Luận văn dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu suốt khóa học - Ban giám hiệu thầy cơ, đồng nghiệp Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ ln động viên để tơi hồn thành tốt khóa học - Tất bạn khóa, người tơi học tập nghiên cứu didactic tốn suốt khóa học - Ban Giám hiệu thầy, Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh Kiên Giang tạo điều kiện giúp đỡ tiến hành thực nghiệm Trân trọng cảm ơn: - PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Cơng Khanh, nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức thú vị didactic tốn, đóng góp cho dẫn cần thiết hiệu để thực việc nghiên cứu - GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI cho nhận xét gợi ý hữu ích để thực nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người nhiệt tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình ln động viên nâng đỡ tơi mặt Nguyễn Thị Kim Cúc MỞ ĐẦU I Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát: Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn chương trình chỉnh lý hợp (từ 20002006) cho thấy học sinh hiểu khái niệm giới hạn việc thực thao tác đại số biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004) Trong chương trình hành, khái niệm giới hạn đưa vào chương IV sách giáo khoa lớp 11 với mục tiêu chương “ đưa vào khái niệm sở giải tích (giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục) qua bước đầu hình thành kiểu tư tốn học gắn liền với vô hạn liên tục” Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) khái niệm giới hạn khái niệm sở giải tích, kĩ thuật đặc trưng giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ dấu ấn bật tư tưởng xấp xỉ dường xuất số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ  ,  hay  , N Tuy nhiên mục đích giảm tải sách giáo viên Tốn 11 chương trình hành nêu ý : “không định nghĩa giới hạn dãy số giới hạn hàm số ngôn ngữ  ,  ” Các thực nghiệm nghiên cứu Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) chương trình chỉnh lý hợp Lê Thành Đạt (2011) chương trình hành giới hạn khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số Như vậy, tiến triển chương trình (từ chỉnh lý hợp đến hành) nghiên cứu riêng biệt khái niệm giới hạn vô cực chưa quan tâm mức Trên sở đặt câu hỏi ban đầu sau: - Khái niệm giới hạn vô cực hàm số sách giáo khoa hành (SGKHH) có tiến triển so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình thành kiểu tư tốn học gắn liền với vơ hạn liên tục” thể chế mong muốn không? - Mối quan hệ khái niệm giới hạn vô cực với khái niệm liên quan khác như: khái niệm hàm số không liên tục điểm, khái niệm tiệm cận, vai trị giới hạn vơ cực hàm số toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số sách giáo khoa hành tính đến nào? - Trong thời đại cơng nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ nay, mà học sinh có máy tính bỏ túi vai trị máy tình bỏ túi có sách giáo khoa tính đến việc dạy học khái niệm giới hạn vô cực hàm số khơng, có tính đến nào? II Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để trả lời câu hỏi trên, lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là: - Lý thuyết nhân học, nhằm: + Tổng hợp phân tích đặc trưng khoa học luận chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn luận văn có + Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học SCL + Phân tích quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học SGK hành - Lý thuyết học tập - sai lầm, nhằm giải thích quy tắc hành động sai lầm học sinh - Lí thuyết tình để: xây dựng tình thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết đưa trình nghiên cứu III Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chúng tơi nhằm làm rõ tiến triển thể chế khái niệm giới hạn vơ cực hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp (2000) đến chương trình hành (2006), từ xác định phần mối quan hệ thể chế khái niệm chương trình hành Việc xác định mối quan hệ thể chế cách phân tích SGK ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu thực trạng việc dạy học khái niệm để từ có cách cải tiến cho phù hợp Phương pháp nghiên cứu: - Tổng hợp công trình nghiên cứu để rút chướng ngại khoa học luận đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn vô cực hàm số Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân khái niệm giới hạn luận văn nghiên cứu - Sử dụng đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để phân tích chương trình, sách giáo khoa hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan cá nhân khái niệm giới hạn - Trên sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích mối quan hệ thể chế xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết nêu q trình phân tích - Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi quan hệ thể chế khái niệm giới hạn xây dựng thực công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ môi trường máy tính bỏ túi IV Tổ chức luận văn Phần mở đầu: chúng tơi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CĨ Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức khoa học quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế từ việc nghiên cứu cơng trình sau: + Luận án luận văn Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007) + Luận văn Nguyễn Thành Long (2004) + Luận văn Nguyễn Thị Phương Mai (2005) Từ đưa kết luận câu hỏi nghiên cứu Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH Tiến hành phân tích sâu chương trình SGK tốn phổ thơng Việt Nam nhằm trả lời câu hỏi nghiên cứu việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn Đồng thời xem xét lựa chọn khác SGK Mỹ Ở phần cuối chương, đề xuất giả thuyết nghiên cứu Chương 3: THỰC NGHIỆM Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết nêu Phần kết luận : Tóm tắt kết nghiên cứu đề xuất hướng nghiên cứu mở từ luận văn CHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ Mục tiêu chương : Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế chương 2, chương tổng hợp kết nghiên cứu có giới hạn phương diện : - Khoa học luân - Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vơ hạn chương trình chỉnh lí hợp 2000 - Các đồ án didactic xây dựng - Quan niệm giáo viên học sinh vơ hạn chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 - Mối liên quan tiến triển chương trình đến vai trị vị trí máy tính bỏ túi, vai trị máy tính bỏ túi chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 - Và xem xét khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực hàm số Trên sở đặt câu hỏi cho nghiên cứu 1.1 Phương diện khoa học luận Dựa vào nghiên cứu có Cornu (1983), luận văn Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đạt kết sau: Tổng kết đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận khái niệm vô hạn:  Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ khơng làm rõ chất đối tượng mà vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)  Quan điểm xấp xỉ x: “Chính biến số kéo hàm số” “ Nếu đại lượng x tiến giá trị a đại lượng ( theo nghĩa x nhận gía trị ngày gần giá trị a), đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x (y hàm số đại lượng x) tiến giá trị b Nếu x xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”  Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính độ xấp xỉ mong muốn kéo biến số” (Bkouche, 1996) “Quan điểm minh họa xấp xỉ thập phân số a dãy số thập phân (an)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004) Định nghĩa ngôn ngữ (ε, δ) không khác hệ thống hóa khái niệm xấp xỉ (Bkouche, 1996) Nếu quan điểm xấp xí x, biến số kéo hàm số quan điểm xấp xỉ f(x), độ xấp xỉ mong muốn f(x) qui định độ xấp xỉ x.(trang 3) Chướng ngại khoa học luận khái niệm giới hạn khía cạnh vơ hạn Cornu (1983) cụ thể thành số chướng ngại sau: - Khía cạnh “siêu hình” khái niệm giới hạn: chắn số tồn ta khơng tính nó, suy luận tiến trình vơ hạn Đây lại kiểu suy luận tốn học địi hỏi phải áp dụng - Khái niệm “vô bé” hay “vơ lớn”: có tồn hay khơng đại lượng chưa không, chúng gán nữa? có tồn hay khơng đại lượng “tan dần” mà qua “khoảnh khắc” chúng khơng? Có phải số nhỏ tất đại lượng dương cho trước khơng - Một giới hạn đạt tới hay khơng? - Các chướng ngại khác: mơ hình đơn điệu; tổng vơ hạn số hữu hạn; hai đại lượng tiến không tỷ số chúng lại tiến lượng hữu hạn (trang 2) Nhóm nghiên cứu Bosch (2002) đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu khái niệm giới hạn sau đây: - OM1 đại số giới hạn xoay quanh vấn đề tính giới hạn tồn thao tác đại số - OM2 tôpô giới hạn xoay quanh vấn đề tồn giới hạn hàm số Hai TCTH Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ sau: “Đại số giới hạn (OM1) kết việc mơ hình hóa quy tắc đại số chuyển qua giới hạn phép toán hàm số OM1, xoay quanh vấn đề đại số giới hạn, xuất phát từ giả sử tồn giới hạn hàm số đặt vấn đề xác định giá trị giới hạn hàm số quen thuộc Vấn đề xử lí qua kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn hàm số f(x) x->a, với a số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn hàm số điểm hay vô cực Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ dựa thực thao tác đại số biểu thức f(x) Công nghệ tối thiểu OM1 gỉai thích cho kĩ thuật miêu tả, chẳng hạn, hệ thống tiên đề Lang Calculus(1986) OM1 cho phép tránh vấn đề vô hạn khái niệm giới hạn gắn ký hiệu lim f ( x ) với số thực xa với vô OM2, xoay quanh chất topo khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến chất đối tượng “giới hạn hàm số” trả lời chủ yếu cho câu hỏi tồn giới hạn kiểu xác định hàm số Câu hỏi xử lí qua số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh tồn hay không tồn giới hạn hàm số f(x) x -> a với a số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn hàm số điểm hay vô cực; chứng minh tồn hay không tồn giới hạn biên khoảng cho số lớp xác định hàm số; chứng minh tính chất phép toán giá trị giới hạn hàm số, cách đặc biệt bao gồm chứng minh quy tắc tính tốn, cơng nghệ tối thiểu OM1 Công nghệ tối thiểu OM2 (giải thích cho kĩ thuật tốn học gắn với kiểu nhiệm vụ này) tập trung việc sử dụng tính chất giới hạn dãy số định nghĩa cổ điển ngôn ngữ  ,  Như nói OM1 phần chứa OM2 Hai TCTH chứa đựng hệ thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng số thực Hai TCTH địa phương kết hợp miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi khả vi kiểu hàm số, hay trả lời cho câu hỏi khả tích Người ta sử dụng cấu trúc mơ tả TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng dạy cách xác định: - Những dấu vết OM1 thể chế dạy học - Những dấu vết OM2 thể chế dạy học 1.2 Phương diện thể chế: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Nguyễn Thành Long (2004) thực nghiên cứu chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 đưa kết luận sau: 1.2.1 Về chương trình: - Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn là: Giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số  Hàm số liên tục - Giới hạn dãy số khẳng định công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số Chương trình cịn u cầu không dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số yêu cầu thừa nhận, không chứng minh định lý giới hạn Như chương trình năm 2000 yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số khái niệm giới hạn tránh quan điểm xấp xỉ  Cịn chương trình hành sao? 1.2.2 Về lý thuyết: - Khái niệm dãy số có giới hạn a đưa theo hình thức ngơn ngữ  ,  dựa vào việc kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số khoảng cách, thao tác với  ,  Định nghĩa thể quan điểm xấp xỉ x quan điểm xấp xỉ f(x) Như có mâu thuẫn chương trình SGK, chương trình u cầu khơng dùng ngôn ngữ  ,  để định nghĩa giới hạn SGK dùng ngơn ngữ hình thức - Các định lí giới hạn dãy số đưa không chứng minh - Khái niệm dãy số dần tới vô cực định nghĩa ngôn ngữ (M,N) sau xét dãy số mà dạng khai triển cho thấy un lớn tùy ý miễn n đủ lớn - Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn hàm số f(x) x dần tới a thông qua giới hạn hàm số (f(xn)) (xn)”, né tránh quan điểm xấp xỉ f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x - Sách giáo khoa giới thiệu tường minh dạng vô định:  ; ;      x  x0 hay x    - Trong sách giáo khoa tồn kí hiệu  khơng phân biệt  + ,  tùy trường hợp hiểu   - lim f ( x)   (a hữu hạn vơ hạn) kí hiệu, viết thực hàm số f(x) x a giới hạn x dần đến a  Các yếu tố thể phần giới hạn vô cực hàm số SGK hành nào? Theo nghiên cứu Nguyễn Thị Phương Mai (2004) “Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vơ hạn” SGKCL có tượng thiếu cơng nghệ Cụ thể SCL khơng đưa vào định lí sau giải SGV SGK lại có sử dụng chúng: Nếu lim un  a lim un  a Nếu lim un  a (a  0) lim  lim un   (SCL xét trường hợp a=1) Nếu lim un   lim un  C   , với C số Nếu lim un   lim(un )k   , với k nguyên dương Nếu lim un   lim 2k 1 un   , với k nguyên dương Nếu lim un   lim un   limu n   Nếu lim un  a (a  0) lim un   limu n   Đại số vô cực: C   .C   (C  0)  n   (n  ) n     Và tồn mâu thuẫn: lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x )  lim g ( x)      x a xa x a người lại chấp ta nhận cấm cách viết viết lim ( x  x   x)    ()   x  10 Nếu lim f ( x)   lim f ( x )  L  lim f ( x) g ( x)   x  x   x   Như vậy, SGKHH, yếu tố cơng nghệ có đưa vào khơng, có cịn mâu thuẫn tương tự khơng? 