Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật cơ khí: Phân tích chuyển vị tấm Sandwich đối xứng chịu uốn

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG + Tiềm hiểu lý thuyết vật liệu composite sandwich + Phân tích chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng chịu uốn và so sánh kết quả với kết quả tính bằng phần mềm phần tử

TỔNG QUAN

Giới thiệu chung

Vật liệu composite và vật liệu sandwich ra đời vào những năm 50 thế kỉ XX, nhưng đã có những bước phát triển đột phá từ việc ứng dụng thiết thực vào nhiều lĩnh vực khác nhau đến sự đột phá về những tính năng công nghệ của các loại vật liệu này Sự ra đời của các loại vật liệu như composite lớp hay vật liệu sandwich bất đối xứng, đã đặc ra những thách thức về việc phải nghiên cứu ứng xử cơ học của các vật liệu này Trong luận văn này, tác giả tập trụng nghiên cứu về việc tính toán chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng Đồng thời khảo sát mối quan hệ giữa chuyển vị với các điều kiện về tải và ràng buộc khác nhau

Ngày nay, việc sử dụng các cấu trúc sandwich trong dân dụng, quân sự, các ngành công nghiệp như: ô tô, đường sắt, hàng không, không gian và hàng hải,… đang tăng trưởng với tốc độ rất lớn Gần đây cũng đã có một sự đổi mới khi có nhiều nghiên cứu quan tâm đến cấu trúc tấm sandwich bất đối xứng, có khả năng chịu uốn và hiệu quả sử dụng tốt hơn nhiều khi so sánh với tấm cổ điển Cấu trúc sandwich và sandwich bất đối xứng có rất nhiều ưu điểm nổi trội như: khối lượng rất nhẹ, độ cứng vững cao, độ bền, giá thành sản xuất thấp so với các cấu trúc truyền thống có kích thước tương đương

Hình 1 Máy bay Beech Starship có các vách ngăn và khung sườn sử dụng tấm sandwich (Nguồn internet)

Tính hình nghiên cứu hiện nay

Từ nhiều hướng tiếp cận khác nhau, hiện nay rất nhiều nhà khoa học trong nước và thế giới đã nghiên cứu, phân tích cơ học vật liệu sandwich, đặt biệt là hướng đến nghiên cứu các dạng sandwich đặc biệt như sandwich bất đối xứng Có thể kể đến như:

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Vật liệu sandwich đã được sử dụng rất nhiều nên trên giới hiện nay có rất nhiều đề tài nghiên cứu về tính toán vật liệu này Nhiều nhà nghiên cứu đã vận dụng những lý thuyết về tấm để phân tích phần tử hữu hạn và giải các bài toán tĩnh và động kết cấu vật liệu sandwich Nhiều hãng phần mềm tính toán kết cấu vật liệu nổi tiếng trên thế giới như ANSYS, ABAQUS, SAP, NASTRAN…cũng đã vận dụng các lý thuyết tấm composite- sandwich để đưa ra các mô hình phần tử cho loại vật liệu này

Các lý thuyết tấm thường dùng là:

- Lý thuyết tấm cổ điển (CPT)

- Thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)

- Thuyết biến dạng cắt bậc cao hơn (HSDT)

- Phân tích và thiết kế cấu trúc tấm sandwich của Howard G Allen thuộc trường đại học Southampton [1], trong nghiên cứu này tác giả đã đưa ra được các công thức tính toán, nhận xét, và nhiều vấn đề khác liên quan đến cấu trúc, ứng xử cơ học của dầm, tấm sandwich trong các trường hợp, điều kiện chịu tải khác nhau Trong chương 6 của quyển sách nghiên cứu của tác giả đã được xuất bản có trình bày rất cụ thể, chi tiết công thức, tính toán, về cơ học của tấm sandwich đẳng hướng bất đối xứng sử dụng phương pháp Ritz, làm cơ sở rất hữu ích cho việc nghiên cứu, tính toán, thiết kế về loại vật liệu này

- Nghiên cứu của Pedro Miguel Grifo Belbute về ứng xử của dầm sandwich khi chịu uốn [2] Do khả năng và đặc tính chịu uốn của sandwich tốt hơn nhiều so với tấm nhiều lớp cổ điển và được ứng dụng đa số trong các trường hợp chịu uốn nên tác giả đã tập trung nghiên cứu nội dung này Sandwich có kết cấu hoàn toàn khác so với tấm nhiều lớp

15 nên không thể sử dụng các lý thuyết tấm cổ điển để nghiên cứu ứng xử của chúng trong các điều kiện chịu uốn được Do cấu trúc của chúng cũng tương đối đơn giản nên việc tính toán chủ yếu cũng tập trung phần lớn vào cấu trúc của các thành phần Để nghiên cứu dầm sandwich chịu uốn ở các trường hợp khác nhau, tác giả đã sử dụng kết hợp nhiểu phương pháp với các lý thuyết tấm khác nhau như HSDT cho chuyển vị của lõi dẽo, FSDT cho các lớp mặt và so sánh với đơn giản hóa các lớp ESL như CLPT và FSDT Kết quả thu được tác giả sẽ kiểm chứng, so sánh lại với các kết quả thực nghiệm và tính toán số học bằng phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử tấm bậc cao Sau khi thực hiện thì nhận thấy các giá trị này không sai khác với nhau

