Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ổn định tấm Reissner-Mindlin có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM)

Trong XFEM, hàm bất liên tục và trường chuyển vị tiệm cận tại vết nứt được thêm vào trong Phương pháp phần tử hữu hạn Finite Element Method - FEM để tính toán bài toán có vết nứt.. Phư

TỔNG QUAN

Giới thiệu chung

Bài toán mất ổn định đàn hồi khi uốn dọc thanh chịu nén đƣợc Leonhard Euler nghiên cứu lần đầu vào năm 1744, thời điểm mà gỗ và đá là vật liệu chủ yếu Đây là những vật liệu có cường độ tương đối thấp, các cấu kiện cần có tiết diện mặt cắt ngang lớn nên tính ổn định đàn hồi chƣa phải là thiết yếu Do đó, một thời gian dài bài toán Euler không có ứng dụng thực tế nào Mãi đến thế kỷ XX, cùng với sự phát triển các ngành công nghiệp, khi các cầu thép cho xe lửa bắt đầu đƣợc xây dựng khá phổ biến thì vấn đề mất ổn định trong kết cấu chịu nén mới có tầm quan trọng thực tế Ngày nay, kết cấu tấm là dạng kết cấu điển hình trong thực tế Trước khi đưa kết cấu vào sử dụng, việc tính toán ổn định kết cấu là nhiệm vụ rất quan trọng Vì vậy, bài toán ổn định tấm luôn thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước Ổn định kết cấu là một phần quan trọng trong tính toán thiết kế công trình

Trong những năm gần đây, thực tế đòi hỏi phải tiếp tục nghiên cứu lý thuyết, thực nghiệm cũng nhƣ những điều kiện ổn định mới của kết cấu, phổ biến nhất là đối với kết cấu bị nứt

Trước đây có nhiều phương pháp để xác định tải trọng tới hạn cho bài toán ổn định như: phương pháp giải tích, phương pháp năng lượng, phương pháp

Boobnov – Galerkin, Các phương pháp này áp dụng chủ yếu cho kết cấu chưa nứt, khi kết cấu bị nứt thì tính chất thay đổi nên cần tìm ra những phương pháp mới áp dụng cho phù hợp với bài toán Trong đó, phương pháp phần tử hữu hạn (Finite

Element Method – FEM) đã giải quyết được vấn đề này Phương pháp phần tử hữu hạn đƣợc bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp của lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không Nó đƣợc bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942) Tuy hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ FEM là một phương pháp số đặc biệt hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hoá các phương trình này theo các không gian nghiên cứu Việc rời rạc hoá đƣợc thực hiện bằng cách chia miền khảo sát thành các miền con, đơn giản có hình dạng tuỳ ý (phần tử hữu hạn), chuyển các phương trình của bài toán thành các phương trình ma trận liên hệ giữa các điểm định sẵn trên biên phần tử (các điểm nút) FEM đƣợc sử dụng rộng rãi và trở thành một công cụ phổ biến, hiệu quả để giải quyết các bài toán kỹ thuật Các phần mềm thương mại dựa trên FEM được nhiều người sử dụng để giải các bài toán kết cấu nhƣ ABAQUS, ANSYS, SAP 2000, ETABS

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) được phát triển để giải quyết các bài toán liên quan đến vết nứt do những hạn chế của FEM trong trường hợp này XFEM cho phép định vị vết nứt tùy ý trên lưới, khắc phục sự phức tạp khi chia lại lưới khi vết nứt phát triển trong FEM Nhờ sử dụng các hàm "mở rộng" không liên tục để mô phỏng sự hiện diện của vết nứt, XFEM giúp đơn giản hóa quá trình tính toán so với FEM trong các bài toán có vết nứt.

Hình 1.1 Sự khác nhau về chia lưới giữa FEM và XFEM

Các nghiên cứu về XFEM

Phương pháp XFEM [1] dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn đơn vị và được chọn là công cụ phân tích bài toán nứt trong phạm vi đề tài này, phương pháp phần tử hữu hạn đơn vị đƣợc đƣa ra bởi Melenk và Babuska (1996 ) và từ đó phát triển thành phương pháp XFEM bởi Belytschko và Black, và thời điểm năm 1999 được xem như thời điểm sơ khai của XFEM Ưu điểm của phương pháp là cho phép sự xuất hiện độc lập của toàn bộ vết nứt với việc chia lưới dựa trên việc xây dựng hàm làm giàu XFEM đã đƣợc tiếp tục phát triển và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là bài toán kết cấu có vết nứt Phương pháp này đưa thêm vào một số bậc tự do để xấp xỉ trường chuyển vị khi vết nứt xuất hiện trong kết cấu Đồng thời, để tránh sự suy biến trong tính toán ta đƣa vào các hàm mở rộng không liên tục để xấp xỉ trong phương pháp phần tử hữu hạn để kể đến sự có mặt của vết nứt Phương pháp này cho phép vết nứt phân bố bất kì trong kết cấu và luận văn này chỉ xét vết nứt thẳng hàng trong lưới Kwon (1988) đã đề xuất phần tử suy biến “điểm một phần tư”, trong đó trường ứng suất, chuyển vị, biến dạng gần đỉnh vết nứt có thể đƣợc biểu diễn chính xác bằng phần tử đẳng tham số bậc hai chuẩn nếu điểm nút ở giữa phần tử đƣợc dịch chuyển về phía đỉnh vết nứt một khoảng một phần tƣ chiều dài phần tử Đây là một bước phát triển quan trọng trong việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để mô phỏng kết cấu có vết nứt Một số ứng dụng của phương pháp XFEM như: Sukumar (2003a) [3] đã mô phỏng sự phát triển mặt nứt dẻo trong không gian ba chiều phẳng kết hợp cả hai phương pháp XFEM và phương pháp dịch chuyển nhanh (Fast Marching Method – FMM) [4] Dolbow (2000c, 2001) [5], [6] mô phỏng sự tiếp xúc giữa các phần tử bởi XFEM Elguedj (2006) [7] nghiên cứu về mở rộng ứng xử dẻo trong XFEM XFEM áp dụng cho bài toán động cũng đã được giới thiệu bởi Zi, et al., (2005) [8] dựa trên sự mở rộng kì dị phương pháp phần tử hữu hạn cho sự phát triển vết nứt đàn hồi – động Réthoré (2005a) [9] cũng đã giới thiệu một XFEM tổng quát để mô phỏng vết nứt động và các vấn đề về thời gian M Bachene, R Tiberkak S Recchak [10] (2009) phân tích dao động tự do của tấm sử dụng phương pháp XFEM N.Vu – Bac, H Nguyen – Xuan và các cộng sự (2011) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên nút Tính toán năng lƣợng biến dạng và khảo sát các hệ số ứng suất tập trung của tấm có vết nứt ở biên chịu kéo và chịu cắt Peng Liu,Tiantang, T Q Bui [11] phân tích dao động tự do của tấm sử dụng phần tử

XEFM – DSG3 Pedro M Baiz et al (2011) [12] khi dùng các loại phần tử nhƣ Q4R, MITC, MISC2, MISC2_b kết hợp XFEM phân tích ổn định của tấm có vết nứt ngang

Trong nước cũng có nhiều tác giả nghiên cứu về XFEM như: Phạm Trọng Sinh (2010) [13] phân tích và mô phỏng lan truyền nứt mô hình 2D bằng (XFEM)

Trương Tích Thiện, Trần Kim Bằng (2010) đã ứng dụng phần tử suy biến điểm nút trong phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt Trong nghiên cứu này, các tác giả đã tính toán và mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt trong không gian hai chiều, và sử dụng các chương trình ANSYS, FRANC2D để tính toán hệ số cường độ ứng suất, đồng thời mô phỏng trường ứng suất, chuyển vị gần đỉnh vết nứt, và hiện tƣợng vết nứt lan truyền Lâm Phát Thuận (2011) với đề tài: Một số phát triển của XFEM cho bài toán nứt trong cơ rắn 2D, đã kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn dựa trên cạnh kết hợp với phương pháp XFEM để mô phỏng ứng xử tấm hình chữ nhật có vết nứt ở biên chịu tải trọng, trong đó tấm đƣợc rời rạc bằng các phần tử tam giác ba nút Nguyễn Anh Tuấn (2012) đã bảo vệ thành công luận văn thạc sĩ với đề tài: Phân tích dao động tự do của tấm Mindlin có vết nứt bằng phần tử XCS – DSG3 và chẩn đoán vết nứt của tấm bằng phân tích

