CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC

CC CHUYấN ễN THI I HC Bài 1: Hệ phơng trình đại số Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp: I)Hệ đối xứng loại I 1) Dạng: Hệ phơng trình = = 0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại I nếu = = );();( );();( xygyxg xyfyxf 2)Cách giải : - Đặt x y S xy P + = = . ĐK: 2 4S P . - Biểu thị hệ qua S và P . - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện PS 4 2 . Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình : 0 2 =+ PStt . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho. Chú ý 1 : +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y. +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn PS 4 2 . +) Khi PS 4 2 = thì x = y = -S/2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn PS 4 2 = . Chú ý 2 : Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). II) Hệ đối xứng loại II 1)Hệ : = = 0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại II nếu : );();( yxgxyf = 2)Cách giải : +)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu đợc phơng tình : (x-y).h(x;y) = 0 Khi đó hệ đã cho 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y h x y f x y f x y = = = = ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này). +) Phơng pháp điều kiện cần và đủ: Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Đ/k cần: Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x 0 = y 0 (1) Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x 0 duy nhất ,ta đợc giá trị của tham số. Đó là đ/k cần. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận. III) Hệ nửa đối xứng của x và y 1)Dạng hệ: = = )2(;0);( )1();;();( yxg xyfyxf (Tức là có 1 phơng trình là đối xứng ) 2)Cách giải: Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phơng trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tơng đơng với: = = )2(;0);( 0);().( yxg yxhyx = = = = 0);( 0);( 0);( 0 yxg yxh yxg yx Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng Ví dụ : =+ =+ = = =+ 5 5 5 5 2 2 2 2 ty yt tx xy yx IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 1) Hệ phơng trình = = 0);( 0);( yxg yxf đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2. 2) Cách giải : * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này th- ờng dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản) * Cách 2) Khử x 2 ( với y 0 ) hoặc y 2 (với x 0): (Cách này thờng dùng khi hệ có chứa tham số). VI. Một số hệ ph ơng trình khác. *) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu mực ta thờng áp dụng một số pp : + Phân tích thành tích có vế phải bằng 0. + Đổi biến (đặt ẩn phụ) + Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số. http://kinhhoa.violet.vn 1 CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC Mét sè vÝ dơ: 1. HƯ ®èi xøng I: Giải các hệ pt sau đây : 2 2 11 1) 30 xy x y x y xy + + =   + =  11 5; 6 5. 6 . 30 p s hpt s p p s p s + =  ⇔ ⇔ = = ∪ = =  =  ĐS : x = 2; 3; 1; 5 2 - 2 2 3 3 30 35 5; 6 (2;3) ; (3;2) x y xy x y hpt s p  + =   + =   ⇔ = = => 4 4 2 2 1 3) 1 11 1 0; 2 (0;1);(1;0) ( 2 ) 2 1 x y x y p s s hpt p p s p p + =   + =  + = =   ⇔ ⇔   = = => − − =   3 3 30 4) : ; 0; ; . 35 . 30 125, 5 6 3 35 x y y x HD x y s x y p x y x x y y p s hpt s s p s sp  + =  > = + =  + =   =  ⇔ ⇔ = <=> = => =  − =  Vậy Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4). 