Mục lục Mở đầu 2 Chương 1 Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 5 1 1 Mở đầu về phương trình hàm 5 1 2 Tổng quan về phương trình hàm loại giá trị trung bình 7 1 3 Phương trình hàm và định lý giá[.]
Mục lục Mở đầu Chương Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.1 Mở đầu phương trình hàm 1.2 Tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.3 Phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy 12 Chương Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung bình 22 2.1 Định lý giá trị trung bình hàm hai biến 22 2.2 Phương trình hàm loại giá trị trung bình 23 2.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng 31 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Chúng ta biết mơn Tốn coi mơn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều hội rèn luyện, phát triển tư nghiên cứu cơng thức giải tốn độc đáo mẻ Trong nhiều năm qua, hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, tốn liên quan đến phương trình, phương trình hàm chiếm vị trí đáng kể Phương trình hàm tốn sử dụng khai thác từ nhiều khía cạnh Tốn học Về bản, chương trình Tốn phổ thơng giải phương trình có nghiệm số cụ thể, cịn phương trình mà nghiệm hàm tốn học chưa trình bày, loại phương trình gọi phương trình hàm Tuy nhiên, khía cạnh Tốn ứng dụng, chẳng hạn phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng nghiệm chủ yếu hàm tốn học Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán, toán phương trình hàm ln khai thác, khơng dễ khai thác tính lạ dạng tốn, mà cịn có nhiều ý nghĩa ứng dụng Tốn học đại Phương trình hàm loại giá trị trung bình thật đẹp từ nội dung đến ứng dụng nhiều góc độ giải tốn nên thu hút khơng quan tâm người học chuyên gia đầu ngành nghiên cứu Toán cách sâu sắc tồn diện Vì lí chúng tơi chọn đề tài luận văn "Về phương trình hàm loại giá trị trung bình áp dụng" Nội dung luận văn chia thành hai chương, tham khảo từ hai tài liệu [10] [12] Các nội dung tham khảo tác giả cố gắng trình bày chi tiết Cụ thể Chương luận văn, tác giả trình bày sơ lược phương trình hàm, tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy Trong Chương 2, tác giả trình bày phương trình hàm hai biến, nội dung xoay quanh phương trình hàm hai biến liên quan tới định lý giá trị trung bình số kết mở rộng Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn –Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão, An Lão, Hải Phòng toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán K10B1, TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K10B1 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên khơng thể thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2018 Học viên Bùi Thị Du Chương Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.1 Mở đầu phương trình hàm Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ thời A.M Legendre người cố gắng tìm nghiệm phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Việc nghiên cứu hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng tính khởi xướng A.L Cauchy sách ông "Coursd d’Analyse" năm 1821 Các hàm cộng tính nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Đầu tiên ta phải làm rõ hàm cộng tính gì? Sau ta bàn phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm cộng tính liên tục khả tích địa phương tuyến tính Ngồi ta nghiên cứu cách giải phương trình hàm khơng tuyến tính khơng liên tục chúng biểu diễn phương diện khác: Các đồ thị chúng trù mật mặt phẳng Các hàm cộng tính tìm thấy nhiều nơi sách Aczél (1966, 1987), Aczél Dhombres (1989) Smital (1988) Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm với hai hay nhiều biến nhiều số hạng hàm cộng tính, nhân tính, hàm logarit hàm mũ Một vài phần quan trọng chương tìm Aczél (1965) Wilansky (1967) Cho hàm f : R → R thỏa mãn phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với x, y ∈ R Phương trình hàm biết phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm (1.1) nghiên cứu A.M Legendre (1791) C.F Gauss (1809) A.L Cauchy (1821) người tìm nghiệm liên tục tổng quát Phương trình (1.1) có vị trí quan trọng tốn học Hàm f gọi cộng tính thỏa mãn phương trình (1.1) Định lý 1.1.1 Cho f : R → R liên tục thỏa mãn phương trình (1.1) Khi f tuyến tính, nghĩa f (x) = cx c số tùy ý Tiếp theo, hàm cộng tính nhận giá trị thực Rn biểu diễn tổng n hàm cộng tính biến Phương trình (1.1) tổng quát sau: Xét hàm số f : Rn → R thỏa mãn f (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) = f (x1 , x2 , , xn ) + f (y1 , y2 , , yn ) với (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Xét trường hợp phương trình hàm cộng tính hai biến ta có khẳng định định lý sau Định lý 1.1.2 Nếu f : R2 → R cộng tính R2 tồn hàm cộng tính A1 , A2 : R → R cho f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ) (1.2) với x1 , x2 ∈ R Phương trình hàm có dạng f (x) + f (y) x+y = f 2 ! (1.3) với x, y ∈ R gọi phương trình hàm Jensen Hàm f thỏa mãn phương trình (1.3) gọi hàm Jensen Định lý 1.1.3 Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm Jensen f (x) + f (y) x+y = f 2 ! (JE) với x, y ∈ R f (x) = A(x) + a (1.4) với A : R → R hàm cộng tính a số 1.2 Tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình Trong mục chúng tơi trình bày phương trình hàm loại giá trị trung bình, tức vấn đề phương trình hàm liên quan tới định lý giá trị trung bình Các kết trình bày mục lấy từ tài liệu [8, 10] P Kannappan cộng Định lý 1.2.1 Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) Khi tồn ξ ∈ (a, b) cho f (ξ) = f (b) − f (a) b−a Phương trình tiếp tuyến điểm (ξ, f (ξ)) y = (x − ξ)f (ξ) + f (ξ) Phương trình đường thẳng qua hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) f (b) − f (a) y = (x − a) + f (a) b−a Nếu đường thẳng song song với tiếp tuyến ξ f (ξ) = f (b) − f (a) b−a Đây định lý giá trị trung bình Lagrange, định lý có vai trị quan trọng phép tính vi phân Định lý đưa J L Lagrange (1736–1813) Nếu hàm f : R → R khả vi [a, b] đoạn bất kỳ, theo định lý giá trị trung bình tồn ξ ∈ (a, b) thỏa mãn f (b) − f (a) = f (ξ(x, y)), b−a (1.5) với ξ(x, y hàm phụ thuộc x, y Câu hỏi đặt ra, với hàm f để giá trị trung bình ξ(x, y) phụ thuộc vào x, y thỏa mãn phương trình cho Từ đẳng thức (1.5) xem phương trình hàm với f hàm chưa biết cho trước ξ(x, y) Hàm ξ(x, y) hàm tổng quát, tổ hợp tuyến tính phi tuyến x y, chẳng hạn x+y , √ ξ(x, y) = xy, ξ(x, y) = ξ(x, y) = v u p u p x t + yp (1.6) (1.7) (1.8) Trong phương trình (1.5) vế phải thay hàm chưa biết, chẳng hạn hàm h, phương trình (1.5) trở thành f (x) − f (y) = h(ξ(x, y)) x−y (1.9) Nếu chọn ξ(x, y) = (x + y)/2, ta thu phương trình hàm sau x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với x, y ∈ R (1.10) Huruki (1979) Aczél (1985) độc lập với tìm nghiệm phương trình hàm (1.10) Định lý 1.2.2 Cho f : R → R hàm thỏa mãn x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với x, y ∈ R (1.11) Khi tồn a, b, c ∈ R cho f (x) = ax2 + bx + c h(x) = 2ax + b Phương trình hàm (1.10) viết lại sau f (x) − f (y) = g(x + y) với g(x) := h(x/2) x−y (1.12) Nhận thấy phương trình (1.12) thỏa mãn x 6= y Nên để xét phương trình hàm R, ta xây dựng hàm tỉ sai phân sau f [x, y] = f (x) − f (y) x−y Khi đó, phương trình hàm (1.12) biểu diễn sau f [x, y] = g(x+y) Một cách tổng quát, ta thu phương trình hàm dạng sau f [x, y, z] = g(x + y + z), (1.13) f [x1 , x2 , , xn ] = g(x1 + x2 + · · · xn ) (1.14) Ta trình bày định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.3 Cho n số thực phân biệt x1 , x2 , , xn , tỉ sai phân bậc n hàm f : R → R xác định truy hồi sau f [x1 ] = f (x1 ) f [x1 , x2 , , xn ] = (1.15) f [x1 , x2 , , xn−1 ] − f [x2 , , xn ] , n > x1 − xn (1.16) Từ Định nghĩa 1.2.3, ta có số tính chất sau Bổ đề 1.2.4 Nếu f (x) = bx + c f [x, y, z] = Nếu f (x) = ax2 + bx + c f [x, y, z] = a f (x) = ax3 + bx2 + cx + d f [x, y, z] = a(x + y + z) f [x1 , x2 , , xn ] = n X f (xi ) − xj ) Qn i=1 j6=i (xi Bài toán 1.1 Các hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm f [x, y] = h(x + y), x 6= y, (1.17) 10 f (x) = ax2 + bx + c h(x) = ax + b, a, b, c số thực tùy ý Lời giải Từ định nghĩa tỉ sai phân f , viết lại sau f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), x 6= y (1.18) Nếu f thỏa mãn phương trình (1.18), f + b thỏa mãn, với b số tùy ý Vì vậy, khơng tính tổng qt ta giả sử f (0) = Đặt y = phương trình (1.18) ta có f (x) = xh(x) (1.19) xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y) (1.20) Từ (1.18) ta có Ngược lại, h thỏa mãn phương trình (1.20) h + c thỏa mãn, với c số tùy ý Giả sử h(0) = 0, đặt x = −y (1.20), ta −yh(−y) = yh(y) (1.21) Do h hàm lẻ, cho y = −y (1.20), ta có xh(x) − yh(y) = (x + y)h(x − y) (1.22) So sánh (1.22) (1.20), ta có (x − y)h(x + y) = (x + y)h(x − y) (1.23) thay u = x + y, v = x − y vào (1.23), ta vh(u) = uh(v),∀u, v ∈ R Do ta có h(u) = au Nếu khơng có giả sử h(0) = ta có h(u) = au+b, suy h(x) = ax + b, ∀x ∈ R Từ (1.19) có f (x) = x(ax + b), khơng có f (0) = f (x) = ax2 + bx + c, x ∈ R Như ta có điều phải chứng minh Từ tốn ta có tốn sau ... tiết Cụ thể Chương luận văn, tác giả trình bày sơ lược phương trình hàm, tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy Trong... trung bình Trong mục chúng tơi trình bày phương trình hàm loại giá trị trung bình, tức vấn đề phương trình hàm liên quan tới định lý giá trị trung bình Các kết trình bày mục lấy từ tài liệu [8,... Thị Du Chương Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.1 Mở đầu phương trình hàm Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ thời A.M Legendre người cố gắng tìm nghiệm phương trình hàm Cauchy f (x