Luận văn thạc sĩ Địa kỹ thuật xây dựng: Phân tích giới hạn nền sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và tối ưu toán học

4 Vận dụng lý thuyết phân tích giới hạn từ lời giải cận trên xác định cơ cấu trượt cũng như tải phá hủy cho một số bài toán: i sức chịu tải của nền gồm một hay nhiều lớp, ii xác định mặt

Trang 1

-NGUYỄN CHÁNH HOÀNG

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH

VÀ TỐI ƯU TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Địa kỹ thuật xây dựng Mã ngành: 60.58.60

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 06 NĂM 2012

Trang 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 06 NĂM 2012

Trang 3

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Bộ môn quản lý chuyên ngành

Trang 4

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

- -oOo -

Tp HCM, ngày 30 tháng 6 năm 2012

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN CHÁNH HOÀNG Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 13/04/1987 Nơi sinh : Gia Lai

Chuyên ngành: ĐỊA KỸ THUẬT XÂY DỰNG MSHV: 10091039 Khoá (Năm trúng tuyển): 2010

1- TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ

HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH VÀ TỐI ƯU TOÁN HỌC 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

1) Rời rạc hóa trường biến dạng bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh 2) Thiết lập năng lượng tiêu tán dẻo cho phần tử dựa trên tiêu chuẩn bền Morh-Coulomb

và luật chảy dẻo kết hợp 3) Đưa bài toán phân tích giới hạn về bài toán tối ưu hóa có ràng buộc dạng hình nón bậc

hai 4) Vận dụng lý thuyết phân tích giới hạn từ lời giải cận trên xác định cơ cấu trượt cũng

như tải phá hủy cho một số bài toán: (i) sức chịu tải của nền gồm một hay nhiều lớp, (ii) xác định mặt trượt và hệ số an toàn của mái dốc, (iii) xác định sức chịu tải của nền dưới móng nông đặt trên mái dốc trong điều kiện đất không thoát nước

5) Kết luận chung về tính hội tụ và chính xác của tiến trình mới cho phương thức giới hạn đi từ lời giải cận trên Ưu điểm của việc dùng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và chương trình tối ưu dạng nón bậc hai

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : tháng 06 năm 2011 4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : tháng 06 năm 2012 5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS LÊ VĂN CẢNH HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS NGUYỄN MINH TÂM

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

TS LÊ VĂN CẢNH TS NGUYỄN MINH TÂM PGS.TS.VÕ PHÁN

Trang 5

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS Châu Ngọc Ẩn người đã cho tôi nền

tảng, sự say mê từ buổi đầu tiếp xúc với cơ học đất Ở thầy, sự huyền bí của cơ đất đã làm tôi tò mò và trở thành lĩnh vực tôi sẽ theo đuổi!

Xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Minh Tâm, người đã gắn bó và giúp đỡ tôi rất

nhiều từ khi là sinh viên của trường Đại Học Bách Khoa Thầy là người mạnh dạn gợi

ý, định hướng tôi theo chương trình nghiên cứu, đó là tiền đề để luận văn này hình

thành Kính gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong bộ môn địa cơ nền móng trường Đại

Học Bách Khoa: thầy PGS.TS Võ Phán, TS Trần Tuấn Anh, TS Bùi Trường Sơn

những người thầy đã dạy chúng tôi với rất nhiều tâm huyết

Xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Xuân Hùng đã làm tôi mạnh dạng tiếp cận với

phương pháp số cho các vấn đề liên quan đến địa cơ Buổi đầu gặp gỡ, tôi còn nhớ mãi câu nói của thầy: “Nếu theo con đường này, em sẽ phải chấp nhận có một khoản tiền khiêm tốn đủ vượt qua khó khăn trong cuộc sống hiện tại nhưng sẽ theo đuổi, thực hiện mơ ước của mình” Và đây cũng là lý tưởng của các anh em thích nghiên cứu mà tôi tiếp xúc trong nhóm cơ học của thầy

Xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Thời Trung, ở thầy tôi nhận thấy ngọn lửa dâng

trào, một niềm tin mãnh liệt trong mọi vấn đề mà đặc biệt là trong nghiên cứu, và đây cũng là yếu tố then chốt giúp ta có sức mạnh lớn lao để theo đuổi, tìm hiểu để đưa những “phần mờ” ra “ánh sáng” trong sự hiểu biết của chúng ta Một trong quy luật

lớn tôi học được từ thầy là luật hấp dẫn! - sức mạnh đạt được từ tâm trí và niềm tin mãnh liệt

Trang 6

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn tôi, TS Lê Văn Cảnh, người

mà tôi có thể nói rằng: “không có thầy luận văn này sẽ không được hình thành” Ở

thầy, tôi học được phong thái làm việc khoa học, vấn đề được tiếp cận rất chậm rãi vào những buổi ban đầu để tạo ra nền tảng vững chãi cho những bước kế tiếp!

Xin gửi lời cảm ơn đến thầy TS Phan Dũng, người mà tôi luôn xem như người

ông của mình Đã lắng nghe và giúp đỡ tôi rất nhiều trong những buổi đầu tiếp cận với vấn đề này Tôi luôn được thầy động viên và chỉ dẫn rất cặn kẽ nhiều vấn đề

Xin cảm ơn các bạn Trí, Toàn, Trúc Giang, Quang Vũ, Anh Nam, Anh Phúc, Anh Lộc đã ủng hộ và giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần Nhân tiện, gửi lời cảm ơn đến toàn bộ anh em trong nhóm Fosat, cũng xin gởi lời cảm ơn đến PhD Bùi Hồng Hà (Monash), PhD Nguyễn Định Giang (Sydney) và PhD Nguyễn Sỹ Lâm vì những

lời khuyên và định hướng rất hữu ích cho tôi

Lời cuối cùng, tôi muốn nói: con thầm cảm ơn cha mẹ! người luôn mong mỏi

tôi được học hành không như cha mẹ tôi thời trước Chính hình ảnh ấy đã luôn thôi thúc tôi và luận văn này xem như món quà nhỏ con dành cho cha mẹ!

Tp.HCM, ngày 23 tháng 6 năm 2012 Học Viên Cao Học

Nguyễn Chánh Hoàng

Trang 7

TÓM TẮT LUẬN VĂN

TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ

HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH VÀ TỐI ƯU TOÁN HỌC

Một phương thức mới phân tích giới hạn từ lời giải cận trên được áp dụng cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) được dùng để xấp xỉ trường chuyển vị Khác với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, ở đây trường biến dạng được dùng là trường biến dạng trung bình được tính toán trên miền làm trơn dựa trên cạnh Vì trường biến dạng trơn này là hằng số trên miền làm trơn, nên chúng ta chỉ cần áp đặt điều kiện chảy dẻo tại một điểm bất kỳ trong các miền trơn, trong khi đảm bảo điều kiện này thỏa mãn mọi nơi Bài toán phân tích giới hạn từ lời giải cận trên được đưa về bài toán tối ưu hóa, cực tiểu năng lượng tiêu tán dẻo của toàn miền hình học đang xét cho từng bài toán cụ thể Mô hình dẻo lý tưởng Morh - Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp được giả định để dễ dàng tính thành phần gia tăng biến dạng dẻo khi trạng thái ứng suất của đất nền nằm trên mặt ngưỡng Morh - Coulomb Và như vậy, năng lượng thao tán dẻo dễ dàng được thiết lập cho từng phần tử Bài toán cực tiểu năng lượng thao tán dẻo được đưa về bài toán tối ưu với ràng buộc hình nón bậc hai bằng cách đặt thêm ẩn phụ Từ đó, thông qua thuật toán tối ưu hóa được phát triển và viết thành phần mềm Mosek bởi các nhà toán học để tìm trường biến dạng dẻo ứng với cơ cấu sụp đổ Một trong những ưu điểm lớn khi đưa bài toán tối ưu về dạng hình nón bậc hai là có thể giải bài toán tối ưu với số biến lên tới hàng triệu với tốc độ rất nhanh Từ đó, một số bài toán địa kỹ thuật xây dựng sẽ được khảo sát để tiên đoán tải phá hủy cũng như cơ cấu sụp đổ tương ứng như: sức chịu tải của nền gồm một hay nhiều lớp đất, cơ cấu trượt và hệ số an toàn của bài toán ổn định mái dốc Và đặc biệt với trường hợp móng nông đặt trên mái dốc, tác nhân gây trượt của đất nền là sự kết hợp của hai nhân tố: tải đặt trên móng và trọng lượng riêng của đất Bài toán này rất khó tiếp cận với các phương pháp phân tích truyền thống Tuy nhiên, cơ cấu trượt và tải phá hủy sẽ được tiên đoán một cách dễ dàng và nghiêm ngặt về điều kiện cơ học thông qua lời giải phân tích giới hạn

Trang 8

SUMMARY OF THESIS

TITLE OF THESIS: “LIMIT ANALYSIS ON SOIL USING EDGE-BASE SMOOTH FINITE ELEMENT

METHOD AND MATHEMATICAL OPTIMIZATION”

A novel procedure for upper bound limit analysis based on edge-based smoothed finite element method and second order cone programming has been described for analysis some problems in geotechnical engineering The kinematically admissible velocity fields were approximated using edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) The ES-FEM uses strains smoothed over local smoothing domains which constructed based on edges of elements The soil is modeled by a perfectly-plastic Morh-Coulomb model and flow rule is assumed The upper bound limit analysis formulation becomes an optimization problem, which is then formulated as a standard second-order cone programming (SOCP) problem Using a state-of-the-art SOCP code developed by mathematical researchers, large-scale problems in engineering practice can be solved efficiently Then upper bound limit analysis will be applied to determine collapse load as well as failure mechanism such as footings resting on multilayered and the stability of slopes In a footing-on-slope system, the ultimate bearing capacity of the footing may be governed by either foundation failure or global slope failure The combination of these two factors makes the problem difficult to solve using traditional methods However, collapse load and failure mechanism as well in this case will be evaluated directly via solving optimization problem, which is established by upper bound limit analysis

Trang 9

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Đặt vấn đề 1

2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 2

2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật 2

2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 3

3 Ý nghĩa khoa học của đề tài 3

4 Tính thực tiễn đề tài 4

5 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 4

5.1 Mục tiêu 4

5.2 Nhiệm vụ của đề tài 5

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT 6

1.1 Dẻo lý tưởng và tiêu chuẩn phá hủy cho đất 6

1.1.1 Giới hạn đàn hồi và hàm chảy 6

1.1.2 Luật chảy dẻo kết hợp .8

1.1.3 Hàm chảy dẻo Morh-Coulomb 9

1.2 Lý thuyết phân tích giới hạn 10

1.2.1 Định lý cận dưới 12

1.2.2 Định lý cận trên .13

1.3 Phương pháp số và cách tính năng lượng thao tán dẻo cho phần tử 16

1.3.1 Phương pháp phần tử hữu hạn: 16

1.3.2 Năng lượng tiêu tán dẻo phần tử sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn 18

1.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES-FEM) 19

Trang 10

1.3.4 Năng lượng tiêu tán dẻo phần tử sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn

dựa trên cạnh 21

1.3.5 Một số nhận xét về 2 phương pháp số FEM và ES-FEM 22

CHƯƠNG 2 CHƯƠNG TRÌNH NÓN VÀ CÁCH THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TỪ LỜI GIẢI CẬN TRÊN 23

2.1 Định nghĩa 23

2.2 Các dạng hình nón 24

2.3 Sử dụng chương trình nón cho bài toán biến dạng phẳng 24

2.4 Thiết lập bài toán tối ưu 25

2.4.1 Thiết lập bài toán tối ưu khi dùng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác ba nút 25

2.4.2 Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên cạnh (ES-FEM) 26

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN SỬ DỤNG 29

Trang 11

3.2.1.2 Đặt vấn đề 50

3.2.1.3 Bài toán tối ưu được thiết lập từ lời giải cận trên 51

3.2.1.4 Mô hình phân tích giới hạn 52

Trang 12

4.2.4 Mô hình 75

4.2.5 Kết quả 75

4.2.5.1 Xét sự ảnh hưởng của khỏang cách đặt móng so với đỉnh mái dốc 75

4.2.5.2 Xét sự ảnh hưởng của chiều sâu chôn móng 77

4.2.5.3 Xét sự ảnh hưởng của góc mái dốc β lên tải tới hạn đặt trên móng 78

KẾT LUẬN CHUNG 81

KIẾN NGHỊ 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

DANH MỤC CÁC BÀI BÁO ĐÃ VIẾT 88

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 90

Trang 13

Hình 1.5 Phương của vec tơ gia số biến dạng dẻo trên hệ trục τ σ− cho hai trường

hợp: a) đất không thoát nước và b) đất thoát nước Error! Bookmark not defined

Hình 1.6 Nghiệm của lời giải cận trên và cận dưới cho bài toán phân tích giới hạn

Error! Bookmark not defined Hình 1.7 Sơ đồ phân tích giới hạn Error! Bookmark not defined Hình 1.8 Điều kiện biên lực và chuyển vị Error! Bookmark not defined Hình 1.9 Tọa độ phần tử tam giác .Error! Bookmark not defined

Hình 1.10 Miền trơn Ωkdựa trên cạnh Error! Bookmark not defined Hình 2.1 Không gian hình nón Error! Bookmark not defined

Hình 2.2 Diện tích miền trơn Ωk dựa trên cạnh Error! Bookmark not defined Hình 3.1 Móng nông đặt trên nền đồng nhất Error! Bookmark not defined Hình 3.2 Móng đặt trên nền đồng nhất không trọng lượng không phụ tải hông Error! Bookmark not defined

Hình 3.4 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị Error! Bookmark not defined Hình 3.5 Tốc độ hội tụ của lời giải ES-FEM và FEM Error! Bookmark not defined

Hình 3.6 Trường chuyển vị và năng lượng thao tán dẻo cho đất không thoát nước

Error! Bookmark not defined

Trang 14

Hình 3.7 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị Error! Bookmark not defined Hình 3.8 Hệ số sức chịu tải Nc Error! Bookmark not defined

Hình 3.9 Trường chuyển vị và năng lượng thao tán dẻo của đất nền với ϕ′ =200

Hình 3.10 Trường chuyển vị và năng lượng thao tán dẻo của đất nền vớiϕ′ =300

Error! Bookmark not defined Hình 3.12 Móng đặt trên nền đồng nhất có trọng lượng và không phụ tải hông Error! Bookmark not defined

Hình 3.13 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị cho bài toán phân tíchNγ Error! Bookmark not defined

Hình 3.14 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị cho trường hợp smooth footing

Hình 3.15 Hệ số sức chịu tải Nγ cho trường hợp smooth footing .Error! Bookmark not defined

Hình 3.16 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị cho trường hợp rough footing Error! Bookmark not defined

Hình 3.15 Hệ số sức chịu tải Nγ cho trường hợp rough footing.Error! Bookmark not defined

Hình 3.16 Móng đặt trên nền đồng nhất không trọng lượng và không lực dính c

Hình 3.17 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị cho bài toán phân tích hệ số Nq

Hình 3.18 Trường chuyển vị và năng lượng thao tán dẻo của đất nền vớiϕ′ =50 Error! Bookmark not defined

Trang 15

Error! Bookmark not defined Hình 3.27 Móng nông đặt trên nền gồm hai lớp sét Error! Bookmark not defined

Hình 3.28 Chia lưới và điều kiện biên chuyển vị cho bài toán sức chịu tải nền gồm 2

lớp sét Error! Bookmark not defined

Hình 3.29 Trường chuyển vị cho trường hợp H/B=1 Error! Bookmark not defined

Hình 3.30 Trường chuyển vị và cơ chế sụp đổ nền cho trường hợp H/B=0.25 và

cu1/cu2=0.2 Error! Bookmark not defined

Hình 3.31 Trường chuyển vị và cơ chế sụp đổ nền cho trường hợp H/B=0.5 và

cu1/cu2=0.2 Error! Bookmark not defined Hình 3.32 Nền gồm lớp cát trên lớp sét không thoát nước Error! Bookmark not defined

Hình 3.33 Nền gồm lớp cát trên lớp sét không thoát nước Error! Bookmark not defined

Hình 3.34 Sức chịu tải của nền (p/γB) cho trường hợp D/B = 0.4 và ϕ′ =330 Error! Bookmark not defined

Trang 16

Hình 3.35 Sức chịu tải của nền (p/γB) cho trường hợp D/B = 0.25

……… Error! Bookmark not defined

Hình 3.36 Sức chịu tải của nền (p/γB) cho trường hợp D/B = 0.25

Hình 3.37 Trường vận tốc của đất nền dưới móng cho trường hợp: q /γB = 1, D/B =

0.25 , cu /γB = 4, với ma sát trong lần lượt là a)ϕ′=300 b)ϕ′=500 Error! Bookmark not defined

Hình 3.38 Trường vận tốc của nền cho trường hợp φ = 400, q/γB = 1, cu/γB = 1: a)

D/B = 0.25, b) D/B = 0.5 .Error! Bookmark not defined

Hình 3.39 Trường vận tốc của nền cho trường hợp φ = 400, q/γB = 1, cu/γB = 1: a)

D/B = 0.25, b) D/B = 0.5 .Error! Bookmark not defined

Hình 4.1 Sơ đồ mái dốc Error! Bookmark not defined Hình 4.2 Phân tích ổn định mái dốc: sơ đồ hình học và cách chia lưới Error! Bookmark not defined

Hình 4.3 Trọng lượng riêng cực hạn của đất với góc mái dốc β = ÷0 400 Error! Bookmark not defined

Hình 4.4 Cơ chế trượt của mái dốc: a) β =500, b) β =600 Error! Bookmark not defined

Hình 4.5 Cơ chế trượt của mái dốc: c) β =700, d)β =800 Error! Bookmark not defined

Hình 4.6 Cơ chế trượt của mái dốc β =900 Error! Bookmark not defined Hình 4.7 Mô hình hình học bài toán móng đặt trên mái dốc Error! Bookmark not defined

Hình 4.8 Điều kiện biên chuyển vị và cách chia lưới của móng đặt trên mái dốcError! Bookmark not defined

Hình 4.9 Sức chịu tải cực hạn (p/γB) với cu/γB = 5 và q/γB = 0.Error! Bookmark not

defined

Hình 4.10 Đường chảy dẻo với trường hợp cu/γB = 5 và q/γB = 0 Error! Bookmark

not defined

Trang 17

Hình 4.11 Cơ chế trượt và trường chuyển vị ứng với góc mái dốc β = 30 Error! Bookmark not defined

Hình 4.12 Cơ chế trượt và trường chuyển vị ứng với góc mái dốc β = 600 Error! Bookmark not defined

Hình 4.13 Cơ chế trượt và trường chuyển vị ứng với góc mái dốc β = 900……… 81

Trang 18

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Giá trị hệ số chịu tải Nccho trường hợp đất không thoát nước Error!

Bookmark not defined

Bảng 3.2 Hệ số sức chịu tải Nc cho trường hợp ϕ′ = ÷5 450 Error! Bookmark not

not defined

Bảng 3.7 Giá trị hệ số sức chịu tải *

cN cho trường hợp (cu1<cu2) Error! Bookmark

not defined

Bảng 3.8 sức chịu tải của nền (p/γB) cho trường hợp D/B = 0.4 và ϕ′ =330 Error!

Bookmark not defined

Bảng 3.9 Sức chịu tải của nền (p/γB) cho trường hợp D/B = 0.25 Error! Bookmark

not defined

Bảng 3.10 Sức chịu tải của nền (p/γB) cho trường hợp D/B = 0.5 Error! Bookmark

not defined Bảng 4.1 Trọng lượng riêng cực đại của đất làm mái dốc trượt Error! Bookmark not

Trang 19

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Phân tích giới hạn đóng vai trò rất quan trọng trong việc tiên đoán tải trọng giới hạn cũng như cơ cấu trượt của nền móng công trình, và được dùng để khảo sát cho rất nhiều bài toán khác như: bài toán phân tích ổn định mái dốc, áp lực đất bị động lên tường chắn, phân tích ổn định cống ngầm Đối với nền đồng nhất sức chịu tải của nền có thể phỏng đoán theo công thức được đề xuất bởi Terzaghi, Meyerhof, Hansen, Vesic… Tuy nhiên, đối với nền đất không đồng nhất và có điều kiện phức tạp thì các công thức này sẽ không còn phù hợp Do đó, nhiều thuật toán số dựa trên lý thuyết phân tích giới hạn cận trên và cận dưới đã được đề xuất Trong các giải thuật số này, trường chuyển vị hay ứng suất sẽ được xấp xỉ rời rạc bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); sau đó áp dụng định lý cận trên hoặc cận dưới để phỏng đoán tải trọng giới hạn Vì việc thiết lập phần tử chuyển vị là tương đối dễ dàng hơn so với phần tử cân bằng, nên phương pháp phân tích giới hạn cận trên dùng phương pháp phần tử hữu hạn chuyển vị được quan tâm đáng kể, đặc biệt là phần tử chuyển vị bậc thấp Tuy nhiên, vấn đề phát sinh khi dùng loại phần tử này là hiện tượng “locking”, kết quả tính toán số không hội tụ hoặc hội tụ chậm Trong phân tích giới hạn động học, “locking” xãy ra là do điều kiện chảy dẻo được áp đặt

Các giải pháp để khử hiện tượng locking đã được đề xuất như là (i) dùng phần tử chuyển vị bậc cao; (ii) dùng các phần tử bất liên tục trên biên Điểm chính của các phương pháp này là nhằm tăng số bậc tự do tổng thể của bài toán, vì vậy sẽ giải quyết được vấn đề locking Tuy nhiên, chi phí tính toán tăng lên nhiều và việc tạo lưới trong các phương pháp này là tương đối phức tạp Trong nghiên cứu này, phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh được dùng để xấp xỉ trường chuyển vị Khác với phương pháp PTHH truyền thống, ở đây trường biến dạng được dùng là trường biến dạng trung bình được tính toán trên miền làm trơn dựa trên cạnh Vì

Trang 20

trường biến dạng trơn này là hằng số trên miền làm trơn, nên chúng ta chỉ cần áp đặt điều kiện chảy dẻo tại một điểm bất kỳ trong các miền trơn, trong khi đảm bảo điều kiện này thỏa mãn mọi nơi Do đó, hiện tượng locking được khử, và chi phí tính toán được tối ưu

Khi trường chuyển vị được rời rạc và áp dụng định lý cận trên thì bài toán phân tích giới hạn sẽ trở thành bài toán tối ưu toán học Có thể dùng các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến để giải bài toán tối ưu toán học trên Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là:

- Để dùng thuật toán tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa, do đó số ẩn số và điều kiện ràng buộc sẽ tăng đáng kể, dẫn đến chi phí tính toán rất lớn và gây nhiều hạn chế khi phân tích bài toán với số phần tử lớn

- Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến Tuy nhiên, hàm mục tiêu (cực tiểu năng lượng thao tán chảy dẻo đối với bài toán phân tích cận trên) không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo, trong khi các thuật toán tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi nơi

Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai (second-order cone programming) được phát triển để khắc phục các vấn đề trên Hơn nữa, phần lớn các tiêu chuẩn chảy dẻo đều có thể chuyển về dạng hình nón bậc hai Do đó, trong nghiên cứu này thuật toán tối ưu nón bậc hai sẽ được áp dụng để giải bài toán phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật

2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật

Phân tích giới hạn đã trở thành một công cụ rất mạnh cho việc phân tích các bài toán ổn định trong kết cấu lẫn địa kỹ thuật Do vậy, nghiên cứu phân tích giới hạn được đẩy mạnh và đạt nhiều thành tựu trong vài thập kỷ vừa qua Nhiều phương thức số cũng như kỹ thuật tối ưu được phát triển cho bài toán phân tích giới

Trang 21

hạn Kỹ thuật phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật được triển khai nghiên cứu và đạt được nhiều thành quả, đặc biệt trong suốt 2 thập kỷ vừa qua nhờ vào sự phát triển của lý thuyết tối ưu và hệ thống máy tính phân tích Một số tác giả đạt nhiều thành quả quan trọng trong lĩnh vực địa kỹ thuật cần kể đến như S.W.Sloan và các đồng nghiệp ở Newcastle (1988,1995), H.S.Yu và S.W.Sloan (1994), Lymain và S.W.Sloan (2002), Zhao (2007) Gắn liền với sự phát triển của kỹ thuật phân tích giới hạn là kỹ thuật xấp xỉ số cho trường ứng suất và biến dạng, và thuật toán giải quyết các bài toán tối ưu Xét về mặt phương pháp số, nhiều phương thức số đã được nghiên cứu để xấp xỉ cho trường ứng suất và biến dạng như phần tử hữu hạn chuẩn, phương pháp không lưới, phương pháp phần tử biên Cùng với sự phát triển phương thức số, thuật toán tối ưu cũng được phát triển, nhiều các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến để giải bài toán tối ưu Thuật toán tối ưu hình nón bậc hai cũng được sử dụng để phân tích các bài toán phân tích giới hạn nền với cách xấp xỉ trường chuyển vị là phần tử hữu hạn chuẩn và có xét đến sự bất liên tục trên biên

2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật

Phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật bằng phương pháp số và tối ưu hình nón chưa được triển khai nghiên cứu trong nước Hiện tại, nhóm nghiên cứu do TS Lê Văn Cảnh với sự tài trợ của quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia Nafosted đang thực hiện các bài toán phân tích thích nghi và giới hạn cho kết cấu, nền móng công trình Trong đó, tác giả luận văn này đang thực hiện phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng

3 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Thiết lập một phương thức mới phân tích giới hạn từ lời giải cận trên áp dụng cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) được dùng để xấp xỉ trường chuyển vị Từ đó, bài toán phân tích giới hạn được đưa về bài toán tối ưu với ràng buộc dạng nón bậc hai Thông qua

Trang 22

chương trình tối ưu (Mosek) được viết bởi các nhà toán học để tìm lời giải cho bài toán phân tích giới hạn

4 Tính thực tiễn đề tài

Phân tích giới hạn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) và chương trình nón bậc hai (SOCP) có ý nghĩa rất quan trọng trong thực tiễn Tải trọng giới hạn cũng như cơ chế trượt tương ứng sẽ được xác định thông qua bài toán tối ưu Như vậy, kỹ sư thiết kế có thể tiên đoán được tải phá hủy của cấu kiện, nền móng Đối với những trường hợp đất nền phức tạp, gồm 2 hay nhiều lớp đất dưới móng Việc áp dụng các công thức xác định sức chịu tải của các tác giả dựa trên cơ cấu trượt của nền đồng nhất sẽ không còn phù hợp Do vậy, thông qua bài toán phân tích giới hạn với việc thiết lập nhiều lớp đất, tải gây ra nền trượt sẽ được tiên đoán đáng tin cậy hơn Phân tích ổn định mái dốc là vấn đề cũng được quan tâm nhiều trong thực tiễn Bằng cách áp dụng lý thuyết phân tích giới hạn cơ chế trượt của mái dốc sẽ tìm được trực tiếp thông qua lời giải của bài toán tối ưu Bài toán móng nông đặt trên mái dốc, với cơ chế phá hủy là sự kết hợp bởi hai nhân tố: cơ cấu sụp đổ của đất nền dưới móng và cơ cấu trượt của mái dốc Điều này trở nên khó khăn nếu phân tích bài toán này bằng các phương pháp truyền thống Tuy nhiên, với lý thuyết phân tích giới hạn sức chịu tải nền cũng như cơ chế sụp đổ của đất nền dưới móng và cơ chế trượt của mái dốc sẽ được tìm nhanh chóng thông qua bài toán tối ưu Việc khảo sát sự ảnh hưởng của chiều sâu chôn móng, vị trí đặt móng trên mái dốc, và góc nghiêng của mái dốc lên sức chịu tải của đất nền dưới móng đã được tiến hành, điều này có ý nghĩa quan trọng trong thiết kế thực tiễn

5 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 5.1 Mục tiêu

Vận dụng lý thuyết phân tích giới hạn từ lời giải cận trên sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) và chương trình nón bậc hai (SOCP) để xác định cơ cấu trượt cũng như tải phá hủy của một số bài toán: (i) sức chịu tải của nền gồm một hay nhiều lớp, (ii) xác định mặt trượt và hệ số an toàn của

Trang 23

mái dốc, (iii) xác định sức chịu tải của nền dưới móng nông đặt trên mái dốc trong điều kiện đất không thoát nước

5.2 Nhiệm vụ của đề tài

Nội dung của luận văn tập trung vào việc xây dựng một tiến trình mới cho phương thức giới hạn đi từ lời giải cận trên để giải quyết cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Nhiệm vụ chủ yếu của đề tài bao gồm:

- Rời rạc hóa trường biến dạng bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh

- Thiết lập năng lượng tiêu tán dẻo cho phần tử dựa trên tiêu chuẩn bền Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp

Morh Đưa bài toán phân tích giới hạn về bài toán tối ưu hóa có ràng buộc dạng hình nón bậc hai

- Vận dụng lý thuyết phân tích giới hạn từ lời giải cận trên xác định cơ cấu trượt cũng như tải phá hủy của một số bài toán: (i) sức chịu tải của nền gồm một hay nhiều lớp, (ii) xác định mặt trượt và hệ số an toàn của mái dốc, (iii) xác định sức chịu tải của nền dưới móng nông đặt trên mái dốc trong điều kiện đất không thoát nước