- Tại cuộc họp thường niên lần thứ 25 về kết cấu ở New York, Mỹ vào năm 1957,

G A Thurston thuộc công ty General Electric đã trình bày nghiên cứu về chịu uốn và bất ổn định của tấm sandwich bị ngàm cứng [3] Nghiên cứu đã sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange áp dụng cho các biểu thức năng lượng của Hoff [4] đối với các tấm sandwich để xác định các công thức về chuyển vị và bất ổn định của các tấm sandwich bị ngàm cứng cả bốn cạnh

- Nghiên cứu của Santanu Kumar Sahoo vào năm 2013 về phân tích tĩnh và bất ổn định của các tấm sandwich có lõi đẳng hướng dùng phương pháp phần tử hữu hạn với sự hỗ trợ của phần mềm ANSYS [5] Sự hội tụ sẽ được kiểm chứng và so sánh kết quả với các nghiên cứu trước đây Sự ảnh hưởng của các yếu tố khác nhau về gối tựa, số lớp, tỷ số độ dày đến ứng xử tĩnh học và ổn định của tấm được tác giả xem xét, ghi nhận lại

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Hiện nay, các nhà nghiên cứu về vật liệu composite trong nước đã có các công trình nghiên cứu về giải các bài toán tĩnh và động kết cấu tấm composite, điển hình như:

Hiện nay, các nhà nghiên cứu về vật liệu composite trong nước đã có các công trình nghiên cứu về giải các bài toán tĩnh và động kết cấu tấm composite

Phan Đình Huấn (1997) [6] tính toán thiết kế kết cấu vật liệu composite nền polymer Phan Đình Huấn (1997) [7] tính toán thiết kế các kết cấu vật liệu composite

16 bằng phương pháp phần tử hữu hạn Phan Đình Huấn (1998) [8], tính toán kết cấu composite bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tứ giác

Trần Ích Thịnh và Ngô Như Khoa (2000) [9] phân tích ứng xử của tấm composite phân lớp sử dụng lý thuyết xấp xỉ chuyển vị bậc cao Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa (2000) [10] tính toán bền của vật liệu composite lớp chịu các tác dụng cơ học và nhiệt độ theo lý thuyết chuyển vị bậc cao

Phan Đình Huấn và Hoàng Thiên Sơn, (2002) [11] phân tích dao động một số kết cấu cơ bản vật liệu composite bằng phần mềm phần tử hữu hạn Trần Đức Toàn, Trương Công Tiễn và Phan Đình Huấn (2004) [12] nghiên cứu xác định ứng suất và chuyển vị một số kết cấu composite phức tạp bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Tính cấp thiết của đề tài, ý nghĩa thực tiễn

Cơ tính của tấm sandwich phụ thuộc vào cơ tính các vật liệu thành phần, qui luật phân bố, cấu trúc của các thành phần này Vật liệu tấm sandwich có rất nhiều ưu điểm nổi bật như đã đề cập ở phần trên nên việc nghiên cứu, xác định ứng xử cơ học của vật liệu tấm sandwich trong các trường hợp điều kiện chịu tải là rất cần thiết trong việc tính toán, lựa chọn, thiết kế kết cấu từ đó giúp chúng ta có thể điều khiển được cơ tính của vật liệu này thông qua các phương án công nghệ phù hợp để có được vật liệu với cơ tính như mong muốn

Việc nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu đóng một vai trò vô cùng ý nghĩa trong thực tiễn Trong thực tế, một số công trình khi thiết kế đã tính toán không đúng, chính xác khả năng chịu tải, chuyển vị của kết cấu tấm sandwich nên đã gặp phải các sự cố khi đưa vào sử dụng Để hạn chế đến mức tối đa các rủi ro có thể xảy ra, khi thiết kế, tính toán thì cần thiết phải hiểu rõ ứng xử cơ học của loại vật liệu mới này

Do tính cấp thiết và hấp dẫn của vấn đề, hiện nay trong nước và thế giới có rất nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiêm cứu và tạo ra một lĩnh vực nghiên cứu mới đó là :

“ Cơ học vật liệu” và vật liệu composite là một đối tượng của ngành khoa học này nói chung, cũng như tấm sandwich nói riêng

Việc nghiên cứu ứng sử của vật liệu sandwich nói chung và chuyển vị của vật liệu sandwich bất đối xứng nói riêng có ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn Đặc biệt, khi ứng dụng vật liệu sandwich vào thực tế ngày càng nhiều đòi hỏi nhiều biến thể vật liệu sandwich bất đối xứng Do vậy, cần nghiên cứu để xây dựng được thuật toán nhằm tính toán chuyển vị của tấm composite bất đối xứng nhằm nhằm nâng cao khả năng ứng dụng của vật liệu.

Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm 4 chương:

Giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu chuyển vị tấm composite lớp của các nhà khoa học trong nước và quốc tế Ngoài ra, tác giả cũng trình bày mục tiêu cần đạt được, ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của việc nghiên cứu

 Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Trình bày tổng quan về lý thuyết vật liệu sandwich, cơ học vật liệu sandwich để tính toán bài toán chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng

Tìm hiểu lý thuyết đẳng hình học (IGA) nhằm xây dựng thuật toán tính toán chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng

Một vài ví dụ số được tính toán dựa trên cơ sở thuật toán thuộc phần kiến thức đã trình bày bằng chương trình Matlap và phần mềm PTHH Ansys Từ đó, có được sự so sánh đánh giá độ chính xác của thật toán đã xây dựng Đồng thời, sử dụng phần mềm Ansys để làm rõ hơn các vấn đề chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng

 Chương 4: Kết luận và hướng phát triển

Dựa vào các kết quả đạt được, đưa ra nhận định về mức độ chính xác phương pháp

Từ đó đưa ra những điểm mà luận văn làm được và chưa làm được, từ đó đề xuất vấn đề

18 cần làm rõ và phát triển nhằm hoàn thiện phương pháp và có thể ứng dụng trong thực tế sản xuất tấm sandwich bất đối xứng.

Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn

Xác định chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng

Xem xét các yếu tố có thể ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm

Trình bày cơ sở tính toán chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng

Tính toán một số bài toán cụ thể thông qua phần mềm Matlap

Dùng phần mềm PTHH Ansys để phân tích chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Lý thuyết về vật liệu sandwich và sandwich bất đối xứng

2.1.1 Định nghĩa vật liệu sandwich

Vật liệu sandwich là vật liệu được cấu tạo từ vật liệu lõi có tỷ trọng thấp và những lớp vỏ khác nhau Sự kết hợp giữa lõi và vỏ sẽ tạo nên kết cấu trúc có tính chất chất cơ học riêng biệt

Tấm sanwich được sử dụng phổ biến trong lĩnh vực hàng không và vũ trụ từ nhiều năm nay, cũng như trong cơ khí, xây dựng nhờ vào độ cứng và độ bền cao so với tỷ lệ khối lượng của chúng Tấm sandwich gồm 1 lớp lõi dày, trọng lượng thấp chia tách

2 tấm vỏ phẳng, cứng và mỏng Cấu trúc sandwich lần đầu được sử dụng vào lĩnh vực hàng không trong Thế Chiến thứ 2 cho máy bay thả bom British De Havilland Mosquito Trước đó, cấu trúc sandwich rất đơn giản, với các lớp mặt là vải, sợi hay kim loại mỏng và lõi làm bằng gổ xốp

Hình 2 Tấm sandwich với (a) lõi nhựa xốp, (b) lõi tổ ong và (c) lõi lượn sóng 2.1.2 Phân loại

Người thường phân loại sandwich dựa vảo dạng lõi của chúng Thông dụng nhất là sandwich lõi nhựa xốp, lõi tổ ong, lõi lượn sóng…

Hình 3 Các loại lõi tổ ông của tấm sandwich

 Giao thông vận tải: Thay thế các loại sắt, gỗ, ván như: càng, thùng trần của các loại xe ôtô, một số chi tiết của xe môtô

 Hàng hải: Làm ghe, thuyền, thùng, tàu

 Quốc phòng: Những phương tiện chiến đấu: tàu, cano, máy bay, phi thuyền

 Thiết bị: Dụng cụ, phương tiện phục vụ cho việc sản xuất nghiên cứu trong quân đội như: bồn chứa nước hoặc hóa chất, khay trồng rau, bia tập bắn

 Công nghiệp hóa chất: Bồn chứa dung dịch acid (thay gelcoat bằng epoxy hoặc nhựa vinyleste); Bồn chứa dung dịch kiềm ( thay gelcoat bằng epoxy)

 Dân dụng: Sản phẩm trong sơn mài: bình, tô, chén, đũa

 Sản phẩm trang trí nội thất: khung hình, phù điêu, nẹp hình, vách ngăn

 Hàng không vũ trụ: Trong những năm gần đây, composite được sử dụng chế tạo các bộ phận trên máy bay như kết cấu khung xương, thân máy bay, cánh, bộ phận dẫn hướng Theo thống kê của hãng máy bay Boeing, chiếc Boeing Dreamliner 787 sử dụng đến 50% composite trên toàn bộ trọng lượng Một trong những lý do quan trọng nhất của việc ứng dụng rộng rãi loại vật liệu này trong ngành Hàng không là độ bền và độ cứng tương đối trên trọng lượng riêng của composite lớn Điều này làm giảm trọng lượng của máy bay, tiết kiệm nhiên liệu, giảm ô nhiễm môi trường và tăng hiệu quả kinh tế Composite còn được sử dụng để chế tạo các chi tiết hình dáng phức tạp, góp phần làm giảm số lượng chi tiết trên máy bay, đồng thời giảm thời gian và chi phí lắp đặt sản phẩm Vật liệu composite cốt sợi thủy tinh có tính trong suốt đối với sóng rada, đặc tính này rất quan trọng trong các ứng dụng quân sự Nó còn được sử dụng nhiều trong công nghệ vũ trụ

Hình 4 Nhà ở sử dụng tấm sandwich (Nguồn internet)

2.1.4 Vật liệu sandwich bất đối xứng

Cấu trúc tấm Sandwich chủ yếu gồm hai tấm bề mặt mỏng và một lõi dày nhẹ ở giữa Thường các vật liệu được sử dụng cho tấm bề mặt là vật liệu nhiều lớp (thủy tinh, cacbon, kevlar) hoặc tấm hợp kim nhẹ, trong khi lõi có thể đặc làm bằng gỗ, gỗ bông bấc, chất dẽo tăng cường hoặc lõi rỗng dạng tổ ong bằng hợp kim nhẹ, giấy tẩm nhựa, giấy polyamit,… Các tấm mặt thường được liên kết với lõi bởi chất kết dính Các tấm bề mặt chịu hầu hết tải trọng tác dụng bề mặt, lõi tăng độ cứng vững khi uốn và chịu cắt, nén Khả năng của tấm sandwich không chỉ phụ thuộc vào đặc tính của các lớp bề mặt mà còn ở lõi, chất kết dính giữa các thành phần, cũng như kích thước, cấu trúc Yếu tố rất quan trọng là bố trí cấu trúc của các thành phần

Hình 5 Cấu trúc tấm sandwich

Vật liệu sandwich thường đề cập là vật liệu sandwich đối xứng qua mặt cắt trung tâm Vật liệu sandwich bất đối xứng thì không có đặc điểm đối xứng này Chính vì điều đó làm cho những lý thuyết đã xây dựng cho vật liệu sandwich bình thường chưa phù hợp khi áp dụng tính toán cho vật liệu sandwich bất đối xứng

Lý thuyết đẳng hình học (IGA)

Tổng quan về lý thuyết hình học NURBS tập trung vào việc mô tả toán học của các đường cong dạng tự do sẽ được xem xét trong chương này Thông tin chi tiết về mô hình cơ sở hình học NURBS có thể được tìm thấy trong các sách của Piegl và Tiller [16] và Rogers [17] Hình học NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) được phát triển dựa trên các đường cong và bề mặt Bézier được đề xuất vào những năm cuối thập niên 1960 và đầu thập niên 1970 Đường cong NURBS có thể miêu tả một cách chính xác hàng loạt các dạng hình học khác nhau, đặc biệt là dạng hình nón Cơ sở hình học NURBS có lợi thế rất lớn là sự linh hoạt và chính xác Vì vậy ngày nay, cơ sở hình học NURBS đã trở thành tiêu chuẩn trong thiết kế dựa trên máy tính (CAD) Chương này sẽ bắt đầu với việc miêu tả ngắn về hình học B-Spline Đường cong và mặt B-Spline được miêu tả một cách chi tiết từ định nghĩa và tính chất của B-Spline áp dụng với NURBS Sau đó, NURBS là dạng tổng quát của B-Spline sẽ được trình bày Phương pháp đẳng hình học được Hughes và cộng sự [18] đề xuất nằm 2005 Trong đó sử dụng hàm xấp xỉ NURBS để đồng thời xây dựng mô hình hình học và hàm xấp xỉ biến trong phương pháp phần tử hữu hạn

Các phân tích đẳng hình học đã được đề xuất bởi Hughes, nghĩa là các mô hình phân tích sử dụng các mô tả toán học giống như các mô hình hình học Nó là một dạng nâng cao của phân tích đẳng tham số Đẳng hình học sử dụng các hàm số giống nhau để mô tả hình dạng ban đầu và các ẩn số chưa biết, ví dụ như chuyển vị Lưu ý rằng trong trường hợp này, hình dạng ban đầu là hình dạng sử dụng trong mô hình phân tích Phương pháp đẳng tham số là một phương pháp đạt độ chính xác cao khi phân tích chuyển động vật rắn Trong phân tích phần tử hữu hạn truyền thống, bậc thấp, chủ yếu là tuyến tính, đa thức Lagrange được sử dụng như các hàm số cơ sở cho việc phân tích, trong khi máy tính dựng mô hình hình học được dựa trên hàm số spline và chia các bề mặt Vì vậy, sử dụng phải chuyển đổi mô hình khi mô hình đó được thiết kế trong CAD để phân tích bằng phần tử hữu hạn Để phân tích được mô hình được chuyển về lưới gồm

25 các nút xác định Sự chuyển đổi này gọi là chia lưới Việc chuyển đổi mô hình này gây ra một loạt các vấn đề Vấn đề rõ ràng nhất là do việc chuyển đổi mô hình, thông tin hình học bị mất Các mô hình phần tử hữu hạn chỉ là gần đúng với mô hình ban đầu, độ chính xác phụ thuộc vào mật độ lưới Đặc biệt khi chuyển đổi làm thay đổi cấu trúc tự nhiên của mô hình ví dụ như mô hình vỏ mỏng thì nó gây ra sai số lớn Thứ hai là về thời gian chia lưới, vấn đề này rất quan trọng trong công nghiệp Khi hiệu chỉnh, thiết kế lại mô hình thì phải sửa đổi chia lưới, làm mất thời gian Các phân tích đẳng hình học đã thể hiện nhiều ưu điểm tuyệt vời trong việc giải quyết nhiều vấn đề khác nhau trong một loạt các lĩnh vực nghiên cứu như tương tác chất lỏng, vỏ, phân tích kết cấu, cơ học phá hủy Ý tưởng về phân tích đẳng hình học là các hàm số được sử dụng để mô tả hình học trong CAD được lấy để phân tích và tính toán Bằng cách này, toàn bộ quá trình chia lưới có thể được bỏ qua và hai mô hình cho thiết kế và phân tích hợp thành một Điều quan trọng là phải lưu ý là việc kết hợp phân tích phần tử hữu hạn và hình học tính toán đã được phát triển cho các dạng thiết kế hình học tụ do dựa trên các nguyên tắc cơ khí

2.2.2 Hình học B-Splines Đường cong và mặt B-Spline được xác định bởi quan hệ tuyến tính giữa các điểm điều khiển và hàm cơ sở B-Spline trên một không gian tham số Trong không gian tham số được chia thành các khoảng và B-Splines được xác định trên từng khoảng đó, đồng thời yêu cầu sự liên tục trên các khoảng Bởi vì số khoảng được chia là tuỳ ý, nên bậc đa thức có thể được chọn mà không phụ thuộc vào số lượng điểm điểu khiển Do đó, đường cong có nhiều điểm có thể được xấp xỉ bởi một đa thức bậc thấp Các không gian tham số được miêu tả bởi các vec-tơ knot

Một vec-tơ knot là một dãy không giảm các số thực không âm (gọi là knot), đại diện cho các toạ độ trong không gian tham số của đường cong:

Trong đó i  , i là số nút i=1,2…n+p+1, p là số bậc của đa thức và n là số các hàm cơ sở (hay điểm điều khiển) Các khoảng   1 , n p   1  và   i , i  1  được gọi là mảng và khoảng knot Hàm cơ sở B-Spline C  liên tục trên một khoảng knot, và C p  1 liên tục tại một knot đơn Giá trị nút có thể được lặp lại nhiều hơn một lần và được gọi là nút bội Nếu tất cả các nút cách nhau một khoảng bằng nhau trong không gian tham số, thì vec-tơ nút được gọi là đồng nhất và ngược lại là các vec-tơ không đồng nhất Một vec-tơ nút được gọi là vec-tơ nút mở khi nút đầu và nút cuối nhiều hơn p+1 Trong một B-Spline với vec-tơ nút mở, các điểm điều khiển đầu và cuối được nội suy và đường cong sẽ tiếp tuyến với đa giác điều khiển ở điểm đầu và điểm cuối của đường cong

Hình 6 (a) Hàm B-Spline cơ bản    0, 0, 0, 0, 5,1,1,1  (b) Hàm B-Spline cơ bản bậc

3 cho vecto knot Hàm cơ bản B-Spline N i p ,    có bậc p  0 được xác định bởi công thức đệ quy Cox-deboor [16-17] như sau:

Tính chất quan trọng của hàm cơ sở B-Spline là:

 Tổng các hàm NURBS luôn bằng 1 : ,  

 Hàm NURBS N i p ,    0 khác 0 trong khoảng   i , i p   1 

Các ví dụ về hàm B-Spline cơ sở bậc hai và bậc ba được trình bày trong hình 6 Các đạo hàm của hàm cơ sở B-Spline được tính toán:

Một đường cong B-Spline với p nút được xác định bởi phép nhân tensor hàm cơ sở B-Spline và điểm điều khiển, như sau:

Những điểm điều khiển P i  d ,i1, 2, ,n được chỉ ra trong không gian vật lí, và xây dựng các đa giác kiểm soát Hình 7, cho thấy đường cong bậc hai B-Spline với vec-to nút mở Như hình, điểm điều khiển đầu và cuối được nội suy, và đường cong tiếp tuyến với đa giác điều khiển tại điểm đầu và điểm cuối

Những tính chất quan trọng của đường cong B-Spline là:

 Đường cong là đường cong lồi: đường cong nội tiếp với đa giác điều khiển là các đa giác lồi

 Nhìn chung, các điểm kiểm soát không được nội suy

 Các điểm kiểm soát có ảnh hưởng tối đa trong p  1 bộ phận

 Với các vec-to nút mở, điểm điều khiển đấu và cuối được nội suy, và đường cong tiếp tuyến với đa giác điều khiển tại điểm đầu và điểm cuối

 Đường cong C  liên tục giữa hai nút và C p k  liên tục tại nút có knot lặp k lần

 Biến đổi Affline của đường cong B-Spline được thực hiện bằng chuyển đổi giữa các nút điều khiển tương ứng

Hình 7 Đường cong B-Spline và đa giác điều khiển tương ứng

2.2.2.4 Mặt cong B-Splines Để xây dựng mặt cong B-Spline, đầu tiên cần định nghĩa không gian tham số hai chiều xvà h Sau đó xây dựng hai hàm B-Spline cơ bản có bậc p và q:N i p ,   và

M j,q ( )h Mặt cong B-Spline là phép nhân tenor định bởi công thức sau:

