chủ đề 21 bí quyết tìm nhanh các thuộc tính của số phức

CHỦ ĐỀ 21: BÍ QUYẾT TÌM NHANH CÁC THUỘC TÍNH CỦA SỐ PHỨCA.. KIẾN THỨC NỀN TẢNG1... Mệnh đề nào dưới đây đúng?A... Cho số phức z bất kỳ.. Khẳng định nào sau đây là khẳng địnhsai?.. Tính

CHỦ ĐỀ 21: BÍ QUYẾT TÌM NHANH CÁC THUỘC TÍNH CỦA SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Số ảo: được kí hiệu bằng chữ i và có giá trị là i2 1

Quy luật của số ảo: i4k 1, i4k 1  i

 , i4k 2  1

 , i4k 3  i



2 Số phức: là số có dạng z a bi  với a, b là 2 số thực

Một số dạng số phức cơ bản: số phức liên hợp của z là z a bi  , số phức đối của z là z a bi, số phức nghịch đảo của z là 1 1 2 a 2 2 b 2i

z a bi a b  a b , mô đun của số phức là một đại lượng được kí hiệu là z và có giá trị 2 2

z  a b

3 Phần thực, phần ảo:

Phần thực của số phức z được kí hiệu là Re z và có giá trị   Re z a

Phần thực của số phức z được kí hiệu là Im z và có giá trị   Im z  b

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - Lần 3 - Năm 2017) Tính môđun của số phức z thỏa

mãn: z 1 4i  1 i 3

Giải

Cách tính cơ bản

Tính giá trị của z ta được:

Vậy z 1222  5

=> Chọn A

Cách tính nhanh

Để tính môđun số phức ta có thể sử dụng lệnh SHIFT ABS

z 5

=> Chọn A

Ví dụ 2: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh - Năm 2017) Trong tập các số phức, tìm

số phức z biết 1 i z 2 3i z 2 i        2

Giải

PT ban đầu  1 i z   2 i z   2 2 3i 

 1 2i z 4 3i z 4 3i

1 2i

 

      

  Vậy z 2 i 

=> Chọn B

Kinh nghiệm

Đối với phương trình chỉ chứa mình z thì ta tiến hành cô lập z rồi dùng máy tính

Casio

Ví dụ 3: (Sở GD-ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 2 - 2017) Cho số phức z thỏa mãn 1 3i3

z

1 i





 Tính

m z iz

Giải

Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 2 tính giá trị z ta được:

z 4 4i

Từ đó dùng lệnh SHIFT ABS để tính mô đun số phức z iz

qcp4p4b b p4 4b  

Vậy m z iz 8 2

=> Chọn C

Chú ý

Để tính toán các đại lượng liên quan đến số ảo i ta đều đăng nhập vào môi trường

làm việc của số phức bằng lệnh MODE 7

Ví dụ 4: (Sở GD-ĐT Hải Dương - Năm 2017) Tìm Im z của số phức z:   z 2z 2 i  3 1 i  

Giải

Để dễ nhìn ta rút gọn cụm 2 i  3 1 i  ở vế phải:

Khi đó phương trình trở thành: z 2z  9 13i (1)

Đặt z a bi  khi đó (1)

a bi 2 a bi 9 13i 3a bi 9 13i

         

Để 2 vế bằng nhau: 3a 9 a 3

b 13 b 13

Phần ảo số phức z kí hiệu là Im z  13

=> Chọn C

Kinh nghiệm

Đối với bài tìm z mà không cô lập được z thì ta sẽ đặt z a bi 

Ví dụ 5: (Sở GD-ĐT Bình Phước - Năm 2017) Cho số phức z 1 in, biết n ¥ và thỏa mãn

log n 3 log n 9 3 Tìm Re z của số phức z. 

