Luận văn thạc sĩ Địa kỹ thuật xây dựng: Phân tích giới hạn nền đất sử dụng phương pháp không lưới và tối ưu toán học

v TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI: “PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN ĐẤT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ TỐI ƯU TOÁN HỌC” Mộtphương thứcsố mới cho bài toán phân tích giới hạn cận trên đượcáp dụng để

Trang 2

ii

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1:TS LÊ VĂN CẢNHCán bộ hướng dẫn khoa học 2:TS NGUYỄN MINH TÂM

Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Bộ môn quản lý chuyên ngành

Trang 3

iii

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

- -oOo -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên:TRƯƠNG PHƯỚC TRÍ MSHV: 10091043 Ngày, tháng, năm sinh: 18/12/1987 Nơi sinh : Thừa Thiên Huế Chuyên ngành: ĐỊA KỸ THUẬT XÂY DỰNG Mã số:60.58.60

TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN ĐẤT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ TỐI ƯU TOÁN HỌC

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: NHIỆM VỤ:

Nội dung của luận văn tập trung vào việc xây dựng một phương thức số mới cho bài toán phân tích giới hạn cận trên để xác định cơ cấu trượt cũng như tải phá hủy cho một số bài toán địa kỹ thuật xây dựng Đồng thời đánh giá tính hiệu quả của phương pháp không lưới so với phương pháp số khác

NỘI DUNG: - Mở Đầu - Chương 1 Tổng quan lý thuyết - Chương 2 Thiết lập bài toán phân tích giới hạn dùng định lý cận trên - Chương 3.Sức chịu tải nền một lớp đất

- Chương 4.Sức chịu tải nền nhiều lớp đất - Chương 5.Phân tích ổn định mái dốc - Chương6 Phân tích ổn định công trình ngầm - Kết Luận Chung

- Kiến Nghị - Tài Liệu Tham Khảo II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : tháng 01 năm 2013 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : tháng 06 năm 2013 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS LÊ VĂN CẢNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS NGUYỄN MINH TÂM

Tp HCM, ngày… tháng … năm 2013

TS LÊ VĂN CẢNHTS NGUYỄN MINH TÂM PGS.TS.VÕ PHÁN

TRƯỞNG KHOA

Trang 4

iv

LỜI CÁM ƠN Luận văn tốt nghiệp này được hoàn thành không những từ nỗ lực của bản thân học viên mà còn nhờ sự giảng dạy và hướng dẫn nhiệt tình giúp đỡ của quý thầy cô, bạn bè và gia đình

Tôi đặc biệt cảm ơn sâu sắcđến bạn Nguyễn Chánh Hoàng người đã thôi thúc và truyền cho tôi một cảm hứng, niềm tin yêu vào nghiên cứu khoa học Nếu không có bạn thì chắc sẽ không có luận văn này Điều đáng trân trọng hơn nữa từ bạn là lý tưởng làm khoa học nhưng phải luôn hướng về cộng động!

Xin gửi lời cảmơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn tôi, TS Lê Văn Cảnhđã nhiệt tình chỉ bảo giúp cho tôi tích lũy được nhiều kiến thức mới về phương pháp số, mà một học viên Địa Kỹ Thuật ít được tiếp xúc và sẽ là tiền đề vững chắc cho tôi với những nghiên cứu sau này

Xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Minh Tâm, ngườitruyền dạy tôi một nền tảng cơ học đấtvững chắc và sâu sắc, từ đó càng làm tôi say mê thích thú theo đuổi lĩnh vực Địa Kỹ Thuật này

Kính gửi lời cảmơn đến các thầy cô trong bộ mônĐịa Cơ Nền Móngtrường Đại Học Bách Khoa: thầyPGS.TS Châu Ngọc Ẩn, PGS.TS Võ Phán, TS Bùi Trường Sơn, TS Trần Tuấn Anh những người thầy đã dạy chúng tôi với rất nhiều tâm huyết

Xin cảm ơn các bạnTrâm, Trọng Hoàng, Anh Lý đãủng hộ và giúpđỡ tôi rất nhiều về mặt tinh thần

Và cuối cùng niềm động viên lớn nhất để giúp con hoàn thành luận văn này là Ba Mẹ, Chú Thím Nguyên Thao, Cô Liên, Anh Chị Em Con làm tất cả đều này là vì gia đình mình và đây là điều cao quý nhất mà con muốn gởi đến mọi người Cảm ơn gia đình đã nuôi dạy, ủng hộ, động viên để con có được như ngày hôm nay

Học Viên Cao Học Trương Phước Trí

Trang 5

v

TÓM TẮT LUẬN VĂN TÊN ĐỀ TÀI:

“PHÂN TÍCH GIỚI HẠN NỀN ĐẤT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG

LƯỚI VÀ TỐI ƯU TOÁN HỌC”

Mộtphương thứcsố mới cho bài toán phân tích giới hạn cận trên đượcáp dụng để giải quyết một số vấn đề địa kỹ thuật xây dựng Phương pháp không lưới EFG được dùng để xấp xỉ trường chuyển vị (biến dạng) Sử dụng kỹ thuậttích phân nút ổn định(SCNI)làm trơn hóa biến dạngtrên từng vùng Vonoroi, do đó không cần áp đặt điều kiện liên tục giữa các vùng (điều kiện tương thích trong phương pháp phần tử hữu hạn) dẫn đến số lượng biến bài toán giảm một cách đáng kể, đây chính là ưu điểm vượt trội so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống.Mô hình dẻo lý tưởng Morh - Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp được giả định để dễ dàng tính thành phần gia tăng biến dạng dẻo khi trạng thái ứng suất của đất nền nằm trên mặt ngưỡng Morh - Coulomb Sau đó bài toán phân tích giới hạn từ lời giải cận trên được đưa về bài toán tối ưu hóacực tiểu năng lượng thao tán dẻo,dạng ràng buộc hình nón bậc hai (SOCP) Thông qua thuật toán tối ưu hóađược phát triển và viết thành phần mềm Mosek bởi các nhà toán học để tìm trường biến dạng dẻo ứng với cơ cấu sụp đổ Một trong những ưu điểm lớn khi đưa bài toán tối ưu về dạng hình nón bậc hai là có thể giải bài toán tối ưu với số biến lên tới hàng triệu với tốc độ rất nhanh Như vậy, việc kết hợp phương pháp không lưới EFG, kỹ thuật tích phân nút ổn định và chương trình tối ưu dạng hình nón bậc hai trở thành một công cụ mạnh mẽ, hiệu quả để giải bài toán phân tích giới hạn Kết quả không chỉ tốt mà tốcđộ hội tụ còn nhanh và ổn định.Từ đó, một số bài toán địa kỹ thuật xây dựng sẽ được khảo sát để tiên đoán tải phá hủy cũng như cơ cấu sụp đổ tương ứng như: sức chịu tải của nền gồm một hay nhiều lớp đất, phân tích ổn định mái dốc, phân tích ổn định công trình ngầntrên cơ sở đảm bảo nghiêm ngặt về điều kiện cơ học

