Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số chiều dày tấm, vận tốc của tải di động, độ cứng nền phi tuyến và khối lượng nền đến ứng xử động của tấm.. Cuối cùng, các ví dụ số được thực hiện nh
GIỚI THIỆU
ĐẶT VẤN ĐỀ
Ứng xử động của tấm trên nền chịu tác động của tải di động hay khối lượng di động là vấn đề kỹ thuật rất quan trọng trong thiết kế kết cấu mặt đường giao thông như đường ô tô cao tốc, đường băng trong sân bay… Đây là một mô hình có ứng dụng thực tiễn, do đó thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới Cùng với sự phát triển vượt bậc của ngành kỹ thuật giao thông, để rút ngắn thời gian vận chuyển nên tốc độ di chuyển của các loại hình giao thông ngày càng được tăng cao Nhiều vấn đề kỹ thuật mới được nảy sinh từ đó, đòi hỏi các mô hình phân tích phản ánh đúng ứng xử thực tế của hệ kết cấu Đối với một số loại đất, khối lượng di động với tốc độ cao có thể gây ra rung động có biên độ cao hơn nhiều lần so với độ võng do tải tĩnh Những rung động này có thể làm hư hỏng các kết cấu đỡ và ảnh hưởng nghiêm trọng đến sự thoải mái cũng như an toàn của người sử dụng Do đó, phân tích tiền kỹ thuật phải chính xác để ngăn chặn các tai nạn và rủi ro trước khi đưa vào ứng dụng Chính vì vậy, đề tài này vẫn còn là một lĩnh vực có sức hấp dẫn lớn đối với các nhà nghiên cứu
Trong một vài thập kỷ gần đây, nhiều mô hình lý thuyết sử dụng để phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi đã được công bố Lý thuyết Kirchoff hoặc lý thuyết Mindlin được sử dụng phổ biến cho phân tích ứng suất và biến dạng của phần tử tấm trong các mô hình lý thuyết này Nhiều loại vật liệu khác nhau, trong đó có những loại vật liệu mới như là tấm nhiều lớp, vật liệu nano… cũng được đưa vào mô hình để nghiên cứu ứng xử động với mong muốn tìm được ứng dụng thực tiễn của chúng trong lĩnh vực này Tải trọng ngoài tác dụng lên tấm cũng được mô phỏng bằng nhiều sơ đồ khác nhau dưới dạng tải tập trung, khối lượng tập trung, khối lượng dao động, hệ khối lượng dao động…có vận tốc không đổi hoặc thay đổi theo thời gian
Liên quan đến khía cạnh nền đất bên dưới, mô hình nền Winkler được Winkler đề xuất vào năm 1867 là một mô hình cơ bản nhất được ứng dụng rộng rãi trong phân tích ứng xử của kết cấu trên nền Trong mô hình này, độ cứng nền tuyến tính được xem như là một lò xo đàn hồi có quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính Điều này có thể thấy rằng, mô hình nền Winkler rất đơn giản và đã có nhiều nghiên cứu ứng xử của kết cấu trên mô hình nền này, nhưng một trong những thiếu sót quan trọng nhất của mô hình nền Winkler đó là chuyển vị xuất hiện một cách không liên lục giữa phần chất tải và phần dỡ tải của bề mặt nền trong khi đó bề mặt nền đất không cho thấy bất kỳ sự gián đoạn nào trong thực tế Để khắc phục sự thiếu sót của mô hình nền Winkler, một vài mô hình nền khác cũng được thiết lập nhưng chưa kể đến khối lượng nền để mô tả ứng xử gần với thực tế hơn của kết cấu trên nền như Filonenko-Borodich (1940), Hetenyi (1946), Pasternak (1954) và Vlasov and Leontiev (1960), Kerr (1964) Nền hai thông số Pasternak là điển hình trong số đó và được sử dụng rộng rãi nhất, hệ số cắt Pasternak trong mô hình này kể đến biến dạng do cắt gây ra và lò xo đàn hồi Winkler, chính nhờ lớp cắt này mà biến dạng của bề mặt nền đảm bảo liên tục
Mô hình đơn giản nhất của kết cấu trên nền thường dựa trên mô hình nền tuyến tính Winkler Tuy nhiên, dưới tác động của tải trọng động, kết cấu đỡ thường bộc lộ ứng xử phi tuyến ở mức độ cao, bởi vì đặc tính cứng hóa của đá ba lát, được chỉ ra bởi Dahlberg [27] Mô hình nền phi tuyến với độ cứng tuyến tính và phi tuyến bậc ba đã được nhận thấy rộng rãi như là một trong những mô hình đáng tin cậy và thuận lợi cho việc phân tích ứng xử động của đường ray Thêm một số tài liệu gần đây nữa, thậm chí có rất nhiều nghiên cứu mới 2017, 2018 [28 đến 36]
Trong tất cả các mô hình nền này, nền được quan điểm không có khối lượng và ảnh hưởng của khối lượng nền trong ứng xử của kết cấu được bỏ qua Trong thực tế, nền có khối lượng riêng, do đó ảnh hưởng của khối lượng trong ứng xử động của kết cấu là luôn luôn xuất hiện trong suốt quá trình dao dộng của kết cấu Do đó, ứng xử động của kết cấu trên nền nên được xem xét đến sự hiện diện của khối lượng nền Từ đó, T.P.Nguyen et al [37, 38] đã đề xuất một mô hình nền mới gọi là “Mô hình nền động lực học phi tuyến” (Nonlinear dynamic foundation model) bao gồm lò xo phi tuyến Winkler, lớp cắt của Pasternak, hệ số cản nhớt và xem xét đến khối lượng nền
Luận văn này tiếp tục phát triển theo hướng nghiên cứu trên, dùng chính là mô hình nền động lực học phi tuyến trên để phân tích ứng xử động của tấm Mindlin trên nền phi tuyến chịu tải di động và có kể đến ảnh hưởng của thông số khối lượng nền như Hình 1.1 từ đó rút ra các nhận xét và kết luận hữu ích
Hình 1.1 Mô hình bài toán khảo sát
Qua các phân tích trên cho ta thấy rằng đề tài của luận văn này có ý nghĩa thực tiễn và phù hợp với xu hướng hiện nay h x
Khối lượng neàn, m f Cản nhớt, c f Lò xo phi tuyến đàn hồi, k l và k nl
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu ứng xử động của tấm trên nền phi tuyến chịu tải di động có xét đến khối lượng nền Để thực hiện được mục tiêu này, các nội dung công việc được tiến hành như sau:
Thiết lập các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản, vectơ tải trọng ngoài theo phương pháp phần tử hữu hạn
Thiết lập phương trình chuyển động cho hệ có ứng xử phi tuyến của lực đàn hồi và chuyển vị để giải bằng phương pháp số
Xây dựng chương trình tính bằng phần mềm MATLAB, thuật toán của chương trình sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình và phương pháp lặp Newton Raphson hiệu chỉnh trong từng bước thời gian
Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng các ví dụ kiểm chứng
Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số chiều dày tấm, vận tốc tải di động, độ cứng nền phi tuyến và khối lượng nền đến ứng xử động của tấm
Đưa ra các nhận xét và đánh giá khách quan từ đó rút ra kết luận.
PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN
Luận văn này được thực hiện theo hướng nghiên cứu lý thuyết và phân tích kết quả thu được từ chương trình tính toán được lập trình bằng phần mềm MATLAB
Mô hình kết cấu được rời rạc dựa trên phương pháp hữu hạn Phương trình chuyển động được thiết lập theo nguyên lý cân bằng động học dưới dạng phương trình Lagrange, phương trình này được rời rạc hóa theo thời gian để giải bằng phương pháp Newmark gia tốc trung bình kết hợp phương pháp lặp Newton Raphson hiệu chỉnh trong từng bước thời gian Kết quả của bài toán từ chương trình được khảo sát bằng phương pháp đồ thị
Nội dung của Luận văn bao gồm 5 chương được tóm tắt như sau
Chương đầu tiên giới thiệu sơ lược về đề tài, phân tích các mô hình nền và lựa chọn đề tài Nêu ra mục tiêu của luận văn và phương pháp thực hiện
Chương 2 trình bày những nghiên cứu đã có liên quan đến đề tài, nội dụng được biên soạn dựa trên tham khảo các bài báo, tạp chí, luận văn, báo cáo khoa học trong và ngoài nước
Chương 3 trình bày các cơ sở lý thuyết của mô hình bài toán Lý thuyết Mindlin, mô hình động lực học của nền phi tuyến có xét đến khối lượng nền được đề cập Cách thức thiết lập các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản, vectơ tải trọng ngoài theo phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử đẳng tham số Q4 Cách thiết lập phương trình chuyển động và rời rạc theo thời gian để giải bằng phương pháp Newmark và phương pháp lặp Newton Rapshon cũng được đề cập rõ
Chương 4 trình bày các kết quả thu được từ chương trình tính toán được lập trình bằng phần mềm Matlab dựa trên cơ sở lý thuyết của chương 3 Các ví dụ kiểm chứng được tiến hành để kiểm tra sự hội tụ và độ tin cậy của chương trình Bên cạnh đó, các kết quả và đồ thị khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số đến ứng xử động của tấm được trình bày
Chương 5 trình bày các nhận xét, đánh giá khách quan từ đó rút ra kết luận và đưa ra hướng phát triển của đề tài
Cuối cùng, danh mục tài liệu tham khảo và mã nguồn chương trình tính của luận văn bằng ngôn ngữ Matlab được thể hiện trong phần phụ lục
TỔNG QUAN
GIỚI THIỆU
Sơ lược về các nghiên cứu đã được công bố trên các tạp chí quốc tế và trong nước liên quan tới đề tài luận văn được trình bày trong chương này, theo trình tự từ xa đến gần về thời gian Mô hình bài toán, phương pháp giải và kết quả đạt được của các nghiên cứu được đề cập một cách tóm tắt cho ta một cái nhìn khái quát hơn về tình hình nghiên cứu hiện nay liên quan đến đề tài này.
TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU Ở NƯỚC NGOÀI
Ứng xử của kết cấu chịu tải di động là bài toán rất phổ biến trong kỹ thuật và thực tế Ảnh hưởng của tải di dộng tác động lên kết cấu chưa được nhận ra cho tới giữa thế kỷ 19 Có thể nói rằng vụ sập cầu Stephenson bắt qua sông Dee ở Chester nước Anh vào năm 1847 làm cho các nhà nghiên cứu quan tâm đến bài toán tải di động Stoke được ghi nhận là người nghiên cứu đầu tiên và định hình cho phân tích bài toán tải di động Bài toán tải di dộng sớm nhất là về cầu đường ray chịu kích động bởi tàu chạy, trong bài toán này, tải di dộng dịch chuyển cơ bản theo đường thẳng Các vấn đề nêu trên được H Ouyang [1] đề cập trong một bài tóm tắt tổng quan về các bài toán động lực học của tải di động
Có thể thấy rằng, ứng xử động của tấm là phức tạp hơn dầm, lý thuyết tính toán cũng phức tạp hơn Do đó, các nghiên cứu về ứng xử động của tấm được phát triển sau Vào năm 1969, Leissa [2] đã phát hành một tài liệu chuyên khảo về dao động của tấm, tài liệu này có ý nghĩ to lớn nhằm thu hẹp khoảng trống về kiến thức và thông tin giữa các tài liệu nghiên cứu được công bố với người đọc Tài liệu này tập hợp toàn diện các kết quả hiện hữu về tần số và dạng dao động của dao động tự do của tấm, và một bảng tóm tắt tất cả các kết quả đã biết được cung cấp cho nhà nghiên cứu trong lĩnh vực rung động của tấm Sau đó, Leissa [3] đã công bố kết quả giải tích tổng hợp và chính xác cho dao động tự do của tấm chữ nhật Hai mươi mốt trường hợp có được từ các tổ hợp có khả năng của điều kiện biên ngàm, tựa đơn, tự do Phương trình đặc trưng chính xác được xác định cho sáu trường hợp có hai cạnh đối diện tựa đơn Phương pháp Ritz được sử dụng với 36 số hạng bao gồm tích của các hàm liên hợp để giải cho 15 trường hợp còn lại Thông số tần số chính xác được trình bày cho các tỷ lệ cạnh cho các trường hợp
Với một số kết cấu phức tạp, thì phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng phổ biến hơn Yang [4] đã phát triển phương pháp lặp kết hợp ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn và kỹ thuật phương pháp sai phân hữu hạn chuẩn để phân tích tấm trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng tổng quát và điều kiện biên bất kỳ Kết quả thu được từ chương trình được xây dựng bằng máy tính cho thấy kết quả tương đồng với phương pháp giải tích Michael et al [5] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để khảo sát phản ứng dao động của tấm trên nền đàn nhớt có điều kiện biên bất kỳ chịu tải di động Lý thuyết tấm mỏng được áp dụng cho phần tử tấm và tải trọng không có điều kiện giới hạn được mô phỏng bằng khối lượng dao động Với giả thiết là khối lượng di động và tấm là tương tác hoàn toán không có hiệu ứng nảy Theo ông, phương pháp này có thể áp dụng cho trường hợp khối lượng di động tổng quát và cũng như tải di động đơn giản và bài toán tĩnh Kết quả chỉ ra rằng có ba vùng tần số cần nghiên cứu: vùng dưới tới hạn, vùng tới hạn và vùng trên tới hạn Độ võng động học tùy thuộc vào từng vùng Khối lượng quán tính của xe thì được thấy ảnh hưởng rõ ràng hơn ở vùng thứ ba, ở nơi mà độ võng có ứng xử giống như dạng sóng
Irschik et al [6] đã phân tích dao động tấm Minlin trên nền Pasternak chịu tải, tấm được tựa đơn 4 cạnh bằng phương pháp Advanced BEM sử dụng hàm Green
Kobayashi et al [7] đã phân tích tấm chữ nhật trên nền Winkler dựa trên cơ sở lý thuyết tấm dày Mindlin Tấm được tựa đơn 2 cạnh đối điện và hai cạnh còn lại có biên tựa bất kỳ Phương pháp giải tích dựa dạng chuỗi đơn của Levy Kết quả độ võng và ứng suất tại một số điểm chính của tấm cho thấy sự khác biệt chính giữa lý thuyết tấm Mindlin và lý thiết tấm mỏng cổ điển
Hình 2.1 Mô hình nghiên cứu và kết quả của Michel et al
Gbadeyan [8] đã phân tích động lực học tấm tựa đơn trên nền Pasternak chịu tác động của một số lượng khối lượng tập trung di động bất kỳ bằng phương pháp tích phân biến đổi chuỗi Fourier kép dạng hàm sin, phương pháp gần đúng này cho thấy chuỗi hội tụ một cách nhanh chóng Kết quả nhận được cho thấy rằng vận tốc tới hạn của hệ tăng lên tương ứng với sự gia tăng độ cứng của nền Vận tốc tới hạn này lớn hơn khi tấm không tựa trên nền đàn hồi Cùng một tần số dao động riêng, vận tốc tới hạn của tấm chữ nhật trên nền Pasternak chịu tải di động lớn hơn so với tấm cùng loại trên cùng loại nền chịu khối lượng di động Biên độ phản ứng động của tấm giảm khi tăng độ cứng nền Winkler hoặc độ cứng lớp cắt Pasternak
Vallabham et al [9] đã dùng mô hình số sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán tấm trên lớp đất cứng, mô hình được phát triển bởi Vlasov and Leont’ev được tinh chế sử dụng nhiều nguyên lý khác nhau Dựa trên nghiên cứu của Vallabhan, Celik et al [10] phát triển phương pháp lặp để phân tích tấm trên nền Pasternak sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, từ đó chuyển vị, momen uốn, momen xoắn của tấm và ứng suất cắt của đất được tính toán Tương tự hai mô hình trên, Buczkowski et al [11] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích tấm
Mindlin trên nền Pasternak chịu tải kết hợp với các điều kiện biên khác nhau Tiếp đó, Buczkowski et al [12] đã phát triển mô hình này để phân tích tấm dày trên nền Pasternak có xét đến đặc điểm không chịu kéo của nền
Liew et al [13] đã công bố một bộ tổng hợp các tần số dao động riêng chính xác cho tấm dày Mindlin được đưa ra cho 21 điều kiện biên bao gồm tất cả tổ hợp có khả năng của biên ngàm, biên tựa đơn, biên tự do Phương trình năng lượng được suy ra từ lý thuyết tấm Mindlin được cực tiểu hóa sử dụng phương pháp Rayleigh- Ritz điều đó dẫn tới phương trình trị riêng chủ đạo Bộ tần số dao động riêng này được trình bày cho một phạm vi rộng về khía cạnh tỷ lệ cạnh và tỷ lệ chiều dày tương đối cho từng điều kiện biên cụ thể Kết quả nghiên cứu được so sánh với các giá trị được công bố trước đó Xiang et al [14] đã giới thiệu phương pháp gần đúng để phân tích bài toán dao động của tấm chữ nhật Mindlin trên nền Pasternak có ứng suất ban đầu và tựa đơn bốn cạnh
Kim et al [15] đã khảo sát tấm dài vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải tập trung di động và tải di dộng điều hòa Sau đó, Kim et al [16] phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn nhớt Winkler chịu tải trục xe tandem di động Phương pháp Fourier biến đổi ba cho tải di động với cường độ bất kỳ, và phương pháp Fourier biến đổi đôi cho tải điều hòa Kết quả phân tích xem xét đến độ cản nhớt của nền cho thấy sự khác biệt đáng kể đối với kết quả của nền đàn hồi Đồng thời, sự biến thiên biên độ của tải do độ gồ ghề của mặt đường và sự khác biệt pha của trục trước và trục sau làm cho độ võng và ứng suất của tấm lớn hơn
Freyba [17] đã mô tả rất nhiều bài toán cơ bản cho dầm và tấm chịu tải di động và một số phương pháp giải tích để giải quyết bài toán trong cuốn sách được ông biên soạn
Hình 2.2 Mô hình, ảnh hưởng của vận tốc và cản nhớt của Kim et al
Huang et al [18] đã phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi Winkler chịu tải di động có gia tốc bằng phương pháp dải hữu hạn Ông đã khảo sát ảnh hưởng của vận tốc ban đầu, gia tốc và vị trí ban đầu của tải, kết quả cho thấy rằng vận tộc ban đầu và gia tốc có ảnh hưởng đến ứng xử động của tấm Ứng xử của tấm xa biên tựa giống như tấm dài vô hạn Huang et al [19] cũng sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích tấm trên nền đàn hồi chịu tải di dộng Phương pháp số sử dụng phương pháp Wilson- để tích phân gián tiếp Kết quả cho thấy rằng độ cứng nền, vận tốc và tần số của tải di động có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động của tấm và vận tốc cộng hưởng Một vài khám phá của Huang có thể sử dụng trong ứng dụng thực tiễn
Zhou et al [20] đã khảo sát đặc điểm dao động tự do của tấm chữ nhật trên nền đàn hồi Pasternak dựa trên lý thuyết ba chiều, tuyến tính và biến dạng nhỏ
Phương pháp Ritz được sử dụng để tìm phương trình trị riêng của tấm bằng cách bổ sung năng lượng biến dạng của tấm với thế năng của nền đàn hồi, phương pháp này cũng phù hợp với tấm chữ nhật có điều kiện biên bất kỳ Sự hội tụ và kiểm chứng được tiến hành cho tấm vuông trên nền đàn hồi có điều kiện biên bất kỳ Kết quả cho thấy rằng phương pháp này cho tốc độ hội tụ nhanh chóng, các phép toán số học ổn định và có độ chính xác rất cao Khảo sát các thông số khác nhau như tỷ lệ
Rigid Pavement Flexible Pavement chiều dày-nhịp và độ cứng nền đến ứng xử động của tấm ngàm cũng được tiến hành
Ferreira et al [21] đã phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm chữ nhật Mindlin trên nền Pasternak sử dụng phương pháp hàm bán kính cơ sở (radial basis function) với điều kiện biên bất kỳ Kết quả đạt được cho thấy phương pháp này cho chuyển vị và ứng xuất có độ chính xác cao, cũng như là tần số dao động riêng và dạng dao động
Mohebpour et al [22] đã sử dụng mô hình phần từ hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để khảo sát ứng xử động của tấm ghép nhiều lớp (laminated composite plate) chịu khối lượng dao động Khối lượng dao động được mô hình bao gồm hai điểm khối lượng được nối bởi hệ lò xo có cản Phương trình chuyển động của hai hệ thống con được tích hợp một cách riêng biệt bằng cách áp dụng phương pháp tích phân trong miền thời gian của Newmark Sau đó, các phương trình đó được ghép đôi và phản ứng toàn bộ hệ được tính theo từng bước thời gian Sự chính xác của thuật toán được kiểm chứng bởi các kết quả số của phân tích tĩnh, dao động tự do và tải di động đơn giản với những kết quả chính xác hiện hữu và các kết quả trong các tài liệu khác Bên cạnh đó, ảnh hưởng của tỷ lệ khối lượng, hệ số cản của hệ, độ cứng của hệ treo, vận tốc và sự lệch tâm di chuyển của khối lượng dao dộng đối với ứng xử động được nghiên cứu Thuật toán này có thể được áp dụng cho các điều kiện biên, sơ đồ tấm ghép và góc của thớ khác nhau
TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC
Phân tích ứng xử động của kết cấu trên nên được quan tâm nhiều ở Việt Nam trong những năm gần đây Một số luận văn cao học ngành xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp tại trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh cũng đã giải quyết một số bài toán liên quan ứng xử động của dầm hoặc tấm trên nền phi tuyến điển hình như:
Cường [39] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động Nghiên cứu này đã lựa chọn được mô hình cụ thể để mô phỏng cho bài toán thực tế, biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm Mindlin Thuật toán dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn và phương trình hệ thống được giải bằng ứng dụng qui trình tích phân thời gian của Newmark
Kết quả cho thấy rằng ứng xử động của tấm trong trường hợp khối lượng di động luôn lớn hơn tải di động, sự kể đến khối lượng trong phân tích kết cấu chịu tải trọng xe di động đang trở nên hệ số cần thiết
Lâm [40] đã phân tích ứng xử của tấm phân lớp chức năng trên nền đàn nhớt chịu tải di động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết Mindlin Đặc tính cơ học của tấm được giả thiết là biến đổi liên tục theo phương chiều dày bởi dạng định luật lũy thừa đơn giản Xe được mô hình bằng hệ dao động bao gồm hai khối lượng tập trung tại nút và được nối với nhau bằng một lò xo có cản Các mô hình xe khác như tải di động, khối lượng di động, dầm treo tuyệt đối cứng di động cũng được phân tính và so sánh Phương trình chuyển động được thiết lập dựa trên định lý Hamilton và phương pháp Newmark được sử dụng để giải phương trình Ảnh hưởng của thông số nền, sự phân bố vật liệu, chiều dày tấm và xe di động đến ứng xử động của tấm được nghiên cứu Kết quả cho thấy, sự phân bố vật liệu ảnh hưởng đáng kể đến dao động và ứng suất bên trong tấm
Bên cạnh đó, cũng có nhiều luận văn khác phân tích ứng xử động của đường ray, độ cong thanh ray và độ nảy bánh xe tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Các luận văn liên quan đến tấm dày Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải di động, hoặc có kể thêm lực thắng… sử dụng phương pháp phần tử chuyển động cũng đã được tiến hành Một số nghiên cứu cũng được đăng trên tạp chí trong nước
Tuy nhiên, về nền phi tuyến thì chưa có nhiều nghiên cứu được tiến hành ở Việt Nam Quang [41] đã phân tích phản ứng động của dầm phân lớp chức năng (functionally graded material, FGM)tựa trên nền phi tuyến chịu tải trọng điều hòa di động Trong mô hình này, đặc trưng vật liệu của dầm được giả thiết thay đổi liên tục theo hướng chiều cao của dầm theo quy luật hàm mũ và ứng xử của nền được mô tả dựa trên mô hình nền phi tuyến Khi này, phương trình động lực học của hệ kết cấu bao gồm dầm FGM và nền phi tuyến chịu tải trọng điều hòa di động được thiết lập dựa trên phương trình Lagrange và lý thuyết dầm Timoshenko Đồng thời, lời giải của phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu dầm FGM được giải bằng phương pháp Newmark kết hợp với phương pháp Newton–Raphson trong từng bước thời gian Từ đó, sự ảnh hưởng của quy luật phân bố của vật liệu, vận tốc tải trọng, tần số lực kích thích và các thông số của nền phi tuyến lên đáp ứng động của dầm FGM được phân tích chi tiết trong bài báo này Qua các kết quả số cho thấy, các thông số độ cứng và cản nhớt của nền phi tuyến ảnh hưởng rất lớn đến độ cứng chống uốn và khả năng tiêu tán năng lượng của hệ dầm FGM trên nền phi tuyến, từ đó, góp phần làm giảm chuyển vị của dầm Đồng thời, các hệ số phân bố vật liệu, các thông số tải trọng như vận tốc và tần số lực kích thích cũng cho thấy ảnh hưởng rất lớn đến ứng xử động của dầm FGM.
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Qua tình hình nghiên cứu ở nước ngoài và trong nước, ta thấy đã có rất nhiều nghiên cứu về phân tích tĩnh, dao động tự do và ứng xử động lực học của tấm và dầm trên nền có thể tóm tắt lại như sau
Đối với dầm được mô hình sử dụng lý thuyết Euler-Bernoulli hoặc Timoshenko, đối với tấm được mô hình sử dụng lý thuyết Kirchoff hoặc Mindlin Vật liệu phân lớp chức năng (FGM) cũng được quan tâm nghiên cứu
Các khảo sát về các thông số khác nhau như độ cứng, kích thước hình học, thông số vật liệu được tiến hành cho thấy ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động của tấm
Tải trọng di động trên kết cấu được mô phỏng bằng nhiều sơ đồ khác nhau như tải di động, khối lượng trập trung di động, hệ dao động, hệ khối lượng dao động… Từ đó các thông số khác nhau của vận tốc di chuyển, tỉ số khối lượng, độ cứng của hệ treo và hệ số cản được khảo sát cho thấy ảnh hưởng đáng kế đến ứng xử động của kết cấu trên nền
Nhiều mô hình nền khác nhau như Winkler, nền hai thông số Pasternak, nền phi tuyến, hoặc các mô hình nền có xét đến cản của nền được sử dụng Sự ảnh hưởng của các thông số khác nhau như độ cứng nền tuyến tính, độ cứng nền phi tuyến, độ cứng lớp cắt, hệ số cản được khảo sát cũng cho thấy ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị Tuy nhiên, trong tất cả các mô hình này đều dựa trên quan điểm nền không khối lượng và bỏ qua ảnh hưởng của khối lượng nền trong ứng xử động của kết cấu Để khắc phục hạn chế này, mô hình nền có xét đến khối lượng nền và kể đến ảnh hưởng của nó trong suốt quá trình dao động của kết cấu cũng đã được đề xuất
Phương trình chuyển động cũng được thiết lập dựa trên nguyên lý cân bằng động lực học Các phương pháp khác nhau được sử dụng để rời rạc róa phương trình vi phân chuyển động như phương pháp Galerkin và được giải bằng phương pháp Runge-Kutte, bên cạnh đó, phương pháp phần tử hữu hạn hoặc phương pháp phần tử di động sử dụng phương pháp tích phân trong miền thời gian Newmark cũng được sự dụng phổ biến
Từ đó, ta dễ dàng nhận thầy rằng đề tài của luận văn “phân tích động lực học tấm trên nền phi tuyến chịu tải di động có xét đến khối lượng nền” là một đề tài hoàn toàn mới, có ý nghĩa thực tiễn và chưa có bất kỳ một nghiên cứu nào trên thế giới và trong nước được công bố
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
GIỚI THIỆU
Chương này trình bày lý thuyết liên quan đến đề tài “Phân tích động lực học tấm trên nền phi tuyến chịu tải di dộng có xét đến khối lượng nền”, đó là lý thuyết tấm Mindlin và mô hình động lực học nền phi tuyến có xét đến khối lượng nền Từ đó, xây dựng các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản, vectơ tải ngoài theo phương pháp phần tử hữu hạn Phương trình chuyển động được thiết lập dựa trên nguyên lý cân bằng động lực học Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange, phương trình này được giải bằng phương pháp số, do đó phương pháp Newmark gia tốc trung bình và phương pháp lặp Newton Raphson hiệu chỉnh sử dụng cho hệ kết cấu có ứng xử phi tuyến của lực đàn hồi và chuyển vị được đề cập.
