Luận văn về phương trình tuyến tính với các số fibonacci

1 Líi c£m ìn Tr÷îc h¸t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn ch¥n th nh �¸n PGS TS Næng Quèc Chinh �¢ h÷îng d¨n tæi ho n th nh b£n luªn v«n n y Khi b­t �¦u nhªn � t i thüc sü tæi c£m nhªn � t i mang nhi u nëi dung[.]

1 Lới cÊm ỡn Trữợc hát, tổi xin gỷi lới biát ỡn chƠn thnh án PGS TS Nổng Quốc Chinh  hữợng dăn tổi hon thnh bÊn luên vôn ny Khi bưt Ưu nhên à ti thỹc sỹ tổi cÊm nhên à ti mang nhiÃu nởi dung mợi m Hỡn nỳa vợi vốn kián thực ẵt ọi nản rĐt khõ  tiáp cên à ti Mc dũ rĐt bên rởn cổng viằc ThƯy văn dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát viằc hữợng dăn, ởng viản khuyán kh½ch tỉi st thíi gian tỉi thüc hi»n · ti Trong quĂ trẳnh tiáp cên à ti án quĂ trẳnh hon thiằn luên vôn ThƯy luổn tên tẳnh ch bÊo v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi hon thnh luên vôn Cho án bƠy giớ luên vôn thÔc sắ cừa tổi  ữủc hon thnh, xin cÊm ỡn ThƯy  ổn ốc nhưc nh tổi Tổi xin trƠn trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin v Phỏng o tÔo cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn cĂc ThƯy, Cổ  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi nhĐt  tổi hon thnh luên vôn ny Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u, c¡c thƯy cổ giĂo trữớng THPT Hoa Lữ A - Ninh Bẳnh nỡi tổi cổng tĂc  tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi hon thnh cổng viằc chuyản mổn tÔi nh trữớng  tổi hon thnh chữỡng trẳnh hồc têp cao håc Ci cịng, tỉi xin ch¥n th nh b y tä láng biát ỡn án gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới khổng ngứng ởng viản, hộ trủ tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2019 T¡c gi£ inh Thà Huy·n Mð ¦u Leonardo Pisano Bogollo (khoÊng 1170  khoÊng 1250), cỏn ữủc biát án vợi tản Leonardo cừa Pisa, hay phờ bián nhĐt dữợi cĂi tản Fibonacci, l mởt nh toĂn hồc ngữới ị v  ỉng ÷đc mët sè ng÷íi xem l  "nh  to¡n hồc ti ba nhĐt thới Trung Cờ" Fibonacci nời tiáng thá giợi hiằn Ôi vẳ cõ cổng lan truyÃn hằ kỵ số Hindu- Rêp chƠu u, v c biằt l dÂy số hiằn Ôi mang tản ổng, dÂy Fibonacci cuèn s¡ch Liber Abaci D¢y sè Fibonacci l  mët nhúng v´ µp cõa kho t ng To¡n håc DÂy Fibonacci xuĐt hiằn v bián hõa vổ tên tỹ nhiản, vợi rĐt nhiÃu tẵnh chĐt àp v ựng dửng quan trồng án cõ rĐt nhiÃu m rởng cừa dÂy Fibonacci nhữ dÂy k -Fibonacci HƯu hát nhỳng tẵnh chĐt tốt cừa nhỳng dÂy ny Ãu xuĐt phĂt tứ dÂy Fibonacci Mởt dÂy tỗn tÔi song song vợi dÂy Fibonacci l dÂy Lucas DÂy ny cõ nhiÃu ựng dửng c biằt tẳm nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh Diophantine Hai dÂy ny l chúng cõ mối liản hằ cht ch vợi Trong tỹ nhiản cõ nhiÃu hiằn tữủng, sỹ vêt xuĐt hiằn trũng vợi dÂy số Fibonacci HƯu hát cĂc bổng hoa cõ số cĂnh hoa l  mët c¡c sè 3, 5, Sè nh¡nh tứ mởt cƠy i tứ gốc lản ngồn cụng thữớng tuƠn theo dÂy Fibonacci tứ nhĂnh lản nhĂnh, nhĂnh rỗi 5, 8, 13 nhĂnh Nhỳng chiác lĂ trản mởt nhnh cƠy cụng tữỡng ựng vợi dÂy số Fibonacci Trong luên vôn ny i tẳm hiu cĂc bi toĂn riảng, bi toĂn tờng quĂt và phữỡng trẳnh tuyán tẵnh õ cĂc hằ nghiằm l cĂc