Chủ Đề 04 bí quyết tìm tiếp tuyến của Đồ thị hàm số

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 4: BÍ QUYẾT TÌM TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Khái niệm

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại tiếp điểm M (x0;y0) và

có phương trình y=f’(x0)(x-x0)+ y0 với k = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Tính chất hình học của hệ số góc

Tiếp tuyến y=f’(x0)(x-x0)+y0, có hệ số góc k = f’(x0) đồng thời k=tan α với α là góc tạo bởi tiếp tuyến

và chiều dương của trục hoành Ox

Để tiếp tuyến // với đường thẳng Δ thì điều kiện là k=kΔ

Để tiếp tuyếnvới đường thẳng Δ thì điều kiện là k.kΔ = -1

3 Tính hệ số góc bằng máy tính Casio Vinacal

Để tính hệ số góc bằng máy tính Casio Vinacal ta sử dụng chức năng

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (THPT Lục Ngạn): Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy = - - lnx1

x tại điểm có hoành độ bằng 2

A 1 - ln2

1 4

4



D 1

4

Giải

Ta hiểu : hệ số góc của tiếp tuyến tại x, có giá trị đúng bằng giá trị đạo hàm tại x0

Để tính đạo hàm tại x, ta dùng máy tính Casio với chức năng

Vậy hệ số góc của tiếp tuyếnk = -0,25 = -1

4

=> Chọn B

Mở rộng

Hệ số góc còn có giá trị k = tan α với α là góc tạo bởi tiếp tuyến và chiều dương của Ox Ví dụ đề bài hỏi tìm tiếp tuyến sao cho tiếp tuyến song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất thì khi đó tiếp tuyến tạo với chiều dương của Ox một góc 450 => k = tan 450 =1

Ví dụ 2 (Báo Toán Tuổi Trẻ): Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

1

y = x -2x +3x+1

A y = -x+11

1

y =

11

y = x+

1

y = x+

3

Giải

Ta hiểu : Điểm uốn của đồ thị hàm bậc 3 thường được kí hiệu là I(x0; y0) với x0 là nghiệm của phương

trình y’=0

Tính y’=x2-4x+3 và y’’=2x-4 Giải phương trình

2x – 4 = 0 => x0 = 2

=> hệ số góc k = y’(2) = -1 và y0 = 5

3 Thế vào phương trình tiếp tuyến y=f’(x0)(x-x0) + y0, ta được :

y = -1(x-2)+ y = -x+

=> Chọn A

Mở rộng

Điểm uốn của đồ thị hàm bậc 3 cũng là tâm đối xứng Cho nên khi đề bài hỏi viết phương trình tiếp tuyến tại tâm đối xứng của đồ thị thì ta vẫn viết phương trình tiếp tuyến tại I(x0; y0)

Ví dụ 3 (THPT Chuyên Bắc Ninh): Cho hai hàm số f(x)= 1

x 2 và g(x)=

2

x

2 Gọi d1,d2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x),g(x) đã cho tại giao điểm của chúng Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

Giải

Giải Tự luận kết hợp Casio Vinacal

Giải phương trình hoành độ giao điểm

2

3

Sử dụng máy tính Casio với chức năng qy tính hệ số góc của tiếp tuyến 1 và lưu vào A

Ta được k1 = A từ đó ta tìm được góc tạo bởi tiếp tuyến 1 và chiều dương trục hoành là ≈ -350

Tương tự như vậy ta tính được góc tạo bởi tiếp tuyến 2 và chiều dương trục hoành là ≈ 550

Vậy ta thấy góc giữa 2 tiếp tuyến là 55-(-35)=900

=> Chọn D

Bình luận

Qua ví dụ trên ta thấy cách kết hợp tự luận và Casio Vinacal tỏ ra có ưu thế vượt trội so với cách thuần tự luận Nếu làm theo cách thuần tự luận ta phải viết 2 phương trình tiếp tuyến ra và tìm 2 vecto pháp tuyến

là n 1

và n2 từ đó phát hiện tính chất n n 1 2

= 0 n 1  n2 

hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Ví dụ 4 (Chuyên Quốc Học Huế): Cho hàm số y = x3 –3x2+2x Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;0) ?

Giải

Tính f’(x)=3x0 -6x0 +2 và y0 = x0 - 3x0 + 2x0 thế vào phương trình tiếp tuyến ta được: y = (3x0 -6x0 +2) (x - x0) + x0 - 3x0 +2x0 (1) Để tiếp tuyến (1) đi qua A(-1;0) thì tọa độ A phải thỏa mãn phương trình tiếp tuyến  0=(3x0 -6x0 +2)(-1-x0)+x0 -3x0 +2x0

 -2x3 + 6x0 – 2 =0

Giải phương trình bậc 3 trên bằng máy tính Casio với chức năng MODE 5 4

Ta thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt x0

=> Có 3 tiếp tuyến thỏa mãn

=> Chọn C

Bình luận

Với mỗi x0 phân biệt khi thay vào phương trình (1) sẽ thu được 1 tiếp tuyến Vậy có bao nhiêu x0 thì sẽ bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;0)

Ví dụ 5 (THPT Đống Đa): Cho hàm số y=x3−3x2+2x–5 có đồ thị (C) Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị mà tiếp tuyến của đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song với nhau?

=> Chọn D

Ví dụ 6 (Chuyên KHTN HN): Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x+2

2x+3 biết tiếp tuyến cắt trục tung và trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân là:

=> Chọn A

Ví dụ 7 (THPT Chuyên Thái Bình): Cho hàm sốy=2x+1

x+1 (C) Tìm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ hai điểm A(2;4) và B(-4;-2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là bằng nhau

A M(0;1) B M 1;3 ,M 2;5

    C M 1;3

2

  D M(0;1),M(-2,3),M 1;3

2

=> Chọn D

Ví dụ 8 (THPT Nguyễn Du): Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện y≤0 , x2 +x= y+12 GTLN và GTNN của biểu thức K = xy + x + 2y + 17 lần lượt bằng :

=> Chọn C

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Chuyên Amsterdam - 2018) Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x3 – 6x2 +18x +1 song song với đường thẳng (d):12x – y = 0 có dạng là y = ax + b Khi đó tổng của a+b là

Câu 2 (Chuyên Amsterdam - 2018) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 + 6x2 – 5 tại điểm cực tiểu của nó

Câu 3 (PTDTNT THCS&THPT An Lão - 2018) Gọi M ∈ (C): y=2x+1

x-1 có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B Hãy tính diện tích tam giác OAB

A 121

119

123

125 6

Câu 4 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hàm số y= -x3+3x-2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Câu 5 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + x2 +

1 tại điểm có hoành độ x = 1

Câu 6 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

x y= +3x -2 3

biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9

Câu 7 (THPT Lê Quý Đôn - 2018) Cho hàm số y= x3+3x2-4 có đồ thị (C).Số tiếp tuyến với đồ thị (C)

đi qua điểm J(-1;-2) là

Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm sốy= x-1

x+2có đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành có phương trình là

3 3

Câu 9 (THPT Hùng Vương - 2018) Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2

+2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

Câu 10 (THPT Lê Quý Đôn - 2018) Cho hàm số y=x3−3x2+2x với đồ thị (C) Đường thẳng nào sau đây

là tiếp tuyến của (C) tại M (1;0) ?

Câu 11 (THPT Mỹ Thọ - 2018) Tìm M trên (H):y=x+1

x-3 , sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d):

y = x+2017?

Câu 12 (THPT Nguyễn Du - 2018) Đồ thị hàm sốy=2x+1

x-1 là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = -3x + 15

A y = -3x+11 và y = -3x-1 B y = -3x+11

Câu 13 (THPT Nguyễn Du - 2018) Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 có đồ thị (C) Có bao nhiêu tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng y = 9x + 10 ?

