CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Giả thiết
- Phần tử ban đầu thẳng và tiết diện chữ I có chiều cao bản bụng thay đổi tuyến tính theo chiều dài phần tử
- Sự mất ổn định cục bộ và mất ổn định ngang xoắn không xảy ra
- Mặt phẳng tiết diện ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng
- Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ có thể lớn.
Hàm xấp xỉ chuyển vị ngang phần tử
Hình 2.1 Dầm thép dạng chữ I có tiết diện thay đổi
Xét một cấu kiện dầm thép có tiết diện dạng chữ I thay đổi như Hình 2.1 Dầm được đơn giản hóa chịu lực dọc trục và mô-men tại hai đầu như Hình 2.2:
Hình 2.2 Phần tử chịu lực dọc trục và mô-men tại hai đầu
Chuyển vị w ngang của phần tử dầm có thể được xấp xỉ như sau:
Các hệ số a i i ( =0 ~ 4 )được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng Điều kiện tương thích:
= dx =θ (2.5) Điều kiện cân bằng:
Trong đó, các giá trị M 1 và M 2 ở phương trình (2.6) được thay bằng quan hệ sau:
Với I x ( ) được xác định bằng một trong hai công thức
- Đề xuất từ công thức xấp xỉ của phần mềm SAP2000 cho phần tử loại P (Parabolic element):
= × − + × (2.9) với I 1 là mô men quán tính tại nút 1 và I 2 là mô men quán tính nút 2 của phần tử
- Công thức thiết lập chính xác cho phần tử loại E (Exact element):
Trong đó, h x ( )là chiều cao tiết diện chữ I tại tọa độ x dọc trục
= − × + (2.11) với h 1 là chiều cao tiết diện tại nút 1 và h 2 là chiều cao tiết diện tại nút
Từ các phương trình (2.2) đến (2.6), sử dụng phần mềm MAPLE để giải ta xác định được các hệ số a i i ( =0 ~ 4 )
EJ EJ EJ J EJ J EJ EJ L P L P a L EJ EJ J EJ L P
EJ EJ EJ J EJ J EJ EJ L P L P a EJ EJ J EJ L P L
EJ EJ J EJ EJ L P L P a EJ EJ J EJ L P L
EL i EL i ELi ELi Ei Ei LP LP a L EL i EL i ELi L P Ei
EL i EL i EL i EL i ELi ELi L P L P Ei Ei a L EL i EL i ELi L P Ei
EL i EL i EL i EL i ELi ELi L P L P Ei Ei a EL i EL i ELi L P Ei L
Thiết lập phần tử hữu hạn dầm-cột đồng xoay
2.3.1 Mô hình động học của phần tử đồng xoay
Thiết lập phần tử dầm-cột đồng xoay phẳng (Hình 2.3) sau đây được trình bày bởi Battini (2002) [1]:
Hình 2.3 Vị trí ban đầu và sau khi chuyển vị của phần tử dầm-cột
Tọa độ nút 1 và nút 2 của phần tử được thể hiện trong (Hình 2.3) Véc-tơ chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể được định nghĩa:
Véc-tơ chuyển vị trong hệ tọa độ địa phương được định nghĩa:
Những thành phần chuyển vị địa phương trong Véc-tơ d l được tính theo:
Trong đó, l l 0 , là chiều dài của phần tử tương ứng tại cấu hình ban đầu và cấu hình hiện tại:
Và θ r là góc xoay cứng được tính toán việc thay đổi hình học của phần tử:
Góc xoay cứng được tính theo theo công thức θ r ≤π:
1 1 1 1 sin sin sin 0, cos 0 cos cos sin 0, cos 0 sin sin sin 0, cos 0 cos cos sin 0, cos 0 r r r r r r r r r r r r r r r r θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
Ngoài ra, góc xay cứng còn có thể tính theo công thức khác được thực hiện bởi Yaw (2008) [15]
Thay (2.29) và (2.30) vào (2.28) Sau đó, lấy vi phân phương trình (2.28) ta được các vi phân chuyển vị ảo:
Lấy vi phân phương trình thứ 4 trong công thức (2.32), ta được:
2.3.3 Véc-tơ nội lực phần tử
Mối quan hệ giữa véc-tơ nội lực phần tử trong 2 hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể được thể hiện qua phương trình công ảo:
Từ (2.40), véc-tơ nội lực phần tử trong hệ tọa độ tổng thể được viết lại:
Trong đó, véc-tơ nội lực phần tử ,f f l được định nghĩa như sau:
2.3.4 Ma trận độ cứng tiếp tuyến
Ma trận độ cứng tiếp tuyến tổng thể được định nghĩa: f = K d δ δ (2.44)
Lấy vi phân của f từ phương trình (2.41) ta được:
Lấy vi phân, ta được: r z δ δθ (2.48) z= −r δ δθ (2.49)
Từ (2.34) và (2.37) được viết lại:
Các ma trận b i (với i = 1,2,3) là các cột của ma trận B T , có thể viết lại:
Lấy vi phân (2.51), ta có:
Số hạng đầu tiên trong (2.45): l l l l f =K d =K B d δ δ δ (2.54)
Thay (2.52)-(2.54) vào (2.45), ta xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tổng thể cho phần tử đồng xoay phẳng:
2.3.5 Mô hình dầm Euler-Bernoulli
Mô hình dầm Euler-Bernoulli được xây dựng dựa trên giả thiết tiết diện ngang của phần tử vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm trước và sau biến dạng (Hình 2.4)
Crisfield (1991) [16] đề xuất rằng để tránh hiện tượng khóa cắt, một biến dạng hữu hiệu được định nghĩa để đảm bảo biến dạng cắt và biến dạng dọc trục đều là một hằng số:
Hình 2.4 Mô hình động học dầm Euler-Bernoulli
Theo giả thuyết dầm Euler-Bernoulli, độ cong κ và biến dạng dọc trụ ε được định nghĩa bởi:
Trong đó, u và w là hàm nội suy:
4 3 2 1 0 w a x= +a x +a x +a x a+ Các giá trị a i i ( =0 ~ 4 ) của w được thiết lập như mục 2.1
2.3.5.2.Véc-tơ nội lực và ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương
Những thành phần nội lực của véc-tơ f l tính toán theo phương trình năng lượng biến dạng:
Các thành phần của véc-tơ f l được lấy đạo hàm riêng phần U theo các chuyển vị tương ứng: l l f U d
Các thành phần của ma trận độ cứng tiếp tuyến trọng hệ tọa độ địa phương có được bằng việc đạo hàm riêng phần từng thành phần véc-tơ nội lực địa phương theo biến chuyển vị địa phương tương ứng: l l l
Quy trình tính toán f l và K l bằng MAPLE được trích dẫn trong phần phụ lục.