- Kết luận chung về tính hội tụ và chính xác của tiến trình mới cho phương thức giới hạn đi từ lời giải cận trên Ưu điểm của việc dùng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và chương trình tối ưu dạng nón bậc hai

Trang 24

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT

Chương này sẽ trình bày ngắn gọn các lý thuyết liên quan đến việc tìm hệ số tải trọng sụp đổ từ lời giải cận trên Hay nói cách khác là tìm được trường chuyển vị khả dĩ động Bài toán phân tích giới hạn được đưa về dưới dạng bài toán tối ưu hóa, mà ở đây trong luận văn này, là cực tiểu năng lượng thao tán dẻo của toàn miền hình học đang xét cho từng bài toán cụ thể Mô hình dẻo lý tưởng Morh - Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp được giả định để dễ dàng tính thành phần gia tăng biến dạng dẻo khi trạng thái ứng suất của đất nền nằm trên mặt ngưỡng Morh Và như vậy năng lượng thao tán dẻo dễ dàng được thiết lập cho từng phần tử

1.1 Dẻo lý tưởng và tiêu chuẩn phá hủy cho đất

Đối với nhiều ứng dụng thực tế, một vật liệu có thể lý tưởng hóa nghĩa là vượt qua giới hạn đàn hồi, ứng suất và biến dạng được xấp xỉ bằng đường thẳng nằm ngang Do đó, biến dạng dẻo được giả định là xảy ra dưới ứng suất hằng

Sự lý tưởng hóa này dẫn đến sự đơn giản hóa trong việc phân tích bài toán kết cấu phức tạp Đặc biệt, là sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn tiếp cận từ trường biến dạng, tuy rất đơn giản nhưng là công cụ hữu nghiệm trong việc tiên đoán tải trọng và cơ chế phá hủy

1.1.1 Giới hạn đàn hồi và hàm chảy

Giới hạn đàn hồi hay “nhượng” là hiện tượng “biến dạng không hồi phục” bắt

đầu xuất hiện trong quan hệ ứng suất – biến dạng của vật liệu Ứng xử sau điểm nhượng trên đường quan hệ ứng suất – biến dạng đối với:

- Thủy tinh, đá, đất khô cứng, đất cố kết trước nặng, cát chặt, gốm là vở, bể vụn, phá hoại dẻo thuần túy hoặc khử bền

- Kim loại dẻo là chảy dẻo

Trang 25

- Đất cố kết thường sau “nhượng” là dẻo tái bền rồi sau cùng là phá hoại dẻo (dẻo thuần túy)

Tiêu chuẩn nhượng là tập hợp các hàm toán học diễn tả đặc trưng nhượng của vật liệu, có rất nhiều tiêu chuẩn nhượng đã được đề xuất bởi các kỹ sư và các nhà nghiên cứu, đầu tiên là của Coulomb công bố năm 1773 Tiêu chuẩn nhượng của Mohr - Coulomb đã trở thành nền tảng cho sự hiểu biết ứng xử của đất cho đến ngày nay

Tổng quát, nhượng là giới hạn trạng thái đàn hồi của vật liệu và nếu sau đó vật liệu chuyển sang ứng xử dẻo thuần túy hoặc đàn hồi - dẻo thì nhượng là ngưỡng dẻo

Trong không gian ứng suất quỹ đạo các điểm ngưỡng là mặt ngưỡng thường được ký hiệu hàm f(σ) viết với các thành phần ứng suất cơ bản

f(σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz) = k (1.1) Trong đó: k là hằng số và có thể bằng không

Khi vật liệu đồng nhất, hàm ngưỡng có thể diễn tả theo các ứng suất chính

f(σ1, σ2, σ3) = k (1.2)

Trong trường hợp vật liệu đồng nhất hàm f cũng có thể diễn tả theo các bất biến của

ten xơ ứng suất

Đối với mô hình dẻo lý tưởng, thành phần biến dạng gồm:

epijijij

Trong đó: e

Trang 26

Hình 1.1 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu ứng xử đàn-dẻo lý tưởng

1.1.2 Luật chảy dẻo kết hợp

Vì mặt chảy dẻo f và hàm thế năng dẻo g không trùng nhau trong quá trình

xảy ra biến dạng dẻo của đất nền Điều này có thể hiểu nôm na như sau:

- Mặt chảy dẻo f là hàm phụ thuộc vào ϕ

- Thế năng dẻo g là hàm phụ thuộc vào góc giản nỡ ψ

Để có mối liên hệ đơn giản giữa vec tơ biến dạng dẻo và mặt chảy dẻo ta giả định mặt chảy dẻo f trùng với hàm thế năng dẻo g, qui luật chảy dẻo kết hợp Khi

đó, gia số biến dạng dẻo có thể tính như sau:

pij

ijf

σ∂=

∂ (1.4) Mối liên hệ giữa vec tơ gia số biến dạng dẻo và mặt chảy dẻo f được tính theo luật chảy dẻo như sau:

Hình 1.2 Sự minh họa hình học của luật chảy dẻo kết hợp

pij

ij

fdεμ

σ∂=

ε

pij

ε

Trang 27

Ứng xử của vật liệu là đàn hồi khi trạng thái ứng suất σ thỏa ijf ( )σij <0, như hình biểu diễn hình 1.2 Khi chảy dẻo xảy ra, trạng thái ứng suất σ nằm trên mặt ijchảy dẻo và thỏa điều kiện f ( )σij =0 Như vậy, nếu biết được hàm chảy dẻo sẽ tìm được thành phần gia số biến dạng dẻo theo luật chảy kết hợp và khi đó gia số biến

dạng dẻo sẽ vuông góc với mặt chảy dẻo

1.1.3 Hàm chảy dẻo Morh-Coulomb

Liên hệ ứng suất và biến dạng của đất thể hiện qua Hình 1.3 Thông thường, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thu được từ kết quả cắt trực tiếp hoặc thí nghiệm 3 trục Dễ dàng nhận thấy rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thật của đất bao gồm cả tăng và giảm bền không theo ứng xử chảy dẻo lý tưởng Tuy nhiên, trong phân tích giới hạn, để dễ dàng thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, mô hình dẻo lý tưởng Morh được áp dụng