Trang 6

vi

SUMMARY OF THESIS TITLE OF THESIS:

“LIMIT ANALYSIS ON SOIL USING THE MESH-FREE METHOD AND

MATHEMATICAL OPTIMIZATION”

A novel numerical procedure for upper bound limit analysis has been described to solve some problems in geotechnical engineering The kinematically admissible velocity fields are approximated using the Element-Free-Galerkin (EFG)mesh-free.The strain fieldsare smoothedover a Vonoroi cell using a stabilised conforming nodalintegration (SCNI)scheme There is, therefore, no need to enforce continuity conditions at interfaceswithin the problem domain (which would be a key part of a comparable finiteelement formulation), so the total number of variables in the resultingoptimisation problem is kept to a minimum, with far fewer variables beingrequired compared to finite element formulations.The soil is modeled by a perfectly-plastic Morh-Coulomb model and flow rule is assumed The upper bound limit analysis formulation becomes an optimization problem, which is then formulated as a standard second-order cone programming(SOCP) problem Using a state-of-the-art SOCP code developed by mathematical researchers,the proposed solution procedure can solve real-world problems in engineering practice, which require up to hundreds of thousands variables or more In sort, the combination of the mesh-freeEFG method, stabilised conforming nodal integration and second-order cone programming results in an efficient and robust numerical limit analysis tool for practical engineering problems Then upper bound limit analysis will be applied to determine collapse load as well as failure mechanism such as footings resting on singe-layered or multi-layered soil, the stability of slopes, the stability of underground on the basis of ensuring strict mechanical conditions

Trang 7

vii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi Trương Phước Trí làm đề tài luận văn thạc sĩ: “ Phân tích giới hạn nền đất sử dụng phương pháp không lưới và tối ưu toán học” Tôi xin cam đoan:

- Toàn bộ nội dung của luận văn hoàn toàn dựa vào nỗ lực nghiên cứu của bản thân tôi, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS LÊ VĂN CẢNH và TS NGUYỄN MINH TÂM

- Tôi xác định rõ ràng rằng luận văn có sự kế thừa một số kết quả nghiên cứu trước, cũng như những đóng góp mới của cá nhân tôi

Trang 8

viii

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Tổng quan: 1

2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 3

2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật 3

2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 5

3 Ý nghĩa khoa học của đề tài 5

4 Tính thực tiễn đề tài 5

5 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 6

5.1 Mục tiêu 6

5.2 Nhiệm vụ của đề tài 7

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT 8

1.1 Dẻo lý tưởng và tiêu chuẩn phá hủy cho đất 8

1.1.1 Giới hạn đàn hồi và hàm chảy 8

1.1.2 Luật chảy dẻo kết hợp 10

1.1.3 Hàm chảy dẻo Morh-Coulomb 11

1.2 Lý thuyết phân tích giới hạn 12

1.2.1 Định lý cận dưới 14

1.2.2 Định lý cận trên 16

1.3 Phương pháp không lưới (Mesh-free) 18

1.3.1 Hàm dạng và các đạo hàm của hàm dạng theo EFG 20

1.3.2 Miền ảnh hưởng 24

1.3.3 Kỹ thuật tích phân nút ổn định 27

1.4 Chươngtrình tối ưu hóa hình nón 30

Trang 9

2.1 Rời rạc năng lượng thao tán dẻo 32

2.2 Rời rạc công ngoại lực 32

2.3 Áp đặt điều kiện biên tại hữu hạn nút 33

2.4 Chuẩn hóa về dạng tối ưu hình nón bậc hai 33

CHƯƠNG 3 SỨC CHỊU TẢI NỀN MỘT LỚP ĐẤT 37

3.1 Móng chịu tải trọng đúng tâm 37

3.2.3 Bài toán tối ưu được thiết lập từ lời giải cận trên 61

3.2.4 Mô hình phân tích giới hạn 61

3.2.5 Kết quả 62

CHƯƠNG 4 SỨC CHỊU TẢI NỀN NHIỀU LỚP ĐẤT 68

Trang 10

Mục Lục x

4.1 Nền gồm 2 lớp sét 68

4.1.1 Giới thiệu 68

4.1.2 Đặt vấn đề 68

4.1.5 Kết quả 70

4.2 Nền gồm lớp cát đặt trên lớp sét 79

4.2.5 Kết quả 82

CHƯƠNG 5 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH MÁI DỐC 90

5.1 Giới thiệu 90

5.2 Đặt vấn đề 91

5.3 Bài toán tối ưu được thiết lập từ lời giải cận trên 91

5.4 Mô hình phân tích giới hạn 92

Trang 11

6.2.5 Kết quả 106

6.3 Phân tích ổn định khi hai hầm hình vuông đặt cạnh nhau 111

6.3.5 Kết quả 113

6.4 Phân tích ổn định khi hai hầm hình tròn đặt cạnh nhau 115

6.4.5 Kết quả 117

KẾT LUẬN CHUNG 119

KIẾN NGHỊ 122

TÀI LIỆU THAM KHẢO 123

DANH MỤC CÁC BÀI BÁO 128

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 129

Trang 12

xii

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu ứng xử đàn-dẻo lý tưởng

10

Hình 1.2 Sự minh họa hình học của luật chảy dẻo kết hợp 10

Hình 1.3 Ứng xử thật của đất và ứng xử đàn dẻo lý tưởng 11

Hình 1.4 Mô hình Morh và sức chống cắt thoát nước của đất 12

Hình 1.5 Phương của vec tơ gia số biến dạng dẻo trên hệ trục   cho hai trường hợp: a) đất không thoát nước và b) đất thoát nước 12

Hình 1.6 Nghiệm của lời giải cận trên và cận dưới cho bài toán phân tích giới hạn 13Hình 1.7 Sơ đồ phân tích giới hạn 13

Hình 1.8 Điều kiện biên lực và chuyển vị 14

Hình 1.9 Rời rạc hóa kết cấu theo FEM (a) và theo Mesh-free (b) 18

Hình 1.10 Các nút và vùng Voronoi của nút theo dạng đều và không đều 19

Hình 1.11 Các giá trị thực uI, giá trị xấp xỉ uh(xI) và hàm xấp xỉ uh(x)

trong kỹ thuật xấp xỉ MLS 20

Hình 1.12 Mẫu hàm dạng và đạo hàm của hàm dạng (=6) 23

Hình 1.13 Miền ảnh hưởng của FEM (trái) và của Mesh-free (phải) 25

Hình 1.14 Xác định hI và kích thước miền ảnh hưởng 25

Hình 1.15 Hàm dạng của MLS và đạo hàm với pT=[1, x] (cột bên trái)

Hình 3.2 Móng đặt trên nền đồng nhất không trọng lượng, không phụ tải hông 40

Hình 3.3 Chia hệ lưới nút, vùng vonoroi và điều kiện biên chuyển vị cho bài toán 41Hình 3.4 Hệ số sức chịu tải Nc 42

Hình 3.5 Tốc độ hội tụ bài toán cho trường hợp 00  43

Hình 3.6 Tốc độ hội tụ bài toán cho trường hợp  300 43

Hình 3.7 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với 00  44

Hình 3.9 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với  200 44

Trang 13

Danh Mục Hình Ảnh xiii

Hình 3.11 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với 0

40

  45

Hình 3.13 Cơ cấu phá hủy của Prandtl (1920) 45

Hình 3.14 Cơ cấu phá hủy của Hill (1950) 46

Hình 3.15 Móng đặt trên nền đồng nhất không lực dính, không phụ tải hông 49

Hình 3.16 Chia hệ lưới nút, vùng vonoroi và điều kiện biên chuyển vị cho trường hợp smooth footing 50

Hình 3.17 Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp smooth footing 51

Hình 3.18 Chia hệ lưới nút, vùng vonoroi và điều kiện biên chuyển vị cho trường hợp rough footing 52

Hình 3.19 Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp rough footing 52

Hình 3.20 Móng đặt trên nền đồng nhất không trọng lượng  và không lực dính c. 54

Hình 3.21 Chia hệ lưới nút, vùng vonoroi và điều kiện biên chuyển vị cho bài toán 55

Hình 3.22 Hệ số sức chịu tải Nq 56

Hình 3.26 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với 400 58

Hình 3.28 Móng đặt trên nền đồng nhất có trọng lượng và không lực dính c 60

Hình 3.29 Chia hệ lưới nút, vùng vonoroi và điều kiện biên chuyển vị bài toán 62

Hình 3.30 Sức chịu tải cực hạn nền theo EFG và Seven Krabbenhoft et al (2012) với φ’=30o 63

Hình 3.31 Sức chịu tải cực hạn nền theo EFG và Purkayastha and Char (1977) với φ’=30o. 63

Hình 3.32 So sánh Qult với φ’=30o khi xét đồng thời và riêng rẽ của từng thành phần phụ tải hông và ma sát dưới đáy móng đóng góp vào sức chịu tải 65

Hình 3.33 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với φ’ =30o, e/B = 0 65

Hình 3.34 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với φ’ =30o, e/B = 0.1 66

Hình 3.37 Năng lượng thao tán dẻo của đất nền với φ’ =30o, e/B = 1/3 67

Trang 14

Danh Mục Hình Ảnh xiv

Hình 4.1 Móng nông đặt trên nền gồm hai lớp sét không thoát nước 69

Hình 4.2 Chia hệ lưới nút, vùng vonoroi và điều kiện biên chuyển vị cho bài toán 70Hình 4.3 Giá trị hệ số sức chịu tải *cN(D/B = 0.25 và D/B = 0.5) 74

Hình 4.4 Giá trị hệ số sức chịu tải *cN (D/B = 0.75 và D/B = 1) 74

Hình 4.5 Giá trị hệ số sức chịu tải *cN(D/B = 1.5 và D/B = 2) 74

Hình 4.6 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 2, D/B = 0.25 75

Hình 4.8 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 2, D/B = 1 76

Hình 4.11 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 5, D/B = 1 77

Hình 4.12 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 0.8, D/B = 0.25 77

Hình 4.13 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 0.2, D/B = 0.25 77

Hình 4.14 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 0.8, D/B = 0.6 78Hình 4.15 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo với cu1/cu2 = 0.2, D/B = 0.6 78Hình 4.16 Nền gồm lớp cát trên lớp sét không thoát nước 81

Hình 4.18 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp D/B = 0.25 84

Hình 4.19 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp D/B = 0.5 84

Hình 4.20 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp D/B = 1 85

Hình 4.21 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo theo sự thay đổi của D/B với q /B = 0, cu / B = 0.5, φ’ = 30o a) D/B = 0.25, b) D/B = 1, c) D/B = 2 86

Hình 4.22 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo theo sự thay đổi của cu / B với q /B = 0, D/B = 1, φ’ = 30o a) cu / B = 0.5, b) cu / B = 4 86

Hình 4.23 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo theo sự thay đổi của góc nội ma sát φ’ với q /B = 0, cu / B = 0.5, D/B = 1 a) φ’= 30o, b) φ’= 40o 87

Hình 4.24 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẻo theo sự thay đổi của phụ tải hông q /B với cu / B = 0.5, D/B = 1, φ’= 30o a) q /B = 0, b) q /B = 1 87

Hình 4.25 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp D/B = 0.4 và  330 89

Hình 4.26 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp D/B = 1 và  400 89

Hình 5.1 Sơ đồ mái dốc 91

Trang 15

Hình 5.6 Cơ chế trượt của mái dốc: c)  700, d) 800 95

Hình 5.7 Cơ chế trượt của mái dốc 090  95

Hình 6.1 Không gian ngầm đô thị 96

Hình 6.14 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẽo (H/D = 2, D/cu = 2) 110

Hình 6.15 Sơ đồ hình học 2 hầm hình vuông đặt cạnh nhau 112

Hình 6.17 Hệ số ổn định hai hầm hình vuông đặt cạnh nhau (H/D = 1) 114

Hình 6.18 Trường vận tốc và năng lượng thao tán dẽo (H/D = 1, D/cu = 2) 115

Trang 16

Bảng 3.3 Hệ số sức chịu tải Nccho trường hợp  300 42

Bảng 3.4 Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp smooth footing 50

Bảng 3.5 Hệ số sức chịu tải N cho trường hợp rough footing 53

Bảng 3.6 Hệ số sức chịu tải Nq cho trường hợp  0450 55

Bảng 3.7 Sức chịu tải tới hạn Qult(kPa) ứng với φ’=30okhi xét đồng thời ảnh hưởng của phụ tải hông và ma sát dưới đáy móng 62

Bảng 3.8 Sức chịu tải tới hạn Qult(kPa) ứng với φ’=30okhi xét riêng rẽ từng thành phần ảnh hưởng của phụ tải hông và ma sát dưới đáy móng 64

Bảng 4.1 Giá trị hệ số sức chịu tải *cN cho trường hợp (cu1cu2) 71

Bảng 4.2 Giá trị hệ số sức chịu tải *cN cho trường hợp (cu1cu2) 72

Bảng 4.3 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp không có phụ tải hông q/γB = 0 83

Bảng 4.4 Sức chịu tải của nền p/B cho trường hợp có phụ tải hông q/γB = 1 83

Bảng 5.1 Hệ số ổn định Nsvới góc mái dốc 050 90  và 0'20 40  93

Bảng 5.2 Hệ số ổn định Nsvới '200 94

Bảng 6.1 Hệ số ổn định hầm hình chữ nhật (H/D = 4, D/cu = 2) 100

Bảng 6.2 Hệ số ổn định hầm hình chữ nhật (H/D = 4, B/D = 1÷4) 101

Bảng 6.3 Hệ số ổn định hầm hình chữ nhật (B/D = 4, D/cu = 0÷3) 102

Bảng 6.4 Hệ số ổn định hầm hình tròn trong đất không thoát nước (0o) 107

Bảng 6.5 Hệ số ổn định hầm hình tròn trong đất thoát nước ( 20o  ) 107

Bảng 6.6 So sánh độ ổn định của hầm hình tròn và hình vuông 108

Bảng 6.7 Hệ số ổn định hai hầm hình vuông đặt cạnh nhau (H/D = 1) 113

Bảng 6.8 Hệ số ổn định hai hầm hình tròn đặt cạnh nhau (H/D = 1, φ = 5o) 118

Trang 17

1

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan: Đối với một kỹ sư thiết kế thì việc đánh giá độ an toàn của kết cấu là rất quan trọng Chúng ta cần phải biết giá trị tới hạn của tải trọng gây ra sụp đổ cho kết cấu, từ đó đưa ra được hệ số an toàn hợp lý Để xác định giá trị này thường có hai phương pháp phân tích:

- Phương pháp phân tích từng bước (step-by-step) với những gia tăng nhỏ của tải trọng cho đến khi kết cấu sụp đổ để tìm ra tải trọng giới hạn (cách phân tích của phần mềm Plaxis) Việc phân tích này cho phép ta hiểu biết được toàn bộ quá trình phát triển dẫn đến phá hoại kết cấu, nhưng không có lợi về mặt tính toán số

- Phương pháp phân tích giới hạn (limit analysis) hướng này rất thực dụng vì cung cấp một cách trực tiếp trị số của tải trọng giới hạn, cũng như cơ cấu phá hoại của kết cấu Đối với kết cấu bên trên lý thuyết phân tích giới hạn có thể giải quyết được cho các bài toán như dầm, sàn…Đối với kết cấu bên dưới phương pháp trên cũng hoàn toàn có thể áp dụng để giải quyết các bài toán cơ học đất chẳng hạn:phân tích sức chịu tải nền, ổn định mái dốc, áp lực đất bị động lên tường chắn, phân tích ổn định cống ngầm…Phương pháp phân tích giới hạn dựa trên hai định lý giới hạn cơ bản: định lý cận trên (trường chuyển vị - biến dạng) sẽ cho giá trị tải trọng giới hạn lớn hơn giá trị chính xác, và định lý cận dưới (trường ứng suất) sẽ cho giá trị tải trọng giới hạn nhỏ hơn giá trị chính xác Do đó khi một bài toán được giải quyết cả cận trên và cận dưới thì giá trị trung bình nghiệm cận trên và cận dưới sẽ cho giá trị gần với nghiệm chính xác, đồng thời thõa mãn hoàn toàn các điều kiện nghiêm ngặt về bản chất cơ học

Quá trình tìm lời giải của bài toán phân tích giới hạn sẽ thực hiện qua hai bước:

Trang 18

Mở Đầu 2

Bước 1: Rời rạc hóa miền đang xét để xấp xỉ trườngchuyển vị -biến dạng (cận trên) hoặc ứng suất (cận dưới) bằng các phương pháp số chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn (FEM), phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM), phương pháp không lưới( Mesh-free)…

Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong những phương pháp xấp xỉ số mạnh và phổ biến được sử dụng để rời rạc hóa phần tử Tuy nhiên, khi dùng phần tử bậc thấp hiện tượng “ locking” sẽ xảy ra và dẫn đến kết quả phân tích không chính xác hoặc không hội tụ Đồng thời, bản thân FEM chuẩn có rất nhiều hạn chế với bài toán biến dạng lớn và bài toán bất liên tục trong miền quan tâm Các giải pháp để khử hiện tượng locking đã được đề xuất như là (i) dùng phần tử chuyển vị bậc cao; (ii) dùng các phần tử bất liên tục trên biên Điểm chính của các phương pháp này là nhằm tăng số bậc tự do tổng thể của bài toán, vì vậy sẽ giải quyết được vấn đề locking Tuy nhiên, chi phí tính toán tăng lên nhiều và việc tạo lưới trong các phương pháp này là tương đối phức tạp Trong nghiên cứu này, phương pháp không lưới (Mesh-free) được dùng để xấp xỉ trườngchuyển vị (biến dạng) hoặc ứng suất Các đặc điểm của phương pháp Mesh-free là rời rạc miền quan tâm thành các nút chứ không phải dựa vào phần tử như FEM, SFEM… Mesh-free có các ưu điểm sau: (i) Không cần điều chỉnh lưới theo thời gian đối với các bài toán biến dạng lớn và bất liên tục, điều này đạt được là do không chia lưới; (ii) Hàm dạng mesh-free dễ xây dựng; (iii) Tính chất hội tụ tốt ( Li & Liu,1996; Liu,2003), hơn nữa tính chính xác của phương pháp mesh-free dễ kiểm soát (Li & Liu, 2002) do vậydễ đánh giá sai số, (iiii) hiện tượng locking được khử, và chi phí tính toán được tối ưu

Bước 2: Khi trường chuyển vị (biến dạng)hoặc ứng suất được rời rạc thì bài toán phân tích giới hạn sẽ trở thành bài toán tối ưu toán học Có thể dùng các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến để giải bài toán tối ưu toán học trên Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là:

Trang 19

Mở Đầu 3

- Để dùng thuật toán tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa, do đó số ẩn số và điều kiện ràng buộc sẽ tăng đáng kể, dẫn đến chi phí tính toán rất lớn và gây nhiều hạn chế khi phân tích bài toán với số phần tử lớn

- Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến Tuy nhiên, hàm mục tiêukhông tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo, trong khi các thuật toán tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi nơi

Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai (second-order cone programming)được phát triển để khắc phục các vấn đề trên Hơn nữa, phần lớn các tiêu chuẩn chảy dẻo đều có thể chuyển về dạng hình nón bậc hai[35] Do đó, trong nghiên cứu này thuật toán tối ưu nón bậc hai sẽ được áp dụng để giải bài toán phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật

2 Tình hình nghiên cứu trên thế giới và trong nước đối với ngành địa kỹ thuật 2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới đối với ngành địa kỹ thuật

Phân tích giới hạn đã trở thành một công cụ rất mạnh cho việc phân tích các bài toán địa kỹ thuật Nhiều nghiên cứu phân tích giới hạn được tiến hành và đạt nhiều thành tựu trong vài thập kỷ vừa qua Lysmer (1970) là người đầu tiên sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bất liên tục và thuật toán tối ưu tuyến tính để giải quyết cho bài toán phân tích giới hạn cận dưới