Thuật toán giải phi tuyến
2.4.1 Phương pháp Arc-length cầu
Phương pháp này có khả năng giải phương trình phi tuyến tại tại những điểm “snap−back” và cả những điểm “snap-through, không những thế, phương pháp này còn tự động thay đổi giá trị tải gia tăng khi tiến tới điểm tới hạn do chiều dài dây cung không đổi (nếu yêu cầu hội tụ vẫn thỏa mãn)
Trong luận văn này, phương pháp Arc-length cầu Hình 2.5 được áp dụng để giải quyết phương trình phi tuyến Trong mục này, tác giả chỉ tập trung vào việc áp dụng và xây dựng thuật toán Arc-length, nên chi tiết cách thiết lập đầy đủ phương pháp có thể tham khảo trong tài liệu Crisfield (1991) [16]
Một thuật toán giải quyết phương trình phi tuyến áp dụng phương pháp Arc-length cầu được hiệu chỉnh phù hợp với phần tử đồng xoay, bao gồm: (1) kết hợp gia tải tự động (tự động thay đổi bước tải) ; (2) tự động điều chỉnh chiều dài cung khi tiêu chuẩn hội tụ không đạt (vượt quá số lượng bước lặp tối đa) và phương trình tính toán tham số lực gia tăng bị suy biến; (3) kết hợp từ những thuật toán cơ bản được tóm tắt từ phương pháp đã được xây dựng trong Reddy (2004) [17]
Hình 2.5 Phương pháp Arc-length cầu
• Đối với vòng lặp đầu tiên của bước gia tải thứ nhất i = 1, j = 1
Bước (I): chọn giá trị cho tham số tải gia tăng λ 1 0 =0,δλ 1 0 =0,∆λ 1 0 (cho bằng hệ số tải trọng gia tăng, giá trị phụ thuộc vào mỗi bài toán,) Trong luận văn này tác giả chọn 0.1~2% hệ số tải trọng tới hạn Và véc-tơ chuyển vị tổng quát { } u 0
(nếu hệ kết cấu không có chuyển vị cưỡng bức { } { } u 0 = 0 )
Bước (II): Cập nhật hệ số gia tăng tải trọng
Bước (III): thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử 0
và véc-tơ nội lực phần tử { } F in e 0 1 , véc-tơ tải trọng nút phần tử { } F ex e 1 0
Bước (IV): lắp ghép ma trận độ cứng tổng thể [ ] K T 1 0 , véc-tơ tải trọng nút tổng thể { } F ex 1 0 , véc-tơ nội lực tổng thể gia tăng { } F in 1 0 ({ } { } F in 1 0 = 0 nếu kết cấu không có chuyển vị ban đầu) và tính toán véc-tơ tải trọng dư tổng thể theo
Bước (V): Áp đặt điều kiện biên rút gọn ma trận và các véc-tơ lực, véc-tơ chuyển vị
Bước (VI): tìm các thành phần của chuyển vị gia tăng theo công thức:
Trong đó: { } F được xem là véc-tơ tải trọng tổng tham chiếu của hệ tương ứng với tham số tải trọng là 1, hoặc có thể hiểu là: { } F ex 1 0 =λ 1 1 { } F
Bước (VII): Tính toán chuyển vị gia tăng tổng và cập nhật chuyển vị tổng theo:
Bước (VIII): Tính toán chiều dài dây cung:
• Đối với vòng lặp thứ nhất (i = 1) của các bước tải ngoại trừ bước gia tải đầu (j # 1)
Bước 1: Tính toán ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử T e 0
và véc-tơ nội lực phần tử { } { } F in e 0 j = F in e sactisfied j − 1 , véc-tơ tải trọng nút { } { } F ex e 0 j = F ex e sactisfied j − 1 từ lời giải đã hội tụ từ bước gia tải trước đó
Bước 2: lắp ghép ma trận độ cứng tổng thể [ ] K T 0 j , véc-tơ tải trọng tổng thể
{ } F ex j 0 , véc-tơ nội lực tổng thể gia tăng { } F in 0 j
Bước 3: Áp đặt điều kiện biên
Bước 4: Tính toán giá trị chuyển vị tiếp tuyến:
Bước 5: Tính toán giá trị gia tăng ban đầu cho mỗi bước gia tải j:
Dấu “+” hoặc “-” ở phương trình (2.66) được xác đinh theo nhiều phương pháp khác nhau Trong luận văn này, tác giả xác đinh dấu theo giá trị tích vô hướng chuyển vị gia tăng theo phương trình (2.67) đã được nghiên cứu Posada (2007) [18] như là phương pháp tốt hơn cả khi kết hợp phân tích với thuật toán Arc-length
Cập nhật tham số tải gia tăng: ∆λ 1 j =δλ 0 j λ 1 j = ∆ +λ 1 j λ j− satisfied 1
Bước 6: tính toán giá trị chuyển vị gia tăng:
Bước 7: Cập nhật véc-tơ chuyển vị gia tăng tổng và chuyển vị tổng,
• Đối với vòng lặp thứ 2 (i >= 2) cho tất cả các bước gia tải (j # 1)
Bước 8: Cập nhật véc-tơ ngoại lực tổng thể { } F ex i j − 1 =λ i j − 1 { } F , véc-tơ nội lực tổng thể { } F in i j − 1 và véc-tơ lực dư { } R i j − 1 ={ } F in i j − 1 −{ } F ex i j − 1
Trong đó: { } F in i j − 1 được tính toán từ việc chồng chất véc-tơ nội lực phần tử tổng thể { } f e = [ ] B T { } f L e của phần tử đồng xoay
Bước 9: cập nhật ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử T e i 1
, lắp ghép ma trận độ cứng tổng thể [ ] K T i j − 1 và áp đặt điều kiện biên
Bước 10: tìm giá trị chuyển vị tiếp tuyến và chuyển vị gia tăng
Bước 11: Tính toán tham số lực gia tăng δλ i j − 1 từ phương trình bậc 2:
Nghiệm của phương trình (2.71) sẽ cho ra 3 trường hợp như sau:
(1)TH1: phương trình có 2 nghiệm thực
Lời giải chính xác tìm được bằng cách so sánh giữa hai nghiệm thực
(∆u i j + 1 ) 1 tương ứng với ( i j 1 ) 1 δλ − và (∆u i j + 1 ) 2 tương ứng với ( i j 1 ) 2 δλ− Nghiệm chính xác bằng cách chọn nghiệm có góc giữa ∆u i j và ∆u i j + 1 nhỏ nhất, vì vậy có cosin là lớn nhất
Do đó: nghiệm sẽ được chọn có cosθ lớn hơn nghiệm kia, với:
(2)Phương trình có một nghiệm thực:
(3)Phương trình không có nghiệm:
Crisfield (1991) [16] đề xuất nên giảm bán kính cung theo công thức:
Với 0.5 ≥ β ≥ 0.1 Trong luận văn này tác giả chọn β =0.5
Bước 12: tính toán véc-tơ chuyển vị gia tăng chính xác:
{ }δu i j ={ }δu i j +δλ i j − 1 { }δu ɵ i j (2.78) Cập nhật véc-tơ chuyển vị gia tăng tổng, véc-tơ chuyển vị tổng và tham số lực gia tăng
Bước 13: Tiến hành lặp từ Bước 8 đến Bước12 cho đến khi thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ:
Bước 14: Hiệu chỉnh chiều dài dây cung cho bước tải tiếp theo:
Trong đó: I d là số bước lặp mong muốn hội tụ (được xác định ở thông số đầu vào khi giải bài toán), I 0 số bước lặp cần thiết để thực hiện hội tụ tại bước tải hiện tại j
Bước 15: Quay lại Bước 1 cho đến khi thực hiện bước gia tải mới và thực cho đến khi thảo mãn yêu cầu phân tích của đề bài
Trong lưu đồ Hình 2.6, các bước tính toán đã được giải thích rõ trong mục trước Do vậy, tác giả chỉ trình bày một cách tóm tắt trình tự các bước thực hiện của thuật toán Arc-length
Hình 2.6 Lưu đồ thuật toán Arc-length Đồng thời, các bước thực hiện phân tích chính của chương trình phân tích được tóm tắt trong lưu đồ thuật toán được trình bày trong chương này
Hình 2.7 Lưu đồ thuật toán chương trình phân tích 2.4.4 Dữ liệu đầu vào
Chương trình không mặc định trước các đơn vị tính và kết quả được xuất ra sẽ theo cùng đơn vị tính của dữ liệu nhập vào Dữ liệu đầu vào được nhập trực tiếp vào chương trình
Bảng 2-1 Bảng dữ liệu đầu vào
Cột Biến số Diển giải
3 n_res Số bậc tự do ràng buộc
4 n_rjt Số nút bị ràng buộc
5 E Mô đun đàn hồi của vật liệu
1 nod_num Số hiệu nút
2 x Tọa độ nút theo phương x
3 y Tọa độ nút theo phương y
1 ele_num Số hiệu phần tử
1 ele_num Số hiệu phần tử
2 b_f Chiều rộng cánh tiết diện
3 t_f Chiều dày cánh tiết diện
4 h_1 Chiều cao tiết diện nút i
5 h_2 Chiều cao tiết diện nút j
6 t_w Chiều dày bụng tiết diện
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ví dụ 1: Dầm công-xôn chịu tải tập trung
Một dầm công-xôn có các đặc trưng hình học và vật liệu được trình bày như Hình 3.1, chịu tải tập trung P tại đầu tự do Dầm có tiết diện giảm dần từ đầu ngàm đến đầu tự do
Hình 3.1 Mô hình dầm công-xôn chịu tại tập trung
Tác giả thực hiện phân tích đàn hồi chuyển vị lớn dầm với giá trị tải trọng P tăng dần 0 đến 1000 kN sử dụng chương trình ANSYS (phần tử solid có độ chia nhỏ kích thước phần tử 80mm) và phần mềm tính toán kết cấu SAP2000
Hình 3.2 cho thấy rằng kết quả đường ứng xử của dầm từ chương trinh MATLAB tác giả đã phát triển gần sát với kết quả từ cả 2 chương trình phân tích SAP2000 và ANSYS Cụ thể, kết quả số khi 2 phần tử loại P (Parabolic element) hoặc loại E (Exact element) để mô phỏng dầm vát gần như trùng khớp với phần mềm SAP2000 (sử dụng 6 phần tử hữu hạn) và ANSYS mô phỏng dầm bằng các phần tử solid có độ chia nhỏ kích thước phần tử 80mm Qua đó, có thể thấy rằng công thức nội suy mô-men quán tính gần đúng bậc hai được đề xuất trong phần mềm SAP2000 cho kết quả khá chính xác trong phân tích cấu kiện có tiết diện thay đổi
Hình 3.2 Kết quả đường quan hệ lực-chuyển vị dầm công-xôn
Ví dụ 2: Dầm một đầu ngàm một đầu gối tựa chịu tải tập trung giữa nhịp
Dầm một đầu ngàm một đầu gối tựa chịu tập tập trung P = 100kN tại giữa nhịp có các đặc trưng hình học và vật liệu như trong Hình 3.3 A Hadidi [6] đã thực hiện phân tích đàn hồi bậc hai dầm với ma trận độ cứng được thiết lập kể đến chính xác sự thay đổi đặc trưng hình học dọc theo chiều dài của dầm Đồng thời, tác giả
A Hadidi [6] đã so sánh kết quả nghiên cứu của mình với các phân tích bằng phần mềm ABAQUS với các mức chia lưới phần tử khác nhau lần lượt là 300mm, 50mm và 10mm Trong ví dụ này, tác giải xem kết quả từ ABAQUS của tác giả A Hadidi [6] với mức chia lưới phần tử 10mm như lời giải chuẩn để đánh giá sai số Kết quả chuyển vị tại điểm đặt lực sử dụng 2 phần tử P (Parabolic element) đã đề xuất sai
Chuyển vị (m) v u lệch không đáng kể so với kết quả của A Hadidi [6], 1.28% so với kết quả từ chương trình Abaqus Trong khi đó, khi mô phỏng dầm bằng 2 phần tử E (Exact element) cho kết quả gần như trùng khớp với nghiên cứu của A Hadidi [6] và sai khác 2.03% với lời giải từ chương trình Abaqus Kết quả so sánh được trình bày trong Bảng 3.1
Hình 3.3 Mô hình dầm một đầu ngàm một đầu gối tựa chịu tải tập trung giữa nhịp Bảng 3.1 So sánh kết quả phân tích dầm một đầu ngàm một đầu gối tựa
Nghiên cứu Chuyển vị δ Sai khác (%)
Tác giả - phần tử loại P 0.4041 1.28
Tác giả - phần tử loại E 0.4071 2.03