Như đã đề cập ở trên, NURBS là viết tắt của Non-Uniform Ration B-Spline Một đường cong NURBS là ánh xạ của đường cong B-Spline được xác định trong không gian thuần nhất d 1 vào không gian vật lý d Các điểm điều khiển có tọa độ trong không gian thuần nhất như sau [18]:

Và đường cong B-Spline như sau:

Chiếu đường cong B-Spline ở không gian thuần nhất d  1 vào không gian vật lí d chiều sử dụng một ánh xạ H, được xác định như [18]:

Trong đó Wi là trọng số của các điểm điều khiển Đường cong NURBS thu được như sau:

Với hàm cơ sở NURBS được mô tả như sau:

Ta có thể biểu diễn đường cong NURBS một cách tổng quát tổng là tổng các tích của hàm cơ sở NURBS với các điểm điều khiển tương ứng:

Nếu trọng số của các điểm điều khiển bằng nhau, phương trình (2.12) trở lại thành phương trình (2.5) Điều này có nghĩa là một B-Spline là trường hợp đặc biệt của NURBS với các trọng số bằng nhau, và tất cả các tính chất của B-Spline đều áp dụng được với NURBS Thuận lợi đáng kể của hàm cơ sở NURBS là nó cho phép biểu diễn một cách chính xác mặt và đường conic Hình 8, thể hiện một hình elip được biểu diễn bằng đường cong NURBS Do đó, NURBS có thể biễu diễn mượt mà các bề mặt tự do, cũng như các bề mặt tuyến tính, góc cạnh hay bề mặt xoắn, nó cũng có thể biểu diễn các bề hình học cơ sở như hình cầu, hình trụ… Đó là lý do tại sao NURBS là một trong các tiêu chuẩn của mô hình hoá CAD

Hình 8 Hình elip được biểu diễn chính xác bằng một đường cong NURBS

Tương tự xây dựng mặt cong B-Spline, không gian tham số hai chiều x và h và hai hàm B-Spline cơ bản có bậc p và q: N i p ,   và M j q ,   được xây dựng Thêm vào đó, trọng số được gán tại mỗi điểm điều khiển Mặt cong NURBS là phép nhân xác định bởi công thức sau:

 (2.13) Trong đó, hàm NURBS cơ bản được xác định như sau:

2.3.3.3 Phương pháp làm mịn trong hình học NURBS

Có hai kỹ thuật cơ bản để nâng cao tính linh hoạt của hình học cơ sơ NURBS đó là thêm knot và nâng bậc Đối với làm mịn thêm knot, khoảng nút được chia thành các khoảng nhỏ hơn bằng cách thêm vào các nút để làm tăng các hàm cơ sở Các nút có thể được thêm vào mà không thay đổi hình học hay tham số đường cong Với mỗi nút thêm vào, thì sẽ có thêm một điểm điều khiển

Hình 9 Làm mịn bằng phương pháp thêm knot 1

  3 (a) dạng hình học ban đầu và (d) hàm cơ bản, (b) – (c) dạng hình học sau làm mịn (e) – (f) và hàm cơ bản tương ứng

Trong phương pháp làm mịn nâng bậc, số khoảng nút vẫn không đổi, nhưng bậc của đa thức cơ sở lại tang Khi bậc đa thức tăng lên, các nút hiện tại được lập lại để cho tính liên tục của các nút này vẫn giữ nguyên Đối với các bề mặt, quá trính làm mịn được thực hiện theo của hai phương tham số  và  một cách độc lập với nhau

Hình 10 Làm mịn bằng phương pháp nâng bậc một đường cong bậc hai: (a) dạng hình học ban đầu và (d) hàm cơ bản, (b)-(c) dạng hình học sau làm mịn (e)-(f) và hàm cơ bản tương ứng Đối với NURBS, thuật toán tương tự có thể được sử dụng, tuy nhiên, nó phải áp dụng hệ tọa độ điều khiển thuần nhất P i w , có nghĩa là B-Spline phải được ánh xạ trong không gian 4 Sauk hi thu được các điểm kiểm soát làm mịn trong không gian ánh xạ, nó sẽ được tham chiếu vào lại trong không gian 3 Các thuật toán cho làm mịn thêm knot và nâng bậc cho đường cong và mặt B-Spline có thể tham khảo trong sách của Piegl và Tiller [16]

Phân tích tấm sandwich bất đối xứng sử dụng phương pháp Đẳng hình học

Vật liệu composite được áp dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp khác nhau từ những kết cấu quy mô lớn như các thân máy bay, vỏ tàu đến các chi tiết đặc biệt của phương tiện vận tải Đặc biệt, tấm hoặc vỏ được ứng dụng rộng rãi và do đó đòi hỏi phải có phương pháp thích hợp để phân tích và thiết kế Ý tưởng sử dụng hàm cơ sở B-Spline hửu tỉ không đồng dạng trong phân tích phần tử hữu hạn đã được trình bày bởi Hughes [18, 24] hay còn gọi là phân tích đẳng hình học Phương pháp này lấp đầy khoảng cách giữa thiết kế hình học dựa trên NURBS [16, 17] và phân tích kết cấu Tính trơn và liên tục cao trong lưới phần tử hữu hạn sẽ cho đáp số chính xác hơn Trong thập kỷ qua, nhiều nỗ lực nghiên cứu được thực hiện để phát triển các phương pháp như kỹ thuật làm mịn toàn phần [18, 24, 25], làm mịn cục bộ [26], các quy tắc cầu phương [27] Phân tích các kết cấu composite bao gồm uốn, dao động, bất ổn định dựa trên phân tích đẳng hình học đã được nghiên cứu rộng rãi

