MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 7 1 1 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 7 1 2 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌN[.]
MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT NGHIÊN CỨU TỐN HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ .7 1.1 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .7 1.2 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 12 CHƯƠNG MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ .15 2.1 LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TỐN LỚP .15 2.1.1 Phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình tốn 16 2.1.2 Phương trình, bất phương trình vơ tỉ SGK toán lớp 16 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ở LỚP 10 22 2.2.1 Phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình Đại số 10 22 2.2.2 Phương trình, bất phương trình vơ tỉ SGK Đại số 10 .24 CHƯƠNG MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 57 3.1 THỰC NGHIỆM 57 3.1.1 Phân tích tiên nghiệm tập .58 3.1.2 Phân tích hậu nghiệm tập 61 3.2 THỰC NGHIỆM 63 3.2.1 Phân tích tiên nghiệm .64 3.2.2 Phân tích hậu nghiệm .74 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 PHỤ LỤC PHIẾU THỰC NGHIỆM BIÊN BẢN QUAN SÁT TIẾT DẠY LỚP 10 NÂNG CAO MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình bất phương trình ln nội dung trọng tâm tốn phổ thơng dù qua nhiều lần cải cách giáo dục, thay sách giáo khoa Liên quan đến phương trình, bất phương trình, thực tế cho thấy ln nội dung khó học sinh Đứng trước toán : giải bất phương trình x+5 < , học sinh 1− x đưa cách giải sau: Điều kiện: − x ≠ x+5 < ⇔ x + < 1− x 1− x 1 − x > ⇔ x + ≥ ⇔ −5 ≤ x < x + < (1 − x) Lập luận sai x lấy giá trị R nhị thức bậc (1 – x) âm, dương Ở vị trí người giảng dạy chúng tơi đặt câu hỏi học sinh lại thực phép biến đổi trên? Hướng quan sát đến lời giải tốn : giải phương trình x+5 = , nhận thấy: 1− x Điều kiện: − x ≠ x+5 =1 ⇔ x + =1 − x 1− x 1 − x ≥ ⇔ ⇔x= x + = (1 − x) Trong phương trình, để nhân biểu thức mẫu lên điều kiện − x ≠ Khi đó, bất phương trình học sinh nhân mẫu lên mà không quan tâm giá trị âm, dương biểu thức mẫu Sai lầm sinh từ chỗ học sinh áp dụng phép biến đổi tương đương phương trình cho bất phương trình Nhìn lại chương trình sách giáo khoa, điều khiến quan tâm gắn kết hai đối tượng phương trình, bất phương trình, thể qua ghi nhận sau đây: - Về cách cấu tạo chương trình tốn phổ thơng, phương trình ln ln đặt trước bất phương trình Điều khiến chúng tơi tự hỏi : dạy học bất phương trình thừa hưởng kiến thức, nội dung từ dạy học phương trình - Ta biết phương trình bất phương trình ln có tương ứng Chẳng hạn, ta có tốn giải phương trình dạng ax+b = c, tương ứng ta có tốn giải bất phương trình dạng ax+b > c Cũng vậy, phương trình dạng log a x = b tương ứng với bất phương trình dạng log a x > b Hay phương trình f ( x) > g ( x) , f ( x) = g ( x) , bất phương trình f ( x) < g ( x) tương ứng với Giữa lời giải phương trình bất phương trình tương ứng có nét tương tự, tự hỏi : phải nguồn gốc sai lầm học sinh ? Hai câu hỏi xuất phát lý để chọn đề tài : “Dạy học phương trình bất phương trình vơ tỉ lớp 10” II CƠ SỞ LÍ THUYẾT Liên quan đến sai lầm học sinh, didactic toán thừa nhận quan điểm : sai lầm ngẫu nhiên, tùy tiện, mà có sai lầm