10 chuyên đề toán ôn thi đại học trên báo tuổi trẻ

Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của C đến điểm B bằng 5... GHI CHÚ : Bài đường tròn trong chương trình lớp 12 bao gồm các vấn đề c

CHUYÊN ĐỀ 1

TỌA ĐỘ PHẲNG

Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng

Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:

⇔ B A B A

x - x y - y

x - x y - y = 0 Với việc tìm góc của hai vectơ ta có:

- Góc hình học tạo bởi hai vectơ aG , bG được suy từ công thức:

G

a b - a b

a bG

Gtg(a, b) = 1 2 1

2 2

a b - a b

a b + a bNgoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: M(xM, yM) là trung điểm của đoạn thẳng AB

JJG = − JJJGJBJC

JJJG = −ABAC

Với A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) thì diện tích tam giác ABC là:

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2)

a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B

b) Tìm tọa độ điểm M để 2AMJJJJG + 3BMJJJJG - 4 CMJJJJG = 0G

c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên

Ox

d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC Δ

e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng

Giải

a) D là điểm đối xứng của A qua B

B là trung điểm của AD

x = 12

y = 1c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox

H

xy

2 2 I I

yy

00

I

I

xy

−

− =

121114

cos (AOJJJG, ABJJJG) và diện tích tam giác ABC

CHUYÊN ĐỀ 2

ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG

Các bài toán về phần đường và phương trình đường thường yêu cầu xác định quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ theo những điều kiện cho trước, quỹ tích này là một đường mà ta phải tìm phương trình của nó dựa vào định nghĩa:

F(x, y) = 0 là phương trình của đường (L) nếu ta có :

M(xM, yM) ∈ (L) ⇔ F(xM, yM) = 0 Nếu M ∈ (L) và M có tọa độ phụ thuộc tham số t:

( ) ( )

Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng

10x – 2y + 7 = 0

CHUYÊN ĐỀ 3

ĐƯỜNG THẲNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần phải biết:

( )Δ 1) (Δ) qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ chỉ phương aG = (a1, a2) sẽ có:

Phương trình tham số : 0 (t

2

y ya

− (a1, a2 ≠ 0)

Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát :

Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) 2) ( qua điểm M0(x0, y0) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x –

x0) + b(y – y0) = 0

)Δ

3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng

Ax + By + C = 0 với A2 + B2 > 0 (1)

ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng

x = x0 hoặc y = kx + m (2)

Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương

+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m

Nếu (Δ) qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( )Δ có đoạn chắn a, b với phương trình:

G một vectơ chỉ phương a = (–B, A)

hệ số góc k = tg(OxJJJG, ) = Δ A

B

−

( )Δ′ // ( )Δ ⇒ (Δ′) : Ax + By + C0 = 0

( )Δ′ ⊥( )Δ ⇒ (Δ′) : Bx – Ay + C0 = 0

Ta tìm được C0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( )Δ′

Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( )Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bị thiếu nghiệm do trường hợp ( )Δ ⊥ x′x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp ( )Δ có phương trình x = C để xem đường thẳng ( )Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không

Ghi chú - Nếu nG = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng ( )Δ thì

k.nG = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của ( )Δ với mọi số thực k ≠ 0

- Nếu a (a ,a )JG= 1 2 là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( )Δ thì

k.a (ka ,ka )JG= 1 2 cũng là véc tơ chỉ phương của( )Δ với mọi số thực k khác 0

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ

Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0

và (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

1 2

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thẳng

( )Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức :

Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên n ( )Δ thì :

t > 0 nếu điểm M và nG nằm cùng một bên đối với ( )Δ

t < 0 nếu điểm M và nG nằm khác bên đối với ( )Δ

Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng

(d1) : A1x + B1y+ C1 = 0 và (d2) : A2x + B2y+ C2 = 0 là :

Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)

a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC

b) Tìm phương trình đường cao AH

c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC

⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC

b) ΔABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0

⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0

Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5)

a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABK

Giải

a) K là trung điểm của AC ⇔

22

22

2AH.BK với

AH = dA (BK ) = 1 4 6

17+ +

Ví dụ 3: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác

ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G( ; )4 1

3 3 , phương trình đường thẳng BC là và phương trình đường thẳng BG là

x− y− = 00

7x−4y− =8 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Bài giải

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt ⎧⎨ − − =⎩x 2y 4 07x 4y 8 0− − = ⇒B 0, 2( − )