1.2.3 Về tổ chức tốn học: Theo Nguyễn Thành Long (2004) sách giáo khoa năm 2000 có TCTH tương ứng với kiểu nhiệm vụ sau: T1: Chứng minh dãy số (un) có giới hạn a T2: Chứng minh tồn giới hạn dãy số T3: Tìm giới hạn dãy số, hàm số T4: Chứng minh tồn hay không tồn giới hạn hàm số T5: Tìm giá trị tham số để tồn giới hạn hàm số T6: Phát biểu định nghĩa giới hạn hàm số (mở rộng) T7: Tính tổng cấp số nhân Các kiểu nhiệm vụ chia làm nhóm tương ứng sau: Loại 1: Cho phép thao tác kĩ thuật theo chất giải tích, bao gồm nhiệm vụ T1, T2, T3(9,1%) Loại 2: Cho phép đề cập vài yếu tố quan điểm xấp xỉ x, bao gồm nhiệm vụ: T6 (3,9%) Loại 3: Chỉ dụng đến phép toán đại số giới hạn, bao gồm kiểu nhiệm vụ: T3, T4, T5, T7 (87%) Như thể chế dạy học nhấn mạnh quan điểm đại số hoá việc xây dựng tổ chức kiến thức cần giảng dạy giới hạn Tư tưởng xấp xỉ thể thoáng qua học sinh Quan điểm động học thể mờ nhạt  Trong SGKHH, tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực hàm số đưa vào với tỉ lệ nào, có TCTH đưa vào, TCTH không đưa vào nữa? 1.2.4 Về hợp đồng didactic Tồn quy tắc hành động R1: Học sinh khơng có trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính giới hạn, khơng phải dự đốn giới hạn, khơng xem xét hàm số khơng quan tâm đến tính thích đáng tập R2: Học sinh phải biết tính giới hạn mà sách giáo khoa hay giáo viên yêu cầu, chủ yếu dạng tính lim f ( x) ( a hữu hạn hay vô hạn) cách nhận dạng chúng sau thực x a quy tắc hành động tương ứng Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Sau phân tích, so sánh sách giáo khoa, tác giả đưa kết luận: - Sách giáo khoa hành (sách giáo khoa 2000) tạo thuận lợi cho quan điểm đại số giới hạn học sinh Ngược lại quan điểm xấp xỉ có mặt - Các chướng ngại khoa học luận tìm thấy học sinh Việt Nam ngày nay: câu hỏi: đạt giới hạn hay không? - Định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số “ngôn ngữ dãy số” sách giáo khoa hành khơng mang ý nghĩa học sinh - Tránh quan điểm xấp xỉ, nhấn mạnh quan điểm đại số, giới hạn hàm số gần hệ giới hạn dãy số - Các định nghĩa định lí giới hạn vừa có vai trò nêu kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ tương ứng vừa có vai trị cơng nghệ giải thích cho kĩ thuật  Như câu hỏi đặt cho phần là: Quan hệ thể chế dạy học Việt Nam khái niệm giới hạn chương trình hành có tiến triển so với chương trình năm 2000, quan điểm khái niệm giới hạn có mặt, quan điểm nhấn mạnh quan điểm không? Chúng phân tích quan hệ thể chế dạy học Việt Nam hành để trả lời câu hỏi trên, giới hạn để tài phạm vi giới hạn vô cực hàm số 1.2.5 Về quan niệm học sinh khái niệm vô hạn: Như nghiên cứu Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) rút ra: Chướng ngại khoa học luận yếu khái niệm giới hạn khía cạnh vơ hạn Nghiên cứu quan niệm học sinh khái niệm vô hạn Nguyễn Thị Phương Mai (2005) thể chế dạy học chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 đưa kết luận sau: - Trong thể chế phổ thông Việt Nam, vô hạn đối tượng nghiên cứu Tuy nhiên khái niệm vô hạn tác động ngầm ẩn tường minh nhiều nội dung thuộc phạm vi: phạm vi số, phạm vi hình học, phạm vi giải tích Ứng với phạm vi, phụ thuộc vào tình tác động nảy sinh quan niệm khác vô hạn - “x dần tới +”có nghĩa x tiến tới giá trị dương vô lớn » Hoặc câu trả lời gắn với cụm từ : - « x tăng dần » - « x tiến tới giá trị cực đại », - « x tiến bên phải trục số » - Nghĩa x nhận giá trị dương - Giá trị x vô hạn, không đếm Dùng để tính giới hạn: Khi tính giới hạn hàm số mà x tiến tới dương vơ cực ta giá trị x lớn (hay x=  ) vào hàm số Khi tính giới hạn hàm số chứa ăn x mà x tiến tới dương vô cực hàm số tiến tới giá trị Tính giới hạn hàm số x tiến tới dương vô cực để điền vào bảng biến thiên Đọc lại kí hiệu: “Nghĩa x dần tới dương vơ cực” Vì SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vô cực’’ theo quan điểm xấp xỉ x, giáo viên lấy thực nghiệm để dạy cho học sinh học chương trình nâng cao, nên chúng tơi dự đốn câu trả lời theo kiểu “x chuyển động sang phải trục số” nhiều học sinh lựa chọn Tiếp kiểu dùng để tính giới hạn, phân tích thể chế cho thấy học sinh thường xuyên thực KNV tính giới hạn hàm số ẩn x mà x dần tới dương vô cực, KNV khảo sát hàm số mà phải tính giới hạn vô cực để điền vào bảng biến thiên b Phân tích hậu nghiệm: Chúng tơi thóng kê kết thực nghiệm câu bảng sau: Bảng x chuyển động qua phải trục số Không giải thích Dùng để tình giới hạn Đọc kí hiệu Khác Khơng giải thích Câu 21(16%) 69(52,7%) 7(5,3%) 10(7,6%) 24(18,3%) 28,9% Nhận xét: -Có đến 28.9% học sinh khơng giải thích kí hiệu Trong có 21/131 học sinh viết lại cụm từ “x dần tới +” - Trong số 52,7% câu trả lời thể “ x chuyển động qua phải trục số” học sinh hiểu “ x nhận giá trị lớn giá trị dương lớn cho