Một số chuyên đề toán ôn thi THPT quốc gia

 Chú ý: Định lý này ngoài việc vận dụng để chứng minh quan hệ vuông góc, nó còn được sử dụng trong bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và cách x

CHUYÊN ĐỀ 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài toán tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là thể tích khối chóp và thể tích khối lăng trụ là một nội dung cơ bản trong chương trình toán lớp 12 Những năm gần đây trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, các bài toán về tính thể tích khối đa diện xuất hiện thường xuyên Mặc dù đó là một bài toán cơ bản nhưng nó đã gây khó khăn cho không ít học sinh Vì vậy, mà nhiều thí sinh có ý định bỏ câu hỏi này

Nhằm giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản, các phương pháp tính thể tích khối

đa diện và có kỹ năng giải toán, năm học 2011 – 2012 chúng tôi đã thực hiện chuyên đề “Phương pháp tính thể tích khối đa diện”

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và qua nghiên cứu đề thi học sinh giỏi lớp 12 của các tỉnh những năm học gần đây, chúng tôi thấy các câu hỏi về hình học không gian ngoài yêu cầu tính thể tích còn có các yêu cầu khác liên quan đến thể tích như tỷ số thể tích, thể tích lớn nhất hay

thể tích nhỏ nhất Vì vậy, chúng tôi thực hiện chuyên đề “Một số vấn đề về thể tích khối đa diện”

với hy vọng rằng giúp các em học sinh phần nào tháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với bài toán thể tích khối đa diện trong các kỳ thi đang đến gần

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A Kiến thức cơ bản của hình học phẳng

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM Khi đó:

2 Hệ thức luợng trong tam giác bất kỳ

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BCa CA; b AB;  Kí hiệu , ,c p R r lần lượt là

nửa chu vi tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC; h h h và a, b, c, ,

 Chú ý: Ngoài ra chúng ta cũng cần nắm vững các tính chất của các hình có dạng đặc biệt như

tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình nửa lục giác đều, Bên cạnh đó, cũng cần phải nắm được công thức tính diện tích của hình thang, hình bình hành, hình thoi,

B Kiến thức hình học không gian lớp 11

I Quan hệ song song

1 Đường thẳng và mặt phẳng song song

1.1 Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có

điểm chung

1.2 Các định lý:

a) Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng  P và song song với đường thẳng a

nằm trên mặt phẳng  P thì đường thẳng d song song với mặt phẳng  P

b) Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P thì mọi mặt phẳng  Q chứa a và

cắt  P theo giao tuyến b thì b song song với đường thẳng a

c) Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo giao tuyến d và hai mặt phẳng đó cùng song song với đường thẳng a thì giao tuyến d song song với đường thẳng a

d) Định lý 4: Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

 Chú ý: Định lý này thường được vận dụng trong trường hợp tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau

2 Hai mặt phẳng song song

2.1 Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

II Quan hệ vuông góc

1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng là một trong các quan hệ quan trọng nhất của hình học không gian Sử dụng quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng để chứng minh quan hệ vuông góc, để xác định và tính khoảng cách, để xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.1 Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với

mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó

1.2 Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trên mặt phẳng  P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P

 Chú ý: Đây là dấu hiệu nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng Nó cũng là

điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lý này được vận dụng nhiều trong các bài toán của hình học không gian: chứng minh quan hệ vuông góc, chứng minh hệ thức hình học, xác định khoảng cách và góc

2 Hai mặt phẳng vuông góc

2.1 Định lí 1: Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào

nằm trong  P và vuông góc với giao tuyến của  P và  Q thì đường thẳng a vuông góc với mặt

phẳng  Q

 Chú ý: Định lý này ngoài việc vận dụng để chứng minh quan hệ vuông góc, nó còn được sử dụng

trong bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định đường cao trong khối chóp, khối lăng trụ có mặt bên vuông góc với mặt đáy

2.2 Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến

của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

 Chú ý: Định lý này thường được sử dụng trong các bài toán về khối chóp có dữ kiện hai mặt bên

hoặc có hai mặt nào đó (gắn liền với khối chóp) cùng vuông góc với mặt đáy Khi đó chiều cao của khối chóp chính là đoạn giao tuyến của hai mặt nói trên của hình chóp

3.1 Định nghĩa: a) Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng

đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b

b) Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P Khi đó góc giữa đường thẳng a và

mặt phẳng  P là góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a', trong đó a' là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng  P

c) Góc giữa hai mặt phẳng  P và mặt phẳng  Q là góc giữa hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng  P và mặt phẳng  Q

3.2 Các bước xác định góc giữa đường thẳng với mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng

a) Các bước xác định góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc ' của đường thẳng  trên mặt phẳng  P

Dấu hiệu nhận biết là trên đường thẳng  chứa điểm M sao cho MH  P , với H  P Khi đó đường thẳng đi qua điểm H và giao điểm của đường thẳng  với mặt phẳng  P chính là đường thẳng ',

Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng  và ' Đó cũng chính là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P

b) Các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q

 Cách 1: (Theo định nghĩa)

Bước 1: Xác định đường thẳng a P , đường thẳng b Q

Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng a và b

Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q

 Cách 2: (Theo cách xác định góc)

Bước 1: Xác định giao tuyến  của hai mặt phẳng  P và  Q

Bước 2: Lấy một mặt phẳng  R vuông góc với đường thẳng 

(Phải tạo ra hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng  Khi đó, mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa tạo ra chính là mặt phẳng  R )

Bước 3: Xác định giao tuyến a , b của mặt phẳng  R với hai mặt phẳng  P và  Q Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng a và b Đó cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q

 Chú ý: - Trong hai cách trên thì cách 2 có tính thông dụng hơn Khi xác định góc giữa hai đường

thẳng cần phải chú ý rằng góc đó không vượt quá 90 rồi mới chỉ ra đó là góc nào trên hình vẽ Có 0

những trường hợp không chỉ rõ là góc nào trên hình vẽ nhưng phải chú ý đến điều kiện góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90 0

- Đối với khối chóp S A A 1 2 A chúng ta có cách làm cụ thể hơn như sau (theo hình vẽ trên): n

 Cách xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

+ Xác định hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng A A1 2 A n

Khi đó HA HA1, 2, ,HA lần lượt là hình chiếu vuông góc của n SA SA1, 2, ,SA trên mặt phẳng n

 Cách xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy:

+ Xác định hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng A A1 2 A n

+ Từ H kẻ HK HK1, 2, ,HK lần lượt vuông góc với n A A A A1 2, 2 3, ,A A , trong đó n 1 K K1, 2, ,K n

lần lượt nằm trên các đường thẳng A A A A1 2, 2 3, ,A A n 1

sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơn trong tính toán

VẤN ĐỀ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 PHƯƠNG PHÁP 1: TÍNH TRỰC TIẾP DỰA VÀO CÔNG THỨC THỂ TÍCH

A Nội dung phương pháp

Để tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ dựa vào công thức tính thể tích, chúng ta có thể tiến hành theo các bước sau đây:

Bước 1: Xác định đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ

Bước 2: Tính diện tích đáy và độ dài chiều cao

Bước 3: Thay dữ kiện vào công thức thể tích để tính thể tích

Thể tích khối chóp: 1

3

V  B h, trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp

Thể tích khối lăng trụ: V B h , trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ

Để hiểu rõ cách xác định chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ, chúng tôi xin nhắc lại định nghĩa chiều cao của các khối này

- Chiều cao của hình chóp bằng khoảng cách từ đỉnh của hình chóp tới mặt phẳng chứa đáy của

hình chóp đó

- Chiều cao của hình lăng trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của hình

lăng trụ hay bằng khoảng cách từ một đỉnh của hình lăng trụ đến mặt đáy của hình lăng trụ không

chứa đỉnh đó

Dưới đây là những dấu hiệu giúp chúng ta xác định nhanh được chiều cao của hình chóp và hình lăng trụ

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt

phẳng đáy Chiều cao chính là cạnh bên đó

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng

tạo với mặt đáy những góc bằng nhau (trong đó có

cả hình chóp đều)

Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy của hình chóp

Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông

góc với mặt phẳng đáy

Chiều cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt

đáy

Chiều cao của hình chóp chính là đường cao

kẻ từ đỉnh của hình chóp của mặt bên đó

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy

 Chú ý: Đối với khối lăng trụ nói chung, đôi khi có gắn với các yếu tố của khối chóp như có một

đỉnh cách đều các đỉnh của mặt đáy đối diện; cho biết trước hình chiếu vuông góc của một đỉnh nào đó trên mặt đối diện; Vì vậy, chúng ta cần nắm vững cách xác định chiều cao trong một số trường hợp đặc biệt nói trên để vận dụng cho cả khối lăng trụ

B Các ví dụ minh họa

1 Các ví dụ về hình chóp

1.1 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (hoặc có hai mặt bên kề nhau vuông góc với mặt đáy)

 Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên SAB và

SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABC một góc

 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a và 

Lời giải

Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc

với mặt phẳng ABC và cắt nhau theo giao tuyến

SA nên SAABC

Gọi M là trung điểm của cạnh BC Do tam giác

SBC đều nên BCSM Do đó, BCSAM

Hai mặt phẳng SBC và ABC cắt nhau theo

giao tuyến BC và BCSAM nên góc giữa hai

mặt phẳng SBC và ABC bằng góc giữa hai

đường thẳng AM và SM Tam giác SAM vuông tại A nên  0

Vì SAABCD nên AC là hình chiếu vuông

góc của SC trên mặt phẳng ABCD

Tam giác SAC vuông tại A nên  0

2

Tam giác vuông SAC vuông tại A nên SAAC.tan 450  a

Diện tích hình thang ABCD là 3 2 2

GọiO là tâm hình vuông ABCD ON/ /SA

Mà SAABCD nên ONABCD

Tam giác SAC vuông tại A có ON là đường trung

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; ABBC2a Hai mặt phẳng

SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi M là trung điểm của AB, mặt

phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và

ABC bằng 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a

Lời giải

Ta có SAB cắt SAC theo giao tuyến SA; SAB và

SAC cùng vuông góc với ABC suy ra SA vuông góc

nên MN//BC và N là trung điểm của AC

 Nhận xét: Trước hết ta phải xác định được mặt phẳng qua SM và song song với BC bằng cách

từ điểm M kẻ đường thẳng d song song với BC (ta chọn từ điểm M là phù hợp nhất vì điểm M

và đường thẳng BC cùng thuộc ABC), đường thẳng d cắt AC tại N Ta thấy hình chóp

S MNCB cũng nhận SA là đường cao

1.2 Hình chóp đều

 Ví dụ 5 Cho tứ diện đều ABCD cạnha

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

b) Ta có AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi M là trung điểm cạnh AB, kẻ IM

vuông góc với AB và I nằm trên AH thì ta có IAIBICID Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận I là tâm, bán kính RIA Tam giác AMI đồng dạng với tam giác AHB (g.g)

 Nhận xét: - Dấu hiệu nhận biết một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp đó

phải là đa giác nội tiếp được đường tròn (tức là có đường tròn ngoại tiếp) Chẳng hạn, đáy là tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân,

- Muốn xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp (là đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng đáy và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp đó)

Bước 2: Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn nói trên tại đâu thì đó là tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Thông thường, chúng ta gặp tình huống có một cạnh bên của hình chóp đồng phẳng với trục đường tròn nói trên Khi đó ta chỉ cần xác định đường trung trực của cạnh bên đó với điều kiện đường trung trực đó phải nằm trong mặt phẳng chứa cạnh bên và trục đường tròn nói trên

- Đối với tứ diện thì chọn một đỉnh làm đỉnh của hình chóp để cho việc tính thể tích hoặc xác định

tâm mặt cầu ngoại tiếp thuận lợi

 Ví dụ 6 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng A Gọi SH là đường cao của hình chóp Gọi I là trung điểm của SH, khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SBC bằng

5

a

Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

Vậy thể tích khối chóp đã cho là

3 2

 Nhận xét: Trong ví dụ trên, điều mấu chốt là phải xác định được khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SBC Việc xác định khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SBC có thể tiến hành trực tiếp hoặc gián tiếp dựa vào một điểm khác Vì vậy, khi xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nếu xác định trực tiếp gặp khó khăn thì có thể sử dụng phương án gián tiếp dựa vào một điểm khác như trong ví dụ này

Ta lại có SOCD nên CDSOMCDSM Suy ra SCD , ABCD SM MO, SMO

Theo giả thiết ta có 

Do đó góc giữa hai mặt phẳng SAD và SCD bằng 60 0

 Ví dụ 8 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng SBC

bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích của khối chóp

S ABCD nhỏ nhất

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Do S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD

Kẻ đường cao OH của tam giác OBC thì H là

trung điểm của BC Khi đó BCSOH

Tam giác SOH vuông tại O nên SHO là góc 

nhọn Do đó góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy

Kẻ đường cao OK của tam giác SOH thì OKSBC Suy ra d O SBC ;  OK

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng SBC tại C nên    

4sin

ABCD

a S

Các số cos ,sinx x dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

 2 2 1 2  2 2 1 2 cos2 sin2 sin2 3 4

cos sin 2 cos sin sin

Bằng cách lập bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số f t  trên khoảng  0;1 bằng 2 3

SBC và ABCD Công việc còn lại là tính thể tích khối chóp theo công thức

- Khi biểu thức thể tích của khối đa diện phụ thuộc vào một biến nào đó (có thể là góc hoặc khoảng

cách) và bài toán đòi hỏi xác định điều kiện của biến để thể tích khối đa diện nhận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất thì ta có thể giải quyết bài toán cực trị đó theo các bước sau:

Bước 1: Chọn biến số, đưa ra điều kiện của biến số (từ giả thiết toán)

Bước 2: Lựa chọn cách tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (theo bất đẳng thức hoặc theo đạo

hàm) và tiến hành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Khi sử dụng bất đẳng thức cần chú ý đến điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra

Bước 3: Kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

1.3 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy (hoặc mặt chéo vuông góc với đáy)

 Ví dụ 9 Cho hình chóp S ABC có mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và tam giác ABC cân tại C Góc tạo bởi giữa cạnh bên

SC và mặt phẳng đáy là 30 Tính thể tích khối chóp 0 S ABC theo a

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AB Tam giác SAB là tam

giác đều nên SH AB

Hai mặt phẳng SAB và ABC cắt nhau theo giao

tuyến AB và vuông góc với nhau nên

phẳng ABC nên góc giữa đường thẳng SC và mặt

Tam giác ABC cân tại C nên CH AB

Do đó diện tích tam giác ABC là

Vậy thể tích khối chóp S ABC là

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAa SB; a 3 và mặt phẳng

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB BC Tính ,theo a thể tích của khối chóp S BMDN và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Do hai mặt phẳng SAB và ABCDvuông góc

với nhau và cắt nhau theo giao tuyến AB nên

* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Gọi P Q lần lượt là trung điểm của , AD và AP Khi đó MQ/ /DN nên góc giữa hai đường thẳng

DN và SM bằng góc giữa hai đường thẳng MQ và SM

Tam giác SAB vuông tại S có trung tuyến SM nên 1

Do ADAB AD, SH nên ADSAB hay QASABQASA

Tam giác SAQ vuông tại A nên

MQ

5

Ví dụ 11 (Thi thử ĐH lần 1 năm học 2013 – 2014, THPT Gia Viễn B)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O; SAB là tam giác cân tại S Mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy Mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng ABCD góc 30 0

Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

Lời giải

Kẻ SH AB H; AB thì H là trung điểm của AB

Ta có hai mặt phẳng SABvà ABCD cắt nhau theo giao tuyến AB và SAB vuông góc với ABCD,

SH SAB nên SH vuông góc với ABCD Vậy

SH là đường cao của hình chóp S ABCD

Kẻ HKBD K; BD

Ta có SBD  ABCDBD HS; BD Suy ra BDSHK Do đó BDSK

Từ đó góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc giữa hai đường thẳng SK và HK chính

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA3 ,a BC4a Mặt phẳng

SBC vuông góc với mặt phẳng ABC Biết  0

1.4 Hình chóp có các mặt bên, cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau

 Ví dụ 13 Cho hình chóp A BCD có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy góc 60 Tam giác 0 BCD

Theo giả thiết ta có ba tam giác vuông AHM AHN , ,

AHKđôi một bằng nhau nên HM HNHK Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD Góc giữa các mặt bên ABC , ACD , ADB với mặt đáy BCD lần lượt là   

AMH ANH AKH

Theo giả thiết ta có    0

60

Tam giác AHM vuông tại H nên ta có tan 600 5670

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S

trên mặt phẳng ABCD Nhận thấy các tam giác vuông SHA SHB SHC SHD đôi một bằng , , ,nhau nên HAHBHCHD; H thuộc mặt phẳng ABCD nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD Vây ABCD phải là hình thang cân Diện tích thang ABCD là

22

ABCD

Ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp

hình thang cân ABCD là 10

 Chú ý: Bài toán này ta phải biết được cách xác định đường cao của hình chóp nhờ vào dấu hiệu

hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hình chóp có cạnh bên cùng tạo với đáy góc như nhau) thì hình chiếu của đỉnh hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Vì đáy là hình thang nên đáy phải là hình thang cân (chỉ có hình thang cân mới có đường tròn ngoại tiếp)

Suy ra SCAC Vậy tam giác SAC cân tại C Suy

ra M là trung điểm của SA

 Nhận xét: Ta có thể tính thể tích khối chóp S BCM bằng cách dựa vào tỷ số thể tích Cụ thể là

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; ABAD2 ;a CD , góc a

giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 Gọi 0 I là trung điểm của cạnh AD, biết mặt phẳng SBI và mặt phẳng SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp

S ABCD

Lời giải

Vì hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông

góc với mặt phẳng ABCD nên giao tuyến SI

của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt

Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD

bằng góc giữa hai đường thẳng SK và IK và

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d DM SC ; HK

Tam giác NDC vuông tại D có đường cao DH nên

2

2 55

- Trong trường hợp này khối chóp cần tính thể tích có đường cao nằm bên trong khối và đã được

cho trước Yêu cầu tính thể tích khối đa diện trong ví dụ này tương đối nhẹ nhàng, chỉ cần biết được công thức tính thể tích là có thể tính được

- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian (trường hợp chéo nhau và vuông góc với nhau) ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định mặt phẳng  P chứa đường thẳng và  P vuông góc với đường thẳng b

Bước 2: Tìm giao điểm B của đường thẳng b với mặt phẳng  P Từ B kẻ BA vuông góc với đường thẳng a (điểm A thuộc đường thẳng a ) Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b Do đó d a b ; AB

- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau, chúng ta có thể tiến hành theo các bước sau đây:

Bước 1: Xác định mặt phẳng  P chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b

Đây là một trong hai bước quan trọng nhất của bài toán này Bài toán về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thường được ra theo cách này trong những năm gần đây

Bước 2: Tìm trên đường thẳng b một điểm M sao cho dễ dàng xác định và tính được khoảng cách

từ điểm M đến mặt phẳng  P

Bước 3: Khi đó ta có d a b ; d b P ;  d M P ;  

Ví dụ 18 (Thi thử ĐH lần 2 năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; ABAD2a;

BCa Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm H của cạnh AB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng 30 Tính theo a thể tích khối 0

chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD

Lời giải

Ta có SH vuông góc với mặt phẳng ABCD

Từ giả thiết ta có BCSABSBBC và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB

bằng góc giữa hai đường thẳng SC và SB và bằng góc BSC ( do tam giác  SBC vuông tại B

Tam giác SHB vuông tại H nên SH  SB2HB2 a 2

Diện tích hình thang ABCD là S ABCD3a2

Suy ra d AB SD ; d AB SDE ;  d H SDE ;  HK

Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HK nên

Ví dụ 19 (Thi thử ĐH năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng trọng tâm G của tam giác ABD Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng

ABCD một góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của

AB Khi đó G là giao điểm của AC và DN Tam giác SGD vuông tại G nên góc SDG nhọn Do SG

vuông góc với ABCD nên góc giữa đường thẳng SD

và mặt phẳng ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng

Từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại M thì CDSGM Suy ra

SCD  SGM Hai mặt phẳng SCD và SGM cắt nhau theo giao tuyến SM

AM là hình chiếu vuông góc của A M' trên mặt

phẳng ABC nên góc giữa đường thẳng A M' với

mặt phẳng ABC bằng góc giữa hai đường thẳng

 Ví dụ 21 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' Mặt phẳng A BC'  tạo với mặt phẳng ABC

một góc 30 và tam giác 0 A BC' có diện tích bằng 8a Tính thể tích khối lăng trụ 2 ABC A B C ' ' '

theo a

Lời giải

Kẻ đường cao AM của tam giác ABC Khi đó

M là trung điểm của BC

Suy ra BCA AM'  Tam giác A AM' vuông

tại A nên A MA là góc nhọn '

