Đang tải... (xem toàn văn)
TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Định nghĩa Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng f đồng biến trên K nếu với mọi 1 2 1 2 1 2, x x K x x f[.]
TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Định nghĩa: Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng - f đồng biến K với x1 , x2 K : x1 x2 f x1 f x2 - f nghịch biến K với x1 , x2 K : x1 x2 f x1 f x2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng a; b đó: - Nếu hàm số f đồng biến a; b f x với x a; b - Nếu hàm số f nghịch biến a; b f x với x a; b Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b đó: Nếu f x với x a; b hàm số f đồng biến a; b Nếu f x với x a; b hàm số f nghịch biến a; b Khi f x số hữu hạn điểm a; b kết Nếu hàm số f đồng biến a; b liên tục nửa khoảng a; b ; a; b ; đoạn a; b đồng biếntrên nửa khoảng a; b ; a; b ; đoạn a; b tương ứng Tương tự cho nghịch biến Phương pháp xét tính đơn điệu: - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên - Kết luận Chú ý: 1) Công thức quy tắc đạo hàm y C y ; y x y ; y xn y nxn1 ; y x y x x 0 ; y n x y n n 1 xn y sin x y cos x ; y cos x y sin x ; y tan x y 1 ; y cot x y cos x sin x u v u v ; u v u v ; u.v u.v u.v ; u u.v u.v ; f x fu.ux v2 v 2) Phương trình lượng giác bản: x k 2 sin x sin x k 2 k x k 2 cos x cos x k 2 k tan x tan x k k cot x cot x k k B Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y x2 8x b) y x3 x2 x Giải a) Tập xác định D Ta có y x Cho y x x Bảng biến thiên (BBT) x y – + y Vậy hàm số nghịch biến ; , đồng biến 4; b) D Ta có y ' 3x2 x Cho y 3x x x x BBT x y + – + y Vậy hàm số đồng biến khoảng ; 1; , nghịch biến khoảng Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: 1 ;1 3 a) y x4 x2 b) y x4 x2 Giải a) Tập xác định D y x3 x x x 1 , y x x 1 BBT x –1 y y - 0 + – + –1 –1 Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;0 1; , nghịch biến khoảng ; 1 0;1 b) D Ta có y x3 18x x x2 9 , y x y khoảng 0; y đồng biến khoảng 0; y khoảng ;0 y nghịch biến khoảng ;0 Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y 3x 1 x x b) y x Giải a) D \ 1 Ta có y 6 1 x với x nên hàm số nghịch biến khoảng ;1 1; b) Tập xác định D \ 0 Ta có y x2 , y x x2 x BBT: x y y + 0 – – + Vậy hàm số đồng biến khoảng ; 3; , nghịch biến khoảng 3;0 0; Bài toán Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y x 1 x2 b) y 2x x 9 Giải a) D Ta có y x2 x x 8 y x2 x x 4 hay x BBT x –4 y – + – y Vậy hàm số đồng biến khoảng 4; nghịch biến khoảng , 2; b) D \ 3;3 Ta có y 2 x x2 9 , x 3 Do y khoảng ; 3 , 3;3 , 3; nên hàm số cho nghịch biến khoảng Bài tốn Xét biến thiên hàm số đoạn, nửa khoảng: a) y x2 b) y x2 x Giải a) Điều kiện x2 3 x nên D 3;3 Với 3 x y x x2 , y x BTT: x y 3 + – y Vậy hàm số đồng biến khoảng 3;0 nghịch biến khoảng 0;3 Do hàm số f liên tục đoạn 0; 2 nên hàm số đồng biến đoạn 2;0 nghịch biến đoạn 0; 2 b) Vì nên x2 x , x D Ta có y 2x 2 x2 x x 1 x2 x y x , y x nên hàm số nghịch biến nửa khoảng ;1 đồng biến nửa Và f liên tục khoảng 1; Bài toán Xét biến thiên hàm số: x a) y 16 x b) y x x2 Giải a) ĐK: 16 x2 x2 16 4 x D 4; Ta có y 16 16 x 16 x , x 4; Vậy hàm số đồng biến khoảng 4; b) D 0; Với x , y 2 x , y x 2 x x 2 BBT: x y + – y Vậy hàm số đồng biến 0; nghịch biến 2; Bài toán Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y x x b) y x3 x2 Giải a) D 1 x 1 Với x , ta có: y 3 x x y x x 1 y x x x 1 x y x x 1 x Vậy hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; , nghịch biến khoảng 1;1 b) Tập xác định D ; 6; y x2 x2 9 x 6 x2 , y x 3 BBT: x –3 y + – – + y Vậy hàm số đồng biến khoảng ; 3 , 3; , nghịch biến khoảng 3; , 6;3 Bài toán Xét biến thiên hàm số: a) y 4sin x b) y x cos2 x Giải a) D Ta có y 4cos x 2 Xét y 4cos x k 2 x k 2 , k nên hàm số đồng biến khoảng k 2 ; k 2 , k Xét y 4cos x k 2 x 3 k 2 , k nên hàm số nghịch biến khoảng 3 k 2 , k k 2 ; 2 b) D Ta có y 2cos x sin x sin x y sin x x k , k Hàm số liên tục đoạn k ; k 1 y khoảng 4 k ; k 1 nên đồng biến đoạn k ; k 1 , k 4 4 4 Vậy hàm số đồng biến Cách khác: lấy a, b thuộc a b Trên khoảng a; b y y hữu hạn điểm nên hàm số f đồng biến, f a f b Vậy theo định nghĩa hàm số f đồng biến Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y x sinx 0; 2 b) y x 2cos x 0; Giải a) y cos x Ta có x 0; 2 y y x x 2 Vì hàm số liên tục đoạn 0; 2 nên hàm số đồng biến đoạn 0; 2 b) y 2sin x Trên khoảng 0; y sin x 5 x 6 y sin x 5 x x 6 5 5 Vây hàm số đồng biến khoảng ; , nghịch biến khoảng 0; ; 6 C Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x2 x 1 y 2x x 1 y 2x x 1 y 3x 4x Bài 2: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x2 4x x1 y y x2 x x 1 y 4x2 5x x1 x2 2x x2 Bài 3: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x3 3x2 y y x3 3x2 24x 26 x 2x2 x 3 x3 3x2 2x 2 y y x3 6x2 9x Bài 4: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y 2x4 4x2 y x4 6x2 8x 3 y x4 x2 4 y x4 x3 4x Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến : y x9 x6 2x3 3x2 6x 6