trước” hay “ x nhận giá trị lớn tùy ý” Trong câu trả lời chúng tơi tìm thấy số học sinh có quan niệm: Kí hiệu : + giá trị dương lớn trục Cụ thể câu trả lời sau” - “có nghĩa x dần tới giá trị cực đại tới +  - “giá trị x nhận theo chiều dương x dần đến  ” - “nghĩa giá trị x nhận số dương không xác định xác giá trị tiến dần lớn nhiều so với 0” - “nghĩa x biến số thay đổi từ số dương đến số vô cực” … Tuy chúng tơi chọn u cầu giải thích “x dần tới  ” khơng có kí hiệu lim câu hỏi, phận đáng kể học sinh 18,3% gắn kí hiệu với tốn tính giới hạn mà khơng giải thích thêm Câu Cho hàm số y  f ( x )  x  2x  Câu 2a Hãy viết đoạn ngắn để giải thích cho học sinh lớp 10 biết kí hiệu lim f ( x )   có nghĩa x 1 a Phân tích tiên nghiệm Mục đích câu hỏi: Điều tra quan điểm giới hạn tồn chủ yếu học sinh Một câu hỏi tương tự cho trường hợp giới hạn hữu hạn nêu nghiên cứu Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Từ nghiên cứu này, dự kiến câu trả lời sau : Theo quan điểm đại số: Tính nêu cách tính giới hạn lim x 1 x  2x 1 Theo quan điểm xấp xỉ x:  lim f ( x )   nghĩa x tiến tới mà x lớn f(x) tiến tới +  (hay x gần x 1 f(x) lớn)  lim f ( x )   có nghĩa với dãy số (xn) bất kì, xn>1 xn  ta có f ( xn )   ” x 1 Theo quan điểm xấp xỉ f(x): f(x) lớn số dương với x lớn đủ gần Khơng giải thích mà đọc kí hiệu: lim f ( x)   có nghĩa giới hạn f(x) x  1 x 1  Giá trị f(x ) dương: lim f ( x)   có nghĩa f(x) nhận giá trị dương x dần tới từ bên x 1 phải Dự đoán câu trả lời theo kiểu đọc kí hiệu chiếm tỉ lệ nhiều nhất, tiếp quan điểm đại số phân tích thể chế cho thấy sách giáo khoa hành KNV chưa xuất quan điểm đại số thống lĩnh, quan điểm xấp xỉ f(x) khơng xuất SGKHH khơng có hoạt động giới thiệu khái niệm giới hạn theo quan điểm b Phân tích hậu nghiệm: Bảng 2a: thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 2a QĐ ĐẠI SỐ Câu QĐ XẤP XỈ X Không giải thích QĐ XẤP XỈ F(x)>0 Đọc kí hiệu f(x) 2a 28(21%) 8(6,3%) 10(7,6%) 70(53,4%) Khác 8(6,1%) Không trả lời 7(5,3%) 64,8% Nhận xét: - Có 64,8% (53,4%+6,1%+5,3%) học sinh khơng hiểu kí hiệu có nghĩa Chúng tơi giải thích có lẽ học sinh làm việc với giới hạn bên Giới hạn bên xuất khảo sát tính liên tục hàm số khơng cịn thể vai trị khảo sát hàm số - Kế đến quan điểm đại số chiếm ưu học sinh viết đoạn dẫn tính giới hạn - Các quan điểm xấp xỉ gần không xuất có kí hiệu lim Ngồi có câu trả lời sau: “khi ta giải nghiệm phương trình bậc hai mẫu ta có hai nghiệm xét dấu, sau tìm y’, vẽ bảng biến thiên Khi biết x không xác định x=1 nên hàm số có chiều biến thiên lên, nên hàm số có giới hạn  ” Ở nói xuất mối liên hệ giới hạn hàm số bảng biến thiên, học sinh cho hàm số đồng biến khoảng (a; b) hàm số có giới hạn  x tiến đến b (“hàm số có chiều biến thiên lên, nên hàm số có giới hạn  ”) Phải kĩ thuật kiểu nhiệm vụ khảo sát hàm số, học sinh phép nhìn vào chiếu biến thiên hàm số để dự đoán giới hạn? ( Trong mặt tốn học ta phải tính giới hạn điền vào bảng biến thiên) 2b) Hãy viết đoạn ngắn học sinh lớp 10 cách dự đốn lim f ( x) mà khơng x 1 cần thực tính tốn a Phân tích tiên nghiệm: Mục đích câu hỏi là: Trong phân tích thể chế chúng tơi nhận thấy SGKHH có đưa tập dạng lim f ( x )   lim f ( x )   mà f(x) phân thức có mẫu nhị x a  x a  thức bậc chúng tơi xem học sinh có sử dụng quy tắc hành động : lim f ( x )   lim f ( x) x a  x a Lí lựa chọn hàm số f(x) để phá vỡ hợp đồng thể chế : f(x) phân thức có mẫu nhị thức bậc Các câu trả lời có là: - Câu trả lời : lim  x 1   x  2x  Câu trả lời tìm thấy nhiều cách:  Tính giới hạn quy tắc đại số : lim  x 1 1  lim   x  x  x1 ( x  1) 2  Sử dụng máy tính bỏ túi để tính gần giá trị x gần nhỏ để đoán giới hạn - Câu trả lời theo quy tắc hành động : lim f ( x )   lim f ( x) x a  x a Các câu trả lời theo quy tắc hành động cho đáp số  Chúng tơi dự đốn nhiều học sinh trả lời sai theo quy tắc hành động Bảng 2b thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 2b Theo quy Đúng tắc hành Khác Không trả lời động Câu 2b 24(18,3%) 51,1% 8(6,1%) 32(24,4%) Nhận xét: - Có đến 51,1% học sinh trả lời theo quy tắc hành động - 24,4% học sinh khơng trả lời - Chỉ có 18% học sinh trả lới câu hỏi - Số học sinh cho câu trả lời khác 6,1% Chúng tơi trích dẫn số câu trả lời học sinh sau: “ lim f ( x )    lim f ( x )   ” x 1 x 1 “Ta thay vào mẫu số, mẫu số nên hàm số f(x) khơng có nghĩa Lúc ta thấy mẫu dần tới bên trái số có nghĩa mẫu nhỏ Tử 1>0 suy lim f ( x)   ” x 1 Như cho học sinh tồn hai quy tắc hành động sau: lim f ( x)   lim f ( x) x a  x a Câu Cho hàm số f có tập xác định (0; +) thỏa mãn lim f ( x)   x  a) Hãy viết định nghĩa tốn học cho tình Mục đích câu hỏi: Xem định nghĩa giới hạn vơ cực hàm số đặc biệt định nghĩa theo ngôn ngữ dãy số sách giáo khoa có sống thể chế hay khơng? Với mục đích ấy, ta quan tâm đến câu trả lời Trả lời định nghĩa SGK (ngôn ngữ dãy số): lim f ( x )   với dãy số (xn) x  tập hợp (0;+  ) mà limxn=+  ta có limf(xn)=  ” Trả lời cách việc mơ tả kí hiệu ngơn ngữ tự nhiên hay kí hiệu khác: - kiểu: x  (0; ) mà x   f ( x )   -“f(x) có tập xác định (0; ) giới hạn x dần tới dương vơ cực dương vơ cực” - “f(x) có tập xác định (0; ) lim f ( x)   ” x  Chúng dự kiến định nghĩa SGK không học sinh sử dụng, mà nhiều học sinh sử dụng định nghĩa theo kiểu nhắc lại phân tích thể chế cho thấy SGKHH khơng có KNV mà kĩ thuật giải có sử dụng đinh nghĩa b Phân tích hậu nghiệm: Bảng 3a thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 3a Câu 3a ĐN Mơ tả kí Khác SGK hiệu khác 56(42,6%) 18(13,7%) Không trả lời 57(43,5%) Các câu trả lời khác - “ f(x) hàm số đồng biến” (Câu trả lời dựa vào quy tắc hành động đọc giới hạn từ bảng biến thiên) - “f(x) nhận giá trị dương” Nhận xét: Định nghĩa “dãy số” mà SGKHH giới thiệu khơng có ấn tượng học sinh, hay nói cách khác định nghĩa không “sống” thể chế Định nghĩa giới hạn hàm số theo kiểu khác 13,7 % câu trả lời câu hỏi Số học sinh trả lời câu hỏi theo kiểu mơ tả kí hiệu khác chiếm đến 42,6% Số học sinh không trả lời 43,5%, chiếm tỉ lệ cao Chúng quan tâm đến câu trả lời: “Khi tập xác định (0; ) thỏa mãn lim f ( x )   ta biết chiều biến thiên x  đồng biến” “Cho hàm số f(x) xác định (0; ) , với x2>x1 limf(x2)>limf(x1) x   lim f ( x )   ” x  Một lần học sinh khẳng định “ lim f ( x )   ta biết chiều biến thiên x  đồng biến” ngược lại “Cho hàm số f(x) xác định (0; ) , tức f dương với x lim f ( x )   ” x  “ lim f ( x )   nhận giá trị dương khoảng (0; ) ” x  Tương tự x   , lim f ( x )   f(x) nhận giá trị dương x  Câu trả lời mà nhắc lại kí hiệu quan tâm đến tập xác định hàm số nhiều học sinh sử dụng 3b Hãy viết đoạn ngắn để giải thích cho học sinh lớp 10 tình Mục đích câu hỏi: để thu thập thêm thông tin cho câu 3a Cũng phù hợp với câu 3a, có đến 80% học sinh khơng giải thích Ngồi chúng tơi thu số thơng tin sau: “Vì x  (0;+) , x tăng từ đến  nên theo lim f ( x )   x tăng đến số lớn x  f(x) nhận giá trị lớn hay hiểu đơn giản hàm số đồng biến” “khi ta thay giá trị x  (0;+) hàm số ln đạt giá trị dương Vậy câu tiếp tục xuất câu trả lời thể mối liên hệ tính đồng biến hàm số giới hạn vơ cực cuả hàm số 3c Hãy cho ví dụ đồ thị minh họa hàm số có giới hạn + x dần tới + (chỉ cần vẽ phác họa đồ thị hàm số) Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giới hạn hàm số đồ thị thể học sinh Sau số ví dụ 2 gx  = + x3 x 10 10 -2 -2 -2 -10 -5 10 Trường hợp học sinh để trống vẽ “đại” đồ thị mà em biết đường thẳng, parabol, đồ thị hàm số bậc ba, đồ thị ham số bậc bốn trùng phương… Bảng 3c thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 3c Vẽ đồ thị Câu 3c Đúng đồ thị Ít đồ thị sai 31(23,5%) 47(35,9%) Ít bỏ trống 65(49,6%) Nhận xét: - Chỉ có 23,6% vẽ đồ thị - 35,9% vẽ đồ thị có đồ thị sai - Có đến 49,6% học sinh bỏ trống Kiểu sai phổ biến: vẽ đồ thị mà lim f ( x )   lim f ( x)  L ( L hữu hạn) x  x  Như mối liên hệ giới hạn vô cực hàm số đồ thị thể mờ nhạt học sinh đối tượng mà tiến hành thực nghiệm học sinh học khảo sát vẽ đồ thị hàm số Chúng scan làm học sinh sau: 3d Hãy cho ví dụ hàm số hàm số có giới hạn + x dần tới + Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giới hạn hàm số hệ thống biểu đạt đại số thể học sinh? g x  = x + x3 h( x)  x2  x f ( x )  xcosx- x 1 qx  = x rx  = x 4-x 3x Trường hợp hàm số học sinh lựa chọn nhiều hàm đa thức hàm phân thức tập SGK hành chủ yếu thuộc hai dạng Bảng 3d thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 3d Cho hàm số Câu 3d Đúng hàm số Ít hàm số sai 48(36,6%) 40(30,5%) Ít bỏ trống 43(32,9%) Nhận xét: - Chỉ có 36,6% cho hàm số - 32,9% học sinh bỏ trống ô - 30,5% học sinh cho hàm số có hàm số sai Kiểu sai phổ biến học sinh câu là: Học sinh nêu hàm hữu tỉ mà bậc tử nhỏ bậc mẫu Trường hợp học sinh ghi hàm số có giới hạn vơ cực mà em thường xun tình giới hạn lớp 11 học giới hạn hàm số, khơng có hàm lượng giác hay hàm lũy thừa… Và mối liên hệ giới hạn vô cực hàm số hàm số cho công thức thể tốt mối liên hệ giới hạn vô cực hàm số đồ thị hàm số, Điều cho thấy học sinh quen làm việc với hệ thống