Góc giữa hai mặt phẳng A BC'  và ABC bằng

góc giữa hai đường thẳng A M' và AM và bằng

góc A MA Theo giả thiết, ta có '  0

' 30

Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam

giác A BC' trên mặt phẳng ABC

' cos ' 8 cos30 4 3

ABC A BC

ACB  Góc giữa hai mặt phẳng A BC'  và ABC bằng 60 Tính theo a thể tích khối 0

lăng trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B C'

Lời giải

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC Khi đó do

'

AA  ABC nên BCA AH'  Suy ra A H' BC

và tam giác A AH' vuông tại H nên  0

Tam giác ABC vuông tại A nên ABACtanACBa 3

Diện tích tam giác ABC là

2

32

Tam giác B BK' vuông tại B có đường cao BI nên 12 1 2 12 252

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Khi đó theo

giả thiết thì B G' ABC Tam giác B BG' vuông tại

G nên B BG là góc nhọn '

BG là hình chiếu vuông góc của đường thẳng BB'

trên mặt phẳng ABC nên góc giữa đường thẳng BB'

và mặt phẳng ABC bằng góc giữa hai đường thẳng

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC Vì A A' A B' A C' nên các tam giác A HA A HB A HC bằng nhau Suy ra ' , ' , '

HAHBHC Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC Tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC

Gọi M là trung điểm của AB nên HM vuông góc với AB Suy ra AB vuông góc với A M' Mặt phẳng A AB'  cắt mặt phẳng ABC theo giao tuyến AB

Vậy góc giữa hai mặt phẳng A AB'  và ABC chính là góc A MH' nên  0

Nhận xét: Bài này điều quan trọng nhất là ta phải xác định được độ dài đường cao của hình lăng

trụ Dựa vào giả thiết ta thấy hình chóp A ABC' có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó bài toán trở nên đơn giản hơn

Ví dụ 25 (ĐH KB 2011)

Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy 1 1 1 1 ABCD là hình chữ nhật, ABa AD, a 3, hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng 1 ABCD trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng ADD A1 1 và ABCD bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ 0điểm B đến mặt phẳng 1 A BD1  theo a

Lời giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Suy ra A O1 ABCD

Ta có A ADD1 1 cắt mặt phẳng ABCD theo giao tuyến AD Gọi E là trung điểm của AD

Suy ra  

3.tan tan

2

ABCD A B C D ABCD

Ta có B C1 //A D nên 1 B C1 //A BD1  Suy ra d B 1;A BD1  d C A BD ; 1  

từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần linh hoạt lựa chọn cách tính (tính trực tiếp dựa vào cách xác định hình chiếu vuông góc hoặc tính gián tiếp dựa vào một điểm khác hoặc dựa vào công thức tính thể tích khối chóp)

3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SAa, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC và 1

4

AH  AC Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a

4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng SCD bằng 60 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD theo

a

a) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

b) Tính thế tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a

6 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

bằng 

a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a và 

b) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABCD theo 

c) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón có đỉnh trùng với đỉnh của hình chóp và đường tròn đáy của hình nón là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp trên

7 Cho hình chóp tam giác S ABC có AB5 ;a BC6 ;a AC7a Các mặt bên SAB SBC SCA , ,tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

8 (TN THPT 2010)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính thể tích khối chóp 0

BAC , tính thể tích khối chóp S ABC theo a

10 (HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2012 – 2013)

Cho hình chóp đều S ABC có SAa Gọi D E lần lượt là trung điểm của , SA và SC

a) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a , biết BD vuông góc với AE

b) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng  P đi qua AG cắt các cạnh SB SC lần lượt tại ,

M và N Gọi V V lần lượt là thể tích khối chóp 1, S AMN và S ABC Tìm giá trị lớn nhất của

1

V

V

11 (ĐH KA 2011)

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, ABBC2a, hai mặt phẳng

SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và

ABC bằng 60 Tính thể tích khối chóp 0 S BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

13 (CĐ KA 2008)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ABBCa,

2

AD a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,

SA và SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S BCNM theo a

14 (Thử sức trước kỳ thi, THTT tháng 11/2013)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh AB2 ,a BD 3AC, tam giác SAB

cân tại S và nằm trong mo vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M là trung điểm SD, góc giữa mặt phẳng AMC và ABCD bằng 30 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách giữa SB và CM

15 (Đề thi học kỳ lớp 12 tỉnh Ninh Bình năm học 2013 – 2014)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi M

là trung điểm của AB Biết AB8,BC và 3 SA 4

a) Tính thể tích khối chóp S ABCD

b) Tính số đo góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ABCD

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM

16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng SBC và SCD bằng 60 Tính theo a thể tích khối chóp 0 S ABCD

Bài tập về hình lăng trụ

1 (ĐH KB 2010)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có ABa, góc giữa hai mặp phẳng A BC'  và

ABC bằng 60 Gọi 0 G là trọng tâm tam giác A BC' Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

2 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông, ABBCa, cạnh bên

AA a Gọi M là trung điểm của cạnh BC', tính theo a thể tích của khối lăng trụ

' ' '

ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C'

3 (KTĐT HSG 12 trường THPT Gia Viễn B năm học 2012 – 2013)

Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ' ' ', có chiều cao bằng a và hai đường thẳng AB' và BC' vuông góc với nhau Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' theo a

4 (Thi thử ĐH năm học 2011 – 2012, trường THPT chuyên KHTN HN)

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác ABC cân tại C Biết rằng cạnh đáy AB2a ;  1

6 (Thi thử ĐH KD năm 2012, trường THPT Hà nội – Amsterdam)

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi I K lần lượt là trung điểm ,của A D' ' và BB' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IK và AD; tính thể tích khối tứ diện

IKAD theo a

7 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có các cạnh ABADAA'a; các góc phẳng tại đỉnh A

bằng 600 Tính thể tích khối hộp đó và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A C' '

tạo với mặt phẳng ABC một góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ 0 ABC A B C ' ' '

 PHƯƠNG PHÁP 2: Tính thể tích bằng cách phân tích các khối cần tính thành các khối cơ bản hoặc bằng cách so sánh thể tích với một khối cơ bản khác

Trong khi giải toán chúng ta có thể nhận thấy rằng nhiều bài toán không thể giải quyết một cách trực tiếp hoặc có giải quyết được nhưng rất phức tạp Một lẽ tự nhiên là, ta sẽ giải quyết bài toán đó thông qua một đối tượng tương tự như vậy có mối liên hệ đặc biệt nào đó với đối tượng chúng ta đang cần tính Chẳng hạn, tính góc giữa hai mặt phẳng được quy về tính góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể được quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, Và đối với bài toán tính thể tích khối đa diện cũng không phải là một ngoại lệ Việc tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ bằng cách áp dụng trực tiếp công thức đòi hỏi chúng ta phải xác định được độ dài chiều cao và tính được diện tích đáy Điều này không phải lúc nào cũng thuận lợi, có những bài tập việc xác định chiều cao gặp rất nhiều khó khăn hoặc xác định được chiều cao nhưng khi tính độ dài chiều cao thì không dễ dàng gì Vì vậy, chúng ta có thể dựa vào một khối chóp hoặc khối lăng trụ khác để tính thể tích của khối chóp hoặc khối lăng trụ đang cần tính Chúng tôi tam gọi đó là phương pháp tính gián tiếp

A Nội dung phương pháp

Để tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ dựa vào phương pháp gián tiếp, chúng ta có thể dựa vào một trong các hướng sau đây:

Hướng 1: Phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng của các khối cơ bản (khối chóp hoặc

khối lăng trụ) mà việc tính thể tích của các khối này dễ dàng và thuận lợi hơn nhiều

Hướng 2: Sử dụng tỷ số thể tích của hai khối Thông thường, chúng ta hay sử dụng các kết quả sau:

- Hai hình chóp có chung đáy hoặc có cùng diện tích đáy thì tỷ số thể tích bằng tỷ số hai chiều cao tương ứng

- Hai hình chóp có cùng độ dài chiều cao thì tỷ số thể tích bằng tỷ số hai diện tích đáy

- Cho hình chóp S ABC , trên các cạnh SA SB SC lần lượt lấy các điểm , , A B C , thì ta có: ', ', '

' ' '

' ' '

S A B C

S ABC

Công thức trên đây chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác Đối với các khối đa diện khác, nếu chúng

ta có nhu cầu sử dụng thì phải phân chia, lắp ghép để đưa về khối chóp

Ta có AB/ /CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng ABM và SCD là đường thẳng đi qua điểm

M và song song với CD Do M là trung điểm của SC nên N là trung điểm của cạnh SD

 Nhận xét: Trong ví dụ nói trên chúng ta không thể sử dụng công thức tỷ số thể tích trực tiếp cho

khối chóp S ABMN mà đã phân chia khối chóp này thành hai khối chóp tam giác S.ABN và S.NBM Bạn đọc cũng cần làm quen với cách phân chia này vì cách phân chia này thường hay được

sử dụng trong bài toán tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ một cách gián tiếp

 Ví dụ 27 (CĐ KA 2009)

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có ABa SA, a 2 Gọi M N và , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB và , CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP

Lời giải

Do S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên tam

giác SCD cân tại S Lại có SP là trung tuyến

 Ví dụ 28 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy,

G là trọng tâm tam giác SAC Mặt phẳng ABG cắt SC tại M , cắt SD tại N Tính thể tích của khối đa diện MNABCD, biết SAABa và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng

ABCD bằng 30 0

Lời giải

Trong mặt phẳng SAC, gọi M là giao điểm của

hai đường thẳng AG và SC Khi đó M là trung

điểm của cạnh SC

Do AB/ /CD nên giao tuyến của mặt phẳng

GAB với mặt phẳng SCD là đường thẳng đi

qua điểm M và song song với đường thẳng CD

Do đó N là trung điểm của cạnh SD

Kẻ NH / /SA H, AD thì H là trung điểm của

AD

Do SAABCD nên NH ABCD Suy ra

AH là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

AN trên mặt phẳng ABCD

Tam giác HAN vuông tại H nên  0

90

NAH Do đó góc giữa đường thẳng AN với mặt phẳng

ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng AN và AH và bằng góc NAH Suy ra  0

 Nhận xét chung: Trong các ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng tỷ số thể tích để tính thể tích Đồng

thời, trong một vài ví dụ cũng sử dụng nhận xét về tỷ số thể tích của hai khối đa diện có chung đáy (đã nêu ở trên) Khi giải toán, chúng ta cần linh hoạt, sáng tạo trong khâu lựa chọn phương pháp giải để có được lời giải ngắn gọn và tiết kiệm được thời gian

C Bài tập đề nghị

1 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , SAa và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi M N tương ứng là hình chiếu vuông góc của , A trên SB SC Tính thể ,tích khối chóp A BMNC theo a

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a Mặt phẳng  P qua A và vuông góc với SC cắt SB SC SD lần lượt tại , ,', ', '

4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' đáy là hình vuông cạnh a , chiều cao AA'b Gọi

M là trung điểm của cạnh CC' Tính thể tích khối tứ diện BDA M' theo a

5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ABBC a,

a) Xác định thiết diện tạo bởi MNP với hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '

b) Tìm tỷ số thể tích hai phần của khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' bị chia bởi thiết diện nói trên

 PHƯƠNG PHÁP 3: Tính thể tích bằng cách bổ sung thêm khối đa diện hoặc lồng vào một khối đa diện khác

A Nội dung phương pháp

Đây cũng là một phương pháp tính thể tích khối đa diện một cách gián tiếp Đối với phương pháp này, chúng ta cần thiết kế (phải tạo ra) một khối đa diện liên kết với khối đa diện đang cần tính thể tích sao cho khối đa diện vừa thiết kế phải thỏa mãn được hai yêu cầu:

- Dễ dàng tính được thể tích của khối đa diện vừa thiết kế

- Từ thể tích khối đa diện vừa thiết kế ta có thể xác định được thể tích khối đa diện đang cần tính thể tích

Một cách thông thường là chúng ta bù thêm vào bên ngoài khối đó để được một khối đa diện mới dễ dàng tính được thể tích Sau khi tính được thể tích khối đa diện vừa thiết kế và tính được thể tích khối bù thêm, chúng ta có thể suy ra được thể tích khối đa diện ban đầu Các khối chóp mà ta

dễ dàng tính được thể tích như: khối chóp tam giác có cạnh bên vuông góc với đáy, khối chóp tam giác đều hoặc từ khối tứ diện thiết lập ra khối lăng trụ

B Các ví dụ minh họa

 Ví dụ 29 (HSG lớp 12 tỉnh Ninh Bình năm học 2008 – 2009)

Tính thể tích khối tứ diện gần đều ABCD có ABCDa AC; BDb; ADBCc

Lời giải

Xây dựng tứ diện APQR sao cho , , B C D lần

lượt là trung điểm của QR RP PQ , ,

Khi đó ta có 1

2

ADBC PQ Mặt khác AD

là trung tuyến của tam giác APQ nên tam giác

APQ vuông tại A

Tương tự, tam giác QAR và RAP cũng vuông

tại A Suy ra APQR là tứ diện vuông tại A

ABCD

 Nhận xét: - Trong trường hợp này, chúng ta đã thiết lập khối tứ diện vuông APQR lồng vào

khối tứ diện ABCD Việc tính thể tích khối tứ diện APQR có phần dễ dàng và đơn giản hơn nhiều Đồng thời, khối tứ diện ABCD cũng có mối liên hệ trực tiếp với khối tứ diện APQR

- Thông qua việc tạo ra tứ diện vuông, chúng ta dễ dàng tính được góc giữa hai đường thẳng chéo

nhau chứa các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD Đồng thời, cũng tính được chiều cao của hình tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A (chiều cao của tứ diện ABCD kẻ từ các đỉnh khác được tính tương tự) Bạn đọc có thể kiểm chứng điều này và so sánh với cách tính trực tiếp chiều cao của tứ diện ABCD

 Ví dụ 30 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A A'  A B' A C' 2a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tính thể tích khối chóp A BCC B' ' ' theo a

Lời giải

Từ giả thiết ta có A ABC' là hình chóp tam giác

đều Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

116

tích

C Bài tập đề nghị

1 Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BB' và CC' Giả sử thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là V , tính thể tích khối chóp A BCC B' ' ' theo V

S AB C theo a

b) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a b và c ,

 PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp toạ độ hóa

Trong khi giải toán về hình học không gian, có ba phương pháp thường được sử dụng để giải Đó là, phương pháp sử dụng thuần túy hình học, phương pháp sử dụng vectơ và phương pháp tọa độ (đại số hóa hình học) Các bài toán hình học không gian nếu được tọa độ hóa sẽ giúp chúng

ta nghiên cứu chính xác hơn các đặc điểm, tính chất của các điểm, các hình Đồng thời, cũng giúp cho người học dễ dàng giải quyết hơn yêu cầu của bài toán

Vậy dấu hiệu nào giúp chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa và cách thức chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học thuần túy sang ngôn ngữ tọa độ ra sao, chúng ta cùng tìm hiểu thông qua nội dung của phương pháp này

A Nội dung phương pháp

Để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa, chúng ta có thể tiến hành theo các bước dưới đây:

Bước 1: Phân tích bài toán để lập hệ trục tọa độ (nên chọn hệ trục tọa độ sao cho việc xác định tọa

độ của các điểm đã cho đơn giản nhất)

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ tọa độ

Một số quy tắc chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ véctơ, tọa độ như sau:

- Ba điểm phân biệt A B C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực , , k sao cho ABk AC hay tọa

(nếu A nằm trong đoạn BC)

Bước 3: Giải bài toán về tọa độ, phương trình

Một số công thức tính toán liên quan đến véctơ:

Diện tích tam giác ABC: 1 ,

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Chú ý: Việc tính thể tích của khối chóp hoặc khối lăng trụ, chúng ta có thể kết hợp giữa hình học

không gian tổng hợp với phương pháp tọa độ để có được lời giải ngắn gọn và tối ưu Để tính thể tích của khối chóp hoặc khối lăng trụ thì cần xác định được diện tích đáy và chiều cao (thông thường chiều cao được xác định bằng cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng) Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thường được quy về cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia)

B Các ví dụ minh hoạ

 Ví dụ 31 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABADa AA; ' , b a b , 0 Gọi

M là trung điểm của cạnh CC' Tính thể tích khối chóp A BDM' theo a và b

 Nhận xét: Ở ví dụ này, phương pháp toạ độ cho lời giải đơn giản hơn cách thông thường vì theo

cách thông thường việc xác định đường cao và tính độ dài đường cao cũng khá vất vả Bạn đọc có thể kiểm chứng điều này Ngoài cách giải nêu trên, cũng bằng phương pháp tọa độ chúng ta có thể tính thể tích khối chóp theo công thức liên quan đến tích có hướng của hai vectơ

Ví dụ 32 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,các cạnh A D' ' và BB' Trọng tâm của các tam giác B BC' và tam giác CC D' ' lần lượt là P và

Q Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a

 Nhận xét: Bài toán trên mà ta đi tính thể tích khối tứ diện MNPQ bằng công thức trực tiếp thì

rất khó khăn Ta thấy khối tứ diện MNPQ treo ở giữa khối lập phương trên, việc sử dụng phương pháp toạ độ cho chúng ta lời giải khá nhẹ nhàng

 Ví dụ 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt đáy và OA2;OB1;SO2 2 Gọi M

là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng ABM cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó

0; 0; 0 , 2; 0; 0 , 0;1; 0

O A B và S0;0; 2 2

Khi đó C2; 0; 0 , D 0; 1;0 

Do AB/ /CD nên mặt phẳng MAB cắt mặt

phẳng SCD theo giao tuyến là đường thẳng đi

qua M và song song với CD Vì vậy, giao điểm

N của mặt phẳng MAB với cạnh SD là trung

 Nhận xét: Bài toán trên chúng ta cũng có thể tính khối chóp S ABMN bằng cách: Tính thể tích

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; ABAD2 ,a

CDa; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 Gọi 0 I là trung điểm của cạnh

AD Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD, tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

Khi đó SI AD IJ đôi một vuông góc với nhau , ,

và đồng quy tại I Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

 Nhận xét: - Việc tọa độ hóa trong ví dụ này nhằm giải quyết khó khăn trong khâu xác định góc

giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD Đồng thời, xác định được độ dài chiều cao của hình chóp

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, trong đó

A thuộc tia Ox, SO0;0; 0, B thuộc mặt phẳng Oxy với phần tư có hoành độ và tung

độ dương, C có cao độ dương Ta có A a ; 0; 0 Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,

B trên Ox Oy ,Tam giác SHB vuông tại H và  0

 

làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P là 2c 6y c 3b 3z 0

- Bằng cách làm tương tự, bạn đọc hãy giải quyết bài toán tổng quát: “Cho tứ diện SABC có

SAa; SBb SC;  và c ASB;BSC;CSA Tính thể tích khối tứ diện  SABC”

C Bài tập đề nghị

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật và ABa AD; a 2;SAa và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của MB và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB theo a

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; BABC a;

AD a SAa và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối tứ diện SBCD

và chứng minh SC vuông góc với CD

3 (ĐH khối B năm 2008)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAa SB, a 3 và mặt phẳng

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB BC Tính ,theo a thể tích của khối chóp S BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM DN ,

4 (ĐH khối B năm 2010)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có ABa, góc giữa hai mặt phẳng A BC'  và

ABC bằng 60 Gọi 0 G là trọng tâm của tam giác A BC' Tính thể tích lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

7 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh

'

AA và BC; P và Q lần lượt là trọng tâm của tam giác AA D' và tam giác C BD' Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a

8 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M là điểm trên cạnh AB, N thuộc D C' '

sao cho AMD N' a Tính thể tích khối chóp B A MCN' ' theo a và xác định vị trí của điểm

M để khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng A MCN'  đạt giá trị lớn nhất