Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phần tử dầm liên hợp mô hình Timoshenko có xét đến phi tuyến vật liệu

Hình 1.1: Các dạng cột liên hợp thép - bêtông Đối với cấu kiện kết cấu sàn liên hợp thì giải pháp sử dụng thường là bản sànbêtông cốt thép được đặt lên trên dầm thép hình chữ I Hình 1.2.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

ĐINH HUỲNH THÁI

PHẦN TỬ DẦM LIÊN HỢP MÔ HÌNH TIMOSHENKO CÓ XÉT ĐẾN PHI TUYẾN VẬT LIỆU

Chuyên ngành : Xây Dựng Công Trình Dân Dụng Và Công Nghiệp Mã số: 605820

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 09 năm 2014

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG -TP.HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: TS BÙI ĐỨC VINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS LÊ VĂN PHƯỚC NHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

I TÊN ĐỀ TÀI: Phần tử dầm liên hợp mô hình Timoshenko có xét đến phi tuyến vật

liệu

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Khảo sát các mô hình phần tử dầm liên hợp từ các nghiên cứu trước đây

- Thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho dầm liên hợp theo mô hình Timoshenko có xét đến tính phi tuyến vật liệu bêtông và thép

- Xây dựng chương trình Matlab để tính toán cho các trường hợp đơn giản

- Khảo sát một số ví dụ cụ thể và so sánh kết quả với các tác giả khác

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 24/06/2013 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/06/2014 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS BÙI ĐỨC VINH, TS LÊ VĂN PHƯỚC NHÂN

Tp HCM, ngày 19 tháng 09 năm 2014

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

(Họ tên và chữ ký) HỘI ĐỒNG NGÀNH (Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

(Họ tên và chữ ký)

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Đức Vinh đã tận tình giúp đỡtôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã cung cấp những tài liệurất quý giá cho luận văn và đưa ra những gợi ý hợp lý vào những thời điểmkhó khăn trong quá trình nghiên cứu Tôi đã học được ở thầy phương pháp làmnghiên cứu khoa học, các kiến thức mà một người nghiên cứu cần phải có, đâychính là mục tiêu chính của luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Xin dành tặng luận văn này đến gia đình của tôi Xin gửi lời cảm ơn chân thànhnhất đến cha, mẹ và cô Ba của tôi Cảm ơn cha, mẹ đã động viên con và tạomọi điều kiện thuận lợi nhất để con yên tâm hoàn thành tốt nhiệm vụ học tậpcủa mình Cảm ơn cô Ba đã giúp đỡ con rất nhiều trong quá trình học tập Cóthể nói, nếu không có gia đình của mình bên cạnh, tôi sẽ không thể hoàn thànhtốt được luận văn này

Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến quý thầy cô bạn bè,các đồng nghiệp ở Chi nhánh công ty cổ phần tin học và tư vấn xây dựng đãtạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường

Với những tình cảm đó, tôi tự hứa sẽ luôn cố gắng phấn đấu để xứng đáng vớitình cảm của mọi người dành cho mình

Đinh Huỳnh Thái

TÓM TẮT

Đề tài xây dựng một mô hình phần tử hữu hạn dùng để phân tích dầm thép- bêtông liên hợp có xét đến hiện tượng tương tác bán phần và biến dạng cắttrong cả bản bêtông và dầm thép Mô hình trên được thiết lập bằng việc sửdụng kết hợp mô hình dầm Timoshenko cho cả hai thành phần (gọi tắt là môhình T-T) Tác dụng liên hợp được tạo ra bởi các liên kết chống cắt, cho phépxuất hiện sự chuyển vị trượt tương đối giữa hai thành phần liên hợp Các ứngxử phi tuyến của vật liệu bêtông, vật liệu thép và liên kết chống cắt được tínhtoán trong phân tích Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyểnvị để thiết lập ma trận độ cứng cho phần tử dầm có 16 bậc tự do Các áp dụngsố được tiến hành trên bài toán dầm đơn giản và dầm liên tục, chịu tải trọngphân bố đều và tải trọng tập trung giữa nhịp Kết quả được so sánh với kết quảthực nghiệm và các mô hình phân tích khác nhằm đánh giá độ tin cậy của môhình được thiết lâp

Từ khóa: Phân tích phi tuyến; Dầm liên hợp thép - bêtông; Tươngtác bán phần; Dầm Timoshenko; Phương pháp phần tử hữu hạn

This study presents an analytical model for the analysis for steel-concrete posite beams with partial shear interaction including the shear deformability ofthe two components This model is obtained by coupling a Timoshenko beamfor the concrete slab to a Timoshenko beam for the steel beam (T-T model).The composite action is provided by a continuous shear connection which enablesrelative longitudinal displacements to occur between the two components Thenonlinear behavior of concrete, steel and shear connectors are accounted Thestiffness matrix of 16 DOFs element is derived by the finite elements methodbased displacement The numercial solutions are tested on simply supportedbeams and continuous beams, with a midspan point load and a uniformly dis-tributed load The analytical results are compared with the corresponding ex-perimental data and the difference models Their performance is discussed

com-Keywords: Non-linear analysis; Steel-concrete composite beams; tial interaction; Timoshenko beam; Finite element method

Par-Lời cam đoan

Tôi tác giả của luận văn này cam đoan rằng

 Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thựchiện dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Đức Vinh

 Các số liệu, kết quả được trình bày trong luận văn này là trung thực vàchưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào

 Các giá trị tham khảo là chính xác, không có chỉnh sửa

 Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Tp.Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 07 năm 2014

Học viên

Đinh Huỳnh Thái

2.1.1Ứng xử liên hợp của dầm 10

2.1.2Các giai đoạn làm việc của dầm liên hợp 12

2.2Các phương pháp phân tích dầm liên hợp 13

2.2.1Phương pháp giải tích (Exact analytical solutions) 13

2.2.2Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method ) 14

2.2.3Phương pháp phần tử hữa hạn (Finite element method ) 15

2.2.3.1Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị placement based ) 16

(Dis-2.2.3.2Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lực (Force based ) 182.2.3.3Phương pháp phần tử hữa hạn hỗn hợp (Mixed ) 18

2.2.4Phương pháp độ cứng trực tiếp (Direct stiffness method ) 19

2.3Phân tích dầm liên hợp dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko 20

2.4Các hiện tượng không tương thích trong phân tích dầm liên hợp .22

2.4.1Sự lệch tâm (eccentricity issue) 23

2.4.2Hiện tượng "khóa" biến dạng cắt (shear locking) 24

2.4.3Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking) .26

2.5Kết luận 28

3Mô hình ứng xử của dầm liên hợp chịu uốn293.1Các giả thiết của mô hình 29

3.2Trường chuyển vị và trường biến dạng .31

3.3Các điều kiện cân bằng 33

3.4Quan hệ ứng suất suy rộng và biến dạng suy rộng 35

3.5Kết luận 37

4Công thức phần tử hữu hạn cho dầm liên hợp chịu uốn384.1Lựa chọn hàm dạng 38

4.2Công thức ma trận độ cứng 41

4.3Phân tích tiết diện mặt cắt ngang 44

4.4Mô hình ứng xử phi tuyến của vật liệu và liên kết 46

5.1.1Dầm đơn giản chịu tải trong tập trung của Aribert 53

5.1.2Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều của N.V Chúng 56

5.1.3Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp CTB6của Ansourian 58

5.2Phân tích phi tuyến vật liệu dầm liên hợp .61

5.2.1Dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung và tải trọng phân bố đềucủa Chapman và Balakrishnan 61

5.2.2Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp củaTeraszkiewicz và Ansouran 66

5.3Kết luận 72

6Kết luận746.1Kết luận 74

6.2Hướng phát triển đề tài .75

Danh sách hình vẽ

1.1Các dạng cột liên hợp thép - bêtông 2

1.2Kết cấu sàn liên hợp sử dụng tấm tôn sóng 3

1.3Các loại liên kết chống cắt sử dụng trong dầm liên hợp 3

1.4Tòa nhà Diamond Plaza (hình trái), Trung tâm thương mại 5 tầng củatòa nhà BITEXCO (hình phải) .7

1.5Khách sạn 5 sao JW Mariot Hà Nội 7

1.6Cầu vượt vòng xoay Hàng Xanh hoàn thành trong 5 tháng 8

2.1Ứng xử của dầm liên hợp 11

2.2Tương tác kháng cắt của dầm 11

2.3Các giai đoạn chịu tải của dầm liên hợp .12

2.4Biểu đồ biến dạng của tiết diện dầm liên hợp .13

2.5Phần tử dầm liên hợp 12 DOFs [1] 16

2.6Phần tử dầm EB-EB 17

2.7Phần tử dầm EB-EB có xét hiện tượng phân tách đứng 18

2.8Trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất phần tử dầmcủa Dall’Asta [2] 19

2.9Các thành phần chuyển vị và phản lực nút phần tử 20

2.10 Phần tử dầm EB-T 21

2.11 Phần tử dầm côngxon liên hợp [3] 24

2.12 Biểu đồ chuyển vị đứng dưới tải trọng phân bố [4] 25

2.13 Phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút 25

2.14 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt của phần tử dầm 8 DOFs 27

2.15 So sánh kết quả độ cong giữa các phần tử dầm 28

3.1Dầm liên hợp điển hình và mặt cắt tiết diện 30

3.2Trường chuyển vị của mô hình dầm liên hợp [5] 31

4.1Phần tử dầm T-T 10 bậc tự do 39

4.2Phần tử dầm T-T 16 bậc tự do [5] .40

4.3Chia lớp tiết diện mặt cắt ngang tại điểm Gauss thứ i .44

4.4Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu bêtông khi chịu nén 46

4.5Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu bêtông khi chịu kéo 47

4.6Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu thép .48

4.7Quan hệ lực cắt và biến dạng trượt của liên kết chịu cắt .49

4.8Phương pháp lặp gia tăng Newton - Raphson 50

4.9Lưu đồ phân tích phi tuyến trong MATLAB 515.1Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải tập trung giữa nhịp của Aribert [6] 53

5.4Biểu đồ quan hệ tỉ số độ võng giữa nhịp và tỉ số chiều dài nhịp - chiềucao dầm trong các trường hợp độ cứng liên kết kháng cắt khác nhau 56

5.7Sơ đồ liên tục hai nhịp chịu tải tập trung giữa nhịp của Ansourian [8]595.8Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm CTB6 605.9Biểu đồ độ võng trên chiều dài nhịp của dầm CTB6 615.10 Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải tập trung E1 và dầm chịu tải phân bố U4

của Chapman [9] 625.11 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm E1 645.12 Biểu đồ phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm E1 với các mức tải

khác nhau 645.13 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm U 4 655.14 Biểu đồ phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm U 4 với các mức tải

khác nhau 655.15 Sơ đồ dầm liên tục chịu tải tập trung CBI và CTB4 675.16 Biểu đồ độ võng của dầm CBI với tải trọng P = 122 kN 68

5.18 Biểu đồ biến dạng mặt cắt theo chiều dài nhịp tại vị trí cánh dưới dầmthép với P = 122 kN 695.19 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm CT B4 705.20 Biểu đồ quan hệ độ cong và tải trọng của dầm CT B4 tại tiết diện giữa

nhịp 715.21 Biểu đồ quan hệ độ cong và tải trọng của dầm CT B4 tại tiết diện cách

gối tựa giữa 150 mm 715.22 Quá trình phân bố ứng suất của tiết diện tại vị trí giữa nhịp và gối giữa

của dầm CT B4 72

Danh sách bảng

chịu lực như nhau [10] 4

1.2So sánh kích thước dầm và cột liên hợp với dầm và cột bêtông cốt thépthường khi khả năng chịu lực như nhau [10] 5

1.3So sánh trọng lượng thép và giá thành tổng thể cho khung nhà năm tầngmột nhịp theo Knowles [11] 6

1.4So sánh trọng lượng thép dầm sàn theo P.V.Hội [12] 6

2.1Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-EB 172.2Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-T.214.1Các điểm Gauss và trọng số tương ứng [13] 43

5.1Các thông số đặc trưng của dầm Aribert [6] 54

5.2Kết quả độ võng của các mô hình dầm khi P = 195 kN .54

5.3Các thông số đặc trưng của dầm N.V Chúng [7] .57

5.4Kết quả độ võng của các mô hình dầm khi W = 245 kN/m .57

5.5Các thông số đặc trưng của dầm Ansourian [8] 59

5.6Kết quả độ võng của các mô hình dầm Ansourian khi P = 320 kN.605.7Các thông số đặc trưng hình học của dầm Chapman [9] 62

5.8Đặc trưng vật liệu và các hệ số của dầm Chapman [9] 63

5.9Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm E1 64

5.10 Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm U 4 65

5.11 Các thông số đặc trưng hình học của dầm CBI và CTB4 66

5.12 Đặc trưng vật liệu và các hệ số của dầm CBI và CTB4 .67

5.13 Giá trị độ võng giữa nhịp của dầm CBI với tải trọng P = 122 kN 69

5.14 Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm CT B4 70

Chương 1Giới thiệu

Nhu cầu xây dựng nhà cao tầng và nhà siêu cao tầng đang bùng nổ mạnh mẽ ởViệt Nam, đặc biệt ở các khu đô thị lớn như Hà Nội và TP Hồ Chí Minh Khisử dụng các giải pháp kết cấu bêtông cốt thép thông thường, công trình nhà caotầng đòi hỏi kích thước các cấu kiện kết cấu có thể rất lớn, nặng nề, tốn kém,giảm không gian sử dụng và giảm tính thẩm mỹ

Để khắc phục các nhược điểm kể trên, giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtôngđã và đang được sử dụng phổ biến ở nhiều nước trên thế giới cho các công trìnhnhà nhiều tầng Mục đích của giải pháp này là tận dụng các ưu điểm riêng vềđặc trưng cơ lý giữa vật liệu thép và bêtông để tạo ra kết cấu liên hợp có khảnăng chịu lực và độ tin cậy cao, đồng thời tăng cường khả năng chống cháy

Bên cạnh đó, công trình sử dụng giải pháp kết cấu liên hợp sẽ đáp ứng đượccông năng sử dụng cao, hiệu quả về kinh tế và đảm bảo tính thẩm mỹ Ở nướcta, tiêu chuẩn thiết kế kết cấu liên hợp thép bêtông đang được tiến hành nghiêncứu và biên soạn theo tiêu chuẩn Châu Âu [14–16]

1.1Đặc điểm và ứng dụng của kết cấu liên hợp thép

- bêtông

Kết cấu liên hợp thép - bêtông (KCLH) là loại kết cấu sử dụng thép kết cấukết hợp với bêtông hoặc bêtông cốt thép để chúng cùng tham gia chịu lực Cácgiải pháp cấu tạo thường được sử dụng đối với loại cấu kiện kết cấu cột liên hợplà thép định hình hay thép tổ hợp hàn dạng chữ H được bọc bêtông một phầnhoặc toàn bộ, hoặc thép ống được nhồi đầy bêtông hoặc bêtông cốt thép (Hình1.1)

Hình 1.1: Các dạng cột liên hợp thép - bêtông

Đối với cấu kiện kết cấu sàn liên hợp thì giải pháp sử dụng thường là bản sànbêtông cốt thép được đặt lên trên dầm thép hình chữ I (Hình 1.2) Ngoài ra cáctấm tôn thép sóng còn được đặt ở mặt dưới của bản sàn bêtông, nằm giữa bảnsàn bêtông và dầm thép hình để đóng vai trò vừa là cốt thép chịu kéo trongquá trình sử dụng đồng thời là ván khuôn đỡ bêtông tươi trong quá trình thicông Để thép và bêtông cùng tham gia chịu lực đồng thời, các liên kết chốngcắt (shear connector) có hình dạng hợp lý được hàn tại bề mặt thép kết cấu tiếpxúc với bêtông nhằm tăng khả năng liên kết toàn khối giữa thép hình và bêtông(Hình 1.3)

Lưới thép

Tôn thép

Dầm thép hìnhLiên kết chịu cắt

Sàn bêtông

Hình 1.2: Kết cấu sàn liên hợp sử dụng tấm tôn sóng

Hình 1.3: Các loại liên kết chống cắt sử dụng trong dầm liên hợp

Nhờ các đặc điểm cấu tạo trên đã mang lại cho KCLH nhiều đặc tính ưu việthơn kết cấu thông thường [17]

• Khả năng chịu lực và độ tin cậy cao: KCLH đã tận dụng được các ưu điểmriêng về đặc trưng cơ lý của cả hai loại vật liệu thép và bêtông Vật liệuthép có cường độ chịu kéo và nén cao, khả năng cho phép biến dạng dẻolớn, độ tin cậy, độ an toàn chịu lực cao nhưng khả năng chịu lửa kém vàgiá thành lại cao Trong khi đó vật liệu bêtông mặc dù chỉ có cường độchịu nén tương đối nhưng lại có tính chịu lửa tốt, giá thành rẻ và được sửdụng phổ biến

Như vậy, so với trường hợp chỉ sử dụng kết cấu bêtông cốt thép thuần tuýthì việc sử dụng giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông sẽ đảm bảo tăngkhả năng chịu lực và nâng cao độ tin cậy của kết cấu, do bao gồm khảnăng chịu lực của cả hai thành phần kết cấu thép hình và bêtông cốt thépcùng kết hợp tham gia chịu lực Hơn nữa, nếu so sánh với trường hợp chỉsử dụng giải pháp kết cấu thép thuần tuý thì việc sử dụng kết cấu liên

hợp thép bêtông ngoài việc làm tăng khả năng chịu lực còn tăng độ cứngngang, tăng khả năng ổn định và nâng cao tính chịu lửa.

Giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông cũng đã được ứng dụng khá hiệuquả trong trường hợp kết cấu công trình nằm trong vùng có động đất, dochúng có mức độ ổn định và độ tin cậy cao khi chịu tải trọng động Điềunày đã được kiểm nghiệm qua thực tế tại nhiều trận động đất lớn, nhưtrận động đất Kobe ở Nhật Bản năm 1995 hay trận động đất Northridgeở Mỹ năm 1994

Bảng 1.1: So sánh kích thước dầm liên hợp và dầm không liên hợp khi khả năng

chịu lực như nhau [10]

tấn đối với công trình nhà cao hơn 30 tầng Khi đó, nếu chỉ sử dụng giảipháp kết cấu bêtông cốt thép thông thường thì kích thước tiết diện yêu cầucủa cột là rất lớn, vì thực tế cấp độ bền của bêtông sử dụng phổ biến choxây dựng nhà nhiều tầng ở Việt Nam hiện nay vào khoảng B25 đến B40,tương ứng với cường độ chịu nén tính toán khoảng 155 đến 215 daN/cm2.Chẳng hạn khi sử dụng giải pháp kết cấu bêtông cốt thép (không liên hợp)

thì kích thước tiết diện cột yêu cầu cho nhà cao 40 tầng xây dựng ở HàNội là khoảng 1.5 m × 1.5 m; tuy nhiên kích thước này sẽ giảm xuống cònkhoảng 1 m × 1 m khi sử dụng giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông.

Như vậy, việc ứng dụng giải pháp kết cấu liên hợp sẽ tạo cho công trìnhgọn nhẹ và tăng không gian sử dụng Mặc dù ở một số nước trên thế giớinhư Nhật Bản, Úc, đã sản xuất được bêtông mác siêu cao với cường độchịu nén có thể vượt trên 1000 daN/cm2 Tuy nhiên để sản xuất bêtông đạtđược cường độ cao như vậy và đảm bảo được mức độ tin cậy thì quy trìnhsản xuất và kiểm tra chất lượng, yêu cầu phải được thực hiện rất nghiêmngặt về thời gian và công nghệ kỹ thuật

Bảng 1.2: So sánh kích thước dầm và cột liên hợp với dầm và cột bêtông cốt thép

thường khi khả năng chịu lực như nhau [10]

được kết cấu móng Do vậy mặc dù lượng thép sử dụng trong KCLH lànhiều hơn một chút nhưng tổng chi phí xây dựng công trình có thể vẫngiảm; đồng thời tăng nhanh được thời gian thi công để sớm đưa công trìnhvào sử dụng và quay vòng vốn Kết quả so sánh định lượng như Bảng 1.3và Bảng 1.4.

Bảng 1.3: So sánh trọng lượng thép và giá thành tổng thể cho khung nhà năm tầng

một nhịp theo Knowles [11]

Bảng 1.4: So sánh trọng lượng thép dầm sàn theo P.V.Hội [12]

Trong những năm gần lại đây KCLH được sử dụng nhiều trên thế giới nhưMỹ, Anh, và nhất là các nước đang phát triển như Hàn Quốc, Trung Quốc,Singapore Một số công trình có thể kể đến như:

• Tòa nhà 35 tầng Major Bank ở Dallas, tiểu bang Texas của Mỹ: cao237 m,tổng diện tích185.806 m2, có các cột thép bọc bêtông ở giữa và hệ sàn dùngdầm thép đỡ bản sàn bêtông đổ tại chỗ liên với ván khuôn thép cố định

• Tòa nhà Atlantic Centre Project ở Atlanta cao 221 m có lõi cứng được thicông theo phương pháp ván khuôn trượt

• Tháp Millennium Tower ở Viên - Áo cao 171 m, có 50 tầng, tổng diện tíchsàn 47.200 m2, có tốc độ thi công trung bình 2,5 tầng trong một tuần, hoànthành năm 1999, thi công kết hợp phương pháp ván khuôn trượt làm tăngtốc độ thi công

Ở Việt Nam cũng đã sử dụng KCLH cho các công trình xây dựng dân dụng vàcông trình cầu Tại TP.Hồ Chí Minh đã xây dựng tòa nhà Diamond Plaza cao21 tầng với kết cấu khung thép bọc vật liệu chống cháy xỉ lò cao; khu trung tâmthương mại 5 tầng của tòa nhà BITEXCO (Hình 1.4), Tại thủ đô Hà Nội,KCLH được sử dụng làm 500 m2 sàn nhà của công ty xuất nhập khẩu Hồng Hàdo công ty Tadis thiết kế; khách sạn 5 sao JW Marriott Hotel (Hình 1.5), Và dễ thấy nhất là hàng loạt các cầu vượt bằng KCLH được xây dựng tại HàNội và TP.Hồ Chí Minh, với tiến độ thi công nhanh đã giúp giảm thiểu tìnhtrạng kẹt xe một cách hiệu quả (Hình 1.6).

Hình 1.4: Tòa nhà Diamond Plaza (hình trái), Trung tâm thương mại 5 tầng của

tòa nhà BITEXCO (hình phải)

Hình 1.5: Khách sạn 5 sao JW Mariot Hà Nội

Hình 1.6: Cầu vượt vòng xoay Hàng Xanh hoàn thành trong 5 tháng

Bên cạnh đó, tính phù hợp của việc bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt khi ápdụng lý thuyết dầm Euler - Bernoulli trong dầm liên hợp đang có thể đượcđặt câu hỏi Đặc biệt trong các trường hợp mà ảnh hưởng cắt là quan trọng,như các dầm liên hợp ngắn hoặc dày, khi đó tỉ số giữa chiều dài nhịp và chiềucao dầm nhỏ và tỉ số độ cứng uốn và cắt lớn Nên việc sử dụng lý thuyết dầmTimoshenko để xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt trong phân tích là cầnthiết và có thể phản ánh đúng hơn sự làm việc của kết cấu trong thực tế

1.3Mục tiêu, phạm vi và cấu trúc của đề tài

Mục tiêu của đề tài là dựa vào lý thuyết dầm Timoshenko để thiết lập mô hìnhứng xử của dầm thép - bêtông liên hợp có xét biến dạng cắt trong bản bêtôngvà dầm thép hình Ứng xử liên hợp thông qua tương tác bán phần và các môhình phi tuyến vật liệu được đưa vào phân tích Sử dụng phương pháp phần tửhữu hạn dựa trên chuyển vị xây dựng mô hình phần tử hữu hạn cho phân tích.Kết quả sẽ được đánh giá độ tin cậy nhờ việc so sánh với các mô hình dầm liênhợp khác đã được đề xuất trước đó và các số liệu thực nghiệm

Áp dụng phân tích số trong hai trường hợp: trường hợp vật liệu và liên kết làmviệc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính; và trường hợp vật liệu và liên kết ứngxử phi tuyến Phân tích sẽ được tiến hành trên các bài toán dầm đơn giản vàdầm liên tục khác nhau, nhằm xem xét đầy đủ ứng xử của dầm liên hợp trongvùng chịu mômen dương (sagging moment ) và vùng chịu mômen âm (hoggingmoment ) Hiện tượng phân tách lớp (uplift ) được bỏ qua

Bố cục của đề tài như sau:

• Chương 1 sẽ giới thiệu các ưu điểm kết cấu liên hợp và mục tiêu, giới hạncủa đề tài

• Chương 2 sẽ trình bày tổng quan về các phương pháp phân tích và cáchướng tiếp cận khi phân tích dầm liên hợp

• Trong chương 3, mô hình ứng xử của dầm liên hợp chịu uốn sẽ được thiếtlập dựa trên các giả thiết và các điều kiện cân bằng

• Chương 4 trình bày các công thức phần tử hữu hạn và mô hình phi tuyếnvật liệu cho bài toán phân tích phi tuyến dầm liên hợp

• Các ví dụ áp dụng số và kết quả so sánh được trình bày trong Chương 5

• Chương 6 sẽ kết luận và trình bày các kiến nghị và hướng phát triển củađề tài

Chương 2Tổng quan

Nhờ các ưu điểm và ứng dụng rộng rãi được trình bày trong Chương 1 mà KCLHđã được nghiên cứu và phân tích rất nhiều bằng các phương pháp khác nhautrong lịch sử Vì vậy, một cái nhìn tổng quan các nghiên cứu đã thực hiện là cầnthiết Ứng xử liên hợp, các hướng tiếp cận phân tích và các hiện tượng khôngtương thích trong dầm liên hợp sẽ được trình bày tóm tắt trong chương này.Đây là cơ sở lý thuyết quan trọng cho các chương sau

2.1.1Ứng xử liên hợp của dầm

Các trường hợp ứng xử của dầm liên hợp khi xét đến sự tương tác làm việc giữabê tông và dầm thép được mô tả theo Hình 2.1 [10] Theo đó, ứng xử của dầmđược chia thành ba trường hợp như sau:

• Tương tác toàn phần (full interaction): không có sự trượt tương đối tạimặt tiếp xúc giữa bản bêtông và dầm thép Lực cắt dọc được truyền toànbộ và tải trọng phá hoại Pu đạt giá trị lớn nhất, bêtông và thép làm việccùng nhau hoàn toàn Phá hoại là dòn nếu xảy ra đột ngột, là dẻo nếu xảyra từ từ

Tải trọng khi có vết nứt đầu tiên

Pu: Không tương tácPu: Tương tác bán phầnPu: Tương tác toàn phần

PfPu

0Tải trọng P

Độ võng dd

Hình 2.1: Ứng xử của dầm liên hợp

• Không tương tác (no interaction): chuyển vị trượt tương đối giữa bêtôngvà thép tại mặt tiếp xúc là không giới hạn; hầu như không có sự truyền lựccắt Tải trọng phá hoạiPu nhỏ nhất, phá hoại là chuyển tiếp (progressive)

• Tương tác bán phần (partial interaction): chuyển vị trượt giữa bêtông vàthép tại mặt tiếp xúc khác không nhưng có giới hạn Lực cắt được truyềnmột phần vàPu nằm giữa hai giá trị trên Phá hoại có thể là dòn hoặc dẻo

Sự trượt giữa dầm và sàn phụ thuộc vào mức độ tương tác kháng cắt của liênkết Hình 2.2 biểu diễn mức độ trượt giữa dầm và sàn khi có và không có liênkết

Kháng cắt không hoàn toànKháng cắt

hoàn toàn

Không kháng cắt Lực cắt

ngang

Ni

nT

sHình 2.2: Tương tác kháng cắt của dầm

2.1.2Các giai đoạn làm việc của dầm liên hợp

Sự làm việc của kết cấu liên hợp được minh họa theo Hình 2.3, được chia thànhba giai đoạn như sau [18]:

strain stress

+-Shear force

strain stressShear force

strain stressShear force

Bending moment

c) Stage 3

Hình 2.3: Các giai đoạn chịu tải của dầm liên hợp

• Giai đoạn 1: Khi tải trọng còn nhỏ, bêtông và thép làm việc đàn hồi, ứngsuất và biến dạng là tuyến tính Liên kết giữa chúng chịu lực cắt nhỏ Dầmbị biến dạng ít nên ứng suất tại giữa nhịp dầm phân bố dạng đường thẳngnhư Hình 2.3a Theo biểu đồ biến dạng, nếu sàn đủ dày thì trục trung hòasẽ nằm trong bêtông, như vậy một phần bêtông chịu kéo Ngược lại, khibản sàn mỏng thì trục trung hòa nằm trong phần dầm thép thì lúc nàyphần phía trên chịu nén

• Giai đoạn 2: Khi tải trọng tiếp tục tăng, ứng suất cắt giữa thép và bêtôngtăng làm tăng biến dạng liên kết Biến dạng này làm tăng biến dạng tổngthể của dầm Hình 2.3b biểu diễn ảnh hưởng của biến dạng trượt đến sựphân bố ứng suất và biến dạng của dầm Ở giai đoạn này dầm liên hợpđược thiết kế liên kết loại một phần Tuy nhiên biến dạng trượt rất nhỏ vàcó thể bỏ qua

• Giai đoạn 3: Thép đạt đến giới hạn chảy, vùng dẻo phát triển và sau đótoàn bộ tiết diện thép bị chảy dẻo Quá trình này cũng xảy ra tương tựnhư với bêtông, biểu đồ ứng suất biến dạng như Hình 2.3c Khi biến dạng

phát triển gây ra ứng suất quá lớn sẽ làm phá hoại giòn tại bề mặt bảnbêtông Sự gia tăng ứng suất trong bêtông dẫn đến sự gia tăng biến dạng,ứng suất sẽ bị thay đổi Nếu khả năng chống lại lực cắt dọc đủ lớn thì biếndạng trượt có thể bỏ qua Tuy nhiên, trên thực tế mức độ biến dạng dầmphụ thuộc rất nhiều ứng xử của liên kết chống cắt.

2.2.1Phương pháp giải tích (Exact analytical solutions)

Biểu thức giải tích chính xác được xác định dựa vào một biểu đồ biến dạng chưabiết Để xác định biểu đồ này cần có ba tham số được định nghĩa một cách đầyđủ Các tham số đó bao gồm: biến dạng ở lớp trên của tiết diện dầm0, độ cong

κ và biến dạng trượt s; được biểu diễn như Hình 2.4

se0

u'n

k

Trục tham chiếu bất kỳ

Biểu đồ biến dạngTiết diện dầm liên hợp

Hình 2.4: Biểu đồ biến dạng của tiết diện dầm liên hợp

Hệ ba phương trình được sử dụng để giải bài toán gồm phương trình cân bằngtheo phương ngang tại tiết diện, phương trình cân bằng góc xoay tại tiết diệnvà phương trình cân bằng theo phương ngang của biểu đồ của phần tử phía trêncùng Khi biểu đồ biến dạng được thỏa mãn thì các chuyển vị được xác định từviệc kết hợp điều kiện biên cho phần tử dầm đang xem xét

Trong trường hợp dầm chịu tải phân bố đều w, các biểu thức của biến dạng 0,độ cong κ và biến dạng trượt s được xác định như sau [19]:

s = αC1eαz − αC2e−αz +wα1

trong đó M và N lần lượt là mômen và lực dọc trục dọc theo chiều dài dầm; bi,

ri, α và α1 (với i = 1, 2, 3) là các đặc trưng của tiết diện; C1, C2 là các hằng sốtích phân, phụ thuộc vào các điều kiện biên của phần tử dầm

Chi tiết của phương pháp, các đặc trưng tiết diện và điều kiện tải trọng có thểtham khảo trong [19]

2.2.2Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method )

Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số, được sử dụng cho bàitoán dầm liên hợp khi hệ các phương trình vi phân của bài toán không thể đượcgiải với lời giải chính xác Các đạo hàm sẽ được xấp xỉ bởi các biểu thức đại số.Bằng cách rời rạc phần tử theo phương dọc trục thành m phần, các đạo hàmcủa hàm tổng quát K(z) có thể được xấp xỉ bằng tổng các giá trị của hàm tạicác điểm chia theo công thức sau:

Kjn = d(n)1j Gj−2+ d(n)2j Gj−1+ d(n)3j Gj+ d(n)4j Gj+1+ d(n)5j Gj+2 (2.4)

Trong đó: Kjn = ∂

nKj∂zn(n ≤ 4) tại điểm chia j; Gj = K(zj) với zj là tọa độ điểm

j trên trục dầm; và d(n)ij là hằng số phụ thuộc vào khoảng cách chia điểm Ápdụng công thức 2.4 cho mỗi điểm chia sẽ đạt được một hệ phương trình đại sốchứa các ẩn số là các hàm chuyển vị tại điểm đó

Chi tiết phương pháp có thể tìm thấy trong nghiên cứu của tác giả Dezi và cộngsự [20] Các tác giả đã tính toán ứng xử dài hạn của bêtông trong mô hình dầmliên hợp có xét đến ảnh hưởng của "shear - lag"

2.2.3Phương pháp phần tử hữa hạn (Finite element method )

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp số để tìm dạng gầnđúng của hàm ẩn trong miền V Tuy nhiên FEM không tìm dạng xấp xỉ trêntoàn miền mà chỉ tìm trong từng miền con Ve - phần tử Trong phạm vi phầntử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ trong dạng hàm đơn giản, gọi là các hàm xấpxỉ (approximation function) Các hàm này được nội suy qua giá trị của hàm (cóthể cả đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử Trình tự phân tích bài toán theoFEM như sau [21]:

• Rời rạc hoá: miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve có dạnghình học thích hợp và đơn giản Chúng liên kết với nhau tại các nút Cácphần tử có thể có các tính chất vật liệu khác nhau

• Chọn hàm xấp xỉ thích hợp, rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị(cả đạo hàm) của nó tại các nút của phần tử {q}e

• Thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K]e và vectơ tải phần tử {P }e

• Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích

• Giải hệ phương trình đại số

• Hoàn thiện: Tìm chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong các phần tử

Hàm xấp xỉ được chọn để biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị; haydạng phân bố của ứng suất, nội lực hay dạng phân bố của cả chuyển vị và ứngsuất Tùy theo việc lựa chọn hàm xấp xỉ, FEM có thể chia thành các hướng tiếpcận tương ứng như sau:

2.2.3.1Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị (Displacement

based )

Hướng tiếp cận theo phương pháp này được áp dụng nhiều trong phân tích dầmliên hợp Mô hình phần tử dầm được thiết lập dựa trên các giả thiết dầm Euler- Bernoulli Một số nghiên cứu có thể kể đến như sau:

• Năm 1981, Arizumi và Hamada [1] đã đề xuất mô hình phần tử 12 bậctự do (DOFs) (Hình 2.5) để phân tích đàn - dẻo dầm bêtông cốt thép vàdầm liên hợp có xét sự tương tác không hoàn toàn Trong phân tích dầmliên tục, tác giả đã xét đến hiện tượng nứt của bê tông tại vùng mômen âmvà chiều sâu vết nứt được biểu diễn bởi một hàm tuyến tính Véctơ chuyểnvị u có dạng:

w1, w'1v1, v'1

w3, w'3v3, v'3Hình 2.5: Phần tử dầm liên hợp 12 DOFs [1]

• Năm 1999, Gattesco [22] đã so sánh các biểu thức trong phương phápphân tích dầm liên hợp theo hướng tiếp cận tuyến tính và theo hướng tiếpcận phi tuyến Từ đó tác giả đã áp dụng số trên bốn mô hình dầm liên hợpđể so sánh với kết quả thực nghiệm

• Năm 2002, Dall’Asta và Zona [23] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợpbằng việc sử dụng giả thiết dầm Euler - Bernoulli cho cả sàn bêtôngvà dầm thép hình, được gọi là mô hình EB -EB Từ đó ba mô hình phần

tử có số bậc tự do khác nhau: 8 DOFs, 10 DOFs và 16 DOFs (Hình 2.6)được xây dựng để so sánh kết quả và đánh giá các sai số Véctơ chuyển vịu bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc, chuyển vị dọc trục củadầm thépws và chuyển vị đứngv Các hàm dạng được lựa chọn tương ứngcho ba trường hợp được thống kê trong Bảng 2.1.

• Năm 2006, Gara và cộng sự [24] đã thiết lập các biểu thức phần tử hữuhạn cho mô hình dầm liên hợp có xét cả hiện tượng trượt dọc trục và hiệntượng phân tách đứng (vertical uplift ) giữa hai thành phần liên hợp Khiđó véctơ chuyển vị u bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc vàcủa dầm thép ws; chuyển vị đứng của sàn bêtông vc và của dầm thép vs.Các vật liệu được làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính Ba mô hìnhphần tử được phân tích và so sánh gồm: 12 DOFs, 14 DOFs và 22 DOFs(Hình 2.7)

12 DOFs14 DOFs22 DOFs

Hình 2.7: Phần tử dầm EB-EB có xét hiện tượng phân tách đứng

• Năm 2009, Nghi và Thành [25] đã phân tích phi tuyến dầm thép-bêtôngliên hợp có xét đến tương tác bán phần Phần tử dầm liên hợp có 8 DOFs(Hình2.6) được thiết lập dựa trên mô hình động học của Newmark đểxét đến ứng xử phi tuyến của vật liệu Sau đó năm 2011, hai tác giả Nghivà Thành đã phát triển nghiên cứu trên khung phẳng liên hợp [26] Mộtphần tử dầm 6 DOFs có liên kết nửa cứng (semi - rigid ) giữa dầm và cộttrong hệ khung phẳng được xây dựng Kết quả được phân tích trên dầmhai nhịp, khung đơn giản và hệ khung 6 tầng hai nhịp

• Năm 1998, Salari và cộng sự [27] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợpcó xét đến biến dạng của liên kết chịu cắt Hai ví dụ áp dụng số được giảiquyết bằng FEM dựa trên chuyển vị mô hình 8 DOFs và FEM dựa trênlực, để so sánh tính hiệu quả của phương pháp dựa trên lực

• Năm 2005, tác giả Ayoub [28] đã xét một phần tử dầm-cột dựa trên phươngpháp lực để phân tích phi tuyến dầm liên hợp có xét tương tác không bánphần Mô hình được cấu tạo từ ba thành phần tương ứng cho dầm thép,sàn bê tông và liên kết chịu cắt Ảnh hưởng do lực ma sát và sự phân táchlớp được bỏ qua

• Năm 2000, Ayoub và cộng sự [29] dẫn xuất các công thức kết hợp giữa haitrường nội lực và chuyển vị cho dầm liên hợp Phần tử dầm có 10 bậc tự

do chuyển vị và 6 bậc tự do lực Tác giả đã phân tích dầm trong gia đoạnphi đàn hồi dưới tác dụng của các tải trọng đơn điệu và có tính chu kỳ.

• Năm 2004, Dall’Asta và Zona [2] đã phát triển hướng phân tích phituyến mới cho dầm liên hợp Việc xấp xỉ được tiến hành trên cả ba trường:trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất của phần tử bằngcác đa thức hàm dạng (Hình 2.8) Tác giả đã so sánh với FEM dựa trênchuyển vị để đánh giá ưu điểm của phương pháp

Hình 2.8: Trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất phần tử dầm của

Dall’Asta [2]

• Năm 2009, Nguyen và cộng sự [30] đã sử dụng phương pháp hỗn hợpcho phân tích dầm liên hợp liên tục có vùng mômen âm Ảnh hưởng củabêtông bị nứt tại vùng mômen âm và mức độ liên kết chống cắt trong dầmliên tục được phân tích

2.2.4Phương pháp độ cứng trực tiếp (Direct stiffness method )

Trong phân tích kết cấu, phương pháp độ cứng tiếp cũng thường được sử dụng.Phương pháp này được áp dụng để phân tích ứng xử của dầm liên hợp có xétđến tương tác không toàn phần bởi Ranzi cùng cộng sự [31, 32]; Chúng vàcộng sự [7]

Phương pháp này không cần xấp xỉ hàm chuyển vị qua các đa thức hàm dạng.Ma tận độ cứng K sẽ được xác định trực tiếp bằng cách gán các chuyển vị đơnvị cho các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển vị phần tử Ma trận độ cứngcủa phần tử dầm 8 bậc tự do được xác định Các thành phần chuyển vị nút

phần tử gồm: chuyển vị đứng v, góc xoay v0, chuyển vị trượt s và chuyển vị dọctrục tại vị trí trục tham chiếu un; được mô tả như Hình 2.9.

• Năm 2007, Ranzi và Zona [33] đã đề xuất mô hình dầm liên hợp EB - Tcó kể đến biến dạng cắt của dầm thép Tác giả đã kết hợp giả thiết dầmEuler - Bernoulli cho sàn bêtông và giả thiết dầm Timoshenko cho

dầm thép Ba mô hình phần tử hữu hạn có bậc tự do khác nhau: 10 DOFs,13 DOFs và 21 DOFs (Hình 2.10) được xây dựng để so sánh kết quả vàđánh giá ảnh hưởng của thời gian đến sự làm việc của bêtông sàn Véctơchuyển vị u bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc, chuyển vị dọctrục của dầm thép ws, chuyển vị đứng v và góc xoay ϕscủa dầm thép.

Hai tác giả Xu và Wu [34] đề xuất mô hình phân tích sử dụng các giảthiết động học của Timoshenko cho cả hai vật liệu liên hợp, nhưng tácgiả đã xem góc xoay của tiết diện mặt cắt bằng nhau cho cả hai vật liệu.Kế đến là một nghiên cứu khác đã phân tích một cách đầy đủ ảnh hưởngbiến dạng cắt trên mô hình dầm liên hợp hai lớp do Schnabl và cộng sự[35] thực hiện Tác giả đã xem biến dạng cắt và góc xoay tại tâm của hailớp khác nhau, hiện tượng phân tách lớp được bỏ qua.Tuy nhiên các ápdụng hạn chế trên bài toán dầm đơn giản

• Năm 2011, Nguyen cùng cộng sự [36] đã dẫn xuất ma trận độ cứng "chính

giả thiết dầm Timoshenko Phân tích được áp dụng trên dầm đơn giảnvà dầm liên tục chịu tải trọng tập trung giữa nhịp Cũng trong năm này,Zona và Ranzi [5] đã phân tích tổng hợp trên ba mô hình dầm: EB − EB,

lượng phần tử được rời rạc và bậc tự do của phần tử trong tính toán bằngFEM cũng được đánh giá

• Năm 2014, Nguyen và cộng sự [37] đã phân tích phi đàn hồi dầm liênhợp hai lớp Timoshenko bằng FEM dựa trên lực Nghiên cứu đã cungcấp một công cụ cho phân tích ổn định đàn - dẻo (elastoplastic buckling)dầm/cột liên hợp hai lớp, có xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt, với cácđiều kiện tải trọng và liên kết khác nhau

tích dầm liên hợp.

Một số vấn đề số học có thể xuất hiện trong quá trình phân tích kết cấu, khihai hay nhiều trường chuyển vị được kết nối với nhau và khi giải pháp được tìmkiếm trong không gian hữu hạn chiều, cũng như được sử dụng trong xấp xỉ phầntử hữu hạn [38] Độ chính xác của lời giải phụ thuộc vào một số tham số đặctrưng bao gồm trong các nhóm kết hợp, các giá trị giới hạn, những mối quan hệxa hơn giữa các ẩn số có thể phát triển, làm giảm số chiều của lời giải

Trong một vài trường hợp, số chiều tiến tới không và mô hình bị "locking" hoàntoàn Nói chung, một sự phản ứng cứng hơn và những biến dạng giả có thể đạtđược khi hiện tượng trên xuất hiện Các trường hợp điển hình như: hiện tượng"khóa" biến dạng cắt [39–41] có thể phát triển trong phần tử dầm Timoshenkodo sự sai khác độ cứng kháng cắt; vấn đề độ lệch tâm [3, 4] có thể ảnh hưởngmô hình dầm Euler-Bernoulli thông thường khi có sự khác biệt về điểm gốccủa hệ trục tọa độ tham chiếu, và hiện tượng "khóa" biến dạng trượt [42] có thể

xuất hiện trong mô hình dầm liên hợp của Newmark với biến dạng của liênkết kháng cắt.

Trong tất cả các trường hợp nói trên, các biến dạng tổng quát là hàm của cácchuyển vị tổng quát của các phần tử khác nhau, hoặc là đạo hàm của các chuyểnvị đó Ví dụ như: trong mô hình dầm Timoshenko, biến dạng cắt phụ thuộc vàođạo hàm bậc nhất của độ võng và vào góc xoay; trong mô hình dầm Euler -Bernoulli, biến dạng dọc trục được xác định dựa vào đạo hàm của cả chuyểnvị dọc trục và độ võng; trong mô hình của Newmark, biến dạng trượt bề mặtđược tính từ các chuyển vị dọc trục và từ đạo hàm bậc nhất của độ võng Trongnhững trường hợp này, vấn đề "khóa" có thể tránh được khi các hàm chuyển vịhoặc đạo hàm của chuyển vị trong biểu thức biến dạng được lựa chọn phù hợp,tức cùng bậc đa thức [3, 4, 38–42] Các vấn đề này sẽ được trình bày tổng quátở các mục sau

2.4.1Sự lệch tâm (eccentricity issue)

Khi ma trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp được xác định thông qua cáchàm tuyến tính và có sự lệch tâm giữa hai lớp liên hợp, sự không tương thíchtrong trường chuyển vị dọc trục sẽ xảy ra và dẫn đến sai số trong phân tích.Nguyên nhân của sai số là do phương pháp thiết lập và biến đổi các biểu thứcban đầu [3] Xét ví dụ một dầm côngxon có mặt cắt tiết diện như Hình 2.11.Giả thiết chuyển vị dọc trụcux là một hàm tuyến tính, chuyển vị đứng uz là mộthàm bậc 3, góc xoayθ là hàm bậc 2 Phương trình độ cứng của dầm 1 (phần tửtấm)và của dầm 2 (phần tử dầm lệch tâm) như công thức 2.11



Aα

0 12IαL3−6Iα

L2

L24Iα

L



uxαuzα

θα



E



PxαPzα

Mα



(2.11)

q1 , M1

uz2, Pz2ux2, Px2q2 , M2

Hình 2.11: Phần tử dầm côngxon liên hợp [3]

Có thể xem dầm 1 như dầm chính và dầm 2 là dầm lệ thuộc dầm chính, khi đóbiểu thức quan hệ chuyển vị giữa hai dầm là:



ux2uz2θ2



=



1 0 −a





ux1uz1θ1



2.4.2Hiện tượng "khóa" biến dạng cắt (shear locking )

Hiện tượng " shear locking" xuất hiện khi các chuyển vị đứng và các góc xoaycủa tiết diện được ghép nối với nhau dưới dạng các hàm Euler - Lagrangian

Conventional 4 ElementExact Element

Hình 2.12: Biểu đồ chuyển vị đứng dưới tải trọng phân bố [4]

và bậc nội suy thấp được sử dụng [39] Vấn đề này được Mukherjee và cộngsự [41] phân tích trên phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút (Hình 2.13)

Lq1

W1

x = -1

W2

x = +1x = 0

q2

Hình 2.13: Phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút

Trường chuyển vị bao gồm chuyển vị đứng w và góc xoay của tiết diện θ đượcxác định bởi công thức sau:

w =

2X

i=1

θ =

2X

i=1

trong đó các hàm Lagrangian tuyến tính được sử dụng là N1 = (1 − ξ)/2 và

N1 = (1 + ξ)/2; ξ = 2x/L.Véctơ biến dạng của phần tử được xác định như sau:

() =



dθ/dxθ − dw/dx





1/L (1 − ξ)/2 −1/L (1 + ξ)/2

{δe} = [B] {δe}

(2.16)

trong đó {δe} là véctơ chuyển vị nút, {δe} = [w1, θ1, w2, θ2]T Biến dạng cắt củaphần tử là:

với α = (θ1+ θ2)/2 − (w2− w1)/L và β = (θ2+ θ1)/2

Số hạng đầu tiên có ý nghĩa vật lý tương đương của mô hình dầm Euler, sốhạng thứ hai là một nhiễu tạp Số hạng nhiễu β có ảnh hưởng làm tăng độ cứnguốn của phần tử thànhEI∗= EI + kGAL2/12, vớiEI và kGAlần lượt là độ cứnguốn và độ cứng cắt thực tế của dầm Đây là nguyên nhân dẫn đến "locking" Dođó vấn đề "shear locking" được loại bỏ bằng cách loại bỏ số hạng β Nếu wLF

và wL là giá trị "lock-free" và "locked" của chuyển vị đứng, khi đó:

với K = kGAl2/(12EI) thì e = kGAL2/(12EI) = K/n2 (l là tổng chiều dài dầmvà n là tổng số phần tử được rời rạc) Hệ số e càng nhỏ khi dầm càng dày và độrời rạc mịn hơn

2.4.3Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking )

Trong thực tế phân tích, do bản chất cấu tạo của dầm liên hợp nên biến dạngtrượt cần phải được tính toán Biến dạng của liên kết chịu cắt trong dầm dẫn đếnmối liên hệ giữa trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục Dall’Astavà Zona [42] đã chỉ ra rằng, nếu sự xấp xỉ của trường chuyển vị đứng và trườngchuyển vị dọc trục là không tương thích, thì sai số trong phân tích phần tử hữuhạn dầm liên hợp phụ thuộc nhiều vào độ cứng của liên kết Khi độ cứng củaliên kết có giá trị cao, biến dạng trượt sẽ dao động và kém chính xác Tác giả đãsử dụng mô hình dầm 8 DOFs (Hình 2.6) với số bậc tự do thấp nhất để đánhgiá vấn đề Biến dạng trượt tính theo công thức 2.19 Kết quả so sánh như Hình2.14

Với wlà chuyển vị dọc trục được xấp xỉ bởi hàm tuyến tính, v là chuyển vị đứngđược xấp xỉ bằng hàm bậc 3, h là khoảng cách giữa trọng tâm dầm thép và bảnbêtông Khi k → ∞ thì δ → 0.

Hình 2.14: Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt của phần tử dầm 8 DOFs

Như kết quả phân tích, khi độ cứng liên kết thấp (αL = 1): biến dạng trượt δ

xấp xỉ chính xác; và khi độ cứng liên kết cao (αL = 10)kết quả không còn chínhxác, biến dạng trượtδ bị dao động giả Nguyên nhân đa thức xấp xỉ cho độ cong

v0 và chuyển vị dọc trục w có bậc khác nhau

Để giải quyết bài toán này, Dall’Asta [42] sử dụng mô hình dầm 10 DOFsvà 16 DOFs (Hình 2.6) Bậc đa thức hàm dạng được lựa chọn như Bảng 2.1.Kết quả đạt được chính xác hơn và hiện tượng "locking" biến dạng trượt đượcgiải quyết (Hình2.15) Đây là một vấn đề quan trọng cần xem xét trong phântích phi tuyến dầm liên hợp, vì ứng xử phi tuyến của liên kết chịu cắt được đặctrưng bởi quy luật cấu tạo: độ cứng thay đổi từ giá trị rất cao khi biến dạngtrượt bằng không đến một giá trị rất thấp khi liên kết bị phá hoại

Hình 2.15: So sánh kết quả độ cong giữa các phần tử dầm

Chương 2 đã trình bày tóm tắt các ứng xử liên hợp và các giai đoạn làm việccủa dầm khi chịu tác dụng của tải trọng Từ việc hệ thống lại các phương phápphân tích dầm liên hợp trong lịch sử nghiên cứu sẽ giúp nắm bắt được tổngquan cách thức phân tích và lựa chọn phương pháp tiếp cận phù hợp cho nghiêncứu Các trường hợp không tương thích đã được trình bày đầy đủ nguyên nhânvà cách hạn chế các hiện tượng đó xuất hiện Điều này giúp dự báo được cáctrường hợp bị "locking" và lựa chọn mô hình, các hàm xấp xỉ và số lượng phầntử phân tích một cách thích hợp để đạt kết quả chính xác