Mở đầu Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp[.]
Mở đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, kinh tế sinh thái trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn địa chất cơng trình, đo sâu âm xấp xỉ sóng, tốn quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải tốn dạng phương trình tốn tử sau (xem [15, 67, 68]): A(x) = f, (0.1) A tốn tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không e f ∈ E e Tuy nhiên, tồn lớp toán số gian mêtric E tốn mà nghiệm chúng khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại xử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Vì vậy, u cầu đặt phải có phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn xuất phát Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh V.K Ivanov [50], M.M Lavrent’ev [57], J.L Lions [102], A.N Tikhonov [83, 84], Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà toán học dành phần lớn thời gian công sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh, điển hình Ya.I Alber [9], A.B Bakushinskii [15, 16], J Baumeister [19], H.W Engl [40, 41], V.B Glasko [42], A.V Goncharskii [15], R Gorenflo [10, 44], C.W Groetsch [40, 45], M Hanke [41, 47], B Hoffmann [49, 98], A.K Louis [99], V.A Morozov [63, 64], M.Z Nashed [66], F Natterer [67, 68], A Neubauer [41], G.M Vainikko [88], F.P Vasil’ev [89, 90], Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết ứng dụng tốn đặt khơng chỉnh Đ.Đ Áng [10], P.K Anh [1], Ng Bường [1, 2], Đ.Đ Trọng [10], v.v có cơng trình liên quan đến lý thuyết Ng.M Chương [36], Đ.N Hào [48, 87], T.Đ Vân [87], e khơng gian Banach với chuẩn k.k số trường hợp Nếu E ánh xạ A, toán (0.1) hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x+ k2 , (0.2) với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > thích hợp, fδ xấp xỉ f thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ & 0, (0.3) x+ phần tử chọn E nhằm giúp cho ta tìm nghiệm (0.1) theo ý muốn Chính lí mà x+ gọi phần tử dự đoán Nếu A ánh xạ phi tuyến phiếm hàm Fαδ (x) nói chung khơng lồi Do đó, khơng thể áp dụng kết đạt việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu Fαδ (x) Điều dẫn đến việc cực tiểu rời rạc hóa (0.2) phức tạp Vì vậy, để giải tốn (0.1) với A ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đưa dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Tư tưởng phương pháp F.E Browder [24] đưa vào năm 1966 để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân, sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu chỉnh, với M có tính chất đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội thỏa mãn điều kiện Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ ánh xạ phi tuyến đơn điệu cho f : E −→ (−∞, +∞] phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục Với phần tử ω ∈ E ∗ , xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) cho hT (u0 ) − ω, v − u0 i ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E (0.4) Kí hiệu tập nghiệm toán (0.4) tương ứng với phần tử ω Aω Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E Browder xét bất đẳng thức biến phân sau: hTα (uα ) − ωα , v − uα i ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E, (0.5) α > 0, Tα = T + αM ωα = ω + αv0 , với v0 phần tử E ∗ Ông với α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5) có nghiệm uα dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh phần tử u0 ∈ Aω α → 0, với u0 nghiệm bất đẳng thức biến phân: hM u0 − v0 , v − u0 i ≥ 0, v ∈ Aω Nếu E không gian Banach phản xạ không gian đối ngẫu E ∗ không gian lồi chặt ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s E có tính chất ánh xạ M nêu (xem [9]) Năm 1975, dựa tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh F.E Browder tính chất ánh