Cùng với sự phát triển của phương pháp số cũng như kỹ thuật tối ưu Kỹ thuật phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật được triển khai nghiên cứu và đạt được nhiều thành quả, đặc biệt trong suốt 2 thập kỷ vừa qua nhờ vào sự phát triển của lý thuyết tối ưu và hệ thống máy tính Một số tác giả đạt nhiều thành quả quan trọng trong lĩnh vực địa kỹ thuật cần kể đến như Sloan và các đồng nghiệp ở Newcastle (1988,1995), H.S.Yu và Sloan (1994), Lymain và S.W.Sloan (2002), Zhao (2007) Một khó khăn khi sử phân tử hữu hạn là quy luật chảy dẻo chỉ có thể

Trang 20

Mở Đầu 4

gắn tại một số hữu hạn điểm, trong khi đó phải đảm bảo cho toàn bộ miền bài toán Điều này càng khó khăn cho vật liệu có thành phần ma sát Để thỏa mãn yêu cầu này, Sloan(1989), Sloan và Kleeman(1995), Lyamin và Sloan(2002) kết hợp kỹ thuật biến dạng hằng số,phần tử bất liên tục và chia lưới phù hợp do đó đã giải quyết được bài toán phân tích giới hạn cận trên và cận dưới Kỹ thuật này đã được áp dụng thành công cho bài toán móng chịu tải lệch tâm (Ukritchon, 1998), sức chịu tải nền 2 lớp đất( Shiau et al, 2003),bài toán neo trong đất (Merifield et al, 2003, Merifield et al, 2005), ổn định cống ngầm (Sloan et al, 1991;Yamamoto et al, 2011), áp lực đất lên tường chắn ( Shiau et al, 2008).Phân tích 3 chiều cũng đã được mở rộng và phát triển cho bài toán sức chịu tải nền, ổn định mái dốc (Lyamin, 2007; Merifield et al, 2008).Makrodimopoulos & Martin(2006) sử dụng phần tử hữu hạn biến dạng đơn kết hợp với chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP) đã giải quyết được một số bài toán với tốc độ hội tụ cao.Gần đây Sven Krabbenhoft et al(2012) sử dụng phân tích giới hạn cận dưới cho bài toán móng chịu tải lệch tâm Bài toán ổn định công trình ngầm gần đây cũng được nghiên cứu nhiều, phải kể đến là phân tích ổn định hầm hình tròn trong đất thoát nước củaYamamoto et al (2011), Andrew J Abboet al (2011) đã giải quyết bài toán ổn định hầm hình chữ nhật trong đất không thoát nước, bài toán ổn định hầm hình tròncó xét ảnh hưởng của sự tăng sức chống cắt không thoát nước theo độ sâu bởi Wilson et al (2013), sự ảnh hưởng khi hai hầm đặt cạnh nhau cũng được nghiên cứu bởi Wilson (2008) cho hầm hình vuông và cũng vấn đề này Yamamoto et al (2013) phát triển mở rộng cho hầm hình tròn

Gắn liền với sự phát triển của kỹ thuật phân tích giới hạn là kỹ thuật xấp xỉ số cho trường ứng suất ,chuyển vị (biến dạng)và thuật toán giải quyết các bài toán tối ưu Xét về mặt phương pháp số, nhiều phương thức số đã được nghiên cứu như phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn, phương pháp phần tử hữu hạn trơn, phương pháp phần tử biên, phương pháp không lưới Cùng với sự phát triển phương thức số, thuật toán tối ưu cũng được phát triển, nhiều các thuật toán tối ưu tuyến tính

Trang 21

Mở Đầu 5

(Sloan,1988)hoặc phi tuyến(Lyamin và Sloan, 2002) để giải bài toán tối ưu Đặc biệt khi sử dụng thuật toán tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) vào bài toán phân tích giới hạn thì có thể giảm số lượng biến một cách đáng kể, thông qua chương trình tối ưu Mosek [12] được phát triển bởi các nhà toán học bài toán tối ưu được giải quyết cho kết quả tốt với tốc độ vượt trội (Krabbenhoft et al,2003;Makrodimopoulos & Martin, 2006;Lê Văn Cảnh,2009)

2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước đối với ngành địa kỹ thuật Phân tích giới hạn cho các bài toán địa kỹ thuật bằng phương pháp số và tối ưu hình nón đang được triển khai nghiên cứu trong nước Hiện tại, nhóm nghiên cứu do TS Lê Văn Cảnh với sự tài trợ của quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia Nafosted đang thực hiện các bài toán phân tích thích nghi và giới hạn cho kết cấu, nền móng công trình Trong đó luận văn của Ths Nguyễn Chánh Hoàng “ Phân tích giới hạn nền đất sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh và tối ưu toán học.” đã giải quyết được bài toàn phân tích giới hạn từ lời giải cận trên cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng

3 Ý nghĩa khoa học của đề tài Thiết lập một phương thức số mới phân tích giới hạn từ lời giải cận trênáp dụng cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Việc kết hợp phương pháp không lưới EFG, kỹ thuật tích phân nút ổn định và chương trình tối ưu dạng hình nón bậc hai trở thành một công cụ mạnh mẽ, hiệu quả để giải bài toán phân tích giới hạn, với số lượng biến giảm đáng kể so với phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, đồng nghĩa là chi phí tính toán được tối ưu Bài toán phân tích giới hạn cho kết quả không chỉ tốt, mà tốc độ hội tụ còn nhanh và ổn định Từ đó khẳng định ưu điểm vượt trội và hiệu quả của EFG so với các phương pháp số khác

4 Tính thực tiễn đề tài Phân tích giới hạn sử dụng phương pháp không lưới(Mesh-free)và chương trình nón bậc hai (SOCP) có ý nghĩa rất quan trọng trong thực tiễn Tải trọng giới hạn

Trang 22

Mở Đầu 6

cũng như cơ chế trượt tương ứng sẽ được xác định thông qua bài toán tối ưu Như vậy, kỹ sư thiết kế có thể tiên đoán được tải phá hủy của cấu kiện, nền móng Thông qua bài toán phân tích giới hạn sẽ tìm được các hệ số sức chịu tải nền trong trường hợp móng chịu tải đúng tâm cũng như là lệch tâm Đối với những trường hợp đất nền phức tạp, gồm 2 hay nhiều lớp đất dưới móng Việc áp dụng các công thức xác định sức chịu tải của các tác giả dựa trên cơ cấu trượt của nền đồng nhất sẽ không còn phù hợp Do vậy, thông qua bài toán phân tích giới hạn với việc thiết lập nhiều lớp đất, tải gây ra nền trượt sẽ được tiên đoán đáng tin cậy hơn Phân tích ổn định mái dốc là vấn đề cũng được quan tâm nhiều trong thực tiễn Bằng cách áp dụng lý thuyết phân tích giới hạn cơ chế trượt của mái dốc sẽ tìm được trực tiếp thông qua lời giải của bài toán tối ưu Với gia tăng nhanh dân số thì sự phát triển không gian ngầm đô thị là một xu thế tất yếu mà chúng ta phải tính toán đến cho một đô thị hiện đại, do đó việc phân tích ổn định công trình ngầm cấp thiết Bài toán phân tích ổn định công trình ngầm cũng được xét đến, từ đó đưa được một thông số không thứ nguyên là hệ số ổn định cũng như cơ cấu phá hủy đất nền với các hình dạng hầm khác nhau

