Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dđộng lực học khung phẳng Bernoulli_Euler theo phương pháp khối lượng phân bố

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp khối lượng phân bố: xây dựng ma trận độ cứng động lực của phần tử khung, thiết lập sơ đồ tính toán tần số riêng dựa trên

Giới thiệu

Nội dung đề tài

Trọng tâm của đề tài là đi tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp khối lượng phân bố, bao gồm các nội dung như sau Nội dung đầu tiên đó là trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng động lực của phần tử khung phẳng theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Tiếp sau đó đề tài trình bày cách thiết lập sơ đồ giải bài toán trị riêng phi tuyến để tính toán tần số riêng của khung bằng cách sử dụng phương pháp chia đôi khoảng, dựa trên thuật giải Wittrick-Williams Nội dung tiếp theo đó là trình bày cách thức tính toán vectơ dạng dao động bằng phương pháp ma trận rút gọn, từ đó dựa vào các hàm dạng để vẽ các mode dao động của khung Nội dung cuối cùng của để tài là phân tích phản ứng động của khung bằng cách chồng chất mode dao động Cụ thể, chúng ta sẽ khảo sát chuyển vị của 1 điểm bất kỳ trên khung theo thời gian khi khung chịu tác dụng của tải trọng động

Dựa trên các cơ sở lý thuyết cũng như các thuật toán đã trình bày ở trên, sử dụng ngôn ngữ Matlab để lập trình nên chương trình tổng quát dùng để tính toán tần số riêng, vẽ dạng dao động và khảo sát chuyển vị của khung phẳng khi chịu tác dụng của tải trọng điều hòa bằng phương pháp khối lượng phân bố Để chứng minh tính đúng đắn của cơ sở lý thuyết, các thuật toán cũng như độ tin cậy của chương trình, luận văn sẽ áp dụng phương pháp khối lượng phân bố vào một số bài toán cụ thể Bên cạnh đó luận văn cũng sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn SAP2000 và kết quả của một số phương pháp khác để kiểm tra lại kết quả Từ đó đưa ra nhận xét và đánh giá về kết quả của phương pháp khối lượng phân bố so với kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn SAP2000 và một số phương pháp khác

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 4

Giới hạn đề tài …

1.3.1 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử dầm Euler-Bernoulli trên cơ sở tìm nghiệm chính xác của phương trình cân bằng động lực học

Sau đó, theo các thủ tục của phương pháp phần tử hữu hạn cùng với phần mềm lập trình Matlab, đề tài ứng dụng để phân tích động lực học của một số bài toán khung phẳng Euler-Bernoulli Các kết quả thu được sẽ được so sánh với các kết quả của phần mềm Sap2000 và các kết quả từ các phương pháp khác

Trong khuôn khổ của một đề tài luận văn thạc sĩ, học viên chỉ tập trung vào việc phân tích động lực học của các khung phẳng Euler-Bernoulli với một số giả thiết sau:

1 Vật liệu của hệ là đồng nhất và tuân theo quy luật ứng xử đàn hồi của định luật Hooke

2 Các nút của hệ được xem là tuyệt đối cứng Do đó các chuyển vị của các đầu thanh quy tụ vào nút đều như nhau

3 Chuyển vị của hệ là bé

4 Hệ chỉ làm việc trong mặt phẳng và bỏ qua lực cản

5 Các mặt cắt của thanh đối xứng qua hai trục

6 Chiều dài của thanh đủ lớn so với các kích thước khác của nó

Cấu trúc luận văn

Chương 2 là chương tổng quan, sẽ cho cái nhìn tổng quát về các phương pháp hiện đang được sử dụng rộng rãi trong bài toán phân tích động lực học kết cấu Chương này cũng trình bày khái niệm, lịch sử phát triển và tình hình nghiên cứu hiện nay của phương pháp khối lượng phân bố Để làm cơ sở cho việc xây dựng ma trận độ cứng động lực của phần tử khung phẳng, các phương trình vi phân dao động của phần tử khung dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli sẽ được trình bày trong chương 3 Cũng trong chương 3, luận văn sẽ trình bày cách xây dựng các ma trận độ cứng động lực cho các phần tử thanh thẳng chịu kéo, nén hoặc uốn trên cơ sở nghiệm chính xác của các phương trình cân bằng động lực học đã được thiết lập ở trên Áp dụng phương pháp khối lượng phân bố, dựa trên các ma trận độ cứng động lực đã xây dựng trong chương 3 để phân tích tần số riêng của hệ sẽ được trình bày trong chương 4 Bên cạnh đó, việc tính toán dạng dao động và ứng xử của khung phẳng Euler-Bernoulli khi chịu tác động của tải trọng điều hòa cũng sẽ được trình bày trong chương 4

Trong chương 5 sẽ trình bày các phân tích số và so sánh các kết quả khi sử dụng phương pháp khối lượng phân bố với các kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn SAP2000 và một số phương pháp khác

Cuối cùng, một số kết luận cùng với hướng phát triển của đề tài sẽ được trình bày trong Chương 6

Phần phụ lục sẽ trình bày mã nguồn của chương trình được lập trình bằng ngôn ngữ MATLAB và cách sử dụng chương trình để tính toán tần số riêng, vẽ dạng dao động và khảo sát chuyển vị của khung theo phương pháp khối lượng phân bố đã trình bày ở trên

Tổng quan tình hình nghiên cứu

Giới thiệu

Chương này sẽ nêu một số khái niệm của bài toán động lực học, cũng như trình bày khái quát về phương pháp phần tử hữu hạn, là phương pháp được sử dụng để giải quyết bài toán động lực học phổ biến nhất hiện nay Phương pháp khối lượng phân bố với ưu điểm là sử dụng các hàm dạng phụ thuộc vào tần số cũng sẽ được đề cập đến Bên cạnh đó, chương 2 cũng giới thiệu về lịch sử phát triển và tình hình nghiên cứu của phương pháp khối lượng phân bố hiện nay.

Một số khái niệm

2.2.1 Dao động và dao động điều hòa

Dao động là chuyển động được lặp lại sau một khoảng thời gian Đó là một quá trình đa dạng và phức tạp Trong tính toán hoặc trong đo đạc các quá trình dao động, người ta thường phân thành dao động tuần hoàn và dao động không tuần hoàn Một dạng đặc biệt của các dao động tuần hoàn là dao động điều hòa, được mô tả về phương diện động học bởi biểu thức sau y   t  A o sin t 1  (2.1) trong đó đại lượng A

0 là biên độ dao động và  t 1  được gọi là góc pha hay pha dao động

Dao động tự do là dao động sinh ra do chuyển vị hoặc vận tốc ban đầu của hệ Điều kiện ban đầu được tạo nên do tác động của các xung lực tức thời và tách hệ ra khỏi vị trí cân bằng Nói cách khác dao động tự do là dao động không có tải trọng duy trì tác động lên hệ

2.2.3 Tần số và chu kỳ dao động

Tần số là số lần dao động thực hiện trong một giây Chu kỳ dao động là khoảng thời gian cần thiết để đại lượng dao động trở lại vị trí ban đầu

Phương trình dao động của hệ kết cấu có nhiều bậc tự do dao động trong trường hợp tổng quát được mô tả bởi phương trình sau

M X t    C X t    K X t    P t   (2.2) trong đó M, C, K lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng của hệ; X t  , X t  , X t  , P t   lần lượt là vectơ gia tốc, vectơ vận tốc, vectơ chuyển vị và vectơ tải trọng nút của hệ kết cấu

Tần số góc  i (tần số riêng thứ i) của hệ không cản sẽ có được khi giải phương trình

Hệ có n bậc tự do dao động thì sẽ có n dạng dao động riêng và có n tần số dao động riêng    1  2  3    n  1  n (với1là tần số cơ bản của hệ)

Giữa tần số f i, chu kỳ dao động T i và tần số góc  i có quan hệ như sau:

Tần số dao động riêng f i của hệ kết cấu phụ thuộc vào khối lượng M của hệ (khối lượng của hệ tăng thì tần số dao động riêng giảm và ngược lại) và độ cứng K của hệ (độ cứng của hệ tăng thì tần số dao động riêng của hệ tăng và ngược lại).

Phương pháp khối lượng phân bố

Hầu hết các kết cấu đều có vô hạn bậc tự do (degree of freedom – DOF) khi chịu tải trọng động Để giảm hệ có vô hạn bậc tự do thành mô hình có hữu hạn bậc tự do mà vẫn giữ được ý nghĩa ứng xử vật lý của hệ thì người ta thường dùng mô hình toán học Có rất nhiều phương pháp dùng để thiết lập mô hình toán học cho các bài toán dao động, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) dựa vào các chuyển vị tĩnh thường được sử dụng nhất Nó thiết lập một cách hợp lý mối quan hệ giữa các chuyển vị và các lực tại một số điểm hữu hạn riêng biệt trong kết cấu liên tục Theo đó bài toán trị riêng tuyến tính tổng quát trong trường hợp không cản có dạng như sau

   K   2   M      q  0 (2.6) trong đó [K] và [M] lần lượt là ma trận độ cứng và khối lượng tổng thể của hệ, phụ thuộc vào các đặc trưng vật liệu và hình học của kết cấu; {q} là vectơ chuyển vị nút; và  là tần số góc riêng của kết cấu

Dao động của phần tử dầm có thể được mô tả bởi hệ tọa độ liên tục, được giải quyết từ các hệ phương trình chuyển động khác nhau và có kể đến điều kiện biên

