Trong một khoảng thời gian ngắn đã có rất nhiều vấn đề liên quan đến bài toán phân tích kết cấu tấm FGM được nghiên cứu, đặc biệt là ứng xử của tấm trên nền đàn nhớt khi chịu tải trọng đ
QUAN
Giới thiệu
Vật liệu chức năng (Functionaly Graded Materials-FGM) là một loại composite thế hệ mới mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác Do đó làm giảm ứng suất tập trung, hạn chế được sự bong tách và đây là điều được cải tiến so với vật liệu composite cũ được chia lớp Vật liệu chức năng là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau (Thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al) Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất thay đổi liên tục (Hình 1.1), các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động Vật liệu FGM có tiềm năng và ứng dụng vô cùng to lớn, là vật liệu của tương lai với những tính chất đặc trưng và những ứng dụng to lớn vào rất nhiều ngành khác nhau như thiết kế các công trình hàng không vũ trụ (khung, dầm máy bay, vỏ cabin, khoang hành lý,…); công nghiệp tàu thủy (thân, vỏ tàu,…); công nghiệp xây dựng (xà dầm, khung cửa, vòm che, mái che,…); các hệ thống cơ nhiệt (xylanh, ống xả, đường ống,…); các kết cấu chịu mài mòn
Hình 1.1 Mô hình vật liệu FGM
Luận văn này sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method) Phương pháp này có những thuận lợi hơn so với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) như sau: tải di động sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử được đề xuất luôn chuyển động Điểm thuận lợi thứ hai là tải di động sẽ không phải di chuyển từ phần tử này đến phần tử khác, do đó tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng (Hình 1.2 và Hình 1.3)
Hình 1.2 Mô hình phần tử hữu hạn (FEM) trên nền đàn nhớt
Tính hình nghiên cứu
Vật liệu chức năng (Functionaly Graded Materials) được nhóm các nhà khoa học ở viện Sendai của Nhật Bản phát minh lần đầu tiên vào năm 1984 Từ sau những năm 1984 có rất nhiều nghiên cứu để phát triển vật liệu FGM, hầu hết các nghiên cứu tập trung vào ba quy luật phân bố thể tích chính của vật liệu FGM là quy luật lũy thừa Power-Law (P-FGM), quy luật hàm e mũ (E-FGM) và quy luật hàm Sigmoid (S- FGM) Một số công trình nghiên cứu có thể kể đến như: Yang and Munz (1996) [1] phân tích tấm P-FGM bằng phương pháp biến đổi Mellin và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), qua đó tính toán ứng suất của tấm P-FGM tại các nút có xem xét đến ảnh hưởng của bề dày tấm Cũng với FEM, Reddy (1998) [2] đã nghiên cứu và phát triển thêm các công thức lý thuyết và tính toán tấm vật liệu chức năng FGM, đưa ra các ứng dụng quan trọng của vật liệu chức năng, phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm FGM, có kể đến biến dạng cắt ngang và moment quán tính Sau đó Reddy (2000) [3] tiếp tục sử dụng FEM kết hợp lời giải Navier, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) và lý thuyết Von-Karman để phân tích đưa ra các kết quả số độ võng và ứng suất của tấm FGM hình chữ nhật Woo và Megiud (2001) [4] sử dụng lý thuyết Von-Karman cho biến dạng lớn để tìm lời giải giải tích cho tấm và vỏ chịu tải trọng cơ học của tấm P-FGM Jin and Paulino (2001) [5] phân tích vết nứt của tấm P-FGM dưới các điều kiện tải trọng khác nhau với giả thiết hệ số Poisson là hằng số và sử dụng biến đổi Laplace để giải Batra and Vel (2002) [6] đã nghiên cứu và đưa ra lời giải chính xác biến dạng ba chiều cho tấm P-FGM vuông tựa đơn bốn cạnh, chịu tải trọng cơ học và ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp Mori-Tanaka Phương pháp này được áp dụng cho cả tấm mỏng và tấm dày Nghiên cứu đã đưa ra các kết quả cho thấy ảnh hưởng của bề dày, tỷ lệ thể tích và các thành phần vật liệu của tấm đến ứng xử của tấm FGM Ferreira và cộng sự (2005) [7] đã khảo sát ứng xử tĩnh của tấm P-FGM bốn cạnh tựa đơn dựa trên lý thuyết lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Từ đó đưa ra các kết quả chuyển vị của tấm để đánh giá ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích cũng như hệ số Poisson đến kết quả chuyển vị Chung and Chi (2006) [8] đã tính toán tấm vuông FGM có bề dày trung bình, 4 biên tựa đơn với các quy luật phân bố thể tích của tấm khác nhau dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp biến đổi Fourier Uymaz và Aydogdu (2007) [9] đã tính toán tấm FGM hình vuông với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng phương pháp Ritz và công thức chuyển vị Chebyshev Oyekoya và cộng sự (2008) [10] nghiên cứu tấm vật liệu chức năng FGM theo lý thuyết tấm Mindlin và phép cầu phương Gauss
Nghiên cứu đã chỉ ra rằng có thể tối ưu hóa kết cấu tấm vật liệu chức năng thông qua cấu trúc của vật liệu tấm có cơ tính biến thiên Saha và Maiti (2012) [11] đã phân tích tấm FGM chữ nhật tựa đơn và so sánh các kết quả của các loại tấm FGM khác nhau khi sử dụng các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết tấm cổ điển, hệ số Poisson được coi là hằng số còn module đàn hồi E thay đổi theo chiều dày tấm.Kiani và cộng sự (2012) [12] đã phân tích tĩnh học, dao động tự do, phân tích phản ứng động của tấm FGM chữ nhật trên nền Pasternak Các công thức lý thuyết được tác giả xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết của vỏ của Sanders đồng thời sử dụng lời giải Navier và biến đổi Laplace để giải
Daouadji và cộng sự (2012) [13] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và động của tấm Metal–
Ceramic FGM bằng lời giải Navier dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Hien và Noh (2013) [14] thực hiên phân tích ứng xử động của tấm FGM chữ nhật chịu tải trọng di động bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và sử dụng các phương trình chuyển động theo nguyên lý Hamilton, đồng thời có xét đến ảnh hưởng của tham số vật liệu đến kết quả tính toán Sobhy và Zenkour (2015) [15] đã phân tích tấm Sandwich-FGM ba lớp trên nền Pasternak và khảo sát ảnh hưởng của các ảnh hưởng của các thông số như thời gian, hệ số tỷ lệ thể tích, nhiệt độ đến ứng xử động của tấm