dự đốn trước Sai lầm kiểu sinh từ kiến thức, kiến thức có ích, khơng cịn đúng, khơng cịn phù hợp tình mới, tổng quát Hiện tượng sinh cách học thích nghi : đây, kiến thức xây dựng qua tình nên thường mang tính chất địa phương Việc xây dựng kiến thức tổng quát đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ Kiến thức cũ dẫn đến quan niệm hay cách thức hành động lớp tình Thừa nhận luận điểm này, didactic tốn đưa ba mơ hình để giải thích sai lầm liên quan đến tri thức cụ thể, sai lầm có tính hệ thống dự đốn trước : quan niệm, quy tắc hành động, hợp đồng dạy học Vấn đề quy tắc hành động, quan niệm, hợp đồng dạy học liên quan đến đối tượng tri thức O thường hình thành từ quan hệ thể chế dạy học O Tuy nhiên, không đơn giản Chẳng hạn, để làm rõ quan niệm (liên quan đến đối tượng tri thức O) học sinh ta phải nghiên cứu trường quan niệm O Đây khái niệm khó mà chúng tơi nghĩ khơng đủ khả để nghiên cứu Giới hạn khuôn khổ quy tắc hành động, nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình vơ tỉ để cố gắng dự kiến giải thích sai lầm mà ta gặp học sinh Thuyết nhân học Quan hệ thể chế khái niệm Thuyết nhân học didactic toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) – mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tập hợp tác động qua lại mà I có với O Nó cho biết O xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trị gì, I Mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X,O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu nào, thao tác O Trong thể chế I mà cá nhân X tồn hoạt động, R(X,O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R(I,O) Từ ràng buộc thể chế, cá nhân X phơ bày cơng khai làm với O mà cá nhân đánh giá phù hợp với thể chế Câu hỏi mấu chốt làm để nghiên cứu R(I,O) R(X,O) ? Khái niệm praxéologie chìa khóa giúp trả lời câu hỏi Mỗi praxéologie tứ [T / τ / θ / Θ] , T kiểu nhiệm vụ giải nhờ kĩ thuật τ , θ yếu tố cơng nghệ giải thích cho kĩ thuật, Θ yếu tố lí thuyết giải thích cho công nghệ θ Khi T kiểu nhiệm vụ tốn học praxéologie gọi praxéologie toán học hay tổ chức toán học – OM Các tổ chức toán học liên quan đến O cho phép ta xác định R(I,O) R(I,O) hình thành biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân phải thực nhờ vào kĩ thuật xác định Đồng thời, việc nghiên cứu tổ chức tốn học gắn liền với O cịn cho phép hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân với đối tượng O nảy sinh trong lúc thực nhiệm vụ thể chế Qui tắc hành động Qui tắc hành động sử dụng để giải thích sai lầm học sinh Một cách cụ thể hơn, qui tắc hành động mơ hình xây dựng nhằm giải thích rõ kiến thức mà học sinh sử dụng để đưa câu trả lời thực nhiệm vụ xác định Nếu hợp đồng dạy học có nguồn gốc quan hệ thể chế với đối tượng tri thức mà ta bàn đến quy tắc hành động lại hình thành từ kiến thức địa phương có ích Như vậy, quy tắc có phạm vi hợp thức Câu trả lời sai đến từ việc áp dụng qui tắc hành động phạm vi hợp thức (Những yếu tố Didactic toán (2009), tr 81) Điều quan trọng cần phải làm rõ cần thiết phải vận dụng yếu tố nêu vào luận văn Trước hết cần xác định luận văn xem xét lúc đối tượng tri thức O - phương trình vơ tỉ O - bất phương trình vơ tỉ, I thể chế dạy học toán lớp 10, cá nhân X thâm nhập vào I vị trí học sinh Câu hỏi sai lầm học sinh đòi hỏi phải nghiên