Trong nghiên cứunày, phan tử dam I thang ban bụng lượn sóng hình thang mat cat ngang mot truc đốixứng được thành lập dựa trên lý thuyết dầm cong thành mỏng mặt cắt ngang haitrục đối xứng
DANH MUC BANG BIEU
: Gia tri hệ số động theo CHIU CAO veeccececcssescsseceseeseseeseseeseeseseeseseeeeees 70: Giá trị hệ số theo bề rộng cánh eseseesseseeeseeeeeseeeeen 72: Giá trị hệ số động theo bề dày cánh - 2 2 2 sec 75: Giá trị hệ số động theo chiều dài dầm - ¿225cc 76: Giá trị hệ số động theo vận tốc dẦm se srsesed 79: Gia tri chuyén vị dầm theo Dmax-H cccscsccesessesecsceceseecececeeeeeees 81: Giá trị thay đối chuyển vị lớn nhất giữa các dầm với dam 900mm
ANG T VIET TAT TIENG ANH
FEM Finite Element Method phương pháp phan tử hữu han
FEM-7DOFs-beam-element phan tử dam (phan tử hữu han) mỗi nút 7 bac tự do
FEM-S4R-shell-element phan tir shell (phan tử hữu han) 4 nút sym symmetric đối xứng
TLF Total Lagrangian formulation công thức Lagrangian Tổng
ULF Updated Lagrangian formulation công thức Lagrangian Cap Nhat
CAC KY HIEU SU DUNG TRONG LUAN VAN
TỎNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐÈ
Các dam thép chữ I thăng có bản bụng lượn sóng hình thang (xem hình 1.1 và 1.2) đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều kết cầu khác nhau, đặc biệt là các công trình cầu nước ngoài và các công trình kết cau thép nhà dân dụng từ đầu những năm 1960 tại châu Âu, Abbas HH [3 | trong tương lai chắc chan chúng sẽ được du nhập vào Việt Nam Mặc dù có nhiều dạng lượn sóng của bản bụng khác nhau, chắng hạn có dạng lượn sóng hình sin, nhưng dạng lượn sóng hình thang đang được sử dụng pho biến nhất Sở dĩ các dầm chữ I có bản bụng lượn sóng hình thang nay được ưu tiên trong ứng dụng là vì chúng có nhiều ưu điểm: bản bụng lượn sóng của chúng sẽ thay thé cho tác dụng tong hop của bản bụng phăng (flat web) của dầm chữ I thông thường và các tắm thép gia cường (stiffened steel plates), kết quả làm cho dầm chữ I có bản bụng lượn sóng hình thang cứng hơn khi uốn ngoài mặt phăng, chịu xoắn tốt hơn (Momen tới hạn đàn hồi M,„ khi chịu momen tập trung ở hai đầu dầm của dầm chữ I có bản bụng lượn sóng hình thang lớn hơn 21% đến 29% so với dam chữ I ban bụng phang thông thường, N.D Nguyen et al [4]); giảm giá thành chế tạo dầm do giảm trọng lượng thép (với cùng một khả năng chịu tải trọng tĩnh như nhau, trọng lượng của dầm chữ I có bản bụng lượn sóng nhỏ hơn 10,6% so với dầm chữ I thông thường, Chan CL, Khalid YA, Sahari BB, Hamouda AMS [5]); và tăng tinh thâm mỹ của kết câu Ngoài ra, nhờ có bản bụng lượn sóng mà các dầm chữ I này cải thiện được đặc tính 6n định cat (shear stability) và chong lại hiện tượng mỏi khi chịu tải trọng lặp tốt hơn so với dầm chữ I bản bụng phăng thông thường, Abbas
Mặc dù có nhiều ưu điểm và cũng đã được ứng dụng thực tế nhưng hầu hết các tính toán đều dựa vào các công thức của dầm I có bản bụng phang do thiếu các thông tin về ứng xử phức tạp của nó Vì thế các ưu điểm được trình bày ở trên của dầm I có bản bụng lượn sóng hình thang vẫn chưa được tận dụng một cách triệt đề.
Do đó việc tiêp tục nghiên cứu về ứng xử cua dam I có ban bụng lượn sóng hình thang là hết sức cần thiết.
Bản bụng lượn sóng Sh
Hình 1.1: Mô hình dầm I ban bụng lượn sóng hình thang
1 y a a a - Kích thước mat cat ngang b - Mặt cat dọc một bước lượn sóng
Hình 1.2: a-Kích thước mặt cắt ngang và b-Mặt cat dọc một bước lượn sóng của dầm I bản bụng lượn sóng hình thang
1.2 Những nghiên cứu trước đây
Hiện nay, chưa có công trình khoa học nào nghiên cứu về ứng xử động lực học của dâm chữ I bản bụng lượn sóng hình thang Tất cả các nghiên cứu trước đây đều tập trung vào việc phân tích ứng xử tĩnh học của dầm chữ I này Vì vậy ở đây tác giả cũng xin giới thiệu một vài nghiên cứu về ứng xử tĩnh học của dầm chữ I thang có bản bụng lượn sóng hình thang như sau:
Abbas et al [6,7] đã có hai công trình nghiên cứu về ứng xử uốn trong mặt phăng của ban bụng va ứng xử uốn ngang ra ngoài mặt phang của bản cánh của dam chữ I thăng có bản bụng lượn sóng hình thang dưới tác dụng của tải trọng trong mặt phăng Abbas và các cộng sự đã cho răng, ứng xử uốn của dam chữ I có bản bụng lượn sóng hình thang không thé được giải quyết rõ ràng nếu chỉ sử dụng lý thuyết dầm cô điển Dưới tác dụng của tải trọng trong mặt phăng, luôn luôn xuất hiện momen xoăn, dam chữ I này sẽ bị võng trong mặt phang đông thời với việc xoăn ngoài mặt phẳng Ứng xử uốn trong mặt phăng được giải quyết dựa vào lý thuyết dầm cô điển còn ứng xử xoăn ngoài mặt phăng được phân tích như uốn ngang ra ngoài mặt phăng của bản cánh.
Jongwon Yi, Heungbae Gil, Kwangsoo Youm, Hakeun Lee [8] đã nghiên cứu về ứng xử mat 6n định cat dạng tương tac (Interactive shear buckling behavior) của những bản bung thép lượn sóng hình thang Nghiên cứu cho thay rang dưới tác dụng của ứng suất cắt, các bản bụng thép lượn sóng hình thang sẽ có 3 dang mat ôn định cat khác nhau tùy thuộc vào đặc trưng hình học mặt cắt ngang, đó là: mất 6n định cục bộ (local shear buckling), mat ôn định tong thé (global shear buckling) va mat ồn định dang tương tác (interactive shear buckling) Mat ôn định cục bộ chỉ xảy ra trong phạm vi một bước lượn sóng hình thang (single panel), mất ôn định tong thé xảy ra trên nhiều bước lượn sóng (multiple panel) và mất ôn định dạng tương tác xảy ra trong phạm vi một vài bước lượn sóng (several panel) Mắt 6n định dạng tương tác ứng xử phức tạp nhất và là dạng trung gian của mat 6n định cục bộ và tổng thể Bài báo đã nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số mặt cắt ngang lên cường độ mat 6n định dạng tương tác và dé xuất công thức tính cường độ mat 6n định cắt dạng tương tác.
Lindner [9], Sayed-Ahmed [10], Moon et al [11], đã nghiên cứu vé cường độ mất 6n định xoắn ngang đàn hồi M,, của dầm chữ I thăng có bản bụng lượn sóng hình thang Cả ba nghiên cứu đều xuất phát từ việc xác định hăng số warping(warping constant) Cyc Lindner [9] xác định Cực chủ yếu dựa vào các công thức thực nghiệm Sayed-Ahmed [10] xác định Cyc băng cách thay bản bụng lượn sóng hình thang thành ban bụng phang có chiều dày tương đương, rồi sử dụng các công thức như của dam chữ I bản bụng phang, nhưng ở đây công thức xác định chiều dày bản bụng tương đương lại không có cơ sở lý thuyết cụ thể Moon et al [11] sử dụng phương pháp lực khảo sát sự ảnh hưởng của bản bụng với bản cánh, đề nghị vị trí của tâm cắt, từ đó tính toán hằng số warping Cyc Sau khi tìm được Cyc, ca ba nghiên cứu đều sử dụng chung một công thức dé tính M., Nhược điểm của cả ba nghiên cứu là chưa giải quyết được triệt để đặc trưng hình học của mặt cắt ngang nên chưa thể đưa đến một kết quả đủ chính xác về CC, dẫn đến chưa chính xác về M., Điều này chỉ được giải quyết triệt để dựa vào nghiên cứu của N.D Nguyen et al [4].
N.D Nguyen et al [4] đã nghiên cứu về đặc trưng hình hoc mặt cắt ngang của dầm chữ I thang có bản bụng lượn sóng hình thang và tính toán cường độ mat ôn định xoăn ngang đàn hồi M,, Bài báo đã sử dung các phương trình giải tích dé tìm tọa độ trong tâm, momen quán tính I, va I, theo hai phương x, y, momen quán tính li tâm I,y, tọa độ tâm cắt S (shear center), từ đó tìm được hằng số warping (warping constant) Cục và cuối cùng xác định cường độ mat ôn định xoắn ngang đàn hồi M,„ dưới tác dụng của momen tập trung hai đầu dầm Tiến hành so sánh kết quả M,, tim được bằng giải tích ở trên với kết quả của phương pháp phan tử hữu han (FEM) và các nghiên cứu của các tac giả trước đó (Lindner [9], Sayed-Ahmed [10], Moon et al [11]) về M,,cta dầm chữ I có bản bụng lượn sóng hình thang và cả M,, của dầm chữ I có bản bụng phăng Sau đó kết luận nghiên cứu của bài báo là hợp lý nhất, gan với kết quả của FEM và lớn hơn M,„của dam chữ I có bản bụng phẳng từ 21% đến 29% Ưu điểm rat lớn của nghiên cứu này là lần dau tiên tìm ra được các công thức tong quát cho đặc trưng hình học mặt cắt ngang của dầm chữ I thang có bản bụng lượn sóng hình thang, từ đó tìm được hăng SỐ warping Cyc và cường độ M(,có độ chính xác cao hơn các nghiên cứu trước đó Giới hạn của bài báo ở chỗ chỉ xét tải trọng là momen tập trung ở hai đầu dầm (chưa xét các trường hợp tải phức tap), liên kết chỉ là gối tựa đơn hai đầu dầm và cũng chỉ mới tính M,, trong vùng dan hoi mà chưa xét đến yếu tố phi tuyến vật liệu và phi tuyến hình học Bài báo cũng không dé cập tới yếu tố chuyền vị lớn (large displacement) ảnh hưởng lên ứng xử của kêt cầu như thê nào.