số Fibonacci Nởi dung cừa luên vôn trẳnh by hai chữỡng Chữỡng dnh  trẳnh by lÔi số kián thực liản quan án số Fibonacci v sè Lucas, giỵi thi»u hai b i to¡n 779 v  804 v  líi gi£i cõa hai b i to¡n n y C¡c k¸t quÊ  biát cừa chữỡng ny ữủc viát theo ti liằu [1], [2], [3] Chữỡng ta têp trung i t¼m hiºu b i to¡n têng qu¡t, líi gi£i b i to¡n m = 3, tø â ÷a dü o¡n líi gi£i cho b i to¡n têng qu¡t Cử th phƯn 2.1 giợi thiằu bi toĂn tờng quĂt PhƯn 2.2 trẳnh by lới giÊi trữớng hủp m = hoc PhƯn 2.3 trẳnh by lới giÊi cho trữớng hủp tờng quĂt õ l nh lỵ ngău nhiản PhƯn 2.4 án hát 2.8 l cĂc kát quÊ xoay quanh viằc chựng minh cừa nh lỵ ngău nhiản CĂc kát quÊ  biát cừa chữỡng ny ữủc viát theo ti liằu [4] Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 DÂy Fibonacci v dÂy Lucas nh nghắa 1.1.1 DÂy số Fibonacci, kỵ hiằu (Fn)n N ữủc nh nghắa bi cổng thực truy hỗi ( F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , (n ≥ 1), ð ¥y Fn l  sè hÔng thự n cừa dÂy số Fibonacci CĂc số Ưu tiản cừa dÂy Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, Tø hằ thực truy hỗi cừa dÂy Fibonacci ta cõ Fn+2 − Fn+1 − Fn = 0, vỵi måi n ≥ Do õ ta cõ phữỡng trẳnh x2 x − = hay x2 = x + NhƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh vợi xn1 ta ữủc xn+1 = xn + xn−1 (1.1) Rã r ng n¸u l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) thẳ cụng l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) Do â ϕn+1 = ϕn + ϕn−1 v  (1 − ϕ)n+1 = (1 − ϕ)n + (1 − ϕ)n−1 n Vỵi méi c°p sè thüc a, b, ta °t Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ) Khi õ tĐt cÊ cĂc hm ny thọa mÂn hằ thực truy hỗi Fibonacci nh nghắa 1.1.2 CĂc hm Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n ÷đc gåi l hm sinh Trong nh nghắa dÂy Fibonacci, cĂc số hÔng cừa dÂy ữủc cho dữợi dÔng truy hỗi nản sỷ dửng dÂy ổi gp khõ khôn Mằnh à sau Ơy cho ta cổng thực tữớng minh cừa dÂy Fibonacci v ữủc gồi l cổng thực Binet Cổng thùc Binet ÷đc sû dưng húu hi»u c¡c chùng minh sau ny Mằnh à 1.1.3 DÂy số Fibonacci ữủc cho bði cæng thùc  Fn = √ n 1+  − √ √ n 1− DÂy Lucas l mởt dÂy số ữủc t tản nhơm vinh danh nh toĂn hồc Francois douard Anatole Lucas (1842-1891), ngữới  nghiản cựu dÂy số Fibonacci, dÂy số Lucas v cĂc dÂy tữỡng tỹ Giống nhữ dÂy Fibonacci, mội số dÂy Lucas bơng tờng cừa hai số liÃn trữợc nõ DÂy số gỗm thữỡng giỳa hai số Lucas liÃn s hởi tử án giợi hÔn bơng t lằ vng Tuy vêy khĂc vợi dÂy Fibonacci, hai số Ưu tiản dÂy Lucas l L0 = v  L1 = (trong d¢y Fibonacci l  v 1) Chẵnh vẳ thá m mởt số tẵnh chĐt cừa số Lucas s khĂc vợi số Fibonacci nh nghắa 1.1.4 Cho r, s l  c¡c sè nguy¶n kh¡c khỉng DÂy Lucas ựng vợi cp (r, s) ữủc nh nghắa l : u0 (r, s) = 0, u1 (r, s) = 1, un (r, s) = run−1 + sun−2 (n ≥ 2) Trong tr÷íng hđp (r, s) = (1, 1) ta kẵ hiằu số hÔng thự n cừa dÂy l Ln v gồi ngưn gồn l dÂy Lucas Tữỡng tỹ nhữ dÂy Fibonacci, bơng quy nÔp ta cõ th chựng minh ữủc dÂy Lucas ữủc cho bi cổng thực sau Mằnh à 1.1.5 Vợi mồi số nguyản dữỡng n, ta câ Ln = √ !n 1+ − √ !n 1− Tø M»nh · 1.1.3 v  M»nh à 1.1.5 ta cõ nh lỵ sau nh lỵ cho ta mối liản hằ giỳa