Chủ Đề 01_ Bí Quyết Tìm Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 1

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Khái niệm

Giá trị lớn nhất của hàm sốy  f x ( )trên miền D là M nếu với ọi giá trị x0Dthì f x( 0) M Giá trị nhỏ nhất của hàm sốy  f x ( )trên miền D là m nếu với mọi giá x0Dthì f x( 0) m

Quy ước: GTLN, GTNN là viết tắt của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

2 Quy tắc tìm GTLN, GTNN

Bước 1: Tìm các giá trị tới hạn trên miền D (là các giá trị làm cho ( ) 0f x  và các cận của D)

Bước 2: Tính giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn

Bước 3: So sánh các giá trị này để tìm GTLN, GTNN.

3 Tìm GTLN, GTNN bằng máy tính Casio

Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start a End b và Step

19



b a

với Da b; 

Quan sát bảng giá trị ( )F x để tìm GTLN, GTNN xuất hiện trên màn hình máy tính

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Chuyên HN Amsterdam):

Gọi các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4 2

y x x trên đoạn 1;2 lần lượt tại M và m Khi đó giá trị M.m là:

Giải

Cách 1: Tự luận

'4 4

2

1 0





 



x

x

Vì nghiệm 0  1;2nên nghiệm 0 nhận Tính ( 1) 2f   , (0) 1f  , (2) 23f 

Ta có: Mmax f( 1); (0); (2) f f  23và

min ( 1); (0); (2) 1

Vậy M.m = –23

=> Chọn C

Cách 2: Casio và Vinacal

 Sử dụng tính năng MODE 7 cho hàm số 4 2

y x x với thiết lập Start -1 End 2 và Step 3

19

Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN là 23 đạt được khi x2và GTLN1đạt được khi x0.052 Vậy



23

M m

=> Chọn C

Phân tích

2 cách trên đều rất tuyệt vời Khi học ở nhà thì nên chọn cách 1 để rèn luyện kiến thức nhưng khi đi thi thì nên chọn cách số 2 để tính nhanh

Ví dụ 2 (Chuyên Khoa học tự nhiên HN)

( )  1

f x x x có tập giá trị là:

A 1;1 B 1; 2 

Giải

Cách 1: Tự luận

 Tìm tập xác định: 2 2

1 x  0 x     1 1 x 1

1

 



x y

x

và

2

2

1

0 1



x x

x x

x x

Vì nghiệm 2  1;1

2

   nên cả 2 nghiệm 2

2

 đều nhận

Tính ( 1)f  1, (1) 1f  , 2 2

2



2

f

Ta có: max ( 1); (1); 2 ; 2 2

Vậy 1 f x( ) 2 => Tập giá trị của ( )f x là 1; 2

=> Chọn D

Cách 2: Casio và Vinacal

 Sử dụng tính năng MODE 7 cho hàm số 2

( )  1

f x x x với thiết lập Start –1 End 1 Step 2

19

Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN là 1.41  2đạt được khi x0.68và GTNN1 đạt được khi

x1 Vậy 1 f(x)   2

=> Chọn D

Phân tích

Tập giá trị của hàm số thường được kí hiệu là chữ P là tập hợp tất cả các giá trị của y khi x thay đổi Vậy ymin  P Pmax

Bình luận

Việ tìm được điều kiện của x  1;1 là điều rất quan trọng trong bài toán tìm GTLN, GTNN

Ví dụ 3 (Chuyên Sư phạm HN)

Tìm GTLN của hàm số ( ) sinf x  xcos 2xtrên 0;

A

5

max

4

9 max 8

Giải

Cách 1: Tự luận

Việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm của hàm lượng giác sin ,cos 2x xlà việc làm khó khăn Vì vậy

để đợn giản ta tiến hành đặt ẩn phụ Đặt tsinx, khi đó 2 2

cos 2x 1 2 sin x 1 2t Tiến hành đổi cận

0;  0;1

 Thay vào hàm ta được: 2

( ) 1   2

f t t t trên miền 0;1

Tính ' 1 4y   tvà ' 0 1

4

  

Vì nghiệm 1 0;1

4 nên nghiệm này thỏa mãn

(0) 1

 



 

 

f , f 1 0

Vậy GTLN của f đạt được là 9

8và dấu = xảy ra khi 1

4



x

=> Chọn D

Cách 2: Casio và Vinacal

Sử dụng tính năng MODE 7 cho hàm ( ) sinf x  xcos 2xvới thiết lập Start 0 End Step

19



Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN là 1.1138 9

8

  đạt được khi x0.33

=> Chọn D

Phân tích

Khi tìm GTLN, GTNN của hàm lượng giác ta phải chuyển máy tính về chế độ Radian SHIFT MODE 4

Khi tiến hành đổi biến ta phải đổi cả miền giá trị của biến bằng cách khảo sát hàm tf x( )sinxvới chức năng MODE 7

