TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI : TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP MULTISCALE KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH ES_FEM Trong luận văn này phươ
TỔNG QUAN
Đặt vấn đề
Để dự đoán ứng xử của các vật liệu composite thì có nhiều kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa đã đƣợc sử dụng Tuy nhiên hầu hết các kỹ thuật tính toán đồng nhất hóa đang tồn tại không thích hợp trong trường hợp có biến dạng lớn và tải trọng phức tạp và không thể tính toán trong trường hợp hình dáng kết cấu thay đổi
Trong trường hợp các đặc trưng không đồng nhất của vật liệu là quá nhỏ so với tỉ lệ của toàn bộ bài toán thì khối lƣợng tính toán của bài toán bài toán này bằng phương pháp phần tử hữu hạn sẽ trở nên quá lớn, để khắc phục những vấn đề này một phương pháp tính toán đồng nhất hóa khác đã được phát triển, đó là kỹ thuật đồng nhất Multi-Scale phương pháp này làm giảm bớt khối lượng tính toán nhưng vẫn giữ đƣợc các đặc tính không đồng nhất của vật liệu Ma trận độ cứng tại các điểm vật liệu sẽ đƣợc tính toán thông qua các phần tử thể tích đại diện (RVEs), được rời rạc hoá thông qua phương pháp phần tử hữu hạn thông thường và các điều kiện biên về tính tuần hoàn sẽ được áp đặt lên các RVEs Về cơ bản phương pháp này dựa trên việc giải quyết hai bài toán điều kiện biên kết hợp, một điều kiện biên ở cấp độ vi mô và một điều kiện biên ở cấp độ vĩ mô, các ten sơ biến dạng vĩ mô (gradient) đƣợc tính toán tại mỗi điểm vĩ mô và tiếp tục đƣợc sử dụng để thiết lập điều kiện biên động học cho phần tử đại điện RVE ở cấp độ vi mô Sau khi giải quyết đƣợc bài toán giá trị biên ở cấp độ vi mô, các ten sơ ứng suất ở cấp độ vĩ mô sẽ đạt được bằng cách lấy trung bình các kết quả của trường ứng suất vi mô trên toàn bộ thể tích của phần tử đại điện RVE
Trong luận văn này sẽ thay thế phương pháp phần tử hữu hạn bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) vào trong tính toán ở cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô của bài toán multi-scale với vật liệu đƣợc giả định đàn hồi có biến dạng nhỏ Ý tưởng cốt lõi của phương pháp phần tử hữu hạn trơn là sử dụng giá trị trung bình của biến dạng (biến dạng trơn) thay vì sử dụng biến dạng tương thích như trong phương pháp hữu hạn truyền thống Khi biến dạng trơn được sử dụng, ma trận độ cứng sẽ được mềm hóa và vì vậy phương pháp này sẽ cho kết quả chính xác hơn phương pháp phần tử hữu hạn.
Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước
Hầu hết các bài báo về tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng phương pháp
Multi-scale trên thế giới hiện nay đều dùng phương pháp phần tử hữu hạn thông thường để tính toán Tên các bài báo và sách nước ngoài mà đề tài tham khảo:
[1] Miehe, C and Koch, A (2002) Computational micro-to-macro transition of discretized microstructures undergoing small strain.Arch Appl Mech., 72:300–
[2] Nemat-Nasser, S and Hori, M (1993).Micromechanics: overall properties of heteroge-neous materials Elsevier, Amsterdam
[3] V.-D Nguyen, E B ´ echet, C Geuzaine, L Noels (2011) Imposing periodic boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation
[4] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., and Baaijens, F P T (2000a) Micro- macro modeling of heterogeneous materials In Proceedings of the European
Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS,on CD–ROM, CIMNE, Barcelona, Spain
[5] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., and Baaijens, F P T (2001a) An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials.Comput Mech., 27:37–48
[6] Kouznetsova, V (2002) Computational homogenization for the multi-scale analysis of multi-phase materials PhD thesis Technische Universiteit
[7] H W Zhangã J K Wuã J Lv (2011) A new multiscale computational method for elasto-plastic analysis of heterogeneous materials Computational Mechanics, 49:149-169
1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước
Nghiên cứu trong nước về đề tài này vẫn chưa được thực hiện nhiều
[8] Canh V Le, Harm Askes, Inna M Gitman FE 2 computational homogenization for effective properties of heterogeneous materials The 1st International Conference on Computational Science and Engineering in Ho-Chi-Minh City, Vietnam on December 19-21 th , 2011.
[9] Vinh Phu Nguyen, Oriol Lloberas-Valls, Martijn Stroeven and Lambertus
Johannes Sluys (2011) Computational homogenization for multiscale crack modeling.Implementational and computational aspects, International Journal For Numerical Methods In Engineering, 89:192–226
[10] Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung
(2012) Isogeometric-based Heterogeneous Multiscale Method International Conference on Advances in Computational Mechanics
[11] Hoang Tuong, Thai Hoang Chien, Nguyen Vinh Phu and Nguyen Xuan Hung
(2012) An efficient high order NURBS-based heterogeneous multiscale method 9th National Congress in Mechanics.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Mục tiêu của đề tài nghiên cứu này là phát tiển phương pháp Tính toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi bằng phương pháp multi-scale kết hợp với phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) bao gồm các giai đoạn
Sử dụng pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) để rời rạc hóa miền vật liệu của bài toán vĩ mô Xác định các điểm Gauss và gán mỗi điểm Gauss cho một phần tử yếu tố thể tích đại diện (RVE).
Sử dụng phương pháp tính toán đồng nhất hóa bậc nhất (first order) của Multi-scale để thiết lập bài toán điều kiện biên ở cấp độ vi mô và kết hợp chuyển đổi tỉ lệ vi mô- vĩ mô
Lập trình tính toán số cho các bài bài toán phẳng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab
Phân tích đánh giá tính hiệu quả của phương pháp thông qua việc so sánh kết quả thu đƣợc với kết quả số khác.
TÍNH TOÁN ĐỒNG NHẤT HÓA BẬC NHẤT (Kounetsova(2002))
Giả thiết cơ bản
Trong tính toán đồng nhất hóa, vật liệu đƣợc xem là đồng nhất và lien tục ở cấp độ vĩ mô nhƣng ngƣợc lại rời rạc ở cấp độ vi mô Điều này đƣợc minh họa trong hình 1 Tỉ lệ chiều dài vi mô l micro thì lớn hơn nhiều lần so với kích thước của các phân tử l discrete , Tương tự như vậy tỉ lệ chiều dài vi mô được giả định là nhỏ hơn nhiều lần chiều dài của phần tử vĩ mô l macro discrete micro macro l l l
Hình 1: Một điểm vật liệu vĩ mô liên tục dưới cấu trúc vi mô rời rạc 2.1.1 Tính tuần hoàn cục bộ
Hầu hết các phương pháp tiếp cận đồng nhất đều đưa ra một giả định dựa trên tính chu kỳ thổng thể của các cấu trúc vi mô, điều này đƣợc hiểu là toàn bộ miền vật liệu vĩ mô chứa đựng những phần tử đơn vị không gian lặp lại Trong phương pháp tính toán đồng nhất hoá, một giả định sát với thực tế hơn là tính tuần hoàn cục bộ đã đƣợc đề xuất
Theo giả định này, các cấu trúc vi mô có thể có những hình thái tương ứng khác nhau tại các điểm vĩ mô khác nhau, trong khi nó tự lặp lại trong một vùng kế cận nhỏ tại mỗi điểm vĩ mô riêng biệt Khái niệm về tính tuần hoàn cục bộ và tổng thể đƣợc minh hoạ trong hình 2 Giả định về tính tuần hoàn tổng thể và cục bộ đƣợc áp dụng trong tính toán đồng nhất hoá cho phép mô hình hoá các tác động của sự phân bổ không đồng đều của các cấu trúc vi mô vào trong ứng xử của cấu trúc vĩ mô (ví dụ nhƣ theo chức năng cường độ của các loại vật liệu)
(a) tuần hoàn cục bộ (b) Tính tuần hoàn tổng thể Hình 2: Tính tuần hoàn cục bộ (a) và tính tuần hoàn tổng thể (b) 2.1.2 Nguyên lý tính toán đồng nhất hóa
Nguyên lý cơ bản của tính toán đồng nhất hoá bậc nhất (first order) đã đƣợc phát triển dần dần từ những khái niệm đã được sử dụng trong nhiều phương pháp đồng nhất hoá khác và thõa mãn theo quy trình 4 bước đồng nhất hoá được đưa ra bởi Suquet(1985):
1 Định nghĩa một phần tử thể tích cấu trúc vi mô đại diện (RVE) , với các ứng xử cơ bản của các thành phần cấu tạo độc lập, được giả định là đã biết trước;
2 Thành lập các điều kiện biên cấp độ vĩ mô từ các biến đầu đầu vào cấp độ vĩ mô và áp đặt lên các RVE (phép chuyển đổi từ vĩ mô sang vi mô);
3 Tính toán các biến đầu ra của cấp độ vĩ mô từ việc phân tích biến dạng của cách phần tử cấu trúc vi mô RVE (chuyển đổi từ vi mô sang vĩ mô);
4 Có đƣợc mối liện hệ (về số) giữa các biến đầu vào và các biến đầu ra
2.1.3 Quy trình tính toán đồng nhất hóa
Trong phương pháp đồng nhất hóa bậc nhất, ten sơ ứng suất vĩ mô F được tính toán tại từng điểm vật liệu của cấu trúc (ví dụ, tích hợp các điểm vĩ mô vào phần tử hữu hạn) Tại mỗi điểm vĩ mô, ten sơ biến dạng được dùng để xây dựng điều kiện biên cho phần tử đại diện RVE tương ứng Sau khi giải bài toán biên cho RVE, ten sơ ứng suất được lấy trung bình từ ứng suất RVE trên toàn bộ thể tích của RVE Quan hệ ứng suất-biến dạng tại các điểm vĩ mô được nhận dạng dễ dàng Ma trận mô đun đàn hồi của vật liệu được suy ra từ độ cứng của vi cấu trúc Kỹ thuật đồng nhất hóa tuân thủ nguyên lý cơ học môi trường liên tục, phản ứng tại điểm vật liệu vĩ mô chỉ phụ thuộc vào độ dốc ban đầu của trường chuyển vị.
Hình 3: Quy trình tính toán đồng nhất hóa bậc nhất
Trong khuôn khổ của phương pháp tính toán đồng nhất hóa vĩ mô này phương pháp này có thể được xếp loại là hướng pháp tiếp cận bậc nhất
2.1.4 Các quy trình điều khiển các đại lƣợng động học Multi-scale
Quy trình chuyển đổi vi mô và vĩ mô đƣợc đƣa ra ở trên gọi là “điều khiển chuyển vị” tức là trên cấp độ vĩ mô cục bộ bài toán đƣợc xây dựng nhƣ sau: cho 1 ten sơ biến dạng vĩ mô, xác định ứng suất và các thành phần mô đun đàn hồi, dựa trên phản ứng ở cấp độ vi mô đơn giản Một phương pháp khác gọi là “điều khiển ứng suất” cũng có thể thực hiện đƣợc (cho một ứng suất vĩ mô cục bộ, thu đƣợc biến dạng).Tuy nhiên phương pháp này không trực tiếp thỏa mãn với các chuẩn chuyển vị của phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được sử dụng để giải quyết những bài toán giá trị điều kiện biên cấp độ vĩ mô Ngoài ra trong trường hợp biến dạng lớn bị ảnh hưởng của góc xoay cấp độ vĩ mô đƣợc kể thêm vào một ten sơ ứng suất để xác định ten sơ biến dạng, do đó việc thực hiện trở nên phức tạp Vì vậy phương pháp “điều khiển ứng suất”, chỉ đƣợc sử dụng trong phân tích những phần tử đơn giản và không áp dụng trong quá trình kết hợp tính toán đồng nhất hoá giữa cấp độ vi mô và vĩ mô.
Xác định các biến của bài toán ở cấp độ vi mô
Các đặc trƣng hình học và vật liệu của các cấu trúc vi mô thì đƣợc xác định bởi 1 phần tử thể tích đại diện (RVE), Hình 4 mô tả một phần tử RVE hai chiều Sự lựa chọn thực tế các phần tử RVE là một cách lựa chọn hợp lý, phần tử RVE phải đủ lớn để đại diện cho các cấu trúc vi mô mà không đƣa ra những đặc tính không tồn tại (ví dụ các thuộc tính bất đẳng hướng không mong muốn) Do đó các bài toán ở cấp độ phần tử RVE có thể thiết lập các bài toán giá trị biên nhƣ trong cơ học vật rắn biến dạng
Hình 4: Phần tử thể tích đại diện (RVE) trong bài toán phẳng
2.2.2 Phương trình cân bằng và các đặc trưng cơ bản ở tỉ lệ vi mô
Các trường biến dạng của phần tử RVE tại 1 điểm với vec tơ vị trí ban đầu X (trong miền tham chiếu V 0 ) và vec tơ vị trí thực tế x (trong miền V thực tại), đƣợc mô tả bởi ten sơ biến dạng cấu trúc vi mô m =( 0 m x) c , trong đó toán tử gradient 0,m đƣợc lấy đối với các hình dạng tham chiếu của cấu trúc vi mô Ký hiệu “c” là chỉ số liên hiệp
Phần tử RVE ở trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng ten sơ ứng suất Cauchy (bỏ qua lực khối): m m 0
Trong đó toán tử gradient 0m có mối liên hệ với hình dạng hiện tại ở tỉ lệ vi mô
Những đặc trƣng cơ học của các thành phần cấu trúc vi mô sẽ đƣợc mô tả bởi các định luật cơ bản
2.2.3 Chuyển đổi tỉ lệ từ vĩ mô sang vi mô
Chuyển đổi từ tỉ lệ vĩ mô sang vi mô là sự áp đặt các gradient ten sơ biến dạng vĩ mô
M hay ứng suất vĩ mô M lên cấu trúc RVE vi mô Để thực hiện quá trình này ta có các phương pháp như sau:
Bằng cách áp đặt tất các các thành phần cấu trúc vi mô chịu một biến dạng hằng số giống nhƣ ở cấp độ vĩ mô (giả định Taylor hay giả định Voigt).
Bằng cách áp đặt toàn bộ ứng suất của các thành phần là không đổi (kể cả góc xoay), giả định này gọi là giả định Sachs (hay Reuss)
Bằng các phương pháp trung gian, trong đó các giả định của Sachs và Taylor chỉ áp dụng đƣợc cho một số thành phần ten sơ biến dạng và ten sơ ứng suất nhất định
Các phương pháp trên còn hạn chế trong việc thỏa mãn đầy đủ các phương trình cân bằng tĩnh học và điều kiện tương thích, chỉ cung cấp đánh giá sơ bộ về đặc tính tổng thể của vật liệu Do vậy, các phương pháp này không phù hợp để ứng dụng vào các trạng thái làm việc phi tuyến tính.
Giả định Taylor thường đánh giá quá cứng độ cứng tổng thể, trong khi giả định Sach lại đánh giá quá mềm độ cứng tổng thể, Tuy nhiên các phương pháp lấy trung bình theo Taylor và Sachs đôi khi đƣợc sử dụng để có những ƣớc lƣợng ban đầu về độ cứng tổng thể của vật liệu liên hợp.
Các điều kiện biên ở tỉ lệ vi mô
Có nhiều phương pháp lấy trung bình chính xác để giải quyết chi tiết bài toán về giá trị biên của cấu trúc vi mô thông qua việc chuyển đổi các biến số vĩ mô về vi mô qua các điều kiện biên Có 3 kiểu điều kiện biên của phần tử RVE đƣợc sử dụng:
2.3.1 Điều kiện biên chuyển vị
Vector vị trí tại mỗi điểm nằm trên biên phần tử RVE đƣợc xác định thông qua ten sơ biến dạng vĩ mô theo công thức sau: x M X với X ở trên biên trước khi biến dạng o (2.2)
2.3.2 Điều kiện biên chịu kéo Điều kiện biên này đƣợc xác định bởi tất cả các lực kéo ràng buộc trên biên RVE thông qua các ten sơ ứng suất vĩ mô theo công thức sau:
Trong đó: t là lực kéo trên biên m của phần tử RVE n là pháp vector trên biên của phần tử RVE
Tuy nhiên trong điều kiện biên chịu kéo (2.3) không xác định đƣợc hoàn toàn bài toán giá trị biên cấp độ vi mô nhƣ đƣợc miêu tả ở mục 2.2.2 Hơn nữa chúng không thích hợp trong phương pháp điều khiển chuyển vị Vì vậy các điều kiện biên chịu kéo không được sử dụng trong phương pháp này Chúng trình bày ở đây chỉ mang tính chất tổng quát
2.3.3 Điều kiện biên tuần hoàn
Dựa trên các giả định về tính tuần hoàn cục bộ của cấu trúc vi mô đƣợc minh hoạ trong
Hình 4 điều Điều kiện về tính tuần hoàn của RVE dưới dạng cấu trúc vi mô được viết dưới dạng tổng quát như sau:
Công thức (2.4) mô tả biến dạng tuần hoàn theo phương tọa độ x, trong khi công thức (2.5) thể hiện lực kéo không tuần hoàn tại các biên đối xứng của RVE Các thành phần tại biên và m và m là những đại lượng phức hợp.
của phần tử RVE được định nghĩa là n n tại các điểm tương ứng trên biên m
đƣợc minh hoạ trong Hình 4 Điều kiện về tính tuần hoàn (2.4) đƣợc quy định trên các phần tử RVE ban đầu vẫn đƣợc giữ nguyên khi các phần tử RVE bị biến dạng Theo những nghiên cứu trước đây của các tác giả (Van der Sluis et al (2000);
Terada at al (2000) ) đã cho ra thấy rằng các kết quả đƣợc cung cấp bởi điều kiện biên tuần hoàn cho kết quả tốt hơn điều kiện biên chuyển vị và lực kéo trên biên Vì vậy trong luận văn này sẽ chỉ sử dụng điều kiện biên tính tuần hoàn để tính toán Đối với các RVE 2 chiều đƣợc mô tả trên hình 4, điều kiện (2.4) có thể đƣợc tính toán lại thành các mối quan hệ ràng buộc nhƣ sau (phù hợp hơn trong việc tính toán thực tế)
Trong đó: x x x L , R , B và x T là các kí hiệu véc tơ tại các điểm trái, phải, dưới và trên của biên phần tử RVE tương ứng; x i i , 1, 2, 4 là véc tơ vị trí tại các điểm góc 1, 2, 4 ở trạng thái biến dạng
Những điều kiện biên khác cũng có thể đƣợc áp dụng lên phần tử RVE Với yêu cầu duy nhất là các điều kiện này phải phù hợp với định lý trung bình Định lý trung bình đƣợc sử dụng để giải quyết bài toán kết hợp vi mô – vĩ mô sẽ đƣợc trình bày trong phần tiếp theo.
Kết hợp tính toán ở hai cấp độ vi mô- vĩ mô
Sự kết hợp thực tế giữa cấp độ vi mô và vĩ mô là dựa trên lý thuyết trung bình Biểu thức lấy tích phân trung bình theo biến dạng nhỏ đƣợc đề cập lần đầu tiên bởi Hill (1963), và sau đó đƣợc mở rộng ra biến dạng lớn bởi Hill (1984) và Nemat- Nasser(1999)
Những mối quan hệ cần được lưu ý đầu tiên của việc kết hợp vi mô- vĩ mô chính là các đại lƣợng động học Nó đƣợc mặc định rằng ten sơ biến dạng vĩ mô M đƣợc lấy trung bình từ thể tích của ten sơ biến dạng vi mô m
Trong đó định lý phân Green’s Lemma sử dụng để chuyển đổi tích phân từ đạng thể tích V m sang tích phân mặt của RVE
Kiểm tra điều kiện biên (2.4) thực sự đáp ứng đƣợc (2.9) Thay thế (2.4) vào (2.9) và sử dụng định lý trung bình với m X I biên m chia thành các phần m và m
Tương tự cách lấy trung bình cho ten sơ biến dạng , ten sơ ứng suất được tính như sau :
Biểu diễn ứng suất vĩ mô $\sigma_M$ theo các đại lượng của cấu trúc vi mô trên bề mặt RVE bằng các mối liên hệ sau: $\sigma_M=\bar{c_m}^{0m}\bar{\sigma_m}^{x}$.
Thay (2.12) vào (2.11), áp dụng định lý trung bình với t n c m ta đƣợc:
Thay điều kiện (2.4) vào phương trình dẫn đến đẳng thức trên
Sau khi áp dụng kỹ thuật giải số (ví dụ FEM) để giải quyết bài toán điều kiện biên cấu trúc vi mô RVE, ứng suất trung bình $\sigma^M$ có thể được tính bằng cách tích phân trên biên RVE theo công thức (2.13) Trong trường hợp giới hạn điều kiện biên chuyển vị, phương trình này trở nên đơn giản hơn.
- f i là nội lực tại các nút trên biên
- X i là véc tơ vị trí của nút ở trạng thái biến dạng
- N p là số nút trên biên
Dùng các điều kiện (2.7)-(2.9) cho phần tử 2D mô tả trong hình 2.4 ta nhận thấy tích phân (2.17) chỉ phụ thuộc vào nội lực tại 3 điểm góc
2.4.3 Công nội Định lý bảo toàn năng lƣợng trung bình, còn gọi là điệu kiện Hill – Mandel hay điều kiện đồng nhất vĩ mô (Hill (1963); Suquet(1985)), Yêu cầu sự biến thiên công đƣợc lấy trung bình trên ở cấp độ vi mô trên RVE phải bằng với sự thay đổi cục bộ của công ở cấp độ vĩ mô Thành lập công thức dạng kết hợp công của ten sơ biến dạng và ten sơ ứng suất ban đầu Piola-Kirchhoff theo điều kiện Hill-Mandel được viết dưới dạng: c c m M M
Vế trái của công thức (2.16) có thể chuyển đổi về dạng các đại lƣợng bề mặt RVE:
Trong đó các mối liên hệ (đƣợc đánh dấu cho sự cân bằng của cấu trúc vi mô)
Thay thế điều kiện biên tính tuần hoàn (2.4), (2.5) vào (2.17) ta đƣợc: c c c
Vậy điều kiện biên tính tuần hoàn thõa mãn điều kiện Hill-Mandel, hai điều kiện biên còn lại là điều kiện biên chuyển vị tuyến tính và điều kiện biên chịu kéo cũng thỏa mãn điều kiện Hill-Mandel điều này đƣợc chứng minh trong tài liệu của Kouznetsova (2002)
2.4.5 Ma trận mô đun đàn hồi vật liệu
Khi thực hiện tính toán từ vi mô lên vĩ mô bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng tại mỗi điểm tích phân vĩ mô sẽ đƣợc tính toán Bởi vì phương pháp tính toán đồng nhất hóa ở đây không phải là dạng chính xác với các quy luật ứng xử thành phần ở cấp độ vĩ mô là giai đoạn tính toán ƣu tiên, ma trận độ cứng được xác định từ mối liên hệ bằng phương pháp số từ các biến ứng suất và biến dạng vĩ mô tại một điểm Điều này có thể thực hiện bằng nhiều phương pháp số khác nhau của các mối liện hệ ứng suất-biến dạng số khác nhau Các ví dụ sử dụng các phương pháp số trên đã được trình bày bởi Miehe (1996) Một phương pháp khác gọi là thu gọn độ cứng của cấu trúc vi mô thành độ cứng của cấu trúc vĩ mô được Mục tiêu của phương pháp này là làm giảm số phương trình hệ thống từ mối quan hệ lực tác dụng trên biên của RVE và kết hợp với điều kiện biên chuyển vị Phương pháp này sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để áp đặt điều kiện biên đã đƣợc chứng minh bởi Miehe và Koch (2002) Hiện nay phương pháp này đã được thay đổi bằng cách rút gọn số bậc tự do bị ràng buộc, đã đƣợc chứng minh bởi Kouznetsova và các công sự (2001a)
Trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn, đối với các RVE 2 chiều được mô tả nhƣ trên Hình 4 trong đó điều kiện biên tuần hoàn đƣợc sử dụng theo công thức (2.6)- (2.8) Bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, chia lưới phần tử sao cho các nút trên các biên đối diện nhau của phần tử RVE là bằng nhau Theo cách rời rạc đó các công thức (2.6) và (2.7) đƣợc viết lại nhƣ sau: d di i u C u
- u i : bậc tự do độc lập ( được giữ lại trong phương trình hệ thống);
- u d : bậc tự do phụ thuộc ( sẽ bị loại trừ khỏi phương trình hệ thống);
- C di : ma trận tính phụ thuộc
Việc loại bỏ bậc tự do phụ thuộc khỏi phương trình hệ thống có thể thực hiện bằng các phương pháp cơ học kết cấu như phương pháp hàm phạt hoặc phương pháp nhân tử Lagrangian (Cook et al, 1989) Theo những phương pháp này, phương trình tuyến tính hệ thống tổng quát sẽ được phân chia thành dạng:- Phương trình cân bằng: **u = di**- Phương trình ràng buộc: **r = dd
Phương trình trên được thu gọn bằng cách loại trừ ra những bậc tự do phụ thuộc
Với K * K ii K C id di C K di T di C K C di T dd di ,
Phương trình (2.21) được viết lại theo các thành phần tương ứng với các biến của bậc tự do quy định khác nhau u p , trong trường hợp này là tại các vị trí khác nhau của ba nút góc qui định theo công thức (2.8), các biến ngoại lực tại các nút quy định này đƣợc ký hiệu là δf p * , và giữ lại các biến chuyển vị:
Ma trận độ cứng suy giảm K M * trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn:
K u f với K M K * pp K * pf K * ff 1 K * fp (2.25)
Chú ý rằng K M * là một ma trận [6x6] (trong trường hợp bài toán phẳng)
Cuối cùng từ mối liện hệ giữa lực và chuyển vị theo công thức (2.25) đƣợc chuyển về mối quan hệ giữa ten sơ ứng suất và ten sơ biến dạng nhƣ sau:
Trong đó 4 C P M là ma trận mô đun đàn hồi vật liệu tại từng điểm tích phân vĩ mô Để thu đƣợc các thành phần của ma trận mô đun đàn hồi hồi vật liệu từ độ cứng đã được rút gọnK * M , công thức (2.25) sẽ được viết lại dưới dạng: ij M ( ) i ( ) i j u f
Trong đó: i, j=1,2,4 : trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn
Thay thế phương trình u j X j c M vào phương trình (2.28) ta được:
Trong đó LC là ký hiệu lƣợng liên hiệp trái, nghĩa là một ten sơ bậc bốn 4 T đƣợc xác định theoT ijkl LC T jikl
Cuối cùng từ phương trình (2.26) cùng với (2.29) ta rút ra được ma trận mô đun đàn hồi của vật liệu nhƣ sau:
3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN TRÊN CẠNH (ES-FEM)
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta rời rạc hóa phần tử theo phương pháp phần tử hữu hạn thông thường giả sử ta chia miền bằng N e phần tử sao cho : e 1
và e i e j , i j với i j.Toàn bộ miền bài toán sẽ được chia thành hệ lưới phần tử có tổng số nút là N n và tổng số cạnh là N eg cạnh
Dựa trên hệ lưới phần tử đã chia tiếp tục chia miền thành các miền trơn N s =N eg không chồng lấn và cách khoảng ứng với từng cạnh sao cho: eg 1
Trong đó số miền trơn sẽ bằng chính số cạnh trong lưới phần tử Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn k
s dựa trên cạnh k đƣợc tạo ra bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xét và phần tử tam giác kề bên đƣợc minh họa trong hình 5
VÍ DỤ TÍNH TOÁN
Ảnh hưởng của các thành phần cấu trúc vi mô rời rạc đến các đặc trưng đồng nhất của vật liệu
Khảo sát các mẫu RVE khác nhau với các pha vật liệu vi mô đƣợc phân bố khác nhau
4.1.1 Mẫu RVE với 2 pha vật liệu khác nhau
Khảo sát các mẫu RVE với 2 pha vật liệu đƣợc phân bố nhƣ trong hình 6 với các thông số vật liệu của 2 pha nhƣ sau:
Pha 1: Mô đun đàn hồi E1= 70GPa, hệ số poisson 1 = 0.2, mô đun cắt G 1 ).2 GPa
Pha 2: Mô đun đàn hồi E 2 = 700GPa, hệ số poisson 2 = 0.3, mô đun cắt G 2 &9 GPa
(a) vật liệu phân bố theo phương x
(b) vật liệu phân bố theo phương y (c) Vật liệu phân bố xen kẽ
Hình 6: Các mẫu RVE với các pha vật liệu phân bố khác nhau
Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng dạng phân bố vật liệu được tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 1 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu với các kiểu phân bố khác nhau
Kiểu phân bố vật liệu
Mô đun đàn hồi tính toán E (KPa)
Mô đun cắt G tính toán (KPa)
Chênh lệch so với E 1 ban đầu
Chênh lệch so với G 1 ban đầu
Qua kết quả phân tích trên bảng 1 ta thấy mô đun đàn hồi và mô đun cắt khi vật liệu phân bố khác nhau sẽ cho ra kết quả khác nhau, Kiểu phân bố vật liệu theo phương x và y cho kết quả xấp xỉ nhƣ nhau, kiểu phân bố vật liệu xen kẽ cho kết quả cao hơn so với hai kiểu phân bố còn lại, lớn hơn so với mô đun đàn hồi của pha 1 là 77%
4.1.2 Mẫu RVE có chứa lỗ rỗng