5- cho: 5( ) 4 4 1 x y xy x y xy m + − =   + − = −  a) Tìm m để hpt có nghiệm. HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p = 5m-1 ĐK : S 2 -4p ≥ 0 ⇔ 1 ; 1 4 m m≤ ≥ . b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt. §S: m = 1/4, m = 1. 6) a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m : 2 2 2 2 1x y xy m x y xy m m + + = +   + = +  b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất . HDĐS : a- 2 1 1 2 2 2 1 . ; 1 1. p s m hpt p s m m s m p m s m p m + = +  ⇔  = +  ⇔ = = + ∪ = + = ĐS:hệS 1 ,P 1 Vn ; 2 2 2 2 4 ( 1) 0S P m− = − ≥ . Vậy: HPt có nghiệm với mọi m. b-HPT cã ngh duy nhÊt ⇔ 2 2 2 4 0S P− = ⇔ 2 ( 1) 0m − = 1m ⇔ = . => x = y = 1 Vậy : (1;1). 2. HƯ ®èi xøng lo¹i II: Giải hệ pt : 3 3 3 8 1 : 3 8 x x y hpt y y x  = +  −  = +   3 4 2 : 3 4 y x y x hpt x y x y  − =   −   − =   2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x x y y y x  − = −  −  − = −   HDĐS : 1-Hpt 2 2 3 3 ( )( 5) 0 3 8 3 8 (0;0) ( 11; 11) ( 11; 11) x y x y x y xy x x y x x y =  − + + + =   ⇔   = + = +    − 2- ĐK : x ≠ 0 ; y ≠ 0. Hpt : 2 2 ( )( 4) 0 6 4( ) 0 x y x y x y xy x y − + + =   + − − + =   (-2; -2) 3- 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y x x  − = −   − = −   Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0  y=x hoặc y = 1-x. Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2) Khi y = 1 -x VN . 4- 1 3 2 1 1 2 x y x y x y  + =     + =   Lấy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1) . + y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2)− − 3) . HƯ nưa ®èi xøng VD. Gi¶i hƯ :      += −=− 12 11 3 xy y y x x Gi¶i:      += =+− ≠ ⇔      += =−+− ≠ ⇔      += −=− 12 0)1)(( 0. 12 0 0. 12 11 33 22 3 xy xyyx yx xy yxxyyx yx xy y y x x http://kinhhoa.violet.vn 2 CC CHUYấN ễN THI I HC 3 4 . 0 . 0 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 0 x y x y x y I y II x x x x x = = + = + + = + Ta có I): == + == == =+ = 2 51 2 51 1 )( 012 ( 0. 3 yx yx yx I xx yx yx + Ta có II) : 2 2 2 . 0 1 ( ) 1 1 3 ( ) ( ) 0;( ) 2 2 2 x y II y x x x VN = + + + = 4. Hệ đẳng cấp : VD. Cho hệ phơng trình : 2 2 2 4 (1) 3 4 (2) x xy y m y xy + = = a) Giải hệ pt` với m = 1 b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải: Cách 1: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty, ta có : Hệ 2 2 2 2 2 2 4 3 4 t y ty y m y ty + = = 2 2 2 ( 4 1) (1 3 ) 4 y t t m y t + = = 2 2 4 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t m t y t + = = (I) Do y 0 nên từ y 2 (1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t < 1 3 a) Với m = 1 ta có hệ : 2 2 4 1 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t t y t + = = Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4). b) Ta có : (I) 2 2 4( 4 1) (1 3 ) (1 3 ) 4 t t m t y t + = = 2 2 4 (16 3 ) 4 0 (*) (1 3 ) 4 t m t m y t + = = Đặt f(t) = 4t 2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < 1 3 . Ta lại có 1 8 ( ) 0 3 9 af = < m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t 1 < 1 3 < t 2 . Vậy hệ luôn có nghiệm với m. Cách 2 : Khử một ẩn. Hệ 2 2 4 3 4 x xy m y xy = = 2 4 2 2 4 2 (8 ) (4 ) 0 (*) x m y x x m x m + = + = (x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4). Với m 4 đặt : f(t) = 2t 2 + (8 - m)t - (4 - m) 2 ta có f(0) = -(4 - m) 2 < 0 nên phơng trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay ph- ơng trình (*) luôn có nghiệm với m. Các bài tập luyện tập : Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phơng trình =+++ =++ 8 )1)(1( 22 yxyx myxxy a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phơng trình 2 2 2 1 1 2 a x y x y a + = + = + Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phơng trình 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m + = + = Tìm m để hệ có nghiệm 4) =+ =+ 22 22 xy yx http://kinhhoa.violet.vn 3 CC CHUYấN ễN THI I HC 5) =+++++++ =+++ myxxyyx yx 1111 311 a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2: + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y (KB 2003) HD: Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Bài 3: =+ =+ 358 152 33 22 yx xyyx HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 4: =+ = )2(1 )1(33 66 33 yx yyxx HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số : ( ) tttf 3 3 = trên [-1,1] áp dụng vào ph- ơng trình (1) Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất += += x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 HD: = = 223 2 axx yx xét 23 2)( xxxf = lập BBT suy ra KQ Bài 6: =+ =+ 22 22 xy yx HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2 Bài 7: =+ =+ )1( )1( 2 2 xayxy yaxxy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 8: += = )2(5 )1(2010 2 2 yxy xxy HD : Rút ra y yy y x += + = 55 2 Cô si 52 5 += y y x . 20 2 x theo (1) 20 2 x suy ra x,y Bài 9: ++=+ = 2 )1( 3 yxyx yxyx (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) Bài 10: =+ =++ ayx ayx 3 21 Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt 2,1 +=+= yvxu đ- ợc hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bài tập áp dụng 1) = = 495 5626 22 22 yxyx yxyx 2) +=+ +=+ )(3 22 22 yxyx yyxx KD 2003 3) =++ =++ 095 18)3)(2( 2 2 yxx yxxx 4) ++=+ = 2 )(7 22 33 yxyx yxyx HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm 5) += = mxyx yxy 26 12 2 2 Tìm m để hệ có nghiệm 6) = = 19 2.)( 33 2 yx yyx dặt t=x/y có 2 nghiệm 7) =++ =++ 64 9)2)(2( 2 yxx yxxx đặt X=x(x+2) và Y=2x+y http://kinhhoa.violet.vn 4 CC CHUYấN ễN THI I HC 8) =++ =+ 4 )1(2 2222 yxyx yxyx đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1) 9) =+ =+ 22 333 6 191 xxyy xyx Đặt x=1/z thay vào đ- ợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) 10) += = 12 11 3 xy y y x x (KA 2003) HD: x=y V xy=-1 CM 02 4 =++ xx vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm 11) +=+ +=+ axy ayx 2 2 )1( )1( xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ 12) =+ =+ 3 3 22 xyyx x y y x HD bình phơng 2 vế . http://kinhhoa.violet.vn 5 CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC Bµi 2: Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh §¹i sè Mét sè d¹ng ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh th êng gỈp 1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai ; §Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai; Ph¬ng ph¸p hµm sè. 2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tut ®èi 2 2 2 2 0B A B A B A B A B A B A B A B A B B A B ≥  = ⇔  =  < ⇔ < >  > ⇔  < −  < ⇔ − < < 3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc *PT chøa c¨n thøc: 2 0 0( 0) 0 0 2 B A B A B A hayB A B A B A A B C B A B AB C ≥  = <=>  =  ≥ ≥  = <=>  =   ≥  + = <=> ≥   + + =  * BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc: 2 2 2 2 0 0 * 0 * 0 0 0 0 0 * * 0 0 A A A B B A B B A B A B A A B B A B A B B B A B A B   ≥ ≥   < ⇔ > ≤ ⇔ ≥     < ≤    ≥  ≥       < ≤     > ⇔ ≥ ⇔   ≥ >       > ≥       Mét sè vÝ dơ BÀI TẬP : Bài 1: Bình phương hai vế : a) x 2 + 1 1x + = Hd: 4 2 0 1 1 1 2 0 1 5 2 x x x x x x x   =  − ≤ ≤  ⇔ =−   − − =   ±  =   b)pt: 5 1 3 2 1 0x x x− − − − − = §K x ≥ 1. Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 2 ; x = 2/11( loại ). Vậy x=2 . c) : 9 5 2 4pt x x+ = − + §K 2x ≥ . Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = 0 . d) : 16 9 7pt x x− + + = . §S: x = 0, x = -7. e) 2 2 : (4 1) 9 2 2 1 : 1/ 4 pt x x x x dk x − + = + + ≥ B×nh ph¬ng hai lÇn ta cã :ĐS x = 4/3. Bài 2 : §Ỉt Èn phơ: a) 2 2 3 3 3 6 3x x x x − + + − + = . §S: x = 1, x = 2. b) 2 2 1 1 0 : 0 1 3 x x x x dk x + − = + − = ≤ ≤ - Đặt : 2 2 1 1 ; 0 2 t t x x t x x − = + − ≥ => − = pt ⇔ t 2 -3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn. t =1  x = 0 ; x =1. c) 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x + + + = + + + − HDĐS: 2 2 : 1 2 3 1 0 3 4 2 2 5 3 5 3. DK x t x x t x x x pt t x ≥ − = + + + ≥ => = + + + + <=> = <=> = 2 2 2 2 ) 7 2 3 3 19 . 2 7 / 4 5 3 13 4 1; 2 d x x x x x x t x x pt t t t t x x + + + + + = + + = + + ≥ <=> + + = + <=> = => = =− Bµi 3: 1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m + + − − + − = a) Giải pt khi m=2 b) Tìm m pt có nghiệm. HDĐS: ĐK: . 1 3 ; 2 2 2 : 2( ) t x x t vi a b a b a b = + + − => ≤ ≤ + ≤ + ≤ + 2 0( ) 1) 2 : 2 0 1, 3 2 t l m t t x x t =  = − = <=> => = − =  =  2) f(t) = -t 2 /2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 2.m− ≤ ≤ Bµi 4. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm: 2 9 9x x x x m + − = − + + Bình phương : Đặt t= (9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤ http://kinhhoa.violet.vn 6 CC CHUYấN ễN THI I HC KSHS 2 ( ) 2 9 ; 9/ 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m = + + d) Bài 5. Tìm m để phơng trình có nghiệm: 4 44 4 4 6x x m x x m + + + + + = HDẹS: ẹaởt 4 2 4 4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + + = 44 4 3 ( ) 2 4 2 4 16 loạit PT t x x m m x x = = => + + = <=> = + Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh. Baứi 6. Giải các phơng trình sau: 1) 2 2 3 3 3 (2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x + + = -ẹaởt : 2 2 3 3 3 3 2 3 . 9 7 u x u v uv pt u v v x = + = <=> + = = + 3 1; 2 1; 6 2 u v u v x uv + = <=> <=> = = => = = 2) 3 2 1 1x x = .ẹK : x 1 3 3 2 2 1; 0 1 0;1; 2; 1;0;3 1 1;2;10 u x v x v u v u v u v x = = = => <=> = = + = = Một số bài tập luyện tập: Bài 1 : Tìm m để mxxxx ++++ )64)(3)(1( 2 Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm đúng với mọi x. HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2 Bài 2: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau: 1) 014168 2 ++ xxx 2) xxx 2114 =+ : x = 0 3) 2 2 2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5x x x x DS x + = = 4) 211 22 =++ xxxx . Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải. 5) 023)3( 22 xxxx (KD 2002) Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm + ++ 012 0910 2 2 mxx xx ĐS m 4. Bài 4: Giải bất phơng trình: 2212 >+ xxx HD : nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT Biến đổi về BPT tích chú y ĐK Bài 5: Giải bất phơng trình: 7 2 1 2 2 3 3 +<+ x x x x HD Đặt 2, 2 1 += t x xt AD BĐT cô si suy ra ĐK. Bài 6: Giải bất phơng trình 4 )11( 2 2 > ++ x x x HD Xét 2 trờng hợp chú ý DK x -1. Trong trờng hợp x 4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT. Bài 7: Cho phơng trình: mxxxx ++=+ 99 2 Tìm m để phơng trình có nghiệm. HD Bình phơng 2 vế chú y ĐK Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy ra KQ Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004) 3 7 3 3 )16(2 2 >+ x x x x x Bài tập áp dụng 1) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm mxx + 41624 2) 16212244 2 +=++ xxxx 3) 12312 +++ xxx 4) 1212)1(2 22 =+ xxxxx HD: đặt 12 2 += xxt coi là phơng trình bậc hai ẩn t. 5) 2 2)2()1( xxxxx =++ 6) 2 3 1)2(12 + =++ x xxxx http://kinhhoa.violet.vn 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 7) 1 1 251 2 < − −− x xx 8) 023243 2 =++−−+ xxx . 9) 2 2 4 3 18 29x x x x− + − = − + http://kinhhoa.violet.vn 8 CC CHUYấN ễN THI I HC B i 3: Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lợng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb ( ) 1 tga tgb tg a b tgatgb = m b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a; sin2a = 2sinacosa; 2 2 2 , 2 4 2 1 tga tg a a k a k tg a = + + ữ 3 3 sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a= = c) Công thức hạ bậc 2 2 1 cos 2 1 cos2 cos ; sin ; 2 2 a a a a + = = d) Công thức chia đôi Đặt ( ) 2 2 x t tg x k = + . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t x x tgx t t t = = = + + ; e) Công thức biến đổi * Đổi tích thành tổng: [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + * Đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2cos sin ; 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + = + = + + = + = f) Một số công thức hay dùng: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x + = + = ữ ữ = = + ữ ữ 1 1 ; ; 4 1 4 1 tgx tgx tg x tg x tgx tgx + + = = ữ ữ + 2. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp a) phơng trình lợng giác cơ bản: + sinx = a 1 2 1 (sin ) 2 PTVN PT có ngh a x k a a x k > = + = = + + cosx = a 1 1 2 (cos ) PTVN PT có ngh a a x k a > = + = + tgx = a ĐK: 2 x k + , x = k + (tg = a). + cotgx = a, ĐK: x k , x = k + (cotg = a). b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác. * Phơng trình bậc nhất: [ ] ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ; ( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos ( tg tg cotg cotg f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x f x g x f x = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + = [ ] ) cos ( ) ; sin ( ) cos ( ) sin ( ) ; 2 g x f x g x g x = + = * Phơng trình bậc 2: 2 sin sin 0a x b x c+ + = đặt t = sinx ( 1t ). 2 cos cos 0a x b x c+ + = đặt t = cosx ( 1t ). 2 2 0; 0; atg x btgx c acotg x bcotgx c + + = + + = c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c. Cách giải: + Cách 1: chia cả hai vế cho 2 2 a b+ ; đặt: 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b = = + + ta đợc PT: 2 2 sin( ) c x a b + = + ; *) Chú ý: Phơng trình có nghiệm 2 2 2 c a b + . http://kinhhoa.violet.vn 9 CC CHUYấN ễN THI I HC + Cách 2: Đặt b tg a = ta đợc phơng trình: sin( ) cos c x a + = . d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = Cách giải: * Cách 1: Thử với cos 2 x = 0 sinx = 1 nếu nghiệm đúng phơng trình thì đặt cosx làm thừa số chung. Với cos 2 x 0 chia cả hai vế cho cos 2 x ta đ- ợc: atg 2 x + btgx + c = d(1 + tg 2 x). * Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c + = + = ữ * Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 2t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c + = + = ữ . 3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các phơng trình lợng giác: + áp dụng các hằng đẳng thức; + áp dụng các công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ; + Biến đổi về tích bằng 0; + Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm; + Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0. 4. Các ví dụ: Giải các phơng trình sau: Bài 1: x x tgxgx 2sin 4cos.2 cot += . ĐS: 3 x k = + . Bài 2: )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22 += ++ + xxx ĐS: 5 ; 2 ; 2 6 6 x k x k x x k = = + = = + . Bài 3: 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2 =+ x x x x . ĐS: 2 2 ; 2 3 3 x k x x k = + = = + . Bài 4: 8 1 3 . 6 3cos.cos3sin.sin 33 = + + xtgxtg xxxx HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3 ĐS: 6 x k = + . Bài 5: 0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx HD: Biến đổi theo sin và cos. ĐS: 3 x k = + . Bài 6: 3. 6sin 2sin( ) (1) 2 2sin 6sin( ) (2) 2 y tg x y x y tg x y x + = = + HD: nhân (1) với (2) rút gọn y y tg 22 sin4 2 = . đặt 2 y t tg = ữ t = 0, t = 3 . Bài 7: xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos ++= HD : BĐ tích thành tổng rút gọn. Bài 8: 2 1 5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét tr- ờng hợp bằng 0. Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng nxxxT nxxxT sin 2sinsin cos 2coscos +++= +++= thực hiện rút gọn bằng cách trên. Bài 9: )cos.sin2(cos3sin.2sin. 22 xxxxxtgx += HD: BĐ về dạng: 2 2 (sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ = Bài 10 2 9 sin cos 2 log 4.log 2 4 x x ữ = HD: ( ) sin sin 2 sin 1 2. log 2.log 2 4 2 log 2 4 x x x = = 5. Một số phơng trình có tham số: Bài 1. Tìm m để phơng trình: http://kinhhoa.violet.vn 10 [...]... 4 − x2 * PP t×m GTLN, GTNN cđa hµm sè b»ng miỊn gi¸ trÞ cđa hµm sè VÝ dơ: 19 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC T×m GTLN, GTNN cđa c¸c hµm sè: x2 + 3 ; x 2 + x + 12 2sin x + 1 c) y = ; cos x + 2 a) y = 8x − 3 ; x − x +1 sin x − cos x d) y = sin x + 2 cos x + 3 b) y = http://kinhhoa.violet.vn 2 20 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC Bµi 8: TiÕp tun, tiÕp xóc vµ t¬ng giao 1 Ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa hµm sè Cho hµm sè... 6,25 4 a) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai,viết phương trình các đường chuẩn của Elíp đó b) Tìm tung độ của điểm thuộc (E) có x = 2 và tính khoảng cách từ các điểm đó tới hai tiêu điểm c) Tìm các giá trò của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với Elíp d) Viết phương trình các tiếp tuyến với (E) song song với đường thẳng 2x – y + 1 = 0 e) Viết phương trình các tiếp tuyến với... Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O b) Xác đònh tọa độ B; C sao cho OBC là tam giác đều HD: a) B(-4; -3), C(3; -4) vµ B(-4; 3), C(3; 4) b) Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(5 ; 5), B(1 ; 0), C(0; 3) Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4 b) d đi qua A và cách đều hai điểm B, C HD: a) x - 5 = 0 vµ 9x -... ®iĨm cđa AB víi d M(-9; -19) Bài 8: Cho A(1 ; 1), B(-1 ; 3) và đường thẳng d: x + y + 4 = 0 a) Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A, B b) Với C vừa tìm được, tìm D sao cho ABCD là hình bình hành Tính diện tích hình bình hành đó HD:a) chun d vỊ PT tham sè b) Bài 9: 35 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC a) Tìm phương trình đường thẳng qua A(8 ; 6) và tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 12 b) Lập... thi n cđa ®å thÞ cđa hµm sè khi m=1 b) X¸c ®Þnh m ®Ĩ hµm sè (1) nghÞch biÕn trªn ®o¹n [-1;0] c) T×m a ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm: 91+ 1−t − ( a + 2).31+ 1−t + 2a + 1 = 0 (2) HD: §Ỉt x = 31+ 1−t §iỊu kiƯn x ≥ 3 (2) ⇔ x2 - (a + 2)x + 2a + 1 = 0 ⇔ 2 2 2 x2 − 2 x + 1 =a x−2 28 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC XÐt hµm sè y = x − 2 x + 1 trªn [3; + ∞) 2 DS: m ≥ 4 x−2 http://kinhhoa.violet.vn 29 C ÁC CHUN ĐỀ...  log y (3 y + 2 x) = 2  3x   x log 2 3 + log 2 y = y + log 2 2 b)    x log 12 + log x = y + log 2 y 3 3 3  3  log ( x + y ) + log 3 ( x − y ) = 1 c)  2 2 2 ; x − y =3  15 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC log y  e − e = (log 2 y − log 2 x)( xy + 1)  ; 2 2 x + y = 1  x y xy = log x y d)  Bµi 10  Mét sè bµi lun tËp: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh HD §K x,y>= vµ kh¸c 1 B§ (1) ®ỵc TH1: y=x thay vµo... (1 + 2 y ) + log1− y (1 + 2 x) = 2  log 2 x + log 1 x 2 − 3 = m log 4 x 2 − 3 2 2 HD: §Ỉt t = log 2 x (t ≥ 5.) m > 0   2 t +1 ⇔ 1 < m ≤ 3 m = t − 3  http://kinhhoa.violet.vn 16 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC Bµi 6: BÊt ph¬ng tr×nh vµ hƯ bÊt ph¬ng tr×nh mò - l«garit Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí: * BÊt ph¬ng tr×nh mò:  a > 1: f ( x) > g ( x ) a >a ⇒  0 < a < 1: f ( x) < g ( x)  h( x ) > 0 f ( x) g... 3  3 +2 > 12 (1) T×m m ®Ĩ mäi nghiƯm cđa (1) ®Ịu lµ nghiƯm cđa bÊt ph¬ng tr×nh: 2x2 + (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2) Bµi 12 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x + lg( x 2 − x − 6) = 4 + lg( x + 2) 17 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC Bµi 7 §¹o hµm vµ øng dơng Mét sè kiÕn thøc cÇn n¾m v÷ng: • C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm • B¶ng ®¹o hµm cđa c¸c hµm sè thêng gỈp • §¹o hµm cÊp cao 1 §¹o hµm cÊp n: PP tÝnh ®¹o hµm cÊp n: + Bíc 1:... →x 0 f ( x) − f ( x0 ) = f '( x0 ) x − x0 Chó ý: Mét sè trêng hỵp ta ph¶i biÕn ®ỉi vỊ d¹ng: f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 f '( x0 ) lim = x → x0 g ( x ) − g ( x ) g '( x0 ) 0 x − x0 18 C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC VÝ dơ TÝnh c¸c giíi h¹n: a) lim x + 1 − 1 − x ; x→0 3 x HD: §Ỉt f(x) = x + 1 − 1 − x th× giíi h¹n cã f ( x ) − f (0) d¹ng: lim Do ®ã: x→0 x−0 3 x +1 − 1− x lim = f '(0) x→0 x 1 1 f '( x) =...C ÁC CHUN ĐỀ ƠN THI ĐẠI HỌC sin2x + m = sinx + 2mcosx cos 3x + sin 3 x   5 sin x +  = cos 2 x + 3 KA 1 + 2 sin 2 x   3π cã ®óng 1 nghiƯm x ∈ [0; ] 4 HD: PT ⇔ (sinx - m)(2cosx - 1) = 0 Bµi 2 T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh: . =++ 6) 2 3 1)2(12 + =++ x xxxx http://kinhhoa.violet.vn 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 7) 1 1 251 2 < − −− x xx 8) 023243 2 =++−−+ xxx . 9) 2 2 4 3 18 29x x x x− + − = − + http://kinhhoa.violet.vn 8 CC CHUYấN ễN THI I HC B i 3: Phơng. cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x ữ = (DBKB 2003) http://kinhhoa.violet.vn 11 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC 14) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 2 sin . cos 0 2 4 2 x x tg x π     − − =  ÷  ÷ . GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá trị của hàm số. Ví dụ: http://kinhhoa.violet.vn 19 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC T×m GTLN, GTNN cña c¸c hµm sè: a) 2 2 3 12 x y x x + = + + ; b) 2 8 3 1 x y x