xạ đối ngẫu J s , Ya.I Alber (xem [1, 7, 9]) xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải toán (0.1) A ánh xạ phi tuyến đơn điệu sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ (0.6) Năm 2016, Ng Bường, T.T Hương Ng.T.T Thủy [32] phát triển phương pháp (0.6) để đưa phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (0.7) N số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ Ai : E → E ∗ ánh xạ đơn điệu không gian Banach E, i = 0, 1, , N Ta thấy, trường hợp E không gian Hilbert J s ánh xạ phi tuyến đó, (0.6) tốn phi tuyến, A ánh xạ tuyến tính Đây lớp tốn khó giải thực tế Hơn nữa, vài thơng tin nghiệm xác, ví dụ độ trơn, khơng giữ ngun nghiệm hiệu chỉnh ánh xạ J s xác định tồn khơng gian nên ta khơng thể biết nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu E Vì vậy, vào năm 1991, Ng Bường (xem [2, 28]) cải tiến phương pháp (0.6) cách thay ánh xạ J s ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh B để đưa phương pháp sau: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ (0.8) Rõ ràng, A ánh xạ tuyến tính (0.8) tốn tuyến tính Ngồi ra, phương pháp (0.8) cịn có ưu điểm biết số thơng tin nghiệm xác ta xây dựng ánh xạ B cho nghiệm hiệu chỉnh giữ ngun tính chất Trường hợp E ≡ H khơng gian Hilbert phương pháp (0.6) có dạng đơn giản với s = Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J ≡ I ánh xạ đơn vị E phương pháp (0.6) trở thành: A(x) + α(x − x+ ) = fδ (0.9) Lý thuyết ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach hướng mở rộng lý thuyết ánh xạ đơn điệu khơng gian Hilbert Bài tốn (0.1) với A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach có mối liên hệ chặt chẽ với tốn điểm bất động, phương trình tiến hóa bất đẳng thức đồng biến phân (xem [8]) Ngoài ra, lớp tốn cịn đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không gian Lp Wpm (xem [56, 59, 78, 79]) Năm 2006, Ya.I Alber I.P Ryazantseva [9] đưa hội tụ phương pháp (0.9) A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach E điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J E liên tục yếu theo dãy Rất tiếc lớp khơng gian Banach vơ hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy q nhỏ (chỉ có khơng gian lp ) Năm 2013, Ng Bường Ng.T.H Phương [33] chứng minh hội tụ phương pháp (0.9) mà không địi hỏi tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Dựa vào phương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng Bường Ng.Đ Dũng [30] xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử (0.7) trường hợp fi ∈ E, A0 ánh xạ J-đơn điệu Ai ánh xạ ngược J-đơn điệu mạnh không gian Banach E, i = 1, 2, , N Tuy nhiên, ta thấy, A ánh xạ phi tuyến (0.6), (0.8) (0.9) tốn phi tuyến Chính lí đó, phương pháp ổn định khác để giải tốn (0.1), có tên phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich quan tâm nghiên cứu Phương pháp đề xuất A.B Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu Đây phương pháp hiệu chỉnh xây dựng dựa phương pháp tiếng giải tích số phương pháp Newton-Kantorovich Năm 1987, dựa sở phương pháp A.B Bakushinskii, để tìm nghiệm tốn (0.1) trường hợp A ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , thay cho f ta biết xấp xỉ fδn thỏa mãn (0.3) với δ thay δn , I.P Ryazantseva (xem [9, 77]) đưa phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich: A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn (0.10) Tuy nhiên, phương pháp (0.10) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành phần hiệu chỉnh nên có hạn chế giống phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.6) Trường hợp A ánh xạ J-đơn điệu khơng gian Banach E, để tìm nghiệm toán (0.1), dựa tư tưởng phương pháp A.B Bakushinskii, năm 2005, Ng Bường V.Q Hùng [31] nghiên cứu hội tụ phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich sau: A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (0.11) điều kiện kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k, ∀x ∈ E (0.12) A0 (x∗ )v = x+ − x∗ , (0.13) τ > 0, x∗ nghiệm toán (0.1), A0 (x∗ ) đạo hàm Fréchet ánh xạ A x∗ , J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E ∗ v phần tử E Ta thấy, điều kiện (0.12) (0.13) sử dụng đạo hàm Fréchet ánh xạ A nghiệm chưa biết x∗ nên chúng chặt chẽ Năm 2007, A.B Bakushinskii A Smirnova [17] chứng minh hội tụ phương pháp (0.11) đến nghiệm toán (0.1) A ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert, khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) điều kiện kA0 (x)k ≤ 1, kA0 (x) − A0 (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ H, L > (0.14) Nội dung thứ luận án trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu J-đơn điệu) không gian Banach mà chúng tơi đạt được, khắc phục hạn chế kết nêu Tiếp theo, ta xét tốn: Tìm phần tử p∗ ∈ H cho ∈ A(p∗ ), (0.15) H khơng gian Hilbert, A : H → 2H ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại Phần tử p∗ gọi không điểm ánh xạ A Ta biết, f : H → (−∞, +∞] phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục vi phân ∂f ánh xạ đơn điệu cực đại H Khi đó, tốn tìm cực tiểu f tương đương với tốn tìm khơng điểm ∂f Ngồi ra, thực tế, có nhiều tốn đưa tốn tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại phương trình tiến hóa (xem [46]), tốn bất đẳng thức biến phân (xem [61, 76]), toán điểm yên ngựa lồi-lõm (xem [74]), toán quy hoạch lồi (xem [75]) Một phương pháp để tìm nghiệm toán (0.15) phải kể đến phương pháp điểm gần kề B Martinet [103] giới thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu phiếm hàm lồi tổng quát hóa R.T Rockafellar [74] vào năm 1976 sau: xk+1 = Jk xk + ek , k ≥ 1, (0.16) Jk = (I + rk A)−1 gọi toán tử giải A với tham số rk > 0, ek vectơ sai số I ánh xạ đơn vị H Vì A ánh xạ đơn điệu cực đại nên Jk ánh xạ đơn trị (xem [91]) Do vậy, ưu điểm bật phương pháp điểm gần kề đưa toán đa trị toán đơn trị để giải R.T Rockafellar chứng minh phương pháp (0.16) hội tụ yếu tới không điểm ánh xạ A giả thiết tập P k không điểm ánh xạ A khác rỗng, ∞ k=1 ke k < ∞ rk ≥ ε > 0, với k ≥ Bằng cách kết hợp nguyên lý ánh xạ co Banach phương pháp điểm gần kề (0.16), P.N Anh cộng đưa phương pháp để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phõn n iu (xem [11, 12]) Nm 1991, O Gă uler [46] phương pháp điểm gần kề (0.16) đạt hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh không gian vô hạn chiều Với mục đích đạt hội tụ mạnh, số cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert (xem [21, 22, 51, 58, 60, 82, 91, 95, 97]) ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach (xem [35, 52, 71, 80]) nghiên cứu Sự hội tụ mạnh tất cải biên đưa điều kiện dẫn tới dãy tham số tốn tử giải ánh xạ P A khơng khả tổng, tức ∞ k=1 rk = +∞ Vì vậy, câu hỏi đặt là: có tồn cải biên phương pháp điểm gần kề mà hội tụ mạnh đưa điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng, P tức ∞ k=1 rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai luận án giới thiệu cải biên phương pháp điểm gần kề mà đạt để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert, hội tụ mạnh phương pháp đưa giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng Các kết thu luận án là: 1) Đưa chứng minh hội tụ mạnh cải biên phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.10) I.P Ryazantseva để giải toán (0.1) với A ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , khắc phục hạn chế nêu phương pháp (0.10) 2) Đưa chứng minh hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.11) để tìm nghiệm toán (0.1) trường hợp A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach E với việc loại bỏ điều kiện (0.12), (0.13), (0.14) không địi hỏi tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J 3) Đưa hai cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert, hội tụ mạnh cải biên chứng minh giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án bố cục gồm ba chương sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương có tính chất bổ trợ, trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach, khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Chương trình bày phương pháp Newton-Kantorovich số cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich để giải phương trình tốn tử khơng chỉnh phi tuyến loại đơn điệu không gian Banach, bao gồm: đưa phương pháp định lí hội tụ phương pháp Cuối chương đưa ví dụ số minh họa cho kết nghiên cứu đạt Chương Phương pháp lặp tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Chương trình bày cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert, bao gồm: giới thiệu phương pháp kết hội tụ phương pháp Một ví dụ số đưa mục cuối chương nhằm minh họa cho kết nghiên cứu đạt Các kết luận án báo cáo tại: • Hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 12, Ba Vì, Hà Nội, 23-25/04/2014 • Hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội, 21-23/04/2016 • Hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội, 20-22/04/2017 • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thơng", Thành phố Hồ Chí Minh, 05-06/11/2015 • Seminar hàng tuần nhóm Tốn ứng dụng Viện Cơng nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu luận án chương sau Mục 1.1 giới thiệu số khái niệm, tính chất khơng gian Banach, tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Mục 1.2 khái quát lại phương pháp Newton phương pháp Newton-Kantorovich Mục 1.3 trình bày phương pháp điểm gần kề số cải biên để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert 1.1 1.1.1 Không gian Banach vấn đề liên quan Một số tính chất khơng gian Banach Trước hết, mục giới thiệu số không gian Banach thông dụng a) Khơng gian hàm khả tích bậc p Ω, Ω tập đo Rn , ký hiệu Lp (Ω) (1 < p < ∞), xác định sau: Z p Lp (Ω) = x(t) : |x(t)| dt < ∞ Ω Lp (Ω) không gian Banach, với chuẩn 1/p Z kxkp = |x(t)|p dt , x(t) ∈ Lp (Ω) Ω Không gian đối ngẫu Lp (Ω) không gian Lq (Ω), với 1 + = p q Với x(t) ∈ Lp (Ω) x∗ (t) ∈ Lq (Ω) Z hx, x∗ i = x(t)x∗ (t)dt Ω Không gian L2 (Ω) không gian Hilbert b) Không gian dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞), ký hiệu lp , 10 xác định sau: ( lp = x = (x1 , x2 , , xi , ) : ∞ X ) |xi |p < ∞ i=1 lp không gian Banach, với chuẩn !1/p ∞ X kxklp = |xi |p , x = (x1 , x2 , , xi , ) ∈ lp i=1 1 + = p q Với x = (x1 , x2 , , xi , ) ∈ lp y = (y1 , y2 , , yi , ) ∈ lq Khơng gian đối ngẫu lp không gian lq , với hx, yi = ∞ X xi yi i=1 Không gian l2 không gian Hilbert c) Không gian dãy số bị chặn, ký hiệu l∞ , xác định sau: l∞ = x = (x1 , x2 , , xi , ) : {xi }∞ i=1 bị chặn l∞ không gian Banach, với chuẩn kxk∞ = sup |xi |, x = (x1 , x2 , , xi , ) ∈ l∞ , i∈N∗ N∗ = {1, 2, 3, } d) Không gian dãy số khả tổng bậc 1, ký hiệu l1 , xác định sau: ( l1 = x = (x1 , x2 , , xi , ) : ∞ X ) |xi | < ∞ i=1 l1 không gian Banach, với chuẩn kxk1 = ∞ X |xi |, x = (x1 , x2 , , xi , ) ∈ l1 i=1 Không gian đối ngẫu l1 l∞ Với x = (x1 , x2 , , xi , ) ∈ l1 y = (y1 , y2 , , yi , ) ∈ l∞ hx, yi = ∞ X i=1 xi yi ... Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich để giải phương trình tốn tử khơng chỉnh phi tuyến loại đơn điệu không. .. L > (0.14) Nội dung thứ luận án trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu J -đơn điệu) không gian Banach mà chúng... hiệu chỉnh Chương trình bày phương pháp Newton- Kantorovich số cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich