Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong những phương pháp xấp xỉ số mạnh và phổ biến được sử dụng trong bài toán phân tích giới hạn cho tấm dày, và có những ưu điểm sau: Đơn giản trong
TỔNG QUAN
Tổng quan
Phân tích giới hạn đóng vai trò quan trọng trong thiết kế và đánh giá độ an toàn của kết cấu Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp xấp xỉ số mạnh được áp dụng rộng rãi trong phân tích giới hạn cho tấm dày nhờ khả năng xác định trực tiếp tải trọng phá hoại thông qua định lý cận trên, loại bỏ các giai đoạn phân tích trung gian phức tạp trong phương pháp từng bước Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn còn được ưa chuộng bởi sự đơn giản trong thiết lập và giải phương trình.
Dễ dàng lập trình Kết quả thu được tốt nếu chia lưới mịn phần tử
Giải được hầu hết các bài toán: dao đông, ổn định,… với nhiều dạng hình học khác nhau như: tam giác, tứ giác,… Áp dụng được nhiều lý thuyết giải khác nhau
Tuy nhiên, phương pháp phần tử hữu hạn lại có hạn chế về việc chia lưới phần tử, và khi dùng phần tử bậc thấp hiện tượng “shear locking” sẽ xảy ra và dẫn đến kết quả phân tích không chính xác hay không hội tụ Để giải quyết hiện tượng “shear locking” xảy ra đối với phần tử tấm Reissner-Mindlin bậc thấp (low order) khi chiều dày tấm có xu hướng mỏng dần về zero, đồng thời tăng mức độ chính xác và ổn định lời giải, nhiều phương pháp được đề xuất: phương pháp phần tử ứng suất bậc cao (Hybrid Stress Element) [12,13], phương pháp giả định biến dạng nâng cao (Enhanced Assumed Strain Method – EAS) [14,15], phương pháp giả định biến dạng tự nhiên (Assumed Natured Strain – ANS) [16,17],… Tuy nhiên những phương
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN pháp trên không phải lúc nào cũng sử dụng tốt cho mọi trường hợp, đặc biệt trong trường hợp chia lưới cho phần tử là bất kỳ, thì kết quả tính toán sẽ không tốt Gần đây, phương pháp “rời rạc lệch trượt” (Discrete shear gap – DSG3) được đề xuất bởi tác giả Bletzinger và Bischoff (2000) [18] Phương pháp “rời rạc lệch trượt” gần giống phương pháp giả định biến dạng tự nhiên ANS và làm việc tốt cho phần tử có hình dáng và bậc khác nhau Tuy nhiên phương pháp này lại có nhược điểm là tính ổn định chưa tốt
Cũng chính vì vậy, để phát huy tốt các ưu điểm trên và khắc phục những nhược điểm đó thì gần đây với sự kết hợp của phương pháp lệch trượt và phương pháp phần tử hữu hạn trơn đã mang lại kết quả khá tốt
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn đã được đề xuất bởi Giáo sư GR Liu trong thời gian gần đây có thể khắc phục được hạn chế trên, đồng thời vẫn giữ lại được các ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống.Tác giả Liu và cộng sự đã ứng dụng kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng [19] để thiết lập công thức phương pháp PTHH trơn dựa trên phần tử con (cell) còn được gọi là SFEM hoặc CS-FEM cho bài toán 2D cơ vật rắn và sau đó CS-FEM được phát triển cho tấm và vỏ Phương pháp SFEM gồm có: dựa trên phần tử (cell-based smoothed finite element method), dựa trên cạnh (edge-based smoothed finite element method), dựa vào nút (node-based smoothed finite element method)
Trong tất cả các phương pháp trên thì phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh có tính ổn định cao, và có nhiều ưu điểm sau:
Mô hình ES-FEM cho kết quả hội tụ nhanh và chính xác hơn phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống
Không cần phải xây dựng ma trận hàm dạng một cách chính xác Áp dụng được cho tất cả phần tử: tam giác, tứ giác, đa giác n
