Tәng quan
1.1.1 Phân tích phi tuy ͇ n hình h ͕ c
Trong thӵc tӃ, phҧn ӭng cӫa hӋ kӃt cҩXWKpSWKѭӡng là phi tuyӃn khi chӏu tác ÿӝng cӫa tҧi trӑng do có các cҩu kiӋQFyÿӝ mҧnh lӟnWURQJÿyWiFÿӝng phi tuyӃn hình hӑc có ҧQKKѭӣng lӟQÿӃn ӭng xӱ cӫa hӋ NhiӅu SKѭѫQJSKiS NKiFQKDXÿm ÿѭӧF ÿӅ xuҩt cho bài toán phân tích phi tuyӃn hình hӑc, WURQJ ÿy Qәi bұt nhҩt là SKѭѫQJSKiSGҫm-cӝt dùng hàm әQÿӏnh dӵa trên lӡi giҧi giҧi tích cӫa cҩu kiӋn chӏu nén uӕn vӟi êWѭӣng sӱ dөng mӝt phҫn tӱ mô phӓng mӝt cҩu kiӋQYjSKѭѫQJSKiS phҫn tӱ hӳu hҥn dӵa vào viӋc kӇ ÿӃn WiFÿӝng P-D cӫa phҫn tӱ vӟi viӋc chia nhiӅu phҫn tӱ cho mӝt cҩu kiӋn CySKѭѫQJSKiSFKtQKWKѭӡQJÿѭӧc sӱ dөQJÿӇ xây dӵng ma trұQÿӝ cӭng phҫn tӱ là phѭѫQJSKiS Lagrange tәng quátSKѭѫQJSKiS/DJUDQJH cұp nhұWYjSKѭѫQJSKiSÿӗng xoay
Hình 1-1 Hi u ͱng P-delta: (a) B͗ qua chuy͋n v͓; (b) K͋ ÿ͇n chuy͋n v͓
ViӋc sӱ dөng mô hình Larange tәng quát hoһc mô hình Larange cұp nhұt gһp nhiӅXNKyNKăQNKLSKkQWtFKKӋ kӃt cҩu có chuyӇn vӏ lӟn do cҫn có mӝt thӫ tөc tính toán phӭc tҥSÿӇ loҥi bӓ chuyӇn vӏ cӭng ra khӓi chuyӇn vӏ tәng và chӍ kӇ ÿӃn thành phҫn biӃn dҥng tӵ nhiên gây ra sӵ WKD\ÿәi nӝi lӵc trong cҩu kiӋn PKѭѫQJSKiSÿӗng xoay là mӝt cách tiӃp cұn mӟi trong phân tích phi tuyӃn kӃt cҩu dӵa trên lý thuyӃt dҫm biӃn dҥng nhӓ Trong suӕt quá trình chuyӇn ÿӝng, mӝt hӋ tӑDÿӝ tәng thӇ ÿѭӧc cӕ ÿӏnh trong khi ÿymӝt hӋ tӑDÿӝ ÿӏDSKѭѫQJ ÿѭӧc gҳn vӟi phҫn tӱ dӏch chuyӇn và xoay cùng phҫn tӱ BiӃn dҥng tӵ nhiên ÿѭӧc phân tích trong tӑDÿӝ ÿӏDSKѭѫQJvӟi viӋc thiӃt lұp các ma trұQÿӝ cӭng, véc-Wѫ nӝi lӵc và ma trұn khӕLOѭӧng phҫn tӱ; sau ÿyÿѭӧc chuyӇn sang hӋ tӑDÿӝ tәng thӇ bҵng ma trұn chuyӇn và lҳp ghép lҥLÿӇ xây dӵng ma trұQÿӝ cӭng tәng thӇ, véc-Wѫ nӝi lӵc tәng thӇ và ma trұn khӕLOѭӧng tәng thӇ cӫa hӋ kӃt cҩu Hay nói cách khác, chuyӇn vӏ cӭQJÿmÿѭӧc trӵc tiӃp loҥi bӓ trong quá trình thiӃt lұp phҫn tӱ'RÿySKѭѫQJSKiSÿӗng xoay có thӇ phân tích tӕt ӭng xӱ phi tuyӃn hình hӑc cӫa hӋ kӃt cҩu khi chӍ cҫn mô phӓng hai hoһc ba phҫn tӱ cho mӛi cҩu kiӋQÿһc biӋt là trong các bài toán phân tích kӃt cҩu chuyӇn vӏ lӟn
Hình 1-2 Mô hình ph̯n t͵ ÿ͛ng xoay 1.1.2 3KkQWtFKÿ͡ ng
Ngày nay, hӋ kӃt cҩu các tòa nhà càng ngày càng trӣ nên mҧnh PDLKѫQGR yêu cҫu cӫa thiӃt kӃ kiӃn trúc 'RÿyYLӋc phân tích phi tuyӃn công trình chӏu tҧi trӑQJÿӝng ÿӇ thiӃt kӃ JLyÿӝng hoһc thiӃt kӃ kháng chҩn cho hӋ kӃt cҩu càng trӣ nên cҩp thiӃt PKѭѫQJ pháp Lagrange tәQJTXiWOjSKѭѫQJSKiSÿHPOҥi kӃt quҧ tӕt khi SKkQWtFKÿӝng có kӇ ÿӃn phi tuyӃn hình hӑc Tuy nhiên SKѭѫQJSKiSÿӗng xoay ÿѭӧc kǤ vӑng sӁ ÿHPOҥLѭXÿLӇm sӱ dөng ít phҫn tӱ KѫQEѭӟc giҧi theo lӏch sӱ thӡi gian lӟQKѫQWURQJNKLYүn giӳ ÿѭӧFÿӝ chính xác cӫa kӃt quҧ khi phân tích các hӋ kӃt cҩu chuyӇn vӏ lӟn và phӭc tҥp vӟi nhiӅu cҩu kiӋn Tính hiӋu quҧ vӅ mһt sӕ hӑc vүn là nhân tӕ quan trӑQJÿӇ ÿiQKJLiPӭFÿӝ thành công trong viӋc mô phӓng hӋ kӃt cҩu.
Tình hình nghiên cӭu
1.2.1 Tình hình nghiên c ͱ u trên th ͇ gi ͣ i
Souza (2000) [1] ÿmáp dөng SKѭѫQJSKiSSKҫn tӱ ÿӗng xoay ÿӇ phân tích phi tuyӃn khung phҷng và khung không gian sӱ dөng hàm nӝi suy lӵc YӃu tӕ phi tuyӃn hình hӑFÿѭӧc kӇ ÿӃn nhӡ vào quan hӋ biӃn dҥng chuyӇn vӏ phi tuyӃn cӫa Hellinger ReissnerĈӗng thӡLSKѭѫQJSKiSWtFKSKkQÿLӇm trên tiӃt diӋn ngang và dӑc chiӅu dài phҫn tӱ ÿѭӧc sӱ dөQJÿӇ theo dõi sӵ chҧy dҿo
Thanh-Nam Le (2011) [2] ÿmWKLӃt lұp các công thӭc phҫn tӱ ÿӗng xoay dӵ trên phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(ÿӇ giҧi quyӃt bài toán phi tuyӃn cӫa khung phҷng WURQJEjLWRiQÿӝng Nghiên cӭu kӃt luұn rҵng sӱ dөng công thӭFÿӗng xoay sӁ cho kӃt quҧ chính xác và sӱ dөng ít phҫn tӱ KѫQFiFSKѭѫQJSKiSWUѭӟFÿy
Kien (2012) [3] ÿmWKLӃt lұp mӝt phҫn tӱ hӳu hҥQÿӗng xoay dӵa trên lý thuyӃt dҫP7LPRVKHQNRÿӇ SKkQWtFKÿjQKӗi chuyӇn vӏ lӟn bài toán khung phҷQJ+jPÿD thӭc bұc 3 và bұFFyÿѭӧc tӯ SKѭѫQJSKiSWѭѫQJWKtFKWUѭӡng chuyӇn vӏ ÿѭӧc áp dөQJÿӇ xҩp xӍ lҫQOѭӧt cho chuyӇn vӏ tәng quát ngang và chuyӇn vӏ tәng quát xoay Nghiên cӭu kӃt luұn rҵng sӕ hҥng phi tuyӃn trong biӇu thӭc biӃn dҥng ÿyQJYDLWUz quan trӑng ÿӃQÿӝ chính xác cӫa phҫn tӱ trong phân tích chuyӇn vӏ lӟn cho kӃt cҩu dҫm và khung
Sophy Chhang (2017) [4] ÿm WKLӃt lұp mӝt phҫn tӱ ÿӗng xoay dӵa trên lý thuyӃt dҫm Euler-%HURXOOLYjSKѭѫQJSKiS QăQJOѭӧng-ÿӝQJOѭӧng ÿӅ SKkQWtFKÿӝng khung phҷng Các kӃt quҧ sӕ hӑFÿmFKӭng mình tính әQÿӏnh và hiӋu quҧ cӫDSKѭѫQJ SKiSÿӗng xoay
Elkaranshawy (2018) [5]ÿmthiӃt lұp lҥi các công thӭFÿӗng xoay dӵa trên lý thuyӃt dҫm Euler-%HUQRXOOLÿӇ SKkQWtFKWƭQKYjÿӝng hӋ khung thép KӃt quҧ FNJQJ cho thҩy tính hiӋu quҧ cӫDSKѭѫQJSKiSÿӗng xoay vӟi lӡi giҧi sӱ dөng ít phҫn tӱ, QKDQKYjFKtQK[iFKѫQFiFSKѭѫQJSKiSÿmÿѭӧc nghiên cӭXWUѭӟFÿy
NguyӉQ ĈuQK LrQ [6] ÿm SKkQ WtFK ÿjQ Kӗi chuyӇn vӏ lӟn khung phҷng sӱ dөng phҫn tӱ ÿӗng xoay có kӇ ÿӃn nhӳng sӕ hҥng phi tuyӃn bұc cao trong ten-[ѫbiӃn dҥng Green ĈRjQ1Jӑc Tӏnh Nghiêm (2010) [7] ÿmSKkQWtFKSKLWX\Ӄn hình hӑc và vұt liӋu khung thép phҷng chӏu tác dөQJÿӝQJÿҩt sӱ dөQJSKѭѫQJSKiSYQJGҿo
NguyӉQ3K~&ѭӡng (2010) [8] phân tích phi tuyӃn hình hӑc và vұt liӋu cho khung thép phҷng nӱa cӭng chӏu tҧLÿӝQJÿҩt bҵQJSKѭѫQJSKiSYQJGҿo
NguyӉQĈuQK.LrQ cùng các cӝng sӵ (2013) [9] ÿmSKkQWtFKSKLWX\Ӄn hình hӑc cho khung thép phҷng WURQJÿy phҫn tӱ hӳu hҥn dҫm-cӝWÿѭӧc xây dӵng dӵa trên lý thuyӃt dҫm Timoshenko
NguyӉn Trӑng Lâm (2014) [10] ÿm SKkQ WtFK SKL WX\Ӄn khung thép bҵng SKѭѫQJSKiSWtFKSKkQVӕ WURQJÿy ma trұQÿӝ cӭng phҫn tӱ ÿѭӧc xây dӵng tӯ SKѭѫQJ pháp lӵc
NguyӉn Thӏ Thùy Linh (2014) [11] ÿmthiӃt lұp phҫn tӱ dҫm-cӝt sӱ dөng hàm ÿDWKӭc bұc QăP xҩp xӍ hóa lӡi giҧi SKѭѫQJWUuQKYLSKkQFKӫ ÿҥo ÿӇ phân tích phi tuyӃn khung thép
NguyӉn Lê Công Tín [12] ÿmSKkQWtFKSKLWX\Ӄn hình hӑc khung thép phҷng sӱ dөng phҫn tӱ dҫm cӝt Fy[pWÿӃn sӵ làm viӋc cӫa liên kӃt nӱa cӭng ĈRjQ1Jӑc Tӏnh Nghiêm (2016) [13] ÿmWUuQKEj\ mӝt phҫn tӱ ÿӗng xoay FKRSKkQWtFKÿjQKӗi bұc hai cӫa kӃt cҩu khung thép phҷng chӏu tác dөng cӫa tҧLWƭQKYjÿӝng Phҫn tӱ ÿӗQJ[RD\ÿӅ xuҩWFy[pWÿӃn cҧ WiFÿӝng cӫa lӵc dӑc trөFÿӃQÿӝ cӭng uӕn cӫa cҩu kiӋn lүn sӵ WKD\ÿ{LFӫa biӃn dҥng dӑc trөc do sӵ [RD\ÿҫu mút phҫn tӱ MӝWFKѭѫQJWUuQKSKkQWtFKNӃt cҩXÿѭӧc phát triӇn bҵng ngôn ngӳ lұp trình 0$7/$%ÿӇ tӵ ÿӝng hóa quá trình phân tích và kӃt quҧ phân tích cӫDQyÿѭӧc so sánh vӟi các nghiên cӭXWUѭӟFÿy3Kҫn tӯ ÿӗQJ[RD\ÿӅ xuҩt ӣ nghiên cӭu này tӓ ra rҩt hiӋu quҧ YjFyÿӝ tin cұ\FDRWURQJSKkQWtFKÿjQKӗi chuyӇn vӏ lӟn cho cҩu kiӋn và hӋ kӃt cҩu khung phҷng chӏu tҧi trӑQJWƭQKYjÿӝng, kӇ cҧ tҧi trӑQJÿӝQJÿҩt Bҵng viӋc chӍ sӱ dөng mӝt hoһc hai phҫn tӱ ÿӅ xuҩt cho mӛi cҩu kiӋQSKѭѫQJSKiSYjFKѭѫQJWUuQKÿӅ xuҩt có thӇ dӵ ÿRiQFKtQK[iFӭng xӱ phi tuyӃn hình hӑc cӫa hӋ kӃt cҩu.
Tính cҩp thiӃt cӫDÿӅ tài
Vӟi tӕFÿӝ phát triӇn cӫa máy tính cá nhân trong thӡi gian gҫQÿk\WӕFÿӝ xӱ lý và khҧ QăQJOѭXWUӳ cӫDPi\WtQKQJj\FjQJÿiSӭng tӕt nhӳng yêu cҫu xӱ lý tính toán và mô phӓng phӭc tҥSĈӕi vӟi viӋc phân tích kӃt cҩu sӱ dөQJSKѭѫQJSKiS phân tӱ hӳu hҥn có kӇ ÿӃQWiFÿӝng cӫa phi tuyӃn hình hӑc và có thӇ phân tích theo lӏch sӱ thӡi gian, viӋc áp dөQJFiFSKѭѫQJSKiSP{SKӓng mӟi sӁ giúp cho viӋc phân tích trӣ nên hiӋu quҧ KѫQQKDQKKѫQFKtQK[iFKѫQYjWӕLѭXQJXӗn tài nguyên máy tính
GҫQÿk\PӝWYjLFKѭѫQJWUuQKQKѭ$%$486$16 @ K T 1 0 , véc-WѫWҧi trӑng nút tәng thӇ ^ ` F ex 1 0 , véc-WѫQӝi lӵc tәng thӇ JLDWăQJ^ ` F in 1 0 (^ ` ^ ` F in 1 0 0 nӃu kӃt cҩu không có chuyӇn vӏ EDQ ÿҫu) và tính toán véc-Wѫ Wҧi trӑQJ Gѭ Wәng thӇ theo
%ѭӟc (V): ÈSÿһWÿLӅu kiӋn biên rút gӑn ma trұn và các véc-Wѫ lӵc, véc-Wѫ chuyӇn vӏ
%ѭӟc (VI): tìm các thành phҫn cӫa chuyӇn vӏ JLDWăQJWKHRF{QJWKӭc:
7URQJÿy^ ` F ÿѭӧc xem là véc-WѫWҧi trӑng tәng tham chiӃu cӫa hӋ WѭѫQJ ӭng vӟi tham sӕ tҧi trӑng là 1 Hay có thӇ hiӇu ^ ` F ex 1 0 O 1 1 ^ ` F
%ѭӟc (VII): Tính toán chuyӇn vӏ JLDWăQJWәng và cұp nhұt chuyӇn vӏ tәng theo:
%ѭӟc (VIII): Tính toán chiӅu dài cung:
9jÿLÿӃn %ѭӟc 8 x Ĉӕi vӟi vòng lһp thӭ nhҩt (i = 1) cӫa các bѭӟc tҧi ngoҥi trӯ Eѭӟc gia tҧLÿҫu (j # 1)
%ѭӟc 1: Tính toán ma trұQÿӝ cӭng tiӃp tuyӃn phҫn tӱ T e 0
K j ê º ơ ẳ và vộc-WѫQӝi lӵc phҫn tӱ ^ ` ^ ` F in e 0 j F in e sactisfied j 1
, véc-WѫWҧi trӑng nút ^ ` ^ ` F ex e 0 j F ex e sactisfied j 1 tӯ lӡi giҧi ÿmKӝi tө tӯ Eѭӟc gia tҧLWUѭӟFÿy
%ѭӟc 2: lҳp ghép ma trұQÿӝ cӭng tәng thӇ > @ K T 0 j , véc-WѫWҧi trӑng tәng thӇ
^ ` F ex 0 j , véc-WѫQӝi lӵc tәng thӇ JLDWăQJ^ ` F in 0 j
%ѭӟc 3: ÈSÿһWÿLӅu kiӋn biên
%ѭӟc 4: Tính toán giá trӏ chuyӇn vӏ tiӃp tuyӃn:
%ѭӟc 5: Tính toán giá trӏ JLDWăQJEDQÿҫu cho mӛLEѭӟc gia tҧi j:
Dҩu ³´KRһF³-´ӣ SKѭѫQJWUuQK(3.10) ÿѭӧF[iFÿLQKWKHRQKLӅXSKѭѫQJ pháp khác nhau Trong luұQYăQQj\WiFJLҧ [iFÿLQKGҩu theo giá trӏ WtFKY{Kѭӟng chuyӇn vӏ JLDWăQJtheo SKѭѫQJWUuQK(3.11) ÿmÿѭӧc nghiên cӭu Posada (2007) [26] QKѭOjSKѭѫQJSKiSWӕWKѫQFҧ khi kӃt hӧp phân tích vӟi thuұt toán Arc-length
Cұp nhұt tham sӕ tҧLJLDWăQJ' O 1 j GO 0 j O 1 j ' O 1 j O j satisfied 1
%ѭӟc 6: tính toán giá trӏ chuyӇn vӏ JLDWăQJ
%ѭӟc 7: Cұp nhұt véc-Wѫ chuyӇn vӏ JLDWăQJWәng và chuyӇn vӏ tәng,
^ ` ^ ` q 1 j q satisfied j 1 ^ ` G q 1 j (3.14) x Ĉӕi vӟi vòng lһp thӭ 2 (i >= 2) cho tҩt cҧ các bѭӟc gia tҧi (j # 1)
%ѭӟc 8: Cұp nhұt véc-WѫQJRҥi lӵc tәng thӇ ^ ` F ex i j 1 O i j 1 ^ ` F , véc-WѫQӝi lӵc tәng thӇ ^ ` F in i j 1 và véc-WѫOӵFGѭ^ ` ^ ` ^ ` R i j 1 F in i j 1 F ex i j 1
7URQJÿy^ ` F in i j 1 ÿѭӧc tính toán tӯ viӋc chӗng chҩt véc-WѫQӝi lӵc phҫn tӱ tәng thӇ ^ ` f e > @ B T ^ ` f L e cӫa phҫn tӱ ÿӗng xoay
%ѭӟc 9: cұp nhұt ma trұQÿӝ cӭng tiӃp tuyӃn phҫn tӱ T e i 1
K j ê º ơ ẳ , lҳp ghộp ma trұQÿӝ cӭng tәng thӇ > @ K T i j 1 YjiSÿһWÿLӅu kiӋn biên
%ѭӟc 10: tìm giá trӏ chuyӇn vӏ tiӃp tuyӃn và chuyӇn vӏ JLDWăQJ
%ѭӟc 11: Tính toán tham sӕ lӵFJLDWăQJGO i j 1 tӯ SKѭѫQJWUuQKEұc 2:
NghiӋm cӫDSKѭѫQJWUuQK(3.17) sӁ FKRUDWUѭӡng hӧSQKѭVDX
TUѭӡng hӧp 1: PKѭѫQJWUuQKFyQJKLӋm thӵc
Lӡi giҧLFKtQK[iFWuPÿѭӧc bҵng cách so sánh giӳa hai nghiӋm thӵc 1
GO j NghiӋm chính xác bҵng cách chӑn nghiӋm có góc giӳa 'q i j và 'q i j 1 nhӓ nhҩt, vì vұy có cosin là lӟn nhҩt
'RÿyQJKLӋm sӁ ÿѭӧc chӑn có cosT lӟQKѫQQJKLӋm kia, vӟi:
7Uѭӡng hӧp 2: 3KѭѫQJWUuQKFyPӝt nghiӋm thӵc:
7Uѭӡng hӧp 3: 3KѭѫQJWUuQKNK{QJFyQJKLӋm:
Crisfield (1991) [18] ÿӅ xuҩt nên giҧm bán kính cung theo công thӭc:
VӟLE Trong luұQYăQQj\WiFJLҧ chӑn E 0.5
%ѭӟc 12: tính toán véc-WѫFKX\Ӈn vӏ JLDWăQJFKtQK[iF
^ ` G q i j ^ ` G q i j GO G i j 1 ^ ` q ệ i j (3.28) Cұp nhұt véc-WѫFKX\Ӈn vӏ JLDWăQJWәng, véc-WѫFKX\Ӈn vӏ tәng và tham sӕ lӵFJLDWăQJ
%ѭӟc 13: TiӃn hành lһp tӯ Bѭӟc 9 ÿӃn %ѭӟc 13 FKRÿӃn khi thӓa mãn tiêu chuҭn hӝi tө:
%ѭӟc 14: HiӋu chӍnh chiӅu dài cung FKREѭӟc tҧi tiӃp theo:
7URQJÿy I d là sӕ Eѭӟc lһp mong muӕn hӝi tө ÿѭӧF[iFÿӏnh ӣ thông sӕ ÿҫu vào khi giҧi bài toán), I 0 sӕ Eѭӟc lһp cҫn thiӃWÿӇ thӵc hiӋn hӝi tө tҥLEѭӟc tҧi hiӋn tҥi j
%ѭӟc 15: Quay lҥi %ѭӟc 1 FKRÿӃn khi thӵc hiӋQEѭӟc gia tҧi mӟi và thӵFFKRÿӃn khi thҧo mãn yêu cҫu phân tích cӫDÿӅ bài x /ѭXÿӗ thuұt toán
Hình 3-3 /˱Xÿ͛ thu̵t toán chi͉u dài cung
Trong luұQYăQQj\WiFJLҧ sӱ dөQJSKѭѫQJSKiSOһp trӵc tiӃp ÿӇ phân tích tính chҩWÿӝng hӑc cӫa kӃt cҩu vӟi pKѭѫQJWUuQKÿӝng lӵc hӑc phi tuyӃQQKѭVDX ê º ơ f k f g ẳ n p n (3.35)
Newmark (1959) [34] ÿmSKiWWULӇQSKѭѫQJSKiSOһSWKHREѭӟc thӡi gian hay còn gӑi là thuұt toán Newmark-ȕ ÿӇ giҧLSKѭѫQJWUuQKWUrQ, bao gӗm SKѭѫQJSKiS gia tӕFWUXQJEuQKYjSKѭѫQJSKiSJLDWӕc tuyӃn tính:
Hình 3-4 (a) PP Gia t͙c trung bình; (b) PP Gia t͙c tuy͇n tính
Trong luұQYăQQj\ tác giҧ sӱ dөQJSKѭѫQJSKiS1HZPDUN-ȕYӟi các công thӭFÿѭӧc thiӃt lұSWKHRSKѭѫQJSKiSJLDWӕc trung bình do không cҫQÿLӅu kiӋn әn ÿӏnh sӕ hӑc Công thӭc theo SKѭѫQJSKiSWUrQ ÿѭӧc thiӃt lұp QKѭVDX
3.2.2 Th ͯ t ͭ c gi ̫ i phi tuy ͇ n ĈӇ giҧLSKѭѫQJWUuQKÿӝng lӵc hӑc phi tuyӃQSKѭѫQJSKiSNewmark-ȕ ÿѭӧc kӃt hӧp vӟi quy trình giҧi phi tuyӃn ÿӇ khӱ lӵFGѭWURQJ mӛLEѭӟc thӡi gian t n 1 :
Véc-Wѫ vұn tӕc và gia tӕFFKѭDELӃt tҥi thӡLÿLӇm t n 1 có thӇ ÿѭӧc viӃt bҵng các biӇu thӭc cӫa véc-Wѫ chuyӇn vӏ FKѭDELӃt tҥi thӡLÿLӇPWѭѫQJӭng
Có nhiӅu thӫ tөc giҧi pháp phi tuyӃn tính khác nhau Trong luұn YăQ này, tác giҧ sӱ dөng SKѭѫQJSKiSOһp 1HZWRQÿӇ khӱ sai sӕ
Trong thӫ tөc Newton, lӵFGѭWҥi thӡLÿLӇm t n 1 VDXEѭӟc lһp k+1: n k 1 1 n k 1 n k 1 n k 1 1 n k 1 r q r q S q q q (3.42)
S q r q ÿѭӧc gӑi là ma trұn lһp (3.43) Đw ã Đw ã ăâw áạ ăâw áạ
Véc-WѫKLӋu chӍnh 'q k có thӇ ÿѭӧc [iFÿӏnh tӯ SKѭѫQJWUuQK3.42)
Bҵng viӋc lһp cұp nhұt 'q k , lӵFGѭÿѭӧc khӱ dҫn TҥLEѭӟc lһp k+1, ta có:
3KѭѫQJWUuQKOӵFGѭ3.41) phҧLÿѭӧc thӓa mãn trong mӛLEѭӟc thӡi gian vӟi sai sӕ chӑQWUѭӟc: r H (3.50)
7URQJÿy H ÿѭӧc chӑn là 10 -5 cӫa tҧi tác dөng
&iFSKѭѫQJWUuQK3.36) và (3.37ÿѭӧc sӱ dөQJÿӇ dӵ ÿRiQq n 1 và q n 1 , vӟi gia tӕFÿѭӧc khӣi tҥo ӣ EѭӟFÿҫu tiên
Tӯ SKѭѫQJWUuQK3.36) và (3.37) ta có:
Sӱ dөng biӇu thӭc này, ma trұn lһSÿѭӧc viӃt lҥLQKѭVDX
4.1.1 Ví d ͭ 1: D ̯ m công-xôn ch ͓ u t ̫ i tr ͕ ng t ̵ p trung
Dҫm công-xôn chӏu tҧi trӑQJÿӭng tҥLÿҫu tӵ do cӫa dҫm ÿѭӧc áp dөng ÿӇ kiӇm tra khҧ QăQJSKkQWtFKSKLWX\Ӄn hình hӑc dҫm và khung phҷng chuyӇn vӏ lӟn sӱ dөQJSKѭѫQJSKiSSKҫn tӱ hӳu hҥn &ѫFҩu hình hӑFEDQÿҫXYjÿһFWUѭQJFӫa dҫPÿѭӧc thӇ hiӋn trong Hình 4-1
Hình 4-1 D̯m công-xôn ch͓u t̫i t̵p trung P
Vӟi A = 2.391Ő10 -3 m 2 và I = 4.762Ő10 -7 m 4 , tiӃt diӋn chӳ nhұt ÿѭӧFTX\ÿәi WѭѫQJӭQJFyNtFKWKѭӟc là b = 0.04937729835m, h = 0.04842306242m, v 0.3
KӃt quҧ khi phân tích tӯ CODSAP khi chӍ sӱ dөng 3 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJ thuӝF,,(ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-2 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 0.12%
Hình 4-2 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ theo quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩Lÿ̯u công-xôn
KӃt quҧ phân tích Hình 4-3 ÿӕi vӟLP{KuQKÿѭӧc xây dӵng tӯ phҫn tӱ nӝi
VX\WѭѫQJWKXӝc IIE cho kӃt quҧ WѭѫQJÿӕi tӕt khi chӍ sӱ dөng 3 phҫn tӱ so vӟi lӡi giҧi giҧi tích Elliptic cӫa Matiasson (1981) [16]
Hình 4-3 Quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩Lÿ̯u d̯m công-xôn
Trҥng thái các cҩu hình chuyӇn vӏ cӫa dҫPÿѭӧc ghi nhұn tҥi các thӡLÿLӇm ӭng vӟi các tham sӕ lӵFÿѭӧc thӇ hiӋn trong Hình 4-4 cho thҩy mӭFÿӝ chuyӇn vӏ rҩt lӟn cӫa dҫm công-xôn này
Hình 4-4 &˯F̭u chuy͋n v͓ ͱng vͣi các giá tr͓ t̫i P vͣi 3 ph̯n t͵ IIE
4.1.2 Ví d ͭ 2: Khung Lee ch ͓ u t ̫ i t ̵ p trung
6ѫÿӗ khung Lee YjFiFÿһFWUѭQJKuQKKӑFÿѭӧc thӇ hiӋn trong Hình 4-5 Seng-Lip Lee (1968) [14] ÿmJLҧi quyӃt bài toán bҵQJSKѭѫQJSKiSJLҧi tích vӟi mô vұt liӋu ӭng xӱ ÿjQKӗi tuyӃn tính và bӓ qua biӃn dҥng dӑc trөc Tác giҧ tiӃn hành SKkQWtFKÿjQKӗi phi tuyӃn hình hӑc
Hình 4-5 0{KuQKYjÿ̿FWU˱QJkhung Lee
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng 10 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-6 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 1.37% khi so vӟi 20 phҫn tӱWURQJÿyXYjYOҫQOѭӧt là chuyӇn vӏ QJDQJYjÿӭng tҥi ÿLӇPÿһt lӵc
Hình 4-6 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ theo quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩LÿL͋Pÿ̿t lc
KӃt quҧ phân tích khung Lee mô phӓng mӛi cҩu kiӋn bҵng 10 phҫn tӱ IIE ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ sӱ dөng 20 phҫn tӱ Timoshenko bӣi Batini (2002) [23] QKѭHình
4-7 KӃt quҧ cho thҩ\FKѭѫQJWUuQKKӝi tө tӕt vӟi kӃt quҧ ÿmÿѭӧc nghiên cӭu
Hình 4-7 Quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩Lÿi͋Pÿ̿t lc
Nhӳng cҩu hình chuyӇn vӏ lӟn cӫa khung Lee trong quá trình gia tҧi và dӥ tҧi ÿѭӧc ghi nhұn và thӇ hiӋn trong Hình 4-8
Hình 4-8 &˯F̭u chuy͋n v͓ cͯa khung Lee vͣi 10 ph̯n t͵ IIE
4.1.3 Ví d ͭ 3: Khung c ͝ ng ch ͓ u t ̫ i t ̵ p trung
Khung cәng Hình 4-9 ÿѭӧc phân tích trong nghiên cӭu cӫa Li (2007) [27] và Yang và Peng (2011) [32] là bài toán phân tích chuyӇn vӏ lӟn và góc xoay lӟQÿѭӡng quan hӋ lӵc chuyӇn vӏ ÿҥWÿѭӧc tӯ mô hình phҫn tӱ IIE cho thҩy khҧ QăQJSKkQWtFK phi tuyӃn hình hӑc cӫDFKѭѫQJWUuQK
Hình 4-9 Khung c͝ng ch͓u t̫i t̵p trung
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 8 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-10 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 0.05% khi so vӟi 10 phҫn tӱWURQJÿyYOjFKX\Ӈn vӏ ÿӭng tҥLÿLӇPÿһt lӵc
Hình 4-10 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ theo quan h lc ± chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc
KӃt quҧ phân tích khung cәng mô phӓng mӛi cҩu kiӋn bҵng 8 phҫn tӱ IIE ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ sӱ dөng 10 phҫn tӱ Timoshenko bӣi Yang (2011) [32] QKѭHình
4-11 CODSAP sӱ dөng 8 phҫn tӱ ,,(ÿmFKRNӃt quҧ WѭѫQJÿӕi sát vӟi 10 phҫn tӱ
Hình 4-11 Quan h lc ± chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc
Nhӳng cҩu hình chuyӇn vӏ lӟn cӫa khung cәng trong quá trình gia tҧi và dӥ tҧi ÿѭӧc ghi nhұn và thӇ hiӋn trong Hình 4-9
Hình 4-12 &˯F̭u chuy͋n v͓ ͱng vͣi các giá tr͓ t̫i P vͣi 8 ph̯n t͵ IIE
4.2 3KkQWtFKÿӝng phi tuyӃn hӋ khung phҷng
4.2.1 Ví d ͭ 4: D ̯ m KDLÿ̯ u ngàm ch ͓ u t ̫ i t ̵ p trung
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2009) [30], mӝt dҫPKDLÿҫXQJjPÿmÿѭӧc phân tích dùng phҫn tӱ ÿӗng xoay dӵa vào lý thuyӃt dҫm Euler-Bernoulli &ѫFҩu hình hӑc cӫa dҫPÿѭӧc thӇ hiӋQQKѭHình 4-10 vӟLFiFÿһFWUѭQJL = 1.8m, a = 1.576Ő10 -2 m,
Hình 4-13 Ĉ̿FWU˱QJKuQKK͕c d̯PKDLÿ̯u ngàm
Hình 4-14 &iFWU˱ͥng hͫp t̫i tr͕ng cho d̯PKDLÿ̯u ngàm
Dҫm chӏu tҧi trӑng tұp trung tҥi vӏ trí giӳa dҫm vӟi giá trӏ tҧi P 0 = 70N
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 6 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 0.15Ő10 -5 VÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-15 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 2.4%
Hình 4-15 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP mô phӓng dҫm bҵng 6 phҫn tӱ IIE vӟi Eѭӟc thӡi gian Dt = 0.15Ő10 -5 s ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ ÿmKӝi tө sӱ dөng 48 phҫn tӱ vӟL Eѭӟc thӡi gian Dt = 0.125Ő10 -5 s QKѭHình 4-16 KӃt quҧ tӯ CODSAP khi sӱ dөng 6 phҫn tӱ IIE cho kӃt quҧ gҫn vӟi 48 phҫn tӱ Euler-Bernoulli cӫa Nam (2009)
Hình 4-16 Chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
Dҫm chӏu tҧi trӑng tұp trung tҥi 1/3 nhӏp dҫm vӟi giá trӏ tҧi P 0 = 70N
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 6 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝc ,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 0 5Ő10 -5 VÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-17 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 3.8%
Hình 4-17 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP mô phӓng dҫm bҵng 6 phҫn tӱ ,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 0.5Ő10 -5 s ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ ÿmKӝi tө sӱ dөng 48 phҫn tӱ vӟL Eѭӟc thӡi gian Dt = 0.25Ő10 -5 s QKѭHình 4-18 KӃt quҧ tӯ
CODSAP sӱ dөng 6 phҭn tӱ IIE WѭѫQJÿӕi sát vӟi kӃt quҧ cӫa Nam (2009) sӱ dөng 6 phҫn tӱ Euler-Bernoulli
Hình 4-18 Chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
Dҫm chӏu tҧi trӑng tұp trung tҥi 1/3 nhӏp dҫm vӟi tҧLÿLӅu hòa P P 0 sinZt, WURQJÿyP 0 = 140N tҫn sӕ f = 2500Hz
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng 9 phҫn tӱ nӝi VX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 2.5Ő10 -7 VÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭ
Hình 4-19 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP vӟi 12 phҫn tӱ IIE và Eѭӟc thӡi gian Dt = 2.5Ő10 -7 s ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ ÿmKӝi tө sӱ dөng 48 phҫn tӱ vӟLEѭӟc thӡi gian Dt = 1.25Ő10 -5 VQKѭHình 4-20 KӃt quҧ tӯ CODSAP sӱ dөng 9 phҭn tӱ ,,( WѭѫQJ ÿӕi sát vӟi kӃt quҧ cӫa Nam (2009) sӱ dөng 9 phҫn tӱ Euler- Bernoulli
Hình 4-20 Chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
4.2.2 Ví d ͭ 5: D ̯ m công xôn ch ͓ u t ̫ i tr ͕QJÿL͉ u hòa
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2011) [2], mӝt dҫm công xôn có chiӅu dài L 10m vӟi tiӃt diӋQÿӗng nhҩt vӟi tҧLÿLӅu hòa P P 0 sin Z t ÿһt tҥLÿҫu tӵ do vӟi biên ÿӝ tҧi P 0 = 10MN và tҫn sӕ GDRÿӝng Z= 50rad/s
Hình 4-21 D̯m công-xôn vͣi t̫LÿL͉u hòa
.tFKWKѭӟc tiӃt diӋn lҫQOѭӧt là a = 0.25m và e = 0.5m Mô-ÿXQ ÿjQKӗi E 210GPa và khӕLOѭӧng riêng r = 7850kg/m 3
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 4 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian ' t 10 s 4 ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕt QKѭHình 4-22 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 5.0%
Hình 4-22 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP mô phӓng dҫm bҵng 4 phҫn tӱ IIE YjEѭӟc thӡi gian ' t 10 s 4 ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ hӝi tө vӟi 48 phҫn tӱ theo Nam (2011) và ABAQUS vӟi sӕ Oѭӧng phҫn tӱ rҩt lӟn QKѭHình 4-23 và Hình
4-24 CODSAP cho kӃt quҧ WѭѫQJ ÿӕi sát vӟi nghiên cӭX WUѭӟF ÿy và kӃt quҧ tӯ ABAQUS
Hình 4-23 Chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
Hình 4-24 Chuy͋n v͓ ngang t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
4.2.3 Ví d ͭ 6: Khung Lee ch ͓ u t ̫ i tr ͕ ng xung
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2011) [2], mӝt khung Lee vӟi tiӃt diӋn chӳ nhұt ÿӗng nhҩt vӟi tҧi xung P 0 = 4.1MN ÿһt ӣ vӏ WUtQKѭHình 4-25 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 2.3%
Hình 4-25 Khung Lee ch͓u t̫i t̵p trung
&iFNtFKWKѭӟc cӫa các cҩu kiӋn gӗm L = 2.4m, a = 0.2m và e = 0.3m Mô- ÿXQ ÿjQKӗi E = 210GPa và khӕLOѭӧng riêngU 7850kg/m 3
TҧL[XQJ3ÿѭӧFÿӏQKQJKƭDQKѭVDX
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 8 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian ' t 2.5 10 su 3 ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-26 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 4.8%
Hình 4-26 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
Thuұt toán Newmark-ȕ
Trong luұQYăQQj\WiFJLҧ sӱ dөQJSKѭѫQJSKiSOһp trӵc tiӃp ÿӇ phân tích tính chҩWÿӝng hӑc cӫa kӃt cҩu vӟi pKѭѫQJWUuQKÿӝng lӵc hӑc phi tuyӃQQKѭVDX ê º ơ f k f g ẳ n p n (3.35)
Newmark (1959) [34] ÿmSKiWWULӇQSKѭѫQJSKiSOһSWKHREѭӟc thӡi gian hay còn gӑi là thuұt toán Newmark-ȕ ÿӇ giҧLSKѭѫQJWUuQKWUrQ, bao gӗm SKѭѫQJSKiS gia tӕFWUXQJEuQKYjSKѭѫQJSKiSJLDWӕc tuyӃn tính:
Hình 3-4 (a) PP Gia t͙c trung bình; (b) PP Gia t͙c tuy͇n tính
Trong luұQYăQQj\ tác giҧ sӱ dөQJSKѭѫQJSKiS1HZPDUN-ȕYӟi các công thӭFÿѭӧc thiӃt lұSWKHRSKѭѫQJSKiSJLDWӕc trung bình do không cҫQÿLӅu kiӋn әn ÿӏnh sӕ hӑc Công thӭc theo SKѭѫQJSKiSWUrQ ÿѭӧc thiӃt lұp QKѭVDX
3.2.2 Th ͯ t ͭ c gi ̫ i phi tuy ͇ n ĈӇ giҧLSKѭѫQJWUuQKÿӝng lӵc hӑc phi tuyӃQSKѭѫQJSKiSNewmark-ȕ ÿѭӧc kӃt hӧp vӟi quy trình giҧi phi tuyӃn ÿӇ khӱ lӵFGѭWURQJ mӛLEѭӟc thӡi gian t n 1 :
Véc-Wѫ vұn tӕc và gia tӕFFKѭDELӃt tҥi thӡLÿLӇm t n 1 có thӇ ÿѭӧc viӃt bҵng các biӇu thӭc cӫa véc-Wѫ chuyӇn vӏ FKѭDELӃt tҥi thӡLÿLӇPWѭѫQJӭng
Có nhiӅu thӫ tөc giҧi pháp phi tuyӃn tính khác nhau Trong luұn YăQ này, tác giҧ sӱ dөng SKѭѫQJSKiSOһp 1HZWRQÿӇ khӱ sai sӕ
Trong thӫ tөc Newton, lӵFGѭWҥi thӡLÿLӇm t n 1 VDXEѭӟc lһp k+1: n k 1 1 n k 1 n k 1 n k 1 1 n k 1 r q r q S q q q (3.42)
S q r q ÿѭӧc gӑi là ma trұn lһp (3.43) Đw ã Đw ã ăâw áạ ăâw áạ
Véc-WѫKLӋu chӍnh 'q k có thӇ ÿѭӧc [iFÿӏnh tӯ SKѭѫQJWUuQK3.42)
Bҵng viӋc lһp cұp nhұt 'q k , lӵFGѭÿѭӧc khӱ dҫn TҥLEѭӟc lһp k+1, ta có:
3KѭѫQJWUuQKOӵFGѭ3.41) phҧLÿѭӧc thӓa mãn trong mӛLEѭӟc thӡi gian vӟi sai sӕ chӑQWUѭӟc: r H (3.50)
7URQJÿy H ÿѭӧc chӑn là 10 -5 cӫa tҧi tác dөng
&iFSKѭѫQJWUuQK3.36) và (3.37ÿѭӧc sӱ dөQJÿӇ dӵ ÿRiQq n 1 và q n 1 , vӟi gia tӕFÿѭӧc khӣi tҥo ӣ EѭӟFÿҫu tiên
Tӯ SKѭѫQJWUuQK3.36) và (3.37) ta có:
Sӱ dөng biӇu thӭc này, ma trұn lһSÿѭӧc viӃt lҥLQKѭVDX
4.1.1 Ví d ͭ 1: D ̯ m công-xôn ch ͓ u t ̫ i tr ͕ ng t ̵ p trung
Dҫm công-xôn chӏu tҧi trӑQJÿӭng tҥLÿҫu tӵ do cӫa dҫm ÿѭӧc áp dөng ÿӇ kiӇm tra khҧ QăQJSKkQWtFKSKLWX\Ӄn hình hӑc dҫm và khung phҷng chuyӇn vӏ lӟn sӱ dөQJSKѭѫQJSKiSSKҫn tӱ hӳu hҥn &ѫFҩu hình hӑFEDQÿҫXYjÿһFWUѭQJFӫa dҫPÿѭӧc thӇ hiӋn trong Hình 4-1
Hình 4-1 D̯m công-xôn ch͓u t̫i t̵p trung P
Vӟi A = 2.391Ő10 -3 m 2 và I = 4.762Ő10 -7 m 4 , tiӃt diӋn chӳ nhұt ÿѭӧFTX\ÿәi WѭѫQJӭQJFyNtFKWKѭӟc là b = 0.04937729835m, h = 0.04842306242m, v 0.3
KӃt quҧ khi phân tích tӯ CODSAP khi chӍ sӱ dөng 3 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJ thuӝF,,(ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-2 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 0.12%
Hình 4-2 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ theo quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩Lÿ̯u công-xôn
KӃt quҧ phân tích Hình 4-3 ÿӕi vӟLP{KuQKÿѭӧc xây dӵng tӯ phҫn tӱ nӝi
VX\WѭѫQJWKXӝc IIE cho kӃt quҧ WѭѫQJÿӕi tӕt khi chӍ sӱ dөng 3 phҫn tӱ so vӟi lӡi giҧi giҧi tích Elliptic cӫa Matiasson (1981) [16]
Hình 4-3 Quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩Lÿ̯u d̯m công-xôn
Trҥng thái các cҩu hình chuyӇn vӏ cӫa dҫPÿѭӧc ghi nhұn tҥi các thӡLÿLӇm ӭng vӟi các tham sӕ lӵFÿѭӧc thӇ hiӋn trong Hình 4-4 cho thҩy mӭFÿӝ chuyӇn vӏ rҩt lӟn cӫa dҫm công-xôn này
Hình 4-4 &˯F̭u chuy͋n v͓ ͱng vͣi các giá tr͓ t̫i P vͣi 3 ph̯n t͵ IIE
4.1.2 Ví d ͭ 2: Khung Lee ch ͓ u t ̫ i t ̵ p trung
6ѫÿӗ khung Lee YjFiFÿһFWUѭQJKuQKKӑFÿѭӧc thӇ hiӋn trong Hình 4-5 Seng-Lip Lee (1968) [14] ÿmJLҧi quyӃt bài toán bҵQJSKѭѫQJSKiSJLҧi tích vӟi mô vұt liӋu ӭng xӱ ÿjQKӗi tuyӃn tính và bӓ qua biӃn dҥng dӑc trөc Tác giҧ tiӃn hành SKkQWtFKÿjQKӗi phi tuyӃn hình hӑc
Hình 4-5 0{KuQKYjÿ̿FWU˱QJkhung Lee
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng 10 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-6 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 1.37% khi so vӟi 20 phҫn tӱWURQJÿyXYjYOҫQOѭӧt là chuyӇn vӏ QJDQJYjÿӭng tҥi ÿLӇPÿһt lӵc
Hình 4-6 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ theo quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩LÿL͋Pÿ̿t lc
KӃt quҧ phân tích khung Lee mô phӓng mӛi cҩu kiӋn bҵng 10 phҫn tӱ IIE ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ sӱ dөng 20 phҫn tӱ Timoshenko bӣi Batini (2002) [23] QKѭHình
4-7 KӃt quҧ cho thҩ\FKѭѫQJWUuQKKӝi tө tӕt vӟi kӃt quҧ ÿmÿѭӧc nghiên cӭu
Hình 4-7 Quan h lc ± chuy͋n v͓ t̩Lÿi͋Pÿ̿t lc
Nhӳng cҩu hình chuyӇn vӏ lӟn cӫa khung Lee trong quá trình gia tҧi và dӥ tҧi ÿѭӧc ghi nhұn và thӇ hiӋn trong Hình 4-8
Hình 4-8 &˯F̭u chuy͋n v͓ cͯa khung Lee vͣi 10 ph̯n t͵ IIE
4.1.3 Ví d ͭ 3: Khung c ͝ ng ch ͓ u t ̫ i t ̵ p trung
Khung cәng Hình 4-9 ÿѭӧc phân tích trong nghiên cӭu cӫa Li (2007) [27] và Yang và Peng (2011) [32] là bài toán phân tích chuyӇn vӏ lӟn và góc xoay lӟQÿѭӡng quan hӋ lӵc chuyӇn vӏ ÿҥWÿѭӧc tӯ mô hình phҫn tӱ IIE cho thҩy khҧ QăQJSKkQWtFK phi tuyӃn hình hӑc cӫDFKѭѫQJWUuQK
Hình 4-9 Khung c͝ng ch͓u t̫i t̵p trung
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 8 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-10 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 0.05% khi so vӟi 10 phҫn tӱWURQJÿyYOjFKX\Ӈn vӏ ÿӭng tҥLÿLӇPÿһt lӵc
Hình 4-10 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ theo quan h lc ± chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc
KӃt quҧ phân tích khung cәng mô phӓng mӛi cҩu kiӋn bҵng 8 phҫn tӱ IIE ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ sӱ dөng 10 phҫn tӱ Timoshenko bӣi Yang (2011) [32] QKѭHình
4-11 CODSAP sӱ dөng 8 phҫn tӱ ,,(ÿmFKRNӃt quҧ WѭѫQJÿӕi sát vӟi 10 phҫn tӱ
Hình 4-11 Quan h lc ± chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc
Nhӳng cҩu hình chuyӇn vӏ lӟn cӫa khung cәng trong quá trình gia tҧi và dӥ tҧi ÿѭӧc ghi nhұn và thӇ hiӋn trong Hình 4-9
Hình 4-12 &˯F̭u chuy͋n v͓ ͱng vͣi các giá tr͓ t̫i P vͣi 8 ph̯n t͵ IIE
4.2 3KkQWtFKÿӝng phi tuyӃn hӋ khung phҷng
4.2.1 Ví d ͭ 4: D ̯ m KDLÿ̯ u ngàm ch ͓ u t ̫ i t ̵ p trung
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2009) [30], mӝt dҫPKDLÿҫXQJjPÿmÿѭӧc phân tích dùng phҫn tӱ ÿӗng xoay dӵa vào lý thuyӃt dҫm Euler-Bernoulli &ѫFҩu hình hӑc cӫa dҫPÿѭӧc thӇ hiӋQQKѭHình 4-10 vӟLFiFÿһFWUѭQJL = 1.8m, a = 1.576Ő10 -2 m,
Hình 4-13 Ĉ̿FWU˱QJKuQKK͕c d̯PKDLÿ̯u ngàm
Hình 4-14 &iFWU˱ͥng hͫp t̫i tr͕ng cho d̯PKDLÿ̯u ngàm
Dҫm chӏu tҧi trӑng tұp trung tҥi vӏ trí giӳa dҫm vӟi giá trӏ tҧi P 0 = 70N
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 6 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 0.15Ő10 -5 VÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-15 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 2.4%
Hình 4-15 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP mô phӓng dҫm bҵng 6 phҫn tӱ IIE vӟi Eѭӟc thӡi gian Dt = 0.15Ő10 -5 s ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ ÿmKӝi tө sӱ dөng 48 phҫn tӱ vӟL Eѭӟc thӡi gian Dt = 0.125Ő10 -5 s QKѭHình 4-16 KӃt quҧ tӯ CODSAP khi sӱ dөng 6 phҫn tӱ IIE cho kӃt quҧ gҫn vӟi 48 phҫn tӱ Euler-Bernoulli cӫa Nam (2009)
Hình 4-16 Chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
Dҫm chӏu tҧi trӑng tұp trung tҥi 1/3 nhӏp dҫm vӟi giá trӏ tҧi P 0 = 70N
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 6 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝc ,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 0 5Ő10 -5 VÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-17 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 3.8%
Hình 4-17 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP mô phӓng dҫm bҵng 6 phҫn tӱ ,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 0.5Ő10 -5 s ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ ÿmKӝi tө sӱ dөng 48 phҫn tӱ vӟL Eѭӟc thӡi gian Dt = 0.25Ő10 -5 s QKѭHình 4-18 KӃt quҧ tӯ
CODSAP sӱ dөng 6 phҭn tӱ IIE WѭѫQJÿӕi sát vӟi kӃt quҧ cӫa Nam (2009) sӱ dөng 6 phҫn tӱ Euler-Bernoulli
Hình 4-18 Chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
Dҫm chӏu tҧi trӑng tұp trung tҥi 1/3 nhӏp dҫm vӟi tҧLÿLӅu hòa P P 0 sinZt, WURQJÿyP 0 = 140N tҫn sӕ f = 2500Hz
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng 9 phҫn tӱ nӝi VX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian Dt = 2.5Ő10 -7 VÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭ
Hình 4-19 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP vӟi 12 phҫn tӱ IIE và Eѭӟc thӡi gian Dt = 2.5Ő10 -7 s ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ ÿmKӝi tө sӱ dөng 48 phҫn tӱ vӟLEѭӟc thӡi gian Dt = 1.25Ő10 -5 VQKѭHình 4-20 KӃt quҧ tӯ CODSAP sӱ dөng 9 phҭn tӱ ,,( WѭѫQJ ÿӕi sát vӟi kӃt quҧ cӫa Nam (2009) sӱ dөng 9 phҫn tӱ Euler- Bernoulli
Hình 4-20 Chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
4.2.2 Ví d ͭ 5: D ̯ m công xôn ch ͓ u t ̫ i tr ͕QJÿL͉ u hòa
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2011) [2], mӝt dҫm công xôn có chiӅu dài L 10m vӟi tiӃt diӋQÿӗng nhҩt vӟi tҧLÿLӅu hòa P P 0 sin Z t ÿһt tҥLÿҫu tӵ do vӟi biên ÿӝ tҧi P 0 = 10MN và tҫn sӕ GDRÿӝng Z= 50rad/s
Hình 4-21 D̯m công-xôn vͣi t̫LÿL͉u hòa
.tFKWKѭӟc tiӃt diӋn lҫQOѭӧt là a = 0.25m và e = 0.5m Mô-ÿXQ ÿjQKӗi E 210GPa và khӕLOѭӧng riêng r = 7850kg/m 3
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 4 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian ' t 10 s 4 ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕt QKѭHình 4-22 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 5.0%
Hình 4-22 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ chuyӇn vӏ theo lӏch sӱ thӡi gian tӯ CODSAP mô phӓng dҫm bҵng 4 phҫn tӱ IIE YjEѭӟc thӡi gian ' t 10 s 4 ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ hӝi tө vӟi 48 phҫn tӱ theo Nam (2011) và ABAQUS vӟi sӕ Oѭӧng phҫn tӱ rҩt lӟn QKѭHình 4-23 và Hình
4-24 CODSAP cho kӃt quҧ WѭѫQJ ÿӕi sát vӟi nghiên cӭX WUѭӟF ÿy và kӃt quҧ tӯ ABAQUS
Hình 4-23 Chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
Hình 4-24 Chuy͋n v͓ ngang t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
4.2.3 Ví d ͭ 6: Khung Lee ch ͓ u t ̫ i tr ͕ ng xung
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2011) [2], mӝt khung Lee vӟi tiӃt diӋn chӳ nhұt ÿӗng nhҩt vӟi tҧi xung P 0 = 4.1MN ÿһt ӣ vӏ WUtQKѭHình 4-25 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 2.3%
Hình 4-25 Khung Lee ch͓u t̫i t̵p trung
&iFNtFKWKѭӟc cӫa các cҩu kiӋn gӗm L = 2.4m, a = 0.2m và e = 0.3m Mô- ÿXQ ÿjQKӗi E = 210GPa và khӕLOѭӧng riêngU 7850kg/m 3
TҧL[XQJ3ÿѭӧFÿӏQKQJKƭDQKѭVDX
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 8 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian ' t 2.5 10 su 3 ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-26 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 4.8%
Hình 4-26 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ phân tích bҵng CODSAP mô phӓng bҵng 10 phҫn tӱ IIE YjEѭӟc thӡi gian ' t 2.5 10 su 3 ÿѭӧc so sánh vӟi kӃt quҧ hӝi tө vӟi 48 phҫn tӱ IIE theo Nam (2011) và ABAQUS vӟi sӕ Oѭӧng phҫn tӱ rҩt lӟn QKѭHình 4-27 và Hình 4-28 KӃt quҧ tӯ CODSAP WѭѫQJÿӕi sát vӟi nghiên cӭXWUѭӟFÿy và kӃt quҧ tӯ ABAQUS
Hình 4-27 Chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
Hình 4-28 Chuy͋n v͓ ngang t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
4.2.4 Ví d ͭ 7: Vòm tho ̫ i ch ͓ u t ̫ i tr ͕QJÿL͉ u hòa
Trong nghiên cӭu cӫa Nam (2011) [2], mӝt vòm thoҧi nhӏp L = 10m ÿѭӧc ngàm cӭng cҧ ÿҫu Bán kính cong cӫa vòm là R = 10m vӟi I 30 o
Hình 4-29 Vòm tho̫i ch͓u t̫LÿL͉u hòa
&iFNtFKWKѭӟc diӋn tích A = 0.087m 2 , mô-ÿXQÿjQKӗi E = 210GPa, mô-men quán tính I 3.562 10u 3 m 4 và khӕLOѭӧng riêng là U 7850kg/m 3 Vòm thoҧi có tiӃt diӋQÿӗng nhҩt chӏu tҧLÿLӅu hòa P P 0 sinZt ÿѭӧFÿһt tҥi giӳa nhӏp vӟLELrQÿӝ tҧi P 0 = 80MN và tҫn sӕ GDRÿӝng Z = 1000rad/s
KӃt quҧ khi phân tích tӯ FKѭѫQJWUuQKCODSAP khi chӍ sӱ dөng phҫn tӱ 6 phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝF,,(YjEѭӟc thӡi gian ' ut 5 10 s 5 ÿmFKRNӃt quҧ hӝi tө tӕWQKѭHình 4-30 vӟi sai sӕ lӟn nhҩt 0.8%
Hình 4-30 Kh̫RViWÿ͡ h͡i tͭ k͇t qu̫ chuy͋n v͓ ÿͱng theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ phân tích bҵng 6 phҫn tӱ ,,(YjEѭӟc thӡi gian ' ut 5 10 s 5 vӟi kӃt quҧ hӝi tө vӟi 48 phҫn tӱ theo Nam (2011) [2] và ABAQUS vӟi sӕ Oѭӧng phҫn tӱ rҩt lӟn QKѭHình 4-31
Hình 4-31 Chuy͋n v͓ ÿͱng t̩LÿL͋Pÿ̿t lc theo l͓ch s͵ thͥi gian
KӃt quҧ tӯ &2'6$3WѭѫQJÿӕi sát vӟi nghiên cӭXÿmFy cӫa Nam (2011), tuy nhiên có sӵ sai lӋch lӟn vӟi kӃt quҧ phân tích tӯ ABAQUS NKLÿmVӱ dөQJÿӃn 48 phҫn tӱ Sӵ sai lӋFK Qj\ ÿӃn tӯ viӋc mô phӓQJ SKkQ WtFK ÿӝng phi tuyӃn trong ABAQUS sӱ dөng phҫn tӱ Timoshenko vӟi ma trұn khӕLOѭӧng là ma trұn tұp trung (khӕLOѭӧng tұp trung vӅ ÿLӇm mút cӫa phҫn tӱ) Trong khi ÿyCODSAP mô phӓng ít phҫn tӱ KѫQPjYүn giӳ ÿѭӧFÿӝ chính xác do sӱ dөQJSKѭѫQJSKiSÿӗng xoay hiӋu quҧ KѫQmô phӓng bҵng phҫn tӱ IIE tiên tiӃQKѫQ cùng vӟi ma trұn khӕLOѭӧng phân bӕ
KӃt luұn
Tác giҧ ÿmthiӃt lұp phҫn tӱ hӳu hҥQÿӗng xoay theo phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJ thuӝc IIE chRSKkQWtFKWƭQKYjÿӝng khung thép phҷng.
&KѭѫQJWUuQKSKkQWtFKCODSAP có khҧ QăQJSKkQWtFKFKX\Ӈn vӏ lӟn cӫa khung thép phҷng và dӵ ÿRiQTXDQKӋ chuyӇn vӏ cӫa hӋ theo lӏch sӱ thӡLJLDQѬX ÿLӇm cӫDSKѭѫQJSKiSSKҫn tӱ ÿӗng xoay là sӱ dөng ít phҫn tӱ KѫQÿӇ mô phӓng các cҩu kiӋn so vӟLFiFSKѭѫQJSKiSWUX\Ӆn thӕQJQKѭQJYүn giӳ ÿѭӧc tính chính xác khi cho kӃt quҧ hӝi tө tӕt so vӟi nhӳng nghiên cӭXWUѭӟFÿy
KiӃn nghӏ
&KѭѫQJWUuQKSKkQWtFKJLӟi hҥn ӣ bài toán ÿjQKӗi và khung thép phҷng có chuyӇn vӏ lӟn chӏu tҧi trӑQJWƭQKYjÿӝng 'Rÿy, viӋc phát triӇn nghiên cӭu phân tích ÿӝng khung thép không gian có kӇ ÿӃn phi tuyӃn vұt liӋu và liên kӃt nӱa cӭng sӁ giúp hoàn thiӋn SKѭѫQJSKiSÿӗQJ[RD\YjÿyQJJySQKLӅXKѫQFKRQKӳng nghiên cӭu tӕi ѭXFiFOӡi giҧi phân tích kӃt cҩu hiӋn nay
A.1 Véc-Wѫ nӝi lӵc và ma trұQÿӝ cӭng tiӃp tuyӃn phҫn tӱ nӝLVX\WѭѫQJWKXӝc IIE with(linalg); with(LinearAlgebra);
Shape Function IIE mu1 := 1/(1+12*Omega); phi_1 := mu*x*((1-x/L)^2+6*Omega*(1-x/L)); phi_2 := mu*x*(-x/L+x^2/L^2+6*Omega*(x/L-1)); phi_3 := mu*(1-4*x/L+3*x^2/L^2+12*Omega*(1-x/L)); phi_4 := mu*(-2*x/L+3*x^2/L^2+12*Omega*x/L);
Transverse displacement w := phi_1*tl1+phi_2*tl2;
Local rotation t := phi_3*tl1+phi_4*tl2; dw := diff(w, x); dt := diff(t, x);
The shallow arch longitudinal strains eps := simplify(u/L+(int(dw^2, x = 0 L))/(2*L));
Ep := EA*eps^2+EI*dt^2+GA*(-t+dw)^2;
Local elastic force vector fl := simplify(grad(Epp, [u, tl1, tl2]));
Tangent stiffness matrix kl := simplify(hessian(Epp, [u, tl1, tl2]), factor);
A.2 Ma trұn khӕLOѭӧng with(linalg); with(LinearAlgebra);
Bp := (Up1*s-Up2*s-Wp1*c+Wp2*c)/L;
Local Mass Matrix for Axial and Transverse Displacement Ml1
Local Transverse Displacement w := T1*f1+T2*f2; wp := f1*(Tp1-Bp)+f2*(Tp2-Bp);
Velocity Components upG := Up1+x*(Up2-Up1)/L-wp*s-w*Bp*c; wpG := Wp1+x*(Wp2-Wp1)/L+wp*c-w*Bp*s;
Note: w is assumed to be small, hence w^2 can be neglected
Kuw := simplify(420*(int((1/2)*rho*A*(upG^2-(w*Bp*c)^2+wpG^2-(w*Bp*s)^2), x = 0 L))/(rho*A*L));
Mg1 := evalm(hessian(Kuw, [Up1, Wp1, Tp1, Up2, Wp2, Tp2]));
Ml1 := subs([21*T1-14*T2 = m1, -21*T1+14*T2 = -m1, 14*T1-21*T2 = m2, -14*T1+21*T2 = -m2], simplify(multiply(inverse(Transpose(T)), Mg1, inverse(T))));
Local Mass Matrix for Rotation Ml2
Global Rotation of Cross Section t := simplify(f3*(Tp1-Bp)+f4*(Tp2-Bp)+Bp, factor);
Ktheta := simplify(30*L*(int(((1/2)*rho*I)*t^2, x = 0 L))/(I*rho)); Global Mass Matrix Mg2
Mg2 := evalm(hessian(Ktheta, [Up1, Wp1, Tp1, Up2, Wp2, Tp2])); Lobal Mass Matrix Ml2
Ml2 := simplify(multiply(inverse(Transpose(T)), Mg2, inverse(T)));
[1] R M Souza, Force-Based Finite Element for Large Displacement Inelastic Analysis of Frames, PhD dissertation, UC Berkeley, 2000
[2] Le, T.-N., Battini, J.-M and Hjiaj, M., "Efficient formulation for dynamics of corotational 2D beams", Computational Mechanics, 48 (2) : 153-161, 2011 [3] N D Kien, "A timoshenko beam element for large displacement analysis of planar beams and frames", International Journal of Structural Stability and Dynamics, Vol 12(6), pp 1250048, 2012
[4] Sophy Chhang , Carlo Sansour, Mohammed Hjiaj, Jean-Marc Battini, "An energy-momentum co-rotational formulation for nonlinear dynamics of planar beams", Computers and Structures 187 (2017) 50±63, 2017
[5] Hesham A Elkaranshawy , Ahmed A H Elerian, and Walied I.Hussien, "A CoroWDWLRQDO )RUPXODWLRQ %DVHG RQ +DPLOWRQảV 3ULQFLSOH IRU *HRPHWULFDOO\ Nonlinear Thin and Thick Planar Beams and Frames", Mathematical Problems in Engineering, Volume 2018, Article ID 2670462, 2018
[6] N D Kien, "Large deflection analysis of frames by elements containing higher-order terms", Vietnam Journal of Mechanics, pp 243±254, 2003 [7] ĈRjQ1Jӑc Tӏnh Nghiêm, Phân tích phi tuy͇n khung thép ph̻ng ch͓u tác dͭng ÿ͡QJÿ̭t, Lu̵QYăQWK̩FVƭĈҥi hӑc Bách Khoa - Ĉ+4*73+&0
[8] NguyӉQ3K~&ѭӡng, Phân tích phi tuy͇n khung thép ph̻ng n͵a cͱng ch͓u t̫i ÿ͡QJÿ̭t b̹QJSK˱˯QJSKiSYQJG̓o, LuұQYăQWKҥFVƭĈҥi hӑc Bách Khoa
[9] N D Kien, T T Huong, L T Ha, "A co-rotational beam element for geometrically nonlinear analysis of plane frames", Vietnam Journal of Mechanics, Vol 35(1), pp 51±65, 2013
[10] NguyӉn Trӑng Lâm, Phân tích phi tuy͇n khung thép ph̻ng b̹QJSK˱˯QJSKiS tích phân s͙, Lu̵QYăQWK̩FVƭĈҥi hӑc Bách Khoa - Ĉ+4*73+&0
[11] NguyӉn Thӏ Thùy Linh, Phân tích phi tuy͇n khung ph̻ng s͵ dͭng hàm n͡i suy ÿDWKͱc b̵c cao, LuұQYăQWKҥFVƭĈҥi hӑc Bách Khoa - Ĉ+4*73+&0
[12] NguyӉn Lê Công Tín, Phân tích phi tuy͇n hình h͕c khung thép ph̻ng s͵ dͭng ph̯n t͵ d̯m - c͡Wÿ͛ng xoay, LuұQYăQWKҥFVƭĈҥi hӑc Bách Khoa - Ĉ+4*
[13] ĈRjQ Ngӑc Tӏnh Nghiêm, Lê NguyӉQ &{QJ 7tQ /r 9ăQ %uQK 1J{ +ӳu
&ѭӡQJ3KkQWtFKÿjQKӗi bұc hai khung thép phҷng chӏu tҧi trӑQJWƭQKYj ÿӝng bҵng phҫn tӱ ÿӗng xoay", T̩p chí Xây dng, Vol 10, pp 89±94, 2016 [14] S.-L Lee, "Large deflections and stability of elastic frame", Journal of the
Engineering Mechanics Division, Vol 94(2), pp 521±48, 1968
[15] E Riks, "An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems", Int J Solids Struct., 15:524-551, 1979
[16] K Matiasson, "Numerical results from large deflection beam elliptic integrals and frame problems analysed by means of elliptic integrals", Short Communications, Vol 81, pp.145±153, 1981
[17] S L Chan, "Geometric and material non-linear analysis of beam-columns and frames using the minimum residual displacement method", International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 26, pp 2657±69, 1988
[18] M A Crisfield, Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures
Volume 1: Essentials, Chichester, Uk: John Wiley & Sons, 1991
[19] Y B Yang, S.-R Kuo, Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures,
[20] A K W So, S L Chan, "Reply to discussion buckling and geometrically nonlinear analysis of frames using one element member", Journal of Constructional Steel Research, Vol 32, pp 227±30, 1995
[21] M.A Crisfield and J Shi, An energy conserving co-rotational procedure for non-linear dynamics with finite elements, Nonlinear Dynamics, 9:37±52,
[22] J.N Reddy, "On locking-free shear deformable beam finite elements",
Comput Methods Appl Mech Engrg 149 (1997) 113-132, 1997
[23] J.-M Battini, Co-rotational Beam Elements in Instability Problems, PhD dissertation, Royal Institute of Technology, Sweden, 2002
[24] J N Reddy, An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis, USA:
[25] D N Maciel, H B Coda, "Positional finite element methodology for geometrically nonlinear analysis of 2d frames", Pesquisa e Technologia, Vol 5(1), pp 73±83, 2005
[26] L M Posada, Stability Analysis of Two-dimensional Truss Structures, Master
[27] Z X Li, "A co-rotational formulation for 3D beam element using vectorial rotational variables", Computational Mechanics, Vol 39(3), pp 309±22,
[28] L L Yaw, Co-rotational Meshfree Formulation for Large Deformation
Inelastic Analysis of Two-Dimensional Structural Systems, PhD Dissertation,
[29] L L Yaw, 2D Corotational Beam Formulation, PhD Dissertation, Walla
[31] R J Balling, J W Lyon, "Second-order analysis of plane frames with one element per member", Journal of Structural Engineering, Vol 137(11), pp
[32] Yang Dongquan, Peng Hong, "Elasto-plastic analysis of frame structures under large displacement/rotation deformations", Advanced Materials Research Vols 243-249 (2011) pp 5968-5974, 2011
[33] Le, T.-N., Battini, J.-M and Hjiaj, M., "Dynamics of 3D beam elements in a corotational context: a comparative study of established and new formulations", Finite Elements in Analysis and Design, 61 : 97-111, 2012 [34] Anil K.Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to
Earthquake Engineering, Harlow, UK: Pearson Education; 4 edition, 2012
[35] M W T Silva, S S da Silva, "Nonlinear analysis of plane frames using a corotational fomulation and plasticity by layers in a timoshenko beam element", Blucher Mechanical Engineering Proceedings, Vol 1, pp 1±7,
[36] Le, T.-N., Battini, J.-M and Hjiaj, M., "A consistent 3D corotational beam element for nonlinear dynamic analysis of flexible structures", Comput Methods Appl Mech Engrg 269 (2014) 538±565, 2014
[37] Le, T.-N., Battini, J.-M and Hjiaj, M., "Corotational formulation for nonlinear dynamics of beams with arbitrary thin-walled cross-sections", Computers and
[38] Shirko Faroughi, "Dynamic Nonlinear Co-rotational Formulation for Two- dimensional Continua", Latin American Journal of Solids and Structures 12 (2015) 477-491, 2015
[39] Ngô HӳX&ѭӡng, Phân tích vùng d̓o và phi tuy͇n hình h͕c cho khung thép ph̻ng b̹QJSK˱˯QJSKiSSK̯n t͵ hͷu h̩n, LuұQYăQWKҥFVƭĈҥi hӑc Bách
[40] N D Kien, "Large deflection analysis of frames by elements containing higher-order terms", Vietnam Journal of Mechanics, pp 243±254, 2004 [41] Tҥ 9ăQ.KRDPhân tích chuy͋n v͓ lͣn khung thép ph̻QJGQJSK˱˯QJSKiS ph̯n t͵ hͷu h̩n, LuұQYăQWKҥFVƭĈҥi hӑc Bách Khoa - Ĉ+4*73+&0