Vì ΔABC cân tại A nên AG là đường cao của ΔABC

Ví dụ 4 ( ĐH KHỐI A -2002) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho

hình chữ nhật ABCD có tâm I 1

; 0 2

⎞

⎟

⎝ ⎠

⎛

⎜ ,phương trình đường thẳng AB là

x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0

Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh

A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ 0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G

Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm

A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x−2y− =1 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB: x 1 y 1

x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích của tam giác ABC

BÀI GIẢI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = 0

=

IA IBBÀI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2)

−

=+

−

k

k,k

kAk

ykx

yx

A

22

520

2

052

−

⇒

=+

−

=

−+

k

k,k

kB

kykx

230

2

03

=

k

k

;k

IB

1

51

=

k

k

;k

IB

1

101

102

102

3

71

102

12

k,kk

kkk

kkk

⇔ 7x – 3y + 14 = 0

* * *

CHUYÊN ĐỀ 4

ĐƯỜNG TRÒN

1 Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý:

Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

( )2 + ( = R2

y b−

Phương trình của (C) ở dạng khai triển :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0)

với c = a2 + b2 – R2 ⇔ R2 = a2 + b2 −c

Do đó ta phải có điều kiện a2 + b2 – c 0 ≥

Phương trình tham số của đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:

2 Để viết phương trình tiếp tuyến với một đường tròn ta cần phân biệt :

a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ :

Tiếp tuyến (Δ) tại tiếp điểm M0(x0, y0) với :

- đường tròn (C) : ( )2 + = R2 là

b) Trường hợp không biết tiếp điểm, ta áp dụng tính chất :

Đường thẳng (Δ) tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R

⇔ d( I , )Δ = R

c) đường tròn (C) : ( ) + = R2 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là x =

a R Ngoài 2 tiếp tuyến x = a

Ví dụ

Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4)

a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B

b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B

c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)

Giải

a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

cab

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là

AB nên pt dường tròn (C) là:

⇔ x + 2y – 8 = 0 c) Đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 có tâm I(–1, 2) và bán kính R = 2

Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G(2

3; 0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A , B, C

G là trọng tâm ΔABC ⇔ AG 2GMJJJG= JJJJG

Ví dụ (ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường

tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0 Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C’)

Giải

(C1) có tâm I (1, 2), R = 2

Gọi I’ là đối xứng I qua (d)

Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d)

y 2 1 2

⇒ ⎧⎨ =⎩x 3y 0=

⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2 (C’) : (x – 3)2 + y2 = 4

Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2)

Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành

Giải

A ∈ d1 ⇔ A (m; m) C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n)

Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên :

A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔ m n

Suy ra A(1; 1), C(1; -1) Gọi (C) là đường tròn đường kính AC

⇒ Phương trình (C) : (x–1)2 +y2=1 B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D là nghiệm của hệ : (x 1)2 y2 1

Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4)

Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5

1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6y – 6 = 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2)

⇒ m = −2n Cho n = 1 ⇒ m = −2

Vậy phương trình đường tròn là :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0

2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1), (C2)

(C1) có tâm I1(5; 0), bán kính R1 = 5 ⇒ I

1 I 2 < R 1 + R 2 (C2) có tâm I2(−2; 1), bán kính R2 = 5

Vì (C1), (C2) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung

Vì x = xo không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :

GHI CHÚ :

Bài đường tròn trong chương trình lớp 12 bao gồm các vấn đề chính là : Tìm phương trình đường tròn; các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữađường thẳng và đường tròn, giữa hai đường tròn; phương tích của một điểm đối với đường tròn; trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm Ngoài ra còn có một số câu hỏi liên quan đến phương trình x2 +

y2 + 2Ax + 2By +C = 0 (1) Chẳng hạn tìm điều kiện để (1) là phương trình đường tròn Từ phương trình (1) tìm tâm và bán kính của đường tròn, tìm tham số để bán kính thoả một điều kiện nào đó

