10 chuyên đề toán ôn thi đại học trên báo tuổi trẻ

CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ PHẲNG Trong toán tọa độ mặt phẳng thường gặp yêu cầu tìm tọa độ điểm, vectơ, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc hai vectơ, quan hệ phương vuông góc hai vectơ, điểm thẳng hàng Ta vận dụng kiến thức sau đây: Cho a = ( a1 , a ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù: a= b ⇔ ⎧a1 = b1 ⎨ ⎩a = b2 a + b = ( a1 + b1 , a + b2 ) a – b = ( a1 - b1 , a - b2 ) k a = (k a1 , k a ) (k ∈ R) α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a + β b2 ) a b = a1 b1 + a b2 Với quan hệ độ dài ta có: a = ( a1 , a ) ⎧A ( xA , y A ) ⎪ ⇒ ⎨ ⎪B ( x B , y B ) ⎩ vaø a = ⇒ a12 + a 22 AB = ( xB – x A , y B – y A ) AB = ( xB - xA ) + ( yB - yA ) Với quan hệ phương vuông góc ta coù: a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a b2 = a phương b ⇔ sin( a, b) = ⇔ a1 b2 – a b1 = ⇔ A, B, C thẳng hàng a1 a = b1 b2 ⇔ ( b1 , b2 ≠ 0) AB phương AC xB - x A y B - y A ⇔ xC - x A y C - y A =0 Với việc tìm góc hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo hai vectơ a , b suy từ công thức: cos( a, b ) = a1b1 + a b2 a.b (1) - Số đo góc định hướng hai vectơ a , b (1) suy thêm từ hai công thức: sin( a, b) = tg( a, b) = a1b2 - a2 b1 a b a1b2 - a2 b1 a1b1 + a2 b2 Ngoaøi toán tọa độ phẳng ta áp dụng kết sau đây: M( x M , y M ) trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ x ⎧ xM = A ⎪ ⎪ ⎨ ⎪y = y A ⎪ M ⎩ + xB + yB G( x G , y G ) trọng tâm Δ ABC ⇔ x A + x B + xC ⎧ ⎪ xG = ⎪ ⎨ y A + yB + yC ⎪y = ⎪ G ⎩ I( x I , y I ) vaø J( x J , y J ) chân đường phân giác góc A Δ ABC thì: IB JB AB = − = − AC IC JC Với A( x A , y A ), B( xB , y B ), C( xC , yC ) diện tích tam giác ABC là: S= Ví dụ 1: Δ với Δ = xB - x A y B - y A xC - x A y C - y A Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2) a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B b) Tìm tọa độ điểm M để AM + BM - CM = c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE hình thang có cạnh đáy AB E nằm Ox d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng Giải a) D điểm đối xứng A qua B ⇔ B trung điểm AD ⇔ xA + xD ⎧ ⎪x B = ⎪ ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪ B ⎩ ⇔ ⎧ x D = 2x B − x A = ( ) − = − ⎪ ⎨ ⎪ y D = 2y B − y A = ( ) + = ⎩ b) Ta coù: hay D(–2, 7) AM + BM – CM = = ( 0, ) ⇔ ⎧2 ( x M − ) + ( x M − ) − ( x M − ) = ⎪ ⎨ ⎪2 ( y M + 1) + ( y M − ) − ( y M − ) = ⎩ ⇔ ⎧x M = − 12 ⎨ ⎩y M = − hay M(–12, –1) c) ABCE hình thang có đáy AB E nằm Ox ⇔ ⎧yE = ⎪ ⎨ ⎪CE // ΑΒ ⎩ ⇔ ⎧yE = ⎪ ⎨ xE - yE - ⎪ 0-2 = 3+1 ⎩ ⇔ ⎧yE = ⎨ ⎩ xE = hay E(5, 0) ⇔ ⎧ AH.BC = ⎪ ⎨ ⎪BH.AC = ⎩ d) H trực tâm Δ ABC ⇔ ⎧ AH ⊥ BC ⎨ ⎩BH ⊥ AC treân ⇔ ⎧( x H − )( − ) + ( y H + 1)( − 3) = ⎪ ⎨ ⎪( x H − )( − ) + ( y H − 3)( + 1) = ⎩ ⇔ 18 ⎧ xH = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪y = ⎪ H ⎩ ⎧4 xH − y H − = ⇔ ⎨ ⎩2 xH + 3y H − = ⎛ 18 ⎞ hay H ⎜ , ⎟ ⎝ 7⎠ G laø trọng tâm Δ ABC ta có: x A + x B + xC + + ⎧ = =2 ⎪ xG = ⎪ 3 ⎨ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + + = ⎪ G 3 ⎩ ⎛ 4⎞ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎝ 3⎠ + I tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⎧IA = IB2 ⎪ ⎨ 2 ⎪IA = IC ⎩ ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎧( − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( − x I )2 + ( − y I )2 ⎪ ⎨ 2 2 ⎪( − x I ) + ( −1 − y I ) = ( − x I ) + ( − y I ) ⎩ ⇔ ⎧−4x I + 8y I − = ⎨ ⎩4 xI + y I − 15 = ⇔ 24 12 ⎧ ⎪ x I = 14 = ⎪ ⎨ ⎪ y = 19 ⎪ I 14 ⎩ ⇔ hay ⎛ 12 19 ⎞ I⎜ , ⎟ ⎝ 14 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ e) Ta coù : HG = ⎜ − , ⎟ vaø HI = ⎜ − , ⎟ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⇒ = 21 = − 14 − ⇒ HG phương với HI ⇒ H, I, G thẳng hàng Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, ), B(1, 3 ), C (-1, ) Tính cos ( AO , AB ) diện tích tam giác ABC Giải Ta có: AO = (–2, –2 ), AB = (–1, cos( AO , AB ) = ) = ( a1;a2 ) 2−6 = − + 12 + AC = (–3, – ) = = ( b1; b2 ) ⇒ S ABC = 1 a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − ) − ( −3 ) = 2 *** CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG Các toán phần đường phương trình đường thường yêu cầu xác định quỹ tích điểm mặt phẳng tọa độ theo điều kiện cho trước, quỹ tích đường mà ta phải tìm phương trình dựa vào định nghóa: F(x, y) = phương trình đường (L) ta có : M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ F( x M , y M ) = Nếu M ∈ (L) M có tọa độ phụ thuộc tham số t: ⎧x = f ( t ) ⎪ ⎨ ⎪y = g ( t ) ⎩ (t ∈ R) phương trình tham số đường (L) Từ phương trình tham số, ta khử t trở dạng F(x, y) = Lưu ý việc giới hạn quỹ tích tuỳ theo điều kiện cho đầu Ví du1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2) Tìm quỹ tích điểm M để ( MA + MB ) AB = Giải Gọi (L) quỹ tích phải tìm M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ ( MA + MB ) AB = ⇔ [ (2 – x M ) + (–3 – x M ) ] (–3 – 2) + (1 – y M + – y M ) (2 – 1) = ⇔ + 10 x M + – y M = ⇔ 10 x M – y M + = ⇔ M( x M , y M ) có tọa độ thỏa phương trình F(x, y) = 10x – 2y + = Vậy quỹ tích phải tìm đường thẳng (L) có phương trình 10x – 2y + = Ví dụ 2: Lập phương trình quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox qua điểm A(1, 2) Giải Gọi (L) quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox qua điểm A(1, 2) I( x I , y I ) ∈ (L) ⇔ I tâm đường tròn qua A(1, 2) tiếp xúc với Ox M ⇔ ⎧IM ⊥ Ox taïi M ⎨ ⎩IM = IA ⇔ ⎧ x M − x I = vaø y M = ⎪ ⎨ 2 ⎪ ( xM − xI ) + ( y M − y I ) = ⎩ ⇔ x I2 – x I – y I + = ⇔ I( x I , y I ) có tọa độ thỏa phương trình ( xA − xI ) + ( y A − yI ) 2 F(x, y) = x2 – 2x – 4y + = Đó phương trình quỹ tích phải tìm (Parabol) *** CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình đường thẳng ( Δ ) ta cần phải biết: 1) (Δ) qua điểm M0(x0, y0) có vectơ phương a = (a1, a2) có: ⎧ x = x0 + ta1 Phương trình tham số : ⎨ ⎩ y = y + ta Phương trình taéc : (t ∈ R) x − x0 y − y0 = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Từ phương trình tắc ta đổi thành dạng phương trình tổng quát : (A2 + B2 > 0) Ax + By + C = 2) (Δ) qua điểm M0(x0, y0) có pháp véctơ (a,b) có phương trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 3) i) Phương trình đường thẳng mặt phẳng có dạng Ax + By + C = với A2 + B2 > (1) ii) Phương trình đường thẳng mặt phẳng có dạng x = x0 y = kx + m (2) Ta dễ dàng thấy (1) (2) tương đương + (2) ⇔ kx –y + m = ⇒ (2 ) thoûa (1) với A = k, B = - , C = m + Neáu B = ⇒ x = − daïng y = kx + m C A , có dạng x = x0 với x0 = − C A C Neáu B ≠ ⇒ y = − x − , coù A B B 3) ( Δ ) qua hai điểm A(xA, yA), B(xB, yB) có phương trình : x − xA y − yA = neáu ( xB − xA ) ( yB − yA ) ≠ xB − x A yB − yA Neáu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox B(0, b) ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( Δ ) có đoạn chắn a, b với phương trình: x y + =1 a b * Ghi chú: Nếu đề toán yêu cầu ta viết phương trình đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình dạng tổng quát lưu ý : (Δ) : Ax + By + C = ( Δ ) có : pháp vectơ n = (A, B) vectơ phương a = (–B, A) hệ số góc k = tg( Ox , Δ ) = − A B ( Δ′ ) // ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = ( Δ′ ) ⊥ ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = Ta tìm C0 biết thêm điểm nằm ( Δ′ ) Ngoài viết phương trình đường thẳng ( Δ ) theo hệ số góc k, toán bị thiếu nghiệm trường hợp ( Δ ) ⊥ x′ x (hệ số góc k không tồn tại), ta phải xét thêm trường hợp ( Δ ) có phương trình x = C để xem đường thẳng ( Δ ) có thỏa mãn điều kiện đầu không Ghi - Nếu n = (A, B) pháp véc tơ đường thẳng ( Δ ) k n = (kA, kB) pháp véc tơ ( Δ ) với số thực k ≠ - Nếu a = ( a1 ,a2 ) véc tơ phương đường thẳng k a = ( ka1 ,ka2 ) véc tơ phương ( Δ ) với số thực k khác II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = Đặt : ( Δ ) D= A1 B1 A2 B2 ; Dx = B1 C1 B2 C2 ; Dy = C1 A1 C2 A2 : Dx ⎧ ⎪ xI = D ⎪ D ≠ ⇔ (d1) cắt (d2) I ⎨ ⎪ y = Dy ⎪ ⎩ D D = vaø Dx ≠ hoaëc Dy ≠ D = Dx = Dy = ⇔ (d1) // (d2) ⇔ (d1) ≡ (d2) với A2, B2, C2 ≠ ta có : A1 B ≠ B2 A2 A1 B C = ≠ B2 C2 A2 B1 C1 B2 C2 ⇔ (d1) // (d2) A1 B C = = B2 C2 A2 Ghi ⇔ (d1) cắt (d2) ⇔ (d1) ≡ (d2) = − C1 B1 C2 B2 ; C1 A1 C2 A2 = − A1 C1 A2 C2 III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc hai đường thẳng, ta gọi α góc nhọn tạo hai đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = cos α = (d2) : A2x + B2y + C2 = A1A + B1B2 A12 + B12 A 2 +B2 IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thaúng (Δ) : Ax + By + C = ta áp dụng công thức : - Tìm điểm A d1 - Khoảng cách d1 d2 khoảng cách từ điểm A đến d2 Bài toán : Tính khoảng cách mặt phaúng song song α : Ax + By + Cz + D1 = Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = Phương pháp : Khoảng cách α β cho công thức : d(α, β) = D1 − D2 A + B2 + C Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng chéo d1 d2 Phương pháp : - Cách : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 song song với d2 + Tìm điểm A d2 + Khi d(d1, d2) = d(A, α) - Cách : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 song song với d2 + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 song song với d1 + Khi d(d1, d2) = d(α, β) Ghi : Mặt phẳng α β mặt phẳng song song với chứa d1 d2 - Cách : + Viết dạng phương trình tham số theo t + Viết d2 dạng phương trình tham số theo t2 + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1 + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2 + Tìm vectơ phương → → a1, a2 d1 d2 ⎧ → → ⎪ AB ⊥ a1 + AB đoạn vuông góc chung d1, d2 ⇔ ⎨ → → tìm t1 t2 ⎪ AB ⊥ a ⎩ + Khi d(d1, d2) = AB Vấn đề GÓC Cho đường thẳng d d’ có phương trình : d: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c d’ : x − x0 y − y0 z − z0 = = a' b' c' Cho mặt phẳng α β có phương trình : α : Ax + By + Cz + D = β : A’x + B’y + C’z + D’ = Góc hai đường thẳng d d’ : cos ϕ = aa'+ bb'+ cc' a + b + c a' + b ' + c ' 2 Góc hai mặt phẳng α β : cos ϕ = AA'+ BB'+ CC' A + B2 + C A' + B' + C' Góc đường thẳng d mặt phẳng α : sin ϕ = Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c Chú ý : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = -α⊥β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = - d song song (hoaëc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng α β có phương trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = β : A2x + B2y + C2z + D2 = → → Goïi n1 = (A1, B1, C1 ), n = (A , B2 , C ) pháp vectơ mặt phẳng M điểm mặt phẳng α → → - α cắt β ⇔ n1 n không phương - α song song β ⎧ ⇔ ⎪ n1 vaø n phương ⎨ - α trùng β ⇔ → → ⎪ M ∉β ⎩ → ⎧→ ⎪ n1 n phương ⎨ ⎪ ⎩ M ∈β Nếu A2, B2, C2, D2 ≠ ta có cách khác : - α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - α song song β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C D2 - α truøng β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C D2 Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2 + Hệ có nghiệm : d1 cắt d2 + Hệ có vô số nghiệm : d1 d2 trùng + Hệ vô nghiệm : → → → → a d1 vaø a d a d1 vaø a d phương : d1 // d2 không phương : d1 d2 chéo - Cách : → → + Tìm vectơ phương a d1 , a d2 d1 d2 + Tìm điểm A ∈ d1 vaø B ∈ d2 → → a) a d1 a d phương A ∈ d : d1 ≡ d A ∉ d : d1 / / d → → b) a d1 a d không phương ta có: i) neáu ⎡ ad1 , ad2 ⎤ AB = d1,d2 cắt ⎣ ⎦ ⎡ ad1 , ad2 ⎤ AB ≠ d1,d2 chéo ⎣ ⎦ ii) Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng α + Hệ vô nghiệm : d // α + Hệ có nghiệm : d cắt α + Hệ vô số nghiệm : d⊂α - Cách : → → Tìm vectơ phương a d, pháp vectơ n α tìm điểm A ∈ d → → → → → → → + a n ≠ ( a không vuông góc n ) : d cắt α → + a n = ( a ⊥ n ) A ∉ α: d / / α A ∈ α: d ⊂ α Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D) ⎧ x − 2z = ⎨ ⎩3x − 2y + z − = vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + = Giaûi Phương trình tham số (D) viết ⎧ x = 2t ⎪ ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ ⎪z = t ⎩ Mặt phẳng (Q) chứa (D) vuông góc (P) qua điểm M ( 0, − , ) ∈ (D) vaø có cặp vectơ phương a = n = (1, –2, 1) (pháp vectơ (P)) ( 2, ⎛ −2 1 −2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ Do đó, pháp véctơ ( Q) n1 = ; ; ⎟= ⎜ 1 2 ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ = (– 11, 2, 15) 10 ,1 ) (vectơ phương (D) Vậy phương trình (Q) viết –11x + ( y + ) + 15z = ⇔ 11x – 2y - 15 z – = Cách khác: Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) vuông góc (P) có dạng: x-2z = (loại) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= Vậy pt (Q) có dạng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – = (Q) vuông góc với (P) nên ta có: m + + + 1- m= ⇒ m = Vậy pt mp (Q) là: 11x – 2y - 15 z – = Ví dụ 2: Xác định tham số m n để mặt phaúng 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình : α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = Giải Chùm mặt phẳng có phương trình α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = chứa đường thẳng (D) có phương trình : ⎧3x − y + z − = ⎨ ⎩ x − y − 2z + = Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng (P) chứa (D) nghóa ⎛ 18 ⎞ ⎛ 31 ⎞ chứa điểm A ⎜ , 0, ⎟ , B ⎜ , , ⎟ ∈ (D) Điều kiện để (P) chứa A, B m, n thỏa hệ phương ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪ + + m = ⎪ ⎨ ⎪5 31 + n + m = ⎪ 10 10 ⎩ ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5 Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thaúng: ⎧x − y + z − = Δ1 : ⎨ vaø Δ2 : ⎩x + y − z + = ⎧x = + t ⎪ ⎨y = + t ⎪z = + t ⎩ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 song song với đường thẳng Δ2 11 b) Cho điểm M (2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ BÀI GIẢI: a) (P) chứa Δ1 // Δ2 a Δ1 = (2, 3, 4); a Δ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0) [ ] Mặt phẳng (P) có pvt aΔ1 , aΔ =(2, 0, −1) (P) : 2x – z = b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Gọi (Q) mặt phẳng qua M vuông góc với Δ2 Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2 Do MH a Δ = ⇒ t = Vaäy điểm H (2, 3, 3) Ví dụ 4: ( ĐH KHỐI B-2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M,N,P trung điểm cạnh BB1, CD,A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N BÀI GIẢI: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho ta coù : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) Suy M (a, 0, a ); N ( a , a, 0); P (0, a , a) a) A B = (a, 0, −a) B1 D = (−a, a, −a) Goïi (P) laø mp qua B1D vaø (P) // A1B ⇒ (P) có pháp vectơ n = (1, 2, 1) ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = a a a (− a , 0, −a) b) MP = (−a, , ) C1 N = Ta coù : MP C1 N = ⇒ MP ⊥ C1N Vậy góc MP C1N 900 Ví dụ5 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + = đường thẳng dm : ⎧(2 m + 1)x + (1 − m )y + m − = ⎨ ⎩mx + (2 m + 1)z + m + = (m tham số) Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) BÀI GIẢI: vectơ phương (dm) laø : 2 a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m)) pvt (P) n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a n = ⇔ −4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) = ⇔ 6m + = ⇔ m = − 12 Ví dụ ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0) Goïi M trung điểm CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b a b Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b BÀI GIẢI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0) A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a, b ) b a) BD = (−a,a,0) ; BA ' = (−a,0, b) ; BM = (0,a, ) ⇒ ⎡ BD,BA'⎤ = (ab,ab,a2 ) ⎣ ⎦ 2 1 ab 3a b a b ⇒ V= ⎡BD,BA'⎤ BM = (a2 b + ) = = (ñvtt) ⎣ ⎦ 6 12 b) (A’BD) có vectơ pháp tuyến ⎡ BD,BA'⎤ = (ab,ab,a2 ) hay n = (b, b,a) ⎣ ⎦ (MBD) coù vectơ pháp tuyến ⎡ BD,BM ⎤ = ( ab , ab , −a2 ) hay m = (b, b, −2a) ⎣ ⎦ 2 Ta coù : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ m n = ⇔ b2 + b2 – 2a2 = ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔ a =1 b Ví dụ ( ĐH KHỐI B-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) điểm C cho AC = (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA BÀI GIẢI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8) ⎧x C = ⎪ AC = (0; 6; 0) ⇔ ⎨y C = ⇔ C (2; 6; 0) I trung điểm BC ⇒ I (1; 3; 4) ⎪z = ⎩ C ⎧x = t ⎪ Pt tham soá OA : ⎨y = ⎪z = ⎩ (α) qua I ⊥ OA = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = ⇔ x – = Tọa độ {H} = OA ∩ (α) thỏa : ⎧x = ⎧ x = t,y = 0,z = ⎪ ⇔ ⎨y = Vaäy H (1; 0; 0) ⎨ x −1 = ⎩ ⎪z = ⎩ d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧ x + 3ky − z + = thaúng d k : ⎨ ⎩kx − y + z + = Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + =0 BÀI GIẢI: n1 = (1, 3k, −1); n = (k, −1, 1) 13 ad = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) nP = (1, −1, −2) dk ⊥ (P) ⇔ ad phương nP ⎧k = 3k − − k − −1 − 3k ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ = = ⇔k=1 −1 −2 ⎪k = ∨ k = − ⎩ Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN BÀI GIẢI: Cách 1: S N M C H D a) O B A GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = Ta coù OM // SA ⇒ Góc (SA, MB) OMB OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM ⇒ tgOMB = ΔOBM coù tg OMB = OB OM ⇒ OMB =300 Veõ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM vaø OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB) ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = b) (ABM) ∩ SD = N ⇒ N trung điểm SD VSBMN SM SN 1 = = ⇒ VSMNB = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD Tương tự: VSABN = VSABCD Vậy: VSABMN = VSMNB + VSABN = VSABCD 1 = AC.BD.SO = 4.2.2 = (ñvtt) 16 Ta có: Cách 2: a) O trung điểm BD ⇒ D (0; −1; 0) O trung điểm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M trung điểm SC ⇒ M (−1;0; 2) 14 SA =(2; 0;- 2 ); BM = (−1; −1; 2) Goïi ϕ góc nhọn tạo SA BM cosϕ = −2 + − 4 + 1+1+ = ⇒ ϕ = 300 Goïi (α) mp chứa SA // BM ⇒ PT (α) : 2x + z − 2 = 2x + 2y + 3z − 2 = Ta coù d(SA, BM) = d(B, α) = b) Pt mp(ABM): ⎧x = ⎪ Pt tham soá SD: ⎨y = −1 + t (t ∈ R) ⎪ ⎩z = 2t N laø giao điểm SD mp (ABM) ⇒ N (0; − ; 2) BS = (0; −1;2 2) ; BA = (2; −1;0) BN = (0; − ; 2) ; BM = (−1; −1; 2) ⎡ BS,BN ⎤ = (2 2;0;0) ; ⎡ BS,BN ⎤ BA = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ BS.BN ⎤ BM = −2 ⎣ ⎦ 1 VSABMN= VSABN + VSBNM = + 2 = (ñvtt) 6 Ví dụ 10 ( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 Biết A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) a > 0, b > a) Tính khoảng cách đường thẳng B1C AC1 theo a, b b) Cho a, b thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách đường thẳng B1C AC1 lớn BÀI GIẢI: a) C1 (0; 1; b) Gọi (α) mặt phẳng chứa B1C song song với AC1 B1C = (a;1; − b) ; C1A = (a; −1; − b) Suy ra: ⎡ B1C,C1A ⎤ = (−2b;0; −2a) ⎣ ⎦ Suy ptrình (α): b(x − 0) + 0(y − 1) + a(z − 0) = ⇔ bx + az = Ta coù: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)= ab a +b ab = a + b2 b) Cách 1: Ta có: d= ab a +b ≤ ab 2ab = ab ≤ a+b 2 = 2 = ⎧a = b ⎪ Max d ⇔ d = ⇔ ⎨a + b = ⇔ a = b = ⎪a > 0, b > ⎩ 15 Caùch 2: d = ab 16 − 2ab ⎛a+b⎞ , đặt x = ab, đk < x ≤ x = ab ≤ ⎜ ⎟ =4 ⎝ ⎠ Xeùt f(x) = x 16 − 2x f’(x) = 16 − x (16 − 2x)3 > ∀x ∈ (0; 4] ⇒ d đạt max x = ab = ⇒ a = b = (vì a + b = 4) Ví dụ 11 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ⎧ x = −3 + 2t ⎪ A (-4; -2; 4) đường thẳng d : ⎨ y = − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d BÀI GIẢI: Cách 1: A (−4; −2; 4) ⎧x = −3 + 2t ⎪ (d) : ⎨y = − t ⎪z = −1 + 4t ⎩ Laáy M (−3+2t; – t; −1 + 4t) ∈ (d) ⇒ AM = (1 + 2t; – t; −5 + 4t) Ta coù: AM ⊥ (d) ⇔ AM ad = (với ad =(2; −1; 4)) ⇔ + 4t – + t – 20 + 16t = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = Vậy đường thẳng cần tìm đt AM qua A có VTCP AM =(3;2;−1) ⇒ phương trình (Δ) : x+4 y + z − = = −1 Cách 2: Gọi (α) mp qua A chứa d ,Gọi (β) mp qua A ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1); ad = (2; −1; 4) (α) qua A (−4; −2; 4) (α) coù caëp VTCP : ⎧ ad = (2; −1;4) ⎪ ⇒ n (α ) = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1) ⎨ ⎪AB = (1;3; −5) ⎩ Pt mp (α) : x – 2y – z + = ⎧(β ) qua A (-4; -2; 4) ⎪ ⎨ ⎪(β ) ⊥ (d) → n ( β ) = ad = (2; −1;4) ⎩ ⎧ x − 2y − z + = ⎩2x − y + 4z − 10 = Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = Pt (Δ) : ⎨ Ví dụ 12 ( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: d: x −1 y + z − = = mặt phaúng (P) : 2x + y – 2z + = −1 a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng Δ nằm mặt phẳng (P), biết Δ qua A vuông góc với d ⎧x = − t ⎪ BÀI GIẢI: a) Phương trình tham số d : ⎨y = −3 + 2t (t∈ R) ⎪z = + t ⎩ 16 I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t) Ta coù : d (I, (P)) = ⇔ | − 2t − + 2t − − 2t + | =2 +1+ ⎡ t = −2 Suy : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; ; 7) ⎣t = ⇔ | − t |= ⇔ ⎢ b) Thế phương trình d vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình d, ta x = 0; y = -1; z = Suy A (0; -1 ; 4) Vectơ phương d : a = (−1;2;1) Vectơ pháp tuyến (P): n = (2;1; −2) Suy vectơ phương Δ : [a, n] = (−5; 0; − 5) hay (1; 0; 1) Mặt khác Δ qua A nên phương trình tham số Δ : ⎧x = t ' ⎪ (t’∈ R) ⎨ y = −1 ⎪z = + t ' ⎩ Ví dụ 13 ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a) Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài MN BÀI GIẢI: a) Hình chiếu A1 xuống mp (Oxy) A ⇒ A1(0; -3; 4) Hình chiếu C1 xuống mp (Oxy) C ⇒ C1(0; 3; 4) Cặp véc tơ phương (BCC1B1) : BC = (−4;3;0) BB1 = (0;0;4) Suy véc tơ pháp tuyến (BCC1B1) : n = ⎡ BC, BB1 ⎤ = (12; 16; 0) hay m = (3; 4; 0) ⎦ ⎣ Mặt khác (BCC1B1) qua B nên có phương trình: 3(x – 4) + 4y + 0z = ⇔ 3x + 4y – 12 = Bán kính mặt cầu : − 12 − 12 24 R = d (A, (BCC1B1)) = = + 16 Suy phương trình mặt cầu : x2 + (y + 3)2 + z2 = 576 25 b) M trung điểm A1B1 ⇒ M (2; − ; 4) Mp (P) coù cặp véc tơ phương AM = (2; ;4) BC1 = (−4;3;4) ⇒ véc tơ pháp tuyến mp (P): n P = ⎡ AM; BC1 ⎤ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) ⎦ ⎣ Maët khác (P) qua A nên có phương trình : x + 4(y + 3) – 2z = ⇔ x + 4y – 2z + 12 = A1C1 qua A1 có véc tơ phương A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) ⎧x = ⎪ nên có phương trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R) ⎪z = ⎩ 17 Thế phương trình A1C1 vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình (A1C1) ta x = 0, y = −1, z = ⇒ N (0; −1; 4) 17 vaø MN = (0 − 2)2 + (−1 + )2 + (4 − 4) = 2 Ví dụ 14 ( ĐH KHỐI D-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : x −1 y + z +1 ⎧x + y − z − = = = vaø d2: ⎨ d1 : −1 ⎩x + 3y − 12 = a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) BÀI GIẢI: a) d1 qua N (1; −2; −1) có vectơ phương laø a =(3; −1; 2) d2 qua B (12; 0; 10) có vectơ phương b =(3; −1; 2) Ta có : a = b NB = (11, 2, 11) không phương với a Vậy d1 // d2 Mp (P) qua N có pháp vectơ : n =[ a , NB ] = (−15; −11; 17) Phương trình (P) là: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ ⎡ OA,OB⎤ = (0, −10, 0) ⎣ ⎦ ⇒ Diện tích (ΔOAB) = ⎡OA,OB⎤ = (đvdt) ⎦ ⎣ *** 18 CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Daïng tổng quát phương trình mặt cầu x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = có tâm I(a, b, c) bán kính R = a + b2 + c2 − d ta có điều kiện a + b2 + c – d > 3) Điều kiện tiếp xúc mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có tâm I bán kính R khoảng cách từ I đến (P) bán kính R Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d) ⎧5x − y + 3z + 20 = ⎨ ⎩3x − y + z − = hai điểm A B cho AB = 16 Giải Gọi (P) mặt phẳng qua I vuông góc đường thẳng (d) Ta có phương trình tham số đường (d) ⎧ x = t − 14 ⎪ 25 ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ z = −t ⎪ ⎩ Gọi (P) mặt phẳng qua I(2, 3, –1) vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ laø a = ⎛ ⎞ ⎜ 1, , −1⎟ Vậy phương trình (P) viết ⎝ ⎠ (x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = ⇔ 2x + y – 2z – = Giao điểm K (d) (P) có tọa độ ( t – 14, thỏa phương trình (P) Vậy ta có 1 25 t– , –t 2 ) 2(t – 14) + ( 25 t– 2 ) +2t – = Suy t = 11 Vậy ta có K (–3, –7, –11) Khoảng cách từ I đến (d) IK = Do bán kính mặt cầu R = 25 + 100 + 100 = 15 IK + AB2 = 225 + 64 Nên phương trình mặt cầu viết : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) ⎧2 x + 4y − z − = ⎨ ⎩4 x + 5y + z − 14 = tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P) : x + 2y – 2z – = ; (Q) : x + 2y – 2z + = Giải Ta có (P) // (Q) nên gọi A, B giao điểm (d) với (P) (Q) tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) (Q) phải trung điểm đoạn AB bán kính mặt cầu khoảng cách từ I đến (P) Ta có tọa độ A nghiệm hệ ⎧2x + 4y − z − = ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = ⎪ x + 2y − 2z − = ⎩ ⇒ A(2, 1, 1) Ta coù tọa độ B nghiệm hệ ⎧2x + 4y − z − = ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = ⎪ x + 2y − 2z + = ⎩ ⇒ B(–4, 5, 5) Vậy tâm mặt cầu I(–1, 3, 3) bán kính R = Nên phương trình mặt cầu viết thành (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Giải Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = Mặt cầu qua A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta coù: ⎧ 4a + 2c + d = −5 ⎧ a = −1 ⎪2a + d = −1 ⎪b = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎪2a + 2b + 2c + d = −3 ⎪ c = −1 ⎪ a + b + c = −2 ⎪d = ⎩ ⎩ ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + = Cách 2: Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu ⎧ IA = IB2 = IC2 ⎪ ⎪ I ∈ (P) ⎩ Giả thiết cho: ⎨ ⎧(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = (x − 1)2 + y + z ⎪ ⎪ ⇔ ⎨(x − 1)2 + y2 + z2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 ⎪x + y + z − = ⎪ ⎩ ⎧2x + 2z − = ⎪ ⇔ ⎨y + z = ⇔ ⎪x + y + z − = ⎩ ⎧x = ⎪ ⎨y = ⇒ I (1; 0; 1) ⎪z = ⎩ Bán kính R = IB = Suy phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧2x − 2y − z + = thaúng d : ⎨ mặt cầu ⎩x + y − z − = (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm Giải Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m ÑK : m < 13 13 − m Vì MN = ⇒ HM = HN = (IH ⊥ MN) ⎧−2y − z + = ⎧ y = ⇒⎨ ⇒ A(0; 1; −1) (d) cho x = ⇒ ⎨ ⎩2y − 2z − = ⎩z = −1 (S) có tâm I(−2; 3; 0), R = ⎡→ → n1 = (2, − 2, − 1) ⇒ a = 3(2; 1; 2) (d) coù ⎢ → ⎢ ⎢ n = (1, 2, − 2) ⎣ ⎯→ ⎯→ → AI = (−2; 2; 1), [ AI , a ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) ⎯→ → IH = d(I, d) = ⏐[ AI , a ]⏐ → ⏐a⏐ = 1+ + 4 + 1+ Δ vuông IHN ta có : IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = + = 81 117 = 4 ⇔m= − 65 Ví dụ ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = (m tham số) mặt cầu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm xác định tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S) Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R ⇔ − + − m − 3m = + + ⇔ m2 + 3m – = hay m2 + 3m – = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = hay m2 + 3m + = (VN) ⇔ m = −5 hay m = ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = ⎧ x = + 2t ⎪ Phương trình đường thẳng Δ qua I ⊥ (P) : Δ ⎨ y = −1 + 2t ⎪z = + t ⎩ Thế vào phương trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + + t – 10 = ⇒ t = ⇒ Tiếp điểm M P (S) M(3; 1; 2) Caùch khaùc IM2 = ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = ⇒ t = ± ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2) PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN ( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN ) ... *** CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các toán tọa độ không gian thường có yêu cầu xác định tọa độ điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc vectơ, vấn đề mặt phẳng đường thẳng không... 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2 ⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – hay n= − n = − : loại d trùng với d1 Vậy N(5; −5) *** CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghóa phép toán vectơ không gian giống mặt... thỏa hệ phương ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪ + + m = ⎪ ⎨ ⎪5 31 + n + m = ⎪ 10 10 ⎩ ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5 Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai