Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Ứng xử động dầm Timoshenko trên nền phi tuyến chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Và gần đây trong hai bài báo mới công bố năm 2013 nhóm tác giả Hu Ding, Li-Qun Chen khi nghiên cứu ứng xử của dầm Timoshenko chịu tải trọng động, đã sử dụng mô hình nền phi tuyến sáu thô

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Đặt vấn đề

Phản ứng động của dầm trên nền chịu tải trọng di động đã thu hút được nhiều sự quan tâm Bài toán này đã được nghiên cứu trong nhiều năm qua và gần đây bởi khá nhiều tác giả Đây là bài toán có tính thực tiễn để mô tả cho nhiều kết cấu trong thực tế như đường giao thông, đường sắt, mặt đường sân bay, ống dẫn chất lỏng…

Khi xem xét ứng xử của nền trong phân tích động lực học, có một số mô hình nền được đề xuất trong bài toán này Các mô hình nền này có ảnh hưởng đáng kể đến kết quả ứng xử của dầm và cho đến nay cũng chưa thật sự có mô hình nào quá nổi bật để mô tả được bản chất của đất dưới kết cấu Vì vậy, việc dựa vào tính chất cơ học của đất nền và sự tương tác giữa kết cấu và đất nền mà lựa chọn mô hình đất nền cho phù hợp trong bài toán phân tích kết cấu

Lịch sử về mô hình nền được sơ lược như sau Mô hình nền được đề xuất sớm nhất là mô hình nền đàn hồi tuyến tính Winkler, mô hình này xem đất nền là những vùng không gian gần nhau nhưng tồn tại độc lập tuyến tính với nhau, mỗi vùng là một lò xo đàn hồi Tuy còn khá đơn giản để mô tả ứng xử thật của đất nhưng mô hình này đã cung cấp khá nhiều lời giải cho nhiều bài toán kết cấu trên nền từ rất lâu và đến nay vẫn còn phần nào hiệu quả Sự hạn chế của mô hình Winkler là không mô tả được toàn bộ không gian đất nền giữa các vùng đất nền lân cận nhau, nên chỉ áp dụng đối với môi trường đất rời, với đất sét có lực dính lớn thì mô hình này còn một số nhược điểm

Một số tác giả gần đây có đề xuất thêm thông số thứ hai để khắc phục nhược điểm của mô hình nền Winkler Cụ thể một số mô hình nền đàn hồi tuyến tính hai thông số nổi bật như mô hình nền Filonenko-Borodich, mô hình nền Hetenyi, mô hình nền Pasternak Đến đây, với việc mô tả ứng xử đất nền là đàn hồi tuyến tính, các nghiên cứu về ứng xử động của dầm thu được nhiều thành quả Đầu tiên có thể kể đến các công trình tiên phong của Krylov [7] và Timoshenko [9] vào đầu thế kỷ trước, trong đó nhấn mạnh phản ứng động cho dầm đơn giản chịu tải trọng động

Sau đó, Inglis [10], Lowan [11] và Frỳba [12] đã nghiên cứu các dao động trong đó chuyển vị là kết quả của tổng của nhiều dạng dao động Các bài toán tĩnh của của dầm trên một nền đàn hồi tuyến tính đã được Hetenyi [15] Timoshenko et al [16] đã nghiên cứu phân tích giải quyết các vấn đề của dầm dao động tự do trên nền đàn hồi với một số mô hình nền khác nhau

Ngoài các mô hình hai thông số nêu trên, các mô hình nền khác nhau cũng được đề xuất trong thời gian gần đây với mục đích làm tăng độ chính xác của ứng xử nền đất Các mô hình của Vlasov hoặc Reissner và các mô hình dầm Euler-Bernoulli hoặc dầm Timoshenko cũng đã được nghiên cứu [17][18][19][20][21] Các phản ứng của dầm đặt trên nền đàn hồi và tải trọng di động cũng đã được nghiên cứu [22][23][24] Các nghiên cứu về nền biến thiên theo chiều dài dầm, nền biến thiên mô tả bản chất của đất là không đồng nhất theo chiều dài dầm dẫn đến đặc trưng thay đổi và bài toán này cũng có ý nghĩa khi dầm có các điều kiện biên khác nhau

Các nghiên cứu theo hướng này [3][5][6] với các dạng đặc trưng biến thiên theo qui luật tuyến tính suốt chiều dài dầm và kết quả các nghiên cứu này cho thấy rằng sự biến thiên của các thông số của nền theo chiều dài dầm cũng ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động lực học của kết cấu bên trên

Trong thời gian gần đây, một số tác giả đề xuất mô hình nền phi tuyến Việc sử dụng mô hình nền có ứng xử phi tuyến, so với các kết quả nghiên cứu trước đây dùng mô hình nền tuyến tính, là có sự khác biệt đủ lớn về ứng xử của dầm Điều này, đã được T.Dahlberg (2002) [39] khẳng định thông qua so sánh kết quả nghiên cứu biến dạng của đường ray với lần lượt mô hình nền tuyến tính, mô hình nền phi tuyến và kết quả thí nghiệm trong thực tế Từ đó, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của các công cụ hỗ trợ tính toán, dẫn đến các mô hình nền có ứng xử phi tuyến bao gồm nhiều thông số độc lập giúp mô tả gần đúng hơn ứng xử phức tạp của đất nền trong thực tế Trong đó, mô hình nền phi tuyến ba thông số xét đến tính cản nhớt của đất nền và phi tuyến bậc ba theo độ võng, đã được sử dụng rộng rãi như trong các nghiên cứu ứng xử dầm Timoshenko, dầm Euler – Bernoulli của tác giả M.H.Kargarnovin, D.Younesian Và gần đây trong hai bài báo mới công bố năm 2013 nhóm tác giả Hu Ding, Li-Qun Chen khi nghiên cứu ứng xử của dầm Timoshenko chịu tải trọng động, đã sử dụng mô hình nền phi tuyến sáu thông số để xét đến ứng xử phi tuyến và tính cản nhớt của nền, tác động đồng thời của biến dạng cắt của dầm và nền

Với bài toán dầm trên nền chịu tải di động, các phương pháp phân tích ứng xử động cũng được quan tâm khá nhiều trong các nghiên cứu Thường thì phương trình chuyển động chủ đạo của bài toán này là phương trình vi phân đạo hàm riêng theo thời gian và tọa độ Hiện nay, đa phần là dùng phương pháp Galerkin để tách biến từ hàm chuyển vị phụ thuộc hai biến thành các tọa độ suy rộng phụ thuộc vào từng biến sau đó biến đổi thành hệ nhiều phương trình vi phân thường với các ẩn số là tọa độ suy rộng theo thời gian Có khá nhiều nghiên cứu theo hướng này

Thambiratnam and Zhuge [26] đã phân tích ảnh hưởng của chiều dài dầm, tốc độ di chuyển của các tải trọng và độ cứng của nền thông tới hệ số khuyến đại chuyển vị ứng suất giữa dầm Andersen et al [28] và Nguyen và Duhamel [32] đề xuất công thức thay thế của phương pháp giải các phương trình cân bằng động Senalp et al

[33] sử dụng phương pháp Galerkin để phân tích chuyển vị giữa dầm trên nền phi tuyến Thường các phương pháp dạng này có độ hội tụ chậm nên khối lượng tính toán để thu được kết quả tương đối chính xác là khá lớn, thậm chí hàng vài chục giờ máy tính chạy cho một bài toán

Qua phần giới thiệu sơ lược trên, có thể thấy rằng việc dùng mô hình nền phức tạp hơn về sau có thể mô tả chính xác hơn phần nào cho bài toán dạng này và phương pháp giải phương trình chuyển động cũng là hướng được quan tâm nhiều.

Mục tiêu nghiên cứu

Tiếp nối với các nghiên cứu như đã trình bày trước, đề tài này phân tích ứng xử động dầm Timoshenko trên nền phi tuyến chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn Nội dung chi tiết hơn như sau:

- Xây dựng bài toán dầm Timoshenko trên nền phi tuyến chịu tải trọng di động;

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn với phần tử dầm, từ đó xây dựng các ma trận độ cứng của dầm, nền và tải trọng di động, thiết lập phương trình chuyển động chủ đạo của cả hệ dưới dạng phương trình vi phân thường;

- Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp từng bước Newmark trên toàn miền thời gian, viết chương trình máy tính để phân tích bài toán này, kiểm chứng chương trình máy tính, đánh giá độ hội tụ của bài toán

- Khảo sát ứng xử động của dầm khi thay đổi các thông số của nền và dầm, vận tốc tải trọng, hệ số cản,

Sự khác biệt của đề tài này:

(i) về mô hình vật lý nền có ứng xử phi tuyến bậc ba để mô tả quan hệ giữa lực và chuyển vị và biến thiên theo chiều dài dầm;

(ii) lý thuyết dầm Timoshenko và giải bài toán dựa trên phần tử hữu hạn;

Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm năm chương sơ lược như sau

Chương 1: Giới thiệu về đề tài, lý do lựa chọn đề tài, về mục tiêu và cấu trúc của luận văn

Chương 2: Trình bày về tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan gồm có giới thiệu một số nghiên cứu trong và ngoài nước và các mô hình nền được đề xuất qua từng giai đoạn

Chương 3: Nêu cơ sở lý thuyết của bài toán trong luận văn này gồm có: xây dựng mô hình, lập phương trình, lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp số Newmark làm cơ sở để giải quyết bài toán tìm ứng xử động lực học của dầm Timoshenko trên nền hai thông số đàn nhớt phi tuyến chịu tải di động, thuật toán và sơ đồ khối của chương trình MATLAB cùng được trình bày trong chương này

Chương 4: Trình bày các ví dụ số để kiểm chứng code chương trình chính và đánh giá kết quả Bên cạnh đó, khảo sát sự ảnh hưởng của thông số vận tốc, sự biến thiên nền, khảo sát các mô hình tải trọng

Chương 5: Rút ra các kết luận từ kết qua thu được của đề tài và đưa ra hướng phát triển trong tương lai Phần cuối cùng là tài liệu tham khảo và phụ lục là mã nguồn chương trình MATLAB.

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Bài toán phân tích ứng xử động lực học của dầm trên nền đàn hồi – phi tuyến chịu tải trọng chuyển động đã và đang thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật kết cấu Bài toán này mô tả cho nhiều kết cấu trong thực tế như kết cấu cầu, đường, mặt đường sân bay, đường ray tàu cao tốc Mô hình thường được sử dụng để phân tích ứng xử là một dầm đặt trên nền chịu tải trọng di động với vận tốc là hằng số hoặc biến thiên theo thời gian Đã có nhiều nghiên cứu trong thời gian gần đây và thu được nhiều kết quả đáng lưu ý tuy nhiên chưa thật sự đầy đủ Do vậy, việc nghiên cứu sâu hơn về ứng xử động lực học của dầm và nền dưới tải trọng di động vẫn là hướng nghiên cứu thu hút được rất nhiều sự quan tâm.

Một số mô hình nền

Những mô hình đơn giản được đưa ra sớm nhất là mô hình nền đàn hồi Winkler Trong mô hình này, đất nền được xem là tập hợp của những vùng không gian gần nhau, tồn tại độc lập với nhau, mỗi vùng được xem là một lò xo đàn hồi có quan hệ giữa nội lực và chuyển vị của lò xo là quan hệ tuyến tính Tuy nhiên ứng dụng của mô hình này chỉ được áp dụng hạn chế đối với môi trường đất rời do không xét đến sự liên tục, sự liên kết với nhau của đất nền Mối quan hệ giữa độ võng và áp lực tại một điểm bất kì được tính bởi công thức sau p kw trong đó p là lực trong lò xo, k độ cứng lò xo, w là chuyển vị đứng của nền

Hình 1 Dầm trên nền winkler [13] Để khắc phục nhược điểm của mô hình nền Winkler, một mô hình khác với sự bổ sung thông số thứ hai [35][36] được đưa ra bởi Filonenko-Borodich, Pasternak

(còn gọi là mô hình Hetenyi) để kể đến sự tương tác giữa các lò xo tuyến tính Sự ra đời của thông số thứ hai này đưa ra mô hình gần giống thực tế hơn mô hình Winkler song vẫn chưa đủ phức tạp để phản ánh ứng xử thật của nền đàn hồi liên lục Từ những yêu cầu của thực tiễn đã dẫn đến sự phát triển của mô hình phức tạp hơn bao gồm nhiều thông số độc lập để mô tả ứng xử của đất nền bởi quan hệ giữa lực và chuyển vị của đất nền có thể là phi tuyến do tính chất hóa rắn của đất nền Từ đây một số mô hình phi tuyến được đề cập để mô tả ứng xử của nền và kết cấu bên trên chịu tải trọng động

Hình 2 Dầm trên nền Pasternak [37]

Trong các mô hình phi tuyến thì mô hình của Dahlberg [39] có xét thông số thứ ba kết hợp với phi tuyến bậc 3 của độ võng qua khá nhiều thí nghiệm được sử dụng tương đối nhiều trong bài toán kết cấu chịu tải trọng động có xét đến sự tương tác giữa nền và kết cấu bên trên

Hình 3 Dầm ray xe lửa trên nền Dahlberg [39]

Như vậy thông qua các nghiên cứu đã nêu trên có thể kết luận rằng mô hình nền phi tuyến ba thông số xét đến tính cản của vật liệu và phi tuyến bậc 3 theo độ võng là một mô hình đủ độ phức tạp để phản ánh ứng xử thực tế của đất nền trong quá trình tương tác với kết cấu chịu tải trọng tác động.

Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Bài toán dao động dầm không nền có các nghiên cứu nổi bật sau đây Năm 1997, phương pháp phân tích mô hình được đưa ra bởi RT.Wang [47] đề xác định ứng xử động lực học dầm Timoshenko liên tục nhiều nhịp Trong bài báo này tác giả đã chỉ ra tác động của số nhịp dầm, mô men quán tính, và biến dạng cắt lên giá trị mô men lớn nhất của dầm, độ võng lớn nhất của dầm cùng được tìm ra

Các kết quả này được so sánh với mô hình dầm Euler-Bernoulli để so sánh sự giống và khác khi sử dụng hai mô hình dầm kể trên

Hình 4 Dầm Timoshenko nhiều nhịp chịu vật thể di động [47]

Năm 2000, M Abul [48] đề xuất cách tiếp cận mới cho việc giải quyết bài toán dao động dầm Chuyển vị của dầm được phân tích thành tổng của chuổi Fourier và chuổi đa thức bổ trợ để khắc phục sự gián đoạn trong hàm chuyển vị và giá trị đạo hàm liên quan, ứng xử của dầm có thể đạt được một cách hệ thống thông qua lời giải bài toán trị riêng của ma trận chuẩn thay vì cách thức truyền thống là sử dụng hàm hyperbol phi tuyến Qua bài báo, tần số tự nhiên và mode dao động của dầm được xác định chính xác với các điều kiện biên khác nhau từ đó làm cở sở quan trọng cho việc mở rộng sang bài toán tấm

Năm 2002, GT.Michaltsos [49] nghiên cứu về tác động của gia tốc lên ứng xử của dầm trong bài toán dầm đơn giản hai đầu tựa đơn chịu tải trọng một trục và tải trọng hai trục Kết luận quan trọng thông qua bài báo là sự thay đổi vận tốc ảnh hưởng đáng kể đến độ võng của dầm do đó vận tốc là đại lượng cần được xem xét kỹ trong việc thiết kế các kết cấu trong thực tế

Hình 5 Vật thể di động với vận tốc biến thiên [49]

Năm 2008, P.Sniady [50] phân tích dao động của dầm Timoshenko hữu hạn hai đầu lựa đơn chịu tải trọng di dộng Lời giải cổ điển cho chuyển vị đứng của dầm và góc xoay của mặt cắt ngang được phân tích dưới dạng tổng của hai chuỗi vô hạn

Trong nghiên cứu này tác giả đã đưa ra dạng chính xác của chuổi đại diện cho dao động phi chu kỳ của dầm qua đó khẳng định vai trò quan trọng của chuổi khi tìm mô men uốn và lực cắt trong dầm

Dầm trên các loại đất nền khác nhau đã được nghiên cứu chuyên sâu từ khi Winkler đưa ra mô hình mang tên ông vào năm 1867, sau đây là quá trình phát triển cùng với những nghiên cứu nổi bật đã được công bố

Năm 1867, E.Winkler [51] đưa ra mô hình đất nền tuyến tính, tuy mô hình này khá đơn giản xong vẫn chứa đựng nhiều giá trị lý thuyết cũng như giá trị thực tiễn được sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu

Năm 2004, T.X.Wu, D.J.Thompson [29] chỉ ra mô hình nền tuyến tính thì không phù hợp cho tác động nền-bánh xe bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Năm 2009, D.Younesian, M.H.Kargarnovin [21] nghiên cứu ứng xử của dầm vô hạn trên nền Pasternark đàn hồi tuyến tính xét đến hệ số cản chịu tải trọng di động điều hòa, bằng việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc một và xấp xỉ hàm Green ứng xử động lực học của hai mô hình dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko được xác định Qua nghiên cứu cho thấy biên độ độ võng lớn nhất của dầm Timoshenko thì lớn hơn so với dầm Euler-Bernoulli trong khi biên độ mô men lớn nhất của dầm

Timoshenko lại nhỏ hơn dầm Euler-Bernoulli, từ đó đưa ra lựa chọn mô hình dầm phù hợp trong việc thiết kế dầm và nền

Năm 1986, V.Birman [25] dựa trên lý thuyết về nền đàn hồi phi tuyến bậc 3, đã xem xét sự dao động tự do phi tuyến của dầm có hai đầu khớp có xét đến ảnh hưởng lực dọc trong dầm

Năm 2002, T.Dahlberg [39] thông qua việc thí nghiệm đã chỉ ra rằng sự khác biệt về kết quả giữa mô hình tuyến tính và mô hình phi tuyến của đất nền đỡ đường ray là khá lớn và không thể bỏ qua

Năm 2010, M.Ansari, E.Esmailzadeh, D.Younesian [27] phân tích dao động của dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động có xét đến hệ số cản, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để thu được các kết quả số sau khi rời rạc hóa biểu thức vi phân riêng phần phi tuyến bằng phương pháp Galerkin, nghiên cứu cho thấy ứng xử động lực học của dầm khá nhạy với hệ số nền phi tuyến hơn là hệ số cản hay vận tốc lực di động

Hình 6 Dầm chịu tải trọng động trên nền phi tuyến bậc 3 [27]

Năm 2011, Z.Hryniewicz [30] nghiên cứu về ứng xử động học của dầm Rayleigh vô hạn trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động

Năm 2011, E.J.Sapountzakis, A.E.Kampitsis [31] xem xét ứng xử phi tuyến của dầm biến dạng cắt trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động, tải trọng có thể là tải phân bố ngẫu nhiên, tải di động, hay lực dọc Nghiên cứu đã chỉ ra sự khác biệt về kết quả giữa mô hình nền tuyến tính và phi tuyến là đáng kể, ứng xử của dầm chịu ảnh hưởng mạnh của hệ số nền tuyến tính và hệ số nền phi tuyến, cũng như khẳng định hệ số cản là nhân tố quan trọng trong việc giảm biên độ dao động và ứng xử động lực học của hệ

Năm 2012, H.Ding, L.Q.Chen, S.P.Yang [40] nghiên cứu về sự hội tụ số hạng Galerkin cho ứng xử của dầm hữu hạn trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 dưới tác động của tải di động, ứng xử động lực học của dầm thu được sau khi sử dụng phương pháp Galerkin và Runge-Kutta bậc bốn, các điều kiện biên như hai đầu dầm lựa đơn, hai đầu ngàm và hai đầu tự do được khảo sát Qua nghiên cứu, tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên cũng như các thông số nền, hệ số cản đối với sự hội tụ của bài toán từ đó rút ra kết luận rằng tác động của điều kiện biên lên ứng xử của dầm càng nhỏ khi càng tăng chiều dài dầm Tốc độ hội tụ tăng khi tăng mô đun đàn hồi dầm, thông số nền phi tuyến, nhịp và bề rộng dầm song tốc độ hội tụ giảm khi tăng hệ số nền tuyến tính và hệ số cản Qua đó một kết luận quan trọng được rút ra là sự hội tụ của phương pháp Galerkin có thể dự đoán thông qua tần số tự nhiên

Năm 1996 Thambiratnam D, Zhuge Y [26] đã phân tích động học của dầm trên nền đàn hồi chịu tải di động

Năm 2012 Kim J S and Kim M K [53], đã nghiên cứu phân tích phản ứng động của dầm trên nền đàn hồi thông qua việc sử dụng ma trận độ cứng chính xác

Phân tích cho thấy cho rằng phân tích phần tử hữu hạn sử dụng ma trận độ cứng chính xác được đánh giá là một công cụ tốt để ước lượng các phản ứng động của các kết cấu trên nền đàn hồi

Năm 2014, A.s Kanani và các cộng sự [54] phân tích ứng xử của dầm phân lớp chức năng nằm trên đàn hồi phi tuyến bậc 3 chịu tải trọng điều hòa phân bố đều bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp tương tác biến (Variational Interaction Method- VIM)

Tình hình nghiên cứu trong nước

Vấn đề “Ứng xử động dầm Timoshenko trên nền phi tuyến chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn.” chưa có nghiên cứu trong nước đề cập đến Tuy nhiên có một vài nghiên cứu trong nước và chương trình cao học đại học Bách khoa Tp.HCM sau đây đưa ra các khái niệm liên quan

Phạm Đình Trung, Nguyễn Trọng Phước, Phân tích ứng xử động của dầm trên nền hai thông số đàn hồi biến thiên chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ, 9/4/2014

Phạm Đình Trung, Nguyễn Trọng Phước, Phân tích ứng xử động của dầm chịu vật thể di động lặp trên nền đàn hồi biến lượng giác bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tạp chí Người Xây Dựng, 3&4, 2015

Hình 8 Mô hình dầm trên nền đàn hồi biến thiên

Phạm Đình Trung, Nguyễn Trọng Phước, Hoàng Phương Hoa, Phản ứng động của dầm trên nền đàn hồi phi tuyến chịu hệ dao động di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tạp chí Xây Dựng (Bộ Xây Dựng), 2, 2015

Lê Văn Thịnh, [2] Phân tích dao động của dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc ba chịu tải di động, Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2015

Nguyễn Thế Trường Phong [43] Phân tích dao động dầm phân lớp chức năng trên nền Winkler chịu tải trọng di động điều hòa - Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2012

Nguyễn Phương Lan [44] Mô hình hỗn hợp cho dầm Timoshenko trên nền đàn hồi - Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2010

Nguyễn Đăng Phong [45] Phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động xét đến khối lượng vật di chuyển theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao - Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2009

Trần Văn Sách [46] Phân tích ổn định của tấm mỏng có chiều dày thay đổi trên nền đàn hồi- Luận văn Thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM năm 2010.

Kết luận chương

Chương này trình bày tổng quan các mô hình được đề xuất từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học kĩ thuật đòi hỏi sử dụng các mô hình bài toán phức tạp nhằm tăng tính chính xác, và mô tả thực cho hệ kết cấu, dẫn đến sự ra đời của nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến Sự hợp lý của mô hình này đã được chứng minh qua nhiều nghiên cứu trên thế giới, do vậy luận văn cũng sử dụng mô hình này làm cơ sở để trình bày các nội dung nghiên cứu.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của luận văn Mô hình của hệ gồm dầm, nền và tải trọng đi động được thể hiện, các thông số đặc trưng tương ứng được mô tả, dầm được giả thiết là dầm Timoshenko, nền phi tuyến với các thông số nền khác nhau Các ma trận độ cứng dầm, nền, ma trận cản, ma trận khối lượng được xây dựng trên cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn, từ đó thiết lập phương trình chuyển động Phương pháp tích phân từng bước Newmark được áp dụng để giải hệ phương trình động lực học phi tuyến trong toàn miền thời gian Thuật toán của toàn bộ quá trình được mô tả, và làm cơ sở viết chương trình máy tính trên nền Matlab.

Mô hình dầm, nền, tải trọng của bài toán

Ở phần này lý thuyết dầm Timoshenko được trình bày lừ đó làm cơ sở cho việc thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho bài toán dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến chịu tải di động

Lý thuyết dầm Timoshenko được phát triển bởi Stephen Timoshenko vào đầu thế kỉ 20 với mô hình dầm có kể đến biến dạng cắt và hiệu ứng quán tính quay Giả thiết một mặt cắt ngang bất kì vuông góc với trục dầm dưới ảnh hưởng của biến dạng cắt không còn vuông góc với trục dầm sau khi biến dạng

Chuyển vị theo ba trục của dầm được cho với các biểu thức sau: u x y z x ( , , ) z x( ) y 0 u x y z ( , , ) u x y z ( , )w x ( )

  w x là chuyển vị theo phương thẳng đứng z của trục trung hòa

( ) x là góc xoay sau biến dạng của dầm x w x  

( )  Khác với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, mặt phẳng cắt ngang dầm vẫn phẳng nhưng không còn vuông góc với trục dầm sau khi biến dạng, do vậy mà các thành phần biến dạng, ứng suất của phân tố dầm cũng được biểu thị dưới một dạng khác

Gọi  XX ,  YY ,  ZZ là biến dạng theo trục X, Y, Z và  XX , YY , ZZ lần lượt là các ứng suất theo trục X, Y và Z Với vật liệu đẳng hướng quan hệ ứng suất biến dạng tuân theo định luật Hooke thì biến dạng, ứng suất theo các trục được xác định bởi biểu thức sau:

Với  là hệ số hiệu chỉnh cắt

Năng lượng biến dạng trong dầm được định nghĩa

1 2 V   XX XX   YY YY   ZZ ZZ   XY XY   YZ YZ   XZ XZ dV

(3.4) Thế năng biến dạng dầm, có kể đến biến dạng quay

          (3.5) Công của ngoại lực qz(X,t) tác dụng trên một đơn vị chiều dài dầm

W   q X t u X t dx ( , ) ( , ) (3.6) Từ (3.4)(3.5)(3.6) Áp dụng nguyên lý Hamiton’s ta có:

Kết quả thu được từ việc tích phân biểu thức (3.7) ta được phương trình chuyển động theo hai biến w x ( ) và 

Dựa vào hai điều kiện biên

       (3.15) Phương trình (3.14)(3.15) là phương trình vi phân chủ đạo của bài toán

Giá trị mô men M tại mặt cắt ngang là

M ZdA E Z dA EI dX dX

Mặt khác mối quan hệ giữa mô men M, lực cắt V(X) và lực qz(X) tác dụng trên một đơn vị chiều dài dầm như sau dM   dX  V X và Z   dV q X dX 

 Mô hình nền sử dụng trong luận văn là nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến

  trong đó, P là lực sinh ra bởi đất nền trên một đơn vị chiều dài dầm (N/m) và các thông số k 1 là thông số nền tuyến tính (N/m 2 ) k 2 là thông số nền chịu cắt (N/m 2 ) k 3 là thông số nền phi tuyến tính (N/m 4 ) c f là hệ số cản (Ns/m 2 ) tlà thời gian (s) và giá trị w t

 là đạo hàm theo biến thời gian của w; w là độ võng của dầm (m)

 Lực di động trong mô hình kết cấu của bài toán f w t   , được mô tả như sau

Trong đó:   X  g T    là hàm Dirac-Dolta

X là tọa độ không gian dọc theo trục dầm (m) hàm g(T) là đại lượng đại diện cho tính động học của lực di động g(T)=VT

Với V là vận tốc lực di động (m/s) còn T là đại lượng thời gian (s)

F z là giá trị hằng số biên độ của lực di động (N)

Thiết lập phương trình chuyển động

Xét phần tử dầm Timoshenko được định nghĩa bởi 2 nút i và j có chiều dài L, bề rộng b, chiều cao h, mô đun đàn hồi E, mô đun kháng trượt G mật độ khối ρ

Vector chuyển vị suy rộng (số bậc tự do) của phần tử được định nghĩa

Phương trình vi phân chủ đạo của bài toán dầm Tinoshenko

Thế năng biến dạng của phần tử dầm bao gồm thế năng biến dạng của dầm, biến dạng của nền

Thế năng biến dạng của phần tử dầm Timoshenko chiều dài l:

          Thế năng biến dạng do các thành phần độ cứng nền

 Do độ cứng nền tuyến tính (k_winkler) : 1 2

 Do độ cứng nền chịu cắt (kG) :

 Do độ cứng nền phi tuyến (k nl ) :

U   k w dx Động năng của phần tử dầm có kể đến lực quán tính

          Để thỏa mãn nguyên lý biến phân về chuyển vị, đảm bảo tính liên tục của phần tử dầm bốn bậc tự do, hàm nội suy xấp xỉ w x  phải là một hàm bậc ba có dạng:

0 1 2 3 w e a a x a x a x (3.18) trong đó a0 … a3 là tọa độ tổng quát Để thỏa mãn yêu cầu cân bằng tĩnh moment – lực cắt có kể đến ảnh hưởng góc xoay biến dạng cắt (transverse shear angle)  e w e e x 

 , góc xoay do biến dạng uốn phần tử  e phải có dạng:

Các tọa độ tổng quát a0 …a3 được định nghĩa bởi điều kiện chuyển vị và góc xoay tại hai đầu phần tử

          Đưa lại vào phương trình (3.18) và (3.19) ta thu được:

Các hàm dạng được định nghĩa như sau:

Biến dạng uốn và biến dạng cắt của dầm được định nghĩa

 Từ (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) Thế năng biến dạng U, động năng T, công

W có thể viết lại theo dạng véc tơ chuyển vị nút phần tử

 Thế năng biến dạng của phần tử dầm

K  B EI B l d là ma trận độ cứng chống uốn của dầm

K  B GA B l dlà ma trận độ cứng chống cắt của dầm

 Động năng của phần tử dầm

M r e  N  I N  l d là ma trận khối lượng tham chịu ảnh hưởng của lực quán tính

 Thế năng biến dạng của nền

   ma trận độ cứng nền thông số thứ 1

   ma trận độ cứng nền thông số thứ 2

 Thế năng của tải trọng di chuyển trên phần tử dầm eT e e e eT e

Trong đó F là biên độ của tải trọng di động,   x x  c  là hàm Dirac delta dùng để mô tả lực tập trung di động, x c là vị trí tức thời của tải trọng Véc tơ lực nút suy rộng của các phần tử kế cận Qe

Hình 9 Chuyển vị và lực nút của phần tử dầm trên nền đàn hồi [1]

Cản nhớt C được đưa vào tính toán là ma trận cản của nền bỏ qua ma trận cản của kết cấu Lúc này ma trận cản

Hệ số cản của nền c f được tính toán thông qua tỷ số với hệ số cản cực hạn f cr c

Phương trình cân bằng chủ đạo của phần tử thu được từ phương trình Lagrange e e e

Trong đó lực phi tuyến Q (q e nl e )được định nghĩa

Ghép nối các ma trận của từng phần tử áp đặt các điều kiện biên, từ đó thu được phương trình chuyển động tổng thể:

Trong đó M là ma trận khối lượng tổng thể, C là ma trận cản nhớt tổng thể,

K b là ma trận độ cứng tổng thể của dầm, K f 1 là ma trận độ cứng của nền đàn hồi tuyến tính, K f 2 là ma trận độ cứng chống cắt của nền,Q (q) nl là véc tơ lực nút tổng thể, q là véc tơ chuyển vị suy rộng và N( )x c ma trận tổng thể các hàm dạng tại vị trí tức thời của tải di động Do định luật III Newton lực nút Q e trong phương trình

(3.29) bị triệt tiêu nhau trong quá trình kết nối ma trận

Phương pháp được sử dụng để giải các phương trình vi phân cân bằng là phương pháp Newmark.

Phương pháp giải Newmark

Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm i suy ra giá trị của thời điểm tại i1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước thời gian Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị

Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:

(3.32) trong đó t là độ lớn bước thời gian; giá trị gia tốc tại các thời điểm t, t t tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là i, i1 được kí hiệu lần lượt là q i , q i 1 Thay hai phương trình trong (3.32) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i1 như sau:

Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian q i 1 có dạng:

Với M eff là khối lượng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian chúng được xác định bởi các biểu thức sau:

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (3.34) thu được giá trị của gia tốc tại cuối bước thời gian là q i 1 Thay giá trị gia tốc q i 1 vừa tìm được vào phương trình (3.32) suy ra được giá trị của vận tốc q i 1 và chuyển vị q i 1 tại thời điểm i1

Một hướng khác để giải phương trình chuyển động thep phương pháp Newmark mà không dùng cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụng M eff trong (3.35) như trong dạng gia tốc mà nghịch đảo ma trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị nên gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình

Từ hai phương trình trong (3.32) suy ra biểu thức của gia tốc q i 1 và vận tốc i 1 q tại thời điểm cuối của bước thời gian i1 theo các đại lượng còn lại như sau:

Thay hai phương trình trong (3.32) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i1, kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian q i 1 có dạng là:

K q P (3.38) với K eff là độ cứng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị và chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây:

Giải phương trình đại số tuyến tính (3.38) thu được giá trị của chuyển vị tại cuối bước thời gian q i 1 Thay giá trị chuyển vị q i 1 vừa tìm được vào các phương trình (3.39) suy ra giá trị của vận tốc q i 1 và gia tốc q i 1

Thuật toán

Thông số dầm, nền, tải trọng, vận tốc, số phần tử dầm, bước thời gian: L, b, h, E,

Chia dầm thành các phần tử nhỏ, đánh số nút cho các phần tử dầm, xác định chiều dài phần tử, tọa độ các nút

Xác định ma trận các hàm dạng, ma trận khối lượng các phần tử dầm

Xác định ma trận độ cứng nền do độ cứng tuyến tính k 1 , độ cứng cắt k 2 , độ cứng cản nhớt của nền c f

Ghép nối các ma trận độ cứng [K], ma trận cản [D], ma trận khối lượng dầm [M] ; Gán điều kiện biên bài toán Xác định tần số tự nhiên ω của dầm từ biểu thức: det|K-ω 2 M|=0

Xác định chuyển vị tĩnh tại giữa dầm ứng với từng vị trí đặt lực F0 lên từng phần tử dầm Từ đó tìm ra chuyển vị tĩnh lớn nhất tại điểm giữa dầm;

Kết thúc bài toán tĩnh

Từ chuyển vị thu được từ bài toán tĩnh

Tính Peff, Meff ; Từ K u P eff  eff thu được chuyển vị u  u u ,

Sử dụng thuật toán Newmark t t  t; t T

Sử dụng điều kiện chuyển vị gia tốc ban đầu của bài toán chính là kết quả thu được từ bài toán tĩnh

Tính toán các hệ số của thuật toán Newmark

Cập nhật ma trận độ cứng phần tử dầm do sự phi tuyến của nền eff  l  nl

Từ K u P eff  eff thu được chuyển vị u  u u , Tính toán cập nhật P eff , M eff theo chuyển vị mới

Tại bước thời gian thứ t t  t tiếp theo điều kiện ban đầu u u u , , của bài toán chính là kết quả của bước thời gian thứ t trước đó

Tiếp tục tính toán cho đến khi t T Kết quả chuyển vị, vận tốc, gia tốc , ,u u u  được thu lại trong từng bước thời gian.

