Nhận xét: Qua định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp D, cchungs ta thấy muốn chứng tỏ rằng M(hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.

c) Nhận xét: Qua định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập hợp D, cchungs ta thấy muốn chứng tỏ rằng M(hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên

thấy muốn chứng tỏ rằng M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ:

(1): f x M hoặc f x m với mọi xD;

(2): Chỉ ra sự tồn tại ít nhất một điểm x0D sao cho f x 0 M (hoặc f x 0 m). Để chỉ ra (1) có nhiều cách: biến đổi tương đương; sử dụng phương pháp phản chứng; dùng bất đẳng thức hoặc dựa vào sự biến thiên của hàm số (cụ thể là dựa vào bảng biến thiên của hàm số); .... Trong khuôn khổ sáng kiến này, chúng ta sẽ chỉ ra (1) bằng cách dựa vào sự biến thiên của hàm số. Vì vậy, phương pháp chung nhất khi sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là lập bảng biến thiên của hàm số đó trên khoảng hoặc đoạn đang xét. Sau đó dựa vào bảng biến thiên để đưa ra kết luận.

Rất nhiều học sinh khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường bỏ qua điều kiện (2). Đây là sai lầm phổ biến vì vậy các em học sinh cần chú ý đến cả hai điều kiện nêu trên.

Trong trường hợp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn chúng ta có thể dựa vào các bước dưới đây mà không cần lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn đó. Điều này thể hiện rõ tính ưu việt của nó khi hàm số là hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số chứa căn thức, ....

Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn a b;  như sau:

Bước 1: Tìm các điểm x x1, 2,...,xn thuộc khoảng a b;  mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không đạo hàm không xác định.

Bước 2: Tính f x   1 , f x2 ,..., f x   n , f a và f b .

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn a b; ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn a b; .

3. Một số kết quả thường dùng liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. (1): Giả sử AB. Khi đó ta có max   max  ; min   min   (1): Giả sử AB. Khi đó ta có max   max  ; min   min  

x A x B x A f x x B f x f x f x       . (2): Giả sử DD1D2. Khi đó ta có:    1   2  

max max max ; max

x D f x x D f x x D f x

    và min   min min 1  ; min2  

x D f x x D f x x D f x

    .

Kết quả này thường được sử dụng khi mà tập hợp D được phân thành hai tập hợp rời nhau (có phần giao bằng rỗng). (3): Nếu f x   0, x D thì   2  max max x D f x x D f x    và   2  min min x D f x x D f x    .

Kết quả này thường được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu căn thức hoặc chứa dấu giá trị tuyệt đối.

(4): Giả sử max  ; min  

x Dx D x D

M f x m f x

 

  . Khi đó max   max ; 

x D f x M m

  .

(5): Giả sử f là hàm số liên tục trên tập D và max  ; min  

x Dx D x D M f x m f x     . Khi đó: Nếu m0 thì min   x D f x m   ; Nếu M 0 thì min   x D f x M   ; Nếu m 0 M thì min   0 x D f x   .

Dưới đây, chúng tôi trình bày ba vấn đề về việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.