Dao động của khung phẳng có thể được tập hợp từ các phần tử dầm là những phần tử thường được phân tích từ những hệ tọa độ riêng biệt, trong đó ma trận độ cứng được thành lập dựa trên phương trình cân bằng tĩnh của phần tử dầm Ma trận khối lượng có thể có dạng khối lượng thu gọn tại các điểm kết cấu (gọi là phương pháp khối lượng thu gọn) hoặc từ hàm dạng biến dạng tĩnh của phần tử dầm (gọi là phương pháp khối lượng tương thích) Ma trận khối lượng thu gọn được sử dụng khi chúng ta xem khối lượng phân bố của các phần tử được thu gọn về các nút theo nguyên tắc tĩnh học, do đó ma trận khối lượng thu gọn là ma trận đường chéo Ma trận khối lượng tương thích được sử dụng khi ta xem các phần tử có khối lượng phân bố, ma trận khối lượng tương thích được thiết lập dựa trên hàm biến dạng tĩnh của phần tử dầm tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng Vì vậy ma trận khối lượng tương thích có nhiều hệ số khác 0 ngoài đường chéo do nó có kể đến quán tính xoay Do đó, khi giải bài toán động lực học, sử dụng ma trận khối lượng thu gọn sẽ dễ dàng hơn so với việc sử dụng ma trận khối lượng tương thích Trong phần mềm SAP2000, mặc định sử dụng ma trận khối lượng thu gọn để tính toán kết cấu

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số dùng để phân tích kết cấu Nó mô hình kết cấu như là một sự kết nối của các phần nhỏ (elements) Mỗi phần tử có dạng hình học đơn giản và vì vậy dễ phân tích hơn kết cấu thực Có hai dạng phương pháp phần tử hữu hạn dựa vào hàm chuyển vị trong phân tích động lực học Thứ nhất là phương pháp xấp xỉ, trong đó nội suy các chuyển vị bằng cách sử dụng các hàm dạng chuỗi đa thức Thứ hai, được xem như là phương pháp chính xác, trong đó nội suy các chuyển vị bằng cách dùng các hàm dạng thoả mãn một cách chính xác các phương trình cân bằng tĩnh, dẫn đến phần tử liên tục Phần tử hữu hạn và phần tử liên tục được liên quan với nhau bằng giả thuyết Simpson Giả

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 10 thuyết này phát biểu rằng, nếu có đủ số phần tử hữu hạn cần thiết thì mô hình phần tử hữu hạn và mô hình phần tử liên tục là tương đương nhau

Tuy nhiên cả hai phương pháp trên đều biểu lộ sự kém chính xác bởi vì chúng sử dụng các hàm dạng độc lập với tần số (frequency-independent shape functions), do đó không biểu thị một cách đầy đủ các hàm riêng thực (true eigenfunctions) vốn là các hàm phụ thuộc vào tần số tự nhiên tương ứng Phương pháp khối lượng phân bố có thể loại trừ sự không chính xác này bằng cách sử dụng các hàm dạng phụ thuộc tần số, là lời giải chính xác của các phương trình vi phân chuyển động, do đó chúng ta tìm được lời giải chính xác cho bài toán động của kết cấu Bởi vì các hàm dạng được sử dụng là phụ thuộc tần số nên ma trận độ cứng động [D] cũng phụ thuộc vào tần số Lúc này bài toán trị riêng có dạng như sau

Trong phương pháp khối lượng phân bố, sự rời rạc hoá thành các miền riêng biệt chỉ cần thiết khi có sự thay đổi về các đặc trưng vật liệu hoặc hình học, hoặc những chỗ có lực tập trung hay gối tựa Do đó số bậc tự do trong phương pháp khối lượng phân bố nhỏ hơn khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Sự bất lợi của phương pháp khối lượng phân bố nằm ở sự siêu việt của ma trận độ cứng động lực và việc giải bài toán trị riêng phi tuyến Tuy nhiên, có thể giải quyết khó khăn này bằng giải thuật Wittrick – Williams [7] [8]

Lịch sử phát triển

Lịch sử của phương pháp khối lượng phân bố bắt đầu với các nghiên cứu của Koloušek [25] Theo đó, Koloušek đã đưa ra lời giải chính xác ở dạng giải tích theo phương trình vi phân dao động cho dầm Euler – Bernoulli và Timoshenko có tiết diện phân bố đều hoặc thay đổi tuyến tính dọc theo chiều dài phần tử Từ đó dẫn tới phương pháp tính toán chính xác trong phân tích dao động của kết cấu trong nghiên cứu của Richards và Leung [18] Trong nghiên cứu của mình, Banerjee và Williams [11] đã trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng động lực cho các dầm nhọn (tapered beams) chịu các dao động dọc, xoắn và uốn dựa trên lý thuyết dầm Euler - Bernoulli và các hàm Bessel, từ đó ứng dụng để tính toán các tần số riêng của của các dầm nhọn có các điều kiện biên khác nhau

Nghiên cứu của Chen [27] đã xây dựng ma trận độ cứng động lực ở dạng tổng quát cho dầm Timoshenko chịu dao động ngang có kể đến các ảnh hưởng của quán tính quay của khối lượng, biến dạng cắt, lực dọc… Sau đó ứng dụng để tính toán các tần số riêng và các dạng riêng của hệ tàu thuỷ (ship system) Các tác giả Curti, Raffa và Vatta [9] đã áp dụng phương pháp này để tính toán các tần số tự nhiên của các hệ quay (rotating systems) có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và các ảnh hưởng hồi chuyển (gyroscopic) của khối lượng dầm theo lý thuyết dầm

Euler – Bernoulli Một bước phát triển lớn của phương pháp khối lượng phân bố là nhờ vào các nghiên cứu Leung [2] người đã mở rộng phương pháp này cho nhiều dạng bài toán khác nhau bao gồm dao động tự nhiên, các bài toán chịu lực bảo toàn và không bảo toàn, các kết cấu có tiết diện đều và không đều, các phần tử thanh cong, dầm thành mỏng…

Sự phát triển và các ứng dụng gần đây của phương pháp khối lượng phân bố có thể tìm thấy trong nghiên cứu của Ait-Djaoud [17] Theo đó các tác giả đã xây dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử 2 nút, mỗi nút có sáu bậc tự do, có tính

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 12 đến ảnh hưởng của khối lượng tập trung để đánh giá ảnh hưởng của đại lượng này lên các tần số riêng của kết cấu Dựa vào lời giải của phương trình vi phân chuyển động trên cơ sở cân bằng động của dầm Timoshenko, Alghamdi [20] đã phát triển thành các phương trình ma trận chuyển đổi động và các hàm tải trọng Từ đó Alghamdi đã xây dựng các biểu thức giải tích cho các thành phần của ma trận độ cứng động lực và các hàm tải trọng với giả thiết rằng các ảnh hưởng cản, độ cong vênh của tiết diện được bỏ qua và ứng dụng để tính toán các tần số riêng của hệ dầm và khung có chiều cao tiết diện thay đổi theo bội số của chiều rộng tiết diện Banerjee [12] đã mở rộng ứng dụng của phương pháp này bằng cách xây dựng ma trận độ cứng động lực và sử dụng trong phân tích dao động tự do của dầm Timoshenko và dầm sandwich Ở Việt Nam, các tác giả Liên & Dương [23] đã ứng dụng phương pháp này để tính toán các tần số riêng của kết cấu sử dụng lý thuyết dầm Euler – Bernoulli Bằng cách đưa các phương trình dao động dọc và dao động uốn về dạng biên độ phức, Hùng [15] [16] đã xây dựng ma trận độ cứng động lực cho dao động dọc và uốn của dầm ở dạng tổng quát, sau đó ứng dụng để tính toán các tần số riêng và các dao động cưỡng bức của dầm, khung Trong nghiên cứu của tác giả Liên [22] đã trình bày phương pháp ma trận độ cứng động lực và véc tơ tải trọng nút quy đổi đối với phần tử dầm chịu uốn tổng quát Các tác giả Khiêm & Liên [13] và Khiêm

[14] dựa vào phương pháp này để phân tích dao động tự do của dầm có nhiều vết nứt và nhận dạng các vết nứt của kết cấu Phương pháp này cũng đã được các tác giả Liên [24] ứng dụng để tìm lực tới hạn trong bài toán ổn định bằng cách giải bài toán phi tuyến theo phương pháp đồ thị

Qua đó, ta có thể thấy được sự hình thành và phát triển của việc tính toán động lực học công trình nhận được rất nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới, cùng với đó là sự ra đời của phương pháp phân tích

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 13 chính xác động lực học kết cấu theo mô hình khối lượng phân bố Một số nghiên cứu tiêu biểu gần đây có thể kể ra như sau: C.A.N Dias, M Alves [3] đưa ra lời giải chính xác mode dao động của kết cấu dầm phẳng trong bài báo A contribution to the exact modal solution of in-plane beam structures của tạp chí khoa học Journal of Sound and Vibration năm 2009; S Yuan, K Ye, F.W Williams [19] sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động tìm mode của kết cấu trong bài báo

Second order mode-ﬁnding method in dynamic stiffness matrix method của tạp chí khoa học Journal of Sound and Vibration năm 2004; Hsiang-Chuan Tsai [10] tính toán các đặc trưng động lực học theo mô hình khối lượng phân bố trong bài báo A distributed-mass approach for dynamic analysis of Bernoulli-Euler plane frames của tạp chí khoa học Journal of Sound and Vibration năm 2010

Kết luận chương

Chương này đã nêu một số khái niệm của bài toán động lực học, cũng như đã trình bày ưu, nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn khi được sử dụng để giải quyết bài toán động lực học Nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn là sử dụng các hàm dạng độc lập với tần số, do đó không phản ánh được ứng xử thật sự của kết cấu Phương pháp khối lượng phân bố với ưu điểm là phân tích ứng xử của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng động một cách chính xác nhờ sử dụng các hàm dạng phụ thuộc vào tần số, cũng đã được trình bày Chương 2 cũng đã khái quát lịch sử phát triển cũng như tình hình nghiên cứu của phương pháp khối lượng phân bố hiện nay

Qua đó ta thấy bài toán động lực học là bài toán hết sức quan trọng trong thực tiễn, do đó việc nghiên cứu tìm lời giải chính xác cho bài toán này nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới Cùng với đó là sự ra đời của phương pháp khối lượng phân bố, đây được xem là phương pháp tính toán kết

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 14 cấu chính xác nhờ vào việc sử dụng mô hình tính toán mô tả một cách chân thực nhất sự làm việc của kết cấu Phương pháp này ngay lập tức được đón nhận, và được các nhà khoa học nghiên cứu, phát triển Đến thời điểm hiện nay, phương pháp khối lượng phân bố vẫn còn mang tính thời sự và thu hút được nhiều sự quan tâm của giới khoa học trên thế giới, mà điển hình là việc một loạt các bài báo nghiên cứu phương pháp này đã được công bố bởi các tạp chí khoa học uy tín gần đây (năm 2004, 2009, 2010) Chính điều này đã thôi thúc học viên chọn đề tài

“Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo phương pháp khối lượng phân bố” cho bài luận văn của mình

Cơ sở lý thuyết

Giới thiệu

Chương này sẽ thiết lập các phương trình cân bằng động lực học của phần tử thanh chịu kéo, nén và uốn Sau đó, từ các điều kiện biên của dao động ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình vi phân, đó là hàm phụ thuộc vào tần số thông qua tham số động lực Và từ các quan hệ lực – biến dạng ta sẽ tìm được ma trận độ cứng động lực cho từng phần tử dầm Euler – Bernoulli.

Phương trình động lực học kết cấu

Động năng và năng lượng biến dạng của một hệ kết cấu đàn hồi được cho bởi công thức sau [26]

U    H  dvol (3.2) trong đó {u} là trường chuyển vị, [ρ] là ma trận quán tính, {ε} là trường biến dạng và [H] là ma trận đàn hồi của hệ Nếu biểu diễn các trường này theo các chuyển vị nút

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 16 với [N(x,y,z)] là ma trận các hàm dạng, [B(x,y,z)] là ma trận tính biến dạng và {q} là các chuyển vị nút, thì từ các phương trình (3.1) và (3.2)

   (3.6) trong đó [M] và [K] tương ứng là ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của hệ

K   B H B dvol (3.8) Áp dụng nguyên lý Hamilton ta có

            (3.9) trong đó {Q} là vectơ tải tổng quát Từ đó ta có phương trình chuyển động cho trường hợp không cản sau khi thực hiện biến đổi (3.9)

  M   q    K     q  Q (3.10) nếu {Q}={0} chúng ta có phương trình dao động điều hoà của kết cấu được mô tả như sau

3.3 DAO DỘNG DỌC TRỤC TỰ DO CỦA THANH

Xét một thanh thẳng (hình 3.1) có mật độ khối là ρ(x), tiết diện là A(x), môđun đàn hồi E Thanh thực hiện dao động u(x,t) dọc trục x Áp dụng nguyên lý d’Alembert, xét một phân tố của thanh chịu lực như hình 3.2

Hình 3.1: Dầm có đặc trưng thay đổi

Hình 3.2: Cân bằng lực của phân tố dầm

Xét cân bằng lực của phân tố trên hình 3.2, phương trình chuyển động theo trục x của phân tố thanh có dạng

Theo sức bền vật liệu, ta có

Thế biểu thức trên vào phương trình (3.12) ta nhận được phương trình dao động dọc trục của thanh thẳng

Khi ρ(x) và A(x) đều là các hằng số, từ (3.13) ta suy ra phương trình dao động dọc tự do của thanh thẳng đồng chất tiết diện không đổi là

Như vậy phương trình dao động dọc tự do của thanh thẳng là phương trình đạo hàm riêng cấp hai Dùng phương pháp tách biến, ta tìm nghiệm của (3.14) dưới dạng sau u x t       ,  v x T t (3.15) trong đó v x  : hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, nó biểu thị dạng co dãn của dầm

T(t): hàm chỉ phụ thuộc vào thời gian, nó biểu thị quy luật dao động của hệ Thế biểu thức nghiệm (3.15) vào phương trình (3.14) ta có v x T t      c v x T t 2 ''      0

Do vế trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào x, còn vế phải chỉ phụ thuộc vào t, nên hai vế đó phải bằng hằng số Ký hiệu hằng số này là -ω 2 , phương trình trở thành

Từ đó ta nhận được hai phương trình vi phân thường v x ''   2 v x   0 c

Với bài toán xác định các tần số dao động riêng và dạng dao động, ta phải tìm nghiệm của phương trình (3.16) Viết lại (3.16) dưới dạng

Biểu thức (3.18) chính là phương trình vi phân dạng co dãn của thanh thẳng đồng chất có tiết diện không đổi Với bài toán phân tích phản ứng động, ta phải tìm thêm nghiệm của phương trình (3.17)

3.4 MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC CỦA PHẦN TỬ THANH THẲNG CHỊU KÉO NÉN

Xét một phần tử thanh thẳng chịu kéo nén có chiều dài L, diện tích A, mật độ khối lượng, môđun đàn hồi E Thanh có hai nút, mỗi nút có một bậc tự do là chuyển vị dọc trục (hình 3.3).

Hình 3.3 : Phần tử thanh chịu kéo nén

Theo (3.18) phương trình vi phân dạng co dãn của thanh thẳng chịu kéo nén được biểu diễn như sau

EA d v x 2   2 2 Av x   0 dx    Nghiệm tổng quát của phương trình (3.18) có dạng sau

  (3.19) trong đó  là tham số động lực của thanh chịu kéo nén, được cho bởi

2 xác định từ các điều kiện biên Từ hình 3.1 ta có các điều kiện biên v(0)

2 Như vậy từ (3.19) ta có

  L ta được v x     cos   cot  sin   u 1  csc  sin  u 2

Viết dưới dạng ma trận ta được v(x) = [N]{u

(3.23) trong đó [N] được gọi là ma trận các hàm dạng

   N  cos   cot  sin  csc  sin   (3.24)

Từ (3.24) ta nhận thấy rằng hàm dạng này phụ thuộc vào tần số  thông qua tham số động lực  Đối với thanh chịu kéo nén, ma trận tính biến dạng có dạng B dN 1 dN 2 dx dx

   và ma trận đàn hồi có dạng H = E [4] Sử dụng các hàm dạng (3.24) và từ (3.7), (3.8) ta thu được [2]

  csc 2 cot csc 2 csc cot

2 csc csc cot csc cot

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 22 và   cot csc 2   csc cot

Lực dọc trên các tiết diện thanh được xác định theo công thức [2]

Từ (3.19) ta có: v '   x A 1sin A 2cos

Các lực nút được xác định theo công thức

    (3.30) là ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu kéo nén Từ (3.26) và (3.30) ta dễ nhận thấy rằng

3.5 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM

Khi nghiên cứu dao động dọc của thanh ta giả thiết chiều dài của thanh khá lớn so với các kích thước khác của thanh Cũng như thế, khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, ta giả thiết chiều dài của dầm đủ lớn so với các kích thước khác

Khi thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm, Rayleigh (1842 – 1919) là người đầu tiên đã quan tâm đến quán tính quay (rotational inertia) của tiết diện, còn Timoshenko (1879 – 1972) là người đầu tiên quan tâm đến biến dạng cắt (shear deformation) của trục dầm Phân tích dao dộng của dầm có kể đến các ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng cắt được gọi là lý thuyết dầm Timosenko (Timoshenko beam theory) Khi bỏ qua các ảnh hưởng này, ta gọi là lý thuyết dầm Euler – Bernoulli (Euler – Bernoulli beam theory)

Khi nghiên cứu dao dộng uốn của dầm ta giả thiết rằng mặt cắt của dầm đối xứng qua hai trục Chẳng hạn mặt cắt của dầm có dạng hình tròn, hình chữ nhật, hình chữ I Khi mặt cắt của dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động uốn và xoắn đồng thời Bài toán này không được xét ở trong luận văn

3.5.1 Phương trình vi phân dao động uốn

Giả sử các mặt cắt của dầm luôn phẳng và vuông góc với trục võng của dầm Trục hình học của dầm khi chưa biến dạng thì thẳng Ta lấy đường thẳng này làm trục x, còn chọn trục z vuông góc với trục x (hình 3.4) Bỏ qua dao động xoắn và dao động dọc trục, dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo phương y

Hình 3.4 : Dao động uốn của thanh dầm

Khác với bài toán tĩnh, ở đây độ võng w, góc xoay , mômen uốn M và lực cắt V là các hàm của toạ độ x và thời gian t: w(x,t),  (x,t), M(x,t), V(x,t)

Như đã biết, quan hệ giữa độ võng và góc xoay có dạng tg W x t   ,   x t ,

 (3.32) Để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn, ta tách một phân tố nhỏ của dầm có chiều dài dx như hình 3.5 và ta có thể xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn này

Hình 3.5 : Các lực tác động lên 1 đoạn phân tố dầm

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 25 Áp dụng nguyên lý d’Alembert, xét cân bằng các lực theo phương đứng, ta có

      (3.33) trong đó, lực quán tính phân bố

  , với μ(x) là khối lượng một đơn vị dài của dầm

Thế vào phương trình (3.33) ta được:

Từ điều kiện cân bằng mômen các lực đối với điểm O, ta được

Bỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và f I , ta có:

 (3.36) Đạo hàm riêng 2 vế của phương trình (3.36) với x dẫn tới

  (3.37) Thay phương trình (3.34) vào phương trình (3.37) ta được

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 26 hay

     (3.39) trong đó các đại lượng EI và  thay đổi theo x

Nếu uốn dầm có xét đến ảnh hưởng của lực dọc, ta có phương trình

      (3.40) trong (3.40) ta vẫn còn quan tâm đến ảnh hưởng của lực dọc Theo các nghiên cứu của Rayleigh thì lực dọc chỉ có ảnh hưởng lớn đến các tần số dao động bậc cao Đối với các vùng tần số thấp ta có thể bỏ qua thành phần này Cho N=0 và xét với trường hợp dầm có tiết diện không đổi ta có phương trình vi phân dao động uốn của dầm Euler – Bernoulli

3.5.2 Dao động tự do của dầm đồng nhất tiết diện không đổi

Từ phương trình vi phân (3.41) ta có phương trình dao động uốn tự do

   (3.43) Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của (3.43) dưới dạng phân ly biến số w x t       ,  v x T t (3.44)

Dao động uốn của dầm

Khi nghiên cứu dao động dọc của thanh ta giả thiết chiều dài của thanh khá lớn so với các kích thước khác của thanh Cũng như thế, khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, ta giả thiết chiều dài của dầm đủ lớn so với các kích thước khác

Khi thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm, Rayleigh (1842 – 1919) là người đầu tiên đã quan tâm đến quán tính quay (rotational inertia) của tiết diện, còn Timoshenko (1879 – 1972) là người đầu tiên quan tâm đến biến dạng cắt (shear deformation) của trục dầm Phân tích dao dộng của dầm có kể đến các ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng cắt được gọi là lý thuyết dầm Timosenko (Timoshenko beam theory) Khi bỏ qua các ảnh hưởng này, ta gọi là lý thuyết dầm Euler – Bernoulli (Euler – Bernoulli beam theory)

Khi nghiên cứu dao dộng uốn của dầm ta giả thiết rằng mặt cắt của dầm đối xứng qua hai trục Chẳng hạn mặt cắt của dầm có dạng hình tròn, hình chữ nhật, hình chữ I Khi mặt cắt của dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động uốn và xoắn đồng thời Bài toán này không được xét ở trong luận văn

3.5.1 Phương trình vi phân dao động uốn

Giả sử các mặt cắt của dầm luôn phẳng và vuông góc với trục võng của dầm Trục hình học của dầm khi chưa biến dạng thì thẳng Ta lấy đường thẳng này làm trục x, còn chọn trục z vuông góc với trục x (hình 3.4) Bỏ qua dao động xoắn và dao động dọc trục, dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo phương y

Hình 3.4 : Dao động uốn của thanh dầm

Khác với bài toán tĩnh, ở đây độ võng w, góc xoay , mômen uốn M và lực cắt V là các hàm của toạ độ x và thời gian t: w(x,t),  (x,t), M(x,t), V(x,t)

Như đã biết, quan hệ giữa độ võng và góc xoay có dạng tg W x t   ,   x t ,

 (3.32) Để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn, ta tách một phân tố nhỏ của dầm có chiều dài dx như hình 3.5 và ta có thể xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn này

Hình 3.5 : Các lực tác động lên 1 đoạn phân tố dầm

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 25 Áp dụng nguyên lý d’Alembert, xét cân bằng các lực theo phương đứng, ta có

      (3.33) trong đó, lực quán tính phân bố

  , với μ(x) là khối lượng một đơn vị dài của dầm

Thế vào phương trình (3.33) ta được:

Từ điều kiện cân bằng mômen các lực đối với điểm O, ta được

Bỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và f I , ta có:

 (3.36) Đạo hàm riêng 2 vế của phương trình (3.36) với x dẫn tới

  (3.37) Thay phương trình (3.34) vào phương trình (3.37) ta được

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 26 hay

     (3.39) trong đó các đại lượng EI và  thay đổi theo x

Nếu uốn dầm có xét đến ảnh hưởng của lực dọc, ta có phương trình

      (3.40) trong (3.40) ta vẫn còn quan tâm đến ảnh hưởng của lực dọc Theo các nghiên cứu của Rayleigh thì lực dọc chỉ có ảnh hưởng lớn đến các tần số dao động bậc cao Đối với các vùng tần số thấp ta có thể bỏ qua thành phần này Cho N=0 và xét với trường hợp dầm có tiết diện không đổi ta có phương trình vi phân dao động uốn của dầm Euler – Bernoulli

3.5.2 Dao động tự do của dầm đồng nhất tiết diện không đổi

Từ phương trình vi phân (3.41) ta có phương trình dao động uốn tự do

   (3.43) Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của (3.43) dưới dạng phân ly biến số w x t       ,  v x T t (3.44)

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 27 trong đó v x  : hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ x, nó biểu thị dạng uốn của dầm

T(t) : hàm chỉ phụ thuộc vào thời gian, nó biểu thị luật dao động của hệ Thế (3.44) vào (3.43) ta được

Do vế phải của (3.46) là hàm chỉ phụ thuộc vào x, còn vế trái là hàm chỉ phụ thuộc vào t, cho nên cả hai vế bằng một hằng số, ta đặt hằng số này là ω 2 Từ đó suy ra

Với bài toán xác định các tần số dao động riêng và dạng dao động, ta phải tìm nghiệm của phương trình (3.48), đó là phương trình vi phân dạng uốn của dầm Euler – Bernoulli Với bài toán xác định phản ứng động, ta còn phải tìm nghiệm của phương trình (3.47)

Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh chịu uốn

Xét phần tử thanh chịu uốn theo lý thuyết Euler – Bernoulli trong mặt phẳng xy có chiều dài L, mômen quán tính đối với trục z là I, tiết diện A, mật độ khối lượng Phần tử thanh có hai nút, mỗi nút có hai bậc tự do là độ võng và góc xoay được chọn làm các chuyển vị nút như hình 3.6

Theo (3.48) ta có phương trình vi phân dạng uốn của dầm Euler – Bernoulli

Hình 3.6: Phần tử thanh chịu uốn

Nghiệm tổng quát của phương trình (b) có dạng [5] v x   B 1cos B 2sin B 3cosh B 4sinh (3.49) trong đó x

  L là tham số chiều dài không thứ nguyên của phần tử;  là tham số động lực của thanh chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli

4 xác định từ các điều kiện biên Từ hình 3.2 ta có các điều kiện biên v  0 u 1, v L  u 2, v '  0 1, v L '  2 Như vậy từ (3.49) ta có hệ phương trình

1 2 3 4 2 cos sin cosh sinh sin cos sinh cosh

Trong đó các hàm F i (i = 1…6) được gọi là các hàm tần số [2], xác định như sau:

Thay (3.53) vào (3.49) và viết lại dưới dạng ma trận ta được

     1 1 2 2  v x  N u  u  T (3.54) trong đó [N] được gọi là ma trận các hàm dạng, với x

Các lực nút được xác định theo các công thức [2]:

      (3.57) và '''   3 3 1sin x 2 os x 3sinh x 4cosh x v x B B c B B

Từ (3.53), (3.56) và (3.59) viết lại dưới dạng ma trận ta được

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 32 trong đó

(3.61) là ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh thẳng chịu uốn theo lý thuyết dầm

Euler – Bernoulli với F i (i = 1…6) lấy theo (3.53)

Trong trường hợp tiến tới giá trị 0, các hàm F i sẽ tiến tới giá trị không xác định 0/0 Đối với các mục đích tính toán, chúng được biến đổi thành chuỗi đa thức theo giá trị :

Dễ nhận thấy rằng các hằng số trong các phương trình (3.62) tương ứng với các thành phần của ma trận độ cứng trong phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng nghiệm dạng đa thức v(x) = a

Bằng cách biểu diễn trường biến dạng và trường chuyển vị theo các chuyển vị nút cùng với việc sử dụng nguyên lý Hamilton, trong chương này chúng ta đã thiết lập được phương trình dao động điều hòa của kết cấu Thêm vào đó, phương trình vi phân dao động của các phần tử thanh thẳng chịu kéo, nén và uốn theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli được thiết lập bằng cách áp dụng nguyên lý d’Alembert để làm cơ sở cho việc xây dựng ma trận độ cứng động lực của các phần tử này, với giả thiết là các dao động điều hòa, ta đã tìm được các phương trình dao động tự do của các thanh đồng chất có tiết diện không đổi

Bên cạnh đó, chương này cũng đã trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng động lực cho các phần tử thanh thẳng chịu kéo, nén và uốn trên cơ sở nghiệm chính xác của phương trình vi phân dao động Các hàm dạng của phương pháp này là các hàm phụ thuộc vào các hàm tần số nên ma trận độ cứng cũng phụ thuộc vào tần số và được gọi là ma trận độ cứng động lực Các chuyển vị nút và và các lực được tính thông qua các hàm tần số, và quan hệ giữa các đại lượng này thông qua ma trận độ cứng động lực

Phân tích động lực học của khung bằng phương pháp khối lượng phân bố

Giới thiệu

Về cơ bản, các thủ tục của phương pháp khối lượng phân bố tương tự như các thủ tục của phương pháp phần tử hữu hạn Vấn đề còn lại nằm ở việc giải bài toán trị riêng phi tuyến thay vì giải bài toán trị riêng tuyến tính Dựa vào ma trận độ cứng động lực đã xây dựng trong chương 3 để xây dựng ma trận độ cứng động lực của các phần tử khung phẳng Sau đó xây dựng phương pháp khối lượng phân bố từ các ma trận này và ứng dụng để tìm các tần số riêng của khung phẳng, trong đó bài toán trị riêng được giải bằng thuật toán Wittrick-Williams

Xây dựng lý thuyết về điều kiện trực giao của các dạng dao động khi sử dụng phương pháp khối lượng phân bố Sử dụng phương pháp ma trận rút gọn để tính toán vectơ chuyển vị, từ đó dựa vào các hàm dạng, vẽ các mode dao động của khung phẳng Cuối chương trình bày phương pháp chồng chất mode để phân tích ứng xử của kết cấu khi chịu tác dụng của tải trọng động