Uốn phi tuyến của tấm sandwich bất đối xứng cũng được tiến hành nghiên cứu trong chương này nhờ áp dụng phương pháp đẳng hình học Phương trình chuyển vị được dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) trong việc xem xét ứng sử toàn phần của các kết cấu Quan hệ biến dạng và chuyển vị von-Karman được sử dụng Phương trình chủ đạo được xây dựng dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo của phương pháp năng lượng Trong khuôn khổ phân tích đẳng hình học, không gian tham số 2 chiều được nhắc đến trong việc xây dựng hình học và mô hình phần tử hữu hạn cũng là một xấp xỉ độ dày

Bề mặt của tấm có thể được tùy ý xác định và sau đó độ dày sẽ được nội suy từ một tập hợp các thông số điều khiển độ dày bằng cách sử dụng hàm cơ sở NURBS Điều này cung cấp một giải pháp linh hoạt trong mô hình hóa trơn bề mặt không đồng dạng trong khi lý thuyết tấm được áp dụng Sự liên tục trong lưới phần tử hữu hạn được có được bằng cách sử dụng các phần tử NURBS bậc hai Giải thuật Newton-Raphson được sử dụng để phân tích hình học phi tuyến Các ví dụ số bao gồm các tấm composite đẳng

42 hướng và nhiều lớp trong điều kiện biên khác nhau được thực hiện Ví dụ độ dày thay được xác định và được kiểm tra ở nhiều biên độ khác nhau để chứng minh khả năng áp dụng cũng như độ chính xác của phương pháp được đề xuất

2.3.2 Phương pháp đẳng hình học cho kết cấu tấm sandwich

Phương pháp đẳng hình học đề xuất bởi Hughes và cộng sự [18] sử dụng hàm NURBS cơ bản để xấp xỉ đồng thời mô hình hình học và hàm nội suy phần tử hữu hạn Phương pháp cho kết quả chính xác hơn khi so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống do lưới phần từ NURBS có bậc liên tục cao hơn Bên cạnh đó, tổng số bậc tự do và khối lượng lượng tính toán giảm đáng kể

Nghiên cứu này xây dựng mô hình phân tích đẳng hình học cho tấm composite – sandwich dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) để xác định chuyển vị của tấm

Trường chuyển vị tại mỗi điểm (x,y,z) được viết: u x y z  , ,  u 0   x y , z 0   x y , u 0   x y , z x  x y ,  x

Mối quan hệ biến dạng – chuyển vị theo lý thuyết von-Karman:

Trong miền phân tích, biến chuyển vị được xấp xỉ như sau:

1 nC i i i nC i i i nC i i i nC x i xi i nC y i yi i u R u v R v w R w

Trong đó nClà số điểm điều khiển { , ,u v w i i i ,  xi , yi } lần lượt là các thành phần chuyển vị và góc xoay của các điểm điều khiển.R i là hàm cơ bản NURBS 2-phương

Trong trường hợp tổng quát, các biến và tham số đầu vào có thể được xấp xỉ theo các tham số khống chế công thức sau:

Trong đó s là biến (hoặc tham số) cần được xấp xỉ trong quá trình tính toán, s i là các tham số điều khiển (ví dụ như chuyển vị, chiều dày,…)

Trong miền phân tích phần tử, phương trình trên có thể viết lại như sau:

Trong đó nCe là số điểm điều khiển trong 1 phần tử s e là biến (hoặc tham số) được xấp xỉ trong miền phân tử và s i e tham số điều khiển xác định bởi phần tử đó R i e là hàm NUBRS cơ bản được tính toán trong vùng không gian tham số định nghĩa phần tử trong không gian vật lý

Thay thế biến chuyển vị vào dạng yếu của phương trình chủ đạo để xây dựng hệ phương trình đại số tuyến tính ta được dạng phương trình phần phi tuyến sau:

  K u     u  F (2.25) Trong đó K u   là ma trận độ cứng trực tiếp của kết cấu của cấu hình ứng với chuyển vị u của các điểm điều khiển, F là vector tải trọng Phương trình trên có thể được biết dưới dạng phương trình phi tuyến sau:

K T   u u R u   (2.26) Trong đó K T là ma trận độ cứng tiếp tuyến, u là độ thay đổi chuyển vị, và R u   là vector tải trọng dư Thuật toán Newton-Raphson được sử dụng để phân tích phi tuyến trong nghiên cứu và được trình bày chi tiết ở mục 2.3.3

2.3.3 Thuật toán phân tích phi tuyến Newton-Raphson

Hình 20 Thuật toán Newton-Raphson

Thuật toán Newton-Raphson (hình 20) được sử dụng để phân tích phi tuyến Diễn

45 giải chi tiết hơn về thuật toán có thể được tham khảo trong sách tham khảo của Reddy [28] Miêu tả sơ lược về thuật toán được giới thiệu ở đây

Vector tải dư R và ma trận độ cứng tiếp tuyến K T tại vòng lặp thứ  r  1  được xác định theo công thức sau:

 (2.28) Trong đó u  r  1  là vector chuyển vị đã biết tại vòng lặp thứ  r  1 , F là vector tải và

K là ma trận độ cứng trực tiếp Độ thay đổi của chuyển vị  u   r tại vòng lặp thứ   r được tính bởi phương trình sau:

Chuyển vị u   r tại vòng lặp thứ   r được tính bởi phương trình sau: u   r  u  r  1    u   r (2.30) Chuyển vị được xác định là hội tụ khi sai số nhỏ hơn 10 -3 và được xác định như công thức sau:

 (2.31) Trong đó u i r là thành phần thứ i của vector chuyển vị u   r ,và N là tổng số bậc tự do

KẾT QUẢ SỐ

Bài toán uốn tuyến tính

Xét một cấu kiện tấm sandwich bất đối xứng ngàm bốn cạnh như hình, chịu uốn bởi tải phân bố đều Xác định độ võng cực đại tại tâm tấm

Hình 22 Mô hình tấm sandwich bất đối xứng

Tấm có các kích thước:

+ Kích thước tấm vuông: aP0mm,

+ Chiều dày lớp vỏ trên: h1=6mm,

+ Chiều dày lớp vỏ dưới: h2 =8mm

+ Chiều dày lớp lõi: hPmm

Tải trọng phân bố đều trên mặt tấm: p=5MN/m 2

Cơ tính của vật liệu composite lớp vỏ trên như sau:

Cơ tính của vật liệu lõi foam như sau:

Cơ tính của vật liệu lớp gỗ như sau:

Lưu ý điều kiện biên là ngàm thì các nút nằm trên các cạnh biên có u = v = w =  x = q y = 0

Với các thông số bài toán như đã cho thì ta có thể nhận thấy đây là một bài toán tính cho tấm sandwich bất đối xứng điển hình, vì ở đây có sự bất đối xứng về cả chiều dày của hai lớp vỏ và vật liệu hai lớp vỏ

Dựa trên kết quả tính toán chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng bằng thuật toán tính trên Matlap và phần mềm PTHH Ansys ta có kết quả như bảng 1

Bảng 1 Kết quả tính toán tấm sandwich bất đối xứng bằng IGA và Ansys

Hình 23 Kết quả tính bài toán uốn tuyến tính bằng phần mềm PTHH Ansys

Qua kết quả bài toán 1 (bảng 1), ta nhận thấy rằng chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng trong hai trường hợp không có sự sai khác quá lớn Điều này chứng tỏ, phương pháp IGA có khả năng tính toán các bài toán uốn của tấm sandwich bất đối xứng

Bài toán uốn phi tuyến

Sau đây là kết quả tính toán chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng có các thông số như trên bài toán 1 Bước tải trọng là p=5 MP/m 2

Công thức chuẩn hóa đơn vị như sau:

Hình 24 Biểu đồ biễu diễn mối quan hệ giữa chuyển vị và tải trọng

Biểu đồ (hình 24), biểu diễn mối quan hệ giữa chuyển vị và tải trong bài toán uốn, qua đó ta nhận thấy chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng chịu uốn là một hàm phi tuyến với tải thay đổi tuyến tính.

Bài toán 3: Xét ảnh hưởng của điều kiện biên đến bài toán uốn

Với các thông tin bài toán uốn như bài toán 1, bài toán 3 xét sự ảnh hưởng của điều kiện biên đối đến chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng

Bảng 2 Ảnh hưởng của điều kiện biên đến chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng Điều kiện biên

Qua kết quả bảng 2, dễ dàng nhận thấy rằng điều kiện biên ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả của bài toán uốn tâm sandwich bất đối xứng Với điều kiện biên ngàm thì tấm sẽ cho chuyển vị là nhỏ nhất, còn điều kiện biện có các cạnh tự do thì chuyển vị sẽ có xu hướng lơn hơn.

Bài toán 4: Xét ảnh hưởng tỷ lệ chiều dài/chiều rộng (a/b) tấm sandwich bất đối xứng

Với các dữ liệu đầu vào bài toán tương tự như bài toán một, với chiều dài tấm vẫn là aP0mm nhưng chiều rộng b thay đổi, tác giã sẽ đi khảo sát sự ảnh hưởng của tỷ lệ a/b đến chuyển vị của tấm sandwich bất đối xứng

Bảng 3 Ảnh hưởng tỷ lệ a/b đến chuyển vị tấm sandwich bất đối xứng a/b

Qua bảng 3, ta dễ nhận thấy rằng tấm có tỷ lệ a/b càng lớn thì chuyển vị của tấm sandwich sẽ càng giảm Kết quả này có thể dùng để tham khảo khi thiết kế