Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Đánh giá chuyển vị đường viền hầm tròn đào ngang theo lý thuyết đàn hồi, đàn hồi dẻo

Mục đích của đề tài luận văn bao gồm:  Nghiên cứu các mô hình tính toán ứng suất – biến dạng trong môi trường đất đá xung quanh công trình ngầm và lựa chọn mô hình tính toán phù hợp vớ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2015

NGUYỄN MINH KHUÊ

ĐÁNH GIÁ CHUYỂN VỊ ĐƯỜNG VIỀN HẦM TRÒN ĐÀO NGANG THEO

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, ĐÀN HỒI DẺO

Chuyên ngành: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH NGẦM Mã số ngành: 60.58.02.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA QL CHUYÊN NGÀNH

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : NGUYỄN MINH KHUÊ MSHV : 13090082

Chuyên ngành : Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Ngầm Mã số : 60.58.02.04

I TÊN ĐỀ TÀI:

Đánh giá chuyển vị đường viền hầm tròn đào ngang theo lý thuyết đàn hồi, đàn hồi dẻo

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Nhiệm vụ: Phân tích tổng hợp và đánh giá các giá trị ứng suất – biến dạng, chuyển vị của

đường viền hầm tròn đào ngang có xét đến điều kiện môi trường địa chất, điều kiện thi công, độ sâu chôn công trình

Nội dung:

 Đánh giá chuyển vị đường viền hầm tròn đào ngang trên cơ sở lý thuyết đàn hồi bằng tính toán giải tích thông qua phân bố ứng suất và theo mô phỏng bằng phần mềm Phase2  Đánh giá phạm vi vùng biến dạng dẻo theo lý thuyết, mô phỏng bằng phần mềm và mức

độ tiếp cận trạng thái giới hạn bằng chương trình tự thiết lập  Phân tích đánh giá chuyển vị đường viền trên cơ sở lý thuyết đàn hồi dẻo có và không có

xét vai trò của áp lực dung dịch theo lý thuyết, mô phỏng bằng phần mềm

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 19 / 01 /2014

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 14 / 06 /2015

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS BÙI TRƯỜNG SƠN

Tp HCM, ngày 14 tháng 06 năm 2015

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS TS BÙI TRƯỜNG SƠN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TS LÊ BÁ VINH

TRƯỞNG KHOA QL CHUYÊN NGÀNH

TS NGUYỄN MINH TÂM

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này hoàn thành đã ghi dấu sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị em, gia đình và bạn bè Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới:

Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, Bộ môn Địa cơ Nền móng - Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong bộ môn Địa cơ Nền móng - Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM đã tận tình truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong thời gian tôi học tập tại trường để phục vụ cho luận văn và công việc của tôi sau này

Phó giáo sư - Tiến sĩ Bùi Trường Sơn, người thầy kính mến đã hết lòng giúp

đỡ, tận tình dạy bảo tôi trong thời gian học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp, đã động viên, chia sẻ những khó khăn trong công việc và hỗ trợ tôi trong quá trình học tập

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình và người thân, đã cho tôi nguồn động viên tinh thần to lớn để hoàn thành luận văn này

Luận văn được hoàn thành nhưng không thể tránh được những thiếu sót và hạn chế Rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện và có ý nghĩa thực tiễn

Đánh giá chuyển vị đường viền hầm tròn đào ngang theo lý thuyết đàn hồi, đàn hồi dẻo

Evaluating boundary displacements of horizontal circular tunnels base on elastic and elasto – plastic theories

TÓM TẮT

Sau khi khai đào, dưới tác dụng của áp lực đất đá, trạng thái ứng suất xung quanh hầm tròn thay đổi và gây biến dạng Trên cơ sở lý thuyết đàn hồi và đàn hồi dẻo, tiến hành đánh giá phân tích chuyển vị đường viền hầm tròn đào ngang bằng phương pháp giải tích, phần mềm Phase2 Ngoài ra, việc đánh giá mức độ tiếp cận trạng thái giới hạn trong môi trường xung quanh công trình bằng chương trình tính toán tự thiết lập có thể phân tích khả năng ổn định của hầm sau khi khai đào Kết quả nghiên cứu đưa ra rất hữu ích cho việc tính toán, thiết kế công trình phù hợp với điều kiện thực tế

ABSTRACT

After excavating, under earth pressure, stress state of surrounding field of circular tunnel is changed and causes displacements Based on the elastic and elasto – plastic theories, boundary displacements of horizontal circular tunnels are evaluated and analyzed by analytical methods, Phase2 software In addition, evaluation of the approaching degree to limit state in surrounding environment is necessary for analysing the stability of tunnels after excavation The research results are useful for calculating and designing underground structures reasonably in practice

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Luận văn này là đề tài nghiên cứu thực sự của tác giả, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Bùi Trường Sơn

Tất cả số liệu, kết quả tính toán, phân tích trong luận văn là hoàn toàn trung thực Tôi cam đoan chịu trách nhiệm về sản phẩm nghiên cứu của mình

Tp.HCM, ngày 14 tháng 6 năm 2015

Học Viên

Nguyễn Minh Khuê

1.1.1 Định nghĩa và các yếu tố ảnh hưởng 3

1.1.2 Phân tích lý thuyết trạng thái ứng suất nguyên sinh 4

1.1.2.1 Khái quát trạng thái ứng suất nguyên sinh 4

1.1.2.2 Khối đất đá đàn hồi 7

1.1.2.3 Khối đất đá không đàn hồi, đồng nhất 12

1.1.2.4 Độ sâu giới hạn và trạng thái ứng suất giới hạn dẻo trong khối đất đá đàn hồi dẻo 12

1.1.3 Ảnh hưởng của địa mạo và các quá trình địa chất 14

1.1.4 Xác định ứng suất nguyên sinh bằng đo đạt 19

1.1.4.1 Các phương pháp đo ứng suất nguyên sinh 20

1.1.4.2 Một số kết quả đo đặc trưng 20

1.2.ỨNG XỬ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG XUNG QUANH HẦM TRÒN ĐÀO NGANG 21

1.2.1 Khái quát 21

1.2.2 Điều kiện bài toán và sơ đồ bài toán khối đất đá đồng nhất 25

1.2.3 Các phương trình cơ bản 26

1.2.3.1 Phương trình cân bằng 26

1.2.3.2 Phương trình liên tục của biến dạng 28

1.2.3.3 Điều kiện biên 29

2.1.2 Khảo sát quy luật biến đổi cơ học 31

2.1.3 Kích thước khu vực cần khảo sát 33

2.1.4 Ý nghĩa của thành phần áp lực trong pi 34

2.1.5 Lời giải của Kirsch 35

2.2.MÔ HÌNH KHỐI ĐẤT ĐÁ ĐÀN HỒI DẺO 38

2.2.1 Sự hình thành vùng biến dạng dẻo không phá hoại 38

2.2.2 Xác định vùng phá hoại của đất đá xung quanh công trình hầm tròn 46

3.3.2 Đánh giá chuyển vị đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo 63

3.3.3 Đánh giá chuyển vị đường viền theo phần mềm Phase 2 trên cơ sở mô hình đàn hồi dẻo 64

3.4.KẾT LUẬN CHƯƠNG 65

KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

PHỤ LỤC 69

PHỤ LỤC 1: CÁC GIAO DIỆN TỪ PHẦN MỀM PHASE2 69

1 Nhập thông số trong môi trường đàn hồi 69

2 Thiết lập môi trường trọng lực cho mô hình tính 70

3 Ứng suất chính lớn nhất trên đường viền trong môi trường đàn hồi khi không có dung dịch 70

4 Ứng suất chính nhỏ nhất trên đường viền trong môi trường đàn hồi khi không có dung dịch 71

5 Ứng suất tiếp trên đường viền trong môi trường đàn hồi khi không có dung dịch 71

6 Nhập thông số trong môi trường đàn hồi dẻo 72

7 Ứng suất chính lớn nhất trên đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo khi không có dung dịch 73

8 Ứng suất chính nhỏ nhất trên đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo khi không có dung dịch 73

9 Ứng suất chính lớn nhất trên đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo khi có dung dịch 74

10 Ứng suất chính nhỏ nhất trên đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo khi có dung dịch 74

11 Ứng suất tiếp trên đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo khi không có dung dịch 75

12. Ứng suất tiếp trên đường viền trong môi trường đàn hồi dẻo khi có dung

dịch 75

PHỤ LỤC 2: CÁC GIAO DIỆN TỪ CHƯƠNG TRÌNH TỰ THIẾT LẬP 76

1 Nhập thông số đầu vào 76

2 Ứng suất chính lớn nhất trên đường viền khi không có dung dịch 76

3 Ứng suất chính nhỏ nhất trên đường viền khi không có dung dịch 77

4 Ứng suất tiếp trên đường viền khi không có dung dịch 77

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Các thành phần ứng suất tại một điểm của khối đất đá 4

Hình 1.2 Sơ đồ đơn giản xác định trạng thái ứng suất nguyên sinh 5

Hình 1.3 Khối đất đá đàn hồi, phân lớp 10

Hình 1.4 Quy luật phân bố ứng suất trong khối đất đá đàn hồi, phân lớp 12

Hình 1.5 Trạng thái giới hạn trên biểu đồ Mohr 13

Hình 1.6 Mặt cắt khi địa hình không phẳng 15

Hình 1.7 Ví dụ phân tích trạng thái ứng suất nguyên sinh bằng phần mềm FLAC 15Hình 1.8 Kết quả xác định phương và cường độ của ứng suất chính của trạng thái ứng suất nguyên sinh theo Amadei và Stephasson (1997) 16

Hình 1.9 Hệ số áp lực ngang trong khối đất đá phân lớp, nếp lồi 17

Hình 1.10 Áp lực ngang trong khối đất đá nứt nẻ 17

Hình 1.11 Ảnh hưởng của đặc điểm cấu trúc đến quy luật phân bố thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng 17

Hình 1.12 Hoạt động địa chất và các trạng thái ứng suất nguyên sinh 18

Hình 1.13 Phương chiều thường dùng đo ứng suất nguyên sinh 20

Hình 1.14 Một số dạng mặt cắt công trình ngầm, cấu trúc khối đất đá 22

Hình 1.15 Phân bố ứng suất xung quanh đường hầm trong khối đất đá đàn hồi 23

Hình 1.16 Sơ đồ vùng biến dạng dẻo và phân bố ứng suất quanh hầm (a) Ổn định đường hầm theo thời gian (b) 24

Hình 1.17 Mô hình phân tích quá trình biến đổi cơ học trong khối đất đá xung quanh công trình ngầm tiết diện tròn 26

Hình 1.18 Các thành phần ứng suất và dịch chuyển tại phân tố thể tích dV 27

Hình 2.1 Quy luật phân bố ứng suất do áp lực trong 35

Hình 2.2 Ứng suất trong lỗ tròn quanh vật thể đàn hồi (Kirsch.1898; Jaeger và

Hình 2.6 Biểu đồ biểu thị tương tác của vỏ với khối đất đá 44

Hình 2.7 Biểu đồ ứng suất – biến dạng khối đất Lyberman 47

Hình 2.8 Phân bố ứng suất trong môi trường giòn lý tưởng 47

Hình 2.9 Đường bao ứng suất 48

Hình 2.10 Tổng quát ba vùng ứng suất xung quanh đường hầm 50

Hình 3.1 Sơ đồ vị trí hầm tròn 55

Hình 3.2 Mô hình tính toán hầm tròn đào ngang ở Quận 2 55

Hình 3.3 Tổng chuyển vị ở đường viền trong hầm đào khô trong môi trường đàn hồi (Đơn vị: m) 57

Hình 3.4 Tổng chuyển vị ở đường viền trong môi trường đàn hồi có xét đến vai trò của áp lực dung dịch (Đơn vị: m) 57

Hình 3.5 Phạm vi vùng biến dạng dẻo khi không có dung dịch (Đơn vị: m) 59

Hình 3.6 Phạm vi vùng biến dạng dẻo khi có dung dịch (Đơn vị: m) 59

Hình 3.7 Mức độ tiếp cận trạng thái giới hạn xung quanh đường viền hầm 62

MỞ ĐẦU Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của lĩnh vực xây dựng, công trình ngầm cũng đang được sử dụng rộng rãi trong xây dựng cơ sở hạ tầng như: thủy điện, thủy lợi, giao thông, cũng như quốc phòng Công trình ngầm được xây dựng trong lòng đất sẽ làm việc chung với nền đất nên việc đánh giá phân tích ứng xử trong môi trường đất đá xung quanh đóng vai trò quan trọng trong tính toán thiết kế loại công trình này Công trình ngầm được phân thành nhiều loại khác nhau phụ thuộc nhiều vào phương thức thi công, loại tiết diện.Trong đó, hầm tròn đào ngang thi công bằng phương pháp đào kín khá phổ biến

Trong tính toán thiết kế hầm tròn đào ngang, việc lựa chọn hình thức chống đỡ, kết cấu vỏ hầm và độ ổn định tổng thể của đường hầm phụ thuộc vào mức độ chuyển vị đường viền của đất đá xung quanh đường hầm trong quá trình thi công và lắp dựng

Đề tài “Đánh giá chuyển vị đường viền hầm tròn đào ngang theo lý thuyết

đàn hồi, đàn hồi dẻo” được chọn lựa cho luận văn này nhằm mục đích phân tích,

rút ra kết luận từ việc so sánh kết quả tính tay với kết quả tính bằng phần mềm Từ

đó có thể đưa ra biện pháp thi công, kết cấu vỏ chống đỡ phù hợp

Mục đích của đề tài luận văn bao gồm:

 Nghiên cứu các mô hình tính toán ứng suất – biến dạng trong môi trường đất đá xung quanh công trình ngầm và lựa chọn mô hình tính toán phù hợp với khối đất đá của công trình

 Áp dụng tính toán trạng thái ứng suất – biến dạng cũng như chuyển vị đường viền xung quanh đường hầm tròn đào ngang dựa trên cơ sở: mô hình đàn hồi và mô hình đàn hồi dẻo theo trong điều kiện bài toán phẳng

 Các kết quả thu nhận được từ việc tính toán sẽ cung cấp dữ kiện để phân tích, chọn hình thức chống đỡ, kích thước công trình và đánh giá áp lực lên vỏ

Phương pháp nghiên cứu được chọn lựa cho luận văn:

 Tổng hợp và phân tích các mô hình tính toán trạng thái ứng suất – biến dạng của công trình ngầm Từ đó chọn lựa cơ sở lý thuyết phù hợp áp dụng tính toán cho công trình hầm tròn đào ngang

 Sử dụng phương pháp tính tay và phương pháp số phục vụ tính toán trạng thái ứng suất – biến dạng của đất đá xung quanh công trình ngầm

 Kết quả tính toán được phân tích nhằm mục đích đánh giá các chuyển vị và chọn lựa kết cấu hợp lý

CHƯƠNG 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BAN ĐẦU VÀ ỨNG XỬ ỨNG

SUẤT – BIẾN DẠNG QUANH HẦM TRÒN ĐÀO NGANG

1.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BAN ĐẦU (TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT NGUYÊN SINH)

1.1.1 Định nghĩa và các yếu tố ảnh hưởng

Trạng thái ứng suất nguyên sinh (TTƯSNS) còn gọi là trạng thái ứng suất cơ bản, là trạng thái tồn tại ứng suất của khối đất đá trước khi khối đất đá chịu tác động kĩ thuật của con người Trong cơ học công trình ngầm, TTƯSNS có ý nghĩa cơ bản trong công tác nghiên cứu, dự báo các biến đổi cơ học trong khối đất đá khi khai thác khoáng sản cũng như xây dựng công trình, vì:

 Trước khi tiến hành xây dựng công trình phải tách bóc, lấy đi một phần vật chất ban đầu của khối đất đá Do đó, dẫn tới sự phân bố lại tải trọng cũng như áp lực, nghĩa là biến đổi TTƯSNS

 TTƯSNS được sử dụng như là điều kiện ban đầu và là điều kiện biên nghiên cứu, dự báo các quá trình biến đổi cơ học

Nói chung, TTƯSNS thường không đồng nhất, nghĩa là các thành phần ứng suất đều là các hàm số của tọa độ Những yếu tố cơ học cơ bản ảnh hưởng tới quy luật phân bố các trạng thái ứng suất trong khối đất đá:

 Ngoại lực, gồm có trọng lực hay lực trọng trường (lực khối) và lực kiến tạo (lực mặt)

 Các tính chất cơ học của khối đất đá  Ngoài ra, còn có các quá trình hình thành và biến đổi đã và đang xảy ra trong khối đất đá, điều kiện địa chất (các đặc điểm cấu trúc của khối đất đá), điều kiện địa chất thủy văn, điều kiện địa hình, địa mạo

Khảo sát một phân tố thể tích bất kì trong khối đất đá trong hệ trục vuông góc, z là trục thẳng đứng theo chiều của trọng lực Trong trường hợp tổng quát, có 6 thành phần ứng suất (vì có 3 thành phần đối xứng) Khi xác định được 6 thành phần ứng

suất tại một điểm bất kì trong khối đất đá hoàn toàn có thể xác định được các ứng suất pháp tuyến chính và hệ trục chính

Hình 1.1 Các thành phần ứng suất tại một điểm của khối đất đá

Trong thực tế, tùy theo yêu cầu và điều kiện cụ thể mà có thể xác định gần đúng TTƯSNS Hai nhóm phương pháp đang được sử dụng hiện nay là phân tích lý thuyết và đo đạt thực tế

1.1.2 Phân tích lý thuyết trạng thái ứng suất nguyên sinh

1.1.2.1 Khái quát trạng thái ứng suất nguyên sinh

Cho đến nay, việc xác định trạng thái ứng suất nguyên sinh bằng lý thuyết gặp nhiều khó khăn Bằng phương pháp giải tích, chưa mô phỏng được các yếu tố khác thường như lực kiến tạo, ảnh hưởng của các quá trình biến đổi địa chất Các vấn đề được phân tích sau đây được hình thành xuất phát từ giả thiết đơn giản về một số dạng cấu trúc của khối đất đá và chỉ chú ý đến lực trọng trường Đương nhiên, do các yếu tố này tồn tại tự nhiên, khách quan, nên các kết quả phân tích vẫn có ý nghĩa tổng quát

Với giả thiết chỉ có tác dụng của trọng lực, mặt đất là bằng phẳng, khối đất đá là đồng nhất, trục z là trục thẳng đứng kể từ mặt đất, khi đó các thành phần ứng suất trên mặt phẳng (x,y) ở độ sâu z bất kỳ trong khối đất đá, không phụ thuộc vào tọa độ x, y; các trục x, y, z đồng thời là các trục ứng suất chính (hình 1.2a)

Hình 1.2 Sơ đồ đơn giản xác định trạng thái ứng suất nguyên sinh

Khi khối đất đá có đặc điểm không đồng nhất theo chiều sâu nhưng lại đồng nhất trong mặt phẳng (x,y), từ phương trình cân bằng theo phương z trên hình 1.2b có thể xác định được thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng qua biểu thức:

Rõ ràng, với các giả thiết đã nêu và chỉ chú ý đến trọng lực, thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng tăng theo độ sâu kể từ mặt đất Hình 1.2b minh họa quy

Vì mỗi điểm trong khối đất đá được bao quanh bởi các điểm vật chất tương tự nếu coi khối đất đá là môi trường liên tục và mặt phẳng (x,y) là vô hạn nên biến dạng ngang của mọi phân tố đều bị cản trở (Hình 1.2c)

Điều đó có nghĩa là:

0

xy

Biến dạng ngang bị cản trở sẽ hình thành các thành phần ứng suất theo phương

các giá trị biến dạng ngang nhất định về trạng thái không có biến dạng ngang) Với giả thiết đã nêu và khối đất đá là đồng nhất, đẳng hướng, đương nhiên nhận được:

Như vậy, chú ý riêng đến tác dụng của trọng lực (lực trọng trường), dễ dàng xác

theo phương nằm ngang thường được định nghĩa theo biểu thức:

1.1.2.2 Khối đất đá đàn hồi

Với giả thiết khối đất đá đàn hồi, các trạng thái ứng suất xuất hiện trong khối đất đá chưa gây ra tác động hóa dẻo hay phá hủy Trong mục này khảo sát các trường hợp đơn giản sau:

 Khối đất đá đàn hồi, đẳng hướng và đồng nhất  Khối đất đá đàn hồi không đồng nhất

 Khối đất đá đàn hồi, phân lớp

a Khối đất đá đàn hồi, đẳng hướng và đồng nhất

Với giả thiết khối đất đá đồng nhất, thành phần ứng suất theo phương thẳng

0

EE

Nên K0 xác định trong khoảng:

0

Kết quả của trường hợp này cho thấy, nếu chỉ chú ý đến trọng lực, các thành phần ứng suất theo phương nằm ngang chỉ có thể nhỏ hơn và nhiều nhất là bằng thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng, nghĩa là:

hiện các thành phần ứng suất theo phương nằm ngang

tích hoàn toàn, các thành phần ứng suất theo phương nằm ngang có giá trị như

b Khối đất đá đàn hồi, dị hướng

Sau đây khảo sát hai trường hợp điển hình về khối đất đá có biểu hiện bất đẳng hướng là xuyên đẳng hướng và bất đẳng hướng trực giao

Trường hợp khối đất đá xuyên đẳng hướng, với trục z là trục đối xứng, thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng cũng được xác định theo (1.1), nghĩa là:

Từ đó:

2112

.1

EE

2112

.1

EK

E





(1.15)

áp lực ngang có thể nhận các giá trị nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn Với khối đất đá có biểu hiện như môi trường bất đẳng hướng trực giao và giả thiết các trục x, y, z là trục đẳng hướng, thêm điều kiện không giãn nở ngang vào phương trình quan hệ ứng suất – biến dạng của môi trường bất đẳng hướng trực giao, nhận được:

EE





(1.17)

Kết quả nhận được cho thấy, các thành phần ứng suất theo phương nằm ngang

zyzxxyyy

yxxyz

EK

EEK





(1.18)

Trong trường hợp này, các thành phần ứng suất nguyên sinh, theo hệ trục tọa độ đã chọn có thể hoàn toàn khác nhau, tùy thuộc vào các tham số cơ học của khối đất đá, nghĩa là:

c Khối đất đá đàn hồi, phân lớp (không đồng nhất)

Khối đất đá có thể bao gồm từ nhiều lớp đá khác nhau, nghĩa là không đồng nhất Xét trường hợp đơn giản: Các lớp đá nằm ngang, đồng nhất và đẳng hướng,

i

Hình 1.3 Khối đất đá đàn hồi, phân lớp

Để phân tích trạng thái ứng suất nguyên sinh, xét hai điểm A và B:  Điểm A nằm trong một lớp k nào đó,

 Điểm B nằm ở vị trí ranh giới giữa lớp k và lớp k+1

Tại điểm A trong lớp k, thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng được xác định theo biểu thức:

k

KK





phần ứng suất thuộc hai lớp tại điểm B được xác định theo biểu thức:

x,ky,kz(k,k 1)x,k 1y,k 11z(k,k 1)

k

k

KK

x yKk 1 Kk 1z(k,k 1)

trị âm hay dương Hình 1.4 minh họa định tính quy luật phân bố của các thành phần

trong khối đất đá đàn hồi, phân lớp

Hình 1.4 Quy luật phân bố ứng suất trong khối đất đá đàn hồi, phân lớp 1.1.2.3 Khối đất đá không đàn hồi, đồng nhất

Nếu khối đất đá có biểu hiện biến dạng không đàn hồi, chẳng hạn đàn hồi - nhớt, khi đó ứng suất nguyên sinh nói chung cũng phụ thuộc vào thời gian Để đơn giản

1.1.2.4 Độ sâu giới hạn và trạng thái ứng suất giới hạn dẻo trong khối đất đá đàn

hồi dẻo

Biểu thức 1.5 và hình 1.2b cho thấy, khi khối đất đá có biểu hiện đàn hồi, thành phần ứng suất theo phương ngang đều tăng tỷ lệ theo độ sâu Điều đó có nghĩa là tác động cơ học vào khối đất đá tăng theo độ sâu, nhưng khả năng chịu tải của khối đất đá lại có giới hạn Do vậy, phải tính đến khả năng là có thể từ một độ sâu nào đó

0

Nói cách khác là các kết quả phân tích trong mục 1.1.2.2 chỉ có nghĩa khi khối đất đá có biểu hiện đàn hồi hay các thành phần ứng suất chưa thỏa mãn điều kiện

dẻo hay giới hạn phá hủy

Phân tích một trường hợp đơn giản với giả thiết rằng khối đất đá chuyển từ trạng thái đàn hồi sang trạng thái dẻo theo điều kiện ứng suất tiếp lớn nhất Với điều kiện

Hình 1.5 Trạng thái giới hạn trên biểu đồ Mohr

Trên biểu đồ cũng có thể biểu diễn trạng thái ứng suất nguyên sinh của khối đất đá đàn hồi, không đồng nhất bằng một đường thẳng:

00

0

1

1 21

11

Ksin

Ksin

Ksin

ứng suất tiếp chính không được vượt quá trạng giới hạn này

Từ điều kiện (1.26) cho thấy zh0 có:

0

21

max

h

K



(1.30)

đặc biệt quan trọng đến sự ổn định của khối đất đá

1.1.3 Ảnh hưởng của địa mạo và các quá trình địa chất

Trong thực tế, tùy thuộc vào vị trí khối đất đá cần khảo sát, mặt cắt ngang qua khối đá, theo phương tác dụng của trọng lực, không phải bao giờ cũng quy được về bán không gian vô hạn, đặc biệt khi các công trình được bố trí trong khu vực có đồi núi Nói chung, bề mặt Trái đất cũng như tất cả các bề mặt tự do (mặt lộ) của khối đất đá đều thể hiện là các mặt ứng suất chính đặc biệt Cụ thể là trên các mặt này không có ứng suất pháp và ứng suất tiếp

Đương nhiên, thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng trong khối đất đá luôn tăng cùng độ sâu địa tầng Tùy thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang, biến dạng ngang của điểm được xét có thể không bị hạn chế hoàn toàn; do vậy, dẫn đến các thành phần ứng suất theo phương nằm ngang cũng phụ thuộc vào tọa độ Chẳng hạn, với mặt cắt ngang trên hình 1.6, tại các vị trí A, B và C các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng khác nhau và để xác định các thành phần ứng suất

theo phương nằm ngang không thể dựa vào điều kiện (1.3)

Hình 1.6 Mặt cắt khi địa hình không phẳng

Hiện tại, vấn đề này chỉ có thể giải quyết nhờ các phương pháp số trong cơ học đất đá Miền khảo sát được coi là môi trường có trọng lượng với điều kiện không có ứng suất tiếp và pháp trên mặt tự do Khối đất đá được khảo sát cũng có thể bao gồm từ nhiều loại đất đá khác nhau Trên hình 1.7a là ví dụ kết quả phân tích trạng thái ứng suất nguyên sinh có chú ý đến địa hình Hình 1.7b mô phỏng địa hình bằng lưới sai phân và hình 1.7b biểu diễn các đường cùng có thành phần ứng suất chính

Hình 1.7a Hình 1.7b Hình 1.7 Ví dụ phân tích trạng thái ứng suất nguyên sinh bằng phần mềm

FLAC

Các thành phần ứng suất chính không còn trùng với hệ trục x, y, z đã sử dụng Hình 1.8 mô phỏng cường độ và hướng của các thành phần ứng suất chính có chú ý

đến điều kiện địa hình, phụ thuộc vào từng vị trí cụ thể của điểm được khảo sát

Hình 1.8 Kết quả xác định phương và cường độ của ứng suất chính của trạng

thái ứng suất nguyên sinh theo Amadei và Stephasson (1997)

Kết quả phân tích bằng phần mềm FLAC và của Amadei và Stephasson (1997) cho thấy càng gần bề mặt địa hình, một trong hai thành phần ứng suất chính có hướng càng song song với bề mặt địa hình; càng cách xa bề mặt địa hình và càng xuống sâu, các hướng của các ứng suất chính có xu thế nhận các trục x, y, z là trục chính Đồng thời, ở độ sâu lớn có thể bỏ qua ảnh hưởng của địa hình

Trên đây chỉ giới thiệu kết quả phân tích đơn giản để thấy được khả năng của phương pháp số Nếu sử dụng các chương trình 3D hoàn toàn có thể phân tích được trạng thái ứng suất nguyên sinh, phân bố trong không gian có chú ý đến điều kiện địa hình, địa mạo và ở mức độ nhất định cả cấu trúc địa chất Đương nhiên, các kết quả nhận được chỉ có nghĩa đối với trường hợp phân tích cụ thể (kết quả số) và phụ thuộc nhiều vào các dữ liệu đầu vào

Ngoài ra, nhiều kết quả phân tích cho các khu vực có đồi núi cho thấy rất rõ những biến động của trạng thái ứng suất nguyên sinh (hệ số áp lực ngang K), tùy thuộc vào vị trí điểm khảo sát, đặc biệt do ảnh hưởng của cấu tạo địa chất Trên

các hình 1.9 và hình 1.10 là kết quả theo Rohkar về biến đổi của hệ số áp lực ngang