N.D Nguyen et al [12] đã nghiên cứu hệ số hiệu chỉnh momen tác động lên cường độ mat ôn định xoắn ngang M,, Bài báo tập trung khảo sát ảnh hưởng của sự thay đổi vị trí tải trọng tập trung tác dụng tại tâm bản cánh trên, tâm cắt và tại tâm bản cánh dưới với các điều kiện liên kết thay đổi từ gối tựa đơn (simply supported), ràng buộc warping (warping fixed), ràng buộc uốn ngang (lateral bending fixed) và ngàm hoàn toàn (completely fixed) (khác với nghiên cứu N.D Nguyen et al [4] chỉ tập trung vào liên kết gối tựa đơn và chịu momen tập trung ở hai đầu dầm).
N.D Nguyen et al [13] đã nghiên cứu hệ số hiệu chỉnh momen tác động lên cường độ mất ôn định xoắn ngang M,, Bài báo như sự nối tiếp của nghiên cứu N.D.
Nguyen et al [12] chỉ thay đôi ở chỗ khảo sát trường hop tải trọng, tải trọng nghiên cứu trong bai báo này là momen tập trung tác dụng vao hai đầu dầm không băng nhau.
R Sause, T.N Braxtan [14] tập trung nghiên cứu về cường độ chịu cắt của chi phan bản bụng của dầm I bản bụng lượn sóng hình thang Bài báo phát triển một công thức mới về cường độ chịu cắt của bản bụng lượn sóng rồi đem so sánh với các kết quả của các tác giả trước đó Qua một quá trình kiểm tra chặt chẽ đã kiểm tra được tính đúng đắn của công thức mới thành lập.
Gần đây nhất có luận Văn Cao Học của KS.Võ Duy Quang (2013) [15] đã nghiên cứu Tan Số Dao Động Tự Nhiên Dam Chữ I ban bụng lượng song hình thang Đóng góp của luận văn đã đề xuất ra các công thức đơn giản để tiên đoán giá trị tần số đao động tự nhiên dầm I ban bụng lượn song hình thang gối tựa đơn cho 3 dạng dao động ngang và 5 dạng dao động xoắn đầu tiên.
1.3 Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Chuyển vị dầm là một trong những thông tin can thiết khi phân tích động lực học của một kết cấu bất kỳ Chuyển vị của các công trình kết cầu băng thép có sử dụng các dầm thép chữ I bản bụng phăng thông thường và cả dầm I bản bụng lượn sóng hình thang là điều quan trọng, vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng chịu lực của dầm Vì vậy việc hiểu rõ về chuyển vị của dầm sẽ là tiền đề để chúng ta tăng khả năng chịu lực cho dầm, cầu thép hơn.
Như phan trên đã trình bày, đó là những tóm tat sơ lược về tình hình nghiên cứu ứng xử tĩnh học của dâm thép chữ I thắng có bản bụng lượn sóng hình thang.
Các tác giả trước đây thường chỉ tập trung vào khảo sát ứng xử tĩnh của riêng bản bụng lượn sóng, hoặc chỉ tập trung vào nghiên cứu cường độ chịu cắt của bản bụng, hoặc gan đây hơn thì nghiên cứu cường độ mat 6n định xoăn ngang đàn hồi M,, của cả dầm chữ I ban bụng lượn sóng hình thang khi dầm bị mat 6n định xoắn ra ngoài mặt phăng Hầu như tất cả các công trình nghiên cứu về ứng xử tĩnh học của dầm chữ I bản bụng lượn sóng hình thang đều chưa xét đến yếu tố phi tuyến vật liệu, phi tuyến hình học, chuyển vị lớn và cả ứng xử động lực học của nó Vì vậy đề tài này tập trung nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm chữ I bản bụng lượn sóng hình thang là một vần đê hoàn toàn mới và hâp dân.
Ơ SỞ LÝ THUYET
Trong co học kêt câu đê có thê sử dụng được các lời giải toán học, chúng ta cần phải giả định một số giả thiết nhằm làm giảm nhẹ một kết cấu thực trở thành một mô hình phân tích Trong luận văn này, ta sử dụng 5 giả thiết cơ bản sau:
Mat cắt ngang van giữ nguyên hình dang ban đầu trước và sau khi biến dạng.
Chuyển vi là hữu hạn.
Biến dạng cắt do sự thay đổi của ứng suất pháp uốn và ứng suất pháp warping (ứng suất pháp vênh) nhỏ không đáng ké và có thé bỏ qua (giả thuyết Euler — Bernoulli).
Biến dạng cat doc theo mặt trung bình của mặt cắt ngang nhỏ không đáng kế và cũng được bỏ qua.
Chiêu dai của dam lớn hơn rat nhiêu so với kích thước mặt cat ngang.
Hai giả thiết 1 và 5 cần thiết cho lý thuyết dầm — cột một chiều Nếu không có hai giả thiết này, bài toán sẽ trở thành bài toán ba chiều hoặc lý thuyết tắm vỏ Hai giả thiết 3 và 4 được sử dụng để thành lập hàm chuyển vị dọc truc w trong một dạng đơn giản mà không làm mat đi nhiêu sự chính xác của các kêt quả tính toán.
2.1.1 Quan hệ biến dang — chuyền vị Mối quan hệ giữa biến dạng — chuyển vị của một điểm A (X,y.Z) bat kì trong hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz (như hình 2.1) được biểu diễn như sau:
Ou Ov {Oudu ỉvễy Owodw Vy =—t—4+) — + + (2.1-d)
“Oy Ox \ Ax Oy Axdy Ax Oy
Ow Ov |ỉOuễu ỉvễy Owodw 7#„=—==†+—~—+|——+*'——+—— (2.1-e)
Oy oz \Oy oz Oyor Oy &
Oz Ox Ox OZ OxOzZ Ôx &
Trong đó: £¿, £y, €, là những thành phân biến dang dọc trục; Yxys Yy; Yxz là những thành phan biến dang cắt và u, v, w là những thành phan chuyền vị theo trục x,y,z của | điểm A (x,y,z) trên một mặt cắt ngang bat kì. x
Hình 2.1: Hệ trục tọa độ của phan tử dầm
Theo lý thuyết dầm — cột cổ điển: w nhỏ so với u, v vì chiều dài được giả thiết lớn hơn nhiều so với kích thước mặt cắt ngang (giả thiết 5) nên tất cả những dạng phi tuyến bậc cao liên quan đến w và đạo hàm của w đều được bỏ qua Vì vậy mối quan hệ biến dạng — chuyển vị trong những phương trình (2.1) ở trên được giảm xuống trong dạng đơn giản hơn như sau:
_w 8 Ẩ y= Ou Oo Ou Cu „ ov ov (2.2-d) ay a ax ay "Oe oy y= Cu Ou | (22-e) > + dy & +S y= oe (EE Ou ru 4 (2.2-Ð az Ox Oz Ox OZ
2.1.2 huyền vi Những thành phân chuyển vịu, v, w của một điểm A (x ,V„Z) bất kì là hàm của tọa độ x,y,z Bây giờ chúng ta có thể xác định được các hàm chuyển vị này bởi việc sử dụng các giả thiết co bản đã nói ở phan trên Theo giả thiết 1, vì không có biến dạng trong mặt phăng của mặt cat ngang (mặt phăng xy) nên sự diễn tả về mặt toán học của giả thiết 1 được viết như sau: ¢, = Ey = Yxy = 0, nghĩa là:
Ox 2 i Ox Ox | av 1|(@wÝŸ (avy g, ar Ea tere =0 (2.3-b)
Cu „ Ov Ou Ou , ov (2.3-c) ằ"ay axe | Ge By ax dy |
Lời giải của hệ phương trình (2.3) là:
=U, —(y— y,) sin /—(x— x, )U—cos ỉ) (2.4) v=vV+(x—x,)sin B-(y— yạ)(— cos ỉ) (2.5) Với Uo, Vo và là các hang số tích phân khi tích phân theo x,y nên uạ, Vo va § là ham của z Các hang sô tích phân uo, Vo và là chuyên vi theo trục x,y và góc xoay
12 quanh trục z của điêm tham chiêu S Vì vậy các hăng sô tích phan này thường được gọi là “chuyên vi tham chiêu” và sau này có thê được gọi ngăn gọn cho đơn giản là
“hàm chuyên vị” Các hăng sô Xo và yo là tọa độ của điệm tham chiêu S lây đôi với điểm gốc O của hệ trục tọa độ (hình 2.2).
Hinh 2.2: Diém tham chiéu trén mat cat ngang Chuyén vi dọc trục w được tinh toán dựa vào hai gia thiết 3 và 4 Biéu diễn toán học của chúng là:
7„=7„=0 (2.6) Với Yn là biến dang cắt trong mặt phăng z-n và y., là biến dạng cắt dọc theo mặt trung bình trong mặt phăng z-s Hệ trục (n,s) được biểu diễn trong hình 2.2.
Lời giải của phương trình (2.6) cho sự diễn tả của w như sau: w= Wy —(x— xe.)(Hạ cos B+ vụ sin B)—(y— ye (v, cos B—u, sin đ)— ỉ(/') (2.7) Ở đây: o= i pds + @ (2.8)
Trong phuong trinh (2.7) 6 trén wo la chuyén vị dọc trục của mặt cat ngang(như nhau cho tất cả các điểm trên mặt cắt ngang) va Wo được gọi là “chuyển vị dọc trục trung bình” œ là hàm normalized warping va thông số œạ trong phương trình
(2.8) là giá tri của œ tại điểm sốc của mặt cắt D (vị trí s=0) Và giá tri Wy này sẽ bang 0 nếu ta chọn điểm gốc của mặt cắt D trùng với tâm cắt S.
Việc chọn điểm tham chiếu là khá quan trọng vì nó liên quan đến khối lượng tính toán Nếu chúng ta chọn được điểm tham chiếu hop lý sẽ làm giảm đáng ké khối lượng tính toán và có khả năng tạo ra được những phương trình đơn giản, gọn nhẹ Thông thường, trọng tâm C sẽ được chọn lam sốc của hệ trục tọa độ và tâm cắt S sẽ là điểm tham chiếu Tại điểm tham chiếu này chuyển vị ngang được sử dụng như là các chuyền vị tham chiếu.
Như vậy, trong luận văn này, ta chọn hệ trục quán tính chính trung tâm làm hệ trục tọa độ (nghĩa là O = C) và tâm cắt S được sử dụng làm điểm tham chiếu dé tính các chuyền vị ngang, khi đó:
Xc=ÿc =0 (2.9) Mặt khác, để cho việc tính toán trở nên đơn giản hơn nữa, ta chọn tâm cat S làm điểm gốc của mặt cat D dé tinh ham normalized warping œ (D = S), khi đó:
Thế (2.9) va (2.10) vào (2.7) và (2.8), ta được:
W= Wy = x(u, cos / + vụ sin/đ}~ yể„ cos / —u, sin ỉ) — (8`) (2.11)
Nhu vay, chuyén vị doc trục w của một điểm bat kì trong phân tử được biểu diễn thông qua các chuyển vị tham chiếu uo, Vo, Wo, B của tâm cat S và Uo, Vo, Wo, B chỉ phụ thuộc vào z.
M ĐH 0
2.6.5 Thiết lập ma trận canMa trận can tong thé của dầm được tính toán từ lý thuyết Rayleigh [17]:
[C]=a| M |+b| K | (2.132) trong do: a ,0,(W,0, -W,0,)!(@; —@/) (2.133) b=2(„@,—W,@,)!(@; -@ ) (2.134) Hệ số a,b thay đối theo thời gian và phụ thuộc vào sự thay đổi của tân số tự nhiên W,, Wz của dâm tại môi bước thời gian.
2.6.6 Vecto lực tổng thể Véc tơ lực tổng thé tức thời của kết câu cũng phụ thuộc vào thời gian, các phan tử của véc tơ lực tông thé bang 0 ngoại trừ lực nút của phân tử dâm thứ s đang mang vật chuyền động.
{FO} =|0 f+ feo Fes fea fos fee fer fas 0 (2.135) T ƒsị =FGN, (i = 2,4,5,6,7,8); (2.136) trong đó N;(i = 1 — 8) là ham hình dạng.
2.6.7 Phương trình chuyển động cân bang của toàn hệ
Theo phương pháp phân tử hữu hạn, phương trình cân bằng chuyền động của dâm Euler-Bernoulli nhiêu bậc tự do, có cản được viết dưới dạng ma trận sau:
.M |; Cc | | K tương Ứng với ma trận khối lượng, cản, độ cứng tong thé cua hé,
{ZŒ)}; {zŒ)};{zŒ)} tương ứng với véctơ gia tốc, vận tdc, chuyén VỊ, tai tương ứng véctơ ngoại lực tông thé
Giai tri tức thời x,,(t) và s được xác định như sau:
2.6.8 Giải phương trình chuyển động
Phương trình (2.137) được giải băng cách sử dụng phương pháp số Newmark (Chương 3) Tần số tự nhiên không cản và dao động mode của dầm ta tính được khi giải phương trình thuần nhất Trong trường hợp này được:
Lời giải (2.139) z = @e!“t Đạo hàm bậc hai z ta được: Z = —ứ^2@e!*f, Thay z và Z vào (2.139) ta được:
(M — œ?K)@e*t = 0 (2.140) Đây là phương trình thuân nhất, chỉ tồn tại nghiệm khi det(M — w*K) = 0: det(M — w?K) = 0 , i=(1-n) (2.141)
Từ (2.141) xỏc định được n giỏ trị tần số 6+, W, W3, @, Tần số tự nhiờn ứ; là tần số tự nhiờn thứ i, thay w; vào (2.140) ta tớnh được vectơ {@,@ỉa, , Pn} tương ứng.
Vecto ÿ; tương Ứng với tan số tự nhiên thứ i được gọi là mode tự nhiên thứ ¡ hay mode hình dạng i. Đề tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tong thé của toàn hệ thống tại mỗi bước thời gian A£, có thể theo các bước tính sau:
— Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phan tử.
2 Tại thời điểm xác định phan tử s mà vật chuyển động đang đứng, sử dụng công thức (2.138).
3 Xác định giá trị x„(£) vị trí của vật chuyển động phụ thuộc vào thời gian trên phan tử s ( 2.138).
4 Sử dụng giá trị x„(£) mới tính được ở bước 3 thay vào (2.122) để tính toán hàm hình dạng.
5 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phan tử chuyển động Tinh toán ma trận khối lượng, độ cứng tong thé tức thời của toàn hệ băng cách kết noi ma trận khối lượng, độ cứng của từng phan tử dầm va ma trận khối lượng và độ cứng của phan tử vật chuyển động, sau đó ta áp điều kiện biên vào.
Giải phương trình tri riêng tìm các tần số tự nhiên của toàn hệ tại thời điểm ¿z.
6 Tại thời điểm t + At quay lại bước 2.
2.6.9 Sơ đồ khối giải thuật bài toán
Ỷ Nhập các dữ liệu đầu vào của bài toán
+ Các thông số của dầm, vật liệu.
+Các thông số về tải trọng, khối lượng.
Tính toán ma trận khôi lượng, độ cứng của môi phân tử dâm.
Tính toán ma trận khôi lượng, độ cứng, cản
Vv của phan tử chuyền động tại thoi điểm ¿.
Ỷ Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tong
thé tức thời tai thời điểm ứ.
Tính toán véc tơ tải trọng tổng thể tại thời điểm t. q
Giai phuong trinh chuyén động tìm chuyền vi.
Ỷ Lưu kết quả
ƯƠNG 3 P.ƯƠNGP ÁP SỐ
Tính toán dao động kết câu theo phương pháp phân tử hữu hạn dẫn đến hệ phương trình vi phan: mu+cu+ ku = ƒ, (3.1) trong đó: u la véc tơ chuyển vị nút; là ma trận độ cứng; m là ma trận khối lượng quy đổi; c là ma trận cản quy doi; ƒ, là véc tơ tải trọng nút quy đôi Hệ phương trình (3.1) trong trường này là hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Giải hệ phương trình phi tuyên (3.1) theo phương pháp giải tích gặp khó khăn.
Với khả năng ngày càng mạnh của máy tính điện tử, người ta đã chuyên sang hướng tính tích phân trực tiếp hệ phương trình vi phân Các phương pháp gan đúng tính tích phân trực tiếp loại bài toán này hiện dang được sử dụng nhiêu có thé kế đến: phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp Houbolt, phương pháp Newmark, phương pháp Wilson Mỗi phương pháp trong số này déu có các mặt mạnh yếu riêng, tuy nhiên trong luận văn này phương pháp tích phân trực tiép được sử dụng là phương pháp Newmark, đây là phương pháp rất thích hợp cho phân tích phi tuyến bài toán.
Phương pháp tích phân Newmark dựa trên cơ sở giải thiết răng giai tốc tuyến tính giữa hai khoảng thời gian không đối Năm 1959, Newmak giới thiệu phương phỏp tớch phõn từng bước dộ ứiải bài toỏn động lực học kết cõu chụi tải động đất và nô Trong suốt 52 năm qua, phương pháp Newmark đã được ứng dụng dé phân tích động của rất nhiều kết câu công trình thực tế Hơn nữa, nó đã được sữa đối và phát triển bởi các nhà nghiên cứu khác Đề minh họa rõ cách sử dụng của phương pháp tích phân số Newmark, chúng ta xem xét giải phương trình cân băng động học (3.1). u ut
Sử dung trực tiếp chuỗi Taylor ta nhận được hai phương trình cân bang :
, At* | At® ig = Ủy + Atiii + ti; + (3.3) 2
Phuong trinh chuyén vi duoc Newmark cắt bỏ bớt và được viết lại đưới dạng
Wier = tị + Ath, +i; + BAt®*ử" (34) 2 t¿¡ = ủi + Ati; + yAt2u” (3.5)
Nếu giả thiết rằng gia tốc tuyến tính trong bước thời gian, ta có được phương trình: we Hị+1 TỦ
Thay phương trình (3.5) vào phương trình (3.3), (3.4) ta được phương trình Newmark ở dạng cơ bản:
Mịyy = tị + Att; + G— BACH; + BACT Hy (3.7)
Yin, = tị + (1 — yAtti; + yAtiij;,, (3.8) trong đó: hệ so y biêu diễn sự thay đôi tuyên tính cua mức độ anh hưởng gia toc ban đầu và gia toc cuôi đên sự thay đôi van toc Hệ sô B biêu diễn mức độ ảnh hưởng của các gia toc dau và gia tôc cuôi đên chuyên vi.
„ — Giatốc i, — Vận toc " Chuyển vị ut ut bac 2 bac 3 t t+l t t+l t t+]
Hình 3.1: Chuyến động theo sự thay đổi tuyến tính của gia tốc
Tại thời điểm ứ; ta có u = u,, U = ủ¿, = ii,, và theo phương pháp Newmark có thê xác định các đại lượng u = 1!;.1,1 = Uj44,U = Uys, tại thời điêm í;.; như sau:
Afi = fist —Si (3.12) Thế (3.7), (3.11) vào (3.9) va (3.8), (3.11) và (3.10) ta được phương trình:
Au, = ủ; + (1— y)Ati; + yAt(Ai; + ủ) — tị = Atii; + yAtAii, (3.13)
Au; = u; + Atu; + Ẹ — B) (At)*ii; + B(At)? (Ati; + ủ;) — tu;
= Ati; += (At)*ii; + 8(At)?Aii, (3.14)
Chia 2 về phương trình (2.2.13) cho BAt? ta được:
Au, = 2(m) Au, gi antl Tử (3.16)_* a
Thay (3.15) và (3.16) vào phương trình số giai cân bằng:
Ta duoc phuong trinh rut gon: kAu; = Af, (3.18) trong do:
Af, = Af, Tang: 'Jagm+A Z5 =I|£li (3.20)
Giải phương trình (3.18) dé tìm số gia chuyển vi Au; với các thông sô k, m, c đặc trưng tính chat của hệ và w,, ?; tại bước thời gian dau.
