Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất .
Trang 1CHỦ ĐỀ 5 BÍ QUYẾT TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1 Tiệm cận đứng :
Đồ thị hàm số y = f (x) nhận đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng nếu :
+) Điều kiện cần: x0 là nghiệm của phương trình mẫu số = 0
+) Điều kiện đủ: lim ( )® + =¥
0
x x f x hoặc lim ( )
0
x x f x (chỉ cần một trong hai thỏa mãn là đủ)
2 Tiệm cận ngang :
Đồ thị hàm số y = f (x) nhận đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang nếu lim®- ¥ ( )= 0
lim ( )
3 Tiệm cận xiên :
Đồ thị hàm số y = f (x) nhận đường thẳng y = ax+b là tiệm cận xiên nếu lim ( ) ( 0
4 Lệnh Casio :
Ứng dụng kỹ thuật dùng CALC tính giới hạn
B VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: (Đề minh họa BGD-ĐT)
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 12 2 3
=
y
A ì =ïï
íï
=-ïî
íï = ïî
Giải
Tự luận kết hợp Casio Vinacal
Bước 1: ta hiểu x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện cần là x0 là nghiệm của phương
trình mẫu số = 0 2 5 6 0 3
2
x
x
Bước 2: Không phải mọi nghiệm x0 là nghiệm của phương trình mẫu số = 0 đều có x = x0 là tiệm cận
đứng mà còn phải thỏa mãn điều kiện đủ là: lim ( )® + =¥
0
x x f x hoặc lim ( )
0
x x f x .
Để kiểm tra tính chất này ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC
Ta thấy : xlim ( )3 f x 11270167 + x = 3thỏa mãn điều kiện đủ ⇒ x= 3 là tiệm cận đứng
Tiếp tục kiểm tra điều kiện đủ của x = 2
Trang 2Ta thấy:
2
lim ( )+ 1.16
2
không thỏa mãn điều kiện đủ ⇒ x = 2
là một tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x = 3
⇒ Chọn D
Bình luận
Đề thi bây giờ thường bẫy chỗ này Ta nhắc lại : không phải mọi nghiệm x0 của phương trình mẫu số đều
phát sinh tiệm cận đứng x = x 0 mà còn cần thỏa mãn điều kiện đủ nữa là : lim ( )® + =¥
0
x x f x hoặc
lim ( )
0
x x f x .
Trong chủ đề này, cách kết hợp giữa tự luận và Casio Vinacal là cách tối ưu để giải toán chứ không phải cách thuận tụ luận hoặc thuần Casio.
Để tính lim ( )x®x 0+ f x ta sử dụng lệnh CALC với giá trị X = x 0 +0.000001 và để tính lim ( ) x®x-0 f x ta sử dụng lệnh CALC với giá trị X = x 0 - 0.000001
Ví dụ 2 : (Chuyên Biên Hòa)
Đồ thị hàm số 2
1
x y
x
=
- có bao nhiêu tiệm cận ngang :
Trang 3Tự luận kết hợp Casio Vinacal
Ta hiểu : y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị y = f (x) nếu lim®+¥ ( )= 0
x f x y hoặc lim ( )®- ¥ = 0
x f x y
Dùng máy tính Casio với chức năng CALC để tính limx®+¥ f x( )
Ta được : lim ( ) 1 0 1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1
Dùng máy tính Casio với chức năng CALC để tính limx®- ¥ f x( ):
Ta được : lim ( ) 1 0 1
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang y = ±1
⇒ Chọn C
Bình luận
Để tính limx®+¥ f x( ) 1= ta dùng lệnh CALC với x =10 9 và để tính limx®+¥ f x( ) 1= ta dùng lệnh CALC với
x = -10 9
Ví dụ 3: (THPT Chuyên Thái Bình)
Đồ thị hàm số
2
x y
+
=
+ - có tất cả bao nhiêu tiệm cận?
Giải
Ta hiểu : Số tiệm cận của đồ thị hàm số là số tiệm cận đứng + số tiệm cận ngang
Đầu tiên ta đi tìm tiệm cận đứng:
Bước 1 giải phương trình
Trang 42 2 1
0
0
x x
x x
Bước 2: kiểm tra điều kiện đủ của x 0 1 2 bằng chức năng CALC với x 1 2 0.0000001
Ta thấy xlim1 2 f x( ) 75355333
vậy x 1 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trên
Tiếp theo ta tìm tiệm cận ngang bằng cách tính giới hạn ∞ với chức năng CALC X =109
Ta thấy lim ( )x f x 1.732vậy y ≈ 1.732 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên và lim x®- ¥ f x( ) không tồn tại nên không có thêm tiệm cận ngang thứ 2
Vậy tổng cộng đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
⇒ Chọn D
Bình luận
Về sau chúng ta sẽ làm quen với khái niệm nâng cao là tiệm cận xiên, tuy nhiên tiệm cận xiên chỉ xuất hiện trên hàm bậc 2 trên bậc nhất Còn trong những bài thường gặp, cứ nhắc đến yêu cầu tìm số tiệm cận thì ta hiểu đó là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Ví dụ 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Cho hàm số
2 2
1
y
có đồ thị (C ) trong đó a,blà các hằng số dương thỏa mãn ab = 4 Biết rằng (C ) có đường tiệm cận ngang y = c và có đúng một đường tiệm cận đứng Tính tổng T = 3a + b - 24c :
Trang 5A T = 11 B T = 4 C T = -11 D T = 7
Giải
Với hàm phân thức bậc 2 trên bậc 2 thì ta có công thức tìm nhanh tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
y = c với c là thương số của phép chia hệ số x2 trên tử chia hệ số x2 dưới mẫu
4
b
là tiệm cận ngang
Xét phương trình 4x2 + bx + 9 = 0 (1) Để đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng thì phương trình (1) có
nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt nhưng 1 nghiệm được giản ước với nghiệm trên tử
Xét trường hợp I : phương trình (1) có nghiệm kép b2 4.4.9 0 b12 Kết hợp điều kiện
4
a
b
Vậy T 3a b 24c 1 12 2 11
⇒ Chọn A
Chỉ cần trường hợp I đã tìm được giá trị của T nên ta không cần xét trường hợp II mà có thể chọn luôn
đáp số đúng là A
Bình luận
Chỉ cần trường hợp I đã tìm được giá trị của T nên ta không cần xét trường hợp II mà có thể chọn luôn
đáp số đúng là A
Ví dụ 5: (THPT Hàn Thuyên)
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (C ) : y mx x2 2x có tiệm cận ngang?2
⇒ Chọn A
Ví dụ 6: (THPT chuyên Bắc Cạn)
Cho hàm số 2 1
x y
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có 3 tiệm đường tiệm
cận
2
m
m
2 5 2
m m
C
2 2 5 2
m m m
D m > 2
⇒ Chọn C
Ví dụ 7: (THPT chuyên Lê Hồng Phong)
Trang 6Tìm tất cả giá trị của m sao cho đồ thị hàm số 2 3 1
2
y
x
có 3 tiệm cận
3
m
2
m
2
m
⇒ Chọn B
Ví dụ 3: (THPT Chuyên KHTN)
Đường tiệm cận xiên của hàm số
2
2 1
y x
-=
- tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng?
A 1
1
⇒ Chọn C
C BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 (Chuyên Amsterdam - 2018).
Đồ thị hàm số 2 3
2
x y
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Câu 2 (Chuyên Amsterdam - 2018)
Đồ thị hàm số 2
1
x y
x
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Câu 3 (THPT An Lão - 2018)
Cho hàm số
2 2
y
Khẳng định nào sau đay là sai?
A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1
2
y
B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 2
C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = -1 và x = 3
Câu 4 (THPT Số 1 An Nhơn - 2018).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2016
2016
x y x
là
A y = 1; và y = -1 B y = 1 C y 2016 D y 2016
Câu 5 (THPT Số 2 An Nhơn - 2018)
Cho hàm số yf x( ) có lim ( ) 0x f x và xlim ( )0 f x
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng
Trang 7B Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
C Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0
D Hàm số đã cho có tập xác định là D (0,)
Câu 6 (Chuyên KHTN - 2018)
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2 1
y x
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
A 1
1
Câu 7 (Chuyên KHTN - 2018)
Đồ thị hàm số 3 1
x y x
có tâm đối xứng là điểm
A 1 3;
2 2
2 2
Câu 8 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018)
Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 22 1
1
x y x
Câu 9 (PTDTNT Vân Canh - 2018)
Cho hàm số yf(x) xác định trên các khoảng (0;+∞) và thỏa mãn lim ( ) 2x f x Với giả thiết đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A Đường thẳng y = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số yf(x)
B Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số yf(x)
C Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số yf(x)
D Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số yf(x)
Câu 10 (THPT Nguyễn Đình Chiểu - 2018)
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 22 1
2
x y
Câu 11 (THPT Tăng bạt Hổ - 2018)
Cho hàm số yf(x) có lim ( ) 3x f x và lim ( )x f x 3
Khẳng định nào sau đâi là đúng?
A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang
B Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
C Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = -3
D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 3 và x = -3
Câu 12 (THPT Việt Đức - 2018)
Trang 8Cho đường cong (C ) : 3 1
2
x y x
Có bao nhiêu điểm trên đồ thị (C ) sao cho tổng khoảng cách từ điểm
đó đến 2 đường tiệm cận của (C ) bằng 6?
Câu 13 (THPT Yên Lạc - 2018)
Cho hàm số: 2 1
x y
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm só có ba đường tiệm cận
A
0
1
1
3
m
m
m
B
1 5 0
m m
C
0 1 1 5
m m m
D
0 1 3
m m
Câu 14 (THPT Yên Lạc - 2018)
Cho hàm số: ( 1) 2
1
y
x n
Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng Khi đó tổng m+n bằng
Câu 15 (THPT Trần Hưng Đạo -2018)
Cho hàm số: 42 2
9
x y
x
Khẳng định nào sau đây là đúng:
A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = ±3
B Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang
C Đồ thị hàm số không có tiệm cận
D Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang
Câu 16 (Chuyên Quốc học Huế - 2018)
Cho hàm số: 1
1
x y x
có đồ thị (C ) và A là điểm thuộc (C ) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C )
Câu 17 (THPT Kim Liên - 2018)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 4x 5
x m
có tiệm cận đứng nằm bên phải
trục Oy.
Câu 18 (THPT Trần Phú - 2018)
Cho hàm số:
2
2x 3x m y
x m
có đồ thị (C ) Tìm tất cả các giá trị của m để (C ) không có tiệm cận đứng
Câu 19 (Chuyên Lương Văn Chánh - 2018)
Trang 9Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 12 2 3
y
A x = -3 và x = -2 B x = -3 C x = 3 và x = 2 D x = 3
Câu 20 (THPT Phan Đình Phùng - 2018)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
1
x m y
x
có đúng hai đường tiệm cận
A ; \ 1 B ; \ 1;0 C ; D ; \ 0
Câu 21 (Chuyên ĐHSP - 2018).
Tìm tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số
x y
có đúng 1 đường tiệm cận là
A {0} B ; 1 1;
C D ; 1 0 1;
Câu 22 (Chuyên ĐHSP - 2018)
Đồ thị hàm số 2 1 3
1
y
x
có đường tiệm cận đi qua điểm A(-2;7) khi và chỉ khi
Câu 23 (THPT Cẩm Bình - 2018)
Tổng tất cả các giá trị nguyên m(-10;10) để đồ thị hàm số
2 2
2
y
có hai tiệm cận đứng là
Câu 24 (THPT Đoàn Thượng - 2018)
Cho hàm số 4 3
2
y
x
Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016
Câu 25 (Chuyên Lương Văn Chánh - 2018)
Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2
1
x y x
A y = 1 và y = -1 B y = 1
C y = -1 D Không có tiệm cận ngang
Câu 26 (Chuyên Phan Bội Châu - 2018)
Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị y 4x2 1 32 x2 2
Câu 27 (Đề Minh Họa - 2018)
Trang 10Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Hổi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
x -∞ 2 0 +∞
y +∞
-∞
1
0
Câu 28 (Sở GD-ĐT Bình Dương - 2018)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 1
1
m x y
x
có đường thẳng y = -2 là
một đường tiệm cận ngang
Câu 29 (Sở GD-ĐT Bình Phước - 2018)
Cho hàm số 2 1
x y
x
có đồ là (C ) Gọi M là giao điểm của (C ) với trục hoành Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị (C ) bằng
Câu 30 (THPT Thanh Thủy - 2018).
Với điều kiện nào sau đây của tham số m dưới đây, đồ thị (Cm): 2 2 2
3
x y
chỉ có 1 tiệm cận đứng?
Câu 31 (THPT Kim Liên - 2018)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2 2
2 2
y
có hai tiệm cận đứng
A m ≠ 1 và m ≠ -8 B m > -1 và m ≠ 8 C m = 1 và m = -8 D m < 1 và m ≠ -8
Câu 32 (THPT Cao Nguyên -2018)
Để đồ thị hàm số 2 21
x y
có tiệm cận ngang thì điều kiện của m là
Câu 33 (THPT Cao Nguyên -2018)
Cho hàm số
2
y
x
có đồ thị (C ) Tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị (C ) đến
các đường tiệm cận của nó bằng
A 5 2
7 2
1
7 2
Trang 11Câu 34 (Chuyên Phan Bội Châu - 2018)
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3
1
x y
x m
đi qua điểm A(5;2).
Câu 35 (THPT Chu Văn An - 2018)
Gọi (C ) là đồ thị của hàm số ylogx
Tìm khẳng đinh đúng?
A Đồ thị (C ) có tiệm cận đứng
B Đồ thị (C ) có tiệm cận ngang
C Đồ thị (C ) cắt trục tung
D Đồ thị (C ) không cắt trục hoành
Câu 36 (Chuyên Ngoại Ngữ - 2018)
Cho hàm số 2
2
y mx x x Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
A m = 1 B.m 2; 2 C m 1;1 D m > 0
Câu 37 (Chuyên Võ Nguyên Giáp - 2018)
Biết các đường tiệm cận của đường cong (C ): 6 1 2 2
5
y
x
cắt trục Oy tạo thành một đa giác (H) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A (H ) là một hình vuông có diện tích bằng 25
B (H ) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8
C (H ) là một hình vuông có diện tích bằng 4
D (H ) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10
Câu 38 (Chuyên Lương Thế Vinh - 2018)
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( ) 2 1 2
2
f x
Câu 39 (THPT Quảng Xương - 2018)
Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2 2
1 2
x y
có ba đường tiệm cận là
A \ 1;1
3
m
C ( 1;0) \ 1
3
m
D ( ; 1) (0; ) \ 1
3
m
Câu 40 (Chuyên Amsterdam HN - 2018)
Cho hàm số 2
3
x y
x
có đồ thị (C ) Có bao nhiêu điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng?
Trang 12D BẢNG ĐÁP ÁN