Hình 1.9 Hệ số áp lực ngang trong khối đất đá phân lớp, nếp lồi

Hình 1.10 Áp lực ngang trong khối đất đá nứt nẻ

Tùy theo cấu tạo địa chất, ví dụ các nếp lồi, nếp lõm, lớp nghiêng (hình 1.11) và khả năng truyền lực trong và giữa các nếp, các lớp đá, khi chỉ xét tác dụng của trọng lực, thành phần ứng suất nguyên sinh theo phương thẳng đứng, có thể nhận các giá trị không phù hợp theo (1.1), (1.2) Thực tế cho thấy thành phần ứng suất tác dụng theo phương thẳng đứng gây ra do lực trọng trường có thể lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng các trị số tính theo (1.1), (1.2)

Hình 1.11 Ảnh hưởng của đặc điểm cấu trúc đến quy luật phân bố thành phần

ứng suất theo phương thẳng đứng

Trải qua nhiều quá trình biến động địa chất, vỏ Trái đất có thể được đẩy trồi lên, rồi lại bị xói mòn Trong quá trình đó, các ứng suất kiến tạo có thể được lưu lại trong khối đất đá (hình 1.12a) và khối đất đá không còn ở trạng thái cân bằng với các ngoại lực mới là trọng lực Sau đó, mặc dù phía trên bị xói mòn, các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng bị suy giảm, nhưng các thành phần theo phương nằm ngang vẫn giữ nguyên giá trị nguyên thủy hoặc suy giảm không đáng kể (hình 1.12b) Do vậy, cường độ ứng suất theo phương nằm ngang có thể lớn hơn nhiều so với các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng

Hình 1.12 Hoạt động địa chất và các trạng thái ứng suất nguyên sinh

Từ kết quả phân tích lý thuyết cho thấy, mặc dù chỉ chú ý đến trọng trường, song vì trạng thái ứng suất nguyên sinh phụ thuộc vào nhiều yếu tố ảnh hưởng khác nhau; do vậy, trong thực tế hệ trục (x, y, z) như đã định nghĩa không phải bao giờ cũng là hệ trục chính

Trong trường hợp này, cũng có thể sử dụng các hệ số áp lực khác nhau, định nghĩa bởi tỷ số giữa các thành phần áp lực (ứng suất) với nhau hoặc quy chiếu cho một thành phần nào đó Chẳng hạn, có thể tính thành phần ứng suất theo phương

1.1.4 Xác định ứng suất nguyên sinh bằng đo đạt

Xuất phát từ kết quả phân tích và các lý do đã trình bày, có thể thấy rằng trạng thái ứng suất nguyên sinh trong khối đất đá thực tế rất khó xác định được nếu chỉ dựa vào kết quả mô phỏng bằng sơ đồ tính toán nhất định Do ý nghĩa đặc biệt của trạng thái ứng suất nguyên sinh đối với quá trình cơ học xảy ra trong khối đất đá trong và sau khi xây dựng công trình nên trong nhiều trường hợp, trạng thái ứng suất nguyên sinh còn cần được xác định bằng các phương pháp đo đạc hiện trường

Thông thường, khi đo đạc có thể quy ước trục x chỉ hướng Bắc, trục y chỉ hướng Đông, trục z chỉ vào tâm Trái đất (hình 1.13a) Đương nhiên, các trục này không nhất thiết phải là các trục chính của trạng thái ứng suất chính (hình 1.13b) Ngoài ra, các quy định này cũng chỉ có ý nghĩa tương đối, trong thực tế cũng có thể quy định tùy theo trục và hướng của công trình dự kiến xây dựng Ví dụ, một trục theo trục đường hầm, hai trục còn lại trên mặt cắt ngang vuông góc với trục đường hầm

Để xác định trạng thái ứng suất nguyên sinh, trong lĩnh vực cơ học đất đá đã phát triển nhiều phương pháp đo theo các nguyên lý khác nhau Tuy nhiên, có hai điểm cần chú ý không phụ thuộc vào phương pháp đo là:

 Một tensor ứng suất có 6 thành phần ứng suất phụ thuộc lẫn nhau; do vậy, đòi hỏi tối thiểu 6 lần đo không phụ thuộc vào nhau

 Để có được chương trình đo có ý nghĩa, nhằm xác định các thành phần ứng suất của trạng thái ứng suất nguyên sinh cần thiết phải phân tích trước được các yếu tố ảnh hưởng quan trọng như trọng lực, địa hình, địa mạo và lịch sử hình thành vùng khối đất đá cần khảo sát

Hình 1.13 Phương chiều thường dùng đo ứng suất nguyên sinh 1.1.4.1 Các phương pháp đo ứng suất nguyên sinh

Một số phương pháp đo:  Phương pháp gối thủy lực hay kích dạng tấm (Platjack)  Phương pháp phá hủy bằng thủy lực (hydraulic fracturing)  Phương pháp giảm tải (khoan vượt lõi overcoring)

1.1.4.2 Một số kết quả đo đặc trưng

Một số kết quả đo đặc trưng:  Thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng tăng theo độ sâu, kể từ mặt đất có thể biểu diễn gần đúng với hệ số biến thiên bằng trọng lượng riêng trung bình của khối đất đá

 Các hệ số áp lực ngang có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn 1, tùy vào vị trí khu vực trong vỏ Trái đất Ngoài ra các thành phần ứng suất ngang theo 2 phương khác nhau không phải khi nào cũng bằng nhau

 Các kết quả đo cho thấy có thể phân biệt được ứng suất ngang lớn nhất và nhỏ nhất Các nguyên nhân ảnh hưởng thường là do điều kiện địa hình, ứng suất kiến tạo, sự không đồng nhất trong khối đất đá