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM được tăng mức độ chính xác của lời giải bằng cách kết hợp với phương pháp rời rạc lệch trượt DSG3 cùng với kỹ thuật làm ổn định lời giải [4] đã cho ra đời phương pháp ổn định cắt trên miền trơn dựa trên cạnh (Edge-based Smoothed Stabilized Discrete Shear Gap Method – ES-DSG3), trong phạm vi luận văn thì được gọi tắt là phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3
Phương pháp ES-DSG3 thể hiện những ưu điểm [4]: là phương pháp đơn giản và hiệu quả cho việc phân tích tĩnh của tấm Mindlin - Reissner:
Sử dụng lưới tam giác ba nút nên dễ dàng chia lưới cho những miền phức tạp
Mỗi nút chỉ có ba bậc tự do nên không đòi hỏi nhiều chi phí và thời gian tính toán
Giải quyết được hiện tượng “shear locking”, kết quả thu được hội tụ nhanh và mức độ chính xác cao Phần tử ES-DSG3 cho kết quả chính xác hơn so với phương pháp DSG, phần tử tam giác MIN3, ANS4, Meshless và thường chính xác hơn phần tử MITC4 khi khảo sát với cùng số nút Kết quả thu được của phần tử ES-DSG3 phù hợp với giải tích và cho kết quả tốt khi so sánh với những phần tử khác đã được công bố
Hầu hết các phương pháp đều có những ưu nhược điểm của nó, đối với phương pháp mà tác giả sử dụng trong luận văn này thì cũng bị hạn chế việc phân chia miền, việc chia miền lưới càng mịn thì làm cho việc tính toán gặp nhiều khó khăn trong việc thiết lập và tính toán các ma trận đòi hỏi cấu hình tính toán máy phải tương thích, do đó việc sử dụng các thuật toán tối ưu nhằm tiết kiệm chi phí và thời gian nhanh nhất mà vẫn đảm bảo kết quả tối ưu nhất là một việc cần thiết Khi trường chuyển vị hay vận tốc được rời rạc và áp dụng định lý cận trên thì bài toán phân tích giới hạn sẽ trở thành bài toán tối ưu toán học Chúng ta có thể dùng các thuật toán tối ưu tuyến tính hoặc phi tuyến để giải bài toán tối ưu toán học trên Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là:
(i) Để dùng thuật toán tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa, do đó số ẩn số và điều ràng buộc sẽ rất lớn dẫn đến chi phí tính toán rất lớn;
(ii) Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến – liên quan đến hàm dẻo phi tuyến Tuy nhiên, hàm mục tiêu (tiêu tán chảy dẻo) không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo (non- differential), trong khi các thuật toán tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi nơi Gần đây, thuật toán tối ưu nón bậc hai (second-order cone programming) được phát triển để khắc phục các vấn đề trên, việc giải quyết các bài toán lớn cũng được nhanh chóng do đó mang lại hiệu quả tối ưu trong tính toán Hơn nữa, phần lớn các tiêu chuẩn chảy dẻo đều có thể chuyển về dạng hình nón bậc hai Các nghiên cứu trước đó [11, 20] đã cho được những ưu điểm khi sử dụng thuật toán này:
Kết quả bài toán khi sử dụng chương trình này cho kết quả tương thích với kết quả của các phương pháp khác Ứng dụng được các tiêu chuẩn dẻo
Giải quyết hầu hết các bài toán, kể cả bài toán lớn Chi phí và thời gian tính toán được rút ngắn
Cũng chính vì vậy, kết hợp những ưu điểm của các phương pháp trên, tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh kết hợp với phương pháp lệch trượt, đồng thời sử dụng chương trình hình nón bậc hai để áp dụng cho giải bài toán phân tích giới hạn cho tấm dày Mindlin – Reissner
Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết đề tài
Các công bố về phân tích giới hạn cho tấm dày dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trong những năm gần đây gồm:
[1] A Capsoni and M Vicente da Silva A finite element formulation of Mindlin plates for limit analysis Communications in Numerical
Methods in Engineering, 27: 143–156, 2011 Trong bài báo này các tác giả đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích giới hạn cho tấm hình tròn với tải trọng phân bố và tập trung tại tâm tấm
[2] A Cecchi, G Milani and A Tralli A Reissner–Mindlin limit analysis model for out-of-plane loaded running bond masonry walls International Journal of Solids and Structures, 44: 1438 - 1460, 2007 Trong bài báo này, các tác giả đã phân tích giới hạn với mô hình ngoài mặt phẳng cho tường với tải trọng thay đổi bằng lý thuyết Mindlin
[3] A Capsoni and L Corradi Limit analysis of plates - a finite element formulation Structural Engineering and Mechanics, 8: 325 – 341, 1999 Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phương pháp phân tử hữu hạn để phân tích giới hạn bằng cách sử dụng lý thuyết tấm dày Mindlin áp dụng cho tấm mỏng Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn trong phân tích giới hạn cho bài toán phẳng 2D được thực hiện trong các công bố sau:
[1] C.V Le, H Nguyen-Xuan, H Askes, S Bordas, T Rabczuk, H
Nguyen-Vinh A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010; 83: 1651–1674 Trong bài báo này,
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN các tác giả đã sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử để phân tích giới hạn (cận trên), kết hợp với chương hình nón bậc hai cho tấm mỏng
[2] T.N Tran, GR Liu, H Nguyen-Xuan, T Nguyen-Thoi, An edge- based smoothed finite element method for primal-dual shakedown analysis of structures International Journal for Numerical
Methods in Engineering, 2010; 82: 917 - 938 Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh để phân tích thích nghi cho kết cấu
Nghiên cứu trong nước về lĩnh vực phân tích giới hạn có thể được liệt kê như sau:
[1] Nguyen Dang Hung, Yan Ai-Min, Bui Cong Thanh and Jospin R.J.,
“On the Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures”, Proceedings of The First Vietnam-Japan Symposium in Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics HoChiMinh City, Vietnam, January 19-21,1998 Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phân tích giới hạn và phân tích thích nghi trong dẻo và nứt cho kết cấu
[2] Nguyen An Danh, Bui Cong Thanh, Nguyen Dang Hung, “A recursive approach for limit analysis of frame”, Proceedings of the
Sixth National Conference on Solid Mechanics, Hanoi, 11/1999
Trong bài báo này, các tác giả đã sử dụng phân tích giới hạn cho khung
[3] Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, Nguyen Dang Hung Dual limit
Chi Minh City Publishing house, 476 - 494, 2006 Trong bài báo này, các tác giả đã phân tích giới hạn cho tấm mỏng.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Mục tiêu của nghiên cứu này là phát triển phương pháp phân tích chuyển động giới hạn cho bài toán tấm dày Mindlin – Reissner dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh (ES-DSG3) và thuật toán tối ưu nón bậc hai Các bước thực hiện bao gồm:
Thiết lập công thức phân tích giới hạn rời rạc dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh
Biến đổi các biến dạng thu được thành hằng số bằng cách sử dụng phương pháp lệch trượt
Biến đổi bài toán tối ưu rời rạc thu được ở trên về dạng bài toán tối ưu nón bậc hai
Lập trình mô phỏng số cho bài toán thu được ở trên dùng ngôn ngữ lập trình Matlab Đánh giá tính hiệu quả của phương pháp thông qua việc so sánh kết quả thu được với các kết quả số khác.
Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn chủ yếu tập trung vào chương 2 và chương 3:
Chương 1: giới thiệu về đề tài nghiên cứu, các hướng nghiên cứu trong và ngoài nước đã thực hiện
Chương 2: cơ sở lý thuyết cơ bản, các công thức phân tích giới hạn cho tấm dày bằng phương ES-DSG3
Chương 3: khảo sát các ví dụ số và các kết quả thu được
Chương 4: kết luận và kiến nghị
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner
Trong lý thuyết tấm mỏng, với giả thiết Kirchhoff, các biến dạng trượt
zx và zy là bằng 0 Tuy nhiên, cũng như lý thuyết dầm chịu uốn ngang phẳng, khi tỷ số h a (alà kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) không đủ nhỏ thì sự bỏ qua các biến dạng này sẽ dẫn đến kết quả không chính xác Đầu tiên, Reissner xem các góc xoay của các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình tấm trong các mặt phẳng xz và yz, cùng với hàm độ võng được xem là các biến độc lập trong lý thuyết tính toán Sau đó, Mindlin đã đơn giản hóa giả thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến này trước và sau biến dạng vẫn còn thẳng nhưng không còn vuông góc với mặt trung bình tấm
Ngoài ra ứng suất pháp z (vuông góc với mặt trung bình) vẫn xem như bỏ qua và bằng 0 (như giả thiết Kirchhoff)
Moâ hình Kirchhoff Moâ hình Mindlin - Reissner
Hình 2.1 Mô hình Kirchhoff và mô hình Mindlin – Reissner
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Theo giả thiết Mindlin - Reissner chuyển vị của tấm có thể biểu diễn bởi:
Hay dưới dạng ma trận:
Các thành phần biến dạng:
Hay có thể viết dưới dạng ma trận:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng như sau:
0 0 0 0 (1 ) / 2 x x y y xy xy zx zx zy zy
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT σ = Dε (2.9)
0 0 0 0 (1 ) / 2 x y xy zx zy x y xy zx zy
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)
Có ba giả thuyết thông dụng về biến dạng cắt: lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT)
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Hình 2.2: Lý thuyết biến dạng
Lý thuyết tấm cổ điển (hình 2.2) là lý thuyết biến dạng cắt đơn giản nhất khi bỏ qua biến dạng cắt, lý thuyết này dựa vào lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff:
Xem các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi tấm chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi Từ giả thiết này dễ thấy rằng các góc vuông tạo bởi các phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình (và có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn còn là góc vuông trong quá trình biến dạng, như vậy không có sự trượt trong các mặt phẳng đó hay xz yz 0 Do đó trường chuyển vị trong tấm có dạng:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
(2.11) Đối với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (hình 2.2) xét sự ảnh hưởng của biến dạng cắt ngòai mặt phẳng, tức là đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm sau biến dạng vẫn còn thằng so với trước biến dạng, nhưng bị lệch đi một góc so với mặt phẳng trung hòa, lúc này trường chuyển vị trong tấm trở thành: x y
Trong giải tích kết cấu tấm mỏng, chuyển vị (u, v, w) theo phương x, y, z tại một điểm trên tấm được tính dựa vào chuyển vị tại mặt trung bình của tấm (u0, v0, w0), khoảng cách từ mặt trung bình đến điểm xét (z) và góc xoay (θx, θy) của pháp tuyến tấm quanh trục y, x.
0, 0, 0, x , y u v w là các chuyển vị suy rộng (2.13)
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, trong đó lý thuyết hiệu quả và được sử dụng nhiều nhất là lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) của Reddy khi xét đến biến dạng cong của pháp tuyến mặt trung hòa sau khi biến dạng (hình
2.2) Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3, trường chuyển vị trong tấm có dạng:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong phần nghiên cứu của luận văn này, tác giả đã chọn lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) để mô hình tính toán và khảo sát mà vẫn đủ độ chính xác, một số giả thiết: Độ võng của tấm là nhỏ, khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa và không bị kéo, nén hay trượt trong khi biến dạng
Các đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn còn thẳng và độ dài không đổi do đó z = 0
Trong quá trình biến dạng sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình là không đáng kể có thể bỏ qua tức là ứng suất pháp
zcó thể bỏ qua (vì là nhỏ so với x , y )
Khi đó, biến dạng trong tấm:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong trường hợp tấm là tấm mỏng, các góc xoay tuyến tính với đạo hàm của độ võng:
x w, y w x y Khi đó công thức (2.15) trở thành:
Và công thức (2.16) suy biến thành 0.
