Nội dung chính của luận văn là đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.6) của I.P. Ryazantseva để giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã nêu của phương pháp (0.6). Mời các bạn tham khảo!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI - NĂM 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả luận án Nguyễn Dương Nguyễn iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, thầy tồn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy cô Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp có trao đổi kiến thức đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt q trình học tập, seminar, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình mình, người ln động viên, chia sẻ khích lệ để tác giả hồn thành cơng việc học tập nghiên cứu mình, niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach vấn đề liên quan 9 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Banach 1.1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 20 1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich 22 1.3 Phương pháp điểm gần kề số cải biên 24 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 25 1.3.2 Một số cải biên phương pháp điểm gần kề 26 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu 2.1 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi 32 tuyến với tốn tử đơn điệu không gian Banach 32 2.2 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach 44 2.3 Ví dụ số xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich 55 v Chương Phương pháp lặp tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert 64 3.1 Bài tốn tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại 64 3.2 Các cải biên phương pháp điểm gần kề với dãy tham số toán tử giải khả tổng 66 3.3 Ví dụ số minh họa 79 Kết luận chung 83 Kiến nghị hướng nghiên cứu 84 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 Một số ký hiệu viết tắt Rn không gian Euclide n-chiều H không gian Hilbert E∗ không gian đối ngẫu không gian Banach E θE phần tử không không gian E 2E tập tất tập không gian E x, x∗ giá trị phần tử x∗ ∈ E ∗ x ∈ E R tập hợp số thực ∅ tập rỗng A\B hiệu tập hợp A tập hợp B inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M S1 (0) mặt cầu đơn vị khơng gian E BE hình cầu đơn vị khơng gian E Br (x0 ) hình cầu tâm x0 bán kính r ∀x với x D(A) miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A A−1 ánh xạ ngược ánh xạ A A∗ ánh xạ liên hợp ánh xạ A I ánh xạ đơn vị Jk toán tử giải ánh xạ A với tham số rk ZerA tập không điểm ánh xạ A Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω (1 < p < ∞) lp không gian dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞) vii l1 không gian dãy số khả tổng bậc l∞ không gian dãy số bị chặn Wpm (Ω) không gian Sobolev lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 n→∞ α0 xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn dãy {xn } hội tụ yếu đến x x Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T M bao đóng tập hợp M ρE mêtric không gian mêtric E int(C) phần tập hợp C ∂ m x(t) đạo hàm riêng cấp m hàm x(t), với t = (t1 , t2 , , tn ) ∂tα1 ∂tα2 · · · ∂tαnn Dom(f ) miền hữu hiệu f PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C ∂f vi phân phiếm hàm lồi f arg f tập tất điểm cực tiểu (toàn cục) phiếm hàm f B tích đề hai tập hợp A B A≡B A trùng B x≈y x xấp xỉ y Mở đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, kinh tế sinh thái trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn địa chất cơng trình, đo sâu âm xấp xỉ sóng, tốn quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải tốn dạng phương trình tốn tử sau (xem [15, 67, 68]): A(x) = f, (0.1) A tốn tử (ánh xạ) từ khơng gian mêtric E vào không gian mêtric E f ∈ E Tuy nhiên, tồn lớp toán số tốn mà nghiệm chúng khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại xử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Vì vậy, yêu cầu đặt phải có phương pháp giải tốn đặt không chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt không chỉnh V.K Ivanov [50], M.M Lavrent’ev [57], J.L Lions [102], A.N Tikhonov [83, 84], Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà toán học dành phần lớn thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh, điển hình Ya.I Alber [9], A.B Bakushinskii [15, 16], J Baumeister [19], H.W Engl [40, 41], V.B Glasko [42], A.V Goncharskii [15], R Gorenflo [10, 44], C.W Groetsch [40, 45], M Hanke [41, 47], B Hoffmann [49, 98], A.K Louis [99], V.A Morozov [63, 64], M.Z Nashed [66], F Natterer [67, 68], A Neubauer [41], G.M Vainikko [88], F.P Vasil’ev [89, 90], Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết ứng dụng toán đặt không chỉnh Đ.Đ Áng [10], P.K Anh [1], Ng Bường [1, 2], Đ.Đ Trọng [10], v.v có cơng trình liên quan đến lý thuyết Ng.M Chương [36], Đ.N Hào [48, 87], T.Đ Vân [87], Nếu E khơng gian Banach với chuẩn số trường hợp ánh xạ A, tốn (0.1) hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = A(x) − fδ + α x − x+ , (0.2) với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > thích hợp, fδ xấp xỉ f thỏa mãn fδ − f ≤ δ 0, (0.3) x+ phần tử chọn E nhằm giúp cho ta tìm nghiệm (0.1) theo ý muốn Chính lí mà x+ gọi phần tử dự đoán Nếu A ánh xạ phi tuyến phiếm hàm Fαδ (x) nói chung khơng lồi Do đó, khơng thể áp dụng kết đạt việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu Fαδ (x) Điều dẫn đến việc cực tiểu rời rạc hóa (0.2) phức tạp Vì vậy, để giải tốn (0.1) với A ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đưa dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Tư tưởng phương pháp F.E Browder [24] đưa vào năm 1966 để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân, sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu chỉnh, với M có tính chất đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội thỏa mãn điều kiện Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ ánh xạ phi tuyến đơn điệu cho f : E −→ (−∞, +∞] phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục Với phần tử ω ∈ E ∗ , xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) cho T (u0 ) − ω, v − u0 ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E (0.4) Kí hiệu tập nghiệm toán (0.4) tương ứng với phần tử ω Aω Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E Browder xét bất đẳng thức biến phân sau: Tα (uα ) − ωα , v − uα ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E, (0.5) α > 0, Tα = T + αM ωα = ω + αv0 , với v0 phần tử E ∗ Ông với α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5) có nghiệm uα dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh phần tử u0 ∈ Aω α → 0, với u0 nghiệm bất đẳng thức biến phân: M u0 − v0 , v − u0 ≥ 0, v ∈ Aω Nếu E không gian Banach phản xạ không gian đối ngẫu E ∗ khơng gian lồi chặt ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s E có tính chất ánh xạ M nêu (xem [9]) Năm 1975, dựa tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh F.E Browder tính chất ánh xạ đối ngẫu J s , Ya.I Alber (xem [1, 7, 9]) xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải toán (0.1) A ánh xạ phi tuyến đơn điệu sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ (0.6) Năm 2016, Ng Bường, T.T Hương Ng.T.T Thủy [32] phát triển phương pháp (0.6) để đưa phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (0.7) N số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ Ai : E → E ∗ ánh xạ đơn điệu không gian Banach E, i = 0, 1, , N Ta thấy, trường hợp E khơng phải khơng gian Hilbert J s ánh xạ phi tuyến đó, (0.6) toán phi tuyến, A ánh xạ tuyến tính Đây lớp tốn khó giải thực tế Hơn nữa, vài thông tin nghiệm xác, ví dụ độ trơn, không giữ nguyên nghiệm hiệu chỉnh ánh xạ J s xác định tồn khơng gian nên ta biết nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu E Vì vậy, vào năm 1991, Ng Bường (xem [2, 28]) cải tiến phương pháp (0.6) cách thay ánh xạ J s ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh B để đưa phương pháp sau: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ (0.8) 94 [89] F.P Vasil’ev, Numerical methods for solving extremal problems, Nauka, 1980, Moskow [90] F.P Vasil’ev, Methods for solving extremal problems, Nauka, 1981, Moskow [91] F Wang, H Cui, Convergence of the generalized contraction-proximal point algorithm in a Hilbert space, Optimization, 2015, 64 (4), 709715 [92] S Wang, A modified regularization method for the proximal point algorithm, J Appl Math., 2012, Article ID 567948, Doi: 10.1155/2012/567948 [93] Y Wang, F Wang, H.K Xu, Error sensitivity for strongly convergent modifications of the proximal point algorithm, J Optim Theory Appl., 2016, 168, 901-916 [94] H.K Xu, An iterative approach to quadratic optimization, J Optim Theory Appl., 2003, 116 (3), 659-678 [95] H.K Xu, A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim., 2006, 36, 115-125 [96] H.K Xu, Averaged mappings and the gradient-projection algorithm, J Optim Theory Appl., 2011, 150, 360-378 [97] Y Yao, M.A Noor, On convergence criteria of generalized proximal point algorithms, J Comp Appl Math., 2008, 217, 46-55 Tiếng Đức [98] B Hoffmann, Mathematik inverser probleme, B.G Teubner Verlagsgesellschaft, 1999, Stuttgart [99] A.K Louis, Inverse und schlecht gestellte probleme, B.G Teubner, 1989, Stuttgart Tiếng Pháp [100] S Banach, Théorie des opérations linéaires, 1932, Warszawa 95 [101] J Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, 1932, Paris [102] R Lattès, J.L Lions, Méthode de quasi-réversibilité et applications, Dunod, 1967, Paris [103] B Martinet, Regularisation d’inéquations variationnelles par approximations successives, Revue Francaise d’Informatique et de Recherche Opérationnelle, série rouge, 1970, (3), 154-159 ... biên phương pháp điểm gần kề 26 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu 2.1 Hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình. .. pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich để giải phương trình tốn tử khơng chỉnh phi. .. số tốn tử giải khơng khả tổng Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich