Chủ Đề 03 bí quyết tìm cực trị của hàm số

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 3: BÍ QUYẾT TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Dấu hiệu xuất hiện cực đại, cực tiểu

Hàm số f liên tục trên a b chứa điểm ;  x và có đạo hàm trên các khoảng 0 a x và ; 0 x0;b Khi đó:

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi  0 x qua điểm x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x 0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi  0 x qua điểm x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x 0

2 Hoành độ điểm cực trị (cực đại và cực tiểu) là nghiệm của phương trình y' = 0

3 Lệnh Casio tính đạo hàm

4 Một số khái niệm dễ gây nhầm lẫn

Trên đồ thị hàm số yf x điểm cực trị có tọa độ là   M x y thì người ta nói: Hàm số đạt cực trị 0; 0

tại x và giá trị cực trị của hàm số là 0 y0

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Chuyên KHTN HN): Cho hàm số yx 53 x Hàm số đạt cực tiểu tại2

Giải Cách 1: Tự luận

Tính  5  3 2  5  3 2 3 2  5  2 13

3

x





Xét y  0 5x 2  0 x2và  

3

2

0 3





x x

y

x x

    

Vậy y 2 0và y đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x2

2

 x là điểm cực tiểu của hàm số

 Chọn B

Cách 2: Casio và Vinacal

Để kiểm tra đáp án A ta đi tính y 1 và thấy y 1 1.66 6   Ta chỉ quan tâm đến tính chất

 1 0

y nên x1không phải là điểm cực tiểu của hàm số

 Đáp án A sai

Tiếp tục kiểm tra đáp số B ta thấy y 2 0.

Điều này có nghĩa là x =2 là điểm cực trị của hàm số Ta tiếp tục đi xác minh xem x =2 có phải là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số hay không?

Nếu đúng là điểm cực tiểu thì y phải đổi dấu từ - sang +.

Thật vậy y1.9 0và y2.1 0tức là y đổi dấu từ - sang + qua giá trị x =2

 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

 Chọn B

Bình luận

Nếu x x là cực trị của hàm số thì điều kiện cần là  0 y x' 0 0hoặc không xác định

 1 1.66 6 

y

   không thỏa mãn tính chất trên  x1không phải là điểm cực trị của hàm số thì đương nhiên không phải là điểm cực tiểu của hàm số

Để kiểm tra xem yđổi dấu qua x x 0như thế nào ta y x 0 0.1và y x 00.1là 2 giá trị bên trái và bên phải của x là quan sát thấy ngay.0

Ví dụ 2 (THPT chuyên Thái Bình): Cho hàm số yf x có f x' x2 2x x2 2 2 Số điểm cực trị của hàm số là

Giải

Xét phương trình ' 0y 

2

2

2

x x



Ta thấy ' 0y  có 4 nghiệm, tuy nhiên trong đó có 1 nghiệm bậc chẵn là x = 0 thì ' y không đổi dấu qua

nghiệm này

y

 đổi dấu qua 3 nghiệm bậc lẻ x 4 2,x4 2,x  Hàm số 2 yf x có 3 điểm

 Chọn C

Bình luận

Ta nhớ “Số điểm cực trị là số nghiệm bậc lẻ của phương trình y  ”0

Ví dụ 3 (THPT Anhxtanh): Gọi x x x1, 2 1 x2 là hai điểm cực tiểu của hàm số y x 4 2x2 3 Tính giá trị biểu thức P3x2 2x1.

Giải

1

x

x







12 4

y  x  Ta thấy  

y y

  





   

 

1 0

y y





  



 Hàm số đạt cực tiểu tại 1

2

1

1

x

x









 Chọn C

Bình luận

Ta cũng có thể lập trục xét dấu của biểu thức yvà thấy yđổi dấu từ âm sang dương qua 2 giá trị

1

x  và x 1 x1là 2 điểm cực tiểu của hàm số

Ví dụ 4: (THPT chuyên Bắc Ninh): Đồ thị hàm số 3 2

y x  x  x có 2 điểm cực trị A và B Đường thẳng nào dưới đây thuộc đường thẳng AB

A M1; 10  B N  1;10 C P1;0 D Q0; 1 

Giải Cách 1: Trực tiếp

Để làm cách trực tiếp này ta sẽ đi tìm 2 điểm cực trị A và B sau đó viết phương trình đường thẳng đi

qua 2 điểm A và B

Tính 2

y



      

 Ta thu được 2 điểm cực trị A  1;6 và

3; 26

Đường thẳng AB nhận uuurAB4; 32 

là vecto chỉ phương  nhận nr32;4 8;1

: là vecto pháp tuyến Vậy phương trình AB: 8x x A1y y A  0 8x1y 6 0  8x y  2 0

Ta thấy với điểm M1; 10  thỏa mãn phương trình AB MAB Chọn A.

Cách 2: Gián tiếp

Ta biết: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 có dạng y g x  với g x là 

phần dư của phép chia f x cho   f x' 

Tính f x'  3x2  6x 9

Phân tích f x  A f x  g x ta được:   1 1   8 2

f x  x  f x  x

 phương trình AB: y8x 2

Ta thấy với điểm M1; 10  thỏa mãn phương trình AB

 Chọn A.

Bình luận

Ta so sánh 2 cách trên thì thấy là tương đương Tuy nhiên ta chú ý, trong các bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị mà chứa tham số m thì ta ưu tiên cách thứ 2

Ví dụ 5 (THPT Đống Đa): Cho hàm số y x32m1x2 m2 1x 5 với giá trị nào của tham số

m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung

1

m m





 



Giải Cách 1: Tự luận

Gọi x x là 2 cực trị của hàm số Khi đó 1, 2 x x là 2 nghiệm phân biệt của phương trình 1, 2 y 0

Để phương trình y   0 3x22 2 m1x m2 1 0có 2 nghiệm phân biệt thì

 

      

2

3m 4m 2 0

     đúng với mọi m

1

x

x







Để 2 cực trị nằm về 2 phía của trục tung thì 2 cực trị x x trái dấu1, 2

2

Cách 2: Casio và Vinacal

Thử với giá trị m = 2 khi đó y x35x2  3x 5 và y 3x210x 3

Ta thu được 2 giá trị 1 2

1 3;

3

x  x  là 2 giá trị cùng dấu tức là 2 cực trị nằm về cùng 1 phía với trục tung

2

m

  sai  Đáp số nào chứa m = 2 thì đáp số đó sai  A B, sai

Thử m = 0 thì ta thấy được 2 nghiệm 1 2

1 1,

3

x  x  trái dấu

 Chọn C

Bình luận

Nếu đề bài hỏi 2 cực trị nằm về 2 phía của trục tung thì x x cùng dấu 1, 2  x x1, 2 0 P0

Ví dụ 6 (THPT Việt Đức): Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 33x2 4 đối xứng nhau qua đường thẳng nào sau đây:

A y x 1 B y2x1 C 3x 6y 13 0. D x 2y 3 0.

 Chọn D

Ví dụ 7 (Sở GD-DT TP.HCM ): Với giá trị k Z nào thì hàm số: y kx 34k 5x22017 có 3 cực trị:

 Chọn A

Ví dụ 8 (THPT chuyên Bắc Ninh) : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

4 2 2 1

y x  mx  có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác vuông cân

3

m m











D

3 3 1

m m

 







 Chọn B

Ví dụ 9 (Sở GD – ĐT Hưng Yên) : Cho hàm số y x 4 2mx22m m 4 Với giá trị nào của m thì đồ thị C có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành tam giác có diện tích bằng 4? m

A m 516 B m 16 C m 316 D m 316

 Chọn A

Ví dụ 10 (Chuyên ĐHSP HN) : Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2

2 4

kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

 Chọn C.

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Chuyên Amsterdam-2018 ) Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như sau Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên  ;2

B Hàm số đạt cực đại tại x 3

C f x    0, x R

D Hàm số đồng biến trên 0;3

Câu 2 (Chuyên Amsterdam-2018 ) Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số có tiệm cận đứng là y 1

B Hàm số không có cực trị

C Hàm số có tiệm cận ngang là x 2

D Hàm số đồng biến trên R

Câu 3 (THPT Số 3 An Nhơn- 2018 ) Cho hàm số 1 3 2  

3

y x mx  m x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Với mọi m  thì hàm số có hai điểm cực trị1

B Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu

C Với mọi m  thì hàm số có cực đại và cực tiểu1

D Với mọi m  thì hàm số có cực trị1

Câu 4 (Chuyên Hạ Long - 2018) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không có cực trị?

C y x 4 x2 2 D y3x22x 1

Câu 5 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3 3 2 1

y x  x mx có hai điểm cực trị x x thỏa mãn 1, 2 2 2

1 2 6

Câu 6 (Chuyên Hạ Long - 2018) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

2 3

3

A 2x3y 9 0 B 2x3y 6 0

C 2x 3y 9 0 D 2x3y 6 0

Câu 7 (Chuyên KHTN - 2018) Cho hàm số f có đạo hàm là f x  x x  1 2 x3 3 Số điểm cực trị của hàm số f là

Câu 8 (THPT Lục Ngạn 3 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

4 2 2 1

y x  mx  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ O

2

m  hoặc 1 5

2

2

m 

2

D m  hoặc 0 m 1

Câu 9 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên Rvà có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

B Hàm số có đúng một cực trị

C Hàm số đạt cực đại tại x  và đạt cực tiểu tại 0 x 1

D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.

Câu 10 (Chuyên Lê Quý Đôn - 2018) Cho hàm số 1 3   2  2 

3

y x  m x  m  m x (m là tham số) Giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2 là

Câu 11 (Chuyên Thái Bình - 2018) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 5 1

x

   là

Câu 12 (THPT Hà Trung - 2018) Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

4 4 2 1

A d 2 2 B d  3

Câu 13 (THPT Hậu Lộc 1 - 2018) Hàm số y x 3 3x21 có mấy điểm cực trị ?

Câu 14 (THPT Hoài Ân - 2018) Cho hàm số 1 3 2

3

y x  x  x Phương trình y 0có hai nghiệm x x Khi đó tổng 1, 2 x1x2 bằng

Câu 15 (THPT Hùng Vương - 2018) Hàm số y x 3 3x2mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi

Câu 16 (THPT Hùng Vương - 2018) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số

2

2

x x

y

x

 





Câu 17 (THPT Kiến An - 2018) Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị.

A yx4 x2 1 B y x 42x2 1

C y2x44x21 D y x 4 2x2 1

Câu 18 (THPT Ngô Gia Tự - 2018) Hàm số y x 3 2x hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại y CD và

giá trị cực tiểu y CT là

2

Câu 19 (THPT Ngô Gia Tự - 2018) Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y2x4  4x2 1 Hỏi diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?

A 3

Câu 20 (THPT Ngô Gia Tự - 2018) Hàm số nào sao đây không có điểm cực tiểu?

Câu 21 (THPT Nguyễn Hữu Quang - 2018) Hàm số nào sau đây có 2 cực đại?

2

C 1 4 2 2 3

4

Câu 22 (THPT Nguyễn Trường Tộ - 2018) Cho hàm số y x 3 6x29x 2 C Đường thẳng đi qua điểm A  1;1 và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của  C là

Câu 23 (THPT Phú Cát 3 - 2018) Hàm số y x  sin 2xđạt cực đại tại:

A

3

3

x   k

C

6

6

x  k

Câu 24 (THPT Việt Đức - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào có cực đại, cực tiểu và x CT x CD?

A y x 32x28x2 B yx3 3x 2

C y x 3 9x2  3x5 D yx39x23x2

Câu 25 (THPT Việt Đức - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có một cực đại mà không có

cực tiểu?

A

2

2

y

x

 



C y 2x 1

x



Câu 26 (THPT Việt Đức – 2018 ) Hàm số ysin 2x x  3 Hàm số này

A Nhận điểm

6

x làm điểm cực đại

B Nhận điểm

2

xlàm điểm cực tiểu

C Nhận điểm

6

x làm điểm cực tiểu

D Nhận điểm

2

x làm điểm cực đại

Câu 27 (THPT Việt Đức – 2018) Hàm số yx3 x24có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 28 (THPT Yên Lạc - 2018) Cho hàm số y mx 4 m 1x2 1 2m Tìm tất cả các giá trị của m

để hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 29 (THPT Xuân Trường - 2018) Với giá trị nào của m thì hàm số yx3 3mx2 3m2 1x m

A m 1 B m 2

Câu 30 (THPT Xuân Trường - 2018) Giá trị m để hàm số y mx 3 3mx2  m1x1không có cực trị là

4

4

4

m

4

m

Câu 31 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2018) Hàm số yx25x4 có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 32 (Chuyên KHTN - 2018) Biết rằng đồ thị hàm số 3 2

3

y x  x có dạng như bên: Hỏi đồ thị hàm

số yx33x2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A 0

B 1

C 2

D 3

Câu 33 (THPT Trung Giã - 2018) Biết M1; 6 là điểm cực đại của đồ thị hàm số

3 2

y x bx cx Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đó

Câu 34 (Chuyên Hưng Yên - 2018) Cho hàm số  

1

n

x

 (Với m, n là các tham số thực) Tìm m, n để hàm số đạt cực đại tại x 2và f  2 2

A Không tồn tại giá trị của m, n B m1;n1

Câu 35 (THPT Trần Hưng Đạo - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3 2

y mx  x   m xđạt cực trị tại điểm x = 1

Câu 36 (THTT Số 477 - 2018) Cho hàm số

y

x



 Đường thẳng nối hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số này vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất khi m bằng

2

Câu 37 (THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Cho hàm số 1 3 2    

y x  mx  m x C với m là tham số Xác định tất cả giá trị của m để cho đồ thị hàm số C có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng m

một phía với trục tung?

A 1;  1

2

m 

2 m

Câu 38 (Thi THPTQG - 2018) Đồ thị hàm số y x33x25có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

3

Câu 39 (Sở GD – DT TPMCH- 2018) Biết rằng hàm số y4x3 6x21 có đồ thị như hình vẽ bên Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?

A Đồ thị hàm số y4x3 6x21 có 5 cực trị

B Đồ thị hàm số y4x3 6x21 có 2 cực trị

C Đồ thị hàm số y4x3 6x21 có 3 cực trị

D Đồ thị hàm số y4x3 6x21 có 1 cực trị

Câu 40 (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên Tìm điểm cực 

tiểu của hàm số g x  f x 1

Câu 41 (Chuyên Lam Sơn - 2018) Cho hàm số yf x x3ax2bx c a b c  , , R Biết hàm số

có hai điểm cực trị là x0,x2 và f 0 2 Tính giá trị của biểu thức P a b c  

Câu 42 (Sở GD – ĐT Hải Dương – 2018 ) Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x  1

Câu 43 (Sở GD – ĐT Hải Dương – 2018) Cho hàm số y a sinx b cosx x 0x 2 đạt cực trị tại điểm

3

xvà x  Tính giá trị biểu thức T  a b 3.

Câu 44 (Chuyên Thái Nguyên - 2018) Cho hàm số f x xác định trên   R và có đồ thị của hàm số

 

f x như hình vẽ bên Hàm số f x có mấy điểm cực trị? 

Câu 45 (Chuyên Sơn La - 2018) Cho hàm số yx3 mx5m0 tham số Hỏi hàm số đã cho có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 46 (THPT Xuân Trường - 2018) Cho hàm số    

3

2

3

x

y  m x  m x m  Để hàm số đạt cực trị tại x x thỏa mãn 1, 2 x1 2x2thì

2m B m 2 m6 C

3 2

Câu 47 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y x 4  2mx2m21 có

ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm này cùng với gốc O tạo thành một tứ giác nội tiếp được?

Câu 48 (THPT Nguyễn Đình Chiểu - 2018) Tìm tất cả các giá trị tham số m để ba điểm cực trị của đồ

thị hàm số y x 46m 4x2  1 m là ba đỉnh của một tam giác vuông

A 2

3

3

Câu 49 (THPT Phú Cát 1 - 2018) Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 4 3 2

điểm cực trị tạo thành một tam giác đều là

A 23

6

3

6 2

Câu 50 (THPT Yên Lạc - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

4 2 2

y x  m x  m có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi ( với O

là gốc tọa độ )

D BẢNG ĐÁP ÁN