biểu đạt đại số Tuy có tốt hệ thống biểu đạt đồ thị củng có 36,6% Chúng tơi scan làm học sinh sau: 3e Em biết phương pháp để chứng minh hàm số có giới hạn + x dần tới + Mục đích câu hỏi: Xem kĩ thuật chứng minh hàm số có giới hạn vơ cực theo quan điểm xấp xỉ có tồn học sinh khơng? PP1: Sử dụng định nghĩa PP2: Tính giới hạn vơ cực Dự đốn hầu hết học sinh nêu PP2 SGKHH khơng có tập dạng Bảng 3e thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 3e Câu 3e PP1 PP2 Khác Không trả lời 10(7,6%) 62(47,3%) 9(6,9%) 50(38,2%) Nhận xét: - Quan điểm đại số chiếm ưu câu (47,3%) - Số học sinh không trả lời 38,2% - Học sinh trả lời theo quan điểm xấp xỉ chiếm 7,6% - Số khác 6,9% Vậy số học sinh không trả lời lớn (38,2%+6,9%) Quan điểm xấp xỉ chiếm tỉ lệ nhỏ bé (7,6%) Một số câu trả lời chúng tơi quan tâm Có học sinh liệt kê sau: - phương pháp định nghĩa - phương pháp dùng tính chất - chứng minh hàm số đồng biến Một học sinh khác: “Muốn biết hàm số có giới hạn  x dần tới  ta dựa vào bảng biến thiên hàm số hàm số đồng biến  ” Một lần học sinh khẳng định lim f ( x)    f(x) đồng biến x  Câu Mục đích câu hỏi: Điều tra xem học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đốn giới hạn hàm số hay khơng? a) Em có sử dụng máy tính cầm tay tính giới hạn hàm số không ? Rất hay sử dụng  Cũng thường sử dụng  Ít sử dụng  Chẳng sử dụng  b) Theo em, máy tính cầm tay sử dụng để làm tính giới hạn hàm số ? (Em cho ví dụ để giải thích rõ hơn) Chúng tơi dự đốn nhiều học sinh khơng sử dụng máy tính, có để tính phép tính đơn giản ví dụ sau khơng biết sử dụng với mục đích dự đốn giới hạn hàm số Ví dụ: lim x9 x3  93   lim 3 x  x  Bảng 4a thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 4a Câu 4a Rất hay SD Thường SD Ít SD Khơng SD 18(13,7%) 45(34%) 69(52,3%) Vai trò mờ nhạt MTBT tiếp cận khái niệm giới hạn hàm số Mặc dù Bộ giáo dục khuyến khích sử dụng MTBT dạy học toán Bảng 4b thống kê tỉ lệ câu trả lời câu 4b Câu 4b Thế giá trị Thế nhiều giá trị Không sử dụng 63(47,7%) 1(0,07%) 68(51,5%) Nếu học sinh có sử dụng máy tính để tính phép tốn đơn giản Như phù hợp với phân tích thể chế, học sinh khơng biết sử dụng máy tính để tính hay dự đốn giới hạn hàm số 3.5 KẾT LUẬN THỰC NGHIỆM Thực nghiệm giúp rút số kết luận sau: - Phần lớn học sinh hiểu “x đần tới  ” nghĩa “x chuyển động sang phải trục số” khơng có học sinh hiểu “ x nhận giá trị lớn giá trị dương lớn cho trước” hay “ x nhận giá trị lớn tùy ý” - Đa số học sinh khơng hiểu kí hiệu lim f ( x )   theo quan điểm xấp xỉ Quan điểm đại số x a  chiếm ưu quan điểm xấp xỉ giới hạn - Trong học sinh tồn quy tắc hành động sau: lim f ( x)   lim f ( x) x a  - x a Học sinh hiểu lim f ( x )   f(x) ln dương đồng biến x  - Định nghĩa giới hạn vô cực hàm số không “sống” thể chế dạy học hành - Mối liên hệ giới hạn hàm số đồ thị mờ nhạt mối liên hệ giới hạn hàm số hệ thống biểu đạt đại số hàm số - Vai trị mờ nhạt máy tính bỏ túi tiếp cận khái niệm giới hạn hàm số Mặc dù Bộ giáo dục khuyến khích sử dụng máy tính bỏ túi dạy học tốn KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN Kết luận: Việc tổng hợp kết nghiên cứu có nghiên cứu giới hạn cho thấy khái niệm giới hạn tác giả nghiên cứu chi tiết phương diện khoa học luận phương diện thể chế dạy học chỉnh lí hợp năm 2000 có nhiều kết thú vị Tuy nhiên chưa có nghiên cứu vai trị cơng cụ khái niệm giới hạn khái niệm khác mối liên hệ đồ thị hàm số với giới hạn hàm số học sinh Phân tích thể chế dạy học hành cho phép làm rõ tiến triển khái niệm giới hạn vô cực hàm số SGKHH so với SGKCL hợp SGK Mỹ cụ thể sau:  Chương trình hành khơng có nhiều tiến triển so với chương trình chỉnh lí hợp Thể chế dạy học Việt Nam từ năm 2000 đến ln đưa vào khái niệm giới hạn theo tiến trình: Đối tượng-cơng cụ, SGK Mỹ ngược lại Chương trình hành phân biệt hai khái niệm   xem vô cực giới hạn hàm số SCL SGK Mỹ không phân biệt hai khái niệm này, không xem vô cực giới hạn  Về Lý Thuyết: o Cũng SCLHN, SGKHH không dùng ngôn ngữ ( ,  ) để định nghĩa giới hạn, mà dùng giới hạn dãy số để định nghĩa giới hạn hàm số Khái niệm giới hạn hàm số thể quan điểm xấp xỉ x đinh nghĩa SGK Mỹ không đưa vào khái niệm giới hạn dãy số không định nghĩa giới hạn hám số theo ngôn ngữ ( ,  ) , không định nghĩa thông qua dãy số mà định nghĩa thông qua đồ thị bảng giá trị hàm số o Vì chương trình hành phân biệt âm vơ cực dương vô cực nên nhiều quy tắc đại số giới hạn âm vô cực dương vô cực đưa vào tường minh SGKHH, đặc biệt sách nâng cao