chủ đề 28 bí quyết tìm góc trong không gian

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.Do SA SB SC SD   nên hình chiếu vuông góc củaS trên mặt

CHỦ ĐỀ 28: BÍ QUYẾT TÌM GÓC TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Góc giữa 2 đường thẳng d và Δ chéo nhau

Chọn 1 điểm I thuộc đường thẳng d kẻ Δ //Δ

Khi đó d ,Δ d , Δ  và 0   90

2 Góc giữa 2 đường thẳng d và (P) cắt nhau

Tìm giao điểm I của d và  P Lấy 1 điểm M thuộc

 



d , P  MIH   và 0   90

Chú ý: Cách nhớ góc MIH là đỉnh – hình chiếu –

giao điểm

3 Góc giữa 2 mặt phẳng  P và  Q cắt nhau

Tìm giao tuyến của  P và  Q là ∆ Trên  P

tìm đường thẳng d  và trên 1 Δ  Q tìm d2  Q

Khi đó:     P , Q  d ,d1 2  và 0   90

Chú ý: Nếu ∆ là 1 đường thẳng thuộc đáy thì d là1

đường thẳng nối từ chân đường cao của chóp (lăng

trụ) đến giao tuyến

B VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng

Ví dụ 1: (Chuyên Hùng Vương – Năm 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D    Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng

Giải

Vì CDC D  là hình bình hành



Tương tự C D A B //   BA ;C D    BA; A B  BA B  

 Vậy góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng góc BA B 

Mà ABB A  là hình vuông

BA B 

 Chọn A.

Mở rộng

Có rất nhiều cách để xác định góc ví dụ như: A B;CD  D C;CD 

1 4 (1

z  i  hoặc A B;CD  A B; AB  ABA45

Ví dụ 2: (Chuyên Hùng Vương – Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc  45 Gọi

I là trung điểm của cạnh CD Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng

đơn vị)

Giải

3

b a



 

 



Khi đó: DS; SAB   DSA 45

49 16 65

Gọi K là trung điểm của AB khi đó DK BI//

Suy ra SD; BISD; DK 

Ta có:

2

a

2

a

 2 2 2 10 

.SD.SK

=> Chọn B.

Bình luận

Trong hình vẽ của VD2 này chưa có sẵn đường nào // BI hoặc SD Vậy ta sẽ tiến hành kẻ thêm hình Ưu tiên kẻ thêm đường thẳng // với đường thẳng ở đáy là BI tránh kẻ // SD sẽ khó tính.

Ví dụ 3: (Chuyên ĐH Vinh – Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2

AB a,BC a Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Giải

Do SA SB SC SD   nên hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng đáy trùng với tâm hình chữ nhật

ABCD

Do AB CD// nên AB;SC CD;SC  SCD

cosSCD

SC.CD

SCD

=> Chọn A.

Bí quyết

Nếu một hình chóp có các cạnh bên đều bằng nhau thì chân đường cao H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy

Ví dụ 4: (THPT Hà Trung – Năm 2018) Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và

2

a

=> Chọn C.

Ví dụ 5: (THPT Đoàn Thượng – Năm 2018) Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng 3

6 .

=> Chọn A.

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 6: (THPT ĐH Vinh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD 

A 45 B arcsin1

Giải

Ta thấy SA ABCD SA AO









  hay O là hình chiếu của A lên SBD 



Ta có: 2 2 2

2

a











ΔSAO

2

OA

SA

=> Chọn C.

Ví dụ 7: (Chuyên Thái Bình – Năm 2018) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3,

cạnh bên 2 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 Khi đó thể tích khối lăng trụ là

A 9

27 3

27

9 3

4 .

Giải

Dựng C H ABC khi đó H là hình chiếu vuông

góc của C lên ABC   1

Lại có C C ABC C 2 

Từ  1 và  2  góc giữa cạnh bên và mặt đáy là



C C; ABC  C CH 30

Do đó C H CC sin   30  3

.

=> Chọn C.

Ghi nhớ

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc xuất phát từ đỉnh A tới giao điểm S đến chân đường vuông

góc O  ASO

(Nhiều bạn nhầm thành SAO là sai

Ví dụ 8: (THPT Việt Trì – Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và B, AB BC a, AD  2a Cạnh bên SA a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD Tính cosin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SAC 

A 5

3 5

55

2

5.

Giải

HD: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với A ; ; ,B ; ; ,C ; ; ,D ; ; ,S ; ; với 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 a 1

2

CK AB CD với K là trung điểm của AD nên tam giác ACD vuông tại C.

Vì CD AC CD SAC









 nên CD   1 1 0; ; 

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng SAC 

u n

 

=> Chọn C.

Bí quyết

tọa độ hóa để giải quyết Luôn ưu tiên giao điểm A la gốc tọa độ 0;0;0 

Ví dụ 9: (Chuyên ĐH Vinh – Năm 2018) Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình1 1 1 1

vuông cạnh a, đường thẳng DB tạo với mặt phẳng 1 BCC B góc 1 1 30 Tính thể tích khối hộp

ABCD.A B C D

A 3

3

3

a

=> Chọn B.

