Chủ Đề 02_ Bí Quyết Tìm Khoảng Đồng Biến Nghịch Biến.doc

Tài liệu toán lớp 12 , ôn thi đại học , ôn thi cấp tốc .Chọn lọc, Đầy đủ, ngắn gọn chi tiết dễ hiểu nhất . Đầy đủ cả cách giải tự luận và trắc nghiệm bấm máy casio

CHỦ ĐỀ 2: BÍ QUYẾT TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Khái niệm

Hàm số y = f (x) đồng biến trên miền D nếu với mọi x1,x2  D, x1 < x2 thì f (x1) < f (x2) và ngược lại

2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến

Hàm số đồng biến  y' > 0 và nghịch biến  y' < 0

Chú ý : Hàm phân thức hữu tỉ y ax b

cx d





 bị vi phạm ở lân cận vậy điều kiện chỉ còn : ' 0

' 0

y y





 



3 Dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc 2 : ax2 + bx + c (a  0) Nếu   0 thì dấu của tam thức luôn cùng dấu với a Nếu  >

0 thì dấu của tam thức tuân theo quy luật “trong trái ngoài cùng” có nghĩa là trong khoảng 2 nghiệm (x1;

x2) thì dấu của tam thức cùng dấu với a và ngược lại.

4 Các bước tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên một miền

Bước 1 : Tính đạo hàm y', thiết lập bất phương trình đạo hàm y' ≥ 0 nếu hàm số đồng biến và y'  0 nếu

hàm số nghịch biến

Bước 2 : Cô lập m và bất phương trình đạo hàm về 1 trong 2 dạng : m ≥ g (x) hoặc m  g (x)

Bước 3 : Biện luận nếu m ≥ g(x) trên miền D có nghĩa là m ≥ g(max) trên miền D.

m  g(x) có nghĩa là m  g(min) trên miền D

5 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến bằng Casio

Ta sử dụng chức năng để xét dấu của đạo hàm y'

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Thái Bình) Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R ?

A

3

x

y 

2

4 log 2x 1 D 2

x

e

 

 

 

Giải

Mẹo giải nhanh

Hàm số lũy thừa y = ax nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1 Xét cơ số 1.047 1

3



   A sai

Tiếp tục xét: 2 0.3757 1

e   thỏa mãn

2

e

 

=> Chọn D

Mở rộng

Với đáp số B ta có tập xác định của hàm 1

2 log

y x là (0; + ) nên không thể nghịch biến hay đồng biến trên R  Đáp số B sai

Với đáp án C có tập xác định là R tuy nhiên khi xét đạo hàm:

 Đáp số C sai

Bình luận

Chỉ với việc xét hàm lũy thừa và 2 đáp án A, D đã tìm được đáp số nên việc xét đáp số B, C là không cần thiết vì đáp số chỉ có một

Ví dụ 2: (Báo Toán Học Tuổi Trẻ) Hàm số y = x 3 + 3x 2 +mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị

của m là :

Giải

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2

Hàm số = x3 + 3x2 +mx + m có tập xác định là R nên bài toán được hiểu rằng tìm m để hàm số đồng biến trên R

Để hàm số đồng biến trên R thì y'  0 với mọi x  R

 3x2 + 6x + m  0 với mọi x  R  y'  0  9 - 3m  0  m3

=> Chọn B

Tự luận kết Casio và Vinacal

Xét 3x2 +6x + m  0  m ≥ -3x2 - 6x = g (x) Ta hiểu m ≥ g(x) với mọi x  R có nghĩa là m ≥ g(max) Thiết lập: Start t – 9 End 10 Step 1

Ta thu được giá trị lớn nhất là = 3 đạt được khi x = -1  m ≥ 3

 Chọn B

Bình luận

Với x  R thì ta thường chọn Start -9 End 10 Step 1 hoặc Start -4 End 5 Step 0.5

So sánh 2 cách làm thì ta thấy tương đương nếu xét trong ví dụ này, tuy nhiên ví dụ cho hàm f(x) càng phức tạp và y' không tính được  thì cách kết hợp tỏ ra có ưu thế hơn

Ví dụ 3: (THPT Sơn Tây) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 2 2 1 2

3

m

y x  mx  m x nghịch biến trên R

Giải

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2

Tính y' = mx2 - 2mx + 2m - l

Để hàm số nghịch biến trên R thì y'  0 với mọi x  R

 mx2 - 2mx + 2m - 1 < 0 với mọi x  R

 

0 0

0

m

m m

m

 





(1)

Hoặc trường hợp 2 : m = 0 và y'  0 Xét m = 0 thì y' = -1 < 0 là đúng  m = 0 (2) thỏa mãn

Kết hợp (1) và (2)

=> Chọn A

Tự luận kết Casio và Vinacal

Xét y'  0  m(x2 - 2x + 2)  1 (3) Vì đại lượng x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 +1 luôn > 0 nên khi chia cả 2 vế của bất phương trình cho đại lượng x2 - 2x + 2 thì dấu của bất phương trình không đổi chiều

Bất phương trình (3) 2 1 min

2 2

  Để tìm max của g(x) ta lại sử dụng chức năng MODE 7 với Start-9 End 10 Step 1

Ta thu được GTNN là  0,03  0  m  0  Chọn A

Bình luận

Theo cách giải tự luận các bạn thường bỏ quên trường hợp số 2 khi m = 0 thì hàm bậc 3 với đồ thị là đường cong suy biến thành hàm bậc nhất y = -x - 2 có đồ thị là đường thẳng Đường thẳng này có hệ số góc a = -1 < 0 cho nên hàm y = -x – 2 nghịch biến trên R

 m = 0 thỏa mãn

Ví dụ 4: (Đề minh họa BGD-ĐT) Tìm m sao cho tanx 2

tanx

y

m





 đồng biến trên khoảng 0;

4



 

 

 

m

m





  

Giải

Đạo hàm liên quan đến tan x rất khó xử lý nên ta sẽ tiến hành đặt ẩn phụ y = tan x để đưa hàm lượng giác phức tạp ban đầu về hàm y t 2

t m





 đơn giản hơn Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ ta cũng phải đổi cận:

0 tan 0 0

0;1 tan 1

t





Tính

2

y

t m

 



 Để hàm số đồng biến thì y’ > 0  -m + 2 > 0  m < 2 (1)

Xét điều kiện của hàm số là t  1 Vậy để hàm đồng biến trên cả khoảng (0;1) thì giá trị vô định m  (0;1) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được









=> Chọn A.

Bình luận

Vấn đề khó nhất của bài này là việc phải cho giá trị vô định x = m không được thuộc miền đang xét (0;l) Phần lớn học sinh mắc phải sai lầm này và thường làm đến (1) thì dừng lại và chọn đáp án là B

Ví dụ 5: (Đề thi THPT QG) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 15

5

x

đồng biến trên khoản (0; +) ?

Giải

2

6

1 ' 3

x

   Để hàm số đồng biến thì y' 0 3x2 16 m 0 m 3x2 16 g x( )

Ta hiểu y’ ≥ g(x) với mọi giá trị x thuộc khoảng (0; +) có nghĩa là y ≥ g(max) trên khoảng (0; +)

Để tính g (max) ta sử dụng MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5

Quan sát bảng giá trị ta thấy g(max) = -4 khi x = 1  m ≥ -4

Vì m nguyên âm nên m = -4; -3; -2; -1  có 4 giá trị m thỏa mãn

=> Chọn D

Bình luận

Vì hàm g(x) phức tạp nên ta ưu tiên sử dụng phương pháp Casio Vinacal là chính Khi x tiến tới + thì ta thường chọn End là 9 hoặc 19 thì bước nhảy Step sẽ đẹp

Ví dụ 6: (Chuyên KHTN HN) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 (m -6)x +1 đồng biến trên khoảng (-5;-2) là :

=> Chọn C

Ví dụ 7: (THPT Việt Đức HN) Tìm m để hàm số y = 2x3 +3(m - 1)x2 +6(m - 2)x + 3 nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3

6

m m











=> Chọn D

Ví dụ 8: (Đề minh họa BGD-ĐT) Cho hàm số y = f(x) Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi

hàm số y = f(2 - x) đồng biến trên khoảng nào?

