Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Lịch Sử Hình Thành Và Sự Thể Hiện Trong Chương Trình Toán Thpt.pdf

UBND TỈNH QUẢNG BÌNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH

- -

TIỂU LUẬNHỌC PHẦN: LỊCH SỬ TOÁN

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNLỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ SỰ THỂ HIỆN

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

Họ và tên sinh viên: Hoàng Ánh NguyệtLớp: Đại Học Sư Phạm Toán K65

Quảng Bình, 01/2024

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU: 3

1 Lý do chọn đề tài: 3

2 Mục đích nghiên cứu: 4

3 Phương pháp nghiên cứu: 4

4 Nội dung nghiên cứu: 4

II PHẦN NỘI DUNG: 5

1 Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số: 5

1.1 Thời Cổ Đại: 5

1.2 Thời Trung Đại: 6

1.3 Thời Cận Đại: 6

1.4 Thời Hiện Đại: 8

2 Ý nghĩa của Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 10

2.1 Mô Hình Hóa Thực Tế: 10

2.2 Lý Thuyết Đại Số Tuyến Tính: 10

2.3 Cơ Sở Cho Hệ Thống Phương Trình Tuyến Tính: 10

2.4 Ứng Dụng Trong Vật Lý và Kỹ Thuật: 10

2.5 Làm Nền Tảng Cho Các Nghiên Cứu Toán Học Tiên Tiến: 10

2.6 Áp Dụng Trong Xử Lý Tín Hiệu và Thống Kê: 10

3 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và sự thể hiện trong THPT: 11

3.1 Sự thể hiện ngầm ẩn: 11

3.2 Sự tường minh: 12

III.PHẦN KẾT LUẬN: 17

1 So sánh và nhận xét 17

1.1 Về tiến trình xuất hiện: 17

1.2 Về định nghĩa khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 17

2 Về phương tiện biểu diễn của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 18

2.1 Trong lịch sử: 18

2.2 Trong sách giáo khoa phổ thông: 19

3 Kết luận: 19

I.PHẦN MỞ ĐẦU:1 Lý do chọn đề tài:

Hiện nay, quan điểm khoa học luận và sư phạm về dạy học toán đang phổbiến trong nhiều nước là : “Thực hiện việc dạy học thỏa mãn hơn khoa học líluận và tôn trọng hơn quá trình nhận thức của học sinh” Điều đó đòi hỏitrong dạy học phải đồng thời tính đến những kết quả nghiên cứu về khoa họclí luận lịch sử toán học và về khả năng nhận thức của học sinh Tuy nhiên, ởViệt Nam, các đối tượng toán học thường được đưa vào chương trình vàSGK giáo khoa theo truyền thống và kinh nghiệm chủ quan, tách rời khỏilịch sử phát triển của đối tượng và ít quan tâm đến nhận thức của học sinh.Điều này có ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập của học sinh? Việc tìmlời đáp cho câu hỏi này thực sự rất cần thiết và cấp bách cho việc cải tiếnphương pháp dạy học toán ở trường phổ thông.

Phương trình là một trong những chủ đề quan trọng và lâu đời nhất tronglịch sử toán học Nó mang trong mình sự đa dạng để ứng dụng vào nhiềungành lĩnh vực như Toán học, Vật lý, Kinh tế, Do đó, việc giảng dạyphương trình luôn có tầm quan trọng đặc biệt trong dạy học toán ở bất cứ nềngiáo dục nào Dù thể hiện dưới dạng ngầm ẩn hay tường minh, thì phươngtrình cũng đã được đưa vào chương trình toán từ rất sớm – từ những năm đầutiên của chương trình toán tiểu học, và tiến triển liên tục, ở những mức độkhác nhau, lần lượt qua các chương trình toán trung học cơ sở, rồi đến nhữngnăm đầu của chương trình toán phổ thông trung học Do đó, phương trình –trong đó có biến thể của nó, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – đã trải quanhiều dạng khác nhau, tương ứng với nó là nhiều cách giải khác nhau Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất phát từ lĩnh vực của đại số tuyếntính và toán học Phát triển của nó được liên quan đến nhu cầu giải quyết cácvấn đề thực tế trong đời sống và các lĩnh vực ứng dụng khác nhau Bởi vậy,cá nhân chuyên đề lịch sử hình thành của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩncó sự liên kết chặt chẽ với sự hình thành và phát triển qua từng giai đoạn củalĩnh vực của đại số tuyến tính nói riêng và toán học nói chung.

Việc thực hiện việc nghiên cứu đề tài này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ về cácđặc trưng khoa học luận của khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩnqua các thời kỳ lịch sử phát triển của nó, các khái niệm đó được đưa vàochương trình trung học phổ thông như nào, học sinh quan niệm như thế nàovề đối tượng này Qua đó, không chỉ hiểu rõ hơn những đặc trưng khoa học

luận của khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nắm vững hơnchương trình SGK giáo khoa phổ thông mà nó còn cho phép hiểu rõ hơnnhững ảnh hưởng tích cực cũng như tiêu cực của việc lựa chọn quan điểmtrình bày khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và đưa vào chươngtrình SGK giáo khoa phổ thông hiện hành đối với việc học tập của học sinh.Điều này thuận lợi cho việc thiết lập, tổ chức những tình huống dạy học kháiniệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn một cách phù hợp hiệu quả gópphần vào việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng dạyvà học.

2 Mục đích nghiên cứu:

- Làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm hệ bất phương trìnhbậc nhất hai ẩn cũng như sự phát triển của chúng qua các thời kỳ khác nhautrong lịch sử hình thành và phát triển khái niệm này.

- Làm rõ tiến trình cách tổ chức đưa vào khái niệm hệ bất phương trình trongchương trình và SGK giáo khoa phổ thông Đặc biệt là sự triển khai các đặctrưng khoa học luận của khái niệm này và tầm quan trọng của nó qua các cấpđộ lớp ở trường phổ thông.

Để từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý phần hệ bất phương trình bậcnhất hai ẩn ở chương trình phổ thông.

3 Phương pháp nghiên cứu:

Để đạt được những mục tiêu đã đề ra ở trên, tôi sử dụng phương pháp phântích - tổng hợp để nghiên cứu lí luận: sử dụng SGK các cấp học, các tài liệutham khảo, các bài nghiên cứu trong và ngoài nước để tìm hiểu về lịch sửhình thành cũng như sự phát triển của khái niệm hệ bất phương trình bậcnhất hai ẩn Qua đó thực hiện mục đích nghiên cứu của bài luận

4 Nội dung nghiên cứu:

Nội dung nghiên cứu gồm có:

- Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hệ bất phương trình bậcnhất hai ẩn: Thông qua tìm hiểu và phân tích lịch sử phát triển của kháiniệm để làm rõ những yếu tố khoa học luận của khái niệm này Qua đóxác định những đặc trưng chủ yếu qua từng thời kì phát triển của kháiniệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Ý nghĩa của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Thông qua việc nêu vídụ toán học và ví dụ thực tế, qua đó cho ta cái nhìn rõ ràng về ý nghĩa củahệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong Toán học nói riêng và mọi lịchvực khác trong đời sống cũng như nghiên cứu nói chung.

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình trung học phổthông: Thông qua việc phân tích chương trình và SGK trung học phổthông làm rõ sự hiện diện và tiến triển của các đặc trưng khoa học luậncủa khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, tầm quan trọng của mỗiđặc trưng đó qua các cấp độ lớp.

II.PHẦN NỘI DUNG:

1 Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số:

1.1.Thời Cổ Đại:

Trong thời cổ đại, chúng ta có thể thấy các dấu hiệu của giải quyết cácvấn đề tương đối phức tạp dựa trên bất phương trình và hệ bất phươngtrình bậc nhất hai ẩn trong các nền văn minh cổ đại như Babylon, Ai Cập,và Hy Lạp.

1.1.1 Nền Văn Minh Babylon:

Người Babylon đã có đóng góp đáng kể vào lịch sử toán học.Trong các văn bản cổ đại của họ, có những ghi chú về cách giảiquyết các vấn đề thực tế, bao gồm cả việc sử dụng bất phươngtrình và hệ bất phương trình Một trong những ví dụ nổi tiếnglà Bảng Xem của Babylon, trong đó có nhiều ví dụ về việc giảicác vấn đề liên quan đến lãi suất, phân phối tài nguyên, vàthương mại.

1.1.2 Hy Lạp và Lưu Danh Euclid:

Trong thời kỳ cổ đại Hy Lạp, Euclid, nhà toán học nổi tiếngnhất của thời đại, đã viết tác phẩm "Elements" (Thành phần),nơi ông giới thiệu nhiều định lý và bổ đề liên quan đến hệ bấtphương trình Mặc dù công trình của Euclid tập trung chủ yếuvào phương trình tuyến tính và giải tích hình học, nhưng nhữngý tưởng về hệ bất phương trình đã được đề cập đến.

1.1.3 Trí Tuệ Trung Đông:

Trong thời kỳ này, các triết gia và nhà toán học ở Trung Đông,như Al-Khwarizmi, cũng đóng góp vào lịch sử toán học Al-Khwarizmi được biết đến với công trình "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" (Cuốn sách về đạisố và lượng giác), nơi ông trình bày các phương pháp giảiphương trình và bất phương trình.

1.1.4 Văn Minh Ấn Độ:

Trong Ấn Độ cổ đại, cũng có sự phát triển về toán học và giảicác vấn đề sử dụng hệ bất phương trình Những nhà toán họcnhư Brahmagupta đã viết về cách giải bất phương trình bậcnhất và bậc hai.

1.2.Thời Trung Đại:

Trong thời Trung Cổ, lịch sử hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩntiếp tục phát triển qua sự đóng góp của các nhà toán học và nhàtriết học của thời kỳ Dưới đây là một số diễn biến quan trọngtrong lịch sử của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong thờiTrung Cổ:

1.2.1 Al-Khwarizmi và Đại Số:

Al-Khwarizmi, một nhà toán học và nhà triết học ảnh hưởngđến thời Trung Cổ, có đóng góp đáng kể vào lịch sử của hệ bấtphương trình bậc nhất hai ẩn Công trình "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" của ông (cuốn sáchvề đại số và lượng giác) bao gồm cả các phương trình và bấtphương trình bậc nhất và bậc hai.

1.2.2 Omar Khayyam với The Treatise on Demonstration ofProblems of Algebra:

Được biết đến với việc giải một số trường hợp của phươngtrình bậc hai trong tác phẩm của ông, và ông đã có đóng gópđáng kể trong việc phát triển phương pháp giải phương trìnhbậc ba Tác phẩm lớn của ông như "The Treatise onDemonstration of Problems of Algebra" đã cung cấp thêmthông tin về cách ông tiếp cận các vấn đề liên quan đến đại sốvà phương trình trong thời kỳ Trung đại.

1.3.Thời Cận Đại:

Trong giai đoạn thế kỷ XV tới XVIII, toán học đang trải quanhững thay đổi quan trọng và lịch sử hệ bất phương trình bậc nhấthai ẩn cũng phản ánh sự phát triển trong lĩnh vực này Dưới đây làmột số điểm chính về lịch sử của hệ bất phương trình bậc nhất haiẩn trong giai đoạn này:

1.3.1 Leonhard Euler và Phương Trình Bậc Nhất:

Trong thế kỷ 18, nhà toán học Leonhard Euler đã làm việc vớinhiều dạng phương trình và bất phương trình, bao gồm cảnhững loại liên quan đến đại số tuyến tính Euler đã đóng góp

vào sự hiểu biết của chúng ta về cách giải quyết và áp dụng cácbài toán thực tế thông qua các biểu diễn toán học.

1.3.2 François Viète (1540 - 1603):

François Viète, một nhà toán học người Pháp, được biết đếnvới đóng góp của mình vào lịch sử của đại số tuyến tính và hệbất phương trình Trong tác phẩm của ông, "In ArtemAnalyticam Isagoge," Viète đã giới thiệu khái niệm về biến vàhệ số, đặt ra nền tảng cho việc giải quyết các phương trình vàbất phương trình bậc nhất.

1.3.3 Thomas Harriot (1560 - 1621):

Thomas Harriot, một nhà toán học và nhà thiên văn học Anh,cũng là một trong những người đầu tiên đặt vấn đề về giải cáchệ bất phương trình bậc nhất Công trình của ông thường đượcxem xét trong ngữ cảnh của việc nghiên cứu về đại số tuyếntính và quy hoạch tuyến tính.

1.3.4 John Wallis (1616 - 1703):

John Wallis, một nhà toán học Anh, là người tiếp tục phát triểnlý thuyết và phương pháp giải của hệ bất phương trình Trongtác phẩm "Arithmetica Infinitorum," ông giới thiệu một số kháiniệm mới về vô hạn và liên quan đến lượng giác.

1.3.5 Pierre de Fermat (1607 - 1665):

Pierre de Fermat, một nhà toán học người Pháp nổi tiếng vớiĐịnh lý Fermat, đã có những đóng góp quan trọng vào lýthuyết số và đại số Mặc dù ông không viết nhiều về hệ bấtphương trình, nhưng những ý tưởng của ông đã góp phần vàosự phát triển của toán học đại số tuyến tính.

1.3.6 Joseph Fourier (1768 - 1830):

Joseph Fourier, một nhà toán học và nhà vật lý người Pháp,đóng góp đáng kể vào lĩnh vực đại số tuyến tính và hệ bấtphương trình Ông nổi tiếng với việc phát triển chuỗi Fouriervà phương trình nhiệt độ Fourier, một dạng của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính.

1.3.7 Daniel Bernoulli (1700 - 1782):

Daniel Bernoulli, một nhà toán học và nhà vật lý Thụy Sĩ, làngười nghiên cứu về nhiều lĩnh vực toán học và vật lý Ông đãđóng góp vào lý thuyết xác suất và là một trong những người

đầu tiên áp dụng đại số tuyến tính để giải các vấn đề trong vậtlý.

1.3.8 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827):

Pierre-Simon Laplace, nhà toán học và nhà vật lý người Pháp,nổi tiếng với công trình của mình về thống kê và cơ học thiênthạch Ông đã sử dụng phương trình và bất phương trình tuyếntính để mô tả các hệ thống động lực trong vật lý.

1.4.Thời Hiện Đại:

Trong nửa đầu thế kỷ XIX, lĩnh vực toán học tiếp tục phát triểnvới nhiều đóng góp quan trọng từ nhiều nhà toán học nổi tiếng.Dưới đây là một số điểm chính về lịch sử của hệ bất phương trìnhbậc nhất hai ẩn trong giai đoạn này:

1.4.1 Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857):

Augustin-Louis Cauchy, một nhà toán học người Pháp, làngười đã đóng góp vào lĩnh vực phân tích thực và lý thuyếtđồng dạng Công trình của ông trong việc giải các hệ phươngtrình và bất phương trình tuyến tính có ảnh hưởng sâu rộngtrong toán học.

1.4.2 Niels Henrik Abel (1802 - 1829):

Niels Henrik Abel, một nhà toán học người Na Uy, nổi tiếngvới công trình về đại số và lý thuyết số Mặc dù ông qua đờikhi còn rất trẻ, nhưng những ý tưởng của Abel đã góp phần vàophát triển của hệ bất phương trình và đại số tuyến tính.

1.4.3 Siméon Denis Poisson (1781 - 1840):

Siméon Denis Poisson, một nhà toán học và nhà vật lý ngườiPháp, là người đưa ra các phương pháp giải quyết hệ bấtphương trình tuyến tính trong ngữ cảnh của vật lý toán học, đặcbiệt là trong cơ học và nhiệt độ.

1.4.4 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855):

Carl Friedrich Gauss, một trong những nhà toán học vĩ đại nhấttrong lịch sử, tiếp tục công trình của mình từ thế kỷ trước Ôngđã đóng góp vào lý thuyết đồng dạng và phương trình tuyếntính, mở ra những hướng nghiên cứu mới về hệ bất phươngtrình.

1.4.5 Lý Thuyết Toán Học Nghiên Cứu Số (Mathematical Analysis ofResearch Number):

Trong giai đoạn này, lý thuyết về các hệ số đồng dạng và cácđại số liên quan đến lý thuyết số bắt đầu trở nên phổ biến Cácnhà toán học đang tìm kiếm phương pháp giải quyết hệ bấtphương trình bậc nhất hai ẩn thông qua việc nghiên cứu sâurộng về đại số và phân tích thực.

1.4.6 David Hilbert (1862 - 1943):

David Hilbert, một nhà toán học Đức, đóng góp vào lĩnh vựcđại số và lý thuyết số Ông đã đề xuất một loạt các vấn đề mởtrong toán học, trong đó có một số liên quan đến hệ bất phươngtrình và bài toán tuyến tính.

1.4.7 Phương Pháp Đại Số Tuyến Tính:

Phương pháp đại số tuyến tính tiếp tục phát triển mạnh mẽtrong giai đoạn này, đặc biệt là sau khi các khái niệm nhưkhông gian vector và ma trận trở nên quan trọng Nhữngphương pháp này đã mở ra cánh cửa cho giải quyết hệ bấtphương trình bậc nhất hai ẩn thông qua các phương pháp đại sốhiện đại.

1.4.8 Lý Thuyết Đồng Dạng và Khối Ký Hiệu:

Lý thuyết đồng dạng và sự phát triển của các khối ký hiệu đãcung cấp một cách tiếp cận mạnh mẽ cho việc giải các hệ bấtphương trình bậc nhất hai ẩn Các nhà toán học như Élie Cartanvà Hermann Weyl đã đóng góp vào việc phát triển lý thuyếtnày.

1.4.9 Khám Phá Của Max Planck (1858 - 1947) và Albert Einstein(1879 - 1955):

Các nhà vật lý Max Planck và Albert Einstein đã đưa ra cácđịnh luật về bức xạ và hiệu ứng Compton, mà trong đó giảiquyết các hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính đóngmột vai trò quan trọng.

Giai đoạn này đã chứng kiến sự phát triển đáng kể trong cả lýthuyết và ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đặtnền móng cho nhiều khám phá và tiến bộ trong lĩnh vực này trongtương lai.

2 Ý nghĩa của Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: