Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt bằng phương pháp XFEM và biến đổi Wavelet

TÊN ĐỀ TÀI PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY CỦA CHUYỂN VỊ TẤM CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP XFEM VÀ BIẾN ĐỔI WAVELET II.. Luận văn nhằm phân tích độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt bằng phương pháp Ph

TỔNG QUAN

GIỚI THIỆU

Chẩn đoán kỹ thuật là một lĩnh vực đang được sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam Chẩn đoán kỹ thuật có vai trò đặc biệt quan trọng cho các đối tượng kỹ thuật Trong đó, việc phát hiện, đánh giá các khuyết tật và hư hỏng trong kết cấu đã và đang nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả Các khuyết tật này có ảnh hưởng rất lớn đến khả năng chịu lực và tuổi thọ của công trình

Bởi vì tầm quan trọng thực tế của nó, xác định vết nứt trong kết cấu đã trở thành chủ đề của những nghiên cứu chuyên sâu trong suốt những thập niên gần đây Đã có nhiều kết quả nghiên cứu theo phương pháp giải tích, phương pháp số và phương pháp thực nghiệm Theo đó, việc ứng dụng các phương pháp số tỏ ra rất hiệu quả trong việc giải quyết bài toán nứt Và phương pháp Phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) đã trở thành một công cụ mạnh được sử dụng từ rất sớm Tuy nhiên, trong một số trường hợp phương pháp phần tử hữu hạn trở nên phức tạp như việc mô phỏng sự di chuyển của những miền không liên tục, dẫn đến việc chia lại lưới phần tử Phương pháp Phần tử hữu hạn mở rộng (Extended Finite

Element Method - XFEM) cho ta một cách thức mới trong việc mô hình hóa vết nứt một cách độc lập với lưới phần tử, do đó không cần phải chia lại lưới phần tử

Phương pháp tử hữu hạn mở rộng kết hợp những hàm mở rộng vào những phần tử suy biến để tính chuyển vị ở gần đỉnh vết nứt

Trong nghiên cứu này, tác giả tiến hành "Phân tích độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt bằng phương pháp XFEM và biến đổi Wavelet" Biến đổi Wavelet hỗ trợ phân tích độ nhạy chuyển vị tấm có vết nứt từ chuyển vị tính toán trong mô hình XFEM Phương pháp này phát hiện điểm gián đoạn tín hiệu tại vị trí vết nứt ngay từ khi vết nứt mới xuất hiện Đây là phương pháp hiệu quả xác định vết nứt trong kết cấu Kết quả ứng dụng phương pháp đã được kiểm chứng với lời giải giải tích, phần mềm ANSYS 14.5 và các nghiên cứu trước, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả của phương pháp đề xuất.

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU

Ở Việt Nam những năm vừa qua đã có nhiều nhà khoa học với các đề tài nghiên cứu bài toán chẩn đoán vết nứt Một số nghiên cứu thành công trong lĩnh vực này có thể kể đến như:

- Chẩn đoán dầm đàn hồi có nhiều vết nứt - Nguyễn Tiến Khiêm - Viện cơ học, ĐH xây dựng Hà Nội [22]

- Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng động lực học của kết cấu tấm mỏng chịu uốn – Nguyễn Thị Hiền Lương và Vương Quang Giang – Hội nghị Cơ học Toàn quốc 2005 [25] Tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của vị trí và chiều dài vết nứt đến các tần số dao động riêng của tấm ở trạng thái chịu uốn bằng phương pháp FEM kết hợp với phần tử đẳng tham số Barsoum

Nhiều công trình nghiên cứu trên thế giới gần đây đã đề cập đến việc giải bài toán nứt dùng phương pháp XFEM và biến đổi Wavelet như:

- Ionel Nistor và các cộng sự (2008) [14] dùng phương pháp số của XFEM để phân tích sự lan truyền của vết nứt trong tấm chữ nhật dưới tải trọng động, loại phần tử được sử dụng là phần tử đẳng tham số tứ giác bốn nút

- M Bachene và các cộng sự (2009) [20] đã kết hợp phần tử đẳng tham số 9 nút với phương pháp XFEM để phân tích dao động của tấm hình vuông, tấm chữ nhật theo lý thuyết tấm Mindlin với các điều kiện biên khác nhau có vết nứt ở biên và ở giữa tấm

- Natarajan và các cộng sự (2011) [30], tính toán tần số tự nhiên của tấm FGM có vết nứt dùng XFEM Phần tử tấm chịu uốn tứ giác bốn nút với 20 bậc tự do cho mỗi phần tử được tính toán với tấm vuông, tấm chữ nhật biên tựa và biên ngàm Tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của hệ số gradient của tấm, chiều dài vết nứt, độ dốc và vị trí vết nứt

- E Douka và các cộng sự (2002) [9] đã xác định vết nứt cho kết cấu tấm chữ nhật tựa đơn bốn cạnh bằng việc phân tích Wavelet Vết nứt song song với một cạnh của tấm, các mode dao động của tấm được phân tích sử dụng biến đổi Wavelet liên tục “symmetrical 4” khi xét ảnh hưởng của vị trí và chiều sâu vết nứt

- H.Y Sun và các cộng sự (2005) [13], phân tích sự nhạy cảm của độ võng tấm có vết nứt bằng phương pháp biến đổi Wavelet Độ võng và tần số tự nhiên của tấm có vết nứt được tính toán bằng phương pháp Phần tử hữu hạn

Tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của chiều dài vết nứt và hệ số Wavelet

- D SrinivasaRao và các cộng sự (2010) [6], xác định vết nứt trong dầm bằng cách phân tích các “mode” cơ bản của dầm console có vết nứt được mô hình như lò xo bằng biến đổi Wavelet liên tục Sự thay đổi của độ cứng và chiều sâu vết nứt được khảo sát

- D Mallikarjuna Reddy and S Swavêtrnamani (2012) [5], phát hiện và xác định hư hỏng trong kết cấu tấm hình vuông dựa trên phương pháp Wavelet không gian (Wavelet liên tục) Các dữ liệu được sử dụng để biến đổi Wavelet là các “mode shape” và năng lượng biến dạng của tấm bị hư hỏng Hư hỏng của tấm được tạo ra bằng cách giảm chiều dày tấm tại một phần tử Ở Việt Nam, các nghiên cứu về XFEM sử dụng cho kết cấu có vết nứt hầu như chưa được quan tâm nhiều Chỉ một số tác giả nghiên cứu về vấn đề này, điển hình là:

- Phan Tuấn Duy (2011) [27], khảo sát hệ số cường độ tập trung ứng suất động trong bài toán tấm chịu kéo chứa vết nứt bằng phương pháp XFEM kết hợp với phương pháp tích phân thời gian Newmark Ảnh hường của một số tham số bài toán đến hệ số cường độ tập trung ứng suất với tải trọng động được khảo sát: thay đổi bán kính miền tích phân tương tác, thay đổi số lượng bước lặp thời gian trong phương pháp tích phân thời gian Newmark với chiều hướng tăng dần, thay đổi hai thông số  , trong Newmark

- Bạch Đăng Ngọc (2013) [2], phân tích tĩnh hệ số cường độ ứng suất cho bài toán vết nứt gần bề mặt tiếp nối trong tấm hai chiều đàn hồi đẳng hướng chế tạo kết hợp từ hai loại vật liệu khác nhau sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) Ảnh hưởng của hệ số cường độ ứng suất đối với một số yếu tố: số lượng phần tử, hệ số bán kính của miền tích phân tương tác, khoản cách từ vết nứt đến bề mặt tiếp nối, tỷ số giữa khoảng cách từ vết nứt đến bề mặt tiếp nối đối với chiều dày hay bề rộng kích thước của tấm,

Trong nghiên cứu của Đoàn Đình Tường (2013) [7], phương pháp XFEM đã được ứng dụng để phân tích dao động tự do của tấm có vết nứt Sử dụng sự kết hợp của XFEM với phần tử tứ giác bốn nút, tác giả đã khảo sát tần số dao động của tấm Mindlin với hai loại vết nứt khác nhau: vết nứt cạnh và vết nứt giữa tấm.

Và đã có các nghiên cứu ứng dụng Wavelet vào việc chẩn đoán vết nứt trong kết cấu, điển hình là:

- N.T Hiền Lương và Lý Vĩnh Phan (2009) [23], phân tích độ nhạy cảm cho độ võng của dầm có vết nứt bằng phương pháp biến đổi Wavelet Ở bài báo này, tác giả đã ứng dụng phương pháp FEM để thiết lập mô hình phần tử dầm có và không có vết nứt

- N.T Hiền Lương và Phạm Ngọc Tiến (2007) [24], phân tích độ nhạy cảm của độ võng tấm có vết nứt bằng phương pháp biến đổi Wavelet Ở bài báo này, tác giả đã phân tích tính nhạy cảm của độ võng tấm mỏng chịu uốn có vết nứt sau khi dùng kỹ thuật biến đổi Wavelet Đặc biệt, sự ảnh hưởng của chiều dài vết nứt đã được nghiên cứu Các kết quả độ võng tấm nhận được từ một chương trình tính toán sử dụng phương pháp FEM dựa trên mô hình phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai kết hợp với phần tử tam giác Barsoum

Tác giả đã khảo sát sự nhạy cảm của độ võng tấm có vết nứt đối với chiều dài vết nứt và loại Wavelet sử dụng

- Trần Duy Phương (2011) [33], phân tích độ nhạy chuyển vị tấm có vết nứt chịu tải trọng động bằng phương pháp biến đổi Wavelet Ở luận văn này, tác giả đã tính toán giá trị độ võng của tấm dùng phần tử đẳng tham số tứ giác 8 nứt Q8 bằng phương pháp FEM Phần tử mô tả vết nứt là phần tử tứ giác Barsoum với nỳt giữa di chuyển về vị trớ ẳ cỏch đỏy của vết nứt.

NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN

Nhiệm vụ của luận văn là nghiên cứu phương pháp biến đổi Wavelet để đánh giá độ nhạy chuyển vị tấm có vết nứt chịu tải trọng tĩnh, tải trọng động sau khi có giá trị chuyển vị tìm được bằng phương pháp XFEM Nội dung chủ yếu như sau:

- Xây dựng ma trận độ cứng của tấm có vết nứt thông qua XFEM Loại phần tử được dùng là phần tử tứ giác 4 nút Q4

- Xây dựng ma trận khối lượng của tấm Ở đây tác giả dùng ma trận khối lượng tương thích

- Xây dựng vectơ tải (tải trọng tĩnh và tải trọng động)

- Giải bài toán, xác định chuyển vị của tấm có nứt khi tấm chịu tải trọng tĩnh, tải trọng động Kết quả tính toán được so sánh với phần mềm ANSYS, lời giải giải tích và các nghiên cứu đã được công bố trước đây để kiểm tra độ chính xác và hiệu quả của phương pháp được đề xuất

- Sử dụng kết quả chuyển vị thu được để phân tích độ nhạy chuyển vị tấm bằng phương pháp biến đổi Wavelet

- Đưa ra các kết luận về kết quả khảo sát độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt, nêu lên các vấn đề tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài.

BỐ CỤC LUẬN VĂN

Để hỗ trợ cho công việc khảo sát đề cập trong bài viết, tác giả đã thực hiện nghiên cứu sâu rộng để giải quyết các vấn đề liên quan và trình bày thành 5 chương bao gồm:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan, tình hình nghiên cứu, nhiệm vụ và bố cục của luận văn

Chương 2: Trình bày lý thuyết tấm Mindlin, phương pháp XFEM cho bài toán tấm chịu uốn, phương pháp Newmark giải bài toán động và phương phán biến đổi

Chương 3: Trình bày các kết quả số từ việc tính toán chuyển vị lớn nhất cho tấm không nứt và tấm nứt chịu lực tĩnh, tính toán tần số dao động riêng và chuyển vị cho tấm không nứt và tấm nứt chịu lực động Các kết quả số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB sẽ được so sánh với phần mềm ANSYS và các lời giải tham khảo để chứng minh tính chính xác và hiệu quả của phương pháp được đề xuất

Chương 4: Khảo sát độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt bằng biến đổi Wavelet từ kết quả chuyển vị thu được từ Chương 3

Chương 5: Đưa ra các kết luận, các vấn đề còn tồn tại chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài.

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương này giới thiệu một cách tổng quan về tình hình nghiên cứu bài toán chẩn đoán kết cấu, các nghiên cứu về XFEM và các nghiên cứu ứng dụng Wavelet vào việc chẩn đoán vết nứt trong kết cấu đã được thực hiện đến nay Có thể nhận thấy rằng chưa có nhiều nghiên cứu về bài toán phân tích độ nhạy chuyển vị tấm có vết nứt dùng XFEM và biến đổi Wavelet Nhiệm vụ và bố cục của luận văn cũng được trình bày trong chương này.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

LÝ THUYẾT TẤM MINDLIN

Tấm là vật thể hình dạng phẳng có bề dày h nhỏ so với hai phương còn lại

Mặt trung bình là mặt phẳng chia đôi bề dày tấm Theo trạng thái ứng suất trong tấm, có thể chia tấm thành các loại như sau [3], [4]:

Tấm dày được định nghĩa là tấm có tỷ lệ giữa bề dày h và kích thước cạnh ngắn nhất của tấm lớn hơn 1/5 Theo lý thuyết đàn hồi, trạng thái ứng suất trong tấm được xác định bằng phương trình vi phân theo ba phương.

Tấm mỏng được định nghĩa là tấm có tỷ lệ độ dày với kích thước cạnh ngắn nhất nằm trong khoảng từ 1/20 đến 1/5 Đặc trưng của tấm mỏng là độ võng w luôn nhỏ hơn h/4 Do độ mỏng nên ứng suất màng trong tấm rất nhỏ so với ứng suất uốn do tải trọng vuông góc gây ra.

 Tấm mỏng có độ võng lớn (độ võng lớn nhất w lớn hơn h/4) là tấm mà các ứng suất do uốn bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các ứng suất màng Khi đó phải tính toán với lý thuyết tấm có độ võng lớn

2.1.1 Các giả thiết của lý thuyết Mindlin

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sau biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không còn vuông góc với mặt trung hòa sau khi biến dạng

- Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo, nén hay trượt, nó là mặt trung hòa

- Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Theo mô hình Mindlin, góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm 2 thành phần: phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai do biến dạng trượt trung bình gây ra (Hình 2.1)

Hình 2.1 Mô hình Mindlin - Reissner

Gọi  x là biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt x bằng hằng số thì tổng góc xoay  y được viết như sau: y w x

Tương tự cho mặt cắt y bằng hằng số, ta có: x w y

Do đó các biến dạng trượt trung bình là: x y y x w x w y

Các phương trình (2.3) có giả thiết là góc quay tổng hợp  x ,  y có giá trị nhỏ và biến dạng theo trục z  z không đáng kể Trong bài toán tấm mỏng, biến dạng trượt có xu hướng tiến về 0, khi đó x w có dạng như sau:

 Năng lượng biến dạng do trượt:

U    (2.4) với: -  là hệ số hiệu chỉnh tượng trưng cho sự ràng buộc của tiết diện chống vênh,  = 1/f với f là hệ số hiệu chỉnh sự phân bố bậc hai theo bề dày tấm của ứng suất tiếp Giá trị thường lấy bằng 5/6, nhưng có thể lấy  = 2/3 cho các tiết diện không có ràng buộc chống vênh và  = 1 cho các tiết diện có sự ràng buộc hoàn toàn chống vênh

 là mođun đàn hồi trượt (2.5)

Thay giá trị của  x ,  y trong (2.3) và G trong (2.5) vào (2.3), ta được biểu thức năng lượng biến dạng do trượt của tấm đàn hồi đẳng hướng:

Như vậy, tổng năng lượng biến dạng (do uốn và trượt) là:

2.1.2 Các quan hệ cơ bản

Quan hệ giữa các ứng suất tiếp  xz ,  yz và biến dạng trượt theo định luật Hooke như sau:

    (2.8) với: x, y là các thành phần biến dạng trượt cho trong (2.3),

  là ma trận các hệ số đàn hồi cắt Đối với vật liệu đẳng hướng, quan hệ trên được viết lại như sau:

 là mođun đàn hồi trượt

Biến dạng trượt trung bình  x ,  y được xem là không đổi trên suốt bề dày của tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên mặt cong của tiết diện là các lực cắt

Q x , Q y được tính theo các biến dạng trượt là:

Các độ cong   x , y và độ xoắn  xy có thể biểu diễn qua các góc xoay  x và  y như sau: y x x

Các thành phần nội lực như momen M và lực cắt Q trong trường hợp tấm làm bằng vật liệu đàn hồi đẳng hướng, có thể biểu diễn theo độ cong  và biến dạng trượt γ như sau:

Quan hệ (2.13) có thể so sánh với quan hệ σ = C.ε của ứng suất và biến dạng

Những nội lực, độ cong và biến dạng trượt trong bài toán chịu uốn có tương quan với ứng suất và biến dạng Do vậy, có thể viết lại: σ = C ε, trong đó: σ là ứng suất, ε là biến dạng, C là hằng số.

Sử dụng (2.3) và (2.12) ta có thể biểu diễn vectơ độ cong và biến dạng trượt ε t theo ba chuyển vị w,  x và  y như sau: y x y x t y x x y y x w x w y

Ta có thể biểu diễn năng lượng biến dạng của tấm theo các thành phần nội lực, các độ cong cùng biến dạng trượt tương ứng như sau:

Số hạng thứ hai trong (2.17) tương ứng với phần thế năng biến dạng do biến dạng trượt gây ra Thay (2.11) vào (2.17), ta được:

Sử dụng cách biểu diễn (2.15):

Phần tử đẳng tham số dạng tứ giác bốn nút có ba bậc tự do ở mỗi nút, bao gồm độ võng w và hai góc xoay βx và βy Độ võng thể hiện độ trũng của tấm tại mỗi nút, trong khi các góc xoay biểu thị độ nghiêng của tấm xung quanh các trục x và y cục bộ tại mỗi nút Do đó, phần tử đẳng tham số dạng tứ giác bốn nút có khả năng mô phỏng các chế độ biến dạng phức tạp của tấm, bao gồm biến dạng cong, xoắn và kéo.

Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

(2.20) ở đây: w i ,  xi , yi tương ứng là giá trị của các hàm w và   x , y tại nút i, hay là các bậc tự do của nút i; N i là các hàm dạng theo tọa độ tự nhiên như sau:

3 (1,1) 4 (-1,1) r s a) Hệ tọa độ vật lý b) Hệ tọa độ tự nhiên

Hình 2.2 Phần tử đẳng tham số dạng tứ giác 4 nút

Vectơ chuyển vị nút phần tử u e , gồm 12 thành phần: u T e   w 1   x 1 y 1 w 4   x 4 y 4  T (2.22)

Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ có dạng:

Quan hệ giữa của các đạo hàm của các hàm theo r và s với các đạo hàm theo x và y là:

2.1.4 Phương trình chủ đạo cho tấm Mindlin

Xét một tấm chịu uốn, mặt trung hòa của tấm được chọn làm mặt phẳng tham chiếu  R 2 (Hình 2.3)

Ba bậc tự do của tấm Mindlin gồm độ võng w và hai góc xoay   x , y được viết như sau: x y w

Hình 2.3 Tấm Mindlin và bậc tự do của tấm

Dạng yếu của phân tích tĩnh có thể được viết như sau:

Dạng yếu của phân tích dao động tự do có thể được viết như sau:

Dạng yếu của phân tích động có thể được viết như sau:

  D    D   u P (2.28) trong đó f là tải tĩnh tác dụng lên tấm

P là tải động theo thời gian tác dụng lên tấm ,  lần lượt là biến dạng uốn và biến dạng cắt, được biểu diễn như sau:

 Ở đây, B i , S i lần lượt là ma trận biến dạng uốn, ma trận biến dạng cắt (sẽ được trình bày cụ thể ở mục 2.2.5)

Ma trận các hệ số đàn hồi do uốn:

Ma trận các hệ số đàn hồi do cắt: 1 0

D (2.30) với E là modul đàn hồi Young, h là chiều dày tấm,  là hệ số Poisson, k = 5/6 là hệ số hiệu chỉnh cắt kể đến sự phân bố bậc hai theo chiều dày tấm của biến dạng trượt

Ma trận mật độ khối lượng của vật liệu:

 (2.31) ở đây,  là khối lượng riêng của vật liệu.