Khi đã biết Au; ta có thé tinh Au;, Aii; Sau đó thay các giá trị đó vào (3.9), (3.10), (3.11) dé tính các giá trị u = „+, = d;„;, UW = ;„; Tính các bước tiếp theo sử dụng kết quả vừa tìm được trong bước trước đó làm điêu kiện ban đâu Các bước tính trên sẽ dừng lại khi số bước tính đạt số thời gian yêu câu của bài toán cụ thê.
3.2.1 ac hệ số tích phân của phương pháp Newmark
Thông qua quá trình thiết lập các phương trình (3.15) và (3.16), người ta nhận thay rang hệ số y sẽ điều khiển mức độ cản nhân tạo trong quá trình phân tích từng bước Với việc lay giá trị y=1/2 quá trình cản nhân tạo sẽ được loại bỏ, vì vay Newmark đề nghị lây y=1/2 cho các hệ nhiêu bậc tự do chuẩn mực.
Giữ giá trị y=1/2, lay /đ =1/4, quá trình Newmark (3.15) và (3.16) được rút gọn trở thành biéu thức xác định gia tốc và vận tốc cudi Vì vậy phương pháp Newmark ỉ8 =1/4 cũn gọi là phương phỏp gia tốc trung bỡnh khụng đối.
Trong trường hợp giữ giá trị y=1/2, lay /=1/6 thì xấp xỉ với gia tốc tuyến tính.
Tê unconditional non stable stability
0.0 renee ơ—r—xr— : ẹ Poa) Dee) : ok be deal 8 - Dy BE 1%) 1
Hình 3.2: Biểu đồ ồn định của phương pháp tinh phan Newmark 3.2.2 Van đề chính xác của phương pháp Newmark Độ chính xác của phương pháp tích phân Newmark phụ thuộc vào độ lớn bước thời gian At Có ba yếu tô phải xét khi chọn Ar.
1 Mức độ biến đôi của tải trọng f(t).
2 Độ phức tạp về tính chat phi tuyến của độ cứng và hệ số cản.
3 Chu ky dao động 7 của hệ, với quy luật f(t) tương đối khá đơn giản thi Af phụ thuộc vào 7, thường At < 7⁄10 có thé cho kết quả đáng tin cậy.
3.2.3 ác bước tính toán theo phương pháp Newmark
Bước 1: Tính các giá trị ban đâu 1 Dof= Tổng số bậc tự do của hệ.
2 Tính toán chuyên vi, vận tôc, gia tốc ban dau.
0 0 0 u,= 4 tdof lu, => >dof li,=4 dof
3 Chọn bước thời gian At và các hệ số Newmark B,}.
4 Tinh toán các hang sô tính phan ay = Babe’ đị =F sa = Fae az =——1,a,= 2p —1,a; = At (TS — 1),as = At(1 —y),a; = yAt 1 LÃ 8
Bước 2: Tính toán cho mỗi bước thời gian t=t+At
1 Tính các ma trận K, M, C tai thời điểm t=t+ At
2 Tinh ma tran: f+Af K — tat K+ đ f+Af M+ ad, f+Af C
3 Dua ma tran K_ vê ma trận tam giác trên: vA KT DI
4 Tinh ma trận: f+Af po f+Af t+At t ts ts t+At t ts t ss
P= F+"M(a,ut+a, ut+a,u)t+ “Cla, uta, uta, H)
5 Tinh chuyén vị tại tại thoi điểm ¡+ Ar.
LDIEZ PA Tự — t+ At Ee
6 Tinh gia tốc và van tốc tại thoi điểm /=/+ Ar. t+At ô+ t+At ii = đạ( ` (u—‘u)—a,'u—a,'ii t+ tử — ‘Ut+a,'lita,"” li
3.2.4 Ví dụ số áp dung phương pháp Newmark Đề kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp Newmark khi áp dung cho bài toán động, ví dụ số sau đây được khảo sát: cho hệ hai bậc tự do có m; = m;= 50 kg: c¡C>= 1000 Ns/m; k, = ky = 30000 N/m, 86 liệu bài toán tham khảo [18].
Hình 3.3: Hệ 2 bậc tự do Ấp dụng định luật 2 Newton ta có phương trình: mx, +(c, +c,)x, +(K, +k) x, —6,%, —k,x; =0 (3.6.1)
MX, + CX, +k,X, — CX — kx, = fo (3.6.2)
Sử dung biến đối Laplace (m,s” +(c, +Œ;)s +k, +k,)X,(s) =(c,5 +k, )X,(s) (3.6.3)
(ms +c,s+k,)X,(s) = f,(s)+(c,s +k,)X,(s) (3.64) Xắp xếp (3.6.3) và (3.6.4) ta được: ƒfq(s)+(C¿s®&,) X (s)=
Bai toán dao động của hệ hai bậc tự do được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab cho kết quả sau đây: x10^ impulse Response
Hình 3.4: Phan ứng xung lực của vật mạ
Nhân xét: Từ Đồ thị hình 3.4 thấy rằng sử dụng phương pháp Newmark có kết quả trùng với biến đối Laplace, như vậy áp dụng phương pháp Newmark với bài toán động cho kết quả đáng tin cậy.
TAI TAP TRUNG DI DONG
hee?