cĂc số hÔng tờng quĂt cừa dÂy Fibonacci v dÂy Lucas nh lỵ 1.1.6 Vợi mồi số nguyản dữỡng n > m, ta câ FnLm = Fn+m + Fn−m Vỵi méi sè nguyản dữỡng n ta t Fn = (1)n Fn v Ln = (−1)n Ln 1.2 B i to¡n 779 N«m 1995, tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly số 33.1  giợi thi»u b i to¡n B.779 cõa Andrew Cusumano Nëi dung cõa bi toĂn õ l: Tẳm cĂc số nguyản a, b, c v  d thäa m¢n < a < b < c < d cho ỗng nhĐt thực sau l úng vợi mồi số nguyản dữỡng n Fn = Fn−a + 6Fn−b + Fn−c + Fn−d (1.2) ¢ câ nhi·u nh  to¡n håc kh¡c gûi líi gi£i ¸n tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly, hƯu hát cĂc nh toĂn håc ch¿ gûi ¸n líi gi£i a = 2, b = 5, c = 6, d = v  kh¯ng ành r¬ng vi»c chùng minh ¯ng thùc Fn = Fn−2 + 6Fn5 + Fn6 + Fn8 (1.3) bơng phữỡng phĂp chựng minh quy nÔp theo n l ỡn giÊn Ch câ Bruckman v  Figghion ¢ chùng minh cư thº v  ch cĂch tẳm a, b, c, d Tuy nhiản, cĂc phữỡng phĂp tiáp cên v giÊi quyát bi toĂn dữớng nhữ khổng cõ tẵnh khĂi quĂt Ta cõ th cõ chựng minh ng thực (1.3) bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo n nhữ sau: Vợi n = thẳ phữỡng trẳnh (1.3) tữỡng ữỡng vợi F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0 ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng v¼ F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = Gi£ sû ¯ng thực úng vợi mồi số tỹ nhiản k ≤ n Ta chùng minh (1.3) óng vỵi k = n + Theo nh nghắa dÂy Fibonacci v giÊ thiát quy nÔp ta cõ Fn+1 = Fn + Fn−1 = (Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 ) + F(n−1)−2 + 6F(n−1)−5 + F(n−1)−6 + F(n−1)−8
= (Fn−2 + Fn−3 ) + (Fn−5 + Fn−6 ) + (Fn−6 + Fn−7 ) + (Fn−8 + Fn−9 ) = Fn−1 + 6Fn−4 + Fn−5 + Fn−7 V¼ vªy ta câ Fn+1 = F(n+1)−2 + 6F(n+1)−5 + F(n+1)−6 + F(n+1)−8 1.3 B i to¡n 804 Nëi dung cõa bi toĂn 804 l: HÂy tẳm tĐt cÊ cĂc số nguyản a, b, c v d (vợi < a < b < c < d) cho ỗng nhĐt thực sau Ơy l úng vợi mồi số nguyản dữỡng n Fn = Fn−a + 9342Fn−b + Fn−c + Fn−d (1.4) Ngay sau õ, nôm 1997, L.A.G Dersel  ÷a líi gi£i cõa b i to¡n 804 sè 35.1 (1997) cừa tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly Lới giÊi cử th nhữ sau Tứ nhên xt 9342 = 9349 − = L19 − L4 , ð ¥y Lk l số Lucas thự k Sỷ dửng cĂc ỗng nhĐt thùc giúa c¡c sè Fibonacci v  sè Lucas ta câ Fm+19 − Fm−19 = Fm L19 , Fm+4 + Fm−4 = Fm L4 Trứ vá vợi vá cừa ng thực trản ta nhên ữủc Fm+19 Fm19 Fm+4 − Fm−4 = Fm (L19 − L4 ) t n = m + 19, ta nhên ữủc ng thùc sau Fn = Fn−15 + 9342Fn−19 + Fn−23 + Fn38 Nhữ vêy ta cõ cĂc số trản cƯn t¼m l : a = 15, b = 19, c = 23, d = 38 Bốn số trản chẵnh l mởt líi gi£i cõa b i to¡n 804 Nhªn x²t 1.3.1 (i) Trong thüc t¸, vi»c gi£i c¡c b i to¡n 779 v 804, chẵnh l viằc tẳm cĂc số Fibonacci thọa mÂn cĂc ỗng thực  nảu, hay nõi cĂch khĂc chẵnh l viằc giÊi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi c¡c nghi»m l  c¡c sè Fibonacci (ii) Rã r ng ta cõ th thay ời hằ số cừa hÔng tỷ thự cừa vá phÊi cĂc ỗng nhĐt thực trản v ta s nhên lÔi ữủc mởt bi toĂn mợi vợi cĂc lới giÊi khĂc Vẵ dử 1.3.2 Zeitlin  t¼m a = 2, b = 20, c = 40, d = l lới giÊi cừa phữỡng trẳnh Fn = Fn−2 + 9349Fn−20 + Fn−40 + Fn−41 Trong chữỡng sau (nởi dửng chẵnh cừa luên vôn) s nghiản cựu cĂch giÊi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi c¡c bë nghi»m l  c¡c sè Fibonacci Ch÷ìng CĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi cĂc số Fibonacci 2.1 Giỵi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m T÷ìng tü nh÷ B i to¡n 779 v  804 ta x²t b i to¡n têng qu¡t sau B i to¡n Cho m l  mởt số nguyản thọa mÂn m Tẳm tĐt c£ c¡c bë sè nguy¶n {c 6= 0, a(1), a(m)} thäa m¢n i·u ki»n < a(1) < a(2) < < a(m) cho vỵi måi sè n > cho trữợc ta cõ Fn = Fna(1) + cFna(2) + Fn−a(3) + Fn−a(4) + + Fn−a(m) (2.1) nh nghắa 2.1.1 Phữỡng trẳnh (2.1) ữủc gồi l phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt vợi cĂc số Fibonacci cõ ở di m Trong phữỡng trẳnh (2.1) ữủc gồi bơng c¡ch thay n = a(2) = b v  °t x(1) = b − a(1), x(i) = a(i) − b, i = 3, 4, , m Khi õ tứ phữỡng trẳnh (2.1) ta cõ phữỡng trẳnh sau Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + + F−x(m) , (2.2) < x(1) < b; < x(3) < x(4) < < x(m) (2.3) õ nh nghắa 2.1.2 Phữỡng trẳnh (2.2) ữủc gồi l phữỡng trẳnh rút gồn cừa (2.1) 10 ành ngh¾a 2.1.3 Mët nghi»m b, x(1), x(3), x(4), , x(m) cừa phữỡng trẳnh (2.2) ữủc gồi l tham số náu b + 2j, x(1) + 2j, x(3) + 2j, x(4) + 2j, , x(m) + 2j công l  nghiằm cừa (2.2) Mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) ữủc gåi l  nghi»m ìn n¸u nâ khỉng l  − tham số Nhên xt: Nhữ vêy, têp tĐt cÊ cĂc nghiằm tham số l mởt lợp vổ hÔn c¡c nghi»m, m  chóng câ kho£ng c¡ch ·u giúa cĂc ch số Vẳ vêy, tĐt cÊ cĂc ch số cõa c¡c nghi»m − tham sè câ thº biºu diạn nhữ mởt hm tuyán tẵnh cừa mởt tham số nhĐt Vẳ vêy, náu nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) l  − tham sè, th¼ kho£ng c¡ch giúa c¡c ch số l rĐt quan trồng nh nghắa 2.1.4 ối vỵi nghi»m 1−tham sè b, x(1), x(3), x(4), , x(m) cừa phữỡng trẳnh (2.2) ta sỷ dửng y − k½ hi»u ("y − notation") thay cho bë (m − 1) sau ¥y: hy(1), y(3), y(4), · · · , y(m)i, â y(i) ÷đc x¡c ành bði y(i) = |b − x(i)| vỵi i = 1, 3, 4, , m V½ dư 2.1.5 a) ối vợi ỗng nhĐt thực Fb = Fb1 + Fb−2 ta câ y − k½ hi»u l  h1, 2i V¼ y(1) = · · · = y(2) = à à à = b) ối vợi ỗng nhĐt thực Fb = Fb2 + Fb1 thẳ y kẵ hi»u l  h2, 1i ành ngh¾a 2.1.6 Hai nghi»m cõa phữỡng trẳnh (2.2) thọa mÂn iÃu kiằn (2.3) ữủc gồi l hai nghiằm nhữ náu ở di v y kẵ hiằu cừa chúng l bơng Ró rng quan hằ hai nghiằm nhữ nhau lợp cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2) ữủc nh nghắa nhữ trản l mët quan h» t÷ìng ÷ìng ... d¢y số ữủc t tản nhơm vinh danh nh toĂn hồc Francois douard Anatole Lucas (1842-1891), ngữới  nghiản cựu dÂy số Fibonacci, dÂy số Lucas v cĂc dÂy tữỡng tỹ Giống nhữ dÂy Fibonacci, mội số. .. nghiằm tham số l mởt lợp vổ hÔn cĂc nghi»m, m  chóng câ kho£ng c¡ch ·u giúa c¡c ch số Vẳ vêy, tĐt cÊ cĂc ch số cừa c¡c nghi»m − tham sè câ thº biºu di¹n nhữ mởt hm tuyán tẵnh cừa mởt tham số nhĐt... cổng thực truy hỗi ( F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , (n ≥ 1), ð Ơy Fn l số hÔng thự n cừa dÂy số Fibonacci CĂc số Ưu tiản cừa dÂy Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, Tứ