Kết luận chương

Chương này đã trình bày cơ sở lý thuyết của luận văn Mô tả lý thuyết dầm Timoshenko các phương trình vi phân cơ bản, thiết lập các phương trình chuyển động theo dạng vi phân thường Mô hình nền và các thông số được diễn giải

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng, luận văn cũng nêu cơ sở xây dựng các ma trận độ cứng kết cấu, ma trận cản của nền, ma trận độ cứng nền tuyến tính và phi tuyến Phương pháp Newmark được lựa chọn để giải và thuật toán để giải bài toán này cũng được xây dựng, kết quả các bài toán được trình bày trong chương 4.

VÍ DỤ SỐ

Giới thiệu

Chương này trình bày hai phần, phần đầu là các bài toán kiểm chứng kết quả của chương trình máy tính đã viết, mục đích là kiểm tra sự phù hợp của chương trình máy tính đã viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB với phương pháp số Newmark, các kết quả trong ví dụ kiểm chứng được so sánh với các kết quả được trích dẫn trong các tài liệu tham khảo Phần tiếp sau là khảo sát các thông số tác động lên kết quá ứng xử động của dầm như: thông số nền, thông số của dầm, vận tốc lực di động Và cuối cùng là phần nhận xét kết quả trong quá trình khảo sát bài toán.

Kiểm chứng chương trình tính

Để khảo sát độ tin cậy của chương trình tính tần số dao động riêng, luận văn tiến hành khảo sát bài toán dầm 2 đầu tựa đơn với các thông số cơ bản như sau: Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi Young E 206GPa

Mô ment quán tính dầm I B×H 3 /12

Diện tích mặt cắt ngang A B×H

Hệ số không thứ nguyên của nền 1 k L 1 4

Kết quả bài toán được so sánh với kết quả bài báo của H Matsunaga [55] kết quả so sánh được thể hiện vào bảng sau

Bảng 1 Tần số dao động riêng thứ nhất của dầm Timoshenko Ѱ=5/6

L/H K 1 K 2 H Matsunaga [55] Luận văn Chênh lệch

 Nhận xét: Kết quả tần số dao động riêng thu được khi thay đổi tỉ số kích thước dầm và các thông số nền không thứ nguyên K1, K2 là hoàn toàn trùng khớp với bài báo của H Matsunaga [55] Với kết quả này có thể khẳng định việc thiết lập các ma trận độ cứng K và ma trận khối lượng M của chương trình máy tính do Luận văn thực hiện là chính xác;

4.2.1.2 Bài toán dầm chịu tác dụng của lực di động Để khảo sát bài toán dao động cưỡng bức của dầm tựa đơn chịu tác dụng của lực di động, luận văn tiến hành khảo sát chuyển vị tại điểm giữa dầm khi dầm chịu tác động bởi lực có độ lớn không đổi F di chuyển với vận tốc v đi dọc theo chiều dài dầm; Sau đó so sánh kết quả của bài toán với kết quả bài báo của Kien [4];

Các thông số cơ bản của bài toán như sau: Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Chiều cao dầm H 1m Độ cứng chống uốn EI 3×10 9 Nm 2

Mô ment quán tính dầm I 0.08824 m 4

Khối lượng phân bố ρ A 1000kg/m

Phần khảo sát chuy ể n v ị giữa dầm dưới tác dụng của lực di động, không xét đến ảnh hưởng của nền và lực dọc trong dầm

Trong bài toán này Luận văn xét và so sánh với trường hợp Ω=0 trong Kien [4] ứng với trường hợp tải trọng lực di động là hằng số F=P0kN

 Nhận xét: Biểu đổ thể hiện chuyển vị tại điểm giữa dầm của Luận văn khi xét là hoàn toàn tương đồng với kết quả của Kien [4] Với kết quả này có thể khẳng định việc thiết lập các ma trận véc tơ tải của Luận văn đã thu được kết quả phù hợp;

Hình 10 Kết quả chuyển vị giữa dầm của Kien [4] và luận văn

4.2.1.1 Bài toán dầm chịu tác dụng của vật thể chuyển động

Tiếp theo luận văn khảo sát ứng xử của dầm đơn giản, bỏ qua ảnh hưởng của nền, chịu vật thể chuyển động

Hình 11 Dầm tựa đơn chịu tác động bởi vật thể chuyển động [8]

Hệ vật được mô tả bởi vật nặng có khối lượng Mv gắn với lò xo có độ cứng kv, di chuyển dọc theo chiều dài dầm với vận tốc không đổi v Kết quả chuyển vị động tại vị trí giữa dầm được xem xét và so sánh với kết quả của Neves và đồng sự [8]

Các thông số cơ bản của bài toán như sau: Đại lượng Kí hiệu Giá trị Thông số dầm

Mô đun đàn hồi E 2.87 GPa

Thông số vật thể di động

Khối lượng vật thể Mv 5750 kg Độ cứng lò xo kv 1595 kNm -1

Vận tốc di chuyển v 100 km/h

Số phần tử dầm là 50 phần tử, bước thời gian là 100

Hình 12 Chuyển vị động tại giữa dầm chuẩn hóa theo thời gian

 Nhận xét: Kết quả so sánh cho thấy rằng giữa luận văn và [8] là phù hợp

Tuy lý thuyết dầm mà luận văn áp dụng là lý thuyết dầm Timoshenko trong khi kết quả của [8] áp dụng với lí thuyết dầm Euler-Bernoulli Tuy nhiên với chiều dài dầm là 25m thì sự khác biệt giữa hai lý thuyết là ảnh hưởng rất ít đến bài toán

4.2.2 Bài toán dao động dầm có nền

Tiếp theo luận văn khảo sát ứng xử của dầm đơn giản, có xét đến ảnh hưởng của nền, chịu tải trọng di động

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 2, sau đó Luận văn tiến hành so sánh với kết quả của [33]

Các thông số cơ bản của bài toán như sau:

Bảng 2 Thông số dầm, nền, tải trọng trong [33] Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Diện tích mặt cắt ngang A 7.69×10 -3 m 2

Thông số đất nền Độ cứng nền tuyến tính

1.386×10 8 N/m 2 Độ cứng nền tuyến tính

(Bài toán phi tuy ế n) 3.503×10 7 N/m 2 Độ cứng nền tuyến tính

(Bài toán phi tuy ế n) (k NL ) k 3 4.01×10 14 N/m 4

Hệ số cản cực hạn c cr 2 k L A

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 65 kN

 Nhận xét: Kết quả so sánh cho thấy rằng giữa luận văn và [33] là hoàn toàn tương đồng Trong [33] đã có so sánh kết quả giữa phương pháp FEM và Galerkin và cho thấy kết quả giữa hai phương pháp là chênh lệch không đáng kể

Hình 13 Chuyển vị động giữa dầm theo Phương pháp Garlekin và FEM [33]

Hình 14 Kết quả chuyển vị động giữa dầm do luận văn

Từ các kết quả số kiểm chứng chương trình trên cho thấy kết quả số mà Luận văn tiến hành kiểm tra có độ chính xác so với các kết quả của các tác giả được nêu trong tài liệu trích dẫn Từ đó cho thấy chương trình máy tính đã viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB có độ tin cậy nhất định và làm cơ sở để tiếp tục phân tích ảnh hưởng của các thông số lên ứng xử động của dầm.

Khảo sát sự hội tụ của lời giải

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị, vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 3, sau đó Luận văn tiến hành tăng số chia bước thời gian n trong thuật toán Newmark (dt=T/n), và tiến hành khảo sát sự hội tụ của giá trị chuyển vị giữa dầm Giá trị của chuyển vị được thống kê lại tại Bảng 4

Nhận xét: Khi tăng số chia bước thời gian n thì chuyển vị giữa dầm giảm với những bước chia nhỏ 30, đường cong chuyển vị giữa dầm hầu như nằm ngang Có thể thấy khi số chia bước thời gian càng tăng thì chuyển vị dầm càng tăng và dần về hội tụ, nghĩa là càng tăng số chia bước thời gian bài toán càng chính xác Ứng với mỗi giá trị vận tốc lực di động thì cho một giá trị hội tụ, và giảm dần khi tăng giá trị vận tốc lực di động

Bảng 3 Thông số dầm, nền, tải trọng trong bài toán khảo sát số chia bước thời gian Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Mô men quán tính I bh 3 /12 m 4

Diện tích mặt cắt ngang A bxh m 2

Mô đun kháng trượt G 2 1  E    Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Hệ số nền tuyến tính (k L ) k 1 2.8×10 6 N/m 2 Hệ số nền lớp chịu cắt (k G ) k 2 0 Độ cứng nền tuyến tính (k NL ) k 3 1.12×10 8 N/m 4

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 65 kN

Bảng 4 Chuyển vị giữa dầm khi tăng số chia bước thời gian w_max (m)

Vận tốc lực di động v0m/s v m/s vm/s

Số chia bước thời gian

4.3.2 Khảo sát sự hội tụ chuyển vị khi tăng số lượng phần tử dầm

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 5, sau đó Luận văn tiến hành tăng số phần tử dầm, và tiến hành khảo sát đánh giá sự hội tụ của giá trị chuyển vị giữa dầm Giá trị của chuyển vị được thống kê lại tại Bảng 6

Nhận xét: Khi tăng số phần tử dầm thì chuyển vị giữa dầm tăng dần và hội tụ khi n>30, đường cong chuyển vị giữa dầm hầu như nằm ngang Có thể thấy khi số phần tử dầm càng tăng thì chuyển vị dầm càng tăng và dần về hội tụ, nghĩa là càng tăng số phần tử dầm bài toán càng chính xác Ứng với mỗi giá trị vận tốc lực di động thì cho một giá trị hội tụ, và giảm dần khi tăng giá trị vận tốc lực di động

Hình 15 Khảo sát sự hội tụ chuyển vị khi tăng số chia bước thời gian

Bảng 5 Thông số dầm, nền, tải trọng khi khảo sát số phần tử dầm Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Mô men quán tính I bh 3 /12 m 4

Diện tích mặt cắt ngang A b×h m 2

Hệ số nền tuyến tính (k L ) k 1 2.8×10 6 N/m 2 Hệ số nền lớp chịu cắt (k G ) k 2 0 Độ cứng nền tuyến tính (k NL ) k 3 1.12×10 8 N/m 4

Hệ số cản của nền c f 1.7×10 6 Ns/m 2

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 65 kN

Bảng 6 Chuyển vị giữa dầm khi tăng số phần tử dầm w_max (m)

Vận tốc lực di động vm/s v m/s v0m/s

Vận tốc lực di động vm/s v m/s v0m/s

Khảo sát ảnh hưởng của thông số nền

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 7, sau đó Luận văn tiến hành cho các thông số k 1 và k 3 biến thiên để khảo sát chuyển vị đứng tại giữa dầm Giá trị của chuyển vị giữa dầm được thống kê lại tại Bảng 8

Hình 16 Chuyển vị giữa dầm khi tăng số phần tử dầm

Nhận xét: Khi k 1 < 10 8 kN/m sự biến thiên của k 3 ảnh hưởng rất nhiều đến chuyển vị của dầm Ứng với giá trị k 1 < 10 4 kN/m và k 3 < 10 8 kN/m 4 giá trị chuyển vị đạt cực đại và không thay đổi Qua hết vùng này khi tăng k 1 và k 3 chuyển vị của dầm biến thiên nhanh, có xu hướng giảm mạnh, và chuyển vị giữa dầm tiến về 0 khi k 1 > 10 8 kN/m và k 3 < 10 16 kN/m 4 Có thể thấy giá trị chuyển vị thẳng đứng giữa dầm phụ thuộc rất nhiều vào hệ số nền k 1 và k 3 , ứng với một tỷ số nhất định có thể cho kết quả chuyển vị gây nguy hiểm cho hệ kết cấu

Bảng 7 Thông số dầm, nền, tải trọng khi khảo sát với hệ số nền k 1 , k 3 thay đổi Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Mô men quán tính I bh 3 /12 m 4

Diện tích mặt cắt ngang A bxh m 2

Hệ số nền tuyến tính (k L ) k 1 [010 12 ] N/m 2

Hệ số nền lớp chịu cắt (kG) k 2 0 Độ cứng nền tuyến tính (k NL ) k 3 [10 2 10 20 ] N/m 4

Hệ số cản của nền c f 1.7×10 6 Ns/m 2

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 65 kN

Bảng 8 Chuyển vị giữa dầm khi hệ số nền k 1 và k 3 biến thiên w_max (m) k1 [N/m 2 ]

Hình 17 Miền chuyển vị giữa dầm khi k 1 và k 3 biến thiên

Hình 18 Chuyển vị giữa dầm khi k 1 =0 và k 3 biến thiên

Hình 19 Chuyển vị giữa dầm khi k 1 4 N/m 2 và k 3 biến thiên

Hình 20 Chuyển vị giữa dầm khi k 1 6 N/m 2 và k 3 biến thiên

Hình 21 Chuyển vị giữa dầm khi k 1 8 N/m 2 và k 3 biến thiên

4.4.2 Ảnh hưởng của hệ số nền tuyến tính và hệ số nền chịu cắt

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 9, sau đó Luận văn tiến hành cho các thông số k 1 và k 2 thay đổi để khảo sát chuyển vị đứng tại giữa dầm Giá trị của chuyển vị giữa dầm được thống kê lại tại Bảng 12

Nhận xét: Khi hệ số nền tuyến tính k 1 < 2.8×10 3 N/m 2 chuyển vị của dầm đạt cực đại khi k 2 1×10 6 N.rad 2 chuyển vị của dầm bằng 0 và không chịu ảnh hưởng của vận tốc lực di động

Hình 29 Miền chuyển vị giữa dầm khi k 3 và v biến thiên

Bảng 16 Thông số dầm, nền, tải trọng khi khảo sát với hệ số nền k 2 và v thay đổi Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Mô men quán tính I bh 3 /12 m 4

Diện tích mặt cắt ngang A b×h m 2

Hệ số nền tuyến tính (k L ) k 1 2.8x10 6 N/m 2 Hệ số nền lớp chịu cắt (k G ) k 2 1.0×[010 14 ] N.rad 2 Độ cứng nền tuyến tính (k NL ) k 3 1.12×10 8 N/m 4

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 65 kN

Bảng 17 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số nền k 2 và v thay đổi w_max (m) k 2 [N.rad 2 ] 0.0×10 0 1.0×10 1 1.0×10 2 1.0×10 3 1.0×10 4 1.0×10 5 v [m/s] 10 -0.00095 -0.00095 -0.00095 -0.00095 -0.00095 -0.00095

Bảng 18 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số nền k 2 và v thay đổi (tt) w_max (m) k 2 [N.rad 2 ] 1.0×10 6 1.0×10 7 1.0×10 8 1.0×10 9 1.0×10 10 1.0×10 11 v [m/s]

4.4.3 Ảnh hưởng của hệ số cản nhớt và vận tốc lực di động

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị và vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 19, Luận văn tiến hành cho tỷ số cản và vận tốc lực di động thay đổi để khảo sát chuyển vị đứng tại giữa dầm Tỷ số cản ξ được thể hiện trong biểu thức c f = ξ ×c cr với c cr 2 k A 1  ;

Nhận xét: Khi ξ tăng thì ứng sử động của dầm giảm dần Với vận tốc lực di động lớn, khi tiến hành tăng ξ thì độ dốc đường cong chuyển vị giữa dầm cũng tăng theo, chuyển vị giữa dầm giảm nhanh hơn Nghĩa là vận tốc càng lớn thì ảnh hưởng của ξ càng rõ ràng hơn

Hình 30 Miền chuyển vị giữa dầm khi k 2 và v biến thiên

Bảng 19 Thông số dầm, nền, tải trọng khi khảo sát hệ số ξ và v thay đổi Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Mô men quán tính I bh 3 /12 m 4

Diện tích mặt cắt ngang A b×h m 2

Hệ số nền tuyến tính (k L ) k 1 2.8×10 6 N/m 2 Hệ số nền lớp chịu cắt (kG) k 2 0 N.rad 2 Độ cứng nền tuyến tính (k NL ) k 3 1.12x10 8 N/m 4

Hệ số cản c f = ξ ìc cr à Ns/m 2 c cr 2 k A 1  ξ (%) 0.5%  10%

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 65 kN

Bảng 20 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số cản ξ và v thay đổi w_max (m) ξ [%]

Bảng 21 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số cản ξ và v thay đổi (tt) w_max (m) ξ [%]

Hình 31 Miền chuyển vị giữa dầm khi ξ và v biến thiên

Hình 32 Chuyển vị điểm giữa dầm khi ξ thay đổi

4.4.4 Khảo sát ảnh hưởng của nền biến thiên và vận tốc lực di động

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị và vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 22, Luận văn tiến hành cho thay đổi tỷ số độ cứng nền tuyến tính giữa hai nửa dầm và thay đổi vận tốc lực di động để khảo sát chuyển vị đứng tại giữa dầm Giá trị của chuyển vị giữa dầm được thống kê lại tại Bảng 17 k1(1) k1(2)

Hình 33 Dầm trên nền tuyến tính có độ cứng nền thay đổi

Dầm trên nền có độ cứng nền thay đổi, phía nửa bên trái có độ cứng nền tuyến tính k 1 (1) ; phía nửa bên phải có độ cứng nền tuyến tính k 1 (2)

Nhận xét: Dầm được đặt trên 2 vùng nền có độ cứng nền khác nhau, thì chuyển vị giữa dầm chịu ảnh hưởng bởi tỷ số độ cứng giữa hai phần nền này Ứng với gá trị vận tốc lực di động nhất định thì chuyển vị dầm đạt được giá trị cực đại Khi này tỷ số độ cứng nền k 1 (1)/k 1 (2) tăng thì chuyển vị của dầm giảm Điều này cho thấy khi lực di động di chuyển trên dầm đi từ vùng nền có độ cứng nhỏ sang độ cứng lớn thì dễ gây nguy hiểm cho kết cấu hơn và ngược lại Tỷ số chênh lệch này càng lớn thì kết cấu càng nguy hiểm

Bảng 22 Thông số dầm, nền, tải trọng khi khảo sát sự thay đổi độ cứng nền Đại lượng Kí hiệu Giá trị

Mô đun đàn hồi E 210 GPa

Diện tích mặt cắt ngang A 7.684×10 -3 m 2

Hệ số nền tuyến tính (k L ); k 1 (1) 2.5x10 6 N/m 2

Hệ số nền lớp chịu cắt (kG) k 2 0 N.rad 2 Độ cứng nền tuyến tính (k NL ) k 3 0 N/m 4

Thông số tải trọng di động

Tải trọng di động P 83.4 kN

Bảng 23 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi tỷ số độ cứng nền k 1 và v thay đổi w_max (m)

Tỷ số độ cứng nền tuyến tính k 1 (1) / k 1 (2)

Tỷ số độ cứng nền tuyến tính k 1 (1) / k 1 (2)

Bảng 24 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi tỷ số độ cứng nền k 1 và v thay đổi (tt) w_max (m)

Tỷ số độ cứng nền tuyến tính k 1 (1) / k 1 (2)

Khảo sát ảnh hưởng của các thông số dầm

4.5.1 Ảnh hưởng của mô đun đàn hồi dầm và vận tốc lực di động

Mô hình bài toán dùng để khảo sát là mô hình dầm Timoshenko trên nền 2 thông số đàn nhớt phi tuyến tựa đơn, chịu tải trọng di động Thời điểm ban đầu vận đứng yên, chuyển vị và vận tốc ban đầu của hệ bằng không Các đại lượng đặc

Hình 34 Miền chuyển vị gữa dầm khi tỷ số độ cứng nền k 1 (1) /k 1 (2) và v thay đổi

Hình 35 Chuyển vị gữa dầm khi v thay đổi ứng với từng tỷ số độ cứng k 1 (1) /k 1 (2) trưng của dầm và thông số tải trọng được cho trong Bảng 26, Luận văn tiến hành cho cho mô đun đàn hồi và vận tốc lực di động thay đổi để khảo sát chuyển vị đứng tại giữa dầm Giá trị chuyển vị giữa dầm được thống kê tại Bảng 26 và Bảng 27

Nhận xét: Khi mô đun đàn hồi của dầm có giá trị bé E