T(S) Hình 4.13: Biéu đồ biếu diễn sự thay đổi hệ số động theo chu ky của chiều dài
Hình 4.14: Biéu đồ biểu diễn quan hệ giữa chiều dai và hệ số động lớn nhất hiều dài dầm ệ số động chuyền vị
Bảng 4.4: Giá trị hệ số động theo chiều dài dam
-Theo đồ thị hình 4.13 ta nhận thấy khi chiều dài càng lớn thì hệ số động chuyển vị và chu ky dao động T cũng càng lớn VỊ trí cực đại có xu hướng dịch chuyển về phía bên phải, cùng chiều với chiều chuyển động Điều nay cũng hợp lý vì khi ta tăng chiêu dài thì độ cứng của dâm sẽ giảm đi và ảnh hưởng hiệu ứng của bài toán động đó là nguyên nhân gây ra hiện tượng trên.
-Theo đồ thị hình 4.14 thì hệ số động chuyển vị lớn nhất sẽ quan hệ tỉ lệ thuận với chiều dài dầm theo quy luật hàm số bậc 3.
-Theo bang 4.4, khi chiều dai tăng gấp đôi từ 34m-68m thì hệ số động chuyền vi tăng (1.676-1.188)/1.188H.1%.
Bài toán 7: Khảo sát ánh hưởng của vận tốc tải trọng đối với hệ số động chuyển vị của dầm với Dmax=0.02mm.
Hình 4.15: Biéu đồ biểu diễn sự thay đối hệ số động theo vận tốc
T(S) Hình 4.16: Biéu đồ biểu diễn quan hệ giữa chu kỳ theo vận tốc và hệ số động lớn nhất
Van tốc dam ệ số động chuyền vị V(m/Ss) (DAF)
Hình 4.17: Biểu dé biểu diễn quan hệ giữa vận tốc và hệ số động lớn nhất
Bảng 4.5: Giá trị hệ số động theo vận tốc dầm
-Theo đồ thị hình 4.15 và đồ thị hình 4.16 ta nhận thấy khi vận tốc càng tăng thi hệ số động chuyển vị cũng càng tăng nhưng chu kỳ dao động lại càng giảm và vị trí cực đại có xu hướng dịch chuyển về phía bên trái, ngược chiều với chiều chuyển động.
-Theo đồ thị hình 4.17 thì hệ số động chuyển vị lớn nhất sẽ quan hệ tỉ lệ thuận với vận tốc dam theo quy luật hàm số bậc 3.
-Theo bảng 4.5, khi vận tốc tăng gấp đôi từ 68.1(m/s)-204.3(m/s) thì hệ số động chuyền vị tăng (1.788-1.188)/1.188P.5%.
Bài (oán 8: Khao sát ảnh hướng của Dmax đối với hệ số động chuyền vị
Hình 4.18: Biểu đỗ biểu diễn sự thay đổi hệ số động theo Dmax
Hình 4.19: Biểu đồ biểu diễn quan hệ giữa Dmax và hệ số động lớn nhất
DISPLACEMENT
Hình 4.20: Biêu do biêu diễn ảnh hưởng Dmax đên chuyên vi lớn nhat và chiêu cao
DIFFERENCE OF DISPLACEMENT
HM DMAX=0 MDMAX2 MDMAX5 MDMAX MDMAX5 MDMAX=0.2
Hình 4.21: Biéu đồ biểu diễn quan hệ giữa Dmax và chênh lệch chuyền vị lớn nhất giữa các dầm với dam cao 900 mm
Chiều cao H Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp
Bang 4.6: Gia tri chuyén vi dam theo Dmax-H
Group Chuyén vị lớn nhất tại giữa nhịp
0 0.02 0.05 0.1 0.15 0.2 Group | (1500-900) | 0.30086 | 0.30039 | 0.29522 | 0.27584 | 0.23682 | 0.19062 Group 2 (1400-900) | 0.27903 | 0.27858 | 0.2735 | 0.25456 | 0.2173 | 0.17263 Group 3 (1300-900) | 0.2509 | 0.25049 | 0.24562 | 0.22718 | 0.18246 | 0.15202 Group 4 (1200-900) | 0.2135 | 0.21317 | 0.20874 | 0.19135 | 0.15319 | 0.12531 Group 5 (1100-900) | 0.16282 | 0.16262 | 0.15884 | 0.1489 | 0.10884 | 0.08783 Group 6 (1000-900) | 0.09224 | 0.0922 | 0.08935 | 0.087 0.0607 | 0.0477
Bang 4.7: Giá trị thay đổi chuyền vị lớn nhất giữa các dam với dam 900mm
-Theo đồ thị hình 4.18 ta nhận thay khi Dmax cang tang thi hé SỐ động chuyển vị càng giảm Vị trí cực đại có xu hướng dịch chuyên về phía bên phải, cùng chiều với chiêu chuyên động.
-Theo đồ thị hình 4.19 thì hệ số động chuyển vị lớn nhất sẽ quan hệ tỉ lệ nghịch với Dmax theo quy luật hàm số bậc 3.
-Theo đồ thị hình 4.20 ta nhận thấy khi chiều cao dam H00 mm thì chuyển vị của dam thay đổi không đáng kể Chuyển vị dầm thay đổi tăng dan khi giảm chiêu cao dâm.
-Theo đồ thị hình 4.20 va bang 4.6 ta nhận thay khi chiều cao dầm càng lớn thi sự ảnh hưởng của Dmax đến chuyên vị của dầm là không lớn lắm Với Dmax