Khảo sát các mẫu RVE có lỗ rỗng với các kích thước lỗ rỗng thay đổi với vật liệu mang pha 1 có đun đàn hồi E 1 = 70GPa, hệ số poisson 1 = 0.2 a) Mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm V là thể tích lỗ rỗng Trong đó V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng , đƣợc minh họa nhƣ trong Hình 7
Hình 7: Các mẫu RVE có lỗ rỗng tại tâm với các kích thước lỗ rỗng khác nhau
Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng thể tích lỗ rỗng bên trong RVE đƣợc tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 2 : Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có lỗ rỗng tại tâm Thể tích lỗ rỗng
Mô đun đàn hồi tính toán E [KPa]
Mô đun cắt G tính toán [KPa]
Chênh lệch với E 1 ban đầu [%]
Chênh lệch với G 1 ban đầu[%]
50% 1.22 x10 7 0.51 x10 7 -83 % -83% b) Mẫu RVE có 2 lỗ rỗng.Trong đó V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng , đƣợc minh họa nhƣ trong hình 8
Hình 8: Các mẫu RVE có hai lỗ rỗng bên trong với các kích thước lỗ rỗng khác nhau đó V là thể tích lỗ rỗng , V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng thể tích lỗ rỗng bên trong RVE đƣợc tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 3: Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 2 lỗ rỗng
Mô đun đàn hồi tính toán E (KPa)
Mô đun cắt tính toán G (KPa)
Chênh lệch với so với E 1 ban đầu
Chênh lệch với G 1 ban đầu
50% 2.11 x10 7 0.88 x10 7 -69 % -70% c) Mẫu RVE có 4 lỗ rỗng đƣợc minh họa nhƣ trong hình 9.Trong đó V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng
Hình 9: Các mẫu RVE 4 có bốn lỗ rỗng bên trong với các kích thước lỗ rỗng khác nhau đó V là thể tích lỗ rỗng , V o là thể tích của RVE không có lỗ rỗng
Kết quả ma trận vật liệu đồng nhất tương ứng với từng thể tích lỗ rỗng bên trong RVE đƣợc tính theo điều kiện biên tuần hoàn:
Bảng 4: Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của vật liệu của RVE có 4 lỗ rỗng
Mô đun đàn hồi E tính toán (KPa)
Mô đun cắt G tính toán (KPa)
Chênh lệch với so với E 1 ban đầu
Chênh lệch với G 1 ban đầu
Dựa vào phân tích trong Bảng 2, 3, 4 và biểu đồ mô đun cắt trong Hình 10, khi thể tích lỗ rỗng tăng, mô đun cắt giảm dần Với 50% thể tích là lỗ rỗng, mô đun cắt giảm 83% so với ban đầu Trong trường hợp RVE có 2 lỗ rỗng, mô đun cắt giảm 69% và 4 lỗ rỗng giảm 28% Đáng chú ý, mẫu vật liệu có 1 lỗ rỗng tại tâm cho kết quả mô đun cắt thấp nhất.
4.1.3 Mẫu RVE có hai thành phần vật liệu
Khảo sát các mẫu RVE có hai thành phần vật liệu khác nhau đƣợc minh họa nhƣ trong hình 11:
Hình 11: các mẫu RVE với hai thành phần vật liệu, với thành phần vật liệu bên trong chiếm chỗ lần lƣợt là (a) 10% ; (b) 30% ; (c) 50%
Bảng 5: Mô đun đàn hồi và mô đun cắt của RVE có 2 vật liệu nhƣ Hình 11
Mô đun đàn hồi E (KPa)
Chênh lệch với so với E 1 ban đầu
Chênh lệch với G 1 ban đầu
Xét ví dụ số nhƣ sau (A J Carneiro Molina et al (2005)) Điều kiện biến dạng phẳng với mẫu RVE có 2 pha vật liệu nhƣ trong hình 12 trong đó pha 1 là vật liệu Epoxy có mô đun đàn hồi Young E=3.13GPa, hệ số Poisson =0.34, pha 2 là vật liệu sợi thủy tinh có mô đun đàn hồi Young EsGPa và hệ số Poisson =0.2 Tỉ số của Mô đun cắt của RVE được tính theo phương pháp Multi-scale khi có 2 loại vật liệu so với mô đun cắt khi RVE chỉ chứa 1 thành phần vật liệu Epoxy, so sánh với lời giải giải tích của Nemat-Nasser(1999)
Nemat-Nasser Periodic [A.J Carneriro Molina]
Hình 12: So sánh tỉ số giữa G/G matrix giữa nghiệm giải tích của Nemat-Nasser và các hương pháp khác (trong đó G matrix là mô đun cắt của RVE khi chỉ có 1 thành phần vật liệu Epoxy) Khi thể tích của các thành phần vật liệu bên trong nhỏ hơn 20% mô đun cắt của vật liệu không có khác biệt nhiều giữa nghiệm giải tích của Nemat-Nasser và nghiệm theo phương pháp Multi-scale Điều kiện biên tuần hoàn cho kết quả gần với đường kết quả của nghiệm giải tích hơn là điều kiện biên chuyển vị tuyến tính Lời giải của Nemat- Nasser hiệu quả trong việc dự đoán các thành phần vật liệu tương đương đối với các mẫu vật liệu có phần trăm thể tích của pha 2 là nhỏ (A J Carneiro Molina et al (2005))
Pha 1: Epoxy matrix có E=3.13GPa, =0.34
Pha 2: Sợi thủy tinh có EsGPa, =0.2
4 2 Bài toán dầm một đầu ngàm chịu uốn
Cho dầm một đầu ngàm chịu tải trọng tập trung ở đầu dầm PKN minh họa nhƣ trong Hình 13 có các thông số kích thước như sau: L=4m, D=1m, bề rộng dầm B=0.1m có các thông số vật liệu nhƣ sau:
Pha 1 : Mô đun đàn hồi E 1 = 70GPa, hệ số poisson =0.2 Pha 2: Mô đun đàn hồi E 2 = 700GPa, hệ số poisson =0.3
Nghiên cứu này tiến hành khảo sát ảnh hưởng của các thành phần vật liệu vi mô rời rạc lên ứng xử của kết cấu bằng cách kết hợp giải pháp bài toán ở cấp độ vi mô và vĩ mô Phương pháp phần tử hữu hạn cầu đàn hồi (ES-FEM) được tích hợp tại cả hai cấp độ, cho phép tìm ra phương pháp tối ưu để đánh giá tác động của các thành phần vi mô này lên hành vi của kết cấu Kết quả thu được được so sánh với các phương pháp số khác, qua đó xác định cách tiếp cận hiệu quả nhất để hiểu rõ ảnh hưởng của các đặc điểm vi mô lên hiệu suất tổng thể của kết cấu.