LÝ THUYẾT TẤM MINDLIN 1 Khái niệm
Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều dày h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của hai phương còn lại Tấm có thể được phân loại như sau:
Tấm theo giả thiết Kirchhoff còn được gọi là tấm mỏng nếu 1 1
B và có độ võng max
4 w h Đa số kết cấu trong xây dựng đều thuộc loại tấm mỏng
Tấm theo giả thiết Mindlin còn được gọi là tấm dày nếu 1
Trong trường hợp tấm mỏng có độ võng lớn max
4 w h thì các ứng suất do uốn bị ảnh hưởng nhiều bởi các ứng suất kéo hay nén tương đối lớn trong mặt phẳng trung bình thì được phân loại là tấm có chuyển vị lớn (hay lý thuyết màng)
Lý thuyết tấm mỏng được Kirchhoff đề xuất dựa trên các giả thiết sau:
Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi Từ giả thiết này ta có thể nhận thấy rằng góc trượt trong các mặt phẳng yz 0, xz 0 và biến dạng dài theo phương z, z 0
Mặt trung bình tấm không bị biến dạng, khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa
Ứng suất pháp z kể đến sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ qua vì nhỏ so với ứng suất trong mặt phẳng x , y
Tuy nhiên, khi tỷ số h B là tương đối lớn thì sự bỏ qua các biến dạng trượt yz , xz là không đầy đủ Theo lý thuyết tấm Mindlin (còn được gọi là lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tấm) thì các đoạn thẳng pháp tuyến không còn vuông góc với mặt trung bình nữa, và các góc vuông thay đổi một lượng bằng biến dạng trượt trung bình do lực cắt gây ra Do đó, góc xoay gồm 2 thành phần: phần do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình và phần do biến dạng trượt trung bình gây ra được thể hiện trong Hình 3.1
Hình 3.1 (a) Mô hình Kirchoff; (b) Mô hình Mindlin - Reissener 3.2.2 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
Xét tấm Mindlin có chiều dài L, bề rộng B, chiều dày h và có các thông số đặc trưng vật liệu Module đàn hồi E, hệ số Poisson v, khối lượng riêng Hệ trục tọa độ được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxyztrùng với mặt trung bình và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Với giả thiết tấm Mindlin chịu uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, các thành phần biến dạng của tấm, w là độ võng, x và y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục Oy và Ox của hệ trục tọa độ địa phương với quy ước chiều dương được thể hiện như Hình 3.2, là mặt trung hòa của tấm Các thành phần u, v và w lần lượt tương ứng là chuyển vị theo phương x y z, ,
Véctơ chuyển vị của một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin có dạng d w x y T (3.1)
Và các thành phần chuyển vị có thể được biểu diễn như sau
Hình 3.2 Quy ước chiều dương của chuyển vị và hai góc xoáy của tấm Mindlin
3.2.3 Quan hệ ứng suất và biến dạng
Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau x x u z x x
Từ (3.3) ta có vectơ biến dạng uốn của tấm
Từ (3.4) ta có vectơ biến dạng cắt của tấm x z y h
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: Ứng suất của tấm lần lượt là ứng suất uốn và ứng suất cắt, có mối liên hệ với biến dạng uốn và biến dạng cắt theo định luật Hooke như sau Ứng suất uốn của tấm:
D (3.8) Ứng suất cắt của tấm:
là hệ số hiệu chỉnh cắt và D s được xác định như sau
3.2.4 Phương trình năng lượng biến dạng của tấm Thế năng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:
Thay (3.7) và (3.9) vào (3.11), ta có thể viết lại
MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC NỀN PHI TUYẾN .1 Khái niệm
Trong phân tích ứng xử của mô hình kết cấu tương tác với nền thì nền đóng vai trò quan trọng, ngoài việc nâng đỡ kết cấu bên trên còn tiêu tán một phần năng lượng trong suốt quá trình dao động của kết cấu Để giải quyết vấn đề này, nhiều mô hình nền được đề xuất và ứng dụng, trong đó mô hình nền Winkler được Winkler đề xuất năm 1867 là nền tảng và đơn giản nhất Mô hình nền Winkler được giả thuyết là một hệ thống đồng nhất gồm các lò xo đàn hồi có khoảng cách gần nhau, độc lập nhau và quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính Theo giả thiết này, thì biến dạng của nền dưới tác dụng của tải chỉ giới hạn tại vùng tác dụng nên bề mặt của đất nền sẽ bị gián đoán và không liên tục, do đó khi tải tác dụng không liên tục thì các lo xò bên ngoài vùng tác dụng sẽ không bị ảnh hưởng như Hình 3.3(a) Nhưng trong thực tế thì nền có biến dạng bề mặt là liên tục như Hình 3.3(b) Để khắc phục những thiếu sót của mô hình nền Winkler, các giả thiết cải tiến được đề xuất dựa trên mô hình nền Winkler bằng các sự liên kết khác nhau như là lớp cắt hay dầm dọc theo lò xo Winkler để mô tả ứng xử gần với thực tế hơn của kết cấu trên nền Các loại mô hình này bao gồm nền Filonenko-Borodich (1940), Hetenyi (1946), Pasternak (1954) và Vlasov and Leontiev (1960), Kerr (1964) Nền hai thông số điển hình là nền Pasternak là một trong những số đó
Hình 3.3 Biến dạng nền: (a) nền Winkler; (b) thực tế
Mô hình nền hai thông số Pasternak được giả thiết có sự xuất hiện của sự tương tác cắt giữa các phần tử lò xo Điều này được thực hiện bằng cách kết nối các đầu của lò xo thành một mảng bao gồm các phần tử thẳng đứng mà chỉ biến dạng bởi lực cắt ngang như Hình 3.4(a) Chính nhờ lớp cắt này mà biến dạng của nền được đảm bảo liên tục như Hình 3.4(b) Độ cứng lò xo tuyến tính Winkler k l và độ cứng cắt k s là hai thông số của mô hình này
Hình 3.4 Nền hai thông số Pasternak: (a) mô hình; (b) biến dạng
Mô hình đơn giản nhất của kết cấu trên nền thường được dựa trên mô hình nền tuyến tính lò xo đàn hồi Winkler Tuy nhiên, dưới tác dụng của tải trọng động, kết cấu đỡ thường bộc lộ ứng xử phi tuyến ở mức độ cao, bởi tính đặc tính cứng hóa (hardening characteristic) của đá ba lát, được chỉ ra bởi Dahlberg [27]
Hình 3.5 thể hiện quan hệ lực-chuyển vị trong nền phi tuyến Độ cứng của nền thường bao gồm thông số tuyến tính Winkler k l và thông số phi tuyến k nl , phản lực của nền trên một đơn vị diện tích được cho bởi
Nền cứng Lò xo đàn hồi, k l
Lò xo đàn hồi, k l Nền cứng
Hình 3.5 Đồ thị thể hiện quan hệ lực-chuyển vị trong nền phi tuyến đàn hồi
Trong tất cả các mô hình trên, nền được quan điểm không có khối lượng, việc bỏ qua khối lượng này trong phân tích tĩnh thì không ảnh hưởng đến kết quả Tuy nhiên, trong thực tế nền có khối lượng, ảnh hưởng của khối lượng trong ứng xử động của kết cấu là luôn hiện hữu trong suốt quá trình dao động của kết cấu Do đó, ứng xử động của kết cấu trên nền nên xem xét đến sự hiện diện của khối lượng nền
3.3.2 Mô hình động lực học nền phi tuyến
Mô hình động lực học nền phi tuyến được dựa trên mô hình Pasternak, quan hệ giữa lực và chuyển vị trong lò xo đàn hồi Winkler là phi tuyến bậc ba và có xét đến ảnh hưởng khối lượng nền Do đó, mô hình động lực học nền phi tuyến mô tả đầy đủ các thông số đặc trưng bao gồm thông số của nền đàn hồi tuyến tính Winkler k l và phi tuyến k nl , thông số lớp cắt Pasternak k s , cản nhớt c f và khối lượng riêng của nền f Như thể hiện trong Hình 3.6, khối lượng riêng của nền được thay thế đại diện bằng khối lượng tập trung m f đặt tại đỉnh của lò xo đàn hồi Khối lượng m f được xác định dựa trên nguyên lý cân bằng động năng của phần tử lò xo đàn hồi được xem xét như là một thanh thẳng có khối lượng riêng f , từ đó ta có được m f f với thông số không thứ nguyên phụ thuộc vào chiều cao ảnh hưởng của nền H f w r 0 (w) k l 1
Hình 3.6 Mô hình nền phi tuyến có xét đến khối lượng nền