Câu 14 (THPT Yên Lạc - 2018) Đồ thị hàm số y=2x4 – 8x2 +1 có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành:

Câu 15 (THPT Yên Lạc - 2018).Cho hàm số y = x4 – 2m2x2+2m+1 Xác định m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với với đường thẳng (d):x=1 song song với đường thẳng (Δ): y = -12x+4

Câu 16 (THPT Xuân Trường - 2018) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 1

2x tại điểm

1

A ;1 2

  có phương trình là

Câu 17 (Chuyên Quốc học Huế - 2018) Gọi (C) là đồ thị của hàm sốy= x-2

2x+1 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A (C) có các tiệm cận là các đường thẳng có phương trình làx=-1

2và

1 y=

2.

B Tồn tại 2 điểm M,N thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại M và N xong xong với nhau.

C Tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua điểm - ;1 1

2 2

 

D Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Câu 18 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2018) Cho hàm số y = x3 – m2x2 – m có đồ thị (C) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 =1 song song với đường thẳng

d : y = -5x

C. m = 2

m = -2





Câu 19 (Sở GD&ĐT Bình Phước - 2018) Đồ thị của hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x=1 tại điểm có tung độ bằng 3 khi

A a = 2, b = 2, c = 0 B a = c = 0, b = 2

Câu 20 (THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Hai tiếp tuyến tại hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) = x3 -3x + 1 cách nhau một khoảng là

Câu 21 (TT Diệu Hiền - 2018) Cho hàm số 1 3 2

y= x +x -2

3 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’(x)=0 là

A y = x7

7

y = -x +

3

C y = x - 7

7

y = -x -

3

Câu 22 (TT Diệu Hiền - 2018) Cho hàm sốy = 2x+3

x-1 có đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 cắt các trục Ox, Oy tại điểm thuộc tại các điểm A(a;0), B(0;b) Khi đó, giá trị của 5a+b bằng

5

Câu 23 (Sở GD-ĐT Tp HCM - 2018) Biết d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

x

y = +3x -2

3 và d có hệ số góc k = -9, phương trình của d là

Câu 24 (Sở GD-ĐT Bình Phước - 2018) Đường thẳng y = 6x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 3x - 1 khi m bằng

A m = -3

m = 1





m = 1







C m = 3

m = -1





m = -1







Câu 25 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2018) Cho hàm sốy = 2x+1

x-1 có đồ thị (C) Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M (2;5) cắt hai đường tiệm cận tại E và F Khi đó độ dài EF bằng

Câu 26 (Chuyên Lê Thánh Tông - 2018) Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + x + 1 Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ x=2 cắt đồ thị (C) tại điểm N ( khác M ) Tìm tọa độ điểm N

Câu 27 (Chuyên Amsterdam HN - 2018) Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m +2 có đồ thị (C) Gọi (Δ) là tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1 Với giá trị nào của tham số m thì (Δ) vuông góc với đường thẳng (d):y = x-20161

Câu 28 (Chuyên Amsterdam HN - 2018) Cho hàm số y = 2x-1

x-1 (C) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA = 4OB là

A -1

1

-1

4 hoặc

1

Câu 29 (THPT Nguyễn Du - 2018) (C) là đồ thị của hàm số y = x3 - 6x2 + 9x -1 Tìm giá trị của m để parabol có phương trình y = -3

4 x

2 + 4 – m2 tiếp xúc với (C)

Câu 30 (THPT Yên Lạc - 2018) Tập tất cả các giá trị của tham số m để qua điểm M (2; m) kẻ được ba

tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm y = x3 – 3x2 là

A m ∈ (4;5) B m ∈ (-2;3) C m ∈ (-5;-4) D m ∈ (-5;4)

D BẢNG ĐÁP ÁN