cứu R(X,O ) R(X,O ) Nhưng quan hệ cá nhân X đối tượng tri thức lại chịu ảnh hưởng nhiều quan hệ mà thể chế trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu quan hệ R(I,O ) R(I,O ) điều cần thiết Điều thực thơng qua việc nghiên cứu tổ chức toán học liên quan đến O O Việc xác định mối liên hệ kĩ thuật giải, ưu tiên hay vắng mặt kĩ thuật giúp xác định đặc trưng thể chế việc dạy học O O : thể chế quy định dạy liên quan đến hai đối tượng, dạy nào, Từ ta tìm thấy nguồn gốc số sai lầm học sinh III CÂU HỎI NGHIÊN CỨU Với lựa chọn yếu tố thích hợp Didactic tốn làm sở lí luận, luận văn nghiên cứu tìm lời giải đáp cho vấn đề xuất phát đặt Vấn đề cụ thể hóa câu hỏi sau đây: CH1 Giữa hai đối tượng phương trình bất phương trình vơ tỉ có mối liên hệ gì? Về định nghĩa kĩ thuật giải chúng có điểm giống khác nhau? CH2 Mối liên hệ có tác động vào dạy học đối tượng này? Việc dạy học chúng có ảnh hưởng lẫn khơng? Nếu có gì? Nó thể thể chế dạy học toán lớp 10? CH3 Về phía học sinh, bước chuyển từ phương trình vào bất phương trình vơ tỉ tồn sai lầm nào? Đâu nguồn gốc sai lầm ? IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tơi tiến hành phân tích giáo trình Đại số sơ cấp Kết trình bày chương sở tham chiếu cho nghiên cứu Tham chiếu kết thu từ chương 1, tiến hành nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa Và cách phân tích sâu vào sách giáo khoa, xem xét kiểu nhiệm vụ, kĩ thuật giải, cố gắng gắn kết, tác động qua lại dạy học hai đối tượng phương trình bất phương trình vơ tỉ để trả lời cho câu hỏi CH2 Nghiên cứu trình bày chương Chúng tơi chọn phân tích hai sách Tốn tập Đại số 10 nâng cao nhóm tác giả Phan Đức Chính nhóm tác giả Đồn Quỳnh làm tổng chủ biên Trong đó, việc phân tích sách Tốn tập nhằm phục vụ cho mục tiêu xem xét kiến thức học cấp THCS đối tượng tri thức xây dựng có tính chất kế thừa Câu hỏi CH3 làm sáng tỏ từ kết phân tích chương Tính thỏa đáng giả thuyết sai lầm học sinh khẳng định qua thực nghiệm hình thức kiểm tra viết đặt chương Phần kết luận, chúng tơi trình bày đạt luận văn CHƯƠNG MỘT NGHIÊN CỨU TỐN HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Mở đầu Mục đích chương làm sáng tỏ vấn đề mà câu hỏi CH1 nêu : - Giữa phương trình bất phương trình có liên hệ, gắn kết với nào? - Ngoài liên hệ trên, riêng hai đối tượng phương trình bất phương trình vơ tỉ cịn có đặc trưng thể gắn kết chúng? Cụ thể định nghĩa, kĩ thuật giải có điểm giống khác nhau? Các kiến thức phương trình bất phương trình tìm thấy giáo trình Đại số sơ cấp Ở đây, phân tích chúng tơi chủ yếu dựa vào tài liệu sau: - Hoàng Kỳ (chủ biên), Hoàng Thanh Hà (2009), Đại số sơ cấp thực hành giải tốn Lí mà chúng tơi lựa chọn để phân tích trình bày vấn đề lý thuyết thực hành giải toán liên quan đến hai đối tượng nghiên cứu đầy đủ sách viết cho dự án đào tạo giáo viên THCS 1.1 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Về khái niệm phương trình, bất phương trình Quyển (Hồng Kỳ, 2009, tr 243) giới thiệu khái niệm phương trình : “ Cho hai hàm số n biến phức x , x , x n f(x , x , x n ) g(x , x , x n ) Ta gọi tập hợp n số phức x = (x , x , x n ) ∈ C n điểm khơng gian phức n chiều Khi hàm số f(x , x , x n ) g(x , x , x n ) xem hàm biến f(x) g(x) C n Giả sử f(x) có miền xác định D1 ⊂ C n , g(x) có miền xác định D2 ⊂ C n Ta định nghĩa phương trình f(x) = g(x) (1) kí hiệu hàm mệnh đề “giá trị hai hàm số f(x) g(x) nhau” Thay cho trường C, ta lấy trường số K (có thể Q, R) làm trường sở ” Đối với bất phương trình, (Hồng Kỳ, 2009, tr 325) đưa vào định nghĩa “Cho hai hàm số f(x) g(x), với x ∈ R n , f ( x) ∈ R , g ( x) ∈ R f(x) có miền xác định P ⊆ R n g(x) có miền xác định Q ⊆ R n hai hàm số xét miền xác định chung S= P ∩ Q Bất phương trình f(x) > g(x) kí hiệu hàm mệnh đề: “ giá trị f(x) lớn giá trị g(x)” Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa bất phương trình: f(x) < g(x), f ( x) ≤ g ( x), f ( x) ≥ g ( x) ” Như vậy, khái niệm phương trình bất phương trình định nghĩa dựa vào hàm mệnh đề Ngoài khác biệt miền xác định hàm số hai định nghĩa khác dấu dấu bất đẳng thức Đối với khái niệm có liên quan đến phương trình, tác giả trình bày khái niệm ẩn, miền xác định, nghiệm, giải phương trình, trường hợp xảy giải phương trình Chẳng hạn “Ta gọi x ẩn phương trình (1); coi f g hàm n biến x , x , x n không gian C (1) phương trình n ẩn x , x , x n Tập giá trị thừa nhận đối số gọi miền xác định (tập xác định) phương trình (1), tập = S D1 ∩ D2 Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f(a) g(a) đẳng thức a gọi nghiệm phương trình (1), Có thể xảy ba trường hợp sau đây: 1) Phương trình vơ nghiệm: khơng có giá trị a S cho f(a) g(a) 2) Phương trình đẳng S: giá trị a S thỏa mãn phương trình 3) Có giá trị a ∈ S thỏa mãn phương trình Trong trường hợp 2) 3) ta nói phương trình có nghiệm ” Các khái niệm có liên quan đến phương trình trình bày chi tiết, đầy đủ Trong đó, tác giả đưa khái niệm nghiệm sau định nghĩa bất phương trình Thuật ngữ miền xác định bất phương trình có xuất định nghĩa bất phương trình, sau khơng xem xét lại Khái niệm hiểu thông qua miền xác định hàm số với khác biệt : trường hợp phương trình, miền xác định hàm số f(x), g(x) tập C, tập R bất phương trình Chúng ta biết ngun nhân C khơng có quan hệ thứ tự Sự khác biệt không sách nói rõ Sự khác biệt khơng nói đến cách tường minh sách đưa vào khái niệm nghiệm bất phương trình Có thể hiểu thừa nhận khái niệm có liên quan đến phương trình chuyển qua cho bất phương trình, khơng trình bày lại Về phép biến đổi phương trình, bất phương trình: • Các định nghĩa Về khái niệm phương trình tương đương, phương trình hệ quả, ta tìm thấy định nghĩa sau sách (Hoàng Kỳ, 2009, tr 248-249) “ Để cho gọn, ta viết P (x), P (x) để hai phương trình Định nghĩa P (x) gọi hệ P (x) S tập nghiệm M P (x) tập tập nghiệm M P (x), M1 ⊆ M Ta kí hiệu P1 ( x) ⇒ P2 ( x) (trên S) Định nghĩa P (x) P (x) gọi tương đương M = M Nói khác đi, P (x) P (x) tương đương S P (x) P (x) hệ Ta kí hiệu bởi: P1 ( x) ⇔ P2 ( x) ” ... Dạng phương trình f(x) = 0, dạng bất phương trình f(x) > (hoặc f(x) < 0) + Vế trái phương trình, bất phương trình: f(x) hàm số vô tỉ Về định lí biến đổi phương trình bất phương trình vơ tỉ Cung... 1.2 SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Về định nghĩa Từ định lí phép biến đổi cộng phương trình (bất phương trình) ta có hệ phương trình (bất phương trình) đưa dạng f(x)... rộng cho bất phương trình Hai bất phương trình tương đương bất phương trình hệ bất phương trình ngược lại.” Do khái niệm tương đương, hệ phát biểu cho phương trình mở rộng cho bất phương trình nên