3.3.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Quan hệ giữa ứng suất – biến dạng tại thời điểm t do ứng suất q x y t , , như
Hình 3.7 được xác định dựa trên định luật cân bằng động lực học, có thể biểu diễn toán học như sau:
Tổng lực cắt trên một đơn vị chiều dài của lớp cắt Pasternak được cho bởi
Phản lực của lò xo đàn hồi phi tuyến Winkler
Lực quán tính của khối lượng nền
Lò xo đàn hồi, k l và k nl
Thay phương trình trên vào (3.14), ta thu được
và kf kl k w x y tnl 2 , , là độ cứng tương đương của nền phi tuyến
Hình 3.7 Ứng suất và lực trong lớp cắt: (a) ứng suất trong lớp cắt; (b) lực tác động lên lớp cắt
3.3.4 Phương trình năng lượng biến dạng của nền
Thế năng biến dạng đàn hồi của nền phi tuyến đàn hồi Winkler và lớp cắt được xác định lần lượt bởi
3.4 PHẦN TỬ ĐẲNG THAM SỐ
Trong phương pháp phần tử hữu hạn miền khảo sát hoặc có biên là những đường cong, mặt cong Để đảm bảo sự chính xác cho kết quả, việc xây dựng và phát triển các phần tử có hình dạng bất kỳ là vô cùng cần thiết Các phần tử này được gọi là các phần tử có biên cong hay còn được gọi là phần tử đẳng tham số (isoparametric element)
Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cở sở phép biến đổi một phần tử chuẩn (Master element) trong hệ tọa đồ tự nhiên Ors thành phần tử thực tương ứng có dạng tùy ý trong hệ tọa độ vuông gócOxy Các tọa độ tự nhiên r, s là không thứ nguyên và có giá trị trong khoảng 1;1 Quan hệ giữa tọa độ vuông góc và hệ tọa độ tự nhiên cho phần tử đẳng tham số có n nút được viết như sau:
Trong đó x yi , i là tọa độ của điểm nút thứ i (với i1,2, ,n) trong hệ tọa độ tổng thể N r si , là hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy tọa độ thứ i của phần tử chuẩn được biểu diễn qua các tọa độ tự nhiên r, s
Trong phương pháp PTHH, khi đã biết các chuyển vị nút phần tử, tức biết
u v w1, ,1 1 , u v w2, ,2 2 u v w n , , n n thì có thể xác định được các chuyển vị thành phần , , u v w tại một điểm bất kỳ thuộc phần tử nhờ vào các hàm dạng, bằng các quan hệ sau:
Nói cách khác, phần tử đẳng tham số là phần tử mà các tham số để nội suy dạng hình học của nó cũng là tham số dùng để nội suy các hàm chuyển vị Và khi đó các hàm nội suy dùng để xấp xỉ trường chuyển vị cũng là hàm nội suy dùng để sấp xỉ trường tọa độ
3.4.2 Phần tử đẳng tham số Q4
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử đẳng tham số 4 điểm nút (Quarilateral) như Hình 3.8, được sử dụng để đảm bảo tính tương thích của chuyển vị và độ dốc đối với phần tử lân cận
Hình 3.8 Phần tử đẳng tham số Q4: (a) Trong hệ tọa độ tổng thể; (b) Trong hệ tọa độ tự nhiên
Dạng hình học của phần tử khảo sát được cho bởi các tổ hợp tuyến tính:
Với x yi , i là tọa độ của nút thứ i(i1,2,3,4) trong hệ tọa độ tổng thể x y ,
Ni là hàm nội suy song tuyến tính Lagrange, được cho như sau
Vectơ chuyển vị dw x y T và chuyển vị theo phương đứng w trong mỗi phần tử có thể được nội suy từ các chuyển vị nút của phần tử bằng cách sử dụng các hàm dạng lần lượt như sau
Trong đó N và N w là ma trận chứa các hàm dạng
Vector chuyển vị nút phần tử q e gồm 12 thành phần được biểu diễn như sau
Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ được cho trong dạng:
Quan hệ giữa các đạo hàm của các hàm N i theo r và s N i ; N i r s
(3.30) Định thức của ma trận Jacobi được dung trong công thức tích phân chuyển đổi như sau:
Trong phương pháp số, để thuận lợi cho việc lập trình thì phương pháp phương cầu Gauss được dùng để tính tích phân xác định có dạng như (3.31) Với phần tử chuẩn là vuông, thực hiện tính tích phân Gauss theo từng phương r và s như sau
Trong đó r si , j là tọa độ điểm nằm trong phần tử, w i và w j là các trọng số ứng với điểm Gauss tương ứng theo Bảng 3.1, n là số điểm Gauss sử dụng
Bảng 3.1 Tọa độ và trọng số điểm Gauss n Tọa độ điểm Gauss r si , i w w i , j
Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm
, f r s là một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 n 1
Khi chiều dày của tấm nhỏ hơn kích thước 2 cạnh còn lại, kết quả tính toán cho thấy độ võng của tấm theo lý thuyết Mindlin nhỏ hơn nhiều so với thực tế, về mặt lý thuyết, phải trùng với kết quả khi sử dụng lý thuyết tấm Kirchoff Hiện tượng này gọi là hiện tượng “khóa cắt” (Shear Locking) Lý do là năng lượng biến dạng đàn hồi do biến dạng cắt (tỷ lệ với h) sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do biến dạng uốn (tỷ lệ với h 3 ) Điều này làm cho phần năng lượng do biến dạng cắt vẫn tồn tại trong biểu thức năng lượng của tấm, làm cho tấm trở nên cứng hơn nên ảnh hưởng đến kết quả của bài toán Để khắc phục hiện tượng “khóa cắt’ này, kỹ thuật tích phân rút gọn (Reduced integration) hoặc tích phân lựa chọn (Selective intergration) được sử dụng Theo kỹ thuật này thì biểu thức năng lượng của biến dạng uốn sẽ được tính theo tích phân đầy đủ (Full intergration), còn biểu thức năng lượng của biến dạng cắt sẽ được tích phân thấp hơn một cấp Đối với phần tử đẳng tham số 4 điểm nút Q4, biểu thức năng lượng của biến dạng cắt được tính với sơ đồ 1 điểm Gauss, và sơ đồ 2 2 điểm Gauss cho biểu thức năng lượng của biến dạng uốn.
THIẾT LẬP CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 Ma trận độ cứng phần tử tấm
Các thành phần biến dạng của phần tử tấm được biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút của phần tử và được viết dưới dạng ma trận như sau e b z b ε B q và γ B q s e (3.33)
Với B b và B s lần lượt là ma trận biến dạng của thành phần uốn và cắt tìm được bằng cách đạo hàm hàm dạng
Thay (3.33) vào phương trình (3.12), biếu thức thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử tấm được viết lại như sau
Từ đó, ma trận độ cứng của phần tử tấm Mindlin tìm được là
3.5.2 Ma trận độ cứng nền
Từ phương trình (3.20) thế năng biến dạng đàn hồi của nền phi tuyến đàn hồi Winkler, ta viết lại biểu thức cho một phần tử như sau
Vectơ nội lực phần tử của nền phi tuyến đàn hồi Winkler được xác định bởi
Ma trận độ cứng tiếp tuyến của nền phi tuyến đàn hồi Winkler sử dụng trong phương pháp lặp Newton Rapshon hiệu chỉnh được xác định như sau
Từ phương trình (3.40), ma trận độ cứng tuyến tính và ma trận tiếp tuyến phần tử của nền phi tuyến đàn hồi Winkler tìm được là e e T e l w l w
Từ phương trình (3.21) thế năng biến dạng đàn hồi của lớp cắt Pasternak, ta viết lại biểu thức cho một phần tử như sau
Ma trận độ cứng cắt phần tử của nền tìm được như sau
3.5.3 Ma trận khối lượng của tấm Động năng của phần tử tấm:
V V h A A u z u z u dV z dV z dz dA h dA
Biểu thức (3.47) được viết lại:
Biểu diễn (3.48) theo vectơ chuyển vị nút phần tử q e ta được
T q N HN q dA q M q dA (3.50) Ma trận khối lượng của phần tử tấm e e T e p A
3.5.4 Ma trận khối lượng nền Động năng của nền:
T m w dA q N m N q dA (3.52) Ma trận khối lượng của nền phân bố trong diện tích của phần tử e e T f w f w
3.5.5 Ma trận cản nhớt của nền Năng lượng tiêu tán của các cản nhớt của nền
R c w dA q N c N q dA (3.54) Ma trận cản phần tử do nền đàn nhớt e e T e f w f w
3.5.6 Công của ngoại lực Đối với trường hợp tải di dộng P di chuyển với vận tốc V dọc theo đường giữa tấm y B 2 theo phươngx, công của ngoại lực như sau
Với, p P x Vt y B 2 0 0 T (3.57) và là ký hiệu hàm delta Dirac, t là thời gian di chuyển của tải di động ta có
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
Dưới tác động của tải trọng di dộng, chuyển vị, ứng suất và biến dạng của vật thể là phụ thuộc vào thời gian Theo lý thuyết phần tử hữu hạn, chuyển vị đứng, vận tốc và gia tốc được biểu diễn với mô hình tương thích như sau e wN qw ; w N q w e ; wN q w e (3.59)
Phương trình chuyển động của phần tử hữu hạn được thiết lập dựa trên nguyên lý cân bằng động lực học Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange: f 0 e e e d L L R dt
Trong đó, L T là hàm Lagrange của phần tử T là tổng động năng của của phần tử tấm và nền p f
T T T (3.61) và là hàm thế năng của phần tử được xác định như sau p nl s p
Thế (3.59), (3.61), (3.62) và (3.56) vào (3.60) ta được phương trình chuyển động của một phần tử như sau
Sau khi ghép nối các bậc tự do tương ứng của tất cả các phần tử trên toàn hệ, và áp đặt các điều kiện biên động học ta có phương trình chuyển động của hệ trong dạng
Mq Cq Kq P (3.64) ở đó q, q , q lần lượt tương ứng là vectơ gia tốc tổng thể, vận tốc tổng thể, chuyển vị tổng thể của hệ; M, Cvà K lần lượt tương ứng là ma trận khối lượng tổng thể, hệ cản tổng thể, và độ cứng tổng thể; và P( )t là vectơ tải ngoại lực tổng thể Ta có thể nhận thấy rằng ma trận độ cứng K được gọi là các ma trận tức thời vì phụ thuộc vào thời gian và biểu đồ của độ võng tại từng điểm của nền phi tuyến Đối với bài toán tải trọng tĩnh, phương trình (3.64) được viết lại như sau
Phương trình (3.64) được viết lại cho bài toán dao dộng tự do không cản để tìm trị riêng có dạng
K 2 M q 0 (3.66) Ở đó, là tần số dao động riêng
Giải định thức K ω M 2 0 ta tìm được n nghiệm dương tương ứng với n giá trị dương của Tương ứng với mỗi tần số riêng i (i1, ,n) ta sẽ tìm được vectơ trị riêng tương ứng q i , được gọi là dạng động (mode shape) của tần số riêng của kết cấu tương ứng.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 1 Khái niệm
Phương trình chuyển động (3.64) có thể được giải bằng nhiều phương pháp Các phương pháp này được chia làm 2 nhóm: nhóm các phương pháp giải tích và nhóm các phương pháp số
Các phương pháp giải tích cho kết quả chuyển vị, gia tốc và vận tốc dưới dạng biểu thức giải tích Phương pháp này chỉ thực hiện được với các hệ kết cấu có phương trình chuyển động tương đối đơn giản, những kết cấu có ít bậc tự do … do những hạn chế về mặt toán học khi giải phương trình vi phân
Trong khi đó, các phương pháp số cho kết quả chuyển vị, gia tốc và vận tốc là các số cụ thể tại từng thời điểm theo thời gian với độ chính xác phù hợp Phương pháp này được sử dụng phổ biến do có thể áp dụng cho nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp, có thể lập trình bằng các phần mềm trên máy tính tận dụng được sự tính toán nhanh và chính xác của máy tính
Các phương trình chuyển động được rời rạc theo thời gian, nghiệm được tính toán tại từng thời điểm trong phương pháp số Phương pháp số có thể chia làm 2 dạng, dạng tường minh (explicit) và dạng ẩn (implicit) Phương pháp tường minh là vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i1 được tính trực tiếp từ nghiệm của thời điểm trước đó
, 1 i i … thông qua các biểu thức dưới dạng tường minh Phương pháp dạng ẩn là chuyển vị tại thời điểm i1 được biểu diễn theo chuyển vị, vận tốc, gia tốc từ nghiệm của thời điểm trước đó i i, 1…hoặc vận tốc, gia tốc tại thời điểm i1 là chưa biết và cũng là những ẩn số cần tìm, nên việc tìm nghiệm này thông qua các biểu thức dạng ẩn và kết hợp thêm phương trình chuyển động tại thời điểm i
Các phương pháp dạng tường minh như là phương pháp Euler, phương pháp Runge Kutta bậc 4, và phương pháp sai phân trung tâm… Phương pháp Euler cho kết quả sai số lớn nhưng thuật toán đơn giản, ngược lại, phương pháp Runge Kutta và phương pháp sai phân trung tâm cho kết quả với độ chính xác cao hơn nhưng thuật toán phức tạp và khối lượng tính toán lớn
Các phương pháp dạng ẩn như là phương pháp Newmark, và một số phương pháp dựa trên nền tảng của phương pháp Newmark có độ chính xác tương đương phương pháp Newmark nhưng thuật toán phức tạp hơn như là phương pháp Wilson, phương pháp HHT và phương pháp HH….Năm 1959, Newmark lần đầu tiên đưa ra họ các phương pháp Newmark để giải phương trình chuyển động, trong đó có hai phương pháp đơn giản nhất là phương pháp gia tốc trung bình và phương pháp gia tốc phi tuyến Phương pháp gia tốc trung bình có độ chính xác vừa phải, ổn định không điều kiện và có thể áp dụng cho nhiều dạng bài toán, trong khi phương pháp gia tốc tuyến tính có độ chính xác cao hơn nhưng ổn định có điều kiện
3.7.2 Phương trình chuyển động của hệ ứng xử phi tuyến
Trong bài toán động lực học kết cấu thực tế, các ứng xử phi tuyến của lực cản và vận tốc, lực quán tính và gia tốc thường không nhiều ý nghĩa so với ứng xử phi tuyến của lực đàn hồi và chuyển vị Do đó, khi nói đến bài toán có ứng xử phi tuyến thường đề cập đến mối quan hệ phi tuyến của lực đàn hồi và chuyển vị Nên phương trình (3.64) được viết lại dưới dạng đơn giản như sau
Các ma trậnM, Clần lượt là các ma trận khối lượng và ma trận cản của hệ chúng không đổi trong quá trình hệ chuyển động Quan hệ ứng xử phi tuyến giữa lực và chuyển vị trong bài toán khảo sát của luận văn là bậc 3 Do đó phương trình (3.67) là phương trình vi phân phi tuyến bậc 3 tùy thuộc vào lực đàn hồi f us , khi lực này biến thiên phi tuyến theo chuyển vị
Rời rạc hóa phương trình (3.67) theo thời gian để giải bằng phương pháp số, phương trình chuyển động tại thời điểm t kí hiệu chỉ số là i được viết lại dưới dạng sau i i S i i
Phương trình số gia giữa hai thời điểm i và i1 được biểu diễn là i i S i i
M u C u f P (3.69) Ở đó, các vectơu i , ui , P i lần lượt là các vectơ số gia giữa hai thời điểm i và i1 của vận gia tốc, vận tốc và tải ngoài Số gia của lực đàn hồi f S i được biểu diễn theo ma trận độ cứng cát tiếp tuyến (Secant Stiffness) bởi phương trình sau
Trong đó, K i s là ma trận độ cứng cát tuyến giữa hai thời điểm i và i1 Và,
uilà số gia của chuyển vị giữa hai thời điểm i và i1 Như vậy, phương trình số gia cân bằng giữa hai thời điểm này được biết lại dưới dạng sau s i i i i i
M u C u K u P (3.71) Để tìm nghiệm tại thời điểm i1 gồm chuyển vị, vận tốc, gia tốc của hệ ngoài việc biết nghiệm tại thời điểm i, còn phải biết thêm ma trận độ cứng cát tuyến giữa hai thời điểm i và i1 là K s i trong phương trình (3.71) Tuy nhiên, K s i lại phụ thuộc vào nghiệm tại thời điểm i1, tức là phải biết giá trị lực đàn hồi và chuyển vị tại thời điểm i1, tuy nhiên lại là ẩn số Đề giải quyết vấn đề khó khăn này, rất nhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu giải quyết theo hai hướng sau:
Các phương pháp không lặp: cần phải tìm cách xấp xỉ độ cứng cát tuyến trong một bước thời gian Phương pháp này giúp việc lập trình tính toán dễ dàng, tuy nhiên lời giải từ phương pháp này chỉ được chấp nhận khi bước thời gian tính của phương pháp tích phân trực tiếp tương đối nhỏ
Các phương pháp lặp: trong một bước thời gian, phép tính lặp trong mỗi bước thời gian là cần thiết để tìm ẩn số độ cứng cát tuyến Một số phương pháp lặp phổ biến hiện nay như phương pháp lặp Newton Raphson, Newton Raphson hiệu chỉnh, phương pháp điều khiển chuyển vị, phương pháp điều chỉnh công…Kết quả của lời giải từ phương pháp này tốt hơn Tuy nhiên, quá trình tính toán cần phải thiết lập thuật toán và thủ tục con trong mỗi bước để thử dần theo ma trận độ cứng tiếp tuyến, do dó số phép tính trong một bước thời gian lớn hơn nhiều lần so với phương pháp không lặp
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Như vậy, cách thiết lập ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản, véctơ tải theo phương pháp phần tử hữu hạn và phương trình chuyển động của tấm trên nền phi tuyến có xét đến khối lượng nền đã được trình bày trong chương này Phương pháp Newmark gia tốc trung bình được sử dụng để giải phương trình chuyển động của hệ ứng xử phi tuyến dưới dạng chuyển vị, phương pháp này có sự ổn định không điều kiện và độ chính xác tốt Bên cạnh đó, phương pháp lặp Modified Newton Raphson được áp dụng trong từng bước thời gian để giải bài toán phi tuyến cho kết quả có độ chính xác cao hơn Dựa trên cơ sở lý thuyết trong chương này để xây dựng chương trình tính toán của Luận văn bằng phần mềm MATLAB
CÁC KẾT QUẢ SỐ
GIỚI THIỆU
Nội dung trong chương này trình bày các kết quả số Trong đó, các ví dụ kiểm chứng cho lý thuyết áp dụng, sự hội tụ và độ tin cậy của kết quả được tính từ chương trình sử dụng trong luận văn Các ví dụ số được thực hiện để khảo sát các thông số khác nhau ảnh hưởng đến ứng xử động của tấm đặc biệt chú trọng vào vận tốc của tải di động, tỷ số khối lượng giữa nền và tấm, hệ số nền phi tuyến, độ dày của tấm
Các hệ số nền không thứ nguyên K 1 , K 2 , K 3 lần lượt là độ cứng nền tuyến tính, độ cứng lớp cắt, và độ cứng nền phi tuyến được sử dụng để phân tích ứng xử động của tấm được định nghĩa như sau (Xiang et al.[14], Zhou et al [20], Ferreira et al [21], Jahromi et al [23], Liu et al [25])
CÁC VÍ DỤ KIỂM CHỨNG 1 Tấm chịu tải trọng tĩnh
Xét tấm vuông có điều kiện biên tựa đơn 4 cạnh (SSSS) và ngàm 4 cạnh (CCCC) Tấm vuông có chiều dài cạnh a, tỷ lệ chiều dày đối với cạnh h a0.01 và
0.1 h a chịu tải phân bố đều q, hệ số Poisson 0.3 Độ võng không thứ nguyên ở vị trí giữa tấm w w 100 D qa 4 tương ứng với các lưới phần tử N N được trình bày trong Bảng 4.1 cho tấm tựa đơn và tấm ngàm
Bảng 4.1 Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm chịu tải phân bố đều h a Lưới N N
SSSS CCCC w %Sai lệch w %Sai lệch
4.2.2 Tấm trên nền Winkler chịu tải trọng tĩnh Xét tấm vuông có điều kiện biên tựa đơn 4 cạnh (SSSS) và 2 cạnh tựa đơn và 2 cạnh ngàm (SCSC) đặt trên nền có độ cứng không thứ nguyênK k a D l 4 1 4 1
Tấm vuông có chiều dài cạnha, tỷ lệ chiều dày đối với cạnh h a0.01 và h a0.1 chịu tải phân bố đều q Độ võng không thứ nguyên ở vị trí giữa tấm
10 3 4 w w qa D tương ứng với các lưới phần tử N N được trình bày trong Bảng 4.2 cho tấm tựa đơn và tấm ngàm
4.2.3 Dao động tự do trên nền Pasternak
Xét tấm vuông có biên tựa đơn 4 cạnh (SSSS) và ngàm 4 cạnh (CCCC) đặt trên nền Pasternak có độ cứng không thứ nguyên K 1 và K 2 Tấm vuông có chiều dài cạnh a, tỷ lệ chiều dày đối với cạnh h a Tần số không thứ nguyên
thể hiện trong Bảng 4.3 cho tấm ngàm và Bảng 4.4 cho tấm tựa đơn
Bảng 4.2 Độ võng không thứ nguyên trên nền Winkler chịu tải phân bố đều h a Lưới
% Sai lệch Ferreira Luận văn
Bảng 4.3 Tần số không thứ nguyên của tấm CCCC trên nền Pasternak h a K 1 K 2 Phương pháp 1 2 3
Ferreira et al [21] 5.2438 8.3129 11.546 Jahromi et al [23] 5.2440 8.3136 11.538 Thesis (Lưới 20x20) 5.2606 8.427 11.722
%Sai lệch với Ferreira 0.3166 1.364 1.5974 0.015 1390.2 166.83 Zhou et al [20] 8.1675 12.823 16.833
Ferreira et al [21] 8.1669 12.821 16.842 Jahromi et al [23] 8.1673 12.823 16.833 Liu et al [25] 8.1397 12.900 16.935 Thesis (Lưới 20x20) 8.1774 12.911 16.960 %Sai lệch với Ferreira 0.4632 0.0884 0.1476
Bảng 4.4 Tần số không thứ nguyên của tấm SSSS trên nền Pasternak h a K 1 K 2 Phương pháp 1 2 3
Ferreira et al [21] 2.2414 5.0967 8.0542 Jahromi et al [23] 2.2419 5.0971 8.0524 Thesis (Lưới 20x20) 2.2462 5.1462 8.1400
%Sai lệch với Ferreira 0.2142 0.9712 1.0653 100 10 Zhou et al [20] 2.6551 5.5717 8.5406
Ferreira et al [21] 2.6559 5.5718 8.5384 Jahromi et al [23] 2.6551 5.5718 8.5405 Thesis (Lưới 20x20) 2.6593 5.6184 8.6232
%Sai lệch với Ferreira 0.128 0.8364 0.9932 500 10 Zhou et al [20] 3.3398 5.9285 8.7775
Ferreira et al [21] 3.3406 5.9285 8.7775 Jahromi et al [23] 3.3400 5.9287 8.7775 Thesis (Lưới 20x20) 3.3433 5.9725 8.8579
%Sai lệch với Ferreira 0.0808 0.7422 0.916 0.1 200 0 Zhou et al [20] 2.3951 4.8262 7.2338
Ferreira et al [21] 2.3989 4.8194 7.2093 Thesis (Lưới 20x20) 2.4029 4.8584 7.2705
%Sai lệch với Ferreira 0.1667 0.8092 0.8489 200 10 Zhou et al [20] 2.7756 5.2954 7.7279
Ferreira et al [21] 2.7902 5.3452 7.8255 Liu et al [25] 2.7837 5.3013 7.7215 Thesis (Lưới 20x20) 2.7876 5.3414 7.7855
%Sai lệch với Ferreira 0.1401 0.7564 0.8289 1000 10 Zhou et al [20] 3.9566 5.9757 8.1954
Ferreira et al [21] 3.9844 6.043 8.3112 Liu et al [25] 3.9802 6.0052 8.2148 Thesis (Lưới 20x20) 3.9829 6.0403 8.2747 %Sai lệch với Ferreira 0.0678 0.5845 0.7292
4.2.4 Dao động tự do trên nền Pasternak có kể đến khối lượng nền Xét tấm vuông đặt trên nền Pasternak có kể đến khối lượng nền Tần số không thứ nguyên
được thể hiện trong Bảng 4.5
Bảng 4.5 Tần số của tấm trên nền Pasternak có xét đến khối lượng nền Điều kiện biên h a K 1 K 2 1 2 3 SSSS (v=0.3) 0.01 100 10 0 2.6593 5.6184 8.6232
4.2.5 Tấm trên nền đàn hồi chịu tải di động
Bài toán này sử dụng mô hình và các thông số của Huang et al [19] Tấm chữ nhật có kích thước B 10 m, L 10 0 m, chiều dày h0.3 m trên nền đàn hồi có độ cứng k l 10 7 N/m 3 Tấm có thông số vật liệu Module đàn hồi E3.1 10 10 N/m 2 , hệ số Poisson v 0.25, khối lượng riêng 2440 kg/m 3 Tải trọng
1000 P N di chuyển theo phương dọc ở đường giữa tấm với vận tốc V 20 m/s
Phương cạnh ngắn tấm x 0, x 100 m có biên tựa đơn, hai cạnh còn lại biên tự do Tấm được chia thành 100 10 phần tử Phương trình chuyển động được giải bằng phương pháp gia tốc trung bình của Newmark
Hình 4.1 Độ võng theo đường giữa tấm: (a) Độ võng tại các vị trí x 0 20m,
0 50 x m, x 0 70m; (b) Kết quả của Huang et al
Hình 4.1 thể hiện độ võng ở đường giữa tấm theo phương cạnh dài tương ứng với các vị trí tải trọng x 0 20m, x 0 50m, x 0 70m và so sánh với kết quả của Huang et al cho thấy sự tương đồng
4.2.6 Tấm trên nền đàn nhớt chịu tải di động
Bài toán này sử dụng mô hình và thông số của Luong et al [26] Tấm chữ nhật có kích thước B 10 m, L 60 m, chiều dày h0.3 m trên nền đàn hồi có độ cứng
107 kl N/m 3 và hệ số cản nhớt c f N.s/m 3 Tấm có thông số vật liệu Module đàn hồi 3.1 1010
E N/m 2 , hệ số Poisson v 0.25, khối lượng riêng 2440 kg/m 3 Tải trọng P83333N di chuyển theo phương dọc ở đường giữa tấm với vận tốc V m/s
Phương cạnh ngắn tấm có biên tựa đơn, hai cạnh còn lại biên tự do Tấm được chia thành 60 10 phần tử
Mặt võng của đường giữa tấm cho các trường hợp vận tốc V 30, V 60,
90 V m/s được biễn diễn trong Hình 4.2 và Hình 4.3 tương ứng với hệ số cản
1 104 cf , c f 1 10 6 N.s/m 3 và so sánh kết quả của Luong et al [26] cho thấy sự tương đồng
Qua các ví dụ kiểm chứng trên có thể thấy rằng kết quả độ võng tĩnh của tấm trên nền Winkler, tần số dao động riêng của tấm trên nền Pasternak, ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi và nền đàn nhớt Winkler tương đồng với các kết quả của các tài liệu hiện hữu Như vậy, thuật toán thiết lập các ma trận độ cứng tấm, độ cứng nền, ma trận khối lượng và phương pháp giải phương trình chuyển động của chương trình được xây dựng trong MATLAB của luận văn là tin cậy được
Hình 4.2 Mặt võng tại tâm tấm cho trường hợp cho trường hợp c f 1 10 4 N.s/m 3 : (a) Luận văn ; (b) Kết quả của Luong et al