PHƯƠNG PHÁP XFEM CHO BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN

Phương pháp XFEM được giới thiệu vào năm 1999, đã rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán bất liên tục (rạn nứt, đa vật liệu,…) Ý tưởng của XFEM là mở rộng không gian phần tử hữu hạn bằng cách cộng thêm những hàm làm giàu (hàm bổ sung) Có hai loại hàm bổ sung: Hàm bất liên tục Heaviside và hàm tiệm cận tại đỉnh vết nứt (hàm nhánh) Những hàm bổ sung này chính là những bậc tự do được cộng thêm vào mô hình FEM tại những nút được chon Những nút này gần kề với miền không liên tục, như vậy kết quả mới có sự chính xác Điều thuận lợi khi sử dụng các hàm bổ sung trong XFEM là vết nứt độc lập với lưới phần tử, do vậy không cần phải chia lại lưới khi có vết nứt như trong FEM

Phương trình vi phân riêng phần của bài toán nứt trong vật liệu đàn hồi đẳng hướng là:$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{1 - \nu}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} = 0$$Với điều kiện biên:* Trên biên dịch chuyển $$\Gamma_u$$: $$u = \bar u$$* Trên biên lực kéo $$\Gamma_t$$: $$\sigma_{yy}n_y + \sigma_{xy}n_x = \bar t$$* Trên biên kẹp $$\Gamma_c$$: $$u = 0, \quad \sigma_{yy}n_y + \sigma_{xy}n_x = 0$$

Hình 2.4 Mô phỏng bài toán nứt với biên tĩnh và động học

Biên tĩnh học Γt (chịu lực kéo f t )

Biên động học Γu (chuyển vị u)

Phương trình cân bằng được viết như sau:

 0 σ n : Trên Γc (2.35) trong đó : σ: Tensơ ứng suất Cauchy u: trường chuyển vị f t: lực khối n: vectơ pháp tuyến đơn vị

Với giả thuyết rằng chuyển vị bé, phương trình động lực học thể hiện mối quan hệ biến dạng - chuyển vị : ε  εu   s u (2.36) Định luật Hooke:

Hay viết ở dạng chỉ số: ij  ijkl kl σ D ε (2.38)

Theo lý thuyết cân bằng năng lượng giữa công nội và công ngoại:

Hay viết dạng ma trận:

2.2.2 Mô hình vết nứt sử dụng phương pháp XFEM

Mô hình vết nứt theo XFEM dựa trên mô hình phần tử đẳng tham số 4 nút – Q4 được thể hiện ở Hình 2.5 Xét một tấm hình vuông có một vết nứt thẳng và vết nứt cong như ở hình bên dưới Ở đây, các nút không được đánh dấu là các nút chuẩn, còn những nứt hình tròn màu đỏ là nút bổ sung đỉnh vết nứt, những nút hình vuông màu xanh là nút bổ sung cạnh vết nứt Khi đó, xấp xỉ chuyển vị tại các nút sẽ được tính toán tương ứng với từng loại nút nút bổ sung đỉnh vết nứt nút bổ sung cạnh vết nứt

Hình 2 5 Mô hình vết nứt sử dụng phương pháp XFEM

2.2.3 Xấp xỉ trong phương pháp XFEM

Phương pháp mở rộng không gian phần tử hữu hạn (XFEM) mở rộng các hàm xấp xỉ hiện có của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) bằng cách bổ sung thêm các hàm mở rộng mô phỏng vết nứt, giúp mô tả chính xác hành vi của lưới phần tử bị vết nứt đi qua.

Khảo sát một điểm x thuộc miền phần tử, xấp xỉ chuyển vị tại điểm x được tính như sau:

N N N u x x u x x a x B x b (2.41) với: u x h ( ) là xấp xỉ chuyển vị tại điểm x u i là vectơ bậc tự do gắn với nút thứ i a j là vectơ bậc tự do của nút được bổ sung bởi hàm Heaviside b  k là vectơ bậc tự do của nút được bổ sung bởi hàm tiệm cận tại đỉnh vết nứt N fem là tập hợp các nút không mở rộng

N enr là tập hợp các nút bị chia cắt bởi vết nứt N asy là tập hợp các nút chứa đỉnh vết nứt N i ( )x , N j ( ) x và N k ( ) x là các hàm dạng tương ứng của phần tử chuẩn, phần tử bổ sung cạnh và phần tử bổ sung đỉnh vết nứt

H ( ) x là hàm bổ sung hay hàm bất liên tục Heaviside B  k ( ) x là hàm mở rộng tại đỉnh vết nứt

Trong công thức (2.41), hàm dạng N i dùng để nội suy trường chuyển vị tiêu chuẩn, còn hàm dạng N j được nhân với hàm H ( ) x và hàm dạngN k được nhân với hàm B  k ( ) x để tạo thành hàm dạng mở rộng Đối với tấm Mindlin đang xét, mỗi nút có 3 bậc tự do w ,   x , y  và mỗi bậc tự do được xấp xỉ bởi công thức (2.41), do đó hàm chuyển vị và góc xoay được xấp xỉ bởi:

( , )( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) j k fem enr asy fem enr j asy h w w i i j k k i j k h h h h w x y x y i xi yi j k k k k i j k w N w H N N G r

N N N x x x x a x b x x x x a x b b trong đó, các hàm G  ( , ), r  F r  ( , ) là những hàm tiệm cận được biểu diễn bởi:

( , ) sin( / 2), cos( / 2), sin(3 / 2), cos(3 / 2) ( , ) sin( / 2), cos( / 2), sin( / 2)sin( ), cos( / 2)sin( )

(2.43) ở đây ( , ) r  là tọa độ cực trong tọa độ địa phương ở vùng đầu vết nứt (Hình 2.6)

Hình 2 6 Hệ trục tọa độ cực địa phương tại đỉnh vết nứt Đạo hàm của F r  ( , ) đối với đỉnh vết nứt có tọa độ cực ( , ) r  , ta có:

1 1 sin sin , cos sin sin cos

1 1 cos sin , sin sin cos cos

  (2.47) Đạo hàm của F r  ( , ) đối với vết nứt có tọa độ địa phương ( ', ') x y , ta có:

1 3 1 3 sin sin , sin sin cos

1 3 1 3 cos sin , cos cos cos

Do đó, đạo hàm trong tọa độ tổng thể (x, y) đượ xác định:

F  F   F   (2.53) với  là góc nghiêng của vết nứt so với trục x của hệ trục tọa độ tổng thể (Hình 2.6); tọa độ cực là các hàm của hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc địa phương

         Hàm bổ sung Heaviside nhận giá trị +1 trên vết nứt và -1 dưới vết nứt:

(2.54) với: x là một điểm thuộc miền đang xét x* là điểm thuộc đường nứt và gần điểm x nhất Tại vị trí x*, ta xây dựng một vectơ tiếp tuyến e s và vectơ pháp tuyến đơn vị e n ứng với đường nứt (Hình 2.7) x* x e e s n2 n1 x* x e e s n s

Hình 2.7 Vectơ tiếp tuyến e s và vectơ pháp tuyến đơn vị e n với đường nứt trơn và đường nứt thắt nút

Hàm tiệm cận tại đỉnh vết nứt B  k được biểu diễn như sau:

B  k ( ) x  B  ( ) x  B  ( x k ) (2.55) Đối với vật liệu đàn hồi đẳng hướng, B  thu được từ trường chuyển vị tiệm cận được biểu diễn:

 1 2 3 4  sin , cos , sin sin , sin cos

B (2.56) với   r ,  là hệ trục tọa độ cực địa phương tại đầu vết nứt

Tập hợp tất cả các nút được mở rộng bởi hàm bước nhảy H( )x nếu áp dụng một cách cứng nhắc thì có thể dẫn đến suy biến ma trận độ cứng

Trong Hình 2.8a, khi vết nứt trùng với lưới phần tử thì nút c và d không được mở rộng bởi hàm H( )x , còn các nút a và b được mở rộng bởi hàm

H x , còn trong Hình 2.8b, khi vết nứt cách biên dưới của phần tử một đoạn tương đối nhỏ  thì các nút a, nút b, nút c và nút d đều được mở rộng bởi hàm H( )x Do vậy để xác định nút được mở rộng hay không được mở rộng tương đối khó khăn a b d c a b  d c a) b) a) Vết nứt trùng với lưới phần tử b) Vết nứt cách lưới phần tử một đoạn 

Hình 2.8 Xác định nút được mở rộng

Xét phần tử chứa nút hiện hữu có vết nứt cắt ngang như trong

Hình 2.9 Tiêu chuẩn để chọn các nút được mở rộng bởi hàm H( )x như sau: w w w w

A w là diện tích phần “hỗ trợ” hay tổng diện tích của phần tử chứa nút đó; w

A ab là diện tích tính từ vết nứt lên biên trên; w

A be là diện tích tính từ vết nứt xuống biên dưới

Hình 2.9 Phần tử chứa nút hiện hữu có vết nứt cắt ngang

Nếu một trong hai tỉ số trên có giá trị nhỏ hơn một dung sai cho phép thì nút được xem như không được mở rộng với hàm H( )x Trong tính toán cỏ thể lấy dung sai là 10  4

Gọi    x là phương trình đường nứt (hay phương trình xác định loại phần tử mở rộng), luận văn đề cập đến vết nứt thẳng do đ ó phương trình    x là dạng đường thẳng

Gọi    x là đường thẳng vuông góc với    x tại đầu vị trí vết nứt

Hình 2.10 Qui ước dấu Φ và ψ

Ta có thể mô tả đường vết nứt và đỉnh vết nứt theo hai hàm khoảng cách như sau:

 x   x  trên bề mặt vết nứt (2.58)

Xét một điểm x và x* là một điểm thuộc đường nứt và gần x nhất Tại x* ta xây dựng một vectơ tiếp tuyến e s và vectơ pháp tuyến đơn vị e n ứng với đường nứt như ở Hình 2.7

Khi đó      x , t ,  x , t được biểu diễn như sau:

 x  x x e (2.61) với x i là tọa độ đỉnh vết nứt e s là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường nứt tại đầu vết nứt

Nếu vết nứt có dạng một đường thẳng kéo dài từ tọa độ `x_1 (x_1, y_1)` đến đỉnh vết nứt `x_2 (x_2, y_2)`, thì hàm khoảng cách từ `x` đến vết nứt được xác định như sau:

PHƯƠNG PHÁP NEWMARK GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG

Có nhiều phương pháp để giải bài toán động lực học kết cấu như phương pháp tích phân trực tiếp tìm nghiệm chính xác, phương pháp số,… Phương pháp số cũng có rất nhiều phương pháp: phương pháp Newmark, phương pháp Wilson, phương pháp Runge-Kutta… Phương pháp nào cũng có những ưu và nhược điểm của nó vì vậy việc lựa chọn phương pháp số nào để giải là tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán

Phương pháp Newmark được chọn để giải bài toán động lực học trong luận văn này vì cách lập trình đơn giản, khối lượng tính vừa phải và phạm vi áp dụng rộng.

2.3.1 Giới thiệu về phương pháp Newmark

Phương pháp tích phân Newmark dạng chuyển vị, phương pháp gia tốc trung bình được sử dụng để giải bài toán động lực học trong luận văn này

Phương trình chuyển động của hệ kết cấu ứng xử tuyến tính:

Mu Cu Ku P (2.97) Điều kiện ban đầu tại t=0: u (t=0)= u (0); u(t0)u(0) đã biết, nghiệm phương trình gồm chuyển vị, vận tốc và gia tốc Rời rạc phương trình (2.87) tại các điểm theo thời gian ta được: i  i  i  i

Biểu thức của gia tốc u i 1 và vận tốc u i 1 tại thời điểm cuối của bước thời gian i+1 theo các đại lượng còn lại như sau:

         u u u u u (2.100) với  t là bước thời gian

(phương pháp gia tốc trung bình 1, 1

Thay (2.99) và (2.100) vào (2.98) tại thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i+1, kết quả thu được hệ hai phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại thời điểm cuối bước thời gian u i 1 có dạng:

Trong phương trình K u P = 2.101, Keff là độ cứng hiệu dụng và Peff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian dạng chuyển vị Độ cứng hiệu dụng và tải trọng hiệu dụng được xác định dựa trên các phép đo thực tế về độ cứng và tải trọng.

Giải phương trình (2.101) để xác định giá trị chuyển vị u tại cuối bước thời gian i+1 Thay giá trị chuyển vị vừa tìm được vào (2.99) và (2.100) để tính vận tốc u và gia tốc u ở điểm cuối của bước thời gian Từ nghiệm đã biết tại thời điểm i, ta có thể xác định nghiệm tại thời điểm i+1.

2.3.2 Thuật toán của phương pháp Newmark

Bước 1: Khai báo các ma trận độ cứng, khối lượng, cản K, M, C

Bước 2: Khai báo tải trọng tác dụng

Bước 3: Nhập điều kiện ban đầu u u 0 , 0 và 0 1  0 0 0 

Bước 4: Chọn bước thời gian ∆t

Bước 5: Xác định ma trận độ cứng hiệu dụng K eff theo (2.102)

Bước 6: Tính vectơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i+1 (P eff ) theo (2.103)

Bước 7: Giải hệ phương trình (2.91) để tìm chuyển vị tại thời điểm i+1 là u i 1 Bước 8: Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i+1 theo (2.99),

Các bước từ 5 đến 8 sẽ lặp lại cho bước thời gian kế tiếp

Có thể tóm tắt trình tự tính toán bằng sơ đồ như sau:

Hình 2.13 Lưu đồ thuật toán bài toán động bằng Newmark

Nhập các ma trận độ cứng, khối lượng, cản K, M, C

Nhập tổng thời gian T, bước thời gian Δt, số bước phân tích T k  t

 Điều kiện ban đầu u u u 0, 0, 0 M  1  P 0Cu 0Ku 0 

Lực kích thích tác dụng lên hệ FP k sin  t i = 1

KẾT THÚC i = i+1 Tính độ cứng hiệu dụng K eff , vector tải hiệu dụng P eff

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI WAVELET

2.4.1 Cơ sở lý thuyết của Wavelet a) Khái niệm về Wavelet

Wavelet là dạng sóng và có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trung bình bằng không

  (2.104) ở đây (t) là hàm Wavelet mẹ, có thể là hàm liên tục hay rời rạc

Các họ hàm Wavelet con có thể được xây dựng dựa vào hàm Wavelet mẹ như sau:

- Đối với trường hợp Wavelet liên tục:

    (2.105) với: a - thông sốt tỷ lệ (scale), trị thực dương; b - thông số vị trí (position) , trị thực

- Đối với trường hợp Wavelet rời rạc:

    (2.106) với: j - chỉ số mức (level), trị nguyên; k - chỉ số rời rạc (discrete), trị nguyên

So sánh Wavelet với sóng sin (cơ sở của phân tích Fourier): sóng sin không có khoảng thời gian giới hạn, nó kéo dài từ âm vô cùng đến dương vô cùng và trong khi sóng sin là trơn tru, dể đoán thì Wavelet lại bất thường và bất đối xứng b) Biến đổi Wavelet

Có hai loại biến đổi Wavelet được dùng cho phân tích tín hiệu:

- Biến đổi liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT)

- Biến đổi rời rạc (Discrete Wavelet Transform - DWT)

 Biến đổi Wavelet liên tục (Hình 2.14)

Biến đổi Wavelet liên tục là tổng trên toàn khoảng thời gian của tín hiệu nhân theo tỷ lệ và vị trí của hàm Wavelet mẹ  ( x)

      (2.107) trong đó: a là tỷ lệ và b là vị trí là những số thực và a ≠ 0

Kết quả của CWT là tạo ra các hệ số Wavelet C(a,b) thể hiện sự tương quan của hàm Wavelet với tín hiệu phân tích f ( x)

Hình 2.14 Biến đổi Wavelet liên tục

Nghịch đảo CWT cho phép thu lại tín hiệu f ( x) từ các hệ số C(a,b), được định nghĩa:

   (2.108) trong đó, hằng số K  phụ thuộc vào loại Wavelet

 Biến đổi Wavelet rời rạc

Khuyết điểm của CWT là tạo ra rất nhiều hệ số C(a,b) Vì vậy, để rút ngắn thời gian và đơn giản hóa quá trình tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết Người ta thay việc sử dụng các hệ số tỷ lệ a và vị trí b liên tục bằng các hệ số rời rạc, lũy thừa cơ số 2 là a  2 j , b  k 2 j , (k, j  Z ) , còn gọi là mức dyadic Phép biến đổi như vậy gọi là phép biến đổi Wavelet rời rạc

Tín hiệu phân tích được xử lý thông qua hệ thống gồm bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp Các bộ lọc này giúp tách biệt các thành phần tần số cao và tần số thấp có trong tín hiệu.

Các thành phần của tín hiệu ứng với giá trị a < a 0 (a 0 là giá trị ngưỡng) là các thành phần tần số cao (“phần xấp xỉ”) Còn các thành phần tần số thấp của tín hiệu, tương ứng với những giá trị a > a 0 , được xem là nhiều Giả sử hệ số Wavelet chỉ có giá trị a < a 0 thì trong trường hợp này, việc tái tạo tín hiệu sẽ cần một lượng bù cho phần nhiễu, tương ứng là a > a 0 Để làm được việc này, một hàm ( ) x gọi là “hàm tỷ lệ” sẽ được sử dụng

Tín hiệu trong DWT có thể được biểu diễn bởi phần xấp xỉ và phần chi tiết như sau:

Như vậy, tín hiệu f ( x) có thể biểu diễn như là tổng xấp xỉ của nó ở mức

J cộng với tổng tất cả các chi tiết của nó nhỏ hơn hoặc bằng mức J

Phân tích Wavelet là sự cải tiến hợp lý từ kỹ thuật phân tích cửa sổ với miền kích thước biến đổi Phương pháp này cho phép sử dụng miền kích thước dài khi cần thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền kích thước ngắn đối với thông tin tần số cao.

Hình 2.15 Một số cách quan sát tín hiệu

Ta có thể thấy rằng phân tích Wavelet không dùng một miền thời gian - tần số, mà là miền thời gian - tỷ lệ Ở đây cho thấy sự tương phản với cách nhìn tín hiệu dựa theo thời gian, tần số, biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short –Time

Một trong những ưu điểm lớn nhất của Wavelet là khả năng thực hiện phân tích cục bộ nên có thể phân tích một vùng cục bộ trong cả tín hiệu lớn Wavelet có khả năng thể hiện đặc tính của các dữ liệu mà các kỹ thuật phân tích khác không có: các điểm bập bềnh, các điểm gẫu khúc, các điểm gián đoạn với độ gãy lớn… Hơn thế nữa, vì đạt được cách nhìn khác với dữ liệu so với các kỹ thuật cổ điển

Wavelet có thể thực hiện nén hoặc khử nhiễu tín hiệu mà không có suy giảm nhận thấy được

2.4.3 Giới thiệu về họ Wavelet Symlets sử dụng trong luận văn

Symlets là dạng Wavelet gần đối xứng được đề nghị bởi Daubechies và là dạng điều chỉnh của họ Daubechies (db) (Hình 2.16) Đặc tính của hai họ là tương tự nhau Trong symN thì N là bậc N=1-8

Hình 2.16 Các thành viên trong họ Symlets

2.4.4 Thuật toán khi sử dụng Wavelet trong toolbox a) Wavelet liên tục (Continous Wavelet)

Mục đích: Tạo ra các hệ số Wavelet một chiều liên tục

Cú pháp: Coefs = cwt (S, Scales, ‘wname’) Mô tả: cwt là hàm phân tích wavelet một chiều

The Coefs = cwt (S, Scales, ‘wname’) function computes the continuous wavelet coefficients of the signal S at the real-valued Scales (levels) using the Wavelet named ‘wname’ The signal S is real-valued, and the Wavelet can be either real or complex-valued.

- Phân tích Wavelet - hàm wavedec

Mục đích: Phân tích Wavelet một chiều đa mức Cú pháp: [C, L] = wavedec (X, N, ‘wname’) Mô tả: wavedec thực hiện một phân tích Wavelet một chiều đa mức [C, L] = wavedec (X, N, ‘wname’) trả về phân tích Wavelet của tín hiệu X mức N, dùng Wavelet có tên ‘wname’ N cần là một số nguyên dương Cấu trúc phân tích đầu ra chứa vector phân tích Wavelet C và vector bookkeeping L

- Tái tạo Wavelet - hàm wrcoef

Mục đích: Phân tích Wavelet một chiều đa mức Cú pháp: X = wrcoef (‘type’, C, L, ‘wname’, N)

Mô tả: wrcoef tái tạo các hệ số của tín hiệu một chiều, cho bởi cấu trúc phân tích (C và L) hoặc là một Wavelet được chỉ ra ‘wname’

X= wrcoef (‘type’, C, L, ‘wname’, N) tính vector các hệ số tái tạo, dựa trên cấu trúc phân tích Wavelet [C, L] ở mức N, ‘wname’ là một chuỗi chứa tên Wavelet Đối số ‘type’ xác định khi nào thì các hệ số xấp xỉ (‘type’ = ‘a’) hoặc chi tiết (‘type’ = ‘d’) được tái tạo Khi (‘type’ = ‘a’), N được cho phép bằng 0; trường hợp khác, đòi hỏi một số nguyên dương Mức N cần là một số nguyên sao cho N  length (L) - 2 c) Phương pháp khai báo hàm chuyển vị trong Wavelet

Giả sử, ta có hàm chuyển vị là tập hợp chuyển vị thu được từ bài toán thuận

Lưu file chuyển vị là "giatrichuyenvi.mat" Sau đó chạy chương trình Wavelet bằng thuật toán cung cấp S (với Wavelet liên tục) và X (với Wavelet rời rạc) là hàm chuyển vị "giatrichuyenvi.mat" theo thuật toán này.

Trong luận văn, tác giả dùng Wavelet Sym4 tỷ lệ 1 cho phân tích Wavelet liên tục Áp dụng Wavelet liên tục cho bài toán cụ thể theo thuật toán :

Coefs = cwt (S, Scales, ‘wname’) trong đó: S là hàm chuyển vị thu được từ bài toán thuận

Scale là tỷ lệ được chọn (Scale = 1, 2,… n) ‘ wname’ là Wavelet mẹ được chọn Cụ thể trong luận văn này là Sym4.

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về tấm Mindlin, phương pháp XFEM cho bài toán tấm chịu uốn, phương pháp Newmark giải bài toán động và phương pháp biến đổi Wavelet Qua đó, các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, vectơ tải cho tấm có vết nứt được thiết lập Phương pháp biến đổi Wavelet được sử dụng để phân tích độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt.

TÍNH TOÁN CHUYỂN VỊ TẤM CÓ VẾT NỨT BẰNG XFEM

SƠ ĐỒ KHỐI XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ CỦA TẤM

Hình 3.1 Sơ đồ khối xác định chuyển vị của tấm

Dữ liệu ban đầu của bài toán

Xây dựng mô hình phần tử và khai báo điều kiện biên

- Khai báo tọa độ các nút

- Khai báo bậc tự do nút, phần tử

- Khai báo điều kiện biên

Thông số vết nứt c = 0 đến 0.12m

- Ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, vectơ tải phần tử K e , M e , P e

- Ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, vectơ tải tổng thể K , M , P Áp đặt

- Điều kiện biên - Tải tác dụng

- Chuyển vị lớn nhất của tấm - Mảng chứa chuyển vị cần biến đổi Wavelet

- Xác định loại phần tử

- Xác định tổng bậc tự do của tấm

- Sơ đồ điểm Gauss cho loại phần tử

TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA TẤM KHÔNG NỨT VÀ TẤM CÓ NỨT CHỊU LỰC TĨNH

Các giá trị về đặc trưng hình học, vật liệu làm dữ liệu đầu vào cho các ví dụ như sau:

 Mô đun đàn hồi của vật liệu: E = 71x10 9 N/m 2

 Khối lượng riêng của vật liệu:  = 2700Kg/m 3

 Tải tập trung với giá trị P = 2.5N, đặt tại các vị trí x = 0.05m; y = 0.35m và x = 0.35m; y = 0.35m

 Chiều dài vết nứt thay đổi lần lượt là: c = 0, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10,

 Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là: y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

 Đối tượng khảo sát là chuyển vị nằm dọc theo trục y tại vị trí x = 0.2m

3.2.1 Chuyển vị của tấm không nứt chịu lực tĩnh a) Tấm chịu 2 lực tập trung b) Tấm chịu 1 lực tập trung

Hình 3.2 Mô hình tấm không nứt chịu lực tĩnh

Mô hình bài toán với lưới chia 25x25 được thể hiện ở Hình 3.2, với 3 trường hợp khảo sát:

Trường hợp 1: Tấm chịu uốn tựa đơn 4 cạnh, chịu 2 tải tập trung với giá trị P = 2.5N, đặt tại các vị trí x = 0.05m; y = 0.35m và x = 0.35m; y = 0.35m

Trường hợp 2: Tấm chịu uốn ngàm 4 cạnh, chịu 2 tải tập trung với giá trị P = 2.5N, đặt tại các vị trí x = 0.05m; y = 0.35m và x = 0.35m; y = 0.35m

Trường hợp 3: Tấm chịu uốn tựa đơn 4 cạnh, chịu 1 tải tập trung với giá trị P = 5N, đặt tại các vị trí x = 0.2m; y = 0.35m a Kết quả tính toán

Hàm độ võng theo lời giải giải tích của Navier [1]:

Kết quả tính toán chuyển vị lớn nhất ( w max  10 ( )  3 m ) của tấm như sau:

Bảng 3.1 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm không có vết nứt

Sai số (%) với Giải tích - - 0.0894 b Nhận xét

Kết quả số liệu tại Bảng 3.1 thể hiện độ sai số giữa hai chương trình tính toán tương đối nhỏ So sánh giữa chương trình tính toán XFEM (MATLAB) với FEM (ANSYS), sai số ở trường hợp 1 là 0,0695%, trường hợp 2 là 0,7239%, trường hợp 3 là 0,1227% Đối chiếu chương trình tính toán XFEM với giải tích hàm Navier [1] cho thấy sai số trường hợp 3 là 0,0894%.

Nhìn chung, kết quả tính toán đối với chương trình được viết bằng MATLAB cho tấm không có vết nứt là đáng tin cậy trong trường hợp này

3.2.2 Bài toán 1 – Tấm chịu 2 tải tập trung Khảo sát chiều dài vết nứt thay đổi

Hình 3.3 Mô hình bài toán tấm có vết nứt chịu 2 lực tập trung

Mô hình bài toán cho trên Hình 3.3

Mô hình bài toán tấm có vết nứt và mô hình vết nứt theo XFEM và ANSYS được thể hiện trên Hình 3.4 Trong đó, đặc điểm vết nứt gồm chiều dài, góc nghiêng và vị trí; đặc điểm tải trọng gồm loại tải, phương, hướng và cường độ.

- Chiều dài vết nứt c thay đổi: c = 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m - Tải tập trung với giá trị P = 2.5N, đặt tại các vị trí x = 0.05m; y = 0.35m và x = 0.35m; y = 0.35m

Xét 2 trường hợp điều kiện biên:

Trường hợp 1: Tấm chịu uốn tựa đơn 4 cạnh

Trường hợp 2: Tấm chịu uốn ngàm 4 cạnh a) XFEM b) ANSYS

Hình 3.4 Mô hình bài toán tấm có vết nứt và mô hình vết nứt theo XFEM và

ANSYS a Kết quả tính toán

Bảng 3.2 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm trường hợp tựa đơn 4 cạnh

Bảng 3.3 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm trường hợp ngàm 4 cạnh

Từ các kết quả tính toán nhận được, ta có một số nhận xét sau:

- Từ Bảng 3.2 (trường hợp tựa đơn 4 cạnh), ta thấy khi chiều dài vết nứt tăng lần lượt 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m thì chuyển vị lớn nhất của tấm cũng tăng dần Điều này phù hợp với bản chất vật lý của mô hình bài toán (khi chiều dài vết nứt tăng thì độ cứng của tấm sẽ giảm làm cho chuyển vị tăng lên) Riêng trường hợp tấm ngàm 4 cạnh (Bảng 3.3), khi chiều dài vết nứt tăng thì chuyển vị lớn nhất của tấm ít bị ảnh hưởng

- So sánh kết quả giữa XFEM (MATLAB) và FEM (ANSYS) đối với trường hợp bài toán tấm chịu 2 tải tập trung có chiều dài vết nứt thay đổi ta thấy kết quả sai số tùy thuộc vào chiều dài của vết nứt Cụ thể, chiều dài vết nứt càng lớn thì cho sai số càng lớn: sai số lớn nhất đối với trường hợp tựa đơn 4 cạnh là 3.2288% khi chiều dài vết nứt c = 0.12m, sai số lớn nhất đối với trường hợp ngàm 4 cạnh là 2.5051% khi chiều dài vết nứt c = 0.12m

So sánh giữa XFEM và FEM trong trường hợp tấm tựa đơn 4 cạnh chịu 2 tải tập trung cho thấy sai số phụ thuộc vào chiều dài vết nứt, khi chiều dài vết nứt tăng thì sai số cũng tăng Sai số lớn nhất đạt 3,7561% khi chiều dài vết nứt là 0,12m.

Kết quả tính toán trên cho thấy chương trình được viết bằng MATLAB cho tấm có vết nứt là đáng tin cậy

3.2.3 Bài toán 2 – Tấm chịu 2 tải tập trung Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

Mô hình bài toán như trên Hình 3.3 Đặc điểm vết nứt và tải trọng tác dụng của tấm như sau:

- Chiều dài vết nứt c = 0.04m - Vị trí vết nứt y c thay đổi dọc theo trục có hoành độ x = 0.20m Cụ thể y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

- Tải tập trung với giá trị P = 2.5N, đặt tại các vị trí x = 0.05m; y = 0.35m và x = 0.35m; y = 0.35m

Xét 2 trường hợp điều kiện biên:

Trường hợp 2: Tấm chịu uốn ngàm 4 cạnh a Kết quả tính toán

Bảng 3.4 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm trường hợp tựa đơn 4 cạnh

Bảng 3.5 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm trường hợp ngàm 4 cạnh

Sai số (%) 2.1407 1.8739 2.4721 0.4149 0.6554 b Nhận xét Đối với trường hợp bài toán tấm chịu 2 tải tập trung có vị trí vết nứt thay đổi, kết quả sai số giữa XFEM và ANSYS tùy thuộc vào vị trí của vết nứt Cụ thể:

- Sai số lớn nhất trong trường hợp tựa đơn 4 cạnh là 1.7741% khi vị trí vết nứt y c = 0.20m (Bảng 3.4)

- Sai số lớn nhất trong trường hợp ngàm 4 cạnh là 2.4721% khi vị trí vết nứt y c = 0.20m (Bảng 3.5)

Như vậy, kết quả tính toán đối với chương trình viết bằng MATLAB cho tấm có vết nứt so với chương trình ANSYS thì sai số là không lớn.

TÍNH TẦN SỐ RIÊNG CỦA TẤM KHÔNG NỨT VÀ TẤM CÓ NỨT

 Điều kiện biên: tựa đơn 4 cạnh

3.3.1 Tần số riêng của tấm không nứt a Kết quả tính toán

Tần số riêng thứ nhất theo phương pháp giải tích [35]:

Bảng 3.6 Kết quả so sánh tần số riêng của tấm không nứt

FEM ( ANSYS ) Giải tích [35] XFEM

Sai số (%) với giải tích f 1 (Hz) 15.2520 15.2348 15.2574 0.0354 0.1483 f 2 (Hz) 38.2651 - 38.2949 0.0779 - f 3 (Hz) 38.2651 - 38.2949 0.0779 - f 4 (Hz) 61.2196 - 61.3060 0.1411 - b Nhận xét

Từ kết quả tính 4 tần số riêng đầu tiên của tấm không nứt (Bảng 3.6), ta có một số nhận xét sau:

So sánh giữa phương pháp XFEM với phương pháp FEM và phương pháp giải tích [35] thì sai số là rất nhỏ Chẳng hạn:

- So với FEM thì sai số nhỏ nhất là 0.0354% đối với tần số riêng thứ nhất, sai số lớn nhất chỉ là 0.1411% đối với tần số riêng thứ 4

- So với giải tích [35] thì sai số là 0.1483%

Vì vậy, phương pháp XFEM cho kết quả khá gần với ANSYS và giải tích

3.3.2 Tần số riêng của tấm có vết nứt

Tấm có chiều dài vết nứt thay đổi lần lượt là c = 0, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m Vị trí vết nứt tại y c = 0.20m a Kết quả tính toán Bảng 3.7 Kết quả so sánh tần số riêng của tấm có vết nứt

Tần số riêng Phương pháp

Chiều dài vết nứt c ( m ) 0 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 f 1 (Hz)

Từ Bảng 3.7, ta rút ra các nhận xét sau:

- Khi kết cấu xuất hiện vết nứt thì các tần số riêng của kết cấu đều giảm

Khi chiều dài vết nứt tăng lần lượt: 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m thì tần số riêng của tấm giảm dần Điều này phù hợp với sự suy giảm độ cứng của tấm khi chiều dài vết nứt tăng Các vết nứt nhỏ gây ảnh hưởng nhỏ đến các tần số riêng Vết nứt càng lớn thì sự ảnh hưởng càng tăng, sự thay đổi giảm các tần số riêng càng thể hiện rõ rệt Sự thay đổi giảm tần số nhiều nhất ở tần số riêng thứ nhất, với chiều dài vết nứt c = 0.12m thì sự giảm tần số thứ nhất đạt giá trị lớn nhất là 2.6551% Các tần số thứ 2, thứ 3 và thứ 4 bị thay đổi không đáng kể (nhỏ hơn 1%)

- Phương pháp XFEM tính tần số riêng của tấm có vết nứt khi chiều dài vết nứt thay đổi so với ANSYS thì sai số là không đáng kể Chẳng hạn:

+ Khi tấm có vết nứt c = 0.04m thì sai số nhỏ nhất là 0.0776% tương ứng với tần số riêng thứ 3, lớn nhất là 0.4393% tương ứng với tần số riêng thứ nhất

+ Khi tấm có vết nứt c = 0.08m thì sai số nhỏ nhất là 0.0933% tương ứng tần số riêng thứ 4, lớn nhất là 0.8421% tương ứng với tần số riêng thứ nhất

+ Khi tấm có vết nứt c = 0.12m thì sai số nhỏ nhất là 0.0822% tương ứng với tần số riêng thứ 4, lớn nhất là 1.1896% tương ứng với tần số riêng thứ nhất.

TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA TẤM KHÔNG NỨT VÀ TẤM CÓ NỨT CHỊU LỰC ĐỘNG

 Tải tác dụng F  5sin(  t )đặt tại vị trí x = 0.2m, y = 0.35m

 Tần số góc của lực kích thích thay đổi lần lượt là:  = 2, 10, 20 rad/s

 Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là: y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

 Điều kiện biên: tựa đơn 4 cạnh

 Đối tượng khảo sát là chuyển vị nằm trên đường dọc theo trục y, tại vị trí x = 0.2m

Mô hình bài toán tấm có vết nứt chịu lực động cho trên Hình 3.5

Hình 3.5 Mô hình bài toán tấm có vết nứt chịu lực động

3.4.1 Chuyển vị của tấm không nứt chịu lực động

Tấm tựa đơn chịu tải trọng động với các lực tác dụng lần lượt là

F 1 = 5sin(2πt) (N), F 2 = 5sin(10πt) (N), F 3 = 5sin(20πt) (N), dt = 0.00625 s, T = 2.5s a Kết quả tính toán chuyển vị theo thời gian tại điểm đặt lực Bảng 3.8 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất tại điểm đặt lực

CHUYEN VI THEO THOI GIAN TAI DIEM DAT LUC VOI TAN SO 2pi

Hình 3.6 Đồ thị so sánh chuyển vị theo thời gian tại điểm đặt lực với  = 2π giữa

CHUYEN VI THEO THOI GIAN TAI DIEM DAT LUC VOI TAN SO 10pi

Hình 3.7 Đồ thị so sánh chuyển vị theo thời gian tại điểm đặt lực với  = 10π giữa MATLAB và ANSYS

CHUYEN VI TAI THEO THOI GIAN TAI DIEM DAT LUC VOI TAN SO 20pi

Hình 3.8 Đồ thị so sánh chuyển vị theo thời gian tại điểm đặt lực với  = 20π giữa MATLAB và ANSYS b Nhận xét

Từ Bảng 3.8 và Hình 3.6, 3.7, 3.8, ta rút ra các nhận xét sau:

- Khi tăng tần số góc của lực kích thích lần lượt là  = 2, 10, 20 rad/s thì chuyển vị lớn nhất tại điểm đặt lực cũng tăng dần

- Phương pháp XFEM (MATLAB) tính chuyển vị của tấm chịu tải trọng động ứng với các tần số góc của lực kích thích khác nhau so với ANSYS thì sai số là không đáng kể Chẳng hạn: sai số lớn nhất là 3.4486% khi tần số kích thích

Qua so sánh tần số riêng và chuyển vị của tấm không nứt chịu tải trọng động giữa MATLAB và ANSYS, sai số giữa hai chương trình không đáng kể Điều này chứng minh độ tin cậy của phương pháp XFEM trong tính toán tấm không nứt.

3.4.2 Bài toán 3 – Tấm chịu tải trọng điều hòa Khảo sát chiều dài vết nứt thay đổi

Tấm tựa đơn chịu tải trọng điều hòa với lực tác dụng là F 1 = 5sin(2πt) (N), dt = 0.00625 s, T = 2.5 s Chiều dài vết nứt thay đổi lần lượt là c = 0.04, 0.06, 0.08,

0.10, 0.12m Vị trí vết nứt y c = 0.20m a Kết quả tính toán chuyển vị lớn nhất (w max 10 ( )  3 m ) của tấm

Bảng 3.9 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm

CHUYEN VI THEO THOI GIAN TAI NUT CO CHUYEN VI MAX (TAM NUT, Yc=0.20m, C=0.04m)

Hình 3.9 Đồ thị so sánh chuyển vị theo thời gian tại nút có chuyển vị lớn nhất khi tấm chịu lực điều hòa với  = 2π, y c = 0.20m, c = 0.04m b Nhận xét

Từ các kết quả tính toán nhận được và dựa vào Bảng 3.9, Hình 3.9, ta rút ra các nhận xét sau:

- Tấm chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng điều hòa, khi chiều dài vết nứt tăng lần lượt 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m thì chuyển vị lớn nhất của tấm cũng tăng lên Điều này phù hợp với sự suy giảm độ cứng của tấm khi chiều dài vết nứt tăng

- Phương pháp XFEM tính chuyển vị của tấm có vết nứt chịu tải trọng điều hòa khi chiều dài vết nứt thay đổi so với phương pháp FEM (ANSYS) thì sai số là rất nhỏ Sai số lớn nhất chỉ là 0.8028% khi chiều dài vết nứt là c = 0.12m

3.4.3 Bài toán 4 – Tấm chịu tải trọng điều hòa Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

Trường hợp 1: Tấm tựa đơn chịu tải trọng điều hòa với lực tác dụng là

F 1 = 5sin(2πt) (N), dt = 0.00625 s, T = 2.5 s Chiều dài vết nứt là c = 0.04m Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

F 2 = 5sin(10πt) (N), dt = 0.00625 s, T = 1 s Chiều dài vết nứt là c = 0.04m Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m a Kết quả tính toán chuyển vị lớn nhất ( w max  10 ( )  3 m ) của tấm Bảng 3.10 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm với  = 2π

Hình 3.10 Đồ thị so sánh chuyển vị theo thời gian tại nút có chuyển vị lớn nhất khi tấm chịu lực điều hòa với  = 2π, y c = 0.05m, c = 0.04m

Bảng 3.11 Kết quả so sánh chuyển vị lớn nhất của tấm với  = 10π

Hình 3.11 Đồ thị so sánh chuyển vị theo thời gian tại nút có chuyển vị lớn nhất khi tấm chịu lực điều hòa với  = 10π, y c = 0.05m, c = 0.04m b Nhận xét

Từ Bảng 3.10, 3.11 và Hình 3.10, 3.11, ta có một số nhận xét sau:

- Chuyển vị lớn nhất của tấm tăng lên khi tần số kích thích tăng Chẳng hạn:

+ Chuyển vị lớn nhất của tấm tại vị trí vết nứt y c = 0.05m khi  = 2π là 4.6735  10  3 m

+ Chuyển vị lớn nhất của tấm tại vị trí vết nứt y c = 0.05m khi  = 10π là 6.1814 10  3 m

- Đối với cả hai trường hợp 1 và 2 (tần số lực kích thích tương ứng là

 = 2π,  = 10π), kết quả tính chuyển vị của tấm chịu tải trọng điều hòa khi vị trí vết nứt thay đổi so sánh giữa phương pháp XFEM và ANSYS thì sai số là không lớn

- Kết quả sai số này phụ thuộc vào vị trí cụ thể của vết nứt Chẳng hạn:

+ Sai số lớn nhất giữa hai chương trình là 1.9843% với trường hợp

 = 2π, tại vị trí vết nứt y c = 0.30m

+ Sai số lớn nhất giữa hai chương trình là 1.9535% với trường hợp

 = 10π, tại vị trí vết nứt y c = 0.35m

3.4.4 Bài toán 5 – Tấm chịu tải trọng dạng xung Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

Trường hợp 1: Tấm tựa đơn chịu tải trọng dạng xung hình sin

F 1 = 5sin(2πt) (N) (Hình 3.12a), dt = 0.00625 s, T = 0.275 s Chiều dài vết nứt là c = 0.04m, vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

F 1 = 5sin(10πt) (N) (Hình 3.12b), dt = 0.00625 s, T = 0.23125 s Chiều dài vết nứt là c = 0.04m, vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m a) b) Hình 3.12 Tải trọng dạng xung hình sin a Kết quả tính toán chuyển vị lớn nhất ( w max  10 ( )  3 m ) của tấm Bảng 3.12 Kết quả chuyển vị lớn nhất của tấm với  = 2π

Hình 3.13 Đồ thị chuyển vị theo thời gian tại nút có chuyển vị lớn nhất khi tấm chịu lực xung với  = 2π, y c = 0.05m, c = 0.04m

Hình 3.14 Đồ thị chuyển vị theo thời gian tại nút có chuyển vị lớn nhất khi tấm chịu lực xung với  = 10π, y c = 0.05m, c = 0.04m

Bảng 3.13 Kết quả chuyển vị lớn nhất của tấm với  = 10π

3 max 10 ( ) w   m - XFEM (MATLAB) 6.1814 6.1803 6.1860 6.1968 6.2236 b Nhận xét

Từ Bảng 3.12, 3.13 và Hình 3.13, 3.14, rút ra các nhận xét sau:

- Tấm tựa đơn chịu tải trọng dạng xung hình sin với cả trường hợp 1 ( = 2π) và trường hợp 2 ( = 10π) khi vị trí vết nứt tiến gần về điểm đặt lực thì chuyển vị lớn nhất của tấm cũng tăng lên

- Chuyển vị lớn nhất của tấm cũng tăng lên khi tăng tần số kích thích Chẳng hạn:

+ Chuyển vị lớn nhất của tấm tại vị trí vết nứt y c = 0.35m khi  = 2π là 4.6964  10  3 m

+ Chuyển vị lớn nhất của tấm tại vị trí vết nứt y c = 0.35m khi  = 10π là 6.2236 10  3 m.

Từ các kết quả nhận được, có thể rút ra một số kết luận:

- So sánh các kết quả tính toán giữa XFEM với lời giải giải tích, bài báo đã được công bố và phần mềm ANSYS cho thấy các giá trị sai số phụ thuộc vào nhiều yếu tố, chẳng hạn điều kiện liên kết trên biên, tải trọng tác dụng, mô hình phần tử vết nứt, đặc điểm khuyết tật của tấm (vị trí, chiều dài vết nứt) … Sai số lớn nhất trong số các trường hợp khảo sát là 3.7561%

Nhìn chung, kết quả khảo sát cho sai số tương đối hợp lý Do đó, các giá trị chuyển vị tìm được có thể dùng để phân tích độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt ở chương sau.

PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY CỦA CHUYỂN VỊ TẤM CÓ VẾT NỨT DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI WAVELET

SO SÁNH CHUYỂN VỊ CỦA TẤM THEO XFEM

DO THI SO SANH CHUYEN VI CUA TAM TUA DON-BAI TOAN 1

TAM KHONG NUT TAM NUT, c=0.04m TAM NUT, c=0.06m TAM NUT, c=0.08m TAM NUT, c=0.10m TAM NUT, c=0.12m

Hình 4.1 Đồ thị so sánh chuyển vị của tấm không nứt và tấm nứt 4 biên tựa chịu lực tĩnh khi chiều dài vết nứt thay đổi

TAM KHONG NUT TAM NUT, Yc=0.05m TAM NUT, Yc=0.10m TAM NUT, Yc=0.20m TAM NUT, Yc=0.30m TAM NUT, Yc=0.35m

Hình 4.2 Đồ thị so sánh chuyển vị của tấm không nứt và tấm nứt 4 biên tựa chịu lực tĩnh khi vị trí vết nứt thay đổi

TAM KHONG NUT TAM NUT, c=0.04m TAM NUT, c=0.06m TAM NUT, c=0.08m TAM NUT, c=0.10m TAM NUT, c=0.12m

Hình 4.3 Đồ thị so sánh chuyển vị của tấm không nứt và tấm nứt 4 biên tựa chịu lực động với  = 2π khi chiều dài vết nứt thay đổi

TAM KHONG NUT TAM NUT, Yc=0.05m TAM NUT, Yc=0.10m TAM NUT, Yc=0.20m TAM NUT, Yc=0.30m TAM NUT, Yc=0.35m

Hình 4.4 Đồ thị so sánh chuyển vị của tấm không nứt và tấm nứt 4 biên tựa chịu lực động với  = 10π khi vị trí vết nứt thay đổi

- Các đường cong biểu diễn chuyển vị của tấm (Hình 4.1, 4.3) cho thấy nếu chỉ dựa vào đồ thị này chúng ta khó phân biệt được sự khác biệt giữa tấm không có vết nứt và tấm có vết nứt, cũng như tấm có vết nứt khi chiều dài vết nứt thay đổi (c = 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m) Chỉ trừ trường hợp tấm có chiều dài vết nứt c = 0.12m (Hình 4.3) khi tấm chịu lực động thì có thể phân biệt được vị trí nứt, do trên đường biểu diễn chuyển vị có sự gãy khúc tại vết nứt

- Các đường cong biểu diễn chuyển vị của tấm (Hình 4.2, 4.4) cho thấy nếu chỉ dựa vào đồ thị này chúng ta khó phân biệt được sự khác biệt giữa tấm không có vết nứt và tấm có vết nứt, cũng như tấm có vết nứt khi vị trí vết nứt thay đổi (y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m) Do đó, khó có thể suy đoán được vị trí chính xác của vết nứt ở đâu

Vì vậy, để phân biệt được tấm có vết nứt và tấm nguyên vẹn cũng như chiều dài và vị trí vết nứt khi vết nứt còn nhỏ, tác giả đề xuất sử dụng phương pháp biến đổi Wavelet để phân tích độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt.

SƠ ĐỒ KHỐI BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI WAVELET

Hình 4.5 Sơ đồ khối bài toán biến đổi Wavelet

Mảng chứa dữ liệu chuyển vị cần biến đổi nằm dọc theo trục y , tại vị trí x = 0.2 m

Biến đổi Wavelet liên tục Giải bài toán bằng XFEM

Xác định vị trí vết nứt Chuẩn bị các đối số cho hàm cần biến đổi

- Mảng chứa dữ liệu chuyển vị cần biến đổi - Chọn loại Wavelet phân tích

- Chọn tỷ lệ (Scale) phân tích

Xuất kết quả Đồ thị liên hệ giữa tín hiệu Wavelet và chiều rộng tấm

PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY CỦA CHUYỂN VỊ TẤM CÓ VẾT NỨT

Hình 4.6 Tấm vuông với vết nứt nằm đối xứng qua trục x = 0.2m

Các bài toán theo sau lần lượt được lấy số liệu từ các bài toán trong Chương 3, tập hợp chứa 961 giá trị chuyển vị của tấm dùng để biến đổi Wavelet nằm dọc theo trục y, tại vị trí x = 0.2m (Hình 4.6)

Mảng giá trị chuyển vị dùng biến đổi Wavelet đã được khử nhiễu do ảnh hưởng của lực tác dụng

Theo những nghiên cứu trước đây [24], biến đổi Wavelet liên tục với Wavelet sym4 trong họ symlets cho kết quả đánh giá chất lượng tín hiệu rõ ràng nhất Do vậy, trong luận văn này, tác giả sử dụng Wavelet sym4 để khảo sát độ nhạy của chuyển vị tấm có vết nứt

4.3.1 Bài toán 1 – Tấm chịu 2 tải tập trung Khảo sát chiều dài vết nứt thay đổi

Vị trí vết nứt không đổi (y c = 0.10m), chiều dài vết nứt thay đổi (c = 0.001,

Trường hợp 2: Tấm chịu uốn ngàm 4 cạnh a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

Hình 4.7 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm 4 biên tựa chịu lực tĩnh khi chiều dài vết nứt thay đổi

Hình 4.8 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm 4 biên ngàm chịu lực tĩnh khi chiều dài vết nứt thay đổi b Nhận xét

- Khi dùng phép biến đổi Wavelet liên tục, với Wavelet sym4, tỷ lệ phân tích a =1 thì kết quả tín hiệu nhận được rất rõ nét (Hình 4.7, 4.8)

- Sự nhiễu của tín hiệu hay là tín hiệu thay đổi đột ngột tại vị trí vét nứt thể hiện rất rõ ở các chiều dài vết nứt khác nhau Khi chiều dài vết nứt càng lớn thì độ cao của tín hiệu nhiễu (tín hiệu thay đổi đột ngột) càng tăng Đặc biệt, kết quả biến đổi Wavelet vẫn thể hiện rõ các nhiễu loạn tại vị trí có vết nứt khi vết nứt còn rất nhỏ (c = 0.001m)

4.3.2 Bài toán 2 – Tấm chịu 2 tải tập trung Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

Trường hợp 1: Tấm chịu uốn tựa đơn 4 cạnh, chiều dài vết nứt không đổi

(c = 0.04m), vị trí vết nứt thay đổi (y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m)

Trường hợp 2: Tấm chịu uốn tựa đơn 4 cạnh, chiều dài vết nứt không đổi

(c = 0.005m), vị trí vết nứt thay đổi (y c = 0.033, 0.20, 0.367m)

Trường hợp 3: Tấm chịu uốn ngàm 4 cạnh, chiều dài vết nứt không đổi (c = 0.04m), vị trí vết nứt thay đổi (y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m) a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

Hình 4.9 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm 4 biên tựa chịu lực tĩnh khi vị trí vết nứt thay đổi

Hình 4.10 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm 4 biên ngàm chịu lực tĩnh khi vị trí vết nứt thay đổi b Nhận xét

Từ Hình 4.9 và Hình 4.10, ta rút ra các nhận xét sau:

- Đồ thị các tín hiệu Wavelet đều thể hiện sự nhiễu tín hiệu cục bộ tương ứng tại các vị trí có vết nứt của tấm

- Khi vị trí vết nứt càng tiến gần về điểm đặt lực thì độ cao của tín hiệu nhiễu càng tăng, đồ thị các tín hiệu Wavelet càng thể hiện rõ vị trí vết nứt

- Khi chiều dài vết nứt còn nhỏ (c = 0.005m) và ở xa điểm đặt lực (y c = 0.033m) thì đồ thị các tín hiệu Wavelet vẫn thể hiện rõ vị trí vết nứt

4.3.3 Bài toán 3 – Tấm chịu tải trọng điều hòa Khảo sát chiều dài vết nứt thay đổi

Tấm tựa đơn chịu tải trọng điều hòa với lực tác dụng là F 1 = 5sin(2πt) (N), đặt tại vị trí x = 0.2m, y = 0.35m, dt = 0.00625 s, T = 2.5 s Chiều dài vết nứt thay đổi lần lượt là c = 0.001, 0.005, 0.01, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m Vị trí vết nứt y c = 0.10m

Lấy mảng chuyển vị tại thời điểm có chuyển vị lớn nhất của tấm để biến đổi Wavelet a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

Hình 4.11 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm chịu lực điều hòa khi chiều dài vết nứt thay đổi b Nhận xét

- Với bài toán tấm chịu tải trọng điều hòa Khảo sát trường hợp thay đổi chiều dài vết nứt Dùng phép biến đổi Wavelet thì kết quả nhận được rất rõ nét

- Tín hiệu thay đổi đột ngột thể hiện rất rõ nét ở các chiều dài vết nứt khác nhau Khi chiều dài vết nứt tăng lần lượt c = 0.001, 0.005, 0.01, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m thì tín hiệu thay đổi tại vị trí nứt cũng tăng dần Chiều dài vết nứt càng lớn thì tín hiệu nhiễu tại vị trí nứt càng rõ nét Tuy nhiên, khi vết nứt còn rất nhỏ (c = 0.001m) thì tín hiệu nhiễu tại vị trí nứt vẫn thể hiện rõ

4.3.4 Bài toán 4 – Tấm chịu tải trọng điều hòa Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

F 1 = 5sin(2πt) (N), đặt tại vị trí x = 0.2m, y = 0.35m, dt = 0.00625 s, T = 2.5 s

Chiều dài vết nứt là c = 0.04m Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

Lấy mảng chuyển vị tại thời điểm có chuyển vị lớn nhất của tấm (T = 1.275s) để biến đổi Wavelet

F 2 = 5sin(10πt) (N), đặt tại vị trí x = 0.2m, y = 0.35m, dt = 0.00625 s, T = 1 s Chiều dài vết nứt là c = 0.04m Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

Lấy mảng chuyển vị tại thời điểm T = 0.25625 s để biến đổi Wavelet a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

Hình 4.12 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm chịu lực điều hòa với

 = 2π khi vị trí vết nứt thay đổi

Hình 4.13 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm chịu lực điều hòa với

 = 10π khi vị trí vết nứt thay đổi b Nhận xét

Từ Hình 4.12 và Hình 4.13, ta rút ra các nhận xét sau:

Khi xét trường hợp thay đổi vị trí của vết nứt từ 0,05 m đến 0,35 m, đồ thị tín hiệu Wavelet đều cho thấy sự thay đổi đột ngột tại các vị trí vết nứt của tấm Điều này thể hiện sự nhạy cảm của tín hiệu Wavelet đối với sự thay đổi của vị trí vết nứt, giúp xác định vị trí vết nứt trên tấm chịu uốn chịu tải trọng điều hòa một cách hiệu quả.

- Khi vị trí vết nứt càng gần về điểm đặt lực thì độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí nứt càng lớn hơn

Khi tần số kích thích đạt 10π, các tín hiệu Wavelet thể hiện rõ nhiễu tại vị trí có vết nứt Điều này tương phản với trường hợp tần số kích thích bằng 2π, trong đó nhiễu được tập trung tại thời điểm chuyển vị lớn nhất.

- Với trường hợp tần số 10π, độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt lớn hơn so với trường hợp tần số 2π Chẳng hạn: trường hợp tấm có chiều dài vết nứt c = 0.04m, vị trí vết nứt y c = 0.10m, độ cao của tín hiệu tại vị trí vết nứt khi tần số 2π là 11x10 -9 , còn độ cao của tín hiệu tại vị trí vết nứt khi tần số 10π là 4x10 -8

4.3.5 Bài toán 5 – Tấm chịu tải trọng dạng xung Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

Lấy mảng chuyển vị tại thời điểm có chuyển vị lớn nhất của tấm (T = 0.275s) để biến đổi Wavelet

F 1 = 5sin(20πt) (N), đặt tại vị trí x = 0.2m, y = 0.35m, dt = 0.02 s, T = 0.8 s Chiều dài vết nứt là c = 0.08m Vị trí vết nứt thay đổi lần lượt là y c = 1/15, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m

Lấy mảng chuyển vị tại thời điểm T = 0.8 s (chưa khử nhiễu do ảnh hưởng của lực tác dụng) để biến đổi Wavelet

Lấy mảng chuyển vị tại thời điểm T = 0.23125 s để biến đổi Wavelet a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

Hình 4.14 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm chịu lực xung với  = 2π khi vị trí vết nứt thay đổi

Hình 4.15 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm chịu lực xung với

 = 20π khi vị trí vết nứt thay đổi

Hình 4.16 Đồ thị các tín hiệu Wavelet của chuyển vị tấm chịu lực xung với

 = 10π khi vị trí vết nứt thay đổi b Nhận xét

Dựa vào Hình 4.14, 4.15, 4.16, ta có một số nhận xét sau:

- Với bài toán tấm chịu tải trọng dạng xung hình sin Chiều dài vết nứt là c = 0.04m Khảo sát trường hợp thay đổi vị trí vết nứt y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30,

0.35m Đồ thị các tín hiệu Wavelet đều thể hiện sự nhiễu loạn hay là tín hiệu thay đổi đột ngột tương ứng tại các vị trí có vết nứt của tấm

- Tuy nhiên, khi tần số kích thích là 20π (trường hợp 2) (Hình 4.15), chỉ cần xét mảng chuyển vị tại thời điểm T = 0.8 s (thời điểm chuyển vị của tấm chỉ do dao động tự do) với mảng chuyển vị chưa được khử nhiễu do ảnh hưởng của lực tác dụng thì đồ thị các tín hiệu Wavelet cũng đã thể hiện rõ sự nhiễu tại các vị trí vết nứt

- Khi tần số kích thích là 10π (trường hợp 3) (Hình 4.16), chỉ cần xét mảng chuyển vị tại thời điểm T = 0.23125 s (thời điểm chuyển vị của tấm chỉ do dao động tự do) với mảng chuyển vị đã được khử nhiễu do ảnh hưởng của lực tác dụng thì đồ thị các tín hiệu Wavelet đã thể hiện rõ tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt.

SO SÁNH ĐỘ NHẠY CỦA CHUYỂN VỊ TẤM KHI CHỊU LỰC TĨNH VÀ LỰC ĐỘNG

4.4.1 Bài toán 6 – So sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động Khảo sát chiều dài vết nứt thay đổi

Tấm nhôm tựa đơn 4 cạnh, biên độ tải là P 0 = 5N, tần số lực kích thích là

 = 2, đặt lực tại vị trí x = 0.20m, y = 0.35m, chiều dài vết nứt thay đổi (c = 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12m), vị trí vết nứt y c = 0.10m a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

TẢI TRỌNG TĨNH TẢI TRỌNG ĐỘNG

Hình 4.17 Đồ thị so sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động khảo sát chiều dài vết nứt thay đổi b Nhận xét

Từ đồ thị so sánh độ nhạy chuyển vị của tấm đối với lực tĩnh và lực động (Hình 4.17), có thể thấy rằng độ dài vết nứt càng lớn thì độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt càng cao Tuy nhiên, độ cao của bước nhảy tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực động lớn hơn so với khi tấm chịu lực tĩnh Ví dụ: đối với tấm có chiều dài vết nứt c = 0,06m, vị trí vết nứt y = 0,10m, độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực tĩnh là 6,2 x 10^-9, còn độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực động là 12,5 x 10^-9.

4.4.2 Bài toán 7 – So sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động Khảo sát vị trí vết nứt thay đổi

Tấm nhôm tựa đơn 4 cạnh, biên độ tải là P 0 = 5N, tần số lực kích thích là

 = 2, đặt lực tại vị trí x = 0.20m, y = 0.35m, chiều dài vết nứt c = 0.04m, vị trí vết nứt thay đổi y c = 0.05, 0.10, 0.20, 0.30, 0.35m a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

TẢI TRỌNG TĨNH TẢI TRỌNG ĐỘNG

Hình 4.18 Đồ thị so sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động khảo sát vị trí vết nứt thay đổi b Nhận xét

So sánh độ nhạy của chuyển vị tấm dưới tác dụng của tải trọng tĩnh và tải trọng động (Hình 4.18), ta có các nhận xét sau: vị trí vết nứt tiến gần về điểm đặt lực thì độ nhạy của chuyển vị tại vị trí nứt càng rõ Đặc biệt, độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực động lớn hơn so với tấm chịu lực tĩnh

Ví dụ: Với kích thước vết nứt c = 0,04m, vị trí vết nứt y c = 0,10m, độ cao tín hiệu tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực tĩnh là 6x10 -9 , trong khi độ cao tín hiệu tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực động là 11x10 -9

4.4.3 Bài toán 8 – So sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động Khảo sát chiều dày tấm thay đổi

Trường hợp 1: Tấm thép tựa đơn 4 cạnh, biên độ tải là P 0 = 5N, tần số lực kích thích là  = 10, đặt lực tại vị trí x = 0.20m, y = 0.35m, chiều dài vết nứt c = 0.001m, vị trí vết nứt y c = 1/30m, chiều dày tấm thay đổi lần lượt là h = 0.002,

Trường hợp 2: Tấm nhôm tựa đơn 4 cạnh, biên độ tải là P 0 = 5N, tần số lực kích thích là  = 20, đặt lực tại vị trí x = 0.20m, y = 0.35m, chiều dài vết nứt c = 0.001m, vị trí vết nứt y c = 1/30m, chiều dày tấm thay đổi lần lượt là h = 0.002,

0.005m a Kết quả biến đổi Wavelet cho chuyển vị tấm

TẢI TRỌNG TĨNH TẢI TRỌNG ĐỘNG a) Tấm thép

TẢI TRỌNG TĨNH TẢI TRỌNG ĐỘNG b) Tấm nhôm Hình 4.19 Đồ thị so sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động khảo sát chiều dày tấm thay đổi b Nhận xét

Dựa vào đồ thị so sánh độ nhạy của chuyển vị tấm khi chịu lực tĩnh và lực động (Hình 4.19), ta thấy:

- Khi chiều dài vết nứt còn nhỏ (c = 0.001m) và vị trí vết nứt ở xa điểm đặt lực (y c = 1/30m), khảo sát chiều dày tấm thay đổi thì độ cao của bước nhảy tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực động lớn hơn so với tấm chịu lực tĩnh Chẳng hạn: trường hợp tấm có chiều dày h = 0.001m, độ cao của tín hiệu tại vị trí vết nứt với tải trọng tĩnh là 2.5x10 -10 , còn độ cao của tín hiệu tại vị trí vết nứt với tải trọng động là 3x10 -10

- Khi chiều dày tấm càng mỏng thì độ nhạy của chuyển vị tại vị trí nứt càng rõ Tuy nhiên, khi xét tấm thép có chiều dày h = 0.002m, chiều dài vết nứt nhỏ

(c = 0.001m) thì kết quả biến đổi Wavelet vẫn thể hiện được tín hiệu thay đổi đột ngột tại vị trí có vết nứt (Hình 4.19a)

- Với tấm nhôm, khi tăng chiều dày tấm h = 0.005m và chiều dài vết nứt nhỏ

(c = 0.001m) thì với tải trọng tĩnh, ta rất khó nhận biết được vị trí vết nứt; trong khi đó, tải trọng động thể hiện được tín hiệu thay đổi đột ngột tại vị trí vết nứt

Từ các kết quả thu được ở trên, có thể rút ra một số kết luận:

- Nếu chỉ dừng lại ở so sánh chuyển vị tấm bằng việc sử dụng XFEM thì chúng ta rất khó phân biệt giữa tấm không nứt và tấm có vết nứt, đặc biệt là khi chiều dài vết nứt còn bé

- Tiến hành biến đổi Wavelet liên tục, ta có thể quan sát tín hiệu một cách hiệu quả bằng đồ thị liên hệ giữa các tín hiệu Wavelet và vị trí tương ứng Đối với các bài toán khảo sát, tác giả dùng Wavelet sym4 trong họ symlets, tỉ lệ a =1 đã nhận được đồ thị quan sát tín hiệu thể hiện hiệu quả độ nhạy đối với vết nứt

- Hầu hết các trường hợp khảo sát đều cho thấy chuyển vị rất nhạy với chiều dài và vị trí vết nứt, khi vết nứt có chiều dài càng lớn hay ở vị trí càng gần điểm đặt lực thì độ nhạy càng thể hiện rõ nét

- Khi vết nứt còn nhỏ (c = 0.001m) và ở vị trí xa điểm đặt lực thì đồ thị các tín hiệu Wavelet vẫn thể hiện rõ sự nhiễu tại vị trí vết nứt

- Khi phân tích Wavelet, tải trọng động cho thấy được độ nhạy tốt hơn so với tải trọng tĩnh, độ cao của tín hiệu nhiễu tại vị trí vết nứt khi tấm chịu lực động lớn hơn so với tấm chịu lực tĩnh, đặc biệt là khi vết nứt còn nhỏ và nằm ở vị trí xa điểm đặt lực

- Tấm chịu tải trọng dạng xung với tần số kích thích lớn (ví dụ 10) thì có thể lấy mảng chuyển vị (đã được khử nhiễu hoặc chưa khử nhiễu do ảnh hưởng của lực tác dụng) tại thời điểm tấm chỉ chịu dao dộng tự do để biến đổi Wavelet

Với tải trọng động, độ lớn của nhiễu tại vị trí vết nứt phụ thuộc vào tần số kích thích Tần số kích thích càng cao, độ lớn của nhiễu tại vết nứt càng lớn Vì vậy, khi tấm chịu tải động có tần số kích thích lớn, ta có thể sử dụng dữ liệu dịch chuyển tại bất kỳ thời điểm nào để thực hiện biến đổi Wavelet.