Ta thấy rõ ràng tsinxcó giá trị xuất phát từ 0 tăng lên 1 rồi lại giảm về 0  t 0;1

Bình luận

Việc làm này là cần thiết bởi nếu đổi cận thông thường

sin 0







Sẽ không tìm được miền giá trị chính xác của ẩn phụ Đây cũng là cái hay của bài toán này

Ví dụ 4 (Chuyên Lê Hồng Phong)

Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số 3 2

3

y x x mtrên đoạn 1;1bằng 0

4











m

Giải

Cách 1: Tự luận

'3  6

2







x

x

Vì nghiệm x  0  1;1 nên ta nhận nghiệm x0

 Xét ' 0y   2 x 0 và ' 0 2

0







x y

x Ta thấy qua nghiệm x = 0 dấu của ' y đổi từ dương

qua âm nên x = 0 là cực đại của hàm số (0) f là GTLN của hàm số trên khoảng 1;1

Vậy GTNN của hàm số trên 1;1là ( 1)f   2 mhoặc (1)f  4 m Vì   m4 luôn nhỏ hơn 2

  m nên giá trị nhỏ nhất của hàm số phải là   m4

Ta cho  4 m0sẽ tìm được m4

=> Chọn A

Cách 2

 Thử lần lượt các giá trị ở đáp án rồi tìm GTNN tương ứng Đáp án nào cho GTNN là 0 thì đáp án

đó đúng và ta tìm được khi m4thì GTNN là 0 thỏa mãn

=> Chọn A

Phân tích

Nếu ta làm 2 trường hợp



rồi chọn D thì là sai Cái tinh tế của bài toán này là việc so sánh   m4 luôn nhỏ hơn   m2

Ví dụ 5 (Thukhoa.edu.vn): Hàm số 3 2

y x x x có giá trị lớn nhất trên 0;3

2

  bằng:

A 0 B 1 C 3 D 2

=> Chọn D

Ví dụ 6 (THPT Vân Canh): Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

2

1





y

x trên đoạn

2;4 là:

A 2 vµ 11

3

=> Chọn D

Ví dụ 7 (THPT Tam Quan):

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

( 3)

y e x trên đoạn 2;2 là:

minye khi x1 ; maxye khi x2 B miny3 khi x0 ; maxy3 khi e x2

miny2 khi e x1 ; maxye khi x2 D miny2 khi e x1 ; maxy3 khi x 0

=> Chọn C

Ví dụ 8 (THPT Nguyễn Du):

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 2

y x x y GTLN và GTNN của biểu thức

2 17

K xy x y lần lượt bằng:

A 10; 6 B 5; 3 C 20; 12 D 8; 5

=> Chọn C

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Chuyên Amsterdam - 2018):

Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 4 2

y x x trên đoạn 1;2 lần lượt là M và m Khi đó, giá trị M.m là:

Câu 2 (PTDTNT THCS&THPT An Lão - 2018):

y x x x x đạt giá trị lớn nhất tại x1, x2 Tích x x1 2 bằng:

Câu 3 (Chuyên Hạ Long - 2018):

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 1

2

  



x trên nửa khoảng 4; 2 

A max4; 2 y5 B max4; 2 y6 C max4; 2 y4 D max4; 2 y7

Câu 4 (Chuyên KHTN - 2018):

( )  1

f x x x có tập giá trị là

A 1;1 B 1; 2 

Câu 5 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018):

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 2

y x x x trên đoạn1;2

A max1;2y11 B max1;2y6 C max1;2y15 D max1;2y10

Câu 6 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018):

Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2

3

y x x m trên đoạn 1;1 bằng 0

Câu 7 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018):

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yf x( ) x 1 3 x trên đoạn 1;3

A









y C max1;3y2 D





y

Câu 8 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018):

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

y x x trên đoạn 1;5 lần lượt là

A 2 vµ 0 B 4 vµ 0 C 3 vµ 0 D 0 vµ  2

Câu 9 (Chuyên Thái Bình - 2018):

Giá trị lớn nhất của hàm số 2

4

Câu 10 (THPT Hà Trung - 2018):

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx e x trên đoạn 1;2

A maxx1;2y2e2 B maxx1;2ye2 C

 1;2 

max

2





x

e

y D maxx1;2ye Câu 11 (THPT Lục Ngạn Số 1 - 2018):

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3

3sin 4 sin

2 2

 



Câu 12 (THPT Lục Ngạn Số 1 - 2018):

y x x có giá trị nhỏ nhất trên 0;2 bằng

Câu 13 (THPT Lý Tự Trọng):

Câu 14 (THPT Minh Hà):

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 6x

x 1





 trên đoạn 0;3 

Tính M2 m2

Câu 15 (PTDTNT Vân Canh):

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên

-y

1

2

 

Khẳng định nào sau đây là sai?

B x0 1được gọi là điểm cực đại của hàm sô

C f  1 2 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

D f  1 2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số

Câu 16 (THPT Công nghiệp):

Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x y2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1

3

C min 7

3



3



P

Câu 17 (THPT Nghĩa Hưng C):

Cho hàm số y = x 1

x

 .Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;  bằng

Câu 18 (THPT Tam Quan):

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ye x x 2 3trên đoạn 2; 2 là

A min y2;2 e khi x=1; max y e khi x=22;2  2 B min y2;2 3 khi x=0; max y 3e khi x=22;2 

C min y2;2 2e khi x=1; max y e khi x=22;2  2 D min y2;2 2e khi x=1; max y 3 khi x=02;2 

Câu 19 (THPT Trần Quang Diệu):

Hàm số y cos x 2 – 2cosx2 có giá trị nhỏ nhất là:

Câu 20 (THPT Yên Lạc):

Cho hàm số: cos x 2sin x 3

2cos x sin x 4





 GTLN của hàm số bằng

Câu 21 (THPT Tiên Du):

Tìm m để hàm số y mx 4

x m





 đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên 2;6

5



7



Câu 22 (THPT Triệu Sơn)

Tìm m để hàm số y mx2



 đạt giá trị lớn nhất tại x 1 trên đoạn 2; 2

Câu 23 (THPT Kim Liên):

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2x

y x e  trên đoạn 0;1 

A max y 2e0;1  B max y e0;1  2 1

C

 

2 0;1

Câu 24 (Chuyên KHTN):

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

1 x 2x y

x 1

 



 Khi đó giá trị của M m  là

Câu 25 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh):

Cho hàm số yf x xác định trên tập D Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? 

A min ( )

D

m f x nếu f (x) m với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f x 0 m

B mmin ( )D f x nếu f (x) m với mọi x thuộc D

C M max ( )D f x thì ( )  f x M với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f x 0 M

D Nếu M max ( )D f x thì ( )  f x M với mọi x thuộc D

Câu 26 (Chuyên Lương Văn Chánh):

Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để bất phương trình x4 4x33x22x m luôn thỏa mãn  x 

Câu 27 (THPT Quốc học Huế):

Cho hàm số yf x có đạo hàm   f x liên tục trên '  và đồ thị hàm số f x trên đoạn '  2;6

như hình vẽ bên Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A max f (x) f ( 2)x [ 2;6]    B max f (x) f (2)x [ 2;6]  

C max f (x) f (6)x [ 2;6]   D max f (x) f ( 1)x [ 2;6]   

Câu 28 (THPT Quốc học Huế)

Cho hàm số yf x có đồ thị trên   2; 4như hình vẽ Tìm max f (x)[ 2;4]

Câu 29 (PTDTNT An Lão):

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km Khoảng cách từ B đến A là 4km Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

A 15

13

10

19

4 km

Câu 30 (GV Phạm Kim Chung):

Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được cho bởi công thức C(t) 0, 28t2 (0 t 24)

t 4

sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân là lớn nhất?

Câu 31 (THPT Lạc Hồng):

Một đoàn tàu chuyển động thắng khởi hành từ một nhà ga Quảng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút), hàm số đó là s 6 t2 t Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc3

 / 

v m s của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

Câu 32 (THPT Lục Ngạn 3):

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức   2 

0,025 30

G x x x , trong đó

0



x (miligam) là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng

Câu 33 (PTDTNT Vân Canh):

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km Vận tốc của dòng nước là

8km h/ Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong l giờ / 

được cho bởi công thức: E v  cv t (trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun) Tìm vận tốc bơi3

của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

Câu 34 (THPT Nguyễn Du):

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 2

y x x y GTLN và GTNN của biểu thức

2 17

K xy x y lần lượt bằng:

A 10; 6 B 5; 3 C 20; 12 D 8; 5

Câu 35 (THPT Nguyễn Trường Tộ):

Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm

mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí

đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó? ( BOC gọi là góc nhìn.)

Câu 36 (THPT Phú Cát 2):

Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình3

vuông và không có nắp Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày thành bể và đáy bể

là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau

A 4m, 3m, 9m B 6m, 6m, 3m C 9m, 6m, 2m D 12m, 3m, 3m

Câu 37 (THPT Yên Lạc):

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

Câu 38 (Sở GD-ĐT Tp HCM):

Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng  3

100 cm ,

bán kính đáy xcm, chiều cao hcm (xem hình bên) Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho

vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất Khi đó, kích thước của x

và h gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất?

A h6, 476cm và x2, 217cm B h4,128cm và x2,747cm

C h5, 031cm và x2,515cm D h3, 261cm và x3,124cm

Câu 39 (THPT Vịnh Thanh):

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 2sinx 1

sin x sinx 1





2



y

D BẢNG ĐÁP ÁN