ứng xử thật của đất ứng xử đàn dẻo lý tưởng

Hình 1.3 Ứng xử thật của đất và ứng xử đàn dẻo lý tưởng Tiêu chuẩn bền của Mohr - Coulomb được sử dụng rất rộng rải trong Cơ học đất, nó phù hợp với trạng thái làm việc có thoát nước của đất Dạng được dùng thông dụng nhất là: s=σ ϕ'tg '+c' Mọi điểm thuộc vòng tròn Morh ứng suất được xem là ứng xử đàn hồi và khi chạm đường bao chống cắt biến dạng dẻo xảy ra và ứng xử là dẻo lý tưởng

σ

ε

σ

ε

Trang 28

ϕcu τ

σ ccu

σ1 σ3

O’

Tτ

σn

Hình 1.4 Mô hình Morh và sức chống cắt thoát nước của đất Phương gia số biến dạng dẻo cho hai trường hợp: đất thoát nước và đất không thoát nước được thể hiện qua hình vẽ

Hình 1.5 Phương của vec tơ gia số biến dạng dẻo trên hệ trục τ σ− cho hai trường hợp: a) đất không thoát nước và b) đất thoát nước

1.2 Lý thuyết phân tích giới hạn

Một khuynh hướng mạnh nhất của lý thuyết dẻo trong việc tiên liệu giá trị gần đúng của tải phá hủy Điều này xuất phát từ hai định lý cận do Drucker đề xuất năm 1950: “Một vật thể đàn hồi – dẻo thuần túy hoặc chịu phân bố ứng suất tránh bị phá hủy hoặc sẽ bị phá hủy nếu điều kiện khả dỉ động xuất hiện” hoặc hiểu theo định lý cận dưới và định lý cận trên, được sử dụng để phân tích bài toán tải giới hạn

Phân tích giới hạn nhằm xác định trạng thái của cấu kiện khi sụp đổ và cơ chế phá hủy ứng với trạng thái đó Để giải một bài toán phân tích giới hạn ta có thể tiếp cận từ 2 trường: trường ứng suất (áp dụng định lý cận dưới) và trường biến bạng (áp dụng định lý cận trên) và nghiệm cho như hình vẽ 1.7 Bài toán phân tích giới hạn

pij

dε

τ

uc

σ)

a

Trang 29

sẽ chuyển bài toán tối ưu hóa Nếu tiếp cận từ cận dưới ta cần tìm cực đại λ− và ngược lại nếu tiếp cận từ cận trên ta cần tìm cực tiểu λ+

Hình 1.6 Nghiệm của lời giải cận trên và cận dưới cho bài toán phân tích giới hạn

Lời giải cận trên sử dụng trường chuyển vị

Lời giải cận dưới sử dụng trường ứng suất

Cận trên Trường biến dạng

Cận dưới Trường ứng suất

−−−

Bài toán tối ưu

Chương trình tối ưu hóa -Tuyến tính, không tuyến tính - Hình nón

λ +

-λ

Trang 30

Với điều kiện biên chuyển vị và điều kiện biên lực thể hiện như hình dưới

f: lực mặt g: lực thể tích

t

Γ : điều kiện biên lực

u

Γ : điều kiện biên chuyể vị

Hình 1.8 Điều kiện biên lực và chuyển vị Cần phải phân biệt tải phá hủy với tải đạt ngưỡng dẻo, đối với mốt số trường hợp đá cứng tải đạt ngưỡng dẻo cũng là tải phá hủy, nhưng đối với phần lớn đất đá tải phá hủy sẽ diễn ra sau khi đạt tải ngưỡng dẻo

Trong luận văn này, truờng biến dạng sẽ được áp dụng để giải quyết một số vần đề trong địa xây dựng liên quan đến tải phá hủy, mặt trượt và độ ổn định của bài toán mái dốc Do vậy, lý thuyết cho lời giải cận trên sẽ được trình bày kỹ trong luận văn này Nguyên lý biến phân là nền tảng của lý thuyết phân tích giới hạn Trong các trường khả dĩ động và tốc độ biến dạng dẻo tương thích, trường thực sẽ là trường làm phiếm hàm năng lượng đạt giá trị cực tiểu Một trong ứng dụng quan trọng của nguyên lý biến phân là tìm được trường khả dĩ động và khả dĩ tĩnh thực, bằng cách tìm phiếm hàm năng lượng và cho hàm năng lượng đạt giá trị cực tiểu

1.2.1 Định lý cận dưới

“Sự phá hủy sẽ không xảy ra khi tất cả các điểm trong vật thể và trên mặt biên đều không vượt ngưỡng dẻo” (trong điều kiện đàn hồi – dẻo thuần túy) hiểu một cách đơn giản là tất cả các điểm trong vật thể chưa vượt điều kiện cân bằng Mohr – Coulomb hoặc Tresca Bất kỳ trường ứng suất nào thỏa điều kiện cân bằng cận dưới được xem là trường ứng suất khả dỉ tĩnh

Trang 31

1.2.2 Định lý cận trên

Ta xem vật thể cứng-dẻo tuyệt đối trong miền Ω∈ với biên Γ,với lực thể

tích g và lực trên biên t Điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị Γuđược thiết lập,Γu Γ = Γt , Γu Γ = ∅t Theo lý thuyết cận trên, kết cấu bị sụp đổ khi và chỉ

khi tồn tại trường khả dĩ động u∈U, sao cho:

D ( (u)) W (u)ε < (1.7) Với

⎡ ⎤⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥= ∇

⎢ ⎥γ⎣ ⎦

(1.10)

0x

0

D ( (u))ε< λW (u) W (u)+ (1.13)