Trong những năm gần đây, các công trình nghiên cứu ứng xử của tấm FGM ngày một phát triển mạnh và tập trung phân tích tính chịu uốn, xoắn, ổn định và ứng xử động của tấm Rất nhiều phương pháp đã được sử dụng để giải các bài toán, trong đó có phương pháp FEM được sử dụng rất nhiều Talha and Singh (2010) [16] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do của tấm FGM với các điều kiện biên dao động của tấm Các kết quả tác giả đưa ra đã cho thấy ảnh hưởng của các thông số như bề dày, tỷ lệ các cạnh, hệ số tỉ lệ thể tích, điều kiện biên… đến chuyển vị tĩnh và tần số dao động tự do của tấm Ganapathib và cộng sự (2011) [17] đã sử dụng FEM để phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và dao động tự do tấm P-FGM Ứng xử của tấm được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng bậc nhất Các công thức phi tuyến thu được bằng FEM và giải bằng phương pháp lặp Newton–Raphson Kowal và Michalska (2013) [18] khảo sát tấm FGM chữ nhật mỏng tựa đơn chịu tải trọng xung và nhiệt độ với lời giải phần tử hữu hạn Gần đây có Manish và Purohit (2014) [19] phân tích tấm FGM được mô hình 3D bằng phần mềm ANSYS Nghiên cứu đã thay đổi các tham số vật liệu và các điều kiện biên sau đó đưa ra các kết quả độ võng tấm Kết quả nghiên cứu được tối ưu bằng cách thay đổi kích thước lưới chia, đồng thời so sánh với kết quả của tấm khi hàm tỷ lệ thể tích thay đổi Ramu and Mohanty (2014) [20] đã phân tích tấm P-FGM bằng FEM sử dụng phần mềm MATLAB để lập trình tính toán, đưa ra các kết quả quan trọng về tấm FGM như dao động tự nhiên trong các điều kiện biên khác nhau Liu và cộng sự (2015) [21] đã phân tích nứt trên tấm FGM sử dụng FEM, phần tử tam giác ba nút và lý thuyết tấm dày Reissner-Mindlin Kết quả số đã chỉ ra các kết luận về vết nứt trên tấm FGM và các kết luận về ảnh hưởng của vật liệu lên vết nứt
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được đưa ra để phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn nhớt Tuy nhiên phương pháp FEM lại gặp vấn đề khó khăn khi tải trọng tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên
Do đó Koh và cộng sự (2003) [22] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Mô hình của Koh đã giải quyết những khó khăn của phương pháp FEM như tải sẽ không bao giờ chạy tới biên hữu hạn của phần tử do phần tử luôn chuyển động, tránh phải cập nhật véctơ tải trọng và cho phép các phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau Nghiên cứu này đã cho thấy MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động học cho các kết cấu chịu tải trọng động Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM càng tỏ ra hữu dụng và ngày càng được phát triển Koh và cộng sự (2005) [23] đã khảo sát dao động của nền bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM Gần đây nhất, Xu và cộng sự (2009) [24] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác Ang và cộng sự (2013) [25] đã khảo sát đến dao động của đường ray trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc của tàu cao tốc trên nền 2 thông số Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc
1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước Ở Việt Nam, trong những năm gần đây cũng có khá nhiều nghiên cứu về vật liệu FGM Các công trình của Đào Văn Dũng, Đào Huy Bích, Hoàng Văn Tùng và rất nhiều tác giả khác đã được công bố trên các tạp chí uy tín trong và ngoài nước.Bùi Quốc Bình (2009) [26] giới thiệu phương pháp mô hình hóa vật liệu chức năng theo lý thuyết tấm Mindlin, khảo sát tấm với các đặc trưng của tấm và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS Phượng và Tú (2012) [27] nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm FGM chữ nhật tựa khớp trên chu vi chịu tải trọng vuông góc với mặt trung bình theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff-Love Khảo sát đã đưa ra các kết quả số và đưa ra nhận xét sự tương đồng với kết quả với tấm đẳng hướng Trung và Dũng (2012) [28] nghiên cứu phi tuyến ứng xử của tấm S-FGM trên nền đàn hồi bằng cách sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Bubnov-Galerkin Dũng (2014) [29] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để tính toán độ võng và ứng suất của tấm FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ Phần tử đẳng tham số chín nút mỗi nút gồm năm bậc tự do được sử dụng để mô hình phần tử tấm Kết quả số được khảo sát với các trường hợp khác nhau và được so sánh với các kết quả đã được công bố của tác giả khác cho thấy độ tin cậy của thuật toán và chương trình Đức và Cống (2015) [30] đưa ra phương pháp phân tích phi tuyến phản ứng động và dao động của tấm dày FGM trên nền đàn hồi giải bằng phương pháp Runge–Kutta
Ngoài các bài báo khoa học thì rất nhiều luận văn cao học cũng đã nghiên cứu về vật liệu FGM và ứng xử của tấm FGM Nguyên (2013) [31] khảo sát tấm động di động sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko kết hợp với quan hệ phi tuyến giữa biến dạng – chuyển vị của Von- Karman Ở nước ta trong những năm gần đây có một số các nghiên cứu sử dụng phương pháp MEM có thể kể đến Duy (2013) [33] phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác đất nền Hải và cộng sự (2013) [34] phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Một số luận văn cao học đã nghiên cứu về phương pháp MEM trong đó có Anh (2013) [35] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Nhi (2014) [36] đã phân tích ứng xử của tấm với mô hình tấm dày Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM, đây là nghiên cứu mới hơn do hầu hết các nghiên cứu trước đây về phương pháp MEM chỉ mới được ứng dụng để phân tích động lực học tàu cao tốc và bài toán về dầm chịu tải trọng động chứ không sử dụng cho bài toán tấm chịu tải trọng động Do đó, luận văn này sẽ tiếp nối các nghiên cứu về vật liệu tấm FGM và các nghiên cứu về phương pháp MEM để giải quyết bài toán ứng xử của tấm FGM chịu tải trọng động trên nền đàn nhớt, từ đó rút ra các kết luận và đề xuất các giải pháp áp dụng trong thực tế.
Mục tiêu và hướng nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn là phân tích ứng xử động của tấm vật liệu chức năng Functionally Graded Materials (FGM) trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tấm chuyển động MEM Các vấn đề nghiên cứu trong luận văn bao gồm:
Thiết lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm FGM sử dụng phương pháp MEM
Phát triển thuật toán lập trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán
Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của luận văn với các kết quả các nghiên cứu của tác giả khác
Thành lập và thực hiện các ví dụ số để khảo sát sự ảnh hưởng của các đại lượng khác nhau đến ứng xử động của bài toán, từ đó rút ra các kết luận.
Cấu trúc luận văn
Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm FGM chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài
Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích động lực tấm FGM trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động
Chương 3: Trình bày các ví dụ số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán
Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3
SỞ LÝ THUYẾT
Khái niệm chung về tấm vật liệu chức năng Functionally Graded Materials (FGM)
Vật liệu FGM là một loại Composite đặc biệt được kết hợp từ hai loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu như Hình 1.1 Hàm đặc trưng cho các hằng số vật liệu FGM giả thiết theo Reddy (2000) [2]:
P t - Hằng số vật liệu của vật liệu mặt trên tấm; P b - Hằng số vật liệu của vật liệu mặt dưới tấm; P z - Hằng số vật liệu của vật liệu tại tọa độ z bất kỳ; V c là hàm tỉ lệ thể tích Qui luật phân bố của hàm tỉ lệ thể tích là cơ sở để phân loại vật liệu FGM Vật liệu P-FGM có V c thay đổi theo qui luật lũy thừa Vật liệu E-FGM khi V c thay đổi theo quy luật hàm e-mũ Vật liệu S-FGM khi V c thay đổi theo quy luật sigmoid (hàm Logarit chuẩn) Luận văn nghiên cứu tấm P-FGM như Hình 2.1
Hình 2.1 Mô hình tấm P-FGM
Bề mặt giàu Kim loại
Tính chất vật liệu của tấm P-FGM
Hàm tỉ lệ thể tích V c của tấm P-FGM tuân theo quy luật lũy thừa Power-Law:
(2.2) n là tham số vật liệu (chỉ số tỉ lệ thể tích); h là chiều dày tấm:
Module đàn hồi (Young ‘s module) được xác định sau:
Trọng lượng riêng của tấm được xác định như sau:
Hệ số Poisson của tấm được xác định như sau :
E m module đàn hồi kéo (nén) của vật liệu ở mặt dưới
và E c là module đàn là hồi kéo (nén) của vật liệu ở mặt trên
Biến thiên của module đàn hồi theo chiều dày biểu diễn trên Hình 2.2, cho thấy module đàn hồi tăng nhanh tại vị trí gần bề mặt trên tấm khi n1 và gần bề mặt dưới khi n 1 (Với c 380
E GPa, E m 70GPa) Delale and Erdogan (1982) [37] đã chỉ ra rằng ảnh hưởng của hệ số Poisson v v z trên ứng xử của tấm là ít hơn rất nhiều so với module đàn hồi E E z , cho nên hệ số Poisson của tấm được xem là hằng số
Hình 2.2 Biến thiên của module đàn hồi E
Lý thuyết tấm Mindlin
Trong luận văn này sẽ phân tích ứng xử của tấm P-FGM theo mô hình tấm Reissner-Mindlin
Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin (1951) [49]:
Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng
Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo, nén
Bỏ qua ứng suất pháp z Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung
Young's Module (GPa) n=0 n=0.2 n=0.5 n=1 n=5 n=2 n n = 0.1 n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 2 n = 5 n = 10 z/h E bình gây ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra (Hình 2.3)
Hình 2.3 Mô hình kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin
2.3.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng-chuyển vị
Xét tấm FGM chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Reissner- Mindlin, với w là độ võng tấm, x , y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục Ox và Oy của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương cho ở Hình 2.4, là mặt trung hòa của tấm và h là độ dày của tấm Các thành phần u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương z; w 0 là chuyển vị tại mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng: u 0 v 0 0)
Hình 2.4 Mô hình tấm FGM trên nền đàn nhớt
Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm FGM theo lý thuyết tấm Mindlin được tạo bởi :
Và các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v và w được biểu diễn như sau:
Hình 2.5 Qui ước chiều dương của chuyển vị w và 2 chuyển vị xoay của tấm
Reissner-Mindlin trên nền đàn nhớt z
2.3.3 Ứng suất của tấm và mối quan hệ ứng suất-biến dạng
Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:
Biến dạng uốn của tấm theo Mindlin (1951) [49]:
T T b x y xy z x x y y x y y x z b ε κ (2.9) trong đó véctơ thành phần độ cong:
L (2.11) hay công thức (2.10) được viết cách khác:
Biến dạng cắt ngang của tấm:
Biểu thức của biến dạng cắt được viết lại:
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: Ứng suất của tấm lần lượt là ứng suất uốn và ứng suất cắt Mối liên hệ giữa biến dạng uốn và biến dạng cắt theo định luật Hooke như sau: Ứng suất uốn của tấm: x
(2.22) trong đó E z là module đàn hồi của vật liệu tấm, là hệ số Poisson Ứng suất cắt của tấm:
s là hệ số hiệu chỉnh cắt
Moment và lực cắt được xác định như sau:
2.3.4 Phương trình năng lượng của tấm
Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:
Thay công thức (2.8), (2.18), (2.23) và (2.21) vào (2.29), thế năng biến dạng của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt được viết lại:
(2.30) trong đó D b , D s lần lượt là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm, và được xác định bởi:
Ta có động năng của tấm Mindlin:
T z w z z dAdz u udA (2.34) với m là ma trận khối lượng:
Phần tử đẳng tham số
Luận văn này sử dụng phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element -
Q 9) thuộc loại đẳng tham số (isoparametric element) có các hàm nội suy song tuyến tính (bilinear interpolation fucntion) để mô hình hóa bài toán khảo sát.Với phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút, phần tử quy chiếu là hình vuông có các tọa độ nút theo hệ tọa độ tự nhiên cho trong Hình 2.7 còn phần tử thực là phần tử tứ giác 9 nút có biên cong hoặc thẳng như trong Hình 2.6
Hình 2.6 Phần tử tứ giác Q 9 trong hệ tọa độ địa phương
Hình 2.7 Phần tử tứ giác Q 9 trong hệ tọa độ tự nhiên
Rời rạc hóa miền bài toán thành N e phần tử tứ giác chín nút Q 9 sao cho
với i j , i j Vì liên quan đến các phép tính tích phân sau này, để cho việc chuẩn hóa các tọa độ tiện lợi hơn nên ta đặt sao cho cạnh 1-2 có
1, cạnh 3-4 có 1, cạnh 1-4 có 1, cạnh 2-3 có 1 Dạng hình học của phần tử được cho bởi tổ hợp tuyến tính:
(2.37) với x y i , i là tọa độ của nút thứ i i 1 9 trong hệ tọa độ tổng thể x y ,
Ba đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:
(2.38) trong đó w i , xi , yi là giá trị của các hàm w, x , y tại nút i hay cũng là các bậc tự do tại nút i η ξ
Các hàm dạng để nội suy của phần tử Q 9 được xác định bởi:
Véctơ chuyển vị nút phần tử gồm 27 thành phần được xác định như sau:
Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ được định nghĩa như sau:
Quan hệ giữa các đạo hàm của các hàm dạng N i trong tọa độ tự nhiên O và trong tọa độ tổng thể Oxy được cho bởi:
(2.45) Định thức của ma trận Jacobi được dùng trong công thức tích phân chuyển đổi như sau:
2.4.2 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss
Mặt dù một số tích phân có dạng trong công thức (2.46) có thể giải được bằng giải tích, nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp tỏ ra rất khó khăn Đặc biệt khi
, biến thiên theo đường cong Trong thực tế công thức (2.46) được tính bằng phương pháp số, sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phần tử Các qui tắc cầu phương trong mặt phẳng đều có dạng sau:
(2.47) trong đó i , i là tọa độ điểm nằm trong phần tử, w w i , j là các trọng số tương ứng, n là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương
Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm
, f là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 2 n 1
Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss n i , j w w i , j
2.5 Thiết lập công thức phần tử chuyển động Moving Element Method
(MEM) của tấm FGM trên nền đàn nhớt Để thiết lập phương trình ứng xử của bài toán tấm trên nền đàn nhớt, Luận văn sử dụng nguyên lý công ảo được phát biểu như sau: nếu một vật thể biến dạng được cân bằng thì công nội ảo bằng với công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ động
Công nội ảo của kết cấu tấm được cho bởi:
(2.48) trong đó: κ b B d b , γB d s (2.49) với B b , B s lần lượt là các ma trận biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử tấm và được xác định như sau:
Công ngoại ảo của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt được cho bởi:
Công ảo gây ra do lực phân bố đều p:
(2.52) với b p x y , 0 0 T là véctơ tải trọng
Công ảo gây ra do lực quán tính:
Công ảo gây ra do lực đàn hồi của nền:
Công ảo gây ra do lực cản của nền:
Luận văn nghiên cứu bài toán tấm chịu tải trọng di động Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không đổi V như trong Hình 1.3 Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, phương trình động học được chuyển sang một hệ tọa độ
r s , gắn liền với tải trọng di động Trong đó, trục r di chuyển cùng vận tốc với tải trọng di động Mối quan hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau: x r Vt (2.56) y s (2.57) hay r x Vt (2.58) sy (2.59) trong đó x y , lần lượt là hệ tọa độ cố định; r s , lần lượt là hệ tọa độ chuyển động; V và t lần lượt là vận tốc và thời gian di chuyển
Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa độ chuyển động được biểu diễn như sau:
Từ phương trình (2.58), các đạo hàm của r theo t được xác định bởi: r x Vt r V t
(2.61) Sử dụng đạo hàm riêng phần đối với các biến, đạo hàm của ,w x , y theo r s t, ,lần lượt được xác định bởi:
(2.67) trong đó u w x y T , u w x y T lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của trường chuyển vị u
Tại thời điểm bất kỳ t, miền bài toán được khảo sát trong hệ tọa độ cố định
x y , là 0 Vt L Vt 0 B hay Vt L Vt 0 B Tuy nhiên, trong hệ tọa độ chuyển động r s , , miền này là 0 L 0 B , trong đó , L B là kích thước tấm
Toán tử L s trong công thức (2.19) và toán tử L s trong công thức (2.13) trong hệ tọa độ chuyển động được viết lại
Khi đó công nội ảo trong hệ tọa độ chuyển động được xác định như sau:
Thay công thức (2.75) và (2.76) vào (2.69) và (2.74), phương trình công nội và công ngoại ảo được viết lại: d d d d
d B D B B D B d (2.79) trong đó B B b , s lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và gradient biến dạng cắt của phần tử tấm trong hệ tọa độ chuyển động và được xác định như sau:
Cân bằng công nội ảo và công ngoại ảo, phương trình được xác định:
(2.82) Áp dụng phương pháp Galerkin và sử dụng các hàm dạng chuyển vị N, các véctơ lực, ma trận khối lượng, cản và độ cứng của phần tử tấm lần lượt được xác định như sau:
(2.83) với ,r là đạo hàm theo r và ,rr là đạo hàm cấp hai theo r
Như vậy cuối cùng phương trình tổng quát chuyển động của các phần tử tấm FGM được viết như sau:
Mu t Cu t Ku t P t (2.84) với u( )t là véctơ chuyển vị theo thời gian của phần tử tấm Trong đó M, C và K là các ma trận khối lượng tổng thể, cản tổng thể và độ cứng tổng thể; P là véc tơ tải tổng thể.
Phương trình cân bằng của kết cấu
Phương trình cân bằng động của hệ kết cấu nhiều bậc tự do có dạng:
Mu Cu Ku P (2.85) trong đó
K K (2.86) Đối với bài toán phân tích tĩnh, phương trình (2.85) được viết lại thành:
KuP (2.87) Đối với bài toán dao động tự do không cản của kết cấu, phương trình (2.85) trở thành:
Bằng cách xem các dao động là điều hòa với tần số góc và biên độ được xác định:
Phương trình dao động tự do không cản dẫn đến bài toán trị riêng có dạng:
Phương trình này được gọi là phương trình trị riêng Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và sẽ có nghiệm không tầm thường đối với u khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số:
(2.91) Định thức này cho ta một phương trình đại số bậc n đối với 2 Giải phương trình này ta tìm được n nghiệm thực dương, hay n giá trị dương của Từ đó ta tìm được n tần số riêng i i 1 n Tương ứng với mỗi tần số riêng i , ta sẽ tìm được véctơ riêng tương ứng u i Véctơ u i cho ta biên độ dao động của nút và được gọi là dạng dao động (mode shape) của hệ kết cấu tương ứng với tần số riêng thứ i.
Phương pháp Newmark
Luận văn sử dụng phương pháp số Newmark (1959) [44] để giải bài toán chuyển động (2.84) Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm i suy ra giá trị của thời điểm tại i1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước thời gian Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị
Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:
trong đó: độ lớn bước thời gian là t; giá trị gia tốc tại các thời điểm t, t t tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là i, i1 được kí hiệu lần lượt là u i , u i 1
Thay hai phương trình trong (2.92) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i1 như sau:
Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian u i 1 có dạng:
M u P (2.94) với M eff là khối lượng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian chúng được xác định bởi các biểu thức sau: t t 2
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.95) thu được giá trị của gia tốc tại cuối bước thời gian là u i 1 Thay giá trị gia tốc u i 1 vừa tìm được vào phương trình (2.93) suy ra được giá trị của vận tốc u i 1 và chuyển vị u i 1 tại thời điểm i1
Một hướng khác để giải phương trình chuyển động theo phương pháp Newmark mà không dùng cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụng M eff trong (2.94) như trong dạng gia tốc mà nghịch đảo ma trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị nên gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình
Từ hai phương trình trong (2.95), suy ra biểu thức của gia tốc u i 1 và vận tốc u i 1 tại thời điểm cuối của bước thời gian i1 theo các đại lượng còn lại như sau:
Thay hai phương trình trong (2.96) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i1, kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian u i 1 có dạng là:
K u eff i 1P eff (2.97) với K eff là độ cứng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị và chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây:
Giải phương trình đại số tuyến tính (2.99) thu được giá trị của chuyển vị tại cuối bước thời gian u i 1 Thay giá trị chuyển vị u i 1 vừa tìm được vào các phương trình (2.93) suy ra giá trị của vận tốc u i 1 và gia tốc u i 1
Thuật toán sử dụng trong Luận văn
Luận văn sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình tìm nghiệm ở dạng chuyển vị Các bước để giải phương trình chuyển động trong Luận văn theo phương pháp Newmark được trình bày như sau:
Các bước tiến hành trong Luận văn như sau:
Xác định các dữ liệu của bài toán gồm: các thông số kết cấu tấm FGM gồm đặc trưng vật liệu mặt trên tấm và đặc trưng vật liệu mặt dưới tấm là trọng lượng riêng , module đàn hồi E , hệ số Poission của tấm, kích thước
L B H , , , hệ số tỷ lệ thể tích n; các thông số của đất nền đàn nhớt gồm: độ cứng của đất nền k f , độ cản của nền c f , vận tốc của lực di chuyển V Các thông số lần lượt được liệt kê trong các Bảng 2.2, Bảng 2.3
Bảng 2.2 Thông số tấm FGM
Vật liệu Module đàn hồi
Bảng 2.3 Thông số nền đàn nhớt
Hệ số độ cứng nền (N/m 3 )
Hệ số độ cản nền (N.s/m 3 ) k f c f
Bảng 2.4 Thông số tải trọng
Lực tập trung Vận tốc
Thiết lập các ma trận khối lượng M, các ma trận độ cứng K, ma trận cản C của kết cấu tấm và nền bằng cách ghép nối ma trận
Xác định ma trận tải trọng tác dụng lên tấm cần khảo sát Sau đó thiết lập phương trình chuyển động và chọn bước thời gian t
Nhập điều kiện ban đầu u 0 , u 0 và u0M 1 P 0Cu0Ku 0
Rời rạc hóa véctơ tải trọng theo biến thời gian
Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân Newmark Giải bài toán theo dạng tìm chuyển vị, xuất các kết quả, vẽ biểu đồ và lập bảng thống kê để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm FGM trên nền đàn nhớt Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá và kết luận
2.8.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị
Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng theo (2.95)
Tính véctơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i1 theo (2.95)
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.94) để tìm gia tốc tại thời điểm i1 là u i 1
Tìm các giá trị vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i1theo các phương trình (2.92)
2.8.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc
Xác định ma trận độ cứng hiệu dụng theo (2.98)
Tính véctơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm i1 theo (2.99)
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.97) để tìm chuyển vị tại thời điểm 1 i là u i+1
Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i1theo các phương trình (2.96)
2.8.4 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark
Như đã đề cập trong 2.7, phương pháp Newmark với 1
4 còn gọi là phương pháp gia tốc trung bình cho sự ổn định không điều kiện và độ chính xác tốt
Do đó Luận văn này sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình với 1
4 để giải bài toán Sự hội tụ sẽ được tiến hành kiểm tra trong Luận văn
Trong Luận văn này sử dụng phương pháp Newmark và ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản (R2014a) để tìm nghiệm dạng chuyển vị.
Lưu đồ tính toán
Hình 2.8 Lưu đồ tính toán
Nhập các thông số đầu vào (như liệt kê ở mục 2.8.1) Nhập bước thời gian lặp t
Xác định chuyển vị, vận tốc và gia tốc ban đầu u u i , i và u i Rời rạc hóa phần tử tấm
Thiết lập các hàm dạng Thiết lập M e , C e , K e
Giả thiết chuyển vị, vận tốc và gia tốc ở thời điểm kế tiếp
Mô phỏng tải trọng tác dụng lên tấm trong hệ tọa độ MEM Đúng Tính K eff và P eff
Giải hệ phương trình chuyển vị tìm u i 1 ,u i 1 , u i 1
So sánh u i 1 ,u i 1 , u i 1 với giải thiết ban đầu có nhỏ hơn giới hạn cho phép
Chương này trình bày các kết quả phân tích số của tấm FGM trên nền đàn nhớt chịu tác động của tải trọng di động bằng cách sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) Các nghiên cứu được thực hiện nhắm đến các mục tiêu chính như sau:
Khảo sát ứng xử của tấm FGM khi chịu tác động của tải trọng tĩnh và dao động tự nhiên của tấm
Khảo sát các thông số khác nhau ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm FGM như hệ số tỷ lệ thể tích, vận tốc lực di chuyển, độ cứng nền, độ cản nền, chiều dày tấm…trong ứng xử động
Ngoại trừ được ghi rõ cụ thể trong từng bài toán phân tích, các thông số tính toán được sử dụng trong toàn bộ các phân tích nêu trong Luận văn này được trình bày trong các Bảng 3.1, Bảng 3.2 và Bảng 3.3
Bảng 3.1 Thông số vật liệu FGM theo Talha và Singh (2010) [16]
Vật liệu Module đàn hồi
E (GPa) ν Trọng lượng riêng ρ (kg/m 3 )
Bảng 3.2 Thông số tấm FGM
Vật liệu Module đàn hồi
Bảng 3.3 Thông số tải trọng
Lực tập trung Vận tốc P (N) V (m/s)
Bảng 3.4 Thông số nền đàn nhớt
Hệ số độ cứng nền k f (N/m 3 )
Hệ số độ cản nền c f (N.s/m 3 )
Các bài toán được thực hiện trong Luận văn này bao gồm:
Kiểm chứng chương trình Matlab
Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm FGM khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh
Bài toán 2: Phân tích dao động tự do của tấm
Phân tích động lực học tấm FGM trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động
Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của bài toán
Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động khi chiều dày tấm h thay đổi
Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động khi hệ số thể tích n thay đổi
Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động khi độ cứng nền k f thay đổi
Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động khi độ cản nền c f thay đổi
Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động khi vận tốc lực di chuyển V thay đổi
Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động khi giá trị lực di chuyển P thay đổi
Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi module đàn hồi E c E m thay đổi
DỤ SỐ
Kiểm chứng chương trình Matlab
3.1.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh 3.1.1.1 Bài toán tấm đồng nhất
Xét bài toán tấm đồng nhất trên nền đàn hồi chịu tác động của tải đứng yên tại trọng tâm tấm Tấm có các kích thước chiều dài L = 20(m), chiều rộng B = 10(m), chiều dày h = 0.5(m), bốn biên ngàm như trong Hình 3.1 Thông số vật liệu của tấm với module đàn hồi E m = E c = 1.5625x10 10 (N/m 2 ), hệ số Poisson ν = 0.35, trọng lượng riêng của tấm ρ m = ρ c = 2440(kg/m 3 ) Tấm được đặt trên nền đàn hồi Winkler đồng nhất có độ cứng đàn hồi k f = 9.5x10 7 (N/m 3 ) Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, phần tử tấm được rời rạc hóa theo phương x và y lần lượt là 6x6, 10x10, 16x16,
Hình 3.1 Mô hình tấm trên nền đàn hồi
Luận văn tiến hành so sánh kết quả với các lời giải từ phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử 9 nút (FEM-9) Sự hội tụ của chuyển vị tại vị trí đặt lực của các phương pháp trên tương ứng với các lưới chia phần tử được thể hiện trong Hình 3.2 và Bảng 3.5 h k f k f k f k f k f k f k f
Hình 3.2 Sự hội tụ của chuyển vị tại vị trí đặt lực trên tấm Bảng 3.5 Sự hội tụ của chuyển vị w (x10 -6 m) tại vị trí đặt lực ứng với các hệ số k f k f
(N/m 3 ) Phương pháp Lưới phần tử
Từ kết quả phân tích trên, có thể nhận thấy rằng khi lưới chia của phần tử càng được chia mịn thì kết quả nghiệm chuyển vị càng gần nhau và nghiệm dần tiến tới hội tụ
Trong đó, nghiệm của MEM và FEM-9 là hoàn toàn giống nhau vì cả hai phương pháp này cùng sử dụng phần tử 9 nút và khi vận tốc của tải trọng bằng 0 phương
Nghiệm hội tụ FEM-9 MEM thống trong bài toán phân tích tĩnh Sai số của các phương pháp so với lời giải giải tích được thể hiện trong Bảng 3.6
Bảng 3.6 Sai số (%) chuyển vị của các phương pháp với lưới chia phần tử
60x60 so với lời giải giải tích k f
Hình 3.3 Chuyển vị tại vị trí đặt lực của tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi Hình 3.3 thể hiện sự so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực giữa tấm đặt trên nền đàn hồi (k f = 9.5x10 7 N/m 3 ) và tấm không đặt trên nền đàn hồi (k f = 0) Có thể nhận thấy rằng, chuyển vị tấm FGM trên nền đàn hồi nhỏ hơn tấm không trên nền đàn hồi 3.52 lần, chuyển vị giảm từ -8.93.10 -6 (m) xuống -2.52.10 -6 (m) ứng với giá trị của
Chiều dài tấm theo phương x(m) kf=9.5e7 kf=0 k f = 9.5x10 7 (N/m 3 ) Kết quả này được ứng dụng trong thực tế thiết kế và thi công: muốn giảm ứng xử của tấm thì cần thiết phải gia cố nền với độ cứng thích hợp
Xét bài toán tấm FGM chịu tác động của tải phân bố đều Tấm có các thông số kích thước hình học không thứ nguyên của tấm như: L/B = 1, L/h = 100, bốn biên tựa đơn Thông số vật liệu của tấm FGM với module đàn hồi E m = 70x10 9 (N/m 2 ),
E c = 380x10 9 (N/m 2 ), hệ số Poisson ν=0.3, trọng lượng riêng của tấm m 2707 (kg/m 3 ), c 3800(kg/m 3 ) và hệ số tỉ lệ thể tích n1 Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, phần tử tấm được rời rạc hóa theo phương x và y lần lượt là 6x6, 10x10,
16x16, 20x20, 30x30, 60x60 Tiến hành so sánh kết quả với lời giải giải tích của Phượng và cộng sự (2012) [27] Kết quả độ võng không thứ nguyên được định nghĩa:
Bảng 3.7 và Hình 3.4 thể hiện sự hội tụ của chuyển vị w không thứ nguyên ứng với các lưới chia phần tử của kết cấu tấm Kết quả cho thấy khi lưới càng được chia mịn thì phương pháp MEM càng cho lời giải tiến đến lời giải của Phượng và cộng sự (2012) [27]
Bảng 3.7 Sự hội tụ của chuyển vị không thứ nguyên w
Sai số (%) của MEM so với giải tích
Hình 3.4 Sự hội tụ chuyển vị của tấm chịu tải phân bố đều Hình 3.5 và Bảng 3.8 thể hiện sự so sánh chuyển vị tại giữa tấm với các hệ số tỷ lệ thể tích khác nhau Có thể nhận thấy rằng, chuyển vị tấm FGM càng tăng khi hệ số tỉ lệ thể tích càng tăng Kết quả này là hợp lý vì khi n càng tăng thì độ cứng của tấm càng giảm
Bảng 3.8 Chuyển vị không thứ nguyên w với các giá trị n khác nhau
Hệ số tỉ lệ thể tích 0
Chuyển vị không thứ nguyên
Hình 3.5 Chuyển vị tại giữa tấm với các giá trị n khác nhau
3.1.2 Bài toán 2: Phân tích dao động tự do của tấm FGM 3.1.2.1 Bài toán tấm đồng nhất
Trong bài toán này, sự phân tích dao động tự do của tấm được thực hiện Tấm được sử dụng để phân tích có các kích thước chiều: chiều dài L 1 m , chiều rộng
B (m), chiều dày h = 0.01(m) với biên tựa đơn ở bốn cạnh Thông số vật liệu của tấm với module đàn hồi E m E c E1 17 10 x 10 (N/m 2 ), có hệ số Poisson 0 166
và trọng lượng riêng của tấm m c 10000(kg/m 3 ) Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, phần tử tấm được rời rạc hóa theo phương x và y lần lượt là 6x6, 10x10, 16x16, 20x20, 30x30 Kết quả của bài toán khảo sát sẽ được so sánh với FEM-9, và lời giải tích Leissa (1973) [43] Tần số dao động được khảo sát trong bài toán là tần số dao động không thứ nguyên được định nghĩa như sau:
Chuyển vị không thứ nguyên
Chiều dài tấm theo phương x (m) n1=0 n2=1 n3 n4=∞
Hình 3.6 và Bảng 3.9 thể hiện sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với mode dao động thứ nhất với các lưới chia phần tử của kết cấu tấm Kết quả cho thấy khi lưới càng được chia mịn thì cả MEM và FEM-9 càng cho lời giải tiến đến lời giải Leissa (1973) [43] Điều này hoàn toàn phù hợp lý thuyết khi phần tử có số nút càng lớn thì hội tụ càng nhanh Từ kết quả này có thể tin cậy vào phương pháp MEM cũng như độ tin cậy của code được lập trình
Hình 3.6 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode dao động thứ nhất của tấm Bảng 3.9 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode dao động thứ nhất
Phương pháp Lưới phần tử
Tần số không thứ nguyênϖ
Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng di động
của tải trọng di động
Xét bài toán tấm FGM trên nền đàn nhớt chịu tác động của tải trọng di động dọc theo chiều dài của tấm được mô hình như trong Hình 2.4 Tải trọng tập trung di chuyển với vận tốc V dọc theo trục x Thông số kích thước tấm, thông số vật liệu và thông số nền được cho trong Bảng 3.2, Bảng 3.3, Bảng 3.4 Tấm có 4 cạnh ngàm và được rời rạc hóa thành các phần tử có kích thước 1(m)x1(m)
3.2.1 Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của bài toán Để xác định sự lựa chọn bước lặp thời gian hợp lý nhằm sử dụng cho các bài toán của Luận văn, cần khảo sát sự hội tụ của phương pháp được sử dụng Ta tiến hành thực hiện khảo sát một nghiệm cụ thể bài toán với các bước lặp thời gian t thay đổi: 0.01s, 0.05s, 0.0025s, 0.001s Chuyển vị đứng w khi tính toán trong từng bước thời gian được thể hiện trong Hình 3.11
Tần số không thứ nguyênϖ
Hệ số tỷ lệ thể tích n
Hình 3.11 Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian Kết quả khảo sát cho thấy khi tăng bước thời gian lặp t thì chênh lệch kết quả càng nhỏ Điều này cho thấy khi càng tăng bước thời gian lặp t thì kết quả càng hội tụ về một trị số nghiệm Với tấm được chia thành các phần tử có kích thước 1(m)x1(m), có thể thấy rằng chênh lệch kết quả giữa bước lặp thời gian t= 0,0025s và 0,001s là rất nhỏ (0,00002%) Do đó, có thể kết luận rằng việc sử dụng bước lặp thời gian t = 0,0025s và kích thước phần tử 1(m)x1(m) là đủ để đạt nghiệm chính xác và sẽ được sử dụng cho việc khảo sát các bài toán trong Luận văn
3.2.2 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi chiều dày tấm h thay đổi
Trong bài toán này, ảnh hưởng của chiều dày tấm đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong bốn trường hợp h 1 = 0.25(m), h 2 = 0.5(m), h 3 = 0.8(m)và h 4 = 1(m) Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện trên Hình
3.12 tương ứng chuyển vị tại giữa tấm (x = 10m) và các giá trị chiều dày tấm thay
Bước thời gian Δt(s)Phần tử kích thước 1(m)x1(m)
Hình 3.12 So sánh chuyển vị ứng chiều dày tấm h thay đổi Bảng 3.13 So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi
Chiều dày h(m) Chuyển vị w(m) % Chênh lệch so với h 1 h 1 = 0.25 -1.416x10 -6 h 2 = 0.50 -4.343x10 -7 69% h 3 = 0.80 -1.504x10 -7 89% h 4 = 1.00 -8.866x10 -8 94%
Từ kết quả được cho trong Hình 3.12 và Bảng 3.13, khi chiều dày tấm tăng dần thì chuyển vị giảm dần, cụ thể hơn khi h tăng từ 0.25m đến 1m thì chuyển vị giảm 94% Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi chiều dày tấm tăng thì đồng nghĩa với việc độ cứng của tấm tăng do đó chuyển vị của tấm sẽ giảm đáng kể Để khảo sát rõ hơn mức độ ảnh hưởng của chiều dày tấm đến chuyển vị của tấm, Luận văn tiến hành khảo sát chiều dày tấm thay đổi từ 0.1m đến 2m Hình 3.13 thể hiện các giá trị của chuyển vị lớn nhất ứng với các giá trị của h thay đổi
Chiều dài của tấm theo phương x(m) h1=0.25 h2=0.5 h3=0.8 h4=1
Hình 3.13 Khảo sát chuyển vị lớn nhất ứng với các giá trị h thay đổi Từ kết quả trên cho thấy rằng khi chiều dày của tấm còn bé (0.1m) thì chiều dày tấm ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị (khi chiều dày tấm tăng từ 0.1m đến 1m thì chuyển vị giảm 50 lần) nhưng khi chiều dày của tấm càng lớn (trên 1m) thì chiều dày không còn ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị (chiều dày tăng từ 1m đến 2m nhưng chuyển vị chỉ giảm 4.37 lần) Điều này được giải thích rằng khi chiều dày tấm lớn thì khi đó độ cứng của tấm rất lớn, nên ứng với tác động nhỏ của lực dù có tăng độ cứng của tấm thì chuyển vị cũng giảm không đáng kể Vì thế cần phải tối ưu hóa chiều dày tấm trong thiết kế kết cấu tấm vì khi đã vượt qua chiều dày tối ưu thì có tăng chiều dày nữa cũng không có tác dụng đáng kể mà gây lãng phí vật liệu
3.2.3 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi hệ số vật liệu n thay đổi
Trong bài toán này, ảnh hưởng của module đàn hồi tấm đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong bốn trường hợp n 1 =0(Ceramic), n 2 =1, n 3 =10, và n 4 =∞(Metal) Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện
Hình 3.14 So sánh chuyển vị ứng hệ số vật liệu n thay đổi Bảng 3.14 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số vật liệu n thay đổi
Hệ số vật liệu n Chuyển vị w (m) % Chênh lệch so với n 1 n 1 = 0 (Ceramic) -1.073x10 -6 n 2 = 1 -1.416x10 -6 32.0% n 3 = 10 -1.913x10 -6 78.3% n 4 = ∞ (Kim loại) -2.551x10 -6 137.8%
Từ kết quả được cho trong Hình 3.14 và Bảng 3.14, khi hệ số vật liệu n của tấm tăng dần thì chuyển vị giảm dần, cụ thể hơn khi n tăng từ 0(Ceramic) đến ∞(Metal) thì chuyển vị tăng 137.8% Ta thấy rằng độ võng của tấm tăng dần khi n tăng từ 0 đến ∞ cũng có nghĩa là khi tấm là đẳng hướng Ceramic(Al 2 O 3 ), chỉ số n được tăng dần cho đến khi thành tấm đẳng hướng Metal(Al) thì độ võng tăng dần do độ cứng của tấm giảm dần Vì vậy trong thiết kế cần chọn hệ số n cho hợp lý để đảm bảo chuyển vị của tấm không vượt qua chuyển vị cho phép
Chiều dài của tấm theo phương x(m) n1=0 n2=1 n3 n4=∞
Hình 3.15 So sánh chuyển vị ứng với hệ số n thay đổi theo thời gian Hình 3.15 thể hiện các giá trị của chuyển vị theo thời gian ở trọng tâm của tấm Ở những giây đầu tiên chuyển vị có hiện tượng chưa ổn định chuyển động (transient- state) nhưng sau đó chuyển vị nhanh chóng đạt đến trạng thái ổn định (steady-state) Đây là một trong nhưng ưu điểm của MEM vì thời gian trạng thái chưa ổn định chuyển định rất ngắn Kết quả này cũng cho thấy rằng ứng với các hệ số nền n tăng dần thì giá trị biên độ của chuyển vị cũng tăng dần nhưng chu kỳ dao động của chuyển vị là không đổi
3.2.4 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi hệ số độ cứng nền k f thay đổi
Trong bài toán này, ảnh hưởng của độ cứng nền đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong bốn trường hợp K 1 =k f , K 2 =2k f , K 3 =4k f và K 4 =8k f Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện trên tương ứng chuyển vị tại giữa tấm (x = 10m) và các độ cứng nền tăng từ 1 đến 8 lần
Từ kết quả được cho trong Hình 3.16 và Bảng 3.15, nhận thấy rằng khi hệ số độ
Thời gian t(s) n1=0 n2=1 n3 n4=∞ chất vật lý của kết cấu, vì thế khi xây dựng công trình để giảm lún cho công trình phải gia cố nền để tăng độ cứng nền
Hình 3.16 So sánh chuyển vị ứng với nền có hệ số độ cứng k f thay đổi Bảng 3.15 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền k f thay đổi
Hệ số độ cứng k f Chuyển vị w(m) % Chênh lệch so với K 1
Hình 3.17 thể hiện các giá trị của chuyển vị theo thời gian Ở những giây đầu tiên chuyển vị có hiện tượng chưa ổn định chuyển động (transient-state) nhưng sau đó chuyển vị nhanh chóng đạt đến trạng thái ổn định (steady-state) Kết quả này cũng cho thấy rằng ứng với các hệ số nền k f tăng dần thì giá trị biên độ của chuyển vị giảm dần nhưng chu kỳ dao động của chuyển vị là không đổi
Chiều dài của tấm theo phương x(m)
Hình 3.17 Khảo sát chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị k f thay đổi
3.2.5 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi hệ số độ cản nền c f thay đổi
Trong bài toán này, ảnh hưởng của độ cản nền đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong bốn trường hợp C 1 =c f , C 2 =2c f , C 3 =4c f và C 4 =6c f Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển được thể hiện trên Hình 3.18, tương ứng chuyển vị tại giữa tấm (x = 10m) và các độ cản nền tăng từ 1 đến 6 lần
Từ kết quả được cho trong Hình 3.18 và Bảng 3.16 nhận thấy rằng khi hệ số độ cản nền tăng dần thì chuyển vị w giảm dần, cụ thể khi c f tăng 6 lần thì chuyển vị giảm 1.11 lần (tương đương với 10.4%) Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi nền có hệ số cản lớn thì ứng xử của kết cấu cũng như chuyển vị sẽ giảm đáng kể
LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
1 Mô hình đề nghị đã phản ánh đúng sự làm việc hợp lý kết cấu tấm FGM trên nền đàn nhớt Mô hình này đảm bảo độ tin cậy, độ chính xác và xu hướng hợp lý trong việc xác định ứng xử động lực học của tấm FGM dưới tác dụng của tải trọng di chuyển
2 Thông qua việc phân tích bài toán tĩnh, dao động tự nhiên và bài toán động
Các kết quả cho thấy lời giải của phương pháp MEM là hoàn toàn tin cậy và tỏ ra hiệu quả hơn FEM trong việc phân tích bài toán động
3 Ảnh hưởng của các thông số đến ứng xử động của tấm FGM chịu tải trọng động như: chiều dày, tỷ số module đàn hồi mặt trên và mặt dưới của tấm, vận tốc tải trọng, hệ số độ cứng nền, hệ số cản nền có tính chất chung là khi độ khi thay đổi các thông số này thì chu kỳ của chuyển vị sẽ không đổi, tuy nhiên khi tăng vận tốc lực di chuyển thì chu kỳ chuyển vị của tấm sẽ giảm tuyến tính.
![Bảng 3.1. Thông số vật liệu FGM theo Talha và Singh (2010) [16] - Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích động lực học tấm FGM chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động 2-D](https://media.store123doc.com/figures/005/163/bang-thong-so-vat-lieu-fgm-talha-singh-5163518.webp)