5 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 5.1 Mục tiêu

Vận dụng lý thuyết phân tích giới hạn từ định lý cận trên, sử dụng phương pháp không lưới và chương trình nón bậc hai để xác định cơ cấu trượt cũng như tải phá hủy của một số bài toán:

-Sức chịu tải nền một lớp đất -Sức chịu tải nền nhiều lớp đất - Phân tíchổn định mái dốc - Phân tíchổn địnhcông trình ngầm

Trang 23

Mở Đầu 7

5.2 Nhiệm vụ của đề tài Nội dung của luận văn tập trung vào việc xây dựng một phương thức số mớiphân tích giới hạn cho bài toán cận trên để giải quyết cho các bài toán địa kỹ thuật xây dựng Nhiệm vụ chủ yếu của đề tài bao gồm:

- Rời rạc hóa trường chuyển vị (biến dạng)bằngphương pháp không lưới -Thiết lập bài toán phân tích giới hạn dựa trên tiêu chuẩn bền Morh-Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp

- Đưa bài toán phân tích giới hạn về bài toán tối ưu hóa có ràng buộc dạng hình nón bậc hai

- Lập trình mô phỏng số (dùng ngôn ngữ lập trình Matlab) cho các bài toántrên - Kết luận chung về tính hội tụ và chính xác của tiến trình mới phân tích giới hạn đi từ lời giải cận trênthông qua việc so sánh kết quả thu được với các kết quả số khác

Trang 24

8

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT

Chương này sẽ trình bày ngắn gọn các lý thuyết liên quan đến việc tìm hệ số tải trọng sụp đổ từ lời giải cận trên Hay nói cách khác là tìm được trường chuyển vị khả dĩ động Bài toán phân tích giới hạn được đưa về dưới dạng bài toán tối ưu hóa, mà ở đây trong luận văn này, là cực tiểu năng lượng thao tán dẻo của toàn miền hình học đang xét cho từng bài toán cụ thể Mô hình dẻo lý tưởng Morh - Coulomb và luật chảy dẻo kết hợp được giả định để dễ dàng tính thành phần gia tăng biến dạng dẻo khi trạng thái ứng suất của đất nền nằm trên mặt ngưỡng Morh và như vậy năng lượng thao tán dẻo dễ dàng được thiết lập

1.1 Dẻo lý tưởng và tiêu chuẩn phá hủy cho đất Đối với nhiều ứng dụng thực tế, một vật liệu có thể lý tưởng hóa nghĩa là vượt qua giới hạn đàn hồi, ứng suất và biến dạng được xấp xỉ bằng đường thẳng nằm ngang Do đó, biến dạng dẻo được giả định là xảy ra dưới ứng suất hằng số

Sự lý tưởng hóa này dẫn đến sự đơn giản hóa trong việc phân tích bài toán kết cấu phức tạp Đặc biệt, là sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn tiếp cận từ trường chuyển vị (biến dạng), tuy rất đơn giản nhưng là công cụ hữu nghiệm trong việc tiên đoán tải trọng và cơ chế phá hủy

1.1.1 Giới hạn đàn hồi và hàm chảy Giới hạn đàn hồi hay “nhượng” là hiện tượng “biến dạng không hồi phục” bắt đầu xuất hiện trong quan hệ ứng suất – biến dạng của vật liệu Ứng xử sau điểm nhượng trên đường quan hệ ứng suất – biến dạng đối với:

- Thủy tinh, đá, đất khô cứng, đất cố kết trước nặng, cát chặt, gốm là vở, bể vụn, phá hoại dẻo thuần túy hoặc khử bền

- Kim loại dẻo là chảy dẻo

Trang 25

Chương 1 Tổng Quan Lý Thuyết 9

- Đất cố kết thường sau “nhượng” là dẻo tái bền rồi sau cùng là phá hoại dẻo (dẻo thuần túy)

Tiêu chuẩn nhượng là tập hợp các hàm toán học diễn tả đặc trưng nhượng của vật liệu, có rất nhiều tiêu chuẩn nhượng đã được đề xuất bởi các kỹ sư và các nhà nghiên cứu, đầu tiên là của Coulomb công bố năm 1773 Tiêu chuẩn nhượng của Mohr - Coulomb đã trở thành nền tảng cho sự hiểu biết ứng xử của đất cho đến ngày nay

Tổng quát, nhượng là giới hạn trạng thái đàn hồi của vật liệu và nếu sau đó vật liệu chuyển sang ứng xử dẻo thuần túy hoặc đàn hồi - dẻo thì nhượng là ngưỡng dẻo Trong không gian ứng suất quỹ đạo các điểm ngưỡng là mặt ngưỡng thường được ký hiệu hàm f() viết với các thành phần ứng suất cơ bản

f(x, y, z, xy, xz, yz) = k (1.1) Trong đó: k là hằng số và có thể bằng không

Khi vật liệu đồng nhất, hàm ngưỡng có thể diễn tả theo các ứng suất chính

eij

 : Theo định luật Hooke hay mô hình đàn hồi phi tuyến khác bất kỳ

pij

 : Theo định luật chảy dẻo

Trang 26

Hình 1.1Quanhệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu ứng xử đàn-dẻo lý tưởng 1.1.2 Luật chảy dẻo kết hợp

Vì mặt chảy dẻo f và hàm thế năng dẻo g không trùng nhau trong quá trình

xảy ra biến dạng dẻo của đất nền Điều này có thể hiểu nôm na như sau:

- Mặt chảy dẻo f là hàm phụ thuộc vào

- Thế năng dẻo g là hàm phụ thuộc vào góc giản nỡ  Để có mối liên hệ đơn giản giữa vec tơ biến dạng dẻo và mặt chảy dẻo ta giả định mặt chảy dẻo f trùng với hàm thế năng dẻo g, qui luật chảy dẻo kết hợp Khi

đó, gia số biến dạng dẻo có thể tính như sau:

pij

ij

fd 





ijf







ij

Đàn hồi

 ij 0

f  





eij



pij



Trang 27

Ứng xử của vật liệu là đàn hồi khi trạng thái ứng suất ij thỏa f ij 0, như hình biểu diễn hình 1.2 Khi chảy dẻo xảy ra, trạng thái ứng suất ij nằm trên mặt chảy dẻo và thỏa điều kiện f  ij 0 Như vậy, nếu biết được hàm chảy dẻo sẽ tìm được thành phần gia số biến dạng dẻo theo luật chảy kết hợp và khi đó gia số biến

dạng dẻo sẽ vuông góc với mặt chảy dẻo

1.1.3 Hàm chảy dẻo Morh-Coulomb Liên hệ ứng suất và biến dạng của đất thể hiện qua Hình 1.3 Thông thường, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thu được từ kết quả cắt trực tiếp hoặc thí nghiệm 3 trục Dễ dàng nhận thấy rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng thật của đất bao gồm cả tăng và giảm bền không theo ứng xử chảy dẻo lý tưởng Tuy nhiên, trong phân tích giới hạn, để dễ dàng thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, mô hình dẻo lý tưởng Morh được áp dụng

