thuộc trực tiếp vào tín hiệu x được biến đổi.

Thay phương trình (3.2a), (3.2b), (3.2c) và (3.2d) vào phương trình (3.1)

Quan sát thấy rằng, từ phương trình (3.3), thông qua DFT phương trình PDE được rút gọn đến ODE Giả sử u  n  x ,    A e n ikx , trong đó A n là hằng số chưa biết và k là số sóng (wavenumber)

2 2 n ikx n n ikx n d u ikA e dx d u k A e dx

Thay phương trình (3.3a) và (3.3b) vào phương trình (3.3) ta được:

Các số sóng được xác định từ phương trình (3.4) như sau:

32 Ứng xử của sóng phụ thuộc các giá trị a, b và c, đồng thời cũng phụ thuộc vào giá trị số của căn

  , trường hợp b=0 thì hai số sóng k là :

Trong phương trình (3.6), các số sóng là thực và chúng là mode truyền

Hai thông số sóng quan trọng là C p (phase speed) và C g (group speed) được xác định:

Từ phương trình (3.6), C p và C g là: C p C g a

  c, nhận xét C p và C g là hằng số và bằng nhau Vì vậy từ phương trình (3.5) xét ba trường hợp:

  thì giá trị trong căn sẽ là số phức do đó số sóng sẽ là phức, cho nên mode sóng gọi là mode cản

  thì giá trị trong căn sẽ là dương do đó số sóng sẽ có hai phần thực và ảo dạng k  p  iq , đối với trường hợp này C p và C g được tính như sau:

  thì giá trị trong căn sẽ bằng 0 do đó số sóng là ảo, cho nên mode sóng là mode cản Tần số của biến đổi được xác định t 2 b

Giải pháp cho phương trình sóng chủ đạo (3.3) trong miền tần số có thể được viết cho trường hợp b=0 là:

Trong đó A n miêu tả hệ số sóng tới và B n miêu tả hệ số sóng phản xạ.

Tính toán số sóng và biên độ sóng

Phương trình sóng chủ đạo của dầm Timoshenko cho bởi:

Trong đó  và  là các chuyển vị ngang the trục z và xoay quanh trục y tương ứng

E, G lần lượt là mođun đàn hồi và mođun cắt là mật độ khối A và I lần lượt là diện tích mặt cắt ngang và moment quán tính tương ứng

Các thành phần chuyển vị v x t  ,  và   x t ,  được biến đổi đến miền tần số sử dụng DFT như sau:

Thay các phương trình xấp xỉ trên vào phương trình (3.12) và(3.13) ta được:

      Giả sử v   C e v ikx và    C e  ikx thay vào các phương trình trên ta được:

GA k C ikC AC k EIC GA ikC C IC

Phương pháp để giải phương trình trên nhận các số sóng k và C v , C  là phương pháp PEP

Từ phương trình (3.17) và (3.18) được giải theo PEP như sau:

A k A k   A  Trong đó A i i ,  0đến m là ma trận có kích thước p  p , trong đó p là số biến độc lập trong phương trình sóng chủ đạo Đối với dầm Timoshenko có p2 và m  2 Phương pháp PEP co phương trình (3.17) và(3.18) là:

Số sóng k nhận được như là trị riêng của PEP và biên độ sóng là các vector riêng

PHÂN TÍCH WAVELET DAUBECHIES

Đánh giá tích phân wavelet

Nhiều thuật toán wavelet liên quan đến tích phân wavelet, là tích phân liên quan đến sự kết hợp của wavelet, hàm tỉ lệ và đạo hàm của chúng Mặc dù đôi khi có thể đánh giá tích phân wavelet theo giải tích, song độ chính xác và hiệu quả của phương pháp tính toán tích phân ảnh hưởng đáng kể đến hiệu suất của thuật toán wavelet Trong trường hợp wavelet dựa trên việc giải các phương trình đạo hàm, tích phân wavelet thường liên quan đến đạo hàm của wavelet Tích phân wavelet đóng vai trò quan trọng trong xây dựng các thuật toán hỗ trợ cho Daubechies wavelet.

(b) Hàm wavelet và hàm tỉ lệ     t ,    t 

(c) Moment của hàm tỉ lệ    i j

Xây dựng Daubechies wavelet

Hàm wavelet  j k ,   t là dạng hàm cơ sở trong L 2    và một số hàm trong

L 2  có thể được mô tả sử dụng hàm cơ sở này Nhiều hàm wavelet như: Morlet wavelets, Shanon wavelets, Meyer wavelets, Mexican hat wavelets được đề xuất bởi các nhà nghiên cứu Tuy nhiên, việc lựa chọn của wavelet phụ thuộc vào bản chất phân tích Luận văn sử dụng các phương pháp wavelet cho cả việc phân tích tín hiệu thời gian trong phạm vi động lực học kết cấu và các giải pháp của phương trình sóng để nghiên cứu truyền sóng đàn hồi trong kết cấu ống dẫn sóng Các giải pháp của phương trình đạo hàm riêng đòi hỏi wavelet dựa vào việc áp đặt các điều kiện biên

Daubechies [9, 13] đề xuất cơ sở trực giao hỗ trợ thu gọn wavelets xem như

Daubechies wavelets Có các hỗ trợ thu gọn wavelets khác như bi-orthogonal spline (B-spline) wavelets [14], và interpolation wavelets [1]

Hàm wavelet  j k ,   t và hàm tỉ lệ  j k ,   t nhận được bằng cách biến đổi và sự giãn các hàm đơn    t và    t tương ứng:

Hàm tỉ lệ    t được suy ra từ phương trình giãn nở hay tỉ lệ:

, Z a k k  : hệ số lọc và chúng không đổi cho một wavelet đặc biệt hay hàm tỉ lệ cơ sở Đối với hỗ trợ thu gọn wavelet chỉ một số hữu hạn của a k là khác không

Hệ số bộ lọc a k nhận được bằng cách áp đặt các ràng buộc trên hàm tỉ lệ như sau:

1 Vùng dưới hàm mở rộng được chuẩn hóa đến 1

Phương trình trên dẫn đến điều kiện trên hệ số lọc k =2 a

2 Đối với Daubechies wavelet, Hàm tỉ lệ    t và chuyển đổi của nó là trực giao

 Điều này dẫn đến các điều kiện trên hệ số lọc :

3 Điều kiện cho bởi phương trình (4.6) và (4.8) không đủ để nhận được bộ duy nhất của hệ số lọc Đối với hệ N hệ số, 1

  phương trình có thể nhận được từ phương trình (4.6) và (4.8), 1

  còn lại có thể nhận được bằng cách áp đặt các điều kiện trên hàm wavelet Đối với Daubechies wavelet, giả sử rằng các hàm tỉ lệ miêu tả chính xác các đa thức bậc M Trong đó

M  N Do đó đa thức bậc M như sau:

 = +0 1 + 2 2 + + M 1 M 1 f t a a t a t a  t  Đa thức trên là ở dạng mở rộng, tương tự như phương trình (3.44) đối với j = 0 và có thể được viết:

Hàm    t là trực giao với biến đổi của    t , xét các phần bên trong của phương trình (4.10) với    t ta có:

Thay phương trình (4.9) vào phương trình (4.11) ta có:

Biểu thức trên là phù hợp cho tất cả các giá trị của a j , trong đó j = 0, 1, 2, 3, ., M-1 Xét a l 1 và tất cả các a j khác bằng 0:

Phương trình trên được viết dưới dạng hệ số lọc, ta có:

Trong đó M là moment của hàm wavelet Hàm tỉ lệ    t nhận được bằng cách giải phương trình đệ quy (3.43) có thể mở rộng cho DN như sau:

Phương trình trên có thể được viết như các phương trình sau đây:

Có thể được viết dưới dạng ma trận:

Hay Aφ = φ Phương trình trên (4.16) có chứa vấn đề trị riêng và có thể được giải quyết để nhận φ như là vector riêng Ma trận A được hiểu như là các hệ số lọc a k và có thể được giải bằng các phương trình (4.6), (4.8), và (4.14) Các hệ số lọc với N=4, N=6, N, và N" được cho trong Bảng 4.1 Trong đó N là bậc của Daubechies wavelet Hàm “dbwavf” trong MATLAB là công cụ để tính hệ số lọc

Bảng 4.1: Hệ số lọc a k đối với hàm tỉ lệ Daubechies với N = 4, 6, 12 và 22 k D4 D6 D12 D22

42Bảng 4.2: Hệ số lọc a k đối với hàm tỉ lệ Daubechies với N = 4, 6, 12, [42]

Hàm tỉ lệ và hàm wavelet

Wavelet bao gồm 2 thành phần, hàm tỉ lệ mô tả bộ lọc thông thấp cho biến đổi wavelet, và hàm wavelet mô tả bộ lọc thông dải cho biến đổi Wavelet được định nghĩa bởi hàm wavelet    t (wavelet mẹ) và hàm tỉ lệ    t (wavelet cha) trong miền thời gian

Hàm mở rộng    t và hàm sóng    t được tính toán bằng cách sử dụng các phương trình theo sau:

Các hàm tỉ lệ và wavelet có độ trơn tăng khi bậc Dabauchies tăng Điều này được minh chứng rõ ràng trong các đồ thị D2, D4, D6, D12 và D22, cho thấy đồ thị trở nên mượt mà hơn khi bậc của hàm tăng lên.

Hình 4.1 Hàm tỉ lệ và hàm wavelet ứng với D2, D4, D12, [42]

Hình 4.2a Hàm tỉ lệ đối với N = 2

Hình 4.2b Hàm wavelet đối với N = 2

Ham ti le Daubechies bac 2

Hình 4.3a Hàm tỉ lệ đối với N = 4

Hình 4.3b Hàm wavelet đối với N = 4

Ham ti le Daubechies bac 4

Hình 4.4a Hàm tỉ lệ đối với N = 6

Hình 4.4b Hàm wavelet đối với N = 6

Ham ti le Daubechies bac 6

Hình 4.5a Hàm tỉ lệ đối với N = 12

Hình 4.5b Hàm wavelet đối với N = 12

Ham ti le Daubechies bac 12

Hình 4.6a Hàm tỉ lệ đối với N = 22

Hình 4.6b Hàm wavelet đối với N = 22

Ham ti le Daubechies bac 22

Hệ số kết nối

Hệ số kết nối    n r là tích phân liên quan đến sự kết hợp của hàm tỉ lệ và hàm wavelet, chuyển đổi và đạo hàm của chúng, thường được gặp trong quá trình rời rạc của phương trình đạo hàm thường (ODEs) và phương trình đạo hàm riêng (PDEs)

Hệ số kết nối  1 j k  và  2 j k  được xác định như sau:

 và  2 j k  chỉ khác không trong khoảng k   j  N  2 to  k   j  N  2  [16, 17]

Bảng 4.3 Hệ số kết nối bậc 1    1 và bậc 2    2 với N = 22

Hệ số kết nối đối với N"

Moment của hàm tỉ lệ

Moment của hàm tỉ lệ rất hữu ích để tìm ma trận hệ số kết nối và được tính toán bằng cách sử dụng ba phương trình đệ quy cho bởi Amaratunga và Williams [17]

 j được xác định như trên Moment  i j của biến đổi của    x có thể nhận được bằng cách sử dụng công thức:

Bảng 4.4 Moment của hàm tỉ lệ với N = 22 Moment của hàm mở rộng đối với N"

TÍNH TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN PHỔ WAVELET

Tính toán phần tử hữu hạn phổ

Các phương trình (5.42) – (5.44) được giải một cách chính xác để nhận được các hàm dạng của các hằng số chưa biết Các hằng số chưa biết này một lần nữa giải các giá trị biên và hữu ích trong việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử của chuyển vị nút chuyển đổi với lực nút chuyển đổi

Hình 5.4 Hệ tọa độ và các bậc tự do của phần tử hữu hạn phổ (OXYZ)

Hình 5.5 Chuyển vị và lực tại nút của phần tử dầm composite (YZ)

Như hình trên, phần tử dầm có 3 chuyển vị tự do là  u w 1, , 1  1  và  u w 2, , 2  2 miêu tả chuyển vị dọc theo trục x, ngang theo trục z và xoay quanh trục y tại nút 1 và nút 2 tương ứng  P V M 1, , 1 1  và  P V M 2, , 2 2  là lực dọc trục, lực cắt và moment tại nút 1 và nút 2 tương ứng Các phương trình ODEs (5.32) – (5.34) để giải u  j , w  j ,   j và các

      , , , , , u x t w x t  x t nhận được từ chuyển đổi ngược wavelet và giải các phương trình này một cách chính xác

Trong đó L là chiều dài của phần tử, k k 1 , 2 và k 3 là số sóng tương ứng đối với các chuyển vị dọc trục, ngang và xoay của phần tử

Các phương trình trên (5.51) – (5.53) viết dưới dạng ma trận:

Với   u  e x là tập hợp các vector chuyển vị nút của phần tử tại mỗi nút  R 1   3 6   ma trận biên độ và ma trận này có thể nhận được bằng cách giải phương trình PEP (5.50)

Giải phương trình (5.50) để xác định các giá trị riêng và vectơ riêng Ma trận R chứa các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng là số sóng ± k1, ± k2, ± k3 Ma trận Θ là ma trận chéo với các phần tử chéo theo thứ tự là e-ik1x, e-ik1(Lx - π), e-ik2x, e-ik2(Lx - π), e-ik3x, e-ik3(Lx - π).

C là các hệ số chưa biết và nhận được bằng cách áp dụng các điều kiện biên tại nút 1 và nút 2 như hình 5.5 Áp dụng các điều kiện biên tại 2 nút của phần tử để nhận được các hằng số chưa biết

Tại x  0 các chuyển vị nút tại nút 1, phương trình (5.54) trở thành:

  u  1 e   u  1 w  1   1      R 1 Θ 1   C Tại xL các chuyển vị nút tại nút 2, phương trình (5.54) trở thành:

  Θ 1 và   Θ 2 là các ma trận chéo và bằng:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ik L ik L ik L ik L ik L ik L e e e e e e

Từ phương trình (5.55) và (5.56), vector chuyển vị nút   u  e   u  1 e u  2 e  T của một phần tử có thể được viết:

 T 11   3 6        R 1 Θ 1 , T 12   3 6      R 1 Θ 2  Đạo hàm các hàm nội suy ta được:

1 21 1 1 22 2 2 23 3 2 24 4 3 25 5 k L x k L x k x k x k x k L x k L x k L x k x k x k x u ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e x ik R C e w ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e x

3 36 6 k L x k L x k L x k x k x k x k L x ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e ik R C e x ik R C e

Thay phương trình (5.58) – (5.60) vào các phương trình (5.35) – (5.37) viết dưới dạng ma trận:

Trong đó   F  e x là vector lực nút của phần tử tại mỗi nút   Θ là ma trận chéo với các phần tử chéo  e   k x 1 , e   k 1  L x   , e   k x 2 , e   k 2  L x   , e   k x 3 , e   k 3  L x   

C là các hệ số chưa biết và nhận được bằng cách áp dụng các điều kiện biên tại nút 1 và nút 2 như hình 5.5 Áp dụng các điều kiện biên tại 2 nút của phần tử để nhận được các hằng số chưa biết

Tại x  0 các chuyển vị nút tại nút 1, phương trình (5.61) trở thành:

Tại x  L các chuyển vị nút tại nút 2, phương trình (5.61) trở thành:

Trong đó   F  1 e   P  1 V  1 M  1  T là tập hợp các vector lực tại nút 1, tương tự

  F  2 e   P  2 V  2 M  2  T là tập hợp các vector lực tại nút 2,   Θ 1 và   Θ 2 là các ma trận chéo như trên

Từ phương trình (5.62) và (5.63), vector lực nút   F  e   F  1 e F  2 e  T của một phần tử có thể được viết:

Thay phương trình (5.65) vào (5.64) ta được:

Phương trình trên cũng có thể được viết:

Trong đó   K e D   là ma trận độ cứng phần tử có kích thước (6x6) và ma trận này được chia thành 4 ma trận con có kích thước (3x3), viết lại phương trình (5.67) như sau:

Trong đó F  e j và u  e j là vector lực nút và chuyển vị của phần tử thứ i tại nút j

BÀI TOÁN SỐ VÀ KẾT LUẬN

Kết quả tính toán phần tử hữu hạn phổ wavelet cho dầm composite không hư hại

Ma trận độ cứng phần tử     K

  Áp đặt các điều kiện biên cho dầm công xôn ta được

Các đáp ứng sóng của dầm composite tách lớp dưới tác dụng của tải xung 87 CHƯƠNG 7 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Hình 6.3 Vận tốc sóng dọc trục trong thanh công xôn không hư hại,

Hình 6.4a Vận tốc song dọc trục trong dầm composite     4 , 0 60 , 0 902 2   2 2  không hư hại, T w 512, N22, [42]

Hình 6.4b Vận tốc song theo phương ngang trong dầm composite

Bài toán 1: Khảo sát các đáp ứng truyền sóng trong dầm công xôn Vật liệu composite không hư hại (không có tách lớp)

1.1) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương dọc trục (trục x) như hình 6.1 T w 512s

Hình 6.5a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 không hư hại

Hình 6.5a, quan sát thấy rằng với bậc N22và T w 512scác đáp ứng sóng nhận được phù hợp với kết quả nghiên cứu trước [42] theo hình 6.4a với dầm công xôn composite 4 lớp không hư hại Biên độ của sóng đầu tiên là 0.65 10   3 m , các biên độ của các sóng tiếp theo là 1.25 10   3 m đều nhau

Song doc trong mien thoi gian

1.2) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương ngang (trục z) như hình 6.2, w 512

Hình 6.5b Vận tốc theo phương ngang trong dầm composite    4 không hư hại

Hình 6.5b, quan sát thấy rằng với bậc N  22và T w 512s các đáp ứng sóng nhận được phù hợp với kết quả nghiên cứu trước [42] theo hình 6.4b với dầm công xôn composite 4 lớp không hư hại Biên độ của sóng đầu tiên là 7.8 10   3 m , các biên độ của các đáp ứng sau đó thay đổi

Song ngang trong mien thoi gian

1.3) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương dọc trục (trục x) như hình 6.1 T w 1024s

Hình 6.6a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 không hư hại

Song doc trong mien thoi gian

1.4) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương ngang (trục z) như hình 6.2 w 1024

Hình 6.6b Vận tốc theo phương ngang trong dầm composite    4 không hư hại

Song ngang trong mien thoi gian

Bài toán 2: Khảo sát các đáp ứng truyền sóng trong dầm công xôn Vật liệu composite theo các phương của lực kích thích với sự thay đổi của chiều dài đoạn tách lớp L d

2.1) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương dọc trục (trục x) như hình 6.1, với chiều dài tách lớp L d 20mm, T w 512s

Hình 6.7a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 với chiều dài tách lớp L d 20mm dọc trục dầm

Hình 6.7a, quan sát thấy rằng vận tốc dọc trục với đáp ứng sóng trong dầm công xôn composite    4 có chiều dài tách lớp là L d 20mm và điểm đầu của đoạn tách lớp cách đầu tự do của dầm một khoảng là L 1 0.25m với bậc N" có biên độ thay đổi so với dầm composite không tách lớp, tín hiệu sóng ứng với vận tốc dọc trục bằng 0 có sự thay đổi và bị nhiễu

Song doc trong mien thoi gian voi Ld mm

2.2) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương ngang (trục z) như hình 6.2 với chiều dài tách lớp L d 20mm, T w 512s

Hình 6.7b Vận tốc theo phương ngang trong dầm composite    4 với chiều dài tách lớp L d 20mm dọc trục dầm

Hình 6.7b, quan sát thấy rằng vận tốc theo phương ngang với đáp ứng sóng trong dầm công xôn composite    4 có chiều dài tách lớp là L d 20mm và điểm đầu của đoạn tách lớp cách đầu tự do của dầm một khoảng là L 1 0.25m với bậc N" thì sóng phản xạ xuất hiện tại thời điểm 1.7 10   4   s

Song ngang trong mien thoi gian voi Ld mm

2.3) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương dọc trục (trục x) như hình 6.1, với chiều dài tách lớp L d 30mm, T w 512s

Hình 6.8a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 với chiều dài tách lớp L d 30mm dọc trục dầm

Hình 6.8a, từ ảnh quan sát có thể thấy rằng vận tốc truyền sóng dọc trục trong dầm bê tông composite mỏng có chiều dài tách lớp là L d 30mm và điểm đầu của đoạn tách lớp cách đầu tự do của dầm một khoảng là L 1 0.25m với bậc N" có biên độ thay đổi so với dầm composite không tách lớp Tín hiệu sóng ứng với vận tốc dọc trục bằng 0 có sự thay đổi và bị nhiễu.

Song doc trong mien thoi gian voi Ld0mm

2.4) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương ngang (trục z) như hình 6.2 với chiều dài tách lớp L d 30mm, T w 512s

Hình 6.8b Vận tốc theo phương ngang trong dầm composite    4 với chiều dài tách lớp L d 30mm dọc trục dầm, T w 512s

Quan sát Hình 6.8b thấy rằng vận tốc theo phương ngang của đáp ứng sóng trong dầm công xôn composite có chiều dài tách lớp là L d 30mm và điểm đầu của đoạn tách lớp cách đầu tự do của dầm một khoảng là L 1 0.25m với bậc N" Vận tốc này xuất hiện tại thời điểm 1.62 10  4   s sau khi sóng phản xạ xuất hiện.

Song ngang trong mien thoi gian voi Ld0mm

2.5) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương dọc trục (trục x) như hình 6.1, so sánh các đáp ứng của dầm composite không tách lớp với dầm composite có tách lớp với chiều dài các đoạn tách lớp lần lượt là L d 20mm, L d 30mm, cách đầu tự do của dầm một khoảng là L 1 0.25m, T w 512s

Hình 6.9a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 không hư hại và có tách lớp với chiều dài tách lớp L d 20mm L, d 30mm dọc trục dầm, T w 512s

Hình 6.9a, quan sát thấy rằng vận tốc dọc trục trong dầm không hư hại và dầm có chiều dài tách lớp L d 20mm L, d 30mm có đáp ứng giống nhau trong khoảng thời gian từ 0 đến 1.35 10   4   s sau đó thay đổi về độ giãn của các sóng

Song doc trong mien thoi gian

Ld0mmLd mmKhong hu hai

Khi tác dụng lực kích thích theo phương ngang lên dầm composite, dầm composite có tách lớp thể hiện các đáp ứng khác biệt so với dầm composite không tách lớp Các đáp ứng này phụ thuộc vào chiều dài đoạn tách lớp (L d ) và khoảng cách từ đoạn tách lớp đến đầu tự do của dầm (L 1 ) Với L d = 20mm và L d = 30mm, L 1 = 0,25m và thời gian kích thích T w = 512μs, các đáp ứng của dầm composite có tách lớp sẽ khác biệt rõ rệt.

Hình 6.9b Vận tốc theo phương ngang trong dầm composite    4 không hư hại và có tách lớp với chiều dài tách lớp L d 20mm L, d 30mm dọc trục dầm, T w 512s

Trong trường hợp hình 6.9b, so sánh vận tốc theo phương ngang của phản ứng hư hại với phản ứng dầm không hư hại, có thể thấy sóng phản xạ xảy ra sớm hơn từ đầu ngàm tùy vào chiều dài đoạn tách lớp Biên độ của sóng phản xạ này cũng gia tăng theo chiều dài đoạn tách lớp L d

Song ngang trong mien thoi gian

Ld0mmLd mmKhong hu hai

2.7) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương dọc trục (trục x) như hình 6.1, so sánh các đáp ứng của dầm composite không tách lớp với dầm composite có tách lớp với chiều dài các đoạn tách lớp lần lượt là L d 20mm, L d 30mm, w 1024

Hình 6.10a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 không hư hại và có tách lớp với chiều dài tách lớp L d 20mm L, d 30mm dọc trục dầm