Sau đây, chúng tôi chỉ đề cập đến cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác và vài ứng dụng trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm Đây là vấn đế các em thường “ sợ” khi gặp phải

A/ Cách tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC :

Trước hết cần lưu ý :

• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của hai đường phân giác trong

• Muốn tìm phương trình đường tròn ta tìm tâm I (a ; b) và bán kính R Khi đó phương trình đường tròn có dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2

• Cho k là số thực khác 1, ta có :

kyy

y

k1

kxx

xMBk

MA

B A

M

B A

M

(I)

1/ Nếu đề bài cho biết tọa độ A, B, C thì :

• Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC

− là xác định được tọa độ tâm I

Còn bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chính là khoảng cách từ tâm I đến một trong 3 cạnh của tam giác ABC

Chú ý : Nếu một trong ba đỉnh của tam giác trùng với gốc tọa độ và hai đỉnh còn lại nằm trên hai trục tọa độ thì cách giải được thu gọn hơn vì biết trước được 1 đường phân giác trong kẻ từ gốc tọa độ Đường phân giác còn lại được tìm thông qua tìm chân đường phân giác trong như đã trình bày ở trên

2/ Nếu đề bài cho biết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC thì từ phương trình 3 cạnh đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và sử dụng cách giải như phần 1

Ngoài ra còn có thể giải bằng kiến thức miền tạo bởi 1 đường thẳng và khoảng cách đại số từ một điểm đến đường thẳng

B/ Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm :

1/ Cho hai đường tròn không đồng tâm :

(C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) Trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với (C1) và (C2) và có phương trình là :

Bài toán : Cho đường tròn (C) và M là điểm nằm ngoài (C) Từ M kẻ MA và MB là hai tiếp tuyến của (C) (A và B là hai tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB

Cách giải : Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C)

Gọi (C’) là đường tròn tâm M, bán kính :

R’ = MA = IM −2 R2

Suy ra (C) và (C’) cắt nhau tại A và B

Do đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của (C) và (C’)

Qua kết quả trên ta ghi nhớ ngay 2 kết quả :

• Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) chính là trục đẳng phương của (C1) và (C2) [Nghĩa là không cần tìm tọa độ giao điểm của (C1) và (C2)]

• Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm chính là trục đẳng phương của (C1) và (C2)

Sau đây, lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp :

Bài 1 : Cho (C1) và (C2) ở ngoài nhau Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C1) và (C2) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau

Cách giải : Gọi MA và MB (như hình vẽ) là 2 tiếp tuyến từ M đến (C1) và (C2)

Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường tròn tiếp xúc nhau (C1) và (C2)

Gọi I1 và I2 là tâm của (C1) và (C2) Tiếp điểm M chính

là giao điểm của trục đẳng phương của (C1) và (C2) với đường nối tâm I1I2

(C 2 ) (C 1 )

M

I 1 I 2

d

Ví dụ (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI B -2005)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :

(C1 ): x2 + y2 và (C2 ): x2 + y2 Viết phương trình trục đẳng phương d của

2 đường tròn (C1) và (C2) Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C2 )

9

Giải:

Đường tròn ( )C1 có tâm O 0( ),0 bán kính R1=3

Đường tròn ( )C2 có tâm I 1( ),1 , bán kính R2 =5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn ( )C1 , ( )C2 là

CHUYÊN ĐỀ 5

ELIP

Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác định các phần tử của elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), nhất là xác định phương trình của tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm Trong mọi trường hợp ta cần nắm vững kiến thức cơ bản sau đây :

Elip (E) có tiêu điểm trên x′x

Elip (E) có tiêu điểm trên y′y

Đỉnh trên trục lớn

Đỉnh trên trục nhỏ

Tâm sai

Bán kính qua tiêu

Điểm của M ∈ (E)

Đường chuẩn

(E) : x22

a +

2 2

Trường hợp elip có tâm I( , α β) hai trục cùng phương với 2 trục tọa độ thì phương trình có dạng

2

xa

− α + ( )2

2

yb

− β = 1

Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tịnh tiến theo OIJJG để được phương trình dạng chính tắc của elip là

2 2

X

a +

2 2

Tiếp tuyến với elip (E) : x22

a +

2 2

y

b = 1 tại tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình 02

x xa

+ 0

2

y y

b = 1

Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất :

: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip

kx – y + c = 0 và lưu ý trường hợp ( )Δ ⊥ x′x tức

( )Δ : x = ± a

Elip (E) : x22

a +

2 2

y

b = 1 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là

x = a Ngoài 2 tiếp tuyến x = a, mọi tiếp tuyến khác với ( E) đều có dạng ± ±

y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x0 ) + y0 nếu tiếp tuyến đi qua ( x0 , y0 ) là điểm nằm ngoài elip

Ví dụ1 :

Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

a) Xác định tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E) b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M0(–2, 3)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0)

d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết nó vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y + 1 = 0, tính tọa độ tiếp điểm

y

b = 1 với a2 = 40 > b2 = 10 ⇒ c2 = a2 – b2 = 30

a = 2

Vậy elip (E) có trục lớn trên Ox, hai tiêu điểm nằm trên trục lớn là

F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0)

Hai đỉnh trên trục lớn là A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0)

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy với 2 đỉnh là B1(0, – 10 ), B2(0, 10 )

Tâm sai của elip (E) là e = c

a = 302 10 =

32

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại M0(–2, 3)

c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0)

(E) có hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là: x = 2 10± Hai tiếp tuyến này không đi qua M(8,0) Vậy pt tiếp tuyến (Δ)qua M(8, 0) có dạng:

y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = 0

( )Δ tiếp xúc với elip (E) : x2

40 +

2y

10 = 1

⇔ 40k2 + 10 = 64k2

Vậy có 2 tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) là :

⇒ ( )Δ′ : 3x + 2y + C = 0

( )Δ′ tiếp xúc (E) : x2

40 +

2y

10 = 1

⇔ 40.9 + 10.4 = C2 ⇔ C2 = 400

⇔ C = ± 20 Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến ( )Δ′ với (E) thì ( )Δ′ :

Ví dụ2 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C (2; 0) và elíp

ΔCAB đều ⇔ CA2 = AB2

⇔ (a – 2)2 + 4 a2

4

− = 4 – a2 ⇔ 7a2 – 16a + 4 = 0 ⇔ a = 2 (loại) hay a = 2

7 Nên tọa độ của A và B là:

16 2

16 n n

3 m m

2

≤ +

MN nhỏ nhất ⇒

n 3 n m 4

m = ⇔

3

n 4

m 2 2

=

⇔ 3m2 = 4n2 và m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 và n2 = 21

Do đó : MN nhỏ nhất ⇔ m = 2 7 và n = 21 (vì m, n>0)

⇒ M (2 7, 0); N (0, 21) Khi đó min MN = 7

Ví dụ4 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E):

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d m luôn cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N (1; −3)

Giải

a) (E) : x2 y2 1

2 + 9y 2 – 36 = 0 (d m ) : mx – y – 1 = 0 ⇔ y = mx – 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d m ) với (E) :

4x 2 + 9(mx – 1) 2 – 36 = 0 ⇔ (4 + 9m 2 )x 2 – 18mx – 25 = 0

có Δ' = 81m 2 + 25(4 + 9m 2 ) > 0 đúng với mọi m

Vậy (d m ) luôn luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) qua N(1; −3)

2 tiếp tuyến thẳng đứng của (E) là x = ± 3 ( không qua N )

Gọi Δ là tiếp tuyến qua N(1; −3) thì phương trình Δ có dạng:

y + 3 = k(x – 1) ⇔ kx – y – 3 – k = 0 (Δ) tiếp xúc với (E) ⇔ 9k 2 + 4 = (−3 – k) 2 = 9 + 6k + k 2

⇔ 8k 2 – 6k – 5 = 0 ⇔ 1

2

1 k

2 5 k 4

a –

2 2

x

a –

2 2

y

b = –1 với c2 = a2 + b2 với c2 = a2 + b2

Tiêu điểm

Tiêu cự

Trục thực, độ dài

Trục ảo, độ dài

2

M M

aa

2

M M

bb

x x

a – 02

y y

b = –1

Ngoài ra ta cũng cần lưu ý:

Điều kiện để:

(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : x22

a –

2 2

y

b = 1 là

a2A2 – b2B2 = C2 > 0 (D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : x22

a –

2 2