Dang bai tap tim khoang dong bien va nghich bien cua ham so

TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Định nghĩa Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng f đồng biến trên K nếu với mọi    1 2 1 2 1 2, x x K x x f[.]

TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Định nghĩa: Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng - f đồng biến K với x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  - f nghịch biến K với x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng  a; b  đó: - Nếu hàm số f đồng biến  a; b  f   x   với x   a; b  - Nếu hàm số f nghịch biến  a; b  f   x   với x   a; b  Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  đó: Nếu f   x   với x   a; b  hàm số f đồng biến  a; b  Nếu f   x   với x   a; b  hàm số f nghịch biến  a; b  Khi f   x   số hữu hạn điểm  a; b  kết Nếu hàm số f đồng biến  a; b  liên tục nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b đồng biếntrên nửa khoảng  a; b  ;  a; b ; đoạn  a; b tương ứng Tương tự cho nghịch biến Phương pháp xét tính đơn điệu: - Tìm tập xác định - Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên - Kết luận Chú ý: 1) Công thức quy tắc đạo hàm y  C  y  ; y  x  y  ; y  xn  y  nxn1 ; y  x  y  x  x  0 ; y  n x  y  n n 1 xn y  sin x  y  cos x ; y  cos x  y   sin x ; y  tan x  y  1 ; y  cot x  y  cos x sin x  u  v   u  v ;  u  v   u  v ;  u.v   u.v  u.v ;  u  u.v  u.v ; f x  fu.ux   v2 v 2) Phương trình lượng giác bản:  x    k 2 sin x  sin     x      k 2 k    x    k 2 cos x  cos     x    k 2 k   tan x  tan   x    k k   cot x  cot   x    k k   B Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x2  8x  b) y  x3  x2  x  Giải a) Tập xác định D  Ta có y  x  Cho y   x    x  Bảng biến thiên (BBT) x  y  – + y Vậy hàm số nghịch biến  ;  , đồng biến  4;   b) D  Ta có y '  3x2  x  Cho y   3x  x    x  x  BBT x y  +  – + y Vậy hàm số đồng biến khoảng  ;  1;   , nghịch biến khoảng   Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: 1   ;1 3  a) y  x4  x2 b) y  x4  x2  Giải a) Tập xác định D  y  x3  x  x  x  1 , y   x  x  1 BBT x –1  y y - 0 +   – +  –1 –1 Vậy hàm số đồng biến khoảng  1;0  1;   , nghịch biến khoảng  ; 1  0;1 b) D  Ta có y  x3  18x  x  x2  9 , y   x  y  khoảng  0;    y đồng biến khoảng  0;   y  khoảng  ;0   y nghịch biến khoảng  ;0  Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  3x  1 x x b) y  x  Giải a) D  \ 1 Ta có y  6 1  x   với x  nên hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   b) Tập xác định D  \ 0 Ta có y   x2   , y   x   x2 x BBT: x y y   + 0 –  – + Vậy hàm số đồng biến khoảng  ;         3;  , nghịch biến khoảng 3;0 0; Bài toán Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  x 1 x2  b) y  2x x 9 Giải a) D  Ta có y   x2  x  x  8 y    x2  x    x  4 hay x  BBT x –4  y –  + – y Vậy hàm số đồng biến khoảng  4;  nghịch biến khoảng     ,  2;   b) D  \ 3;3 Ta có y  2  x    x2  9  , x  3 Do y  khoảng  ; 3 ,  3;3 ,  3;   nên hàm số cho nghịch biến khoảng Bài tốn Xét biến thiên hàm số đoạn, nửa khoảng: a) y   x2 b) y  x2  x  Giải a) Điều kiện  x2   3  x  nên D   3;3 Với 3  x  y  x  x2 , y   x  BTT: x y 3 + – y Vậy hàm số đồng biến khoảng  3;0  nghịch biến khoảng  0;3 Do hàm số f liên tục đoạn  0; 2 nên hàm số đồng biến đoạn  2;0 nghịch biến đoạn  0; 2 b) Vì     nên x2  x   , x  D  Ta có y  2x  2 x2  x  x 1  x2  x  y   x  , y   x  nên hàm số nghịch biến nửa khoảng  ;1 đồng biến nửa Và f liên tục khoảng 1;   Bài toán Xét biến thiên hàm số: x a) y  16  x b) y  x x2 Giải a) ĐK: 16  x2   x2  16  4  x  D   4;  Ta có y  16 16  x  16  x  , x   4;  Vậy hàm số đồng biến khoảng  4;  b) D  0;   Với x  , y  2 x , y   x  2 x  x  2 BBT: x y  + – y Vậy hàm số đồng biến  0;  nghịch biến  2;   Bài toán Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y  x  x b) y  x3 x2  Giải a) D  1 x 1  Với x  , ta có: y    3 x x y   x   x  1 y   x   x  x  1 x  y   x   x   1  x  Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 1 1;   , nghịch biến khoảng  1;1 b) Tập xác định D   ;     6;   y  x2  x2  9 x  6 x2  , y   x  3 BBT: x –3  y +  –  – + y Vậy hàm số đồng biến khoảng  ; 3 ,  3;   , nghịch biến khoảng  3;   ,   6;3 Bài toán Xét biến thiên hàm số: a) y  4sin x  b) y  x  cos2 x Giải a) D  Ta có y  4cos x   2 Xét y   4cos x     k 2  x   k 2 , k  nên hàm số đồng biến khoảng        k 2 ;  k 2  , k    Xét y   4cos x     k 2  x  3  k 2 , k  nên hàm số nghịch biến khoảng 3    k 2  , k    k 2 ; 2  b) D  Ta có y   2cos x sin x   sin x y   sin x   x    k , k    Hàm số liên tục đoạn   k ;   k  1   y  khoảng 4          k ;   k  1   nên đồng biến đoạn   k ;   k  1   , k  4 4  4  Vậy hàm số đồng biến Cách khác: lấy a, b thuộc a  b Trên khoảng  a; b  y  y  hữu hạn điểm nên hàm số f đồng biến, f  a   f  b  Vậy theo định nghĩa hàm số f đồng biến Bài tốn Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x  sinx 0; 2  b) y  x  2cos x  0;   Giải a) y   cos x Ta có x  0; 2   y  y   x  x  2 Vì hàm số liên tục đoạn 0; 2  nên hàm số đồng biến đoạn 0; 2  b) y   2sin x Trên khoảng  0;   y   sin x   5  x 6 y   sin x   5    x  x 6  5  5 Vây hàm số đồng biến khoảng  ;  , nghịch biến khoảng  0;   ;   6   C Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x2 x 1 y 2x  x 1 y 2x  x 1 y 3x   4x Bài 2: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x2  4x  x1 y y x2  x  x 1 y 4x2  5x  x1 x2  2x  x2 Bài 3: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x3  3x2  y y   x3  3x2  24x  26 x  2x2  x  3 x3 3x2   2x  2 y y  x3  6x2  9x  Bài 4: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  2x4  4x2 y  x4  6x2  8x  3 y   x4  x2  4 y   x4  x3  4x  Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến : y  x9  x6  2x3  3x2  6x  6  