tích dầm liên hợp.
Một số vấn đề số học có thể xuất hiện trong quá trình phân tích kết cấu, khi hai hay nhiều trường chuyển vị được kết nối với nhau và khi giải pháp được tìm kiếm trong không gian hữu hạn chiều, cũng như được sử dụng trong xấp xỉ phần tử hữu hạn [38]. Độ chính xác của lời giải phụ thuộc vào một số tham số đặc trưng bao gồm trong các nhóm kết hợp, các giá trị giới hạn, những mối quan hệ xa hơn giữa các ẩn số có thể phát triển, làm giảm số chiều của lời giải.
Trong một vài trường hợp, số chiều tiến tới không và mô hình bị "locking" hoàn toàn. Nói chung, một sự phản ứng cứng hơn và những biến dạng giả có thể đạt được khi hiện tượng trên xuất hiện. Các trường hợp điển hình như: hiện tượng
"khóa" biến dạng cắt [39–41] có thể phát triển trong phần tử dầmTimoshenko do sự sai khác độ cứng kháng cắt; vấn đề độ lệch tâm [3, 4] có thể ảnh hưởng mô hình dầm Euler-Bernoullithông thường khi có sự khác biệt về điểm gốc của hệ trục tọa độ tham chiếu, và hiện tượng "khóa" biến dạng trượt [42] có thể
xuất hiện trong mô hình dầm liên hợp của Newmark với biến dạng của liên kết kháng cắt.
Trong tất cả các trường hợp nói trên, các biến dạng tổng quát là hàm của các chuyển vị tổng quát của các phần tử khác nhau, hoặc là đạo hàm của các chuyển vị đó. Ví dụ như: trong mô hình dầm Timoshenko, biến dạng cắt phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất của độ võng và vào góc xoay; trong mô hình dầm Euler - Bernoulli, biến dạng dọc trục được xác định dựa vào đạo hàm của cả chuyển vị dọc trục và độ võng; trong mô hình của Newmark, biến dạng trượt bề mặt được tính từ các chuyển vị dọc trục và từ đạo hàm bậc nhất của độ võng. Trong những trường hợp này, vấn đề "khóa" có thể tránh được khi các hàm chuyển vị hoặc đạo hàm của chuyển vị trong biểu thức biến dạng được lựa chọn phù hợp, tức cùng bậc đa thức [3, 4, 38–42]. Các vấn đề này sẽ được trình bày tổng quát ở các mục sau.
2.4.1 Sự lệch tâm (eccentricity issue)
Khi ma trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp được xác định thông qua các hàm tuyến tính và có sự lệch tâm giữa hai lớp liên hợp, sự không tương thích trong trường chuyển vị dọc trục sẽ xảy ra và dẫn đến sai số trong phân tích.
Nguyên nhân của sai số là do phương pháp thiết lập và biến đổi các biểu thức ban đầu [3] . Xét ví dụ một dầm côngxon có mặt cắt tiết diện như Hình 2.11.
Giả thiết chuyển vị dọc trụcux là một hàm tuyến tính, chuyển vị đứng uz là một hàm bậc 3, góc xoayθ là hàm bậc 2. Phương trình độ cứng của dầm 1 (phần tử tấm)và của dầm 2 (phần tử dầm lệch tâm) như công thức 2.11.
Aα
L 0 0
0 12IL3α −6Iα
L2
0 −6IL2α
4Iα
L
uxα uzα
θα
= 1 E
Pxα Pzα
Mα
(2.11)
a
Dầm 1
Dầm 2
z
uz1, Pz1 ux1, Px1
q1 , M1
uz2, Pz2 ux2, Px2 q2 , M2
Hình 2.11: Phần tử dầm côngxon liên hợp [3]
Có thể xem dầm 1 như dầm chính và dầm 2 là dầm lệ thuộc dầm chính, khi đó biểu thức quan hệ chuyển vị giữa hai dầm là:
ux2 uz2 θ2
=
1 0 −a 0 1 0 0 0 1
ux1 uz1 θ1
(2.12)
Tại vị trí z bất kỳ, chuyển vị ux được xác định công thức 2.13
ux(z) =ux−zθ (2.13)
Với ux là tuyến tính và θ là hàm bậc 2 thì ux(z) là hàm bậc 2. Như vậy chuyển vị dọc trục z của dầm 2 là hàm bậc 2, điều này không đúng với giả thiết ban
đầu. Đây là lý do của sự không tương thích. Tác giả Gupta [3] đã chỉ ra rằng:
sai số do sự lệch tâm sẽ hội tụ về không khi số lượng phần tử được rời rạc hóa tiến về vô cùng. Sai số này có thể được hạn chế trong giới hạn cho phép với số
lượng phần tử tương đối. Nhận định này được Erkmen [4] phân tích trên mô hình dầm côngxon liên hợp chịu tải phân bố đều. Phân tích cho thấy, dầm 4 phần tử có kết quả gần kết quả chính xác hơn dầm 1 phần tử (Hình 2.12).