Ma trận độ cứng động lực của phần tử khung phẳng Euler- Bernoulli …

Mỗi phần tử khung phẳng có hai nút, mỗi nút có ba bậc tự do là 2 chuyển vị thẳng và 1 chuyển vị xoay như hình 4.1 Các chuyển vị nút gây ra các biến dạng độc lập nhau Phần tử bị biến dạng dọc trục bởi thành phần chuyển vị  1 2 

T u u e và bị uốn bởi thành phần chuyển vị  1 1 2 2 

Hình 4.1: Phần tử khung phẳng

Do vậy cộng tác dụng của hai trường hợp chịu biến dạng dọc trục và uốn ta có ma trận độ cứng động lực của phần tử khung chịu uốn + kéo (nén) Đối với bài toán phân tích khung phẳng, các phương trình cân bằng của phần tử có dạng

 (4.1)  trong đó q i và p i (i = 1,2) là ba thành phần chuyển vị và các vectơ lực tại đầu i của phần tử (hình 4.1)

D ij (i = 1,2; j = 1,2) là các ma trận độ cứng 3×3, phụ thuộc vào tần số

 Áp dụng lý thuyết Euler - Bernoulli

Từ các ma trận độ cứng động lực của các phần tử thanh chịu kéo nén và uốn thu được từ chương 3, sử dụng nguyên lý cộng tác dụng cho các trường hợp này, ta thu được các ma trận D ij khi sử dụng lý thuyết dầm Euler – Bernoulli có dạng như sau:

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 37 k

1 với  là tham số động lực tính theo (3.2) và F i (i = 1…6) tính theo (3.17)

Từ đó ta có ma trận độ cứng động lực của phần tử khung phẳng theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli

4.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ RIÊNG CỦA HỆ KHUNG PHẲNG

Trên cơ sở các ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh thẳng như đã trình bày ở trên, các bước chính khi sử dụng phương pháp khối lượng phân bố để tìm các tần số riêng của hệ thanh như sau:

(1) Rời rạc hóa hệ thanh sao cho trong hệ chỉ bao gồm các phần tử thanh thẳng có các đặc trưng hình học và vật liệu không thay đổi Đánh số thứ tự của các nút và phần tử theo nguyên tắc sẽ được trình bày trong phụ lục 2

(2) Khai báo môđun đàn hồi E, diện tích tiết diện A, mômen quán tính I, khối lượng riêng

(3) Chọn giá trị thử ban đầu của tần số riêng cần tìm Tính toán ma trận độ cứng động lực của các phần tử thanh với giá trị thử vừa chọn

(4) Chuyển các thành phần trong ma trận độ cứng động lực từ hệ tọa độ địa phương của phần tử sang hệ tọa độ tổng thể theo công thức k ij ' T k T ' ij (4.6) trong đó T là ma trận chuyển đổi

(4.7) với  0 là góc nghiêng giữa trục của phần tử x’ đối với trục ngang x như hình 4.2

Hình 4.2 : Góc nghiêng của phần tử (Ox’y’) và tọa độ tổng thể (Oxy)

(5) Kết nối ma trận độ cứng động lực của tất cả các phần tử, ta thu được ma trận độ cứng động lực tổng thể và sau đó áp đặt các điều kiện biên

(6) Tìm tần số riêng của hệ bằng cách giải hệ phương trình

  D        q  0 (4.8) trong đó   D      tính theo (4.5) Phương pháp giải hệ phương trình (4.8) được thực hiện bằng giải thuật Wittrick – Williams

 Thuật toán Wittrick - Williams Để tìm các tần số riêng từ bài toán trị riêng phi tuyến, nhiều phương pháp đã được đề xuất Từ phương pháp tìm kiếm định thức ở dạng thô dựa trên sự thay đổi dấu trong D    , đến các kỹ thuật hoàn chỉnh hơn dựa trên số lượng các giá trị đặc trưng âm (sign count) của ma trận, được giới thiệu bởi Williams & Wittrick [7][8] và được gọi là giải thuật Wittrick – Williams Giải thuật này bảo đảm rằng không có tần số riêng nào của kết cấu bị mất trong quá trình tìm nghiệm Luận văn sẽ sử dụng giải thuật này để tìm các tần số riêng của hệ khung phẳng Đầu tiên ta chọn giá trị tần số thử  = F tv, giá trị tần số thử càng gần đúng thì khối lượng tính toán càng ít, tuy nhiên với sự giúp sức của máy tính thì khối lượng tính không còn là vấn đề lớn, do đó trong luận văn này giá trị tần số thử là bất kỳ Bước tiếp theo ta tính toán ma trận độ cứng tổng thể của khung và áp đặt điều kiện biên, ta thu được ma trận D    Để tìm tần số riêng thứ R của kết cấu từ phương trình (4.8) ta thực hiện theo các bước sau Theo Wittrick – Williams, số lượng các tần số riêng có giá trị nhỏ hơn F tv là J được tính như sau

0 + s{D(F tv )} (4.9) trong đó s{D(F tv)} là số các phần tử âm trên đường chéo chính của D    F tv , với

D  F là ma trận tam giác trên thu được từ D(F tv) bằng cách dùng phép khử

0 là số lượng các tần số riêng có giá trị nhỏ hơn F tv nếu tất cả các bậc tự do tương ứng với q bị ngàm lại, và được tính theo công thức [7]

J o   J m (4.10) với J m là số lượng các tần số riêng có giá trị nhỏ hơn F tv của các phần tử cấu thành hệ có 2 đầu bị ngàm (clamped) và phép tổng được lấy trên tất cả các phần tử của khung phẳng

Từ các phương trình (4.1), các tần số riêng của một phần tử có hai đầu bị ngàm

(clamped) xuất hiện khi một hoặc nhiều thành phần D

22 trở nên vô hạn (infinite) Từ các phương trình (4.4) điều này sẽ xảy ra khi hoặc sin = 0 và  ≠ 0 (4.11) hoặc

1 cosh cos   0 và  ≠ 0 (4.12) Phương trình (4.11) sẽ được thoả mãn khi

Vì vậy J a, một thành phần của J m, phát sinh từ (4.11) được cho bởi biểu thức sau

J a là số nguyên lớn nhất < L

Tương tự, nếu hàm 1 cosh cos   0 được vẽ ra, nó sẽ cho thấy rằng J b, số các nghiệm nhỏ hơn giá trị của  (tương ứng với giá trị  đã cho) là [7]

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 41 trong đó i là số nguyên lớn nhất < 

 và sg  1 cosh cos    có giá trị là +1 hoặc

–1 tùy thuộc vào dấu của  1 cosh cos    là dương hay âm Như vậy J m được tính bởi công thức sau

J m = J a + J b (4.16) với J a và J b được tính theo các công thức (4.14) và (4.15)

Sau khi tính được J, nếu J < R thì F tv được xem là cận dưới, ta lấy F l = F tv (F l là cận dưới) và F tv lúc này được nhân đôi lên Tính toán lại J với giá trị mới của F tv Nếu J vẫn nhỏ hơn R thì ta lặp lại bước tính trên liên tục cho tới khi J ≥ R Ngược lại nếu J ≥ R, khi đó F tv trở thành cận trên F u, lúc đó F u = F tv (chú ý là F l ban đầu được lấy bằng 0) Mỗi khi F u và F l được thiết lập, quá trình lặp được tiếp tục bằng cách chia đôi khoảng, mỗi giá trị mới của F tv được tính bởi [7]

F tv = (F u + F l )/2 (4.17) và trở thành giá trị mới của F l nếu J < R hoặc giá trị mới của F u nếu J ≥ R Thủ tục chia đôi khoảng được thực hiện cho đến khi F tv / (F tv – F l) ≥ GCV, với GCV là giá trị hội tụ cho trước Giá trị F tv thỏa mãn điều kiện trên chính là giá trị cần tìm

Hình 4.3: Sơ đồ khối tính toán tần số riêng

4.4 ĐIỀU KIỆN TRỰC GIAO CỦA CÁC DẠNG DAO ĐỘNG

Hình 4.4: Chiều dương của các lực thành phần trong phần tử dầm

(a) Ngoại lực tác dụng tại nút (b) Nội lực

Xét một phần tử dầm như hình 4.4 có chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang A, mômen quán tính I, môđun đàn hồi E, và khối lượng  Khi dầm dao động ở tần số

Tính toán vec tơ dạng dao động

Tần số tự nhiên  n của mode thứ n và vectơ dạng dao động dn tương ứng có mối quan hệ sau [10]

Về mặt lý thuyết,K   n là riêng biệt Các vectơ dạng dao động d n có thể được tính thông qua phương pháp ma trận rút gọn Đặt K l   n là ma trận rút gọn có kích thước  n d  1   n d 1 bằng cách loại bỏ các hàng và cột thứ L của K   n (n d là số bậc tự do của hệ) Vectơ d l có kích thước  n d 1 , được tính toán từ công thức sau

K l   n d l  c l (4.37) trong đó c l là một vectơ có kích thước  n d  1 , và là cột thứ L của K   n với thành phần thứ L được loại bỏ

Các vectơ dạng dao động thu được bằng cách mở rộng vectơ d l như sau dn d 1 d 2 d l  1 1 d l d nd  1 T với d i là thành phần thứ i trong vectơ d l

Một cách lựa chọn tốt cho vị trí rút gọn L chính là vị trí mà giá trị tuyệt đối trên đường chéo chính của ma trận D  là tối thiểu, trong đó ma trận tam giác trên

D  là ma trận có được từ ma trận D(F tv) bằng phép khử Gauss định nghĩa ở biểu thức (4.9) Việc tính toán các vectơ dạng dao động d n chính xác có thể được kiểm tra bởi vectơ dư r, được xác định như sau r  K   n d n (4.38)

Nếu chuẩn của các vectơ dư là quá lớn, chọn một vị trí rút gọn L khác

Sau khi tìm được vectơ hàm dạng d n , tức là ta có được chuyển vị tương đối của các nút phần tử Từ các chuyển vị nút này, ta có thể sử dụng các hàm dạng đã được thiết lập trong chương 3 để vẽ dạng dao động

Nghiệm tổng quát của phương trình dao động dọc trục có dạng v x   A c 1 os x A 2 sin x

  (4.39) trong đó  là tham số động lực của thanh chịu kéo nén, được cho bởi

   (4.40) và A1, A2 xác định từ các điều kiện biên Ta có các điều kiện biên v(0) = u 1 và v(L)

= u2 (với u1, u2 lần lượt là chuyển vị dọc trục tại nút đầu và cuối) Như vậy từ (4.39) ta có

  L ta được v x    cos cotsin u 1cscsinu 2

Viết dưới dạng ma trận ta được v(x) = [N]{u

(4.43) trong đó [N] được gọi là ma trận các hàm dạng

   N  cos   cot  sin  csc  sin   (4.44)

Từ (4.44) ta nhận thấy rằng hàm dạng này phụ thuộc vào tần số  thông qua tham số động lực 

Nghiệm tổng quát của phương trình dao động uốn có dạng v x   B 1cos B 2sin B 3cosh B 4sinh (4.45) trong đó x

  L là tham số chiều dài không thứ nguyên của phần tử;  là tham số động lực của thanh chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 51 và các đại lượng B 1 , B 2 , B 3 , B 4 xác định từ các điều kiện biên Ta có các điều kiện biênv  0 u v L 1,  u v 2, '  0 1,v L '  2 Như vậy từ (4.45) ta có hệ phương trình

1 2 3 4 2 cos sin cosh sinh sin cos sinh cosh

        trong đó các hàm F i (i = 1…6) được gọi là các hàm tần số [2], xác định như sau:

Thay vào (4.45) và viết lại dưới dạng ma trận ta được

     1 1 2 2  v x  N u  u  T (4.49) trong đó [N] được gọi là ma trận các hàm dạng với x

Hình 4.5: Sơ đồ khối vẽ hàm dạng

4.6 TÍNH TOÁN CHUYỂN VỊ CỦA KHUNG PHẲNG

Khả năng giảm chấn của khung có thể được mô tả qua hai thông số  và  , trong đó  biểu thị mối quan hệ của độ cứng với tỷ số cản nhớt và  biểu thị mối quan hệ của khối lượng với tỷ số cản nhớt Khi phần tử J là phải chịu tải trọng phân bố theo các phương dọc và ngang, ký hiệu tương ứng là f J và g J , như trong hình 4.6, các phương trình chuyển động của phần tử J có kể đến cản nhớt là [10]:

Hình 4.6: Ngoại lực tác dụng lên khung phẳng

(a) Lực nút (b) Lực trên phần tử

Các chuyển vị của dao động cưỡng bức có thể được thể hiện bẳng cách cộng tác dụng tuyến tính của tất cả các dạng dao động

Trong tọa độ tổng quát, q k đại diện cho biên độ của mode thứ k Nếu khung có một chuyển vị ảo trong mode thứ n, lý thuyết của công ảo cho bởi

(4.55) trong đó P xi , P yi và Q i tương ứng là các lực ngang, lực đứng, mômen và là ngoại lực tại nút i như hình 4.6   u i n ,   v i n và    i n tương ứng là chuyển vị theo hướng x, y và góc xoay tại nút i của mode dao động thứ n

Nếu mode thứ n là nghiệm đơn, tức là  n  k với nk, phương trình (4.55) có thể được tách rời bằng cách sử dụng các điều kiện trực giao trong phương trình (4.32) và (4.34)

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 56 trong đó p n là lực tổng quát của mode thứ n, được xác định như sau

Bằng cách sử dụng biểu thức (4.35), thế vào biểu thức (4.56) có thể được đơn giản hóa

    (4.58) trong đó m nn là khối lượng tổng quát của mode thứ n, được định nghĩa sau

J m     A    dx (4.59) Cách giải biên độ mode trong biểu thức (4.58) là một tích phân Duhamel (tìm biên độ q)

Hình 4.7: Sơ đồ khối tính toán chuyển vị

Chương trình tổng quát để tính các tần số riêng, được lập trình bằng Matlab dựa trên cơ sở các ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh thẳng được xây dựng theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli Sơ đồ khối của chương trình như hình 4.3

Hai hương trình tiếp theo được lập trình bằng Matlab để tính toán các vectơ dạng dao động, vẽ mode dao động và khảo sát chuyển vị của khung dưới tác dụng của tải trọng điều hòa Việc tính toán dựa trên ma trận độ cứng động lực của khung và các tần số riêng đã tính được ở phần trên Sơ đồ khối của chương trình được biểu diễn trên hình 4.5 và hình 4.7

Mã nguồn của các chương trình tính toán xem phụ lục 1, cách sử dụng xem ở phụ lục 2

Chương này đã thiết lập ma trận độ cứng động lực cho phần tử khung phẳng chịu kéo nén và uốn theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli làm cơ sở cho việc tìm các tần số riêng của hệ khung phẳng theo mô hình khối lượng phân bố Từ đó sử dụng ngôn ngữ Matlab cùng với giải thuật Wittrick – Williams để lập trình chương trình tổng quát tính toán các tần số riêng của khung phẳng

Bên cạnh đó, chương 4 cũng đã xây dựng được lý thuyết về điều kiện trực giao của các dạng dao động và phương pháp ma trận rút gọn, làm cơ sở cho việc tìm vectơ dạng dao động Từ đó sử dụng ngôn ngữ Matlab để tính toán vectơ dạng dao động, vẽ mode dao động và áp dụng nguyên lý chồng chất mode để khảo sát

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 59 chuyển vị của khung dưới tác dụng của tải trọng điều hòa Nhờ sự hỗ trợ của phần mềm mà công việc tính toán trở nên dễ dàng hơn

Tính đúng đắn của chương trình sẽ được kiểm chứng thông qua việc phân tích số sẽ được trình bày trong chương sau.

Chương trình tính toán

Chương trình tổng quát để tính các tần số riêng, được lập trình bằng Matlab dựa trên cơ sở các ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh thẳng được xây dựng theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli Sơ đồ khối của chương trình như hình 4.3

Hai hương trình tiếp theo được lập trình bằng Matlab để tính toán các vectơ dạng dao động, vẽ mode dao động và khảo sát chuyển vị của khung dưới tác dụng của tải trọng điều hòa Việc tính toán dựa trên ma trận độ cứng động lực của khung và các tần số riêng đã tính được ở phần trên Sơ đồ khối của chương trình được biểu diễn trên hình 4.5 và hình 4.7

Mã nguồn của các chương trình tính toán xem phụ lục 1, cách sử dụng xem ở phụ lục 2.

Chương này đã thiết lập ma trận độ cứng động lực cho phần tử khung phẳng chịu kéo nén và uốn theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli làm cơ sở cho việc tìm các tần số riêng của hệ khung phẳng theo mô hình khối lượng phân bố Từ đó sử dụng ngôn ngữ Matlab cùng với giải thuật Wittrick – Williams để lập trình chương trình tổng quát tính toán các tần số riêng của khung phẳng

Bên cạnh đó, chương 4 cũng đã xây dựng được lý thuyết về điều kiện trực giao của các dạng dao động và phương pháp ma trận rút gọn, làm cơ sở cho việc tìm vectơ dạng dao động Từ đó sử dụng ngôn ngữ Matlab để tính toán vectơ dạng dao động, vẽ mode dao động và áp dụng nguyên lý chồng chất mode để khảo sát

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 59 chuyển vị của khung dưới tác dụng của tải trọng điều hòa Nhờ sự hỗ trợ của phần mềm mà công việc tính toán trở nên dễ dàng hơn

Tính đúng đắn của chương trình sẽ được kiểm chứng thông qua việc phân tích số sẽ được trình bày trong chương sau

Phân tích số và so sánh các kết quả

Bài toán 1

Tìm các tần số dao động riêng và phân tích phản ứng động của khung như hình 5.1 Khung có môđun đàn hồi Young E = 5.10 10 N/m 2 , tiết diện các thanh hình vuông 0,4m x 0,4m, khối lượng riêng = 2500 kg/m 3 Cho lực tác dụng lên khung sin

P t như hình vẽ Khảo sát chuyển vị ngang tại điểm A như trên hình theo thời gian t, sử dụng phương pháp khối lượng phân bố

Sau khi sử dụng chương trình và phần mềm SAP 2000 để tính toán, kết quả thu được là các giá trị tần số riêng (Hz), mode dao động và chuyển vị ngang tại điểm A của khung phẳng như trên hình 5.1 được thể hiện như sau:

Bảng 5.1 Giá trị tần số riêng (Hz) tính bằng các phương pháp khác nhau

Khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố, tính với các trường hợp số phần tử được chia cho mỗi dầm và cột lần lượt là 1, 2 và 3 phần tử

Chú ý: khi tính bằng SAP2000, chúng ta tính với các trường hợp số phần tử được chia cho mỗi dầm và cột là khác nhau

Bảng 5.2 Sai số của các tần số riêng tính bằng SAP 2000 so với kết quả của PP khối lượng phân bố

Sai số của tần số riêng (%)

Mode 1(7.191 Hz) Mode 2(28.053 Hz) Mode 3(45.660Hz)

Hình 5.2: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng SAP2000 (trường hợp chia mỗi dầm, cột thành 40 phần tử)

Mode 1(7.309Hz) Mode 2(28.641Hz) Mode 3(47.047Hz) Hình 5.3: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố

Hình 5.4: Chuyển vị ngang của điểm A khi P=sin20t KN

(a) Sap2000(2 phần tử mỗi dầm); (b) Sap2000(4 phần tử mỗi dầm)

(c) Sap2000(40 phần tử mỗi dầm); (d) Khối lượng phân bố

Hình 5.5: Chuyển vị ngang của điểm A khi P=sin40t KN

(a) Sap2000(2 phần tử mỗi dầm); (b) Sap2000(4 phần tử mỗi dầm) (c) Sap2000(40 phần tử mỗi dầm); (d) Khối lượng phân bố

Tính chính xác và hiệu quả của phương pháp khối lượng phân bố được kiểm chứng qua bài toán này bằng cách so sánh tám tần số riêng đầu tiên được tính bằng phương pháp này với các tần số riêng tương ứng được tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng ma trận khối lượng thu gọn (SAP2000)

Bảng 5.1 thể hiện tám tần số riêng đầu tiên của khung được tính bằng các phương pháp trên Khi tính bằng PP khối lượng phân bố, khung được chia là một hoặc được chia thành hai hoặc ba phần tử để kiểm chứng sự không thay đổi của kết quả Khi tính bằng SAP2000, khung được chia thành rất nhiều phần tử để khảo sát sự hội tụ của kết quả Để phân tích, so sánh cũng như kiểm chứng sự đúng đắn của kết quả thu được, ta tính toán sai số của tần số riêng khi tính bằng SAP 2000 so với kết quả của luận văn Các kết quả này được thể hiện trong bảng 5.2

Từ các kết quả thu được ở trên ta nhận thấy rằng số lượng tần số tính bằng phương pháp khối lượng phân bố không phụ thuộc vào việc chia phần tử Trong khi đó SAP2000 chỉ có thể tính được số các tần số bằng với số phần tử được chia và có sự hội tụ chậm Ngoài ra các tần số khi tính bằng SAP2000 thì luôn nhỏ hơn các tần số tính bằng pháp khối lượng phân bố (trừ trường hợp lưới chia quá thô, 1 hoặc 2 phần tử) Ta nhận thấy rằng khi tính bằng SAP2000 độ chính xác của các tần số tăng lên nếu gia tăng số lượng phần tử và có khuynh hướng giảm đối với các tần số cao

So sánh hình 5.2 và hình 5.3, ta thấy mode dao động của PP khối lượng phân bố giống mode dao động của Sap2000 với trường hợp chia mỗi thanh thành 40 phần tử Điều này đã chứng tỏ sự đúng đắn của phương pháp này khi vẽ được mode dao động chính xác với số phần tử ít nhất Với PP phần tử hữu hạn thông thường, mode dao động có sự sai khác rất lớn khi chúng ta chia quá ít phần tử, đặc biệt là với các mode dao động của tần số cao

Khung trong hình 5.1 chịu tác dụng của một lực điều hòa nằm ngang P=sint

KN đặt như hình vẽ Chuyển vị ngang theo thời gian tại điểm A khi tần số của lực là= 20Hz được vẽ như hình 5.4 Qua đó cho ta thấy phương pháp khối lượng phân bố có sự khác biệt lớn với phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng 2 phần tử trên mỗi dầm, khác biệt không đáng kể với phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng

4 phần tử trên mỗi dầm, và tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng 40 phần tử trên mỗi dầm Đồ thị trên hình 5.5 biểu thị chuyển vị theo phương ngang của điểm A khi tần số của lực là = 40Hz, qua đó cho ta thấy một sự khác biệt giữa phương pháp khối lượng phân bố và phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng 2 hoặc 4 phần tử trên mỗi dầm Phản ứng tính theo phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng 40 phần tử trên mỗi dầm có kết quả giống như là phản ứng tính theo phương pháp khối lượng phân bố

Bài toán 2

Tính tần số và dạng dao động riêng của khung phẳng cho trên hình 5.6 [15] Tiết diện các thanh hình vuông 0,2m x 0,2m Cho module đàn hồi E = 3.0×10 10 N/m 2 , khối lượng riêng  = 2400 kg/m 3 Cho lực điều hòa P tác dụng tại nút A như hình vẽ Khảo sát chuyển vị đứng của điểm A theo thời gian t, sử dụng phương pháp khối lượng phân bố

Sau khi sử dụng chương trình và phần mềm SAP 2000 để tính toán, kết quả thu được là các giá trị tần số riêng (Hz), mode dao động và chuyển vị đứng tại điểm A của khung phẳng như trên hình 5.6 được thể hiện như sau:

Bảng 5.3: Các giá trị tần số riêng (Hz) tính bằng các phương pháp khác nhau của khung phẳng như trên hình 5.6

Bảng 5.4: Sai số của tần số riêng tính bằng các phương pháp khác nhau so với kết quả của PP khối lượng phân bố

Mode 1(2.048Hz) Mode 2(14.059 Hz) Mode 3(20.067Hz)

Hình 5.7: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng SAP2000 (với trường hợp 40 phần tử)

Mode 1(2.0446Hz) Mode 2(14.051 Hz) Mode 3(19.832Hz) Hình 5.8: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng SAP2000 (với trường hợp 4 phần tử)

Mode 1(2.072 Hz) Mode 2(14.247 Hz) Mode 3(20.365 Hz)

Hình 5.9: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng theo PP biên độ phức [15]

Mode 1(2.071 Hz) Mode 2(14.232Hz) Mode 3(20.355Hz)

Hình 5.10: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố

Hình 5.11: Chuyển vị thẳng đứng của điểm A khi P=sin20t KN

(a) Sap2000(2 phần tử mỗi dầm); (b) Sap2000(4 phần tử mỗi dầm)

(c) Sap2000(40 phần tử mỗi dầm); (d)Khối lượng phân bố

Tám tần số riêng đầu tiên được tính bằng phương pháp phương pháp khối lượng phân bố, phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng ma trận khối lượng thu gọn (SAP2000), và so sánh với kết quả của tác giả Nguyễn Xuân Hùng [15][[16]

Bảng 5.3 thể hiện tám tần số riêng đầu tiên của khung được tính bằng các phương pháp trên Khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố, khung được rời rạc hoá thành các thành phần riêng biệt là các dầm, cột của mỗi tầng và nhịp, và xem mỗi thành phần này là một phần tử Khi tính bằng SAP2000, ngoài sự rời rạc hóa như trên, còn phải chia nhỏ phần tử để khảo sát sự hội tụ của kết quả Ở bài toán này, khi tính bằng SAP2000 mỗi phần tử như vậy được chia từ một đến 40 phần tử nhỏ Kết quả của tác giả dùng để so sánh được lấy từ [15]

Bảng 5.4 thể hiện sai số (%) của tần số riêng khi tính bằng các phương pháp khác nhau so với kết quả tần số riêng khi sử dụng PP khối lượng phân bố Từ kết quả trên ta nhận thấy rằng sai số của tần số khi tính bằng SAP2000 với lưới chia mỗi thanh một phần tử là rất lớn (khoảng từ 477% đến hơn 725%) từ tần số thứ hai trở lên Khi chia mỗi thanh thành hai phần tử thì kết quả khá chính xác ở 4 tần số đầu tiên, tuy nhiên từ tần số thứ năm thì độ sai lệch khá lớn (khoảng từ 142% đến 198%) Tuy nhiên, khi chia mỗi thanh thành ba phần tử trở lên thì kết quả sẽ hội tụ rất nhanh Ngoài ra, tất cả các kết quả của SAP2000, với độ sai số có thể chấp nhận được, đều nhỏ hơn các kết quả của phương pháp khối lượng phân bố và độ chính xác có khuynh hướng giảm đối với các tần số cao Bên cạnh đó ta cũng thấy kết quả của phương pháp biên độ phức có giá trị sai khác không đáng kể so với PP khối lượng phân bố (khoảng 0.05%) Điều này cũng chứng minh tính chính xác của PP khối lượng phân bố, vì kết quả của PP biên độ phức có thể xem là kết quả chính xác vì được tính toán bằng giải tích

So sánh các hình 5.7, hình 5.8, hình 5.9 và hình 5.10, ta thấy mode dao động của PP khối lượng phân bố khá giống mode dao động của SAP2000 với trường

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 77 hợp chia mỗi thanh thành 40 phần tử, mode dao động của PP biên độ phức cũng có dạng tương tự Điều này một lần nữa kiểm chứng sự đúng đắn của phương pháp khối lượng phân bố khi vẽ được mode dao động chính xác, có dạng giống với mode dao động của PP biên độ phức, là phương pháp giải tích chính xác Với PP phần tử hữu hạn thông thường, hàm dạng có sự sai khác rất lớn khi chúng ta chia quá ít phần tử, đặc biệt là với các hàm dạng của tần số cao

Nghiên cứu ảnh hưởng của khối lượng phân bố, một lực điều hòa theo phương thẳng đứng có dạng P=sin t kN được đặt tại điểm giữa dầm của khung Chuyển vị theo chiều đứng của điểm A được tính bằng phương pháp khối lượng phân bố và phương pháp phần tử hữu hạn SAP2000 Trong phương pháp phần tử hữu hạn, mỗi dầm được chia thành 2, 4 phần tử hoặc 40 phần tử

Với trường hợp tần số của lực tác động = 20 Hz, hình 5.11 cho thấy phản ứng động tính theo phương pháp khối lượng phân bố chỉ có một số khác biệt so với kết quả thu được bằng SAP2000 sử dụng 4 hoặc 40 phần tử trên mỗi dầm và có sự sai khác đáng kể với phản ứng thu được bằng SAP2000 sử dụng 2 phần tử mỗi dầm

Khi tăng tần số lực  lên đến 40 Hz kết quả cũng xảy ra tương tự Sự sai khác này xảy ra là do việc khai báo tải trọng dạng sinttrong SAP 2000 chưa đạt độ mịn cần thiết, tuy nhiên sự khác biệt ở đây cũng rất nhỏ và có thể bỏ qua được

Bài toán 3

Tìm các tần số dao động riêng và phân tích phản ứng động của khung 2 tầng [10] như hình 5.13 Khung có môđun đàn hồi Young E = 10 9 N/m 2 ; mặt cắt ngang chữ nhật có diện tích A = 10 -2 m 2 ; khối lượng riêng  = 1000 kg/m 3 ; mômen quán tính I = 10 -5 m 4 Cho lực điều hòa P tác dụng lên khung như hình vẽ Khảo sát chuyển vị đứng của điểm A theo thời gian t, sử dụng phương pháp khối lượng phân bố

Sau khi sử dụng chương trình và phần mềm SAP2000 để tính toán, kết quả thu được là các giá trị tần số riêng (Hz), mode dao động và chuyển vị đứng tại điểm A của khung phẳng như trên hình 5.13 được thể hiện như sau:

Bảng 5.5: Các giá trị tần số riêng (Hz) tính bằng các phương pháp khác nhau của khung phẳng 2 tầng như trên hình 5.13

Bảng 5.6: Sai số của tần số riêng tính bằng các phương pháp khác nhau so với

PP khối lượng phân bố

Mode 1(0.46559Hz) Mode 2(1.5253Hz) Mode7(6.9019Hz) Hình 5.14: Mode dao động của khung khi tính bằng SAP2000 (4 phần tử)

Mode 1(0.46593Hz) Mode 2(1.5299Hz) Mode7(6.9256Hz) Hình 5.15: Mode dao động của khung khi tính bằng SAP2000 (40 phần tử)

Mode 7(7,038 Hz) Mode 18(38,03 Hz) Mode 19(38,03 Hz) Hình 5.16: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng theo [10]

Mode 1(0.4710Hz) Mode 2(1.5466Hz) Mode 7(7.0271Hz) Hình 5.17: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố

(a) Sap2000(2 phần tử mỗi dầm); (b) Sap2000(4 phần tử mỗi dầm) (c) Sap2000(40 phần tử mỗi dầm); (d)Khối lượng phân bố

Tương tự như hai bài toán trên, tám tần số riêng đầu tiên sẽ được tính toán bằng phương pháp khối lượng phân bố và SAP2000 Bên cạnh đó ta cũng so sánh với kết quả của bài báo [10] Mỗi thanh của khung được xem là một phần tử khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố và được chia đều từ 1 đến 40 phần tử khi tính bằng SAP2000 Các giá trị tần số được thể hiện trong bảng 5.5 Sai số (%) của tần số khi tính bằng các phương pháp khác nhau so với kết quả khi sử dụng phương pháp khối lượng phân bố được thể hiện trong bảng 5.6

Có một sự khác biệt so với kết quả của bài toán 1 và bài toán 2, ở 2 bài toán đầu độ chính xác có khuynh hướng giảm dần đối với các tần số cao, tức là các tần số càng thấp cho kết quả càng tốt khi tính bằng SAP2000 Ở bài toán này ta thấy một số tần số cao lại cho kết quả tốt hơn tần số thấp hơn Và từ bảng 5.5 ta nhận thấy rằng tất cả các kết quả của SAP2000, với độ sai số có thể chấp nhận được, đều nhỏ hơn kết quả của PP khối lượng phân bố

So sánh các hình 5.14, hình 5.15, hình 5.16 và hình 5.17, ta thấy mode dao động của PP khối lượng phân bố giống với mode dao động của Sap2000 trường hợp chia mỗi thanh thành 40 phần tử và tương tự như trong bài báo [10] Đặc biệt trong bài toán này, mode dao động ở tần số cao (tần số thứ 7) được vẽ bằng PP khối lượng phân bố cũng có kết quả chính xác

Nghiên cứu ảnh hưởng của khối lượng phân bố, một lực điều hòa theo phương thẳng đứng có dạng sint kN được đặt tại điểm giữa tầng 2 của khung Chuyển vị theo chiều đứng của điểm A được tính bằng phương pháp khối lượng phân bố và phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng ma trận khối lượng thu gọn

SAP2000 Trong phương pháp phần tử hữu hạn, mỗi dầm được chia thành 2, 4 phần tử hoặc 40 phần tử

Với trường hợp tần số của lực tác động = 20 Hz, hình 5.18 cho thấy phản ứng động tính theo phương pháp khối lượng phân bố chỉ có một số khác biệt so

Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo PP khối lượng phân bố Trang 86 với kết quả thu được bằng SAP2000 sử dụng 2 phần tử trên mỗi dầm và tương tự như phản ứng thu được bằng SAP2000 sử dụng 4 hoặc 40 phần tử mỗi dầm

Tuy nhiên, nếu tần số lực  được tăng lên đến 40 Hz, phản ứng động tính theo phương pháp khối lượng phân bố hoàn toàn khác với SAP2000 sử dụng 2 phần tử trên mỗi dầm như ta thấy trong hình 5.19 Khi mỗi dầm được chia thành

40 phần tử, phản ứng động thu được từ SAP2000 có dạng giống như phản ứng động của phương pháp khối lượng phân bố Đối với phương pháp phần tử hữu hạn SAP2000, tăng số lượng phần tử trong mỗi dầm có thể làm giảm sự khác biệt so với phương pháp khối lượng phân bố

Bài toán 4

Xét khung phẳng 2 tầng 2 nhịp như hình 5.20 Môđun đàn hồi và khối lượng riêng tương ứng là E = 2.0×10 11 N/m 2 và  = 7860 kg/m 3 Mặt cắt ngang các thanh hình vuông 0,1m x 0,1m Cho lực tác dụng lên khungPsint như hình vẽ Khảo sát chuyển vị ngang tại điểm A như trên hình theo thời gian t, sử dụng phương pháp khối lượng phân bố

Hình 5.20: Khung phẳng 2 tầng 2 nhịp

Sau khi sử dụng chương trình và phần mềm SAP 2000 để tính toán, kết quả thu được là các giá trị tần số riêng (Hz), dạng dao động và chuyển vị ngang tại điểm A của khung phẳng như trên hình 5.20 được thể hiện như sau:

Bảng 5.7: Các giá trị tần số riêng (Hz) tính bằng các phương pháp khác nhau của khung phẳng 2 tầng như trên hình 5.20

Bảng 5.8: Sai số của các tần số riêng tính bằng SAP2000 so với kết quả của PP khối lượng phân bố

Mode 1(0.9235 Hz) Mode 2(2.9305 Hz) Mode 3(6.8428 Hz)

Hình 5.21: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng SAP2000

Mode 1(0.9329Hz) Mode 2(2.9607Hz) Mode 3(6.9133Hz)

Hình 5.22: Mode dao động của khung ứng với các tần số riêng khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố

Bài toán này với số bậc tự do nhiều hơn, được tính toán để kiểm tra tính chính xác cũng như tính tổng quát của chương trình mà học viên đã viết Tương tự như ba bài toán trên, tám tần số riêng đầu tiên sẽ được tính toán bằng phương pháp khối lượng phân bố và SAP2000 Mỗi thanh của khung được xem là một phần tử khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố và được chia đều từ một đến 40 phần tử khi tính SAP2000 Bảng 5.7 thể hiện tần số của khung khi tính bằng các phương pháp khác nhau Sai số của tần số khi tính bằng SAP2000 so với khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố được thể hiện trong bảng 5.8

Tương tự như các bài toán trên, mode dao động của khung được thể hiện qua hình 5.21 và hình 5.22 Đồ thị biểu diễn chuyển vị ngang của điểm A theo thời gian t được cho trong hình 5.23 và hình 5.24

Bài toán này vẫn chứng tỏ được sự đúng đắn của phương pháp khối lượng phân bố như ba bài toán trên Bên cạnh đó, bài toán này còn cho ta thấy được sự tin cậy của chương trình tính toán được viết bởi ngôn ngữ lập trình Matlab, dù với bất kỳ bài toán khung phẳng nào, có nhiều tầng, nhiều nhịp đi chăng nữa thì chương trình vẫn cho kết quả tính toán chính xác.

Bằng cách so sánh các kết quả số, chương này đã chứng minh tính đúng đắn của chương trình đã viết cũng như sự hiệu quả cùng với tính chính xác của phương pháp khối lượng phân bố Trong bài toán khung phẳng, khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố, sự rời rạc hoá chỉ thực hiện khi có sự thay đổi về mặt hình học hoặc các đặc trưng vật liệu Đối với SAP2000, để gia tăng độ chính xác của kết quả thì ta phải chia thanh thành nhiều phần tử và số lượng chia tuỳ thuộc vào loại bài toán và rất khó để xác định lưới chia chính xác

Tùy thuộc vào mỗi loại kết cấu mà chúng ta có quy luật hội tụ khác nhau khi sử dụng SAP2000 để phân tích động lực học của kết cấu và rất khó xác định giá trị chính xác của nó Sự khác biệt về kết quả tính toán khi tính bằng SAP2000 so với khi tính bằng phương pháp khối lượng phân bố phụ thuộc vào việc chia lưới phần tử và bậc của tần số Nói chung đối với SAP2000 khi chia khung thành càng nhiều phần tử thì độ chính xác của kết quả càng cao và độ chính xác này có khuynh hướng giảm đối với miền tần số cao

Tiêu đề	Phân tích động lực học khung phẳng Bernoulli-Euler theo phương pháp khối lượng phân bố
Tác giả	Nguyễn Duy Hưng
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Trọng Phước
Trường học	Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Kỹ thuật xây dựng
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Tp. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	144
Dung lượng	2,47 MB