Song doc trong mien thoi gian Ld mm

Ld0mmKhong hu hai

2.8) Dầm chịu tác dụng của lực kích thích theo phương ngang (trục z) như hình 6.2, so sánh các đáp ứng của dầm composite không tách lớp với dầm composite có tách lớp với chiều dài các đoạn tách lớp lần lượt là L d 20mm, L d 30mm, w 1024

Hình 6.10b Vận tốc theo phương ngang trong dầm composite    4 không hư hại và có tách lớp với chiều dài tách lớp L d 20mm L, d 30mm dọc trục dầm

Song ngang trong mien thoi gian

Ld mmLd0mmKhong hu ha

Bài toán 3: Khảo sát các đáp ứng truyền sóng trong dầm công xôn Vật liệu composite theo các phương của lực kích thích với sự thay đổi vị trí của chiều dài đoạn tách lớp L 1

So sánh đáp ứng của dầm composite có và không có tách lớp khi chịu lực kích thích theo phương dọc trục, với chiều dài đoạn tách lớp không đổi là 20mm nhưng vị trí thay đổi lần lượt là 0,25m và 0,35m Thời gian cửa sổ thời gian là 512µs.

Hình 6.11a Vận tốc dọc trục trong dầm composite    4 không hư hại và có tách lớp với chiều dài tách lớp L d 20mm dọc trục dầm có vị trí khác nhau, T w 512s

Kết luận

1) Phân tích truyền sóng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu chẩn đoán kết cấu Việc sử dụng hợp lí các kỹ thuật này yêu cầu phải có kiến thức tốt về ảnh hưởng của các khuyết tật trên các đặc tính sóng Điều này cần mô hình chính xác và tính toán hiệu quả kết cấu composite có khuyết tật Nghiên cứu áp dụng vào giải bài toán phân tích truyền sóng cho dầm composite bậc cao có tách lớp bằng phương pháp WSFEM Phương pháp này giống như FSFEM ngoại trừ sử dụng hàm tỉ lệ Daubechies yêu cầu một miền thời gian nhỏ hơn cho cùng một vấn đề có thể xử lí các ống dẫn sóng có kích thước hữu hạn

2) Phương pháp biến đổi là hữu ích để giải quyết các phương trình đạo hàm thường (ODEs) và phương trình đạo hàm riêng (PDEs) Phương pháp được sử dụng phổ biến để giải quyết vấn đề này là phương pháp biến đổi Fourier và Laplace hay wavelet Trong đó phép biến đổi wavelet đáp ứng được các yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có nhiều thành phần thời gian và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với các đặc tính của tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số

3) Phương pháp phần tử hữu hạn phổ (SFEM) là phương pháp biến đổi có thể giải quyết các vấn đề liên quan đến tần số kích thích cao, giống như phương pháp phần tử hữu hạn thường (FEM) nhưng xét trong miền tần số, và các phương trình sóng chủ đạo được biến đổi và giải quyết một cách chính xác hơn, đồng thời chứng tỏ là một sự thay thế hiệu quả để phân tích dựa trên phần tử hữu hạn của các bài toán truyền sóng, khối lượng tính toán giảm, các đặc tính sóng có thể suy ra trực tiếp từ các tính toán

4) Các ví dụ số được thực hiện để nghiên cứu ảnh hưởng của tách lớp trên các đặc tính sóng Các đáp ứng được mô phỏng khác nhau với các kiểu tách lớp khác nhau tương ứng Dựa vào các đáp ứng mô phỏng để xác định hư hại (tách lớp) sử dụng phân tích tín hiệu Qua các ví dụ số ở Chương 6 thì khi bậc N của Daubechies

108 tăng thì kết quả chính xác hơn, và khi miền thời gian tăng nên số điểm mẫu tăng thì giúp giảm nhiều lỗi hơn trong giải pháp

5) Các ví dụ số này được thực hiện giúp hiểu rõ hơn về những ảnh hưởng của tách lớp đến các đặc tính truyền sóng trong dầm composite bậc cao Xây dựng cơ sở để mở rộng hướng cứu cho các kết cấu khác như tấm composite với các hư hại như tách lớp hay vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn phổ wavelet (WSFEM).