Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Ứng xử tĩnh phi tuyến cột ống thép nhồi bê tông bằng phương pháp đồng xoay

Hình 1.2: Tòa nhà văn phòng, thương mại và khách sạn, Tokyo, Nhật Bản Các công trình xây dựng đột phá gần đây ứng dụng cấu kiện dầm-cột CFT có thể được kể đến như: 1 Tòa nhà chính Viện n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN THANH LIÊM

ỨNG XỬ TĨNH PHI TUYẾN CỘT ỐNG THÉP NHỒI BÊ TÔNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG XOAY

(Nonlinear Static Response of Concrete-Filled Steel Tube

Beam-Columns using Co-rotational Method)

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành : 60582008

TP.HCM, Tháng 01 năm 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ hướng dẫn 1 : TS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

Cán bộ hướng dẫn 2 : PGS TS Ngô Hữu Cường

Cán bộ chấm nhận xét 1 : TS Nguyễn Duy Liêm

Cán bộ chấm nhận xét 2 : PGS TS Hồ Đức Duy

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM, ngày tháng năm 20

Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch Hội đồng : PGS TS Lê Anh Thắng

2 Thư ký : TS Thái Sơn

3 Ủy viên (Phản biện 1): TS Nguyễn Duy Liêm

4 Ủy viên (Phản biện 2): PGS TS Hồ Đức Duy

5 Ủy viên : PGS TS Nguyễn Minh Long

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS.TS LÊ ANH THẮNG PGS.TS LÊ ANH TUẤN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN THANH LIÊM MSHV: 1670532

Ngày, tháng, năm sinh: 15/05/1993 Nơi sinh: Tiền Giang

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số: 60582008

TÊN ĐỀ TÀI: Ứng xử tĩnh phi tuyến cột ống thép nhồi bê tông bằng phương pháp đồng xoay

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

1 Tìm hiểu các mô hình vật liệu bê tông và thép dưới tác động của tải trọng tĩnh

2 Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử dầm-cột ống thép nhồi bê tông bằng phương pháp đồng xoay

3 Thiết lập thuật toán giải phi tuyến để giải hệ phương trình cân bằng phi tuyến

4 Phát triển chương trình phân tích cho máy tính cá nhân bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

5 Kiểm chứng sự hiệu quả và độ tin cậy của chương trình phân tích với các kết quả sẵn có của các tác giả khác

6 Rút ra nhận xét và kết luận về kết quả đạt được

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : Tháng 08/2019

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : Tháng 12/2019

IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

PGS TS Ngô Hữu Cường

TP HCM, ngày 13 tháng 01 năm 2020

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS.TS LÊ ANH TUẤN

CÁN BỘ

HƯỚNG DẪN 1

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG NGÀNH

TS ĐOÀN NGỌC

TỊNH NGHIÊM PGS.TS NGÔ HỮU CƯỜNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI

LỜI CẢM ƠN Chương trình Thạc sĩ ngành Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp trong nhiều năm qua đã đào tạo được nhiều thế hệ chuyên gia, nhà nghiên cứu và kỹ sư với trình độ cao Luận văn Thạc sỹ là thành quả và công sức của học viên trong toàn khóa học, nó rất có ý nghĩa và đặt một dấu mốc mới trong quá trình học tập và nghiên cứu

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất to lớn từ quý Thầy, Cô, các Anh Chị Nghiên cứu sinh Tiến sỹ, Thạc sỹ, Học viên cao học trong nhóm nghiên cứu Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết

ơn đến các Anh, Chị vì đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Thầy PGS TS Ngô Hữu Cường Hai Thầy đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài, góp ý cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả Trong quá trình nghiên cứu có rất nhiều khó khăn, hai Thầy đã dìu dắt, động viên nâng bước tôi để hoàn thành mục tiêu khóa học Tôi xin cảm ơn anh NCS Lê Văn Bình đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vô cùng mạch lạc, khúc chiết, những tài liệu anh cung cấp

vô cùng giá trị và đã chắp cánh nên nội dung của đề tài

Tôi xin cảm ơn anh TS Thái Sơn, ThS Nguyễn Văn Hải, hai Anh vừa là người Thầy mà cũng là những người anh, người bạn đồng hành sát cánh giúp đỡ tôi trong những ngày đầu chập chững tiếp cận cách học tập nghiên cứu, chia sẻ cho tôi những kinh nghiệm quý báu, sâu sắc mà tôi không thể nào quên

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM đã truyền dạy những kiến thức cơ sở quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này

Điều biết ơn cuối cùng và cũng đầy ý nghĩa nhất, tôi xin dành những kết quả này cho gia đình tôi, Cha Mẹ và người thân là chỗ dựa vững chắc cho tôi về tinh thần và vật chất trong thời gian học tập vừa qua

tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm

để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

TP.HCM, ngày 13 tháng 01 năm 2020

Nguyễn Thanh Liêm

Nghiên cứu này thiết lập một phần tử đồng xoay cho phân tích tĩnh phi tuyến cấu kiện dầm-cột ống thép nhồi bê tông Yếu tố phi tuyến hình học được kể đến trực tiếp trong khi thiết lập phần tử đồng xoay Trong khi đó, phương pháp thớ trên mặt cắt ngang

và điểm tích phân dọc chiều dài phần tử được sử dụng kể đến sự phi tuyến vật liệu Mỗi phần tử được gán một số lượng các điểm tích phân số dọc theo trục phần tử, tại mỗi điểm này tiết diện ngang của được chia thành các phần tử thớ để cho phép kể đến

sự thay đổi dần dần của các thông số đặc trưng tiết diện dựa trên quan hệ ứng biến dạng của vật liệu tương ứng Đối với vật liệu thép và bê tông, mỗi vật liệu có hai

suất-mô hình vật liệu được sử dụng: (1) suất-mô hình sử dụng cho tiết diện ống thép với độ mảnh lớn; (2) mô hình sử dụng cho tiết điện ống thép có độ mảnh nhỏ Một chương trình phân tích tự động được phát triển dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB với thuật toán giải phi tuyến điều khiển chuyển vị tổng quát Kết quả phân tích số từ chương trình được so sánh với các nghiên cứu số và kết quả thí nghiệm đã có để đánh giá độ chính xác của chương trình