Hệ số áp lực ngang dao động trong khoảng từ 3 (tại vị trí gần mặt đất đến độ sâu hàng trăm mét) đến 0,3 (tại các độ sâu vài kilomet) Tại các vị trí sâu hơn, hệ số áp lực ngang có xu hướng nhận giá trị bằng 1, tương ứng với kết quả phân tích cho khối đất đá đàn hồi khi hệ số Poisson bằng 0,5

Các kết quả phân tích lý thuyết và đo đạt TTƯSNS hay TTƯS ban đầu trong khối đất đá cho thấy rằng nó rất đa dạng và phức tạp Để xác định được nó thì có nhiều biện pháp khảo sát khác nhau Tuy vậy, có thể phân thành các trường hợp sau:

 Khi mặt đất bằng phẳng, các lớp đá nằm ngang hoặc dốc thoải và trong vùng nghiên cứu không có hoạt động kiến tạo, hoàn toàn có thể phân tích TTƯSNS bằng giải tích trên cơ sở bài toán phẳng

 Khi tiến hành xây dựng công trình khai thác các vùng đồi núi không có hoạt động kiến tạo, có thể kết hợp phương pháp phân tích và phương pháp số với mô hình bài toán biên phù hợp để xác định TTƯSNS

 Trong các vùng có hoạt động kiến tạo, nhất thiết cần phải đo đạt để có thể dự báo được phương, chiều và cường độ tác dụng của từng thành phần ứng suất

1.2 ỨNG XỬ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG XUNG QUANH HẦM TRÒN ĐÀO NGANG

1.2.1 Khái quát

Công trình ngầm được xây dựng trong vỏ Trái đất với hình dạng, kích thước rất đa dạng, có vị trí và thế nằm xác định, phù hợp với mục tiêu và chức năng sử dụng Trên hình 1.14 là một số dạng mặt cắt ngang cơ bảncủa các công trình ngầm Ngoài ra, dựa vào kích thước trong không gian, các công trình ngầm có thể được phân sơ bộ ra thành hai nhóm là các đường hầm với chiều dài lớn hơn rất nhiều so với kích thước tiết diện ngang, các hầm trạm ngầm với kích thước theo ba phương thường

xấp xỉ như nhau Nghiên cứu quy luật biến đổi trạng thái ứng suất – biến dạng trong khối đất đá xung quanh các công trình ngầm, trước tiên cần phân biệt hai trường hợp này [4]

Hình 1.14 Một số dạng mặt cắt công trình ngầm, cấu trúc khối đất đá

Trong thực tế, các quá trình biến đổi cơ học trong khối đất đá xung quanh các công trình ngầm là các vấn đề mang tính không gian và phụ thuộc vào thời gian, chi phối bởi nhiều yếu tố khác nhau, trong đó có các yếu tố cơ bản sau:

 Trạng thái ứng suất – biến dạng ban đầu của khối đất đá, bao gồm trạng thái ứng suất nguyên sinh và các dấu hiệu cơ học trong khối nguyên

 Đặc điểm cấu tạo và cấu trúc địa chất, cũng như tính chất cơ học của khối đất đá

 Hình dạng, kích thước (hay quy mô) của công trình, cụ thể là hình dạng và kích thước khoảng trống được khai đào vào trong khối đất đá và các tải trọng tác động vào khối đất đá

 Phương pháp thi công và các biện pháp công nghệ được áp dụng, chẳng hạn như thi công đào bằng phương pháp khoan nổ mìn hay bằng máy khoan đào, khiên đào, các biện pháp gia cố khối đất đá bằng neo hay khoan phụt

Trên hình 1.15 phác họa về sự biến đổi của thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng khi đào đường hầm Khi không xét trường hợp có thêm tải trọng ngoài, rõ ràng là do công tác đào (lấy đi một phần đất đá) nên phần đất đá xung quanh phải

tiếp nhận thêm ứng suất

Hình 1.15 Phân bố ứng suất xung quanh đường hầm trong khối đất đá đàn hồi

Yếu tố thời gian nảy sinh do hai nguyên nhân là:  Bản thân khối đất đá có các biểu hiện cơ học phụ thuộc vào thời gian (hiện tượng lưu biến)

 Quá trình thi công với các công tác khác nhau diễn biến theo thời gian Cũng vì các lý do đã nêu nên xu thế chung trong cơ học đất đá là phát triển các phương pháp, cho phép nghiên cứu được các bài toán không gian và chú ý yếu tố thời gian Song cho đến nay, đây luôn là vấn đề phức tạp, chỉ có thể tiến hành phân tích riêng cho từng trường hợp cụ thể bằng các phương pháp số ba chiều (3D), hoặc bằng giải tích với các bài toán biên và giả thiết đơn giản

Trong thực tế, khi nghiên cứu bằng giải tích đối với các công trình có chiều dài đủ lớn, có thể đưa bài toán không gian về bài toán phẳng (biến dạng phẳng hoặc ứng suất phẳng) Đường biên của khoảng trống ngầm được trơn hóa với các điều kiện biên đã được đơn giản hóa Các vùng gần gương đào thường được mô phỏng gần đúng bằng khoảng trống dạng nửa hình tròn hoặc hình cầu

Với các đặc điểm nêu trên, có thể tổng quát được các mô hình tính toán trạng thái ứng suất – biến dạng trong khối đất đá xung quanh công trình ngầm gồm có 4

mô hình chính, dựa trên các biểu hiện cơ học khác nhau của khối đất đá:

 Khối đất đá đàn hồi

Với khối đất đá đàn hồi, các trạng thái ứng suất xuất hiện trong khối đất đá chưa gây ra các tác động hóa dẻo hay phá hủy hoặc đơn giản là xem đất đá ứng xử như vật liệu đàn hồi tuân theo các định luật đàn hồi cơ bản

 Khối đất đá đàn hồi dẻo

Trên thực tế, sau khi đào đường hầm tròn sâu trong khối đất đá, dưới tác dụng của trạng thái ứng suất tự nhiên sẽ hình thành quanh đường hầm một vùng đất đá ít nhiều bị xáo trộn tơi xốp gọi là vùng dẻo (vùng I, II trong hình 1.16a) Phía ngoài, sâu trong khối đất đá, vẫn giữ trạng thái đàn hồi – vùng III Trong vùng dẻo, các

thái đàn hồi (đường nét rời) sang trạng thái ứng suất dẻo (đường nét liền) như minh họa trong hình 1.16a