Ứng xử thật của đất Ứng xử đàn dẻo lý tưởng

Hình 1.3Ứng xử thật của đất và ứng xử đàn dẻo lý tưởng Tiêu chuẩn bền của Mohr - Coulomb được sử dụng rất rộng rải trong cơ học đất, nó phù hợp với trạng thái làm việc có thoát nước của đất Dạng được dùng thông dụng nhất là: s'tg'c' Mọi điểm thuộc vòng tròn Morh ứng suất được xem là ứng xử đàn hồi và khi chạm đường bao chống cắt biến dạng dẻo xảy ra và ứng xử là dẻo lý tưởng

Trang 28

cu



 ccu

n

Hình 1.4Mô hình Morh và sức chống cắt thoát nước của đất Phương gia số biến dạng dẻo cho hai trường hợp: đất thoát nước và đất không thoát nước được thể hiện qua hình vẽ

Hình 1.5Phương của vec tơ gia số biến dạng dẻo trên hệ trục   cho hai trường

hợp: a) đất không thoát nước và b) đất thoát nước 1.2 Lý thuyết phân tích giới hạn

Một khuynh hướng mạnh nhất của lý thuyết dẻo trong việc tiên liệu giá trị gần đúng của tải phá hủy Điều này xuất phát từ hai định lý cận do Drucker đề xuất năm 1950: “Một vật thể đàn hồi – dẻo thuần túy hoặc chịu phân bố ứng suất tránh bị phá hủy hoặc sẽ bị phá hủy nếu điều kiện khả dĩ động xuất hiện” hoặc hiểu theo định lý cận dưới và định lý cận trên, được sử dụng để phân tích bài toán tải giới hạn

Phân tích giới hạn nhằm xác định trạng thái của cấu kiện khi sụp đổ và cơ chế phá hủy ứng với trạng thái đó Để giải một bài toán phân tích giới hạn ta có thể tiếp cận từ 2 trường: trường ứng suất (áp dụng định lý cận dưới) và trường chuyển vị (áp dụng định lý cận trên) và nghiệm cho như Hình 1.6 Bài toán phân tích giới hạn sẽ

pij

a

Trang 29

chuyển thành bài toán tối ưu hóa Nếu tiếp cận từ cận dưới ta cần tìm cực đại  và ngược lại nếu tiếp cận từ cận trên ta cần tìm cực tiểu 

Hình 1.6Nghiệm của lời giải cận trên và cận dưới cho bài toán phân tích giới hạn

Ta có thể tóm tắt quy trình giải bài toán phân tích giới hạn như sau

Hình 1.7Sơ đồ phân tích giới hạn Với điều kiện biên chuyển vị và điều kiện biên lực thể hiện như hình dưới

Pphá hủy





Lời giải cận trên sử dụng trường chuyển vị

Lời giải cận dưới sử dụng trường ứng suất

Bài toán tối ưu

Cận trên Trường chuyển vị

Cận dưới Trường ứng suất

trênbiênStW

L







 

uuu



Bài toán tối ưu

Chương trình tối ưu hóa -Tuyến tính

- Phi tuyến - Hình nón

Trang 30

t: lực mặt g: lực thể tích

Γt: điều kiện biên lực(tĩnh học) Γu: điều kiện biên chuyển vị (động học)

Hình 1.8Điều kiện biên lực và chuyển vị Cần phải phân biệt tải phá hủy với tải đạt ngưỡng dẻo, đối với một số trường hợp đá cứng tải đạt ngưỡng dẻo cũng là tải phá hủy, nhưng đối với phần lớn đất đá tải phá hủy sẽ diễn ra sau khi đạt tải ngưỡng dẻo

Trong luận văn này, truờng chuyển vị (biến dạng) sẽ được áp dụng để giải quyết một số vần đề trong địa xây dựng liên quan đến tải phá hủy, mặt trượt và độ ổn định của bài toán mái dốc Do vậy, lý thuyết cho lời giải cận trên sẽ được trình bày kỹ trong luận văn này Nguyên lý biến phân là nền tảng của lý thuyết phân tích giới hạn Trong các trường khả dĩ động và tốc độ biến dạng dẻo tương thích, trường thực sẽ là trường làm phiếm hàm năng lượng đạt giá trị cực tiểu Một trong ứng dụng quan trọng của nguyên lý biến phân là tìm được trường khả dĩ động và khả dĩ tĩnh thực, bằng cách tìm phiếm hàm năng lượng và cho hàm năng lượng đạt giá trị cực tiểu

1.2.1 Định lý cận dưới Ta xem vật thể cứng-dẻo tuyệt đối trong miền 2

R

  với biên tĩnh học t,với lực thể tích g và lực trên biên t Theo lý thuyết cận dưới, kết cấu bị sụp đổ khi và chỉ khi tồn tại trường khả dĩ tĩnh σ, sao cho thõa mãn :

i) điều kiện cân bằng trong toàn miền ii) ứng suất trên biên tĩnh học 

Trang 31

iii) đảm bảm điều kiện chảy dẻo Để tìm được  (hệ số tải trọng với cơ cấu bị sụp đổ) cần liên quan đến nguyên lý công ảo và hàm chảy dẻo lồi ( véc tơ biến dạng vuông góc mặt thế năng dẻo) Hodge ( 1963), Save & Masmnet (1972), Lubliner (1990) Điều kiện để tìm  có thể viết tóm tắt như sau:

T

t

L t trongn.gtr

/ f( x )x

  



(1.6)

Trong đó L: thành phần của các các đạo hàm riêng

00

Trang 32

1.2.2 Định lý cận trên Ta xem vật thể cứng-dẻo tuyệt đối trong miền   R2 với biên ,với lực thể tích g và lực trên biên t Điều kiện biên ràng buộc về chuyển vị uđược thiết lập,

jiij

uu( u )

u

ext

u, uW ( u )





Trang 33

tác động lên vật thể bằng hoặc lớn hơn gia số nội năng phân tán” hiểu một cách đơn giản là tải tác động lên mẫu đất gây ra công mà khung hạt vẫn còn hấp thụ được với một chuyển vị (hoặc biến dạng) tắt dần Tất cả những trường biến dạng thỏa định lý cận trên được xem là trường biến dạng khả dĩ động

Về ý nghĩa vật lý ta có thể hiểu nôm na như sau, cấu kiện bị sụp đổ khi và chỉ khi nội tại không còn khả năng hấp thu năng lượng do công ngoài sinh ra Ứng với mỗi trường biến dạng dẻo sẽ thiết lập được năng lượng thao tán dẻo cho toàn miền Thông qua bài toán tối ưu, trường biến dạng dẻo ứng với cơ chế sụp đổ sẽ được tìm