Wavelet Trong luận văn, tác giả sử dụng phần tử trơn CS – DSG3 kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng để phân tích dao động tự do của tấm Mindlin có vết nứt và sử dụng Wavelet để chẩn đoán vết nứt của tấm Doãn Đình Tường (2013) [14] phân tích dao động tự do của tấm có vết nứt bằng phương pháp XFEM Phan Tuấn Duy (2013) [15] đã khảo sát hệ số cường độ ứng suất động trong bài toán tấm chịu kéo chứa vết nứt bằng phương pháp XFEM Trong nghiên cứu này, tác giả đã kết hợp phương pháp XFEM với phần tử tấm MITC4 để khảo sát hệ số cường độ ứng suất của tấm chịu kéo chứa vết nứt Bạch Đăng Ngọc (2013) [16] phân tích vết nứt gần bề mặt tiếp nối trong tấm chế tạo từ hai vật liệu dùng XFEM.

Mục tiêu luận văn

Trên cơ sở tìm hiểu các tài liệu, luận văn trước, tác giả nhận thấy các nghiên cứu trước đây chủ yếu tập trung vào XFEM dùng phần tử Q4R, MITC, MISC2,

Do sự kết hợp của MISC2_b, DSG3 cùng các điều kiện khác nhằm chống khóa cắt cho tấm khiến quá trình tính toán trở nên phức tạp Tuy nhiên, khi sử dụng phần tử bậc cao kết hợp với tích phân suy giảm sẽ giúp đơn giản hóa quá trình này mà vẫn đảm bảo độ chính xác của kết quả Vì vậy, để phân tích độ ổn định của tấm Mindlin có vết nứt, luận văn sử dụng phương pháp XFEM kết hợp với phần tử đẳng tham số Q8.

Bố cục luận văn

Với việc tìm hiểu nêu ở phần trên thì luận văn được chia thành 4 chương với các nội dung sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về vấn đề cần nghiêng cứu, tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước, nhiệm vụ và bố cục luận văn

Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết tấm Reissner – Mindlin, phương pháp Phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM)

Chương 3: Trình bày ví dụ tính toán với các loại vết nứt ngang, đứng và xiên cùng với việc tổ hợp các điều kiện biên khác nhau, so sánh kết quả với các tài liệu trước đây và phần mềm ABAQUS

Chương 4: Nêu ra các kết quả thu được, vấn đề còn tồn tại và đề xuất các hướng phát triển của đề tài.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Các mô hình lý thuyết tấm chịu uốn [17], [18]

Có nhiều mô hình lý thuyết đƣợc xây dựng để nghiên cứu về sự làm việc của tấm Tùy theo hình dáng hình học, mức độ chính xác và trạng thái ứng suất tấm khảo sát để áp dụng lý thuyết tính toán phù hợp Chẳng hạn nhƣ: lý thuyết tấm mỏng độ võng nhỏ, lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn, lý thuyết tấm dày… Để có cơ sở tính toán tác giả chỉ tóm tắt một vài mô hình lý thuyết phục vụ cho việc thành lập các phương trình trong phương pháp XFEM

Lý thuyết cơ bản của tấm chịu uốn 2.1.1.

Tấm là một kết cấu đƣợc giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách nhau một khoảng h gọi là bề dày của tấm Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng tấm Theo trạng thái ứng suất trong tấm, có thể chia tấm thành các loại nhƣ sau :

+ Tấm dày là tấm có tỉ lệ chiều dài cạnh ngắn trên bề dày tấm là: b/h < 20 và trạng thái ứng suất trong tấm được xác định bởi phương trình vi phân theo ba phương của lý thuyết đàn hồi

+ Tấm mỏng là tấm có tỉ lệ chiều dài cạnh ngắn trên bề dày tấm là: b/h > 20

Tấm mỏng chia làm 2 loại:

- Tấm mỏng có độ võng bé (độ võng lớn nhất w nhỏ hơn h) là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với các ứng suất gây ra bởi sự uốn của tấm do tải trọng vuông góc tấm gây ra

- Tấm mỏng có độ võng lớn (độ võng lớn nhất w lớn hơn h) là tấm mà các ứng suất do uốn bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các ứng suất màng Khi đó phải tính toán với lý thuyết tấm có độ võng lớn

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất đƣợc sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết rằng, trước và sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm Giả thiết này có nghĩa là bỏ qua biến dạng trƣợt trong tấm, nó chỉ đúng đối với tấm mỏng còn tấm dày sẽ cho lời giải với sai số lớn

Năm 1945, E Reissner công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó đƣợc thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol qua chiều dày của tấm Sau đó vào năm

1951, R D Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hướng hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner – Mindlin

Lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin 2.1.2. a Biến dạng trƣợt trong tấm

Theo lý thuyết tấm mỏng cổ điển – Lý thuyết Kirchhoff, biến dạng trƣợt đƣợc bỏ qua và các thành phần ứng suất, biến dạng đƣợc diễn đạt hoàn toàn bởi hàm chuyển vị w(x,y) Tuy nhiên, ở một vài trường hợp thì biến dạng trượt do lực cắt gây ra ảnh hưởng đáng kể thì các biến dạng trượt này phải được biểu diễn qua các bậc tự do xoay của các nút

Gọi  x ,  y là các góc xoay của đường thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm chƣa biến dạng Nếu xét đến biến dạng trƣợt do lực cắt gây ra bởi tải trọng ngang thì các góc xoay  x ,  y tương ứng sẽ bằng độ dốc w , w x y

  của tiếp tuyến với bề mặt sau biến dạng cộng với thành phần biến dạng trƣợt  x ,  y

Reissner – Mindlin đã dùng lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff kết hợp với việc xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang trong tấm và được sử dụng rộng rãi trong việc thiết lập các công thức phần tử hữu hạn b Các giả thuyết của Mindlin

Do ảnh hưởng của biến dạng, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm trở nên không còn vuông góc với mặt trung hòa sau khi biến dạng (góc giữa đoạn thẳng và mặt trung hòa không còn là góc vuông).

- Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo, nén hay trƣợt, nó là mặt trung hòa

- Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Nhƣ vậy, so với lý thuyết Kirchhoff, lý thuyết của sự Mindlin chỉ khác biệt ở giả thiết thứ nhất, còn các giả thiết còn lại thì vẫn không thay đổi

Theo mô hình Mindlin góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm 2 thành phần phần:

Phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình

Phần thứ hai do biến dạng trƣợt trung bình gây ra (Hình 2.1)

Hình 2.1 Góc xoay của các pháp tuyến xung quanh trục x và y có kể tới biến dạng trượt trung bình

Gọi  x là biến dạng trượt trung bình đối phương x

Từ Hình 2.1, góc xoay  y đƣợc viết nhƣ sau: y x w

Tương tự góc xoay  x theo phương y, ta có: x y w

Từ (2.1); (2.2) các biến dạng trƣợt trung bình đƣợc biểu diễn nhƣ sau: x y y x w x w y

Từ các phương trình (2.1); (2.2); (2.3) dựa trên điều kiện biến dạng là nhỏ trong bài toán tấm mỏng, các biến dạng trượt có khuynh hướng tiến về 0 và khi đó x w

 (Trở về lý thuyết Kirchhoff) c Các quan hệ cơ bản

Quan hệ giữa các ứng suất tiếp  xz ,  yz và biến dạng trƣợt theo định luật Hooke nhƣ sau:

Trong đó:  x ,  y là các thành phần biến dạng trƣợt cho trong (2.3),

 là ma trận các hệ số đàn hồi cắt Đối với vật liệu đẳng hướng, quan hệ trên được viết lại như sau:

 là mođun đàn hồi trƣợt của tấm

Vì tấm mỏng nên các biến dạng trượt trung bình γx, γy được coi là không đổi trên suốt chiều dày của tấm Như vậy, hợp lực của các ứng suất tiếp trên mặt cong của tiết diện là các lực cắt Qx, Qy được tính như sau:

Các độ cong  x ,  y và độ xoắn  xy có thể biểu diễn qua các góc xoay  x và  y nhƣ sau: y x x y xy y x x y y x

Các thành phần nội lực như mômen M và lực cắt Q trong trường hợp tấm làm bằng vật liệu đàn hồi đẳng hướng theo độ cong  và biến dạng trượt γđược biểu diễn nhƣ sau:

Có thể viết lại biểu thức (2.9) theo quan hệ nhƣ sau: σ t  D ε t t (2.10) Trong đó: x y t xy x y

Thay (2.3) và (2.8) vào ε t trong (2.11) ta đƣợc biểu thức nhƣ sau: t y x y x y x x y y x w x w y

Năng lƣợng biến dạng đƣợc cho bởi công thức sau:

Trong đó: D b là ma trận biến dạng đàn hồi do uốn

D s là ma trận biến dạng đàn hồi do cắt Đối với vật liệu đẳng hướng thì D b , D s được cho bởi:

Phương pháp XFEM cho bài toán ổn định [1], [12]

Theo phương trình cân bằng năng lượng tích lũy trong tấm, phương trình xác định lực tới hạn của tấm trong phương pháp phần tử hữu hạn định nghĩa bởi:

Trong đó: K là ma trận độ cứng tổng thể của tấm;

K G là ma trận độ cứng hình học; q n là vectơ chuyển vị;

     là lực tới hạn; n là tổng số bậc tự do của hệ

Trong XFEM ma trận độ cứng tổng thể đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ij ij ij e ij ij ij ij ij ij ij

  uu ua ub au aa ab bu ba bb

Trong đó thành phần ma trận độ cứng K rs ij ( , r s  u, a, b ; , i j I J K  , , )bao gồm phần tử chuẩn (uu), mở rộng Heaviside (aa), mở rộng tại đỉnh vết nứt (bb) Dạng cụ thể K rs ij viết nhƣ sau:

Từ công thức (2.72) tách ma trận độ cứng tổng thể thành 2 thành phần: ma trận biến dạng uốn B và ma trận biến dạng cắt S và viết khai triển dưới dạng ma trận ta đƣợc các biểu thức sau:

Tương tự trong XFEM ma trận độ cứng hình học được định nghĩa như sau:

  uu ua ub au aa ab bu ba bb

Trong đó thành phần ma trận độ cứng K rs Gij ( , r s  u, a, b ; , i j I J K  , , )bao gồm phần tử chuẩn (uu), mở rộng Heaviside (aa), mở rộng tại đỉnh vết nứt (bb) Dạng cụ thể K Gij rs viết nhƣ sau:

G 1 , G 2 , G 3 lần lƣợc là ma trận độ cứng hình học do 1 thành phần uốn và 2 thành phần cắt Ma trận biến dạng hình học đƣợc viết nhƣ sau:

Phương pháp xác định loại phần tử mở rộng 2.4.2.

Dựa theo Stolaska, trình bày tóm tắt cách xác định loại phần tử chứa nút làm giàu theo hàm bước nhảy, và hàm làm giàu tiệm cận tại đầu vết nứt B αk , dựa trên phương trình đường nứt, để xác định phần tử làm giàu cạnh hay phần tử làm giàu đỉnh được căn cứ dựa trên phương trình đường nứt Theo đó vết nứt được mô tả bởi hai hàm khoảng cách

Gọi ψ( x ) là phương trình xác định hình dạng của vết nứt, luận văn đề cập đến vết nứt thẳng do đó phương trình ψ( x ) là dạng đường thẳng

Còn Φ( x ) là đường thẳng vuông góc với ψ( x ) tại đầu vị trí vết nứt, đối vết nứt nằm bên trong tấm sẽ có hai hàm Φ 1 ( x ) và Φ 2 ( x )tại mỗi đầu vết nứt, còn đối với bài toán vết nứt cạnh thì chỉ có một hàm Φ 1 ( x )

Hình 2.6 Qui ước dấu Φ và ψ

+ Ta xác định phương trình ψ( x ) như sau: ψ( x ) = (y 01 - y 02 )x + (x 02 - x 01 )y + (x 01 y 02 - x 02 y 01 ) (2.95) Với x1(x 01, y 01 ), x 2 (x 02 , y 02 )là tọa độ giữa hai đầu vết nứt

+ Còn Φ( x ) là phương trình vuông góc với phương trình đường nứt

Trong đó: e s là vectơ tiếp tuyến tại hai đầu vết nứt

Hình 2.7 Hệ tọa độ điểm x* gần điểm x nhất trên vết nứt

Căn cứ vào hàm ψ( x ) và hàm Φ( x ) ta xác định các loại phần tử nhƣ sau:

Phần tử chứa các nút làm giàu theo hàm Heaviside (phần tử mà vết nứt cắt x x * es en đường nứt ψ >0 ψ