Nếu không được chống đỡ và đất đá có độ bền kém, vùng dẻo sẽ phát triển theo thời gian và có thể dẫn tới đường hầm bị phá hoại dưới dạng sụt nóc hầm, bóc tách lớp đá tại mặt hông hầm hoặc nổ đá (rockbursts) thậm chí có thể dẫn tới sập lấp hầm Nếu đá chịu đựng được trạng thái ứng suất mới, đường hầm sẽ dần ổn định (hình 1.16b)

Hình 1.16 Sơ đồ vùng biến dạng dẻo và phân bố ứng suất quanh hầm (a)

Ổn định đường hầm theo thời gian (b)

 Khối đất đá đàn hồi – nhớt

Các kết quả nhận được cho thấy rằng trong khối đất đá đàn hồi – nhớt, trường ứng suất không thay đổi theo thời gian, tương tự như cho môi trường đàn hồi nhưng quá trình biến dạng cũng như dịch chuyển vừa phụ thuộc vào tọa độ vừa phụ thuộc vào thời gian, tuy nhiên, khi t  ∞ các đại lượng biến dạng và chuyển vị đạt giá trị hữu hạn Quá trình xảy ra thực chất là quá trình từ biến

Với các giả thiết khối đất đá xung quanh công trình ngầm có biểu hiện đàn hồi – nhớt, khi đó, trong suốt thời kỳ sử dụng sẽ không có quá trình phá hủy hay hóa dẻo xuất hiện

 Khối đất đá đàn hồi – nhớt – dẻo

Với giả thiết khối đất đá là đàn hồi – nhớt, các quá trình biến đổi cơ học cho thấy quy luật biến đổi theo thời gian Đương nhiên do khả năng chịu tải của khối đất đá là hữu hạn, nên cũng có thể xuất hiện hiện tượng hóa dẻo hoặc phá hủy trong vùng xung quanh khoảng trống ngầm, khi các tiêu chuẩn bền hay phá hủy bị vi phạm Khối đất đá có thể chuyển từ trạng thái đàn hồi – nhớt sang trạng trạng thái đàn hồi – nhớt – dẻo tùy theo biểu hiện hay bản chất cơ học, với những diễn biến phức tạp

1.2.2 Điều kiện bài toán và sơ đồ bài toán khối đất đá đồng nhất

Các vấn đề được phân tích trong mục này xuất phát từ các điều kiện sau:  Khối đất đá là đồng nhất, đẳng hướng và liên tục

 Công trình ngầm được bố trí tại độ sâu lớn hơn đáng kể so với kích thước công trình (H >> ri)

 Áp lực tác dụng gây ra do địa tầng của khối đất đá bên trên với trọng lượng

mô phỏng phản lực của kết cấu chống, cũng như áp lực do các tải trọng khác (ví dụ áp lực nước) gây ra

Từ các điều kiện đó, bài toán được khảo sát theo sơ đồ như trên hình 1.17

r



i

rr

Hình 1.17 Mô hình phân tích quá trình biến đổi cơ học trong khối đất đá xung

quanh công trình ngầm tiết diện tròn

1.2.3 Các phương trình cơ bản

Để giải bài toán đặt ra trước hết cần xây dựng các phương trình cơ bản, bao gồm phương trình cân bằng, phương trình liên tục của biến dạng và các điều kiện biên Các phương trình này phụ thuộc vào đặc tính của mô hình được chọn xây dựng cho khối đất đá

1.2.3.1 Phương trình cân bằng

Do tính đối xứng và liên tục về phân bố ứng suất nên phân tố chịu tác dụng của

Vùng dẻo

Vùng đàn hồi

các thành phần ứng suất như trên hình 1.18

Hình 1.18 Các thành phần ứng suất và dịch chuyển tại phân tố thể tích dV

Vì sau khi đào khoảng trống, khối đất đá ở trong vùng xung quanh công trình ngầm chuyển sang trạng thái cân bằng mới, do vậy phân tố được khảo sát cũng phải ở trạng thái cân bằng tĩnh Như vậy, tổng hợp các lực tác dụng lên một trục bất kỳ phải triệt tiêu hay bằng 0 Cụ thể, nếu chiếu lên trục hướng tâm đi qua trọng tâm của

được [4], [16]:

0;

0;

2 2)(.

.0





















drdr

drddr

dr

ddrd

drrdrdrdd

rP

rrr

rr

r

rrr

r















Ở đây:

Các phương trình trong (1.32) là các cách viết khác nhau của phương trình cân

bằng cho phân tố dV Các phương trình đó cũng thường được viết dưới dạng:

rr

drd



Phương trình cân bằng trên cho thấy rõ quy luật phụ thuộc giữa hai thành phần

định từ điều kiện là trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang tại y = const luôn phẳng, nghĩa là biến dạng tại mọi điểm dọc trục y của mặt cắt này là hằng số hay

1.2.3.2 Phương trình liên tục của biến dạng

Hình 1.18 biểu diễn sự dịch chuyển của phân tố thể tích dV Dưới tác dụng của các thành phần ứng suất, cạnh trong d.c của phân tố dịch chuyển đi một đoạn bằng u và mặt cắt ngoài a.b dịch chuyển đi một đoạn bằng u + du Như vậy, lúc đầu chiều dài cạnh là dr, sau khi dịch chuyển, biến dạng có độ dài là dr + du

Từ hình 1.18 có thể thiết lập được mối quan hệ giữa biến dạng tương đối theo phương hướng tâm và biến dạng tỷ đối theo phương tiếp tuyến (vòng) của cạnh trong theo các phương trình sau [4], [16]:

drdudr

drdudr



rurd

rddurds

dsds







(1.34)

drdrdr

rddrdu

r





rdr

ddrd

r