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm và Thầy Ngô Hữu Cường

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

TP.HCM, ngày 13 tháng 01 năm 2020

Nguyễn Thanh Liêm

LỜI CẢM ƠN 1

TÓM TẮT LUẬN VĂN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ v

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU vii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT viii

1

MỞ ĐẦU 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Phân tích phi tuyến 6

1.3 Tổng quan tình hình nghiên cứu 9

1.4 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu 13

1.5 Phạm vi nghiên cứu 13

1.6 Ý nghĩa của nghiên cứu 14

1.7 Cấu trúc luận văn 14

16

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16

2.1 Mô hình vật liệu thép và bê tông 16

2.2 Thiết lập phần tử đồng xoay 23

2.3 Tích phân Gauss-Labotto và phương pháp thớ 33

2.4 Phương pháp giải phi tuyến 34

46

CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH 46

3.1 Giới thiệu chương trình 46

3.2 Định dạng dữ liệu đầu vào 46

48

Ví dụ minh họa 48

4.1 Cột vuông chịu nén đúng tâm 48

4.2 Cột vuông chịu nén lệch tâm 51

4.3 Cột vuông chịu nén uốn lệch tâm đơn trục 53

56

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56

5.2 Kiến nghị 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Hình 1.1: Tòa nhà chính của Viện nghiên cứu kỹ thuật, Tokyo, Nhật Bản (2010) 1

Hình 1.2: Tòa nhà văn phòng, thương mại và khách sạn, Tokyo, Nhật Bản 3

Hình 1.3: Cao ốc Latitude ở Sydney, Úc (1980s) 4

Hình 1.4: Hệ thống ga tàu điện ngầm Line 2, Thiên An Môn, 4

Hình 1.5: Nhà ga Sân bay Phù Cát, Bình Định (2018) 5

Hình 1.6: Cầu Đông Trù, Đông Anh, Hà Nội (2014) 5

Hình 1.7: Hiệu ứng P-delta 6

Hình 1.8: Cách chia thớ mặt cắt ngang 9

Hình 2.1: Quan hệ ứng suất-biến dạng của ống thép hình chữ nhật 17

Hình 2.2: Quan hệ ứng suất-biến dạng của bê tông trong ống thép hình chữ nhật 18

Hình 2.3: Đường cong ứng suất-biến dạng của thép 19

Hình 2.4: Quan hệ ứng suất-biến dạng của bê tông bị ép ngang và không bị ép ngang do ống thép 20

Hình 2.5: Cấu hình ban đầu và sau chuyển vị của phần tử dầm 23

Hình 2.6: Mô hình động học dầm Euler-Bernoulli 27

Hình 2.7: Tích phân Gauss-Labotto 33

Hình 2.8: Chia thớ tiết diện ngang 33

Hình 2.9: Phương pháp gia tăng tuyến tính 34

Hình 2.10: Phương pháp lặp trực tiếp 35

Hình 2.11: Phương pháp lặp gia tăng 35

Hình 2.12: Phương pháp NR và phương pháp MNR 38

Hình 2.13: Phương pháp điều khiển chuyển vị 38

Hình 2.14: Đặc trưng tổng quát của phân tích kết cấu 39

Hình 2.15: Lưu đồ thuật toán giải phi tuyến theo phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát 44

Hình 2.16: Đặc trưng thông số độ cứng tổng quát 45

Hình 4.1: Kích thước và vật liệu mẫu thí nghiệm “KOM2001” của Kang [51] 48

Hình 4.2: Sơ đồ chia lưới phần tử trên mặt cắt ngang 49

Hình 4.3: Số phần tử dọc chiều dài cấu kiện 49

Hình 4.4: Sơ đổ thí nghiệm của tác giả Kang 49

Hình 4.5: Biểu đồ quan hệ lực-chuyển vị tại đỉnh cột 50

Hình 4.6: Sơ đồ chia lưới phần tử trên mặt cắt ngang 51

Hình 4.7: Số phần tử dọc chiều dài cấu kiện 51

Hình 4.9: Sơ đồ điều kiện biên thí nghiệm 54

Hình 4.10: Sơ đồ bố trí thí nghiệm 54

Hình 4.11: Mặt cắt strain gauge A-A 54

Hình 4.12: Biểu đồ quan hệ lực-chuyển vị ngang tại giữa cột 55

Bảng 3.1: Bảng định dạng dữ liệu đầu vào trong chương trình phân tích 46 Bảng 4.1: Lực dọc tới hạn chương trình NSACO-CFT so với các nghiên cứu của Kang và Du 50Bảng 4.2: Kết quả chương trình so với các nghiên cứu của Thai và Bridge 52Bảng 4.3: Kích thước hình học và vật liệu mẫu thí nghiệm 53Bảng 4.4: Kết quả chương trình NSACO-CFT so với kết quả nghiên cứu của Liu 54

CFST Concrete filled steel tube-thép nhồi bê tông

B, b Chiều rộng của ống thép

H, h Chiều dài của ống thép

p Ứng suất tới hạn của ống thép nhồi bê tông

2 Ứng suất sau tới hạn của ống thép nhồi bê tông

 Biến dạng của ống thép tại giá trị ứng suất tương ứng 

y Biến dạng chảy dẻo của ống thép

y Biến dạng tái bền của ống thép

Eh Module tái bền của ống thép

frp Là ứng suất ép ngang lên lõi bê tông

e

 , s Hệ số Poisson của ống thép có và không có bê tông

R Tỉ lệ giữa bề rộng và chiều dày ống thép

MỞ ĐẦU 1.1 Đặt vấn đề

Trong những năm gần đây, cấu kiện dầm-cột ống thép nhồi bê tông (CFT  Filled Steel Tube) đã được sử dụng phổ biến trong các công trình nhà nhiều tầng và cầu giao thông nhờ vào các ưu điểm vượt trội về kết cấu như cường độ cao, độ cứng ngang lớn, độ dẻo dai cao và khả năng tiêu tán năng lượng lớn, hơn thế nữa cấu kiện

Concrete-có thể thi công thuận tiện, đáp ứng được yêu cầu về hiệu quả kinh tế cũng như vẻ đẹp kiến trúc trong xây dựng

Hình 1.1: Tòa nhà chính của Viện nghiên cứu kỹ thuật, Tokyo, Nhật Bản (2010)

Ưu điểm chính về mặt kết cấu của cấu kiện dầm-cột CFT so với kết cấu thép hay kết cấu bê tông cốt thép thông thường là:

- Hàm lượng thép trên tiết diện cắt ngang của cấu kiện CFT cao hơn so với tiết diện bê tông cốt thép thông thường dẫn đến cấu kiện có độ dẻo dai cao

- Tiết diện thép của cấu kiện CFT sẽ chảy dẻo tốt hơn khi chịu uốn do nằm ở bên ngoài, xa trục trung hòa của tiết diện

- Cường độ của bê tông nhồi trong ống thép được tăng lên do hiệu ứng bó của ống thép

- Đặc trưng mất ổn định của ống thép thành mỏng được khống chế nhờ vào sự hiện diện của phần lõi bê tông được nhồi bên trong và sự suy giảm cường độ của ống thép sau khi sự mất ổn định cục bộ xảy ra giảm đáng kể nhờ vào sự tiếp xúc chặt của bê tông nhồi

- Mức độ từ biến và co ngót của bê tông trong ống thép nhỏ hơn nhiều so với bê tông trong cấu kiện bê tông cốt thép thông thường

Ưu điểm chính về thi công, lắp dựng của cấu kiện dầm-cột CFT so với kết cấu bê tông cốt thép thông thường là:

- Thành ống thép sẽ đóng vai trò như cốp pha cho việc đổ bê tông do đó làm giảm chi phí và thời gian lắp đặt tháo dỡ cốp pha

- Phần bê tông trong lõi thép được đúc bằng phương pháp bơm bê tông nên hạn chế được sức lao động công nhân, chi phí và thời gian thi công

- Phần bê tông nhồi cũng ít chịu ảnh hưởng của tác động của môi trường bên ngoài nên bê tông nhanh chóng đông kết và phát triển cường độ, chất lượng cũng được đảm bảo

Nhược điểm chính của cấu kiện dầm-cột CFT so với kết cấu thép hay kết cấu bê tông cốt thép thông thường là: liên kết cấu kiện dầm cột và sàn tương đa dạng nên cần có các chỉ dẫn kỹ thuật đặc biệt; biện pháp thi công khá phức tạp nên đòi hỏi chuyên gia,

kỹ sư nhiều kinh ngiệm thực hiện; chất lượng bê tông nhồi trong ống thép đòi hỏi kỹ thuật kiểm tra chất lượng phức tạp để đảm bảo đúng yêu cầu thiết kế

Hình 1.2: Tòa nhà văn phòng, thương mại và khách sạn, Tokyo, Nhật Bản Các công trình xây dựng đột phá gần đây ứng dụng cấu kiện dầm-cột CFT có thể được kể đến như: 1) Tòa nhà chính Viện nghiên cứu kỹ thuật Obayashi, Tokyo, Nhật bản (Hình 1.1), công trình có không gian làm việc rất rộng nhờ vào việc ứng dụng cấu kiện CFT, từ đó mở rộng giá trị thương mại của công trình; 2) Tòa nhà văn phòng, thương mại và khách sạn ở Tokyo, Nhật Bản, (Hình 1.2) là một công trình cao 187m,

có yêu cầu vượt nhịp lớn ở tầng thứ 4 để đáp ứng không gian cho mục đích thương mại, kết cấu gồm các cấu kiện CFT kết hợp với hệ thống thanh giằng; 3) Cao ốc Latitude, Sydney, Úc được xây dựng và đưa vào sử dụng từ thập niên 1980, 51 tầng, cao 190m; 4) Hệ thống tàu điện ngầm Line 2, Thiên An Môn, Bắc Kinh, Trung Quốc (Hình 1.4); 5) Nhà ga Sân bay Phù Cát, Bình Định (Hình 1.5); 6) Cầu vòm ống thép nhồi bê tông đầu tiên của Việt Nam – cầu Đông Trù, Đông Anh, Hà Nội (Hình 1.6)

Hình 1.3: Cao ốc Latitude ở Sydney, Úc (1980s)

Hình 1.4: Hệ thống ga tàu điện ngầm Line 2, Thiên An Môn,

Bắc Kinh, Trung Quốc (1999)

Hình 1.5: Nhà ga Sân bay Phù Cát, Bình Định (2018)

Hình 1.6: Cầu Đông Trù, Đông Anh, Hà Nội (2014)

Do những thiết kế sử dụng các cấu kiện ống thép nhồi bê tông đáp ứng được những yêu cầu về kết cấu, thi công và tính thẩm mỹ nên đã thôi thúc cho hàng loạt những nghiên cứu về loại kết cấu này nhằm giúp người nghiên cứu và kỹ sư thiết kế hiểu rõ

về ứng xử của cấu kiện và là tiền đề cho các nghiên cứu chuyên sâu trong tương lai

1.2 Phân tích phi tuyến

Phân tích phi tuyến hình học

Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có kể đến sự biến đổi hình học của cấu kiện

và hệ kết cấu trong quá trình phân tích do đó ma trận độ cứng nhận được khác hẳn với ma trận độ cứng thông thường vì có thêm các ẩn số chuyển vị Khác với phân tích tuyến tính với lời giải có thể tìm được một cách đơn giản và trực tiếp, phân tích phi tuyến hình học thường cần đến một thủ tục lặp theo cách gia tải từng bước do sự thay đổi hình học của cấu kiện và hệ kết cấu chưa được biết khi thiết lập phương trình cân bằng và quan hệ động học Dạng hình học thay đổi của kết cấu đạt được ở bước phân tích trước được làm cơ sở cho việc thành lập phương trình cân bằng và quan hệ động học cho bước tính toán hiện tại và kết quả của bước hiện tại sẽ là điều kiện ban đầu của bước kế tiếp theo đó Đối với phương pháp đồng xoay, yếu tố phi tuyến hình học được kể đến trực tiếp trong quá trình thiết lập ma trận độ cứng phần tử và đây cũng

là ưu điểm nổi bật của phương pháp này

Hình 1.7: Hiệu ứng P-delta a) Bỏ qua chuyển vị trong phân tích b) Kể đến chuyển vị trong phân tích Phân tích phi tuyến vật liệu

Sự suy giảm khả năng chịu lực có thể dẫn đến phá hoại của toàn hệ kết cấu là do sự chảy dẻo của các cấu kiện trong hệ Khi tác động phi tuyến vật liệu được kể đến trong phân tích, đặc trưng hình học của tiết diện cấu kiện bị suy giảm và do đó khả năng chịu tải của hệ kết cấu thay đổi đáng kể Do vậy, số lượng nghiên cứu về phân tích

ứng xử phi đàn hồi của vật liệu và tải trọng giới hạn đã tăng nhanh từ khi lý thuyết phân tích trạng thái giới hạn được chấp nhận Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích

kể đến sự làm việc ngoài miền đàn hồi của vật liệu Hiện tại, hai phương pháp thông dụng được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng phổ biến là phân tích khớp dẻo hiệu chỉnh

và phân tích vùng dẻo Trong đó phương pháp vùng dẻo thường cho kết quả phân tích gần sát nhất với ứng xử thực của kết cấu do xem xét ứng xử chảy dẻo lan truyền dọc theo chiều dài cấu kiện Trong nghiên cứu này, phương pháp vùng dẻo được tích hợp trong chương trình phân tích

1.2.2.1 Phương pháp khớp dẻo đơn giản

Theo phương pháp khớp dẻo đơn giản, khớp dẻo được tạo thành khi ứng suất trên toàn mặt cắt ngang đặt giá trị ứng suất chảy dẻo Khớp dẻo lý tưởng có chiều dài bằng

0 và thường được đặt tại hai đầu mút của phần tử trong khi phần còn lại của cấu kiện vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi Rõ ràng, nếu xem xét phần tử làm việc trong miền đàn hồi trước khi khớp dẻo được hình thành và việc hình thành khớp dẻo một cách “đột ngột” này đồng nghĩa với việc không xem xét sự chảy dẻo dần dần trên mặt cắt ngang Vì thế sự suy giảm độ cứng của phần tử từ giai đoạn bắt đầu xuất hiện sự chảy dẻo của các thớ đầu tiên trên mặt cắt ngang đến khi khớp dẻo được hình thành

đã bị bỏ qua Kết quả của phương pháp này cho được một đường cân bằng quan hệ lực  chuyển vị không chính xác mặc dù có thể dự đoán khá chính xác giá trị tải giới hạn

1.2.2.2 Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh

Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh là phương pháp được điều chỉnh từ phương pháp khớp dẻo đơn giản bằng việc sử dụng các giải pháp để kể đến sự suy giảm độ cứng của phần tử do sự lan truyền dẻo ngang qua mặt cắt ngang và dọc theo phần tử, có kể đến tác động của ứng suất dư, ví dụ như phương pháp mô-đun tiếp tuyến cột, phương pháp suy giảm độ cứng dầm-cột, phương pháp lắp ghép tiết diện (section assemblage method)… Tất cả những phương pháp trên đều hướng đến việc theo dõi sự thay đổi của độ cứng phần tử do ảnh hưởng của sự chảy dẻo dần dần thay vì hình thành một khớp dẻo lý tưởng một cách “đột ngột” như phương pháp khớp dẻo truyền thống Ưu điểm của phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh là vẫn duy trì được sự đơn giản của thủ

tục phân tích và đồng thời có khả năng tìm ra đường quan hệ lực  chuyển vị tương đối chính xác

1.2.2.3 Phương pháp vùng dẻo

Trong thực tế sự chảy dẻo của cấu kiện hiếm khi xảy ra trong một chiều dài vô cùng

bé mà thường hình thành qua một vùng dẻo nhất định tại vị trí nào đó trên cấu kiện

Ví dụ trong cấu kiện chịu lực dọc lớn, sự chảy dẻo thường xảy ra dọc suốt chiều dài cấu kiện Rõ ràng, phương pháp khớp dẻo không có khả năng mô phỏng sự chảy dẻo dọc theo chiều dài cấu kiện nếu không chia cấu kiện thành nhiều phần tử

Trái ngược với phương pháp khớp dẻo, phương pháp vùng dẻo cho phép theo dõi cả

sự chảy dẻo trên mặt cắt ngang lẫn dọc theo chiều dài phần tử Cụ thể, trên mỗi phần

tử, một số điểm tích phân Gauss được gán dọc theo chiều dài phần tử để phản ánh sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài phần tử Tiết diện ngang của phần tử tại điểm tích phân được chia nhỏ thành nhiều thớ để theo dõi sự chảy dẻo qua mặt cắt ngang trong suốt quá trình phân tích Một ưu điểm của phương pháp chia thớ này là việc dễ dàng

kể đến sự có mặt của ứng suất dư ban đầu tồn tại sẵn trong tiết diện cấu kiện do quá trình chế tạo Khi phương trình cân bằng phi tuyến được giải, từ chuyển vị gia tăng tại 2 nút phần tử, biến dạng gia tăng dọc trục và độ cong phần tử được xác định từ quan hệ biến dạng  chuyển vị thu được từ mô hình động học Dựa trên quan hệ ứng suất  biến dạng của vật liệu, trạng thái ứng suất của thớ tiết diện được cập nhật ở nhiều giai đoạn làm việc khác nhau với nhiều mô hình vật liệu khác nhau và từ đó, các đặc trưng của tiết diện ngang tại các điểm tích phân được cập nhật Bằng việc áp dụng tích phân điểm một phương dọc chiều dài phần tử, ta có thể cập nhật chính xác

ma trận độ cứng và véc-tơ nội lực phần tử tại trạng thái cân bằng hiện tại của hệ Tóm lại, phương pháp vùng dẻo mô phỏng đầy đủ sự chảy dẻo trong mỗi cấu kiện và cho kết quả gần sát với ứng xử thực của cấu kiện và hệ kết cấu Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là yêu cầu dung lượng bộ nhớ để lưu trữ số lượng biến rất lớn đồng thời việc tính toán cũng phức tạp và nặng nề hơn nhiều so với phương pháp khớp dẻo Thêm nữa, cách thành lập công thức cũng tương đối phức tạp

Hình 1.8: Cách chia thớ mặt cắt ngang 1.3 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Tổng quan tình hình nghiên cứu ngoài nước

Nhiều nghiên cứu thực nghiệm chuyên sâu về cấu kiện CFT chịu tác động của tải trọng dọc trục được thực hiện trong nhiều năm trở lại đây:

Shams và Saadeghvazir [1], Shanmugam và Lakshmi [2], Kloppel và Goder [3], thực hiện các thí nghiệm nén dọc trục trên cột CFT

Furlong [4] thực hiện các thí nghiệm nén dọc trục cho 8 mẫu cột CFT tiết diện hình tròn và 5 mẫu tiết diện hình vuông Thí nghiệm chỉ ra rằng cả 2 thành phần của cấu kiện thép và bê tông chịu tải trọng độc lập nhau

Knowles và Park [5] khảo sát ứng xử kết cấu của cột CFT khi chịu tải trọng dọc trục với nhiều giá trị tỉ lệ độ mảnh khác nhau của cột Các tác giả chỉ ra rằng, hiệu ứng bó gia tăng cường độ của bê tông trong cấu kiện cột tiết diện tròn và tiết diện hình chữ nhật với nhiều tỉ lệ độ mảnh khác nhau Các tác giả chỉ ra rằng, hiệu ứng bó bê tông của ống thép gia tăng cường độ của bê tông trong cấu kiện ngắn tiết diện tròn nhưng không gia tăng đối với cột ngắn CFT tiết diện hình vuông

Tomii cùng cộng sự [6] nghiên cứu ảnh hưởng của hình dạng tiết diện lên ứng xử tải trọng nén  chuyển vị dọc trục của cột CFT Các tác giả chỉ ra rằng, tiết diện ống thép hình tròn và bát giác cho hiệu ứng bó lõi bê tông tốt hơn và cũng có ứng xử tái bền của cột tốt hơn so với mẫu cột CFT tiết diện hình vuông

Shakir-Khalil và Mouli [7] trình bày kết quả thí nghiệm của cột ngắn CFT tiết diện hình vuông dưới tác động của tải trọng nén dọc trục Kết quả quan sát cho thấy thành ống thép bị phá hoại bị biến dạng ra bên ngoài trong khi lõi bê tông đã giữ tiết diện thép không bị biến dạng ở giai đoạn đầu

Bridge [8] thực hiện các thí nghiệm trên mẫu cấu kiện dầm-cột mảnh CFT tiết diện hình vuông chịu tải trọng dọc trục và moment uốn Các mẫu được đúc với cường độ

bê tông và cốt thép thường

Shakir-Khalil và Zeghiche [9] thí nghiệm mẫu thép cán nguội với giới hạn chảy của ống thép là 386 MPa và bê tông nhồi có cường độ thường

Matsui [10] nghiên cứu thực nghiệm trên cấu kiện dầm-cột mảnh CFT ở cường độ thường

Chung [11] thí nghiệm 8 mẫu cấu kiện dầm-cột mảnh CFT cường độ cao dưới tác động của tải trọng dọc trục và moment uốn Mẫu thí nghiệm được làm từ vật liệu bê tông cường độ cao với cường độ chịu nén là 94.1 MPa, ống thép có giới hạn chảy 450 MPa

Zhang [12] nghiên cứu thực nghiệm cường độ của cấu kiện dầm-cột mảnh CFT tiết diện hình vuông dưới tác động của tải trọng dọc trục đúng tâm, được làm tử bê tông cường độ cao và cốt thép cán nguội

Các mô hình số cũng được phát triển để nghiên cứu ứng xử của cấu kiện dầm cột mảnh CFT có thể kể đến như sau:

Tort và Hajia [13], Sakino và cộng sự [14], Liang [15] đề xuất các phương pháp phân tích (PBA) dựa trên mô phỏng phần tử thớ trên mặt cắt ngang

Vrceli và Uy [16] khảo sát ảnh hưởng của cường độ chịu nén, giới hạn chảy của cốt thép và độ mảnh của cột đến cường độ tới hạn của cấu kiện cột CFT mảnh tiết diện hình vuông dưới tác động của tải trọng đúng tâm Các tác giả đã sử dụng mô hình số nhưng không kể đến sự mất ổn định cục bộ của vỏ ống thép

Tomii và Sakino [17] trình bày một mô hình cho phân tích đàn-dẻo cấu kiện dầm cột CFT Mô hình ứng suất biến dạng được thiết lập cho bê tông chịu ép ngang trong ống thép CFT để kể đến hiệu ứng ép ngang của vỏ ống thép lên bê tông

Hajjar cùng cộng sự [18] phát triển mô hình phần tử hữu hạn để theo dõi sự chảy dẻo trên các phần tử thớ trong phân tích phi đàn hồi phi tuyến cấu kiện dầm cột CFT Liang [19] trình bày mô hình phần tử thớ cho việc xác định đường cong cường độ tải trọng dọc trục  moment của cấu kiện dầm-cột CFT dưới tác động của tải trọng dọc trục và moment uốn hai phương

Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước

Ngô Hữu Cường cùng cộng sự [20] đã trình bày một chương trình máy tính được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình C++ để phân tích cột ống thép nhồi bê tông chịu tải trọng tĩnh có kể đến tác động bậc hai và ứng xử phi đàn hồi

Phan Đình Hào và Trịnh Hữu Hiệp [21] sử dụng phần mềm ABAQUS để phân tích

sự ảnh hưởng của cường độ bê tông đến khả năng chịu lực của cột CFT và việc sử dụng hiệu quả của bê tông cường độ cao đến khả năng chịu lực của cột CFT dưới tác dụng của tải trọng nén dọc trục

Chu Thị Bình [22] trình bày thí nghiệm xác định ứng xử khi chịu cháy của cột ống thép nhồi bê tông tự lèn có thép hình làm cốt được tiến hành tại trường Đại học Liège – Vương quốc Bỉ Phần mềm phân tích phi tuyến kết cấu SAFIR được dùng để mô phỏng phân tích nhiệt và ứng xử cơ học của cột thí nghiệm Kết quả thí nghiệm và kết quả mô hình mô phỏng số tương đối sát nhau

Nguyễn Đình Kiên [23] đã phân tích đàn hồi chuyển vị lớn khung phẳng sử dụng phần tử đồng xoay có kể đến những số hạng phi tuyến bậc cao trong ten-xơ biến dạng Green

Nguyễn Đình Kiên và Đỗ Quốc Quang [24] đã thực hiện phân tích đàn-dẻo khung thép phẳng chuyển vị lớn bằng phương pháp đồng xoay và sử dụng phương pháp vùng dẻo để kể đến ứng xử phi tuyến của vật liệu bằng tích phân cầu phương Gauss

Trần Thanh Tùng [25] phân tích phi tuyến dẻo chuyển vị lớn khung phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng công thức đồng xoay

Võ Trung Cường [26] nghiên cứu thực nghiệm ứng xử của cột ống thép nhồi bê tông (CFST) chịu tải dọc trục cố định và tải ngang tuần hoàn, mô phỏng tải động đất Thí nghiệm thực hiện trên 24 mẫu ống thép với 2 loại đường kính 90mm và 114mm cho đến khi phá hoại Trong đó, mỗi đường kính có 3 độ dày khác nhau là 2.5mm, 3mm

và 3.5mm Sau đó tiến hành so sánh kết quả thí nghiệm giữa ống thép có bê tông Column Filled Steel Tube (CSFT) và ống thép không có bê tông Steel tube (ST) về các vấn đề: Dạng phá hoại; quan hệ lực - chuyển vị; quan hệ moment - biến dạng; số vòng lặp; độ cứng

Đoàn Tấn Thi [27] xây dựng một mô hình số bằng phần mềm phần tử hữu hạn ba chiều ABAQUS để dự đoán ứng xử chịu mô men của liên kết cột ống thép nhồi bê tông và sàn phẳng bê tông cốt thép Kết quả mô phỏng số được so sánh với kết quả đạt được từ nghiên cứu thực nghiệm để chứng tỏ sự phù hợp của mô hình đề xuất Việc xây dựng một mô hình số có khả năng dự đoán ứng xử kết cấu của liên kết phù hợp với kết quả thực nghiệm là một điều cần thiết để có được kết quả tin cậy trong việc áp dụng cho việc thiết kế loại liên kết này trong thực tiễn mà không cần thực hiện các thí nghiệm tốn kém và mất thời gian

Nguyễn Tấn Phát [28] nghiên cứu ứng xử phi tuyến của cấu kiện cột ống thép nhồi

bê tông dưới tác dụng của tải trọng và nhiệt độ có kể đến ứng xử phi tuyến hình học

và vật liệu Ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn phi tuyến được thiết lập bằng việc

áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng có kể đến tác động tải trọng và nhiệt Tiết diện gồm ống thép và lõi bê tông tại giữa phần tử hữu hạn được chia thành nhiều thớ và quan hệ ứng suất biến dạng của từng thớ thép và bê tông được cập nhật trong suốt quá trình phân tích để mô phỏng tác động phi đàn hồi qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện Một chương trình phân tích bằng ngôn ngữ lập trình C++ dùng thuật toán giải phi tuyến Euler đơn giản được phát triển và kết quả của nó được

so sánh với các kết quả nghiên cứu sẵn có khác để minh họa độ tin cậy của chương trình phân tích đề xuất