Tổng quan về phân tích giới hạn
Nếu vật liệu chịu lực dưới ngoại lực (f, g) có tính chất cứng dẻo tuyệt đối, khi nhân thêm một hệ số tải trọng , ngoại lực sẽ được biểu diễn lại là (f 0 ,g 0 ) Khi giá trị đủ nhỏ, kết cấu sẽ phản ứng đàn hồi, không xuất hiện biến dạng dẻo Tăng dần giá trị tới giá trị cho phép, cấu trúc chỉ xuất hiện một số điểm chịu lực dẻo, vẫn chưa đủ để gây ra đổ vỡ Tiếp tục tăng giá trị , cấu trúc sẽ xuất hiện vùng chịu lực dẻo lớn dần và có thể dẫn đến phá hoại kết cấu.
cho đến khi cơ cấu gãy đổ hoàn toàn, giá trị lúc này của là giá trị phá hoại dẻo Mục đích của việc phân tích giới hạn nhằm tìm ra giá trị phá hoại dẻo này Việc phân tích này được dựa trên hai định lý: Định lý phân tích tĩnh – hay còn gọi định lý cận dưới (Static/lower bound theorem) và Định lý phân tích động –hay còn gọi định lý cận trên (kinematical/upper bound theorem)
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ứng suất hợp lệ được cho bởi , và hệ số tải trọng phải thỏa mãn điều kiện: trong trên biên 0 trong
n (2.21) Định lý cận dưới được phát biểu như sau:
Giá trị tải trọng phá hoại được xác định là giá trị lớn nhất của ở trạng thái khả dĩ tĩnh, và nó tương ứng tại giá trị ứng suất hợp lệ , cho bởi:
Việc chứng minh định lý này, nó liên quan đến công ảo và tính chất lồi của mặt chảy dẻo, từ tài liệu của ông Hodge (1963); Save & Massonnet (1972) and Lubliner (1990) Công thức phân tích giới hạn tĩnh được viết dưới dạng bài toán tối ưu như sau:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT trong trên biên max t
2.3.2 Định lý phân tích động–phân tích giới hạn sử dụng cận trên (kinematical /upper bound theorem ):
Trong phân tích động, trường chuyển vị u và biến dạng dẻo εhợp lệ được xác định sao cho: trong 0 trên biên
Từ phương trình công ảo, công nội và công ngoại luôn tỉ lệ, và tỉ lệ ấy tương ứng với hệ số tải trọng trong phân tích động, được biểu diễn: int ext
(2.25) Định lý cận trên được phát biểu như sau:
Giá trị tải trọng phá hoại được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất của mà kết cấu sẽ chuyển sang trạng thái khả dĩ động Giá trị tối thiểu này ứng với giá trị trường chuyển vị u hợp lệ.
Giá trị tải trọng phá hoại dẻo theo phân tích cận trên được biểu diễn dưới dạng sau:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT trong 0 trên biên
Trong luận văn này tác giả sử dụng định lý cận trên (upper-bound limit analysis) để phân tích giới hạn cho tấm dày Mindlin – Reissner
Công thức phân tích giới hạn tấm dày Mindlin-Reissner
Tấm vật liệu cứng – dẻo tuyệt đối có chiều dày h(x,y), mặt trung bình và biên d, theo lý tấm dày Mindlin thì mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị theo công thức: z
Trong đó ε, κ, γ lần lượt là các biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt của tấm
Theo tiêu chuẩn dẻo Von Mises, các ứng suất được biểu diễn theo hàm dẻo(σ, τ)như sau:
Vớiσ 0 là ứng suất dẻo
Theo luật chảy dẻo thì các biến dạng dẻo của tấm được tính theo công thức:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT m
Năng lượng tiêu tán dẻo trong tấm:
,τ T ( ) là các ứng suất trên mặt giới hạn chảy dẻo
Từ phương trình (2.31) ta suy ra:
Thế phương trình (2.33) vào phương trình (2.29) ta có:
Thế phương trình (2.34), (2.35) vào phương trình (2.32), năng lượng tiêu tán dẻo trở thành:
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Năng lượng tiêu tán dẻo của tấm là: h / 2
Lấy tích phân Gauss theo chiều dày h, thì phương trình (2.39) trở thành:
h : Trọng số Gauss, ở đây ta lấy 3 điểm Gausss (g=3)
: Mô men dẻo của tấm
Theo các điều kiện phân tích giới hạn động cho tấm, sử dụng cận trên chỉ phụ thuộc vào biến dạng của tấm Giá trị phá hoại dẻo của tấm được xác định khi giải bài toán tối ưu sau: min Du
κ, γ c c : Là năng lượng tiêu tán dẻo của tấm
F( )u : Công do ngoại lưc tác dụng
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Bài toán phân tích giới hạn (2.41) cho tấm dày Mindlin – Reissner được giải quyết dựa trên các lý thuyết sau: i) Sử dụng lý thuyết trượt bậc nhất ((FSDT) để mô hình tính toán và khảo sát, một số giả thiết: Độ võng của tấm là nhỏ, khi bị uốn mặt trung bình là mặt trung hòa và không bị kéo, nén hay trượt trong khi biến dạng
Các đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn còn thẳng và độ dài không đổi do đó z = 0
Trong quá trình biến dạng sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình là không đáng kể có thể bỏ qua tức là ứng suất pháp
zcó thể bỏ qua (vì là nhỏ so với x , y ) ii) Sử dụng vật liệu cứng- dẻo tuyệt đối iii) Sử dụng tiêu chuẩn dẻo Von Mises:
Sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất tiếp bát diện đạt tới ứng suất tiếp giới hạn, kv bằng 1/ 3 ứng suất giới hạn chịu kéo:
J2 là bất biến thứ 2 của tensor ứng suất lệch
, vớiσ 0 là ứng suất dẻo iv) Sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn cận trên
Các bước cần phải thiết lập và tính toán trong ES-DSG3 để giải quyết bài toán phân tích (2.41) cần:
Dùng phương pháp rời rạc trường biến dạng sử dụng phương
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Để giải quyết bài toán tối ưu cần chuyển bài toán sang dạng hình nón bậc hai (second-order cone programming).
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM)
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta chia miền thành những miền "trơn" k con, được định nghĩa :
với i j, trong đó N ed là tổng số cạnh của các phần tử
Các thành phần biến dạng tại một điểm x c bất kỳ thu được như sau: k
Trong đó: là hàm làm trơn, thõa mãn điều kiện đơn vị: k d 1
Trong trường hợp đơn giản nhất, hàm làm trơn được định nghĩa như sau:
là diện tích của hàm trơn Đối với phần tử tam giác ba nút, miền trơn k dựa trên cạnh k được tạo ra bằng cách kết nối hai đầu nút của cạnh chung với hai trọng tâm của phần tử tam giác đang xét và phần tử tam giác kề bên (hình 2.3)
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Hình 2.3 Phân chia miền trơn k , m Biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt trung bình trên miền trơn k của phần tử tam giác 3 nút được định nghĩa như sau:
Công thức (2.45) được tham khảo từ tài liệu [10]
là diện tích của hàm trơn k
Với N ( k ) e : số phần tử có chung cạnh k ( N ( k ) e 1 cho cạnh biên, và
Ne 2cho cạnh chung giữa hai phần tử) A : là diện tích của phần tử thứ I có chung cạnh k
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ma trận tính biến dạng và chuyển vị
NI, là các ma trận hàm dạng trơn
2.6 Hiệu chỉnh các ma trận tính biến dạng về hằng số bằng phương pháp
"rời rạc lệch trượt" – Discrete Shear Gap (DSG3):
Theo tài liệu tham khảo [4,10] trong phần tử tam giác 3 nút bậc thấp, các thành phần ma trận tính biến dạng màng và biến dạng uốn là hằng số, nhưng ma trận tính biến dạng cắt còn là tuyến tính, biến dạng cắt còn phụ thuộc vào chuyển vị và đạo hàm góc xoay Khi tấm có chiều dày mỏng dần so với chiều dài cạnh nhỏ nhất của tấm (tức là tỷ số h/a