Trong SCLHN thiếu yếu tố công nghệ  Về TCTH o Các SGKHH đưa vào nhiều TCTH SGKCL đó, SGKCB có đưa vào TCTH thể mối liên hệ đồ thị hàm số giới hạn nó, điều khơng có SGKNC SGKCLHN Tuy nhiên tập tập trung vào TCTH vết OM1 (TCTH theo quan điểm đại số) Điều thể quan điểm đại số giới hạn chiếm vị gần tuyệt đối TCTH, dẫn đến mối liên hệ giới hạn hàm số với biểu thức thể rõ mối liên hệ giới hạn hàm số với đồ thị học sinh Kỹ thuật giải TCTH liên quan đến giới hạn vô cực hàm số SCL SGKHH theo quan điểm đại số, trong SGK Mỹ kĩ thuật chủ yếu sử dụng đồ thị bảng số Trong suốt q trình phân tích chúng tơi khơng nhận thấy vai trị máy tính bỏ túi việc dạy học khái niêm giới hạn vơ cực hàm số  Từ phân tích thể chế chung rút giả thuyết nghiên cứu kiểm chứng chương sau: o Phần lớn học sinh giải thích cụm từ “x dần tới  ” gắn với cụm từ sau - “x dần tới +”có nghĩa x tiến tới giá trị dương vô lớn » Hoặc câu trả lời gắn với cụm từ : - « x tăng dần » - « x tiến tới giá trị cực đại », - « x tiến bên phải trục số » - Nghĩa x nhận giá trị dương - Giá trị x vô hạn, không đếm vậy, thống học sinh việc giải thích nghĩa cụm từ: “x dần tới  ”  Các giả thuyết nghiên cứu o H1: Định nghĩa giới hạn vô cực hàm số không “sống” thể chế dạy học hành Quan điểm đại số chiếm ưu quan điểm xấp xỉ giới hạn o H2: Trong học sinh tồn quy tắc hành động sau: lim f ( x)   lim f ( x) x a  x a o H3: Mối liên hệ giới hạn hàm số đồ thị mờ nhạt mối liên hệ giới hạn hàm số hệ thống biểu đạt đại số hàm số o H4: Máy tính bỏ túi có vai trị mờ nhạt việc dạy học khái niệm giới hạn hàm số Hướng mở luận văn:  Xây dựng đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn hàm số mơi trường tích hợp phạm vi số đồ thị  Nghiên cứu mức độ quan tâm giáo viên đến tiến triển SGKHH so với SGKCLHN Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Bộ giáo dục đào tạo(2006), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, NXBGD, TPHCM Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến(2009), Annie Bessot, Claude Comiti Những yếu tố didactic toán, NXB Đại học quốc gia TP HCM Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn(2002), Đại số Giải tích 11, NXBGD, TPHCM Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn(2002), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11, NXBGD, TPHCM Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên(2007), SGK Đại số giải tích 11, NXBGD, TPHCM Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên(2007), SGV Đại số giải tích 11, NXBGD, TPHCM Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008), SGK Giải tích 12, NXBGD, TPHCM Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất(2008), SGV Giải tích 12, NXBGD, TPHCM Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic khái niệm giới hạn dạy học Toán trường THPT, Luận án thạc sĩ, TP.HCM 10 Nguyễn Thị Phương Mai(2005), quan niệm gíao viên học sinh khái niệm vơ hạn, luận văn thạc sĩ, TPHCM 11 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng(2007), SGK Đại số giải tích 11 nâng cao, NXBGD, TPHCM 12 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng(2007), SGV Đại số giải tích 11 nâng cao, NXBGD, TPHCM 13 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng(2009), SGK Giải tích 12, NXBGD, TPHCM 14 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng(2009), SGV Giải tích 12, NXBGD, TPHCM 15 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy – học Tốn: Đồ án didactic mơi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ, TP.HCM 16 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2006), Một số kết tri thức luận…, Luận án tiến sĩ, Pháp Tiếng anh: 17 Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D.Foley, Daniel Kennedy(2007), Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) , Addison Wesley, United States of America ... có giới hạn Dương vô cực số lớn tất số, âm vô cực số bé tất số Vơ cực lớn khơng có giới hạn - Giáo viên học sinh trí cao cho vô hạn vô cực hai khái niệm khác nhau, quan niệm họ vô hạn vô cực. .. khái niệm giới hạn ? ?Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn dãy số Một số định lí giới hạn dãy số Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Dãy số dần tới vô cực Về kiến thức: - Biết khái niệm giới hạn dãy số ( thơng... đại số khái niệm Và kĩ chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh tính giới hạn dãy số đơn giản ? ?Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn hàm số Giới thiệu số định lí giới hạn hàm số Giới hạn