Trần Duy Phương [29] đã phân tích phi tuyến vùng dẻo khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh và động có xét đến liên kết nửa cứng và năng lượng dỡ tải

Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm [30] đã thực hiện phân tích khung chịu tải trọng tĩnh và động bằng phần tử dầmcột đồng xoay sử dụng hàm ổn định được xấp xỉ bởi hàm dạng đa thức bậc 7

Trần Thanh Hưng [31] đã phân tích khớp dẻo phi tuyến khung thép phẳng có xét liên kết nửa cứng bằng phần tử đồng xoay sử dụng hàm ổn định có được từ lời giải chính xác của phương trình vi phân chủ đạo

Nguyễn Văn Hải [32] thiết lập mô hình phần tử hữu hạn dầm-cột đồng xoay dựa vào

cả lý thuyết dầm Euler-Bernoulli lẫn Timoshenko và có kể đến độ mềm của liên kết dầm-cột Tác động phi tuyến vật liệu, kể cả sự tái bền, được xác định theo 3 mô hình ứng suất – biến dạng của vật liệu đàn – dẻo tuyệt đối, đàn hồi – tái bền và đàn – dẻo – tái bền Sự chảy dẻo dọc theo chiều dài phần tử được theo dõi bằng các điểm tích phân số và mặt cắt ngang tại mỗi điểm này lại được chia thành nhiều thớ tiết diện chữ nhật để mô phỏng ứng xử dẻo qua mặt cắt ngang Trạng thái của thớ được theo dõi

và cập nhật trong suốt quá trình phân tích dựa vào một trong ba mô hình ứng suất – biến dạng nêu trên và theo đó các đặc trưng hình học và nội lực của mặt cắt ngang cũng được cập nhật

1.4 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu

Phát triển một chương trình phân tích NSACO-CFT bằng phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng ứng xử của cấu kiện dầm-cột ống thép nhồi bê tông chịu tải trọng tĩnh có xét đến tác động phi tuyến hình học và vật liệu

1.5 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu bỏ qua sự mất ổn định cục bộ của vỏ ống thép và xem sự bám dính của thép và bê tông trong ống là tuyệt đối Hai cặp mô hình vật liệu thép, bê tông cho ống thép có độ mảnh tiết diện lớn (non-compact section) và ống thép có độ mảnh tiết diện nhỏ (compact section) được áp dụng Tuy nhiên, để đơn giản, khả năng chịu kéo của bê tông được bỏ qua Sự sai lệch hình học ban đầu được kể đến trực tiếp trong khai báo hình học của hệ thông qua các tọa độ điểm nút phần tử

1.6 Ý nghĩa của nghiên cứu

Tại Việt Nam, một số nghiên cứu về lý thuyết và mô hình tính toán dùng để phân tích ứng xử phi tuyến cấu kiện CFT đã được thực hiện, tuy nhiên, các nghiên cứu vẫn còn rời rạc, đồng thời việc ứng dụng loại cấu kiện này chưa được triển khai rộng rãi Hơn nữa, đến nay chưa có Tiêu chuẩn Việt Nam dành cho việc thiết kế và thi công cấu kiện CFT Vì vậy, việc nghiên cứu sâu hơn về khả năng chịu lực của cấu kiện dầm-cột CFT là thực sự cần thiết để có những đánh giá đúng về ứng xử của cấu kiện khi làm việc trong thực tế

Trong các nghiên cứu trước, việc thiết lập phần tử hữu hạn dầm-cột ống thép nhồi bê tông được thực hiện bằng các phương pháp Lagrange hay Lagrange cập nhật sử dụng các thuật toán giải phi tuyến để kể đến sự chảy dẻo trên mặt cắt ngang của cấu kiện

và trên dọc chiều dài phần tử, tuy nhiên vẫn còn một số hạn chế về thủ tục lặp cũng như mức độ hội tụ của phương pháp Do đó, luận văn thực hiện phát triển một chương trình cơ bản cho phân tích cột thép nhồi bê tông chịu tải trọng tĩnh bằng phương pháp đồng xoay kết hợp sử dụng thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát để giải hệ phương trình phi tuyến khắc phục được các nhược điểm của các phương pháp trước

đó

1.7 Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày theo 5 chương với cấu trúc như sau:

- Chương 1: MỞ ĐẦU: Giới thiệu nội dung thực hiện trong luận văn; trình bày tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước; nêu tính cấp thiết và ý nghĩa của để tài nghiên cứu ở góc độ khoa học và ứng dụng thực tiễn; phạm vi và phương pháp nghiên cứu

- Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT: trình bày các mô hình ứng suất biến dạng của phần tử thép và bê tông trong ống thép; thủ tục thiết lập phần tử hữu hạn đồng xoay có kể đến ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu; thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến của phần tử bằng phương pháp đồng xoay; cuối cùng, trình bày thuật toán giải phi tuyến điều khiển chuyển vị tổng quát được áp dụng

- Chương 3: CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH: Chương trình phân tích tự động được phát triển dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB với thuật toán giải phi tuyến điều khiển chuyển vị tổng quát Chương trình được đặt tên theo tên của đề tài “Nonlinear Nonlinear Static Response of Concrete-Filled Steel Tube Beam-Columns using Co-rotational Method” dưới dạng viết tắt là “NSACO-CFT”

- Chương 4: VÍ DỤ MINH HỌA: Các thí nghiệm cột chịu nén đúng tâm và lệch tâm dược khảo sát bởi chương trình NSACO-CFT và được kiểm chứng với các kết quả của các tác giả trước đó

- Chương 5: Kết luận và kiến nghị

- Tài liệu tham khảo

CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này tác giả trình bày các mô hình vật liệu thép và bê tông được sử dụng cho hai loại tiết diện ống thép (độ mảnh lớn và độ mảnh nhỏ) Những mô hình quan hệ ứng suất-biến dạng của vật liệu sau đó được tích hợp vào việc thiết lập ma trận độ cứng phân tử Để theo dõi sự phi tuyến của vật liệu, phương pháp thớ và tích phân điểm Gauss-Labotto được áp dụng Phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát được sử dụng để giải hệ phương trình cân bằng phi tuyến

2.1 Mô hình vật liệu thép và bê tông

Mô hình vật liệu được phân chia thành 2 nhóm dựa trên tỷ lệ độ mảnh của tiết diện được định nghĩa bởi tỷ số bề rộng tiết diện ống thép trên chiều dày của ống  = b/t với mục đích xem xét mối quan hệ ứng suất biến dạng của bê tông trong ống thép với các giá trị độ mảnh tiết diện cụ thể Có rất nhiều tác giả đã đề xuất các đường cong quan hệ ứng suất-biến dạng của bê tông trong ống thép, dưới đây là các mô hình của tác giả Popovics [33] và Susantha [34] đề xuất được sử dụng trong đề tài

Tiết diện có độ mảnh lớn ( > 90)

2.1.1.1 Thép 1

Do sự ảnh hưởng của hiệu ứng bó của ống thép nên mối quan hệ ứng suất biến-biến dạng của ống thép là khác nhau với tiết diện ống thép hình tròn hay hình chữ nhật Với tiết diện ống thép là hình chữ nhật, quan hệ ứng suất-biến dạng chịu nén đặc trưng bởi 3 đường tuyến tính, trong đó có 2 điểm cố định là ứng suất tới hạn p và ứng suất sau tới hạn là 2 như Lai và Varma [35] đề xuất với đường cong như Hình 2.1

Các ống có tỉ lệ độ mảnh lớn hoặc ứng suất chảy dẻo cao thì sẽ dẫn đến ứng suất đỉnh

p sẽ thấp theo công thức (2.4) Ứng suất sau tới hạn 2 phụ thuộc vào cường độ của

bê tông nhồi trong ống thép, tỉ lệ độ mảnh và ứng suất chảy dẻo của ống thép và được tính theo công thức (2.6)

Hình 2.1: Quan hệ ứng suất-biến dạng của ống thép hình chữ nhật

Khi cột chịu nén, quan hệ ứng suất-biến dạng tuân theo quy luật:

2.1.1.2 Bê tông 1

Tương tự như ống thép, quan hệ ứng suất-biến dạng của bê tông nhồi trong ống thép khác nhau tùy thuộc vào hình dạng ống Mô hình bê tông của Popovics [33] được

hiệu chỉnh, trong đó cường độ chịu nén của bê tông '

Đường cong ứng suất biến dạng với 3 đường tuyến tính được Liang [15] trình bày,

áp dụng được cho thép khi chịu nén và cả khi chịu kéo biểu diễn trên Hình 2.3, trong

đó fy là giới hạn chảy của thép, y là biến dạng chảy tương ứng Sau khi đạt tới giới hạn chảy, thép được giả thiết là chảy dẻo toàn phần cho tới khi xảy ra tái bền tại biến dạng h Trong quan hệ ứng suất-biến trên, biến dạng tái bền h được lấy với giá trị 10y cho thép mềm và 0.005y cho thép cường độ cao và thép cán nóng Để kể đến tính bền của vật liệu thép, biến dạng tới hạn u được lấy bằng 0.2 cho thép mềm và 0.1 cho thép cường độ cao và thép cán nóng

Quan hệ ứng suất-biến dạng tuân theo quy luật:

Hình 2.4: Quan hệ ứng suất-biến dạng của bê tông bị ép ngang và không bị ép

540000.003

c c

c c c

forforfor

bê tông không bị ép ngang; E là mô-đun đàn hồi của bê tông c

Cường độ chịu nén của bê tông bị ép ngang được Susantha cùng cộng sự [34] đề xuất tính toán như sau:

4.0

Trong đó f là ứng suất ép ngang lên lõi bê tông Mô hình ứng suất ngang được đề rpxuất bởi Tang cùng cộng sự [37] và Hu cùng cộng sự [38] đã kể đến đặc trưng vật liệu và hình dạng hình học của cấu kiện cột Tuy nhiên, gần đây tác giả Liang và Fragomeni [39] chỉ ra rằng những mô hình này nhìn chung gần như đánh giá quá mức ứng suất ép ngang của bê tông cường độ cao Mô hình ứng suất ngang chính xác hơn được Liang và Fragomeni [39] đề xuất có thể dùng cho cả bê tông cường độ thường

và bê tông cường độ cao theo các công thức sau:

0.7

20.006241 0.0000357

rp

y

tf

f

Dft

tDfor

được tính theo công thức đề xuất bởi Tang cùng cộng sự [37]

2

'0.2312 0.3582 0.1524 c 9.169 c

fb

Trong đó  và E là hệ số Poisson và mô-đun đàn hồi của ống thép, b là bề rộng stiết diện

Miền sau tới hạn của đường cong ứng suất-biến dạng chịu nén cho bê tông chịu ép ngang được xác định:

cu

forfor

c y y

for R f f

for R f ff

2.2 Thiết lập phần tử đồng xoay

Phần tử dầm-cột đồng xoay phẳng

2.2.1.1 Mô hình động học của phần tử dầm

Phần tử dầm-cột đồng xoay phẳng được thiết lập và trình bày bởi Battini 2002 [40]

Hình 2.5: Cấu hình ban đầu và sau chuyển vị của phần tử dầm

Tọa độ nút 1 và nút 2 của phần tử được thể hiện trong Hình 2.5 Véc-tơ chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể được định nghĩa:

1cos

1sin

n n