Trang 34

1.3 Phương pháp không lưới (Mesh-free) Trong việc giải các bài toán cơ học hiện nay, có rất nhiều phương pháp số được sử dụng và đã cho kết quả tốt Một trong những phương pháp mới nhất và có nhiều ưu điểm hơn các phương pháp khác chính là phương pháp không lưới Ưu điểm của Mesh-free cũng giống như tên gọi của nó, chính là không xây dựng dựa trên các mắt lưới hay còn gọi là các phần tử như phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, màdùng tập các nút rời rạc nằm bên trong cũng như trên biên để mô tả bài toán Chính vì thế, ta có thể chủ động phân bố các nút rời rạc một cách tuỳ ý

Hình 1.9Rời rạc hóa kết cấu theo FEM (a) và theo Mesh-free (b) Vì không chia lưới và phần tử, mà thay vào đó là mối quan hệ giữa nút và miền ảnh hưởng chính vì thế Mesh-free có những ưu điểm sau:

- Không cần điều chỉnh lưới theo thời gian đối với các bài toán biến dạng lớn và bất liên tục, điều này đạt được là do không chia lưới (Li & Liu, 2002) - Hàm dạng Mesh-free dễ xây dựng (Fries & Mathhies,2003)

- Tính chất hội tụ tốt ( Li & Liu,1996; Liu,2003), hơn nữa tính chính xác của phương pháp Mesh-free dễ kiểm soát (Li & Liu, 2002), do vậy, dễ đánh giá sai số

Trang 35

Có nhiều kỹ thuật xấp xỉ trong phương pháp Mesh-free như Smooth Particle Hydrodynamics method, Reproducing Kernel Particle Method, Meshless Local Petrov-Galerkin…Trong nghiên cứu này học viên dùng phương pháp không lưới EFG (Element Free Galerkin Methods - EFG) được phát triển dựa trên kỹ thuật xấp xỉ bình phương cực tiểu (Moving least Square - MLS) của toán học EFG được Belytschko và cộng sự giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 [36], sau đó Chen và các cộng sự (2001) đã đề xuất kỹ thuật tích phân nút ổn định cho EFG Lê Văn Cảnh (2009) áp dụng EFG để phân tích giới hạn cho tấm đã cho thấy kết quả tốt, chính xác và đáng tin cậy

Trong phương pháp không lưới, kết cấu sẽ được rời rạc thông qua hệ nút, hệ nút được thiết lập có thể theo qui tắc hoặc bất kỳ Các nút trong phương pháp không lưới đóng vai trò cực kỳ quan trọng, các nút này sẽ đại diện cho vùng bao quanh Vùng bao quanh một nút được giới hạn bởi các đoạn thẳng trung trực giữa các nút được gọi là vùng Voronoi Mô tả về sự rời rạc hóa kết cấu trong phương pháp không lưới và cách xác định vùng Voronoi của 1 nút được thể hiện như Hình 1.9 và Hình 1.10

Hình 1.10Các nút và vùng Voronoi của nút theo dạng đều và không đều

Trang 36

1.3.1 Hàm dạng và các đạo hàm của hàm dạng theo EFG EFG sử dụng kỹ thuật xấp xỉ bình phương cực tiểu (Moving least Square - MLS), hàm xấp xỉ uh(x) được rời rạc bởi n nút được viết như sau:

1

( )( )( )( ) ( )W ( ) ( )() ( )W ( ) ( )

(1.20) (1.21) (1.22)

Với: n là số nút, p(x) là đa thức cơ sở Hàm p(x) được định nghĩa:

( )(1, )( )(1, , )

TT





Cho bài toán 1 chiều Cho bài toán 2 chiều

(1.23)

Trang 37

HàmW ( )Ix là hàm trọng số tương ứng với điểm I, hàm trọng số là đóng vai trò quan trọng trong phương pháp mesh-free Nếu hàm trọng số và đạo hàm của nó liên tục thì hàm dạng và đạo hàm của hàm dạng cũng liên tục

Hàm trọng số thường được sử dụng trong phương pháp mesh-free:

nếu SI  1 nếu SI  1

(1.24)

II

xxS

R

 , và RI là bán kính ảnh hưởng của nút I (được tính ở công thức 1.37)

Các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm dạng I( )x ở (1.20) được tính:

Trong tính toán thực hành chúng ta không nhất thiết phải tính ma trận nghịch đảo, mà có một cách tốt hơn có thể tính nhanh hơn và chính xác hơn đó là sử dụng phương pháp phân tích LU (LU factorisation) kết hợp với phép khử Gauss(Gaussian elimination)

Trang 38

Phép phân tích lu(A) cho phép chúng ta phân tích ma trận A thành các ma trận tam giác trên U và một ma trận L(bằng tích giữa ma trận tam giác dưới và ma trận hoán vị), sao cho A=L*U, và thuận lợi hơn là hàm LU đã được lập trình sẳn trên ngôn ngữ Matlabs Một cách dễ dàng hơn để tính hàm dạng và các đạo hàm của nó sẽ được trình bày dưới đây Hàm dạng ở biểu thức (1.20) có thể viết lại như sau:

Các biểu thức (1.28), (1.29), (1.30) được giải với , ,j , ,jk cùng hàm dạng và các đạo hàm được viết lại:

Các kỹ thuật xấp xỉ ở trên cho phép xây dựng hàm dạng và các đạo hàm nhanh hơn rất nhiều, phụ thuộc vào độ chính xác của phép phân tích LU

Trang 39

Hình 1.12Mẫu hàm dạng và đạo hàm của hàm dạng (=6) Và có một kỹ thuật khác để tránh mất đi tính chính xác gây ra bởi sai số làm tròn trong phương pháp EFG là thay đổi tọa độ gốc của điểm ước lượng (evaluation

Trang 40

point) Biến số x được thay đổi bởi phép thay đổi tuyến tính x xxorig Các số hạng trong các biểu thức từ (1.28) đến (1.33) được xác định như sau:

1.3.2Miền ảnh hưởng Miền ảnh hưởng (the domain of influence) của nút là một thông số khá quan trọng trong các phương pháp không lưới Miền ảnh hưởng là miền mà nút có ảnh hưởng ở đó, miền ảnh hưởng được xác định ứng với mỗi nút và có thể khác nhau từ nút này sang nút khác

Miền ảnh hưởng có thể dạng hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật hoặc bất kỳ, tuy nhiên dạng hình tròn thường được dùng nhất Kích thước miền ảnh hưởng được chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

 Miền ảnh hưởng có bán kính RI, phải đủ lớn để đảm bảo ma trận A không bị suy biến Với nghĩa khác là phải đảm bảo đủ số nút để nội suy trong miền ảnh hưởng

 Miền ảnh hưởng không quá lớn để chắc chắn tính tương thích của phương pháp xấp xỉ và công sức tính toán không quá nhiều