(b) Hình 4.3 Mặt võng tại tâm tấm vớic f 1 10 6 N.s/m 3 : (a) Luận văn ; (b) Kết quả của Luong et al
Trong phần này, luận văn sẽ xét tấm chữ nhật có kích thước B 10 m, L 20 m, chiều dàyh Tấm được đặt trên nền có các thông số không thứ nguyên K 1 50,
K , hệ số cản nhớt c f 100 N.s/m 3 chịu tải di động P 100kN di chuyển dọc theo đường giữa tấm với vận tốc Vm/s Tấm có biên tựa đơn theo phương cạnh ngắn và tự do theo phương còn lại như Hình 4.4 Module đàn hồi E3.1 10 10 N/mm 2 , hệ số Poisson 0.2, khối lượng riêng 2500 kg/m 3 Tỷ lệ khối lượng riêng của nền so với khối lượng riêng của tấm được cho bởi0.75 Các thông số không được nêu trên đây sẽ được khảo sát trong từng bài toán khảo sát cụ thể
Hình 4.4 Mô hình bài toán
Tấm được chia lưới phần tử 20 10 như Hình 4.5 và được phân tích với 50 bước trong miền thời gian Hình 4.6 thể hiện cho sáu dạng dao động tự do đầu tiên của tấm trên nền tuyến tính có xét đến khối lượng nền Điều này cho ta thấy rằng các dạng dao động phản ánh các dạng ứng xử vật lý thực tế h Taám Mindlin x z P(x,y,t) V
Khối lượng neàn, m f Cản nhớt, c f Lò xo phi tuyến đàn hồi, k l và k nl
Hình 4.5 Sơ đồ chia lưới phần tử trong chương trình MATLAB
Hình 4.6 Sáu dạng dao động cơ bản của tấm trên nền có xét đến khối lượng nền
4.4 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHIỀU DÀY TẤM ĐẾN CHUYỂN VỊ
Xét tấm có các chiều dày h0.1, 0.2, 0.3, 0.4m, được tựa trên nền phi tuyến có độ cứng không thứ nguyên K 3 10 9 chịu tải di động đường giữa tấm có vận tốc
60 V m/s trong hai trường hợp không xét khối lượng nền 0và có xét khối lượng nền 0.5
Kết quả trên Hình 4.7(a) cho thấy độ võng lớn nhất của tâm tấm khi tải đến giữa tấm Chiều dày tấm càng nhỏ thì độ võng tấm càng tăng Hình 4.7(b) có xét đến khối lượng nền, độ võng lớn nhất của tâm tấm khi tải đi ra khỏi tâm tấm (t T 0.6) Khối lượng nền làm tăng biên độ dao động của tâm tấm khi chiều dày tấm tăng lên tương ứng với độ cứng hệ tăng và ngược lại khi độ cứng của hệ nhỏ biên độ dao động của tâm tấm giảm
Hình 4.8(a) cho ta thấy rằng chuyển vị lớn nhất tại vị trí giữa tấm trùng với thời điểm của tải di chuyển đến vị trí giữa tấm Khi xét đến khối lượng nền, độ võng lớn nhất bị chệch khỏi giữa tấm về phía bên trái như Hình 4.8(b) Điều này có thể giải thích rằng, khi kể đến khối lượng nền thì tần số dao động của hệ giảm do đó chu kỳ dao động của tâm tấm sẽ dài hơn, phản ứng của tấm dưới vị trí tải trọng chậm hơn
Kết quả trên Hình 4.9(a) cho ta thấy rằng khi chiều dày tấm càng nhỏ thì độ võng tấm tăng đáng kể, ngược lại khi tấm có chiều dày lúc này tấm trở nên rất cứng và độ võng giảm Khi xét thêm khối lượng nền ứng xử động của tấm thay đổi rõ rệt thể hiện trong Hình 4.9(b), độ võng lớn nhất xảy ra tại vị trí ở khoảng thời gian
0.8 1 t T và giá trị tăng đột ngột Khi độ cứng của tấm nhỏ h0.1 m, khối lượng nền làm giảm độ võng của tấm, vì động năng của hệ lớn hơn nhiều so với thế năng biến dạng đàn hồi của tấm
Kết quả thể hiện trên Hình 4.10(a) cho ta nhận thấy rằng, quan hệ phi tuyến giữa độ cứng nền và độ võng được thể hiện bằng đường cong, khi độ cứng nền phi tuyến lớn K 3 10 12 nền lúc này nền trở nên rất cứng và độ võng gần như bằng không Khi độ cứng nền phi tuyến nhỏ thì chiều dày tấm ảnh hưởng đáng kể đến độ võng tấm, độ võng tăng nhanh chóng Khối lượng nền làm giảm độ võng lớn nhất khi chiều dày tấm nhỏ, nhưng khi tấm có độ dày h0.2m thì khối lượng nền làm tăng độ võng của tấm như thể hiện trong Hình 4.10(b)
Hình 4.7 Độ võng tại tâm tấm theo thời gian: (a) 0 ; (b) 0.5
Hình 4.8 Mặt võng tại đường giữa tấm khi tải ở vị trí giữa tấm: (a) 0 ; (b)
(b) Hình 4.9 Độ võng tại vị trí tải di động theo thời gian: (a) 0 ; (b) 0.5
Hình 4.10 Ảnh hưởng tương quan giữa chiều dày tấm và độ cứng nền phi tuyến:
C h u yể n vị lớ n n h ất ( m m ) C h u yể n vị lớ n n h ất ( m m )
4.5 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA ĐỘ CỨNG NỀN PHI TUYẾN
Xét tấm chữ nhật có chiều dày h0.2m đặt trên nền có độ cứng nền phi tuyến không thứ nguyên thay đổi K 3 10 ,10 , ,10 ,10 5 6 11 12 trong hai trường hợp 0và
0.5 Tải di dộng dọc theo đường giữa tấm có vận tốc V 60 m/s
CỦA ĐỀ TÀI
KẾT LUẬN
Dựa trên các nội dung thực hiện của đề tài liên quan đến ứng xử động của tấm trên nền phi tuyến chịu tải di động có xét đến khối lượng nền, một số kết luận được sơ lược như sau:
Đã hoàn thành được nhiệm vụ của Luận văn: giải quyết bài toán tấm trên nền phi tuyến chịu tải di động có xét đến khối lượng nền, đặt vấn đề, tổng quan về tình hình nghiên cứu liên quan, xây dựng mô hình - lập phương trình – chọn phương pháp giải - viết mã nguồn chương trình, thực hiện kết quả số
Phương pháp luận là phù hợp: phương trình vi phân chuyển động được thiết lập dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn và định lý cân bằng động lực học Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange Phương pháp Newmark gia tốc trung bình kết hợp với Newton Rapshon hiệu chỉnh trong từng bước thời gian được sử dụng để giải phương trình chuyển động của hệ có ứng xử phi tuyến
Nhiều kết quả số có kiểm chứng đã được tiến hành để xem xét sự hội tụ và tính chính xác của thuật toán sử dụng Các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử động của tấm trên nền phi tuyến được khảo sát và phân tích rõ trong các ví dụ số
Qua khảo sát số của các thông số nghiên cứu như chiều dày tấm, độ cứng nền phi tuyến, tỉ số khối lượng nền và vận tốc tải di động, cho thấy rằng:
- Chiều dày có ảnh hưởng đến ứng xử của tấm, khi chiều dày giảm thì ứng xử động của tấm tăng và khối lượng nền làm giảm độ võng của tấm, khi chiều dày tăng thì khối lượng nền làm tăng độ võng tấm
- Độ cứng nền phi tuyến nhỏ không ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động của tấm, tuy nhiên khi độ cứng nền phi tuyến đủ lớn sẽ làm giảm độ võng của tấm
- Độ cứng nền ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động của tấm: khi độ cứng nền phi tuyến càng lớn thì ảnh hưởng của khối lượng nền đến độ võng lớn nhất càng tăng, khối lượng nền làm giảm độ võng tấm khi độ cứng nền phi tuyến nhỏ; Bên cạnh đó, ảnh hưởng của khối lượng nền lên độ võng cũng tùy thuộc vào các thông số độ cứng nền phi tuyến, độ cứng lớp cắt và hệ số cản nhớt của nền, khi các thông số này tăng lên thì khối lượng nền làm tăng độ võng
- Vận tốc của tải có ảnh hưởng đến độ võng của tấm Trường hợp mô hình không xét đến khối lượng nền thì vùng ảnh hưởng của vận tốc đến độ võng lớn nhất nằm ở vùng vận tốc cao hơn so với mô hình xét khối lượng nền Khối lượng nền làm tần số riêng của kết cấu giảm nên vận tốc nhỏ gây bất lợi cho kết cấu, giá trị cực đại của độ võng như nhau khi giá trị khối lượng nền khác nhau, nhưng giá trị vận tốc gây ra giá trị cực đại này là khác nhau
Mô hình này có nhược điểm là chưa kể đến trường hợp xuất hiện phản lực kéo trong nền, lúc này độ cứng của nền sẽ nhỏ hơn trường hợp nền chịu nén.
HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI
Luận văn đã thực hiện phân tích động lực học tấm trên nền phi tuyến chịu tải di động có xét đến khối lượng nền, từ những kết quả đã đạt được cũng như những hạn chế của luận văn mở ra một số hướng cho nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài này như sau:
Mở rộng mô hình tấm sang tấm phân lớp chức năng
Tải trọng ngoài tác dụng lên tấm được mô hình là khối lượng di động hoặc hệ dao động.