Hình 13: Mô hình dầm 1 đầu ngàm chịu tải tập trung ở đầu tự do
Trong mục này phương pháp multi-scale kết hợp với FEM và ES-FEM được áp dụng ở phân tích ở hai tỉ lệ với ba trường hợp cụ thể như sau: a Sử dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở cấp độ vi mô (ESFEM-M) b Sử dụng FEM ở cấp độ vĩ mô và ES-FEM ở cấp độ vi mô(ESFEM-m) c Sử dụng ES-FEM ở cả hai cấp độ vĩ mô và vi mô (ESFEM-M-m)
Cả ba bài toán trên đều áp dụng các phần tử RVE có lỗ rỗng tại tâm đƣợc minh họa nhƣ Hình 14b
Các kết quả của 3 bài toán trên sẽ được so sánh với kết quả khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn ở cả 2 cấp độ vi mô và vĩ mô (FE 2 ) của Canh V.Le et al (2011)
Trong đó nghiệm chuyển vị giải tích của bài toán này đƣợc lấy theo nghiệm của Timoshenko và Goordier tham khảo trong bài báo của G.R Liu et al (2008) đƣợc trình bày nhƣ sau:
(a) Lưới phần tử vĩ mô (b) Lưới phần tử RVE vi mô
Hình 14: chia lưới ở phần tử vĩ mô và vi mô 4.2.1 Áp dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở vi mô
Phương pháp ES-FEM được sử dụng để tính toán bài toán ở cấp độ vĩ mô, và FEM đƣợc ứng dụng để giải bài toán ở cấp độ vi mô
Timochensko FEM-T3 ESFEM-M(10% hole) ESFEM-M(30% hole) ESFEM-M(50% hole)
Hình 15: So sánh chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ
10%-50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3
4.2.2 Áp dụng FEM ở cấp độ vĩ mô và ES-FEM ở vi mô
Phương pháp ES-FEM được sử dụng để tính toán bài toán ở cấp độ vi mô, và FEM đƣợc ứng dụng để giải bài toán ở cấp độ vĩ mô
0 x 10 -5 x(y=0) ch uy en v i t ai d uo ng t ru ng h oa
Timochensko FEM-T3 ESFEM-m(10% hole) ESFEM-m(30% hole) ESFEM-m(50% hole)
Hình 16: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ 10%-
50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3
4.2.3 Áp dụng ES-FEM ở cả hai cấp độ vĩ mô vi mô
Phương pháp ES-FEM được sử dụng để tính toán bài toán ở cả hai cấp độ vĩ mô, và cấp độ vi mô
0 x 10 -5 x(y=0) ch uy en v i ta i d uo ng tr un g ho a
Timochensko FEM-T3 ESFEM-M-m(10% hole) ESFEM-M-m(30% hole) ESFEM-M-m(50% hole)
Hình 17: Chuyển vị tại trục trung hòa của dầm khi thể tích lỗ rỗng thay đổi từ 10%-
50% so sánh với nghiệm giải tích của Timochensko và FEM-T3
0 x 10 -5 x(y=0) ch uy en v i ta i d uo ng tr un g ho a
Timochensko FEM-T3 ESFEM-m(50% hole) ESFEM-M(50% hole) ESFEM-M-m(50% hole) FE 2 (50% hole)
Hình 18: Chuyển vị tại trục trung hòa với các phương pháp khác nhau thể tích lỗ rỗng là 50%
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 a) Chia lưới phần tử ở cấp độ vĩ mô b) Hình dáng chuyển vị của dầm
Hình 19: chia lưới phần tử vĩ mô và hình dáng chuyển vị của dầm 1 đầu ngàm
Bảng 6: so sánh sự gia tăng thời gian và chuyển vị so với phương pháp FE 2
Phương pháp Chuyển vị tại điểm A Time[s]
Dựa vào kết quả phân tích trên bảng 6 và quan sát kết quả trên hình 18 ta thấy rằng khi ứng dụng ES-FEM ở cấp độ vi mô cho kết quả chuyển vị tại đầu dầm tăng 3% và thời gian tính toán tăng 8 lần so với lời giải bằng FE 2 của Canh et al(2011) Khi áp dụng ES-FEM ở vĩ mô và FEM ở vi mô nghiệm chuyển vị tại đầu dầm tăng cao hơn so với lời giải FE 2 là 28% và thời gian tính toán tăng 1.6 lần Khi áp dụng ES-FEM vào cả
-1.5-1-0.500.511.5 hai bài toán vi mô và vĩ mô cho kết quả chuyển vị tại đầu dầm tăng 32% và thời gian tính toán tăng 14.4 lần so với phương pháp FE 2 Theo kết quả trên ta thấy việc áp dụng ES-FEM ở bài toán vĩ mô và ở cả hai cấp độ vi mô và vĩ mô cho ra kết quả gần bằng nhau chênh lệch 4% nhƣng thời gian tính toán của ES-FEM ở vĩ mô cho nhanh hơn so với ES-FEM ở cả hai cấp độ 9 lần Trong khi đó nghiệm chuyển vị tính theo ES-FEM ở vi mô và FE 2 chênh lệch chỉ có 3% nhƣng thời gian tính toán theo ES-FEM ở vi mô cao hơn FE 2 8 lần Dựa vào những nhận xét trên ta thấy rằng việc ứng dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô sẽ cho kết quả tối ƣu hơn so với 2 cách áp dụng còn lại.
Bài toán tấm vô hạn có lỗ tròn
Cho một tấm vô hạn với lỗ tròn bán kính a=1m, chịu tải trọng kéo theo phương x ở vô cực với cường độ q=1N/m Do tớnh chất đối xứng của bài toỏn ta tiến hành mụ hỡnh ẳ tấm ở góc trên bên phải nhƣ Hình 21 Xét điều kiện biến dạng phẳng với chiều dày tấm t=1m Ba phần tử RVE nhƣ trong Hình 22 sẽ đƣợc mô phỏng tính toán trong ví dụ này, trong đó phần tử RVE thứ nhất có hai pha vật liệu và các thông số vật liệu đƣợc chọn nhƣ sau: pha 1 có E1=1x10 3 Mpa, hệ số poisson v 1 =0.3, pha 2 có E 2 =1x10 4 Mpa, hệ số poisson v 2 =0.3; Phần tử RVE thứ 2 có chứa lỗ rỗng với chỉ một thành phần vật liệu mang pha 1; Phần tử RVE thứ 3 là phần tử liền khối có thể xem nhƣ là vật liệu đồng nhất và mang pha 1
Theo nhận xét ở mục (3.2) phương pháp áp dụng ES-FEM ở cấp độ vĩ mô và FEM ở vi mô cho kết quả bám sát với phương pháp áp dụng ES-FEM ở cả 2 cấp độ vi mô và vĩ mô và thơi gian tính toán nhanh hơn nên trong ví dụ này sẽ áp dụng phương pháp ES-FEM ở cập độ vĩ mô và FEM ở cấp độ vi mô vào trong tính toán
Trong bài này nghiệm giải tích của chuyển vị đƣợc tham khảo trong tài liệu của G.R Liu et al (2008):
(4.2) a/ Mụ hỡnh đầy đủ b/ Mụ hỡnh ẳ gúc trờn bờn phải
Hình 20: Tấm vô hạn có lỗ tròn chịu kéo ở vô cực theo phương x
(a) Chia lưới phần tử vĩ mụ ẳ tấm (b) Chuyển vị của ẳ tấm
Hỡnh 21: Chia lưới phần tử vĩ mụ và hỡnh dỏng chuyển vị của ẳ tấm q=1N/m q=1N/m
(a) Hai thành phần vật liệu (b) vật liệu có lỗ rỗng (c) Vật liệu đồng nhất
Hình 22: Ba phẩn tử thể tích đại diện với các cấu trúc khác nhau
Hình 23: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE 2 và ESFEM-M với mẫu
Hình 24: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE 2 và ESFEM-M với mẫu
RVE có lỗ rỗng tại tâm
Hình 25: Chuyển vị dọc trục x và y theo hai phương pháp FE 2 và ESFEM-M với mẫu
RVE có hai thành phần vật liệu
Bảng 7: so sánh kết quả chuyển vị giữa FE 2 và ESFEM-M
FE 2 ESFEM-M Đồng nhất Phương x(x=1,y=0) 2.52 x10 -3 2.7 x10 -3 1%
Giai tich Vat lieu dong nhat the tich lo rong chiem 50% hai thanh phan vat lieu
Hình 26: chuyển vị dọc theo trục x của các nút trên biên trái x(y=0), sử dụng phương pháp ESFEM-M với 3 mẫu RVE khác nhau và so sánh với nghiệm chuyển vị giải tích
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 x 10 -3 y(x=0) ch uy en v i Giai tich
Vat lieu dong nhat the tich lo rong chiem 50% hai thanh phan vat lieu
Hình 27 trình bày chuyển vị theo phương dọc trục x của các nút tại biên trái y(x=0) khi ứng dụng phương pháp ESFEM-M với ba kích thước mẫu RVE khác nhau và so sánh với nghiệm chuyển vị giải tích.
Bảng 8: so sánh chênh lệch chuyển vị khi sử dụng các phần tử RVE khác nhau so với nghiệm chuyển vị giải tích.
Chênh lệch với nghiệm giải tích theo phương x
Chênh lệch với nghiệm giải tích theo phương y
Có hai thành phần vật liệu 0.826 x10 -3 -0.22 x10 -3 -70% -76%
Dựa vào kết số liệu phân tích từ bảng 7 cùng với kết quả quan sát trong Hình 26 và
Hình 27 ta thấy khi tính toán với mẫu RVE đồng nhất thì chuyển vị dọc trục theo phương x và phương y là xấp xỉ so với nghiệm giải tích, đối với mẫu RVE có lỗ rỗng ta thấy chuyển vị của tấm cao hơn nghiệm giải tích cụ thể là cao hơn 40% chuyển vị theo phương x của nghiệm giải tích và cao hơn 59% chuyển vị theo phương y Điều này có thể đƣợc giải thích là do vật liệu có lỗ rỗng làm cho độ cứng của vật liệu giảm hơn so với khi vật liệu liền khối Đối với mẫu RVE có hai pha vật liệu trong đó các đặc trƣng vật liệu của pha 2 cao hơn pha 1 thì độ cứng của vật liệu đƣợc tăng lên cụ thể là trong trường hợp bài toán này chuyển vị của tấm theo phương x là thấp hơn chuyển vị của nghiệm giải tích 70% và chuyển vị của tấm theo phương y thấp hơn 76% so với nghiệm giải tích.