Trang 32

Với 0

ext

tải trọng (tĩnh tải) Do vậy cận trên có thể tìm được thông qua bài toán tối ưu:

u 0, u(u) 1

Như vậy, phân tích giới hạn bằng định lý cận trên có thể hiểu nôm na như sau: “Với bất kỳ biến dạng dẻo tương thích, sự phá hủy xảy ra khi gia số công ngoại lực tác động lên vật thể bằng hoặc lớn hơn gia số nội năng phân tán” hiểu một cách đơn giản là tải và tác động lên mẫu đất gây ra công mà khung hạt vẫn còn hấp thụ được với một chuyển vị (hoặc biến dạng) tắt dần Tất cả những trường biến dạng thỏa định lý cận trên được xem là trường biến dạng khả dỉ động

Trang 33

SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TỪ LỜI GIẢI CẬN TRÊN

ĐƯỢC TIẾN HÀNH TRONG LUẬN VĂN

Hình 1.9 Sơ đồ phân tích giới hạn từ lời giải cận trên

Mô hình

• Điều kiện biên • Dạng hình học • Tính chất và vị trí lực

Bài toán tối ưu

min( ( ) o )

ext

λ+ = ε −• Chuyển vị trên biên • Công ngoại bằng 1 • Liên hệ giữa chuyển vị nút và biến dạng

Rời rạc hóa phần tử

• FEM • ES-FEM

Trang 34

1.3 Phương pháp số và cách tính năng lượng thao tán dẻo cho phần tử

Hai phương pháp số được dùng trong luận văn này: phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác (FEM) và phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM), sẽ được tóm tắt ngắn gọn Mà chủ yếu là thiết lập trường biến dạng thông qua chuyển vị nút, từ đó bài toán tối ưu được thiết lập để xác định trường biến dạng dẻo ứng với trạng thái sụp đổ của nền đất Trong đó phương pháp FEM được nhiều tác giả áp dụng, mà đặc biệt cần kể đến là S.W.Sloan và đồng nghiệp Do vậy trong phần ví dụ số, chỉ một số bài toán dùng phương pháp FEM để xấp xỉ trường chuyển vị và so sánh với kết quả đạt được khi dùng ES-FEM

x y

0

1

3

2 ( x1, y1)

( x2, y2) ( x3, y3)

Trang 35

1

i ii

∑∑ (1.16)

Với ( , )u vii là chuyển vị nút theo phương x và y

Ma trận biến dạng: Sử dụng trực tiếp hệ tọa độ tự nhiên Oxy như hình vẽ 3.1

00

dux

vB

Trang 36

uuu

Biến dạng được tính toán thông qua chuyển vị nút và ma trận biến dạng Bd

Như vậy ta sẽ xấp xỉ được trường biến dạng thông qua chuyển vị nút Trong bài

toán phân tích giới hạn từ cận trên, trường biến dạng được thiết lập là ẩn số của bài toán tối ưu hóa, thông qua bài toán tối ưu hóa trường biến dạng ứng với cơ chế phá hủy sẽ được xác định

1.3.2 Năng lượng tiêu tán dẻo phần tử sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Theo Martin [6], năng lượng thao tán dẻo của phần tử i có thể viết lại theo

i

A là diện tích của phần tử i ϕ :là góc ma sát trong của đất khi phá hoại

ixx

biến dạng của phần tử và thông số nội tại của đất là góc ma sát trong và lực dính c Tuy nhiên, ứng với mỗi trường biến dạng ta sẽ thu được năng lượng thao tán dẻo

Trang 37

Trường biến dạng ứng với cơ chế phá hủy sẽ được tìm thông qua bài toán tối ưu sẽ được trình bày chương 2

1.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES-FEM)

Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta chia miền Ω thành những miền "trơn" Ωkcon, được định nghĩa : ed

N

i j≠ , trong đó Nedlà tổng số cạnh của các phần tử Các thành phần biến dạng tại một điểm xc bất kỳ thu được như sau:

k

1 / A , x(x x )

0, x

∈ Ω⎧

⎩ (1.26)

Trong đó:

k( k )

Ω

= ∫ Ωlà diện tích của hàm trơn Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn Ωkdựa trên cạnh k được tạo ra bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xét và phần tử tam giác kề bên như Hình 1.11

Biến dạng trung bình trên miền trơn Ωkcủa phần tử tam giác 3 nút được định nghĩa như sau:

( k )e

Trang 38

Hình 1.10 Miền trơn Ωkdựa trên cạnh Trong đó:

( k )e

k

N( k )

ii 1

1

3 =Ω

= ∫ Ω = ∑ : là diện tích của miền Ωk Với :

( k )e

i

A : là diện tích của phần tử thứ i có chung cạnh k

Biến dạng trung bình trên miền trơn Ωk

~( h )

ε = + = (1.28)

Ma trận tính biến dạng và chuyển vị

i~

kjB : 1

4

32

k

Ω

Trang 39

A :là diện tích của miền trơn Ωk dựa trên cạnh ϕ :là góc ma sát trong của đất khi phá hoại

ixx

ε , iyy

ε , ixy

γ : là thành phần biến dạng trong miền Ωk Như vậy năng lượng thao tán dẻo miền trơn Ωk dựa trên cạnh được thiết lập dựa trên thành phần biến dạng của miền trơn Ωk và thông số nội tại của đất là góc ma sát trong φ và lực dính c Tuy nhiên, ứng với mỗi trường biến dạng ta sẽ thu

được năng lượng thao tán dẻo Trường biến dạng ứng với cơ chế phá hủy sẽ được tìm thông qua bài toán tối ưu sẽ được trình bày chương 2

Trang 40

1.3.5 Một số nhận xét về 2 phương pháp số FEM và ES-FEM

Về cơ bản việc chia lưới của phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) cũng dựa trên phần tử tam giác như phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác (FEM) thông thường Tuy nhiên, trong phương pháp ES-

FEM, ta lần nữa rời rạc miền quan tâm thành miền trơn dựa trên cạnh thông qua

trọng tâm của 2 tam giác liền kề

k

Ω