Ví dụ 10: (THPT Kim Liên – Năm 2018) Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ

giác đều có độ dài cạnh bên là một số thực dương không đổi Gọi α là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp

với mặt đáy Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính sin

A sin 6

3

3

2

3

 

=> Chọn D.

Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 11: (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD, ABCD là hình chữ nhật.

2

SA AD  a Góc giữa SBC và mặt đáy  ABCD là  60 Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối chóp S.AGD là

A 32 3 3

27

27

9

27 3

a

Giải

Ta thấy:









  2 











Từ (1) và (2)   SAB ; ABCD    SB; AB  SAB 60

3

a

Gọi M là trung điểm của BC ta có: z  5

2 Δ

2

ADM

Δ

2

 Theo công thức tỉ số thể tích:

SAMD

SAGD

=> Chọn B.

Ví dụ 12: (Chuyên Hùng Vương – Năm 2018) Cho tứ diện ABCD có BD 2, hai tam giác ABD, BCD

có diện tích lần lượt là 6 và 10 Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 16, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng

ABD và  BCD 

A arccos 4

15

 

 

  B arcsin 4

15

 

 

  C arcsin 4

5

 

 

  D arccos 4

5

 

 

 

Giải

HD: Dựng AH BCD ,HM BD

Do HM BD BD AMH











   

Δ

6 5

BCD

5

AH AMH

AM

arcsin

5

 

=> Chọn C.

Phân tích

3

ABCD

thành phần V ABCD và diện tích đáy S ΔBCD sẽ tính được AH.

Ví dụ 13: (Chuyên Bắc Ninh – Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O,

đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD Biết  6

3

a

giữa hai mặt phẳng SAB và  SAD 

Giải

Tam giác SAB cân tại B suy ra BM SA 1 

Tam giác SAD cân tại z suy ra DM SA 2 

Từ (1) và (2) suy ra SABMD  SAB ; SAD   BMD

Tam giác SBO vuông tại O, có

3

a

3

a

3

a

Suy ra SA BD mà

Vậy  SAB ; SAD   BMD 90

=> Chọn D.

Bình luận

Ta nhận thấy tính chất đối xứng của hình chóp khi Im(z) chia hình thành 2 phần giống hệt nhau Nếu

Ví dụ 14: (THPT Yên Lạc – Năm 2018) Cho lăng trụ ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.

Hình chiếu vuông góc của A xuống mặt ABC là trung điểm của AB Mặt bên  ACC A  tạo với đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ này theo a là

A

3

3

16

a

4

a

3

4

a

12

a

=> Chọn A.

Ví dụ 15: (Sở GD-ĐT Bắc Giang) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C  có AB AC BB  a,BAC 120

Gọi I là trung điểm của CC Ta có cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và  AB I bằng 

A 3

30

3 5

2

2 .

=> Chọn B.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

2

mặt phẳng ABCD bằng  60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 2 (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD, ABCD là

hình chữ nhật SA AD 2a Góc giữa SBC và mặt đáy  ABCD là  60 Gọi G là trọng tâm tam

giác SBC Thể tích khối chóp S.AGD là

A

3

32 3

27

a

3

27

a

3

9

a

3

16

9 3

a

Câu 3 (THPT C – Nghĩa Hưng – Năm 2018) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,

S.ABC.

A

3

4

a

4

a

4

a

3

3 4

a

V 

Câu 4 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018) Cho hình hộp ABCD.A B C D    có AB a, B C  a 5, các đường thẳng A B và B C cùng tạo với mặt phẳng ABCD một góc  45, tam giác A CB vuông tại B,

tam giác A CD vuông tại D Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D   theo a.

3

2 3

a

2

6

Câu 5 (Chuyên Hùng Vương - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên

trung điểm của cạnh z  Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm tròn đến

hàng đơn vị)

Câu 6 (Chuyên Hùng Vương - 2018).Cho hình hộp ABCD.A B C D   có các cạnh

AB , AD , AA Góc giữa hai mặt phẳng AB D  và A C D   là α Tính giá trị gần đúng của góc α.

A 45 2,  B 38 1,  C 53 4,  D 61 6, 

Câu 7 (THPT Lý Thái Tổ - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 1

và AD  3 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh SC tạo với mặt phẳng ABCD một

góc 60 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Câu 8 (THPT Yến Lạc 2 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các

cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A

3

6

3

3 2

3

a

3

3 6

Câu 9 (THPT Yến Lạc 2 - 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy là tam giác vuông tại A,

AC a, ACB   Đường chéo BC của một mặt bên BCC B  tạo với mặt phẳng AA C C   một

góc 30 Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.

3

3

3

Câu 10 (THPT Yến Lạc 2 - 2018) Cho lăng trụ ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng ABC là trung điểm của AB Mặt bên  ACC A  tạo với đáy một

góc 45 Thể tích khối lăng trụ này theo a là

A

3

3

16

a

3

3 3

3

16

a

Câu 11 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với



chóp S.ABC.

A

3

3

a

3

9

a

3

2

a

Câu 12 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình

chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm AD; M trung điểm CD; cạnh bên

SB hợp với đáy góc 60 Thể tích của khối chóp S.ABM là

A 3 15

4

3

6

12

Câu 13 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có AC2a, mặt bên SBC

tạo với mặt đáy ABCD một góc 45 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A V a3 2 B

3

a

3

2 3 3

a

3

2

a

Câu 14 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB a; BC a  2; mặt phẳng A BC  hợp với đáy ABC một góc 30 Thể tích của khối

lăng trụ là

A

3

a

12

a

6

a

Câu 15 (THPT Phạm Công Bình - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C  có AB a , đường thẳng AB tạo với mặt phẳng BCC B  một góc 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

4

a

12

a

3

4

a

3

3 4

a

Câu 16 (THPT Sơn Tây - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C  có cạnh đáy bằng a, góc

giữa đường thẳng A C và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C  theo a.

A

3

3

4

a

3

12

a

4

4

a

Câu 17 (THPT Sơn Tây - 2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng SBC và  ABCD bằng 45 Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AB, AD Tính thể tích của khối chóp S.CDMN.

A

3

5

8

a

3

8

a

3

5 24

a

3

3

a

Câu 18 (THPT Sơn Tây - 2018) Cho hình chóp S.ABC có AB AC,SAC SAB   Tính số đo của góc

giữa hai đường thẳng SA và BC.

Câu 19 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Cho khối lăng trụ đều ABC.A B C  cạnh đáy bằng a, B C tạo với đáy ABC góc 60 Tính  V ABC A B C   theo a.

A

3

3

a

3

3 4

a

4

a

Câu 20 (THPT Nguyễn Tất Thành - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa CA và mặt AA B B   bằng 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C  

A

12

a

4

a

4

a

12

a

Câu 21 (THPT Lê Hồng Phong - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a Góc

hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 Thể tích của khối chóp S.ABCD theo a bằng

A 4 3 6

3

3

3

Câu 22 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác

SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 Thể tích khối chóp S.ABCD là

A

3

5

2

a

3

15 2

a

3

3 2

a

Câu 23 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C  có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

3

AB a,BC a  Góc giữa đường thẳng AA và mặt phẳng A B C   bằng 45 Hình chiếu của B

trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ  ABC.A B C  

A

3

3

9

3 3

3

3

a

Câu 24 (THPT Bình Xuyên - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và

hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng    ABCD

là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây

Câu 25 (THPT C Bình Lục - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh

bên SA vuông góc với đáy, mặt bên SBC tạo với đáy 1 góc bằng 60 Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của SB và SC Thể tích V của khối chóp S.AMN ?

A

3

2

a

3

4

a

3

3 32

a

3

3 8

a

Câu 26 (THPT Nam Trực - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C  có đáy ABC là tam giác cân

AB AC a; BAC    , mặt phẳng AB C  tạo với đáy góc 60 Thể tích của lăng trụ đã cho là

A

3

3

4

a

3

3 8

a

3

9 8

a

3

8

a

Câu 27 (THPT Việt Trì - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C  có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a Tính góc giữa hai mặt phẳng AB C  và A B C  

A

6





4 .

Câu 28 (THPT Việt Trì - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và B,

2

AB BC a, AD   a Cạnh bên SA a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm

A 5

3 5

55

2

5.

Câu 29 (THPT Ngô Gia Tự - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

3

Tính thể tích khối chóp S.ABCD Biết cos 2 5

5

A

6

a

3

3

a

3

a

2

a

Câu 30 (THPT Vĩnh Yên - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD, ABCD là hình chữ nhật có

A 2 5

15

15

13

2 .

Câu 31 (THPT Vĩnh Yên - 2018) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh1 1 1

a, A A a1  2 và A A tạo với mặt phẳng 1 ABC một góc  30 Tính thể tích khối tứ diện A B CA là1 1

A

12

a

24

a

24

a

24

a

Câu 32 (THPT Đội Cấn - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 3

và vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng

5 .

Câu 33 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

tích khối chóp S.ABC.

A

3

6

a

3

3

4

a

Câu 34 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với

BA BC a,SA a   vuông góc với đáy, cosin góc giữa hai mặt phẳng SAC và  SBC bằng

A 1

2

3

2

3 .

Câu 35 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018) Cho lăng trụ ABC.A B C   có

 10

4

a

trùng với trung điểm M của AB Tính góc tạo bởi đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A 

Câu 36 (THPT Cổ Loa - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

ABCD là

Câu 37 (THPT Kim Liên - 2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD

và BC Biết AD2 a, AB BC CD a   Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là

điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD3HA , SD tạo với đáy một góc 45 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.