2.2.1 Phương pháp giải tích (Exact analytical solutions)
Biểu thức giải tích chính xác được xác định dựa vào một biểu đồ biến dạng chưa biết. Để xác định biểu đồ này cần có ba tham số được định nghĩa một cách đầy đủ. Các tham số đó bao gồm: biến dạng ở lớp trên của tiết diện dầm0, độ cong κ và biến dạng trượt s; được biểu diễn như Hình 2.4.
e0 s
u'n
k Trục tham chiếu bất kỳ
Biểu đồ biến dạng Tiết diện dầm liên hợp
Hình 2.4: Biểu đồ biến dạng của tiết diện dầm liên hợp
Hệ ba phương trình được sử dụng để giải bài toán gồm phương trình cân bằng theo phương ngang tại tiết diện, phương trình cân bằng góc xoay tại tiết diện và phương trình cân bằng theo phương ngang của biểu đồ của phần tử phía trên cùng. Khi biểu đồ biến dạng được thỏa mãn thì các chuyển vị được xác định từ việc kết hợp điều kiện biên cho phần tử dầm đang xem xét.
Trong trường hợp dầm chịu tải phân bố đều w, các biểu thức của biến dạng 0, độ cong κ và biến dạng trượt s được xác định như sau [19]:
0=b1M +b2N +b3s0 (2.1)
κ=r1M +r2N+r3s0 (2.2)
s=αC1eαz −αC2e−αz +wα1
ρ (2.3)
trong đó M và N lần lượt là mômen và lực dọc trục dọc theo chiều dài dầm; bi, ri, α và α1 (với i = 1,2,3) là các đặc trưng của tiết diện; C1, C2 là các hằng số tích phân, phụ thuộc vào các điều kiện biên của phần tử dầm.
Chi tiết của phương pháp, các đặc trưng tiết diện và điều kiện tải trọng có thể tham khảo trong [19].
2.2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method)
Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số, được sử dụng cho bài toán dầm liên hợp khi hệ các phương trình vi phân của bài toán không thể được giải với lời giải chính xác. Các đạo hàm sẽ được xấp xỉ bởi các biểu thức đại số.
Bằng cách rời rạc phần tử theo phương dọc trục thành m phần, các đạo hàm của hàm tổng quát K(z) có thể được xấp xỉ bằng tổng các giá trị của hàm tại các điểm chia theo công thức sau:
Kjn =d(n)1j Gj−2+d(n)2j Gj−1+d(n)3j Gj+d(n)4j Gj+1+d(n)5j Gj+2 (2.4)
Trong đó: Kjn = ∂
nKj
∂zn (n ≤ 4) tại điểm chia j; Gj = K(zj) với zj là tọa độ điểm j trên trục dầm; và d(n)ij là hằng số phụ thuộc vào khoảng cách chia điểm. Áp dụng công thức 2.4 cho mỗi điểm chia sẽ đạt được một hệ phương trình đại số chứa các ẩn số là các hàm chuyển vị tại điểm đó.
Chi tiết phương pháp có thể tìm thấy trong nghiên cứu của tác giảDezivà cộng sự [20]. Các tác giả đã tính toán ứng xử dài hạn của bêtông trong mô hình dầm liên hợp có xét đến ảnh hưởng của "shear - lag".
2.2.3 Phương pháp phần tử hữa hạn (Finite element method)
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp số để tìm dạng gần đúng của hàm ẩn trong miền V. Tuy nhiên FEM không tìm dạng xấp xỉ trên toàn miền mà chỉ tìm trong từng miền con Ve - phần tử. Trong phạm vi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ trong dạng hàm đơn giản, gọi là các hàm xấp xỉ (approximation function). Các hàm này được nội suy qua giá trị của hàm (có thể cả đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Trình tự phân tích bài toán theo FEM như sau [21]:
• Rời rạc hoá: miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve có dạng hình học thích hợp và đơn giản. Chúng liên kết với nhau tại các nút. Các phần tử có thể có các tính chất vật liệu khác nhau.
• Chọn hàm xấp xỉ thích hợp, rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị (cả đạo hàm) của nó tại các nút của phần tử {q}e.
• Thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K]e và vectơ tải phần tử {P}e.
• Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích.
• Giải hệ phương trình đại số.
• Hoàn thiện: Tìm chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong các phần tử.
Hàm xấp xỉ được chọn để biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị; hay dạng phân bố của ứng suất, nội lực hay dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng suất. Tùy theo việc lựa chọn hàm xấp xỉ, FEM có thể chia thành các hướng tiếp cận tương ứng như sau:
2.2.3.1 Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị (Displacement
based)
Hướng tiếp cận theo phương pháp này được áp dụng nhiều trong phân tích dầm liên hợp. Mô hình phần tử dầm được thiết lập dựa trên các giả thiết dầmEuler - Bernoulli. Một số nghiên cứu có thể kể đến như sau:
• Năm 1981, Arizumi và Hamada [1] đã đề xuất mô hình phần tử 12 bậc tự do (DOFs) (Hình 2.5) để phân tích đàn - dẻo dầm bêtông cốt thép và dầm liên hợp có xét sự tương tác không hoàn toàn. Trong phân tích dầm liên tục, tác giả đã xét đến hiện tượng nứt của bê tông tại vùng mômen âm và chiều sâu vết nứt được biểu diễn bởi một hàm tuyến tính. Véctơ chuyển vị u có dạng:
u= h
w1 w10 v1 v10 w2 w02 w3 w03 v3 v30 w4 w40
iT
(2.5)
w2, w'2 w4, w'4
v4, v'4 v2, v'2
w1, w'1 v1, v'1
w3, w'3 v3, v'3 Hình 2.5: Phần tử dầm liên hợp 12 DOFs [1]
• Năm 1999, Gattesco [22] đã so sánh các biểu thức trong phương pháp phân tích dầm liên hợp theo hướng tiếp cận tuyến tính và theo hướng tiếp cận phi tuyến. Từ đó tác giả đã áp dụng số trên bốn mô hình dầm liên hợp để so sánh với kết quả thực nghiệm.
• Năm 2002,Dall’Asta và Zona [23] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợp bằng việc sử dụng giả thiết dầm Euler - Bernoulli cho cả sàn bêtông và dầm thép hình, được gọi là mô hình EB -EB. Từ đó ba mô hình phần
tử có số bậc tự do khác nhau: 8 DOFs, 10 DOFs và 16 DOFs (Hình 2.6) được xây dựng để so sánh kết quả và đánh giá các sai số. Véctơ chuyển vị u bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc, chuyển vị dọc trục của dầm thépws và chuyển vị đứngv. Các hàm dạng được lựa chọn tương ứng cho ba trường hợp được thống kê trong Bảng 2.1.
u=h
wc ws v
iT
(2.6)
8 DOFs 10 DOFs 16 DOFs
Hình 2.6: Phần tử dầm EB-EB
Bảng 2.1: Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-EB
Phần tử dầm EB - EB w1 w2 v
EB-EB 8 DOFs 1(C0) 1(C0) 3(C1) EB-EB 10 DOFs 2(C0) 2(C0) 3(C1) EB-EB 26 DOFs 4(C0) 4(C0) 5(C1) C0= đa thứcLagrange;C1= đa thức Hermite
• Năm 2006, Gara và cộng sự [24] đã thiết lập các biểu thức phần tử hữu hạn cho mô hình dầm liên hợp có xét cả hiện tượng trượt dọc trục và hiện tượng phân tách đứng (vertical uplift) giữa hai thành phần liên hợp. Khi đó véctơ chuyển vị u bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc và của dầm thép ws; chuyển vị đứng của sàn bêtông vc và của dầm thép vs. Các vật liệu được làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Ba mô hình phần tử được phân tích và so sánh gồm: 12 DOFs, 14 DOFs và 22 DOFs (Hình 2.7).
u= h
wc ws vc vs
iT
(2.7)
12 DOFs 14 DOFs 22 DOFs Hình 2.7: Phần tử dầm EB-EB có xét hiện tượng phân tách đứng
• Năm 2009, Nghi và Thành [25] đã phân tích phi tuyến dầm thép-bêtông liên hợp có xét đến tương tác bán phần. Phần tử dầm liên hợp có 8 DOFs
(Hình2.6) được thiết lập dựa trên mô hình động học của Newmark để xét đến ứng xử phi tuyến của vật liệu. Sau đó năm 2011, hai tác giả Nghi và Thành đã phát triển nghiên cứu trên khung phẳng liên hợp [26]. Một phần tử dầm 6 DOFs có liên kết nửa cứng (semi - rigid) giữa dầm và cột trong hệ khung phẳng được xây dựng. Kết quả được phân tích trên dầm hai nhịp, khung đơn giản và hệ khung 6 tầng hai nhịp.
2.2.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lực (Force based)
• Năm 1998, Salari và cộng sự [27] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợp có xét đến biến dạng của liên kết chịu cắt. Hai ví dụ áp dụng số được giải quyết bằng FEM dựa trên chuyển vị mô hình 8 DOFs và FEM dựa trên lực, để so sánh tính hiệu quả của phương pháp dựa trên lực.
• Năm 2005, tác giảAyoub[28] đã xét một phần tử dầm-cột dựa trên phương pháp lực để phân tích phi tuyến dầm liên hợp có xét tương tác không bán phần. Mô hình được cấu tạo từ ba thành phần tương ứng cho dầm thép, sàn bê tông và liên kết chịu cắt. Ảnh hưởng do lực ma sát và sự phân tách lớp được bỏ qua.
2.2.3.3 Phương pháp phần tử hữa hạn hỗn hợp (Mixed)
• Năm 2000, Ayoubvà cộng sự [29] dẫn xuất các công thức kết hợp giữa hai trường nội lực và chuyển vị cho dầm liên hợp. Phần tử dầm có 10 bậc tự
do chuyển vị và 6 bậc tự do lực. Tác giả đã phân tích dầm trong gia đoạn phi đàn hồi dưới tác dụng của các tải trọng đơn điệu và có tính chu kỳ.
• Năm 2004, Dall’Asta và Zona [2] đã phát triển hướng phân tích phi tuyến mới cho dầm liên hợp. Việc xấp xỉ được tiến hành trên cả ba trường:
trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất của phần tử bằng các đa thức hàm dạng (Hình 2.8). Tác giả đã so sánh với FEM dựa trên chuyển vị để đánh giá ưu điểm của phương pháp.
Trường chuyển vị Trường biến dạng Trường ứng suất
Hình 2.8:Trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất phần tử dầm của
Dall’Asta [2]
• Năm 2009, Nguyen và cộng sự [30] đã sử dụng phương pháp hỗn hợp cho phân tích dầm liên hợp liên tục có vùng mômen âm. Ảnh hưởng của bêtông bị nứt tại vùng mômen âm và mức độ liên kết chống cắt trong dầm liên tục được phân tích.
2.2.4 Phương pháp độ cứng trực tiếp (Direct stiffness method)
Trong phân tích kết cấu, phương pháp độ cứng tiếp cũng thường được sử dụng.
Phương pháp này được áp dụng để phân tích ứng xử của dầm liên hợp có xét đến tương tác không toàn phần bởi Ranzi cùng cộng sự [31, 32]; Chúng và cộng sự [7].
Phương pháp này không cần xấp xỉ hàm chuyển vị qua các đa thức hàm dạng.
Ma tận độ cứng K sẽ được xác định trực tiếp bằng cách gán các chuyển vị đơn vị cho các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển vị phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử dầm 8 bậc tự do được xác định. Các thành phần chuyển vị nút
phần tử gồm: chuyển vị đứng v, góc xoay v0, chuyển vị trượt s và chuyển vị dọc trục tại vị trí trục tham chiếu un; được mô tả như Hình 2.9.
Hình 2.9: Các thành phần chuyển vị và phản lực nút phần tử
Với véctơ chuyển vị q và véctơ phản lực nút g như sau:
q= h
un0 v0 v00 s0 unL vL vL0 sL
iT
(2.8)
g= h
N0 R0 M0 N10 NL RL ML N1L
iT
(2.9)