A (1;3) B (2; +)

=> Chọn C

Ví dụ 9: (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đường cong bên là đồ thị của

hàm số : y = f’(x) Xét hàm số g(x) = f (x2 - 2), mệnh đề nào sau đây sai

A Hàm số g(x) nghịch biến trên (-; -2)

B Hàm số g(x) đồng biến trên (2; +)

C Hàm số g(x) nghịch biến trên (-1;0)

D Hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2)

=> Chọn C

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (Chuyên Amsterdam - 2018) Cho hàm số y = f(x) có đồ thị

như hình vẽ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A   3

x

max f x



B Hàm số đồng biến trên khoảng (-; 3)

C Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2

D 0;4   1,

Câu 2 (Chuyên Lê Qúy Đôn - 2018) Hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1

đồng biến trên mỗi khoảng:

(1;3)

(3; +)

Câu 3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm số

sin cos 3

y x x x Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

A Hàm số nghịch biến trên (-; 0)

B Hàm số nghịch biến trên (1; 2)

C Hàm số là hàm lẻ

D Hàm số đồng biến trên (-; +)

Câu 4 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại

B Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -4

C Hàm số đồng biến trên (1; 2)

D Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Câu 5 (Chuyên Thái Bình - 2018) Hàm số y = x4 – 2x2 – 7 nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 6 (THPT DTNT Bình Định - 2018) Hàm số nào sau đây đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

nó?

2

x

y

x





2

x y x





2

x y x





2

x y x







Câu 7 (THPT Hà Trung - 2018) Hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = -2

B Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2), (-2, +)

C Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm M(0;-1)

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; -2), (-2, +)

Câu 8 (THPT Hòa Bình - 2018) Hàm số y = -x4 + 4x2 - 2 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây ?

A  2;0và  2;  B  2; 2

C  2;  D   ; 2 và 0; 2

Câu 9 (THPT Minh Hà - 2018) Hàm số

4 2 2

2 log 2016 4

x

y  x  đồng biến trên khoảng:

Câu 10 (PTDTNT Vân Canh - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên từng

khoảng xác định của nó?

2 1

( )

1

x

x





 ; yx4x2 2( )II ; y x 3 3x 5(III)

Câu 11 (THPT Nghĩa Hưng C - 2018) Hàm số y mx 1

x m







A luôn luôn đồng biến nếu m  >11

B luôn luôn đồng biến với mọi m

C luôn luôn đồng biến nếu m  0

D đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Câu 12 (THPT Tiên Du - 2018) Cho f x  x e2 x

 Phương trình f’(x) ≥ 0 có tập nghiệm là:

Câu 13 (THPT Việt Đức - 2018) Cho hàm số y = sinx - x Hàm số này:

C Chỉ nghịch biến trên khoảng (-; 0) D Nghịch biến trên R.

Câu 14 (THPT Yên Lạc - 2018) Cho hàm số y (m 1)x 2

x m

 



 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

A -2 < m <1 B 1

2

m m





 

2

m m





  



Câu 15 (THPPT Trần Hưng Đạo - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên R?

A y = x4 + x2 + 2017 B y = x3 +3x2 +3x + 2017

Câu 16 (THPT Trần Hưng Đạo - 2018) Hàm số 1 3 2

3

y m x mx  m x luôn nghịch biến trên tập xác định với m thỏa mãn:

1 2

m 

Câu 17 (Chuyên Nguyễn Trãi - 2018) Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực R , mệnh đề nào

sau đây là đúng?

A Với mọi x1 > x2  R  f (x1) < f (x2)

B Với mọi x1; x2  R  f (x1) > f (x2)

C Với mọi x1; x2  R  f (x1) < f (x2)

D Với mọi x1 < x2  R  f (x1) < f (x2)

Câu 18 (THPT Đức Thọ - 2018) Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên tập D = R\{-1} và có

bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [l; 8] bằng -2

B Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi m > -2

C Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; 3).

Câu 19 (THPT Nguyễn Quang Diệu - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = (2m - 1)x – ( 3m + 2) cos x nghịch biến trên R

5

m

5

m

5

m 

Câu 20 (THPT Cẩm Bình - 2018) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (-1; 2) thì hàm số

y=f(x+2) đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

A (-3;0) B (-2;4) C (-1;2) D (1;4)

Câu 21 (THPT Đoàn Thượng - 2018) Cho hàm số y = f(x) = x3 + ax2 + bx + c Mệnh đề nào sau đây sai ?

A Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành

B lim ( )x  f x 

C Đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứng

D Hàm số luôn có cực trị

Câu 22 (Chuyên Lương Văn Chánh - 2018) Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

y = x3 - 3x2 + m nhận điểm A( 1;3) làm tâm đối xứng

Câu 23 (Thi THPTQG - 2018) Cho hàm số y mx 4m

x m





 với m là tham số Gọi s là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Câu 24 (Sở GD-ĐT Hải Dương - 2018) Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

-

+

1

2

x

y

x





2

x y

x





2 1

x y x





2

x y x







Câu 25 (Sở GD-ĐT Bình Phước - 2018) Cho hàm số y = f(x) Biết f(x) có đạo hàm là f’(x) và hàm số

y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số y = f (x) chỉ có hai điểm cực trị

B Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (l; 3)

C Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (-; 2)

D Đồ thị của hàm số y = f(x) chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành

Câu 26 (Chuyên Amsterdam - 2018) Xác định các giá trị của tham số m để

hàm số y = x3 - 3mx2 - m nghịch biến trên khoảng (0; 1) ?

2

2

Câu 27 (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm các giá trị thực của tham số m để

hàm số sin2

cos

y

x



 nghịch biến trên khoảng 0;

6



2

2

4

4

m 

Câu 28 (THPT Hàm Rồng - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số tan 2

tan

x y

x m







đồng biến trên khoảng 0;

4



m m





  

Câu 29 (THPT Hòa Bình - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 22

x x

y

 





đồng biến trên khoảng ln ;01

4

2 2

m   

2 2

m    

Câu 30 (THPT Kiến An - 2018) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số 1 3 2 2 2

3

y x  x mx nghịch biến trên khoảng (0; 3)

Câu 31 (THPT Lê Lợi - 2018) Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để hàm số y mx 4

x m





 nghịch biến trên khoảng (0; +)

Câu 32 (THPT Chu Văn An - 2018) Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên R Đồ thị

của các hàm số y = f (x), y = f'(x) và y = f"(x) lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên?

Câu 33 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y=f’(x) cắt trục Ox tại ba điểm có

hoành độ a < b < c như hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A ( )f c  f a( ) f(b) B ( )f c  f(b) f(a)

C (a)f  f(b) f(c) D (b)f  f a( ) f(c)

Câu 34 (THPT Kiến An - 2018) Cho hàm số y = f(x) Đồ thị của hàm số y=f’(x) như hình bên Đặt

( ) 2 ( ) 1

g x  f x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A g(3)g( 3) g(1)

B g( 3) g(3)g(1)

C g(1)g( 3) g(3)

D g(1)g(3)g( 3)

Câu 35 (Thi THPTQG - 2018) Cho hàm số y = f(x) Đồ thị của hàm số

y=f’(x) như hình bên Đặt g x( ) 2 ( ) f x x12 Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A g(1)g(3)g( 3)

B g(1)g( 3) g(3)

C g(3)g( 3) g(1)

D g(3)g( 3) g(1)

D BẢNG ĐÁP ÁN