Giải

Đầu tiên ta giải phương trình Logarit để tìm được n

PT Logarit  log n 3 n 94      3

n 3 n 9   43 64 n2 6n 91 0

n 7

n 13





  

 Vì n 3  n 7

Hoặc ta có thể dò nghiệm n bằng chức năng SHIFT SOLVE ta cũng thu được n 7

Vậy z 1 i7  8 8i và phần thực được kí hiệu là Re z  8

=> Chọn C

Ví dụ 6: (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 3 - Năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn

1 i 3 z 4i   Tính z2017

A 8672 3 i   B 8672 3.i 1   C 8672 3 i   D 86721 3.i 

Giải

Tiến hành cô lập và tính z ta được: z 3 i

Khi đó: 2017  2017  3 672 

z  3 i  3 i  3 i

 672  672  672

8i 3 i 8 3 i i

672

8 3 i

=> Chọn C

Phân tích

Đại lượng 3 i nếu lập phương thì sẽ thu được giá trị đặc biệt  3 i 3  8i

Ta có i4 1 thì  i4 n 1

 168

Ví dụ 7: (THPT Quốc Học Quy Nhơn - Bình Định - Lần 1 - Năm 2017) Cho hai số phức z1m 3i ,

 

2

z  2 m 1 i với m ¡ Tìm các giá trị của m để z z là số thực.1 2

A m 2 hoặc m3 B m 2 hoặc m1 C m 1 hoặc m2 D m2 hoặc m3

Giải

Tính z z1 2 m 3i 2   m 1 i  

2m 6i m m 1 i 3 m 1 i

2m 3 m 1 6 m m 1 i 5m 3 6 m m i

           

Để z là số thực thì phần ảo phải bằng 0 6 m m2 0 m 2

m 3





      



=> Chọn A

Mở rộng

Số thực sẽ có phần ảo bằng 0, số ảo sẽ có phần thực bằng 0, số có cả phần thực và phần ảo bằng 0 là số 0

Ví dụ 8: (THPT Chuyên Tuyên Quang - Lần 1 - Năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn

1 i z 2.i.z 5 3i     Tính z

=> Chọn B

Ví dụ 9: (THPT Chuyên Lê Khiết - Lần 1 - Năm 2017) Phần thực và phần ảo của số phức

2017

1 i

z

1 i



 

 



  lần lượt là

A 1 và 0 B 1 và 0 C 0 và 1 D 0 và 1.

=> Chọn D

Ví dụ 10: (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần 3 Năm 2017) Cho số phức z 1 i i   2i3 i Khi9

đó

=> Chọn C

Ví dụ 11: (THPT Quốc Học Huế - Lần 2 - Năm 2017) Cho số phức z 0 sao cho z không phải là số

thực và z 2

1 z

w 

 là số thực Tính 2

z

1 z

A 1

1

1 3

=> Chọn B

Ví dụ 12: (THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 3 - Năm 2017) Cho hai số phức z , z1 2

thỏa mãn z , z1 2 0; z z1 2 0 và

z z z z Tính 1

2

z z

A 2.

3

3

=> Chọn A

Ví dụ 13: (Đề Minh Họa - BGD&ĐT - Lần 2 - Năm 2017) Xét số phức z thỏa mãn

1 2i z 10 2 i

z

    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 3 z 2

1

z 2

2  2

=> Chọn D

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (THPTQG - 2018 - Mã đề 110) Cho số phức z a bi  a, b ¡ thỏa mãn z 2 i z    Tính

S 4a b 

Câu 2 (Đề Thi THPTQG - 2018 - Mã đề 110) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 i  2 2 và

z 1 2 là số thuần ảo

Câu 3 (Đề Thi THPTQG - 2018 - Mã đề 103) Tìm tất cả các số thực x, y sao cho x2 1 yi 1 2i

A x 2, y 2 B x 2, y 2 C x 0, y 2  D x 2, y2

Câu 4 (Đề Thi THPTQG - 2018 - Mã đề 103) Cho số phức z thỏa mãn z 3 5  và

z 2i  z 2 2i Tính z

Câu 5 (Đề Thi THPTQG - 2018 - Mã đề 103) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i  13 và z

z 2 là số thuần ảo?

Câu 6 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 6 - 2018) Cho các số phức z1 2 3i, z2  1 4i Tìm số phức liên hợp với số phức z z 1 2

Câu 7 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 6 - 2018) Cho số phức z x yi; x, y  ¢ thỏa mãn

3

z 18 26i Tính Tz 2 24 z  2

Câu 8 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 5 - 2018) Cho z số phức thỏa mãn z 1 2i z 2 4i     Tìm môđun của số phức z

Câu 9 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 2 - 2018) Tính môđun của số phức z thỏa mãn:

3z.z 2017 z z  12 2018i

Câu 10 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 2 - 2018) Cho hai số phức z1  2 i, z2  1 2i Tìm môđun của số phức

2016 1 2017 2

z

z



Câu 11 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 2 - 2018) Cho số phức z a bi  a, b ¡ thỏa mãn

1 i z 4 5i 2    1 6i Tính S a b 

Câu 12 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 2 - 2018) Tính môđun của số phức

z 1 2i 2 i i 3 2i     

Câu 13 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 2 - 2018) Tính tổng S của các phần thực của tất cả các số

phức z thỏa mãn điều kiện z 3z 2

6

3

3



Câu 14 (Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh - Cụm 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 4z 7 7i     Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?

Câu 15 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hai số phức z 1 3i  , w 2 i  Tìm phần ảo của số phức u z.w.

Câu 16 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho số phức z a bi  (với a, b  ¡ ) thỏa

z 2 i   z 1 i 2z 3 Tính S a b. 

Câu 17 (THPT Lê Lợi - Lần 3 - 2018) Cho số phức z a bi  a, b ¡ thỏa mãn

z 2i 3  8i.z16 15i Tính S a 3b. 

Câu 18 (THPT Chuyên Biên Hòa - Lần 3 - 2018) Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa mãn

    1

z 1 i 3 2i

3 i



A z 53 9 i

10 10

  B z 53 9 i

10 10

  C z 53 9i

8 8

10 10

 

Câu 19 (Sở GD-ĐT Phú Thọ - Lần 2 - 2018) Cho số phức z a bi  a, b ¡ thỏa mãn

2 z 1 3z i 5 i  Tính a 2b.

Câu 20 (Đề Minh Họa - Lần 3 - BGD&ĐT - 2018) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các

điều kiện z i 5 và z2 là số thuần ảo?

Câu 21 (THPT Kim Liên - Lần 2 - 2018) Cho số phức z a bi  , a, b ¡ thỏa mãn 3z 5z 5 5i    Tính giá trị P a

b



A P 1

4

16

25



Câu 22 (THPT Đặng Thúc Hứa - 2018) Cho số phức z bất kỳ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

z z

Câu 23 (THPT Đặng Thúc Hứa - 2018) Cho các số phức z10, z2 0 thỏa mãn điều kiện

z z z z Tính giá trị của biểu thức 1 2

z z

z z

 

A 1

2

Câu 24 (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

3 2i z  2 i 2  4 i Tìm phần ảo của số phức w 1 z z.

Câu 25 (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2018) Cho số phức z a bi  a, b ¡ thỏa mãn

phương trình

 z 1 1 iz  

i 1

z z



 Tính 2 2

a b

Câu 26 (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Lần 1 - 2018) Cho số phức 1 i 32

z

1 i





 Tính môđun của số phức z iz được kết quả:

Câu 27 (THPT TH Cao Nguyên - Lần 1 - 2018) Cho các số phức z13i, z2  1 3i, z3 m 2i Tập giá trị tham số m để số phức z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là3

A   ; 5  5; B  5; 5 C  5; 5

  D  5; 5

Câu 28 (THPT Cao Nguyên - Lần 1 - 2018) Tính môđun của số phức z 4 3i. 

Câu 29 (THPT Chuyên Bến Tre - 2018) Cho số phức z x yi  x; y ¡ thỏa mãn điều kiện

z 2z 2 4i   Tính P 3x y. 

Câu 30 (Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - 2018) Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i  2, gọi z và 1 z là2

số phức có mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z và 1 z bằng2

Câu 31 (Chuyên KHTN - Lần 5 - 2018) Cho số phức z 1 i  , môđun số phức

2 0

2z z z

zz 2z





 bằng

Câu 32 (Chuyên Phan Bội Châu - Lần 3 - 2018) Tìm giá trị của số thực m sao cho số phức z 2 i

1 mi







là một số thuần ảo

A Không tồn tại m B m 1

2

Câu 33 (Thanh Chương - Lần 1 - 2018) Tìm môđun của số phức z2 3i i  1 i  2

Câu 34 (THPT Quốc Học Huế - Lần 1 - 2018) Số phức z thỏa mãn z 2 3i 5 2i

4 3i     Môđun của

z bằng

Câu 35 (THPT Chuyên Tuyên Quang - Lần 1 - 2018) Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn

số phức

2017

i

3 4i





A M 4 3;

25 25



  B M 4 3;

25 25

25 25

 

25 25



Câu 36 (THPT Chuyên Tuyên Quang - Lần 1 - 2018) Tính z 2 i2017

1 i







A z 1 3i

2 2

  B z 3 1i

2 2

  C z 1 3i

2 2

  D z 3 1i

2 2

 

Câu 37 (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 4 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1 i  2 14 2i.4

1 i

 Tìm môđun của số phức w  z 1

A w 3 B w  8 14 C w  9 2 14 D w 3 2

Câu 38 (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Lần 1 - 2018) Cho số phức z a bi  a, b ¡ thỏa mãn

z 2i 3  8i.z16 15i Tính S a 3b. 

Câu 39 (THPT Chuyên Lê Khiết - Lần 1 - 2018) Cho hai số phức z1  1 i, z2  1 i Kết luận nào

sau đây là sai?

A 1

2

z

i

z  B z1 z2  2 C z1z2 2 D z z1 2 2

Câu 40 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn

 

2z 1 i z 5 3i.   Tính z

Câu 41 (THPT Chuyên KHTN - Lần 2 - 2018) Cho số phức z 1 i21 i 3 1 i 22 Phần thực của số phức z là

A 11

2

2

Câu 42 (THPT Chuyên KHTN - Lần 1 - 2018) Cho P z là một đa thức với hệ số thực Nếu số phức z  thỏa mãn P z 0 thì

A P z  0 B P 1 0

z

 



 

z

 



 

  D P z  0

Câu 43 (Sở GD&ĐT Bắc Giang - Lần 1 - 2018) Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức 1 i z z 1 i.    

Câu 44 (THPT Chuyên ĐHSP - Lần 3 - 2018) Số phức z thỏa mãn z z 0  Khi đó

A z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 B z 1

C Phần thực của z là số âm D z là số thuần ảo

Câu 45 (TT Diệu Hiền - 2018) Biểu thức

2017

1 i P

2 i





 có giá trị là

A 3 1i

1 3 i

1 3 i

3 1 i

5 5

Câu 46 (Sở GD&ĐT Quảng Ninh - Lần 1 - 2018) Cho số phức

2017

1 i z

1 i



 

 



  Tính z5z6z7z 8

Câu 47 (Chuyên ĐHSP - Lần 4 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn 2 3i z 1 2i z 7 i.        Tìm môđun của z

Câu 48 (THPT Chuyên KHTN - Lần 1 - 2018) Cho số phức z có phần thực dương và thỏa mãn

z



   Khi đó

Câu 49 (THPT Chuyên KHTN - Lần 1 - 2018) Giả sử số phức

z  1 i i i  i i  i i  i Lúc đó tổng phần thực và phần ảo của z là

Câu 50 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Lần 1 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn

1 3i z 1 i z 5 i.    2   Tính môđun của z

A z 20

3

3

3



Câu 51 (THPT Nguyễn Trãi - Lần 2 - 2018) Cho số phức z thỏa mãn: 3 2i z 4 1 i       2 i z.  Môđun của z là

Câu 52 (TT Diệu Hiền - 2018) Tìm số phức z biết z 5 và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị

A z1 4 3i, z2  3 4i B z1 4 3i, z2  3 4i

C z1 3 4i, z2  4 3i D z1 4 3i, z2  4 3i

Câu 53 (Đề Minh Họa - BGD&ĐT - Lần 2 - 2018) Cho số phức z a bi a, b   ¡ thỏa mãn

1 i z 2z 3 2i     Tính P a b. 

A P 1

2

2



Câu 54 (THPT Hùng Vương - Lần 1 - 2018) Tính i2009

Câu 55 (THPT Hùng Vương - Lần 1 - 2018) Tìm dạng lượng giác của số phức z 1  3i

A z cos isin

     

     

C z 2 cos2 i sin2

D BẢNG ĐÁP ÁN

51A 52B 53D 54D 55B