2.4.2 Hiện tượng "khóa" biến dạng cắt (shear locking)
Hiện tượng " shear locking" xuất hiện khi các chuyển vị đứng và các góc xoay của tiết diện được ghép nối với nhau dưới dạng các hàmEuler - Lagrangian
Độ võng (mm)
Chiều dài nhịp (mm)
0 500 1000 1500 2000
0 10 20 30 40 Conventional 1 Element
Conventional 4 Element Exact Element
Hình 2.12: Biểu đồ chuyển vị đứng dưới tải trọng phân bố [4]
và bậc nội suy thấp được sử dụng [39]. Vấn đề này được Mukherjee và cộng sự [41] phân tích trên phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút (Hình 2.13).
q1 L W1
x = -1
W2
x = +1 x = 0
1 2
q2
Hình 2.13: Phần tử dầmTimoshenko hai điểm nút
Trường chuyển vị bao gồm chuyển vị đứng w và góc xoay của tiết diện θ được xác định bởi công thức sau:
w=
2
X
i=1
Niwi (2.14)
θ=
2
X
i=1
Niθi (2.15)
trong đó các hàm Lagrangian tuyến tính được sử dụng là N1 = (1−ξ)/2 và N1 = (1 +ξ)/2; ξ= 2x/L.
Véctơ biến dạng của phần tử được xác định như sau:
() =
dθ/dx θ−dw/dx
=
0 −1/L 0 1/L
1/L (1−ξ)/2 −1/L (1 +ξ)/2
{δe}= [B]{δe}
(2.16)
trong đó {δe} là véctơ chuyển vị nút, {δe} = [w1, θ1, w2, θ2]T. Biến dạng cắt của phần tử là:
θ−dw/dx=α+βξ (2.17)
với α = (θ1+θ2)/2−(w2−w1)/L và β = (θ2+θ1)/2.
Số hạng đầu tiên có ý nghĩa vật lý tương đương của mô hình dầm Euler, số hạng thứ hai là một nhiễu tạp. Số hạng nhiễu β có ảnh hưởng làm tăng độ cứng uốn của phần tử thànhEI∗=EI+kGAL2/12, vớiEI và kGAlần lượt là độ cứng uốn và độ cứng cắt thực tế của dầm. Đây là nguyên nhân dẫn đến "locking". Do đó vấn đề "shear locking" được loại bỏ bằng cách loại bỏ số hạng β. Nếu wLF và wL là giá trị "lock-free" và "locked" của chuyển vị đứng, khi đó:
wLF/wL =I∗/I = 1 +kGAL2/(12EI) = 1 +e (2.18)
với K = kGAl2/(12EI) thì e = kGAL2/(12EI) = K/n2 (l là tổng chiều dài dầm và n là tổng số phần tử được rời rạc). Hệ số e càng nhỏ khi dầm càng dày và độ rời rạc mịn hơn.
2.4.3 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking)
Trong thực tế phân tích, do bản chất cấu tạo của dầm liên hợp nên biến dạng trượt cần phải được tính toán. Biến dạng của liên kết chịu cắt trong dầm dẫn đến mối liên hệ giữa trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục.Dall’Asta và Zona [42] đã chỉ ra rằng, nếu sự xấp xỉ của trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục là không tương thích, thì sai số trong phân tích phần tử hữu hạn dầm liên hợp phụ thuộc nhiều vào độ cứng của liên kết. Khi độ cứng của liên kết có giá trị cao, biến dạng trượt sẽ dao động và kém chính xác. Tác giả đã sử dụng mô hình dầm 8 DOFs (Hình 2.6) với số bậc tự do thấp nhất để đánh giá vấn đề. Biến dạng trượt tính theo công thức 2.19. Kết quả so sánh như Hình 2.14.
δ(z) =w2(z)−w1(z) +hv0(z) (2.19)
Với wlà chuyển vị dọc trục được xấp xỉ bởi hàm tuyến tính, v là chuyển vị đứng được xấp xỉ bằng hàm bậc 3, h là khoảng cách giữa trọng tâm dầm thép và bản bêtông. Khi k → ∞ thì δ →0.
Hình 2.14: Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt của phần tử dầm 8 DOFs
Như kết quả phân tích, khi độ cứng liên kết thấp (αL = 1): biến dạng trượt δ xấp xỉ chính xác; và khi độ cứng liên kết cao (αL = 10)kết quả không còn chính xác, biến dạng trượtδ bị dao động giả. Nguyên nhân đa thức xấp xỉ cho độ cong v0 và chuyển vị dọc trục w có bậc khác nhau.
Để giải quyết bài toán này, Dall’Asta [42] sử dụng mô hình dầm 10 DOFs và 16 DOFs (Hình 2.6). Bậc đa thức hàm dạng được lựa chọn như Bảng 2.1.
Kết quả đạt được chính xác hơn và hiện tượng "locking" biến dạng trượt được giải quyết (Hình2.15). Đây là một vấn đề quan trọng cần xem xét trong phân tích phi tuyến dầm liên hợp, vì ứng xử phi tuyến của liên kết chịu cắt được đặc trưng bởi quy luật cấu tạo: độ cứng thay đổi từ giá trị rất cao khi biến dạng trượt bằng không đến một giá trị rất thấp khi liên kết bị phá hoại.
Hình 2.15: So sánh kết quả độ cong giữa các phần tử dầm