Luận văn bất phương trình hàm sinh bởi các đại lượng trung bình bậc tùy ý và các dạng toán liên quan

1 Mở đầu Luận văn "Bất phương trình hàm sinh bởi các đại lượng trung bình bậc tùy ý và các dạng toán liên quan" nhằm cung cấp một số vấn đề cơ bản về phương trình và bất phương trình hàm chuyển tiếp c[.]

1 Mở đầu Luận văn "Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình bậc tùy ý dạng toán liên quan" nhằm cung cấp số vấn đề phương trình bất phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình, qua phân tích số dạng tốn liên quan đề thi học sinh giỏi Việt Nam thi Olympic nước khu vực Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp, Olympic Toán sinh viên, dạng toán liên quan tới phương trình bất phương trình hàm thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức chun đề khơng nằm chương trình thức SGK bậc trung học phổ thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chun đề phương trình bất phương trình hàm, tơi chọn đề tài luận văn "Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình bậc tùy ý dạng toán liên quan" Những năm gần có số luận văn cao học khảo sát phương trình (xem [4]) bất phương trình hàm (xem [5]) chuyển tiếp đại lượng trung bình Luận văn nhằm mục tiêu hoàn thiện chuyên đề bất phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình bậc tùy ý nhằm giúp giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông Tiếp theo, luận văn khảo sát số lớp toán phương trình bất phương trình hàm từ đề thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic nước năm gần Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình Chương Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình Chương Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm qua kỳ thi Olympic Chương Phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức tập hợp hàm số sơ cấp Đồng thời, ta xét lớp hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng, lớp hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình khác, phương trình hàm Lobachevsky, mối liến hệ phương trình hàm Lobachevsky phương trình hàm cổ điển 1.1 Một số tính chất tập hợp hàm số sơ cấp Trong mục này, ta nhắc lại số kiến thức tập hợp cần thiết sử dụng để giải phương trình hàm liên quan Định nghĩa 1.1 (xem [2],[3]) a) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a, (a > 0) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b) Cho f (x) hàm tuần hồn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ cở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hồn với chu kỳ bé T Bài tốn 1.1 (xem [2], [3]) Tồn hay khơng tồn hàm số f (x) 6≡ số, tuần hồn R khơng có chu kỳ sở Lời giải Xét hàm Dirichlet  0, x ∈ Q f (x) = 1, x ∈ / Q Khi f (x) hàm tuần hồn R chu kỳ a ∈ Q∗ tuỳ ý Vì Q∗ khơng có số nhỏ nên hàm f (x) khơng có chu kỳ sở Bài tốn 1.2 (xem [2], [3]) Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn M có chu kỳ a b với a/b ∈ Q Chứng minh F (x) := f (x) + g(x) G(x) := f (x)g(x) hàm tuần hoàn M Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = cho a/b = m/n Đặt T = na = mb Ta có  F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M ∀x ∈ M Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M x ± T ∈ M Vậy F (x), G(x) hàm tuần hoàn M Tiếp theo, ta xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.2 (xem [2],[3]) a) f (x) gọi hàm số chẵn M, M ∈ D(f ) (gọi tắt hàm chẵn M ) ∀x ∈ M − x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b) f (x) gọi hàm số lẻ M (gọi tắt hàm lẻ M ) ∀x ∈ M − x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Bài toán 1.3 Cho x0 ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho f (x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R (1.1) Lời giải Đặt x = x0 x0 − t suy t = − x Khi 2 x0 +t x0 − x = (1.1) có dạng f Đặt g(t) = f x x  x  +t =f − t , ∀t ∈ R 2 (1.2)  + t x x0  g(−t) = f − t , f (t) = g t − 2   Khi (1.2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm chẵn R Kết luận  x0  , f (x) = g x − g(x) hàm chẵn tuỳ ý R Bài toán 1.4 Cho a, b ∈ R Xác định tất hàm số f (x) cho f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R Lời giải Đặt (1.3) a − x = t, a a x = − t; a − x = + t 2 Khi (1.3) có dạng a  a  f + t +f − t = b 2 Đặt a  b f + t − = g(t) 2 Khi viết (1.4) dạng g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R g(−t) = −g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm số lẻ R (1.4) Kết luận  a b + , f (x) = g x − 2 g(x) hàm lẻ tuỳ ý R Trong phần mục này, ta xét đại lượng trung bình đặc trưng hàm liên quan Các kiến thức phần đươc lấy từ tài liệu [6] J Aczel Trong tài liệu này, J Aczel đưa phương pháp tổng quát giải phương trình hàm cấp, ví dụ: ϕ(x + y) = F [ϕ(x), ϕ(y)], x + y  ϕ = F [ϕ(x), ϕ(y)], ϕ(ax + by + c) = F [ϕ(x), ϕ(y)], (1.5) G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = (1.8) (1.6) (1.7) Đồng thời, J Aczel đưa tiêu chí tồn tính nghiệm Kể từ đó, phương pháp tổng qt ơng học trị tìm Trong luận văn này, ngồi đại lượng trung bình đối số, ta cịn xét đại lượng trung bình bậc tùy ý tổng quát: x+y ; x, y ∈ R √ Trung bình nhân đối số xy; x, y ∈ R+ Trung bình cộng đối số 2xy ; x, y ∈ R+ x+y r x2 + y Trung bình bình phương đối số ; x, y ∈ R+  xp + y p  p1 Trung bình bậc p (p > 1) đối số ; x, y ∈ R+ Trung bình điều hịa đối số đại lượng trung bình hàm số: f (x) + f (y) p Trung bình nhân hàm số f (x)f (y) Trung bình cộng hàm số Trung bình điều hịa hàm số 2f (x)f (y) f (x) + f (y) s [f (x)]2 + [f (y)]2 Trung bình bình phương hàm số  [f (x)]p + [f (y)]p  p1 Trung bình bậc p (p > 1) hàm số xét toán xác định hàm số chuyển tiếp đại lượng từ trung bình đối số sang đại lượng trung bình hàm số Cuối cùng, ta xét đại lượng trung bình đặc trưng hàm hàm sơ cấp liên quan Tính chất 1.1 (Hàm bậc nhất) f (x) = ax + b, a; b 6= có tính chất x + y  f = {f (x) + f (y)}, ∀x, y ∈ R 2 Tính chất 1.2 (Hàm tuyến tính) f (x) = ax, a 6= có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Tính chất 1.3 (Hàm mũ) f (x) = ax , a > 0, a 6= có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Tính chất 1.4 (Hàm Logarit) f (x) = loga |x| (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0} Tính chất 1.5 (Hàm Lũy thừa) f (x) = |x|a có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0} Tính chất 1.6 (Hàm lượng giác) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R Hàm f (x) = cos x có tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) (2k + 1)π , với x, y, x + y 6= , k ∈ Z − f (x)f (y) Hàm f (x) = cot x có tính chất f (x + y) = f (x)f (y) − , với x, y, x + y 6= kπ, k ∈ Z f (x) + f (y) Tính chất 1.7 (Hàm lượng giác ngược) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất p p f (x) + f (y) = f (x − y + y − x2 ), ∀x, y ∈ [−1, 1] Hàm g(x) = arccos x có tính chất p p g(x) + g(y) = g(xy − − x2 − y ), ∀x, y ∈ [−1, 1] Hàm h(x) = arctan x có tính chất  x+y  h(x) + h(y) = h , ∀x, y : xy 6= 1 − xy Hàm p(x) = arccot x có tính chất  xy −  p(x) + p(y) = p , ∀x, y : x + y 6= x+y Tính chất 1.8 (Các hàm hyperbolic) Hàm f (x) = sinh x := 21 (ex − e−x ) có tính chất f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R Hàm g(x) = cosh x := 21 (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), x, y ∈ R Hàm h(x) = x := ex −e−x ex +e−x có tính chất h(x + y) = h(x) + h(y) − h(x)h(y) e+ e−x có tính chất q(x) = coth x = x e − e−x q(x + y) = 1.2 + q(x)q(y) q(x) + q(y) Hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng Bài tốn 1.5 (Trung bình cộng vào trung bình cộng) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện:  x + y  f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R (1.9) f = 2 Lời giải Đặt f (0) = b f (x) = b + g(x) Khi g(0) = Thế vào (1.9), ta có  x + y  2b + g(x) + g(y) b+g = , ∀x, y ∈ R 2  x + y  g(x) + g(y) = , ∀x, y ∈ R, (1.10) g 2 g(0) = x Thay y = vào (1.10), ta có g = g(x) 2 hay  x + y  g(x + y) g = , ∀x, y ∈ R 2 x + y  Thay vào (1.10) ta có g = g(x)+g(y) , ∀x, y ∈ R 2 g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R (1.11) Vì g(x) liên tục R nên (1.11) phương trình hàm Cauchy g(x) = ax Suy f (x) = ax + b, a, b, ∈ R Thử lại ta thấy nghiệm f (x) = ax + b thỏa mãn điệu kiện đầu Vậy hàm cần tìm là: f (x) = ax + b, a, b ∈ R tùy ý Bài toán 1.6 (Trung bình cộng vào trung bình nhân) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện: x + y  q f (1.12) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R Lời giải Với x = t, y = t, ta có q f (t) = [f (t)]2 =| f (t) |> 0, ∀t ∈ R Khi đó, xảy trường hợp sau: + Trường hợp 1: ∃x0 để f (x0 ) = Khi đó, ∀t ∈ R ta có  x + (2t − x )  q 0 f (t) = f = f (x0 ).f (2t − x0 ) = 0, ∀t ∈ R Vậy f (t) ≡ nghiệm (1.12) + Trường hợp 2: f (t) > 0, ∀t ∈ R Lấy logarit số e hai vế (1.12) ta x + y
ln f (x) + ln f (y) = ln[f (x).f (y)](1/2) = , ∀x, y ∈ R, ln f 2 10 hay g x + y  = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R, (1.13) g(t) = ln f (t) Vậy (1.13) hàm số chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng nên theo Bài tốn 1.5 g(t) = at + b ln f (t) = at + b Vậy f (t) = eat+b = eb (ea )t = BAt Như vậy: f (x) = BAt , A, B > tùy ý, ∀x ∈ R Bài tốn 1.7 (Trung bình cộng vào trung bình điều hịa) Tìm hàm số f (x) : R → R+ xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện x + y  2f (x)f (y) = , ∀x, y ∈ R (1.14) f f (x) + f (y) Lời giải Theo giả thiết, ta thấy: x + y  (1.14)⇔ f = +2 , ∀x, y ∈ R, f (x) f (y) hay 1 f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R, x + y  = f nên  x + y  g(x) + g(y) g = , ∀x, y ∈ R, 2 g(t) = f (t) , ∀t ∈ R Khi g(t) > 0, ∀t ∈ R Theo kết Bài toán 1.5 ta g(t) = at+b, ∀t ∈ R f (t) = at+b Chọn a, b để f (t) có hai tính chất liên tục dương ∀t ∈ R mẫu số khác nên a = 0, b > suy f (t) = 1b Thử lại kết ta thấy hàm thỏa mãn điệu kiện đầu Vậy f (x) ≡ c, c > tùy ý Bài tốn 1.8 (Trung bình cộng vào trung bình bậc hai) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện r x + y  [f (x)]2 + [f (y)]2 f = , ∀x, y ∈ R (1.15) 2 Lời giải Từ giả thiết suy f (x) > 0, ∀x ∈ R Vì ... Chương Bất phương trình hàm sinh đại lượng trung bình Chương Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm qua kỳ thi Olympic 3 Chương Phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình. .. thấy hàm thỏa mãn điều kiện toán đặt Kết luận f (t) = p với a, b > 0, b 6= tùy ý at + b Đặt g(x) = Bài toán 1.17 (Trung bình bậc tùy ý thành trung bình bậc tùy ý) Tìm hàm số f (t) xác định liên. .. phương hàm số  [f (x)]p + [f (y)]p  p1 Trung bình bậc p (p > 1) hàm số xét toán xác định hàm số chuyển tiếp đại lượng từ trung bình đối số sang đại lượng trung bình hàm số Cuối cùng, ta xét đại