Ứng dụng công thức viète trong toán sơ cấp

DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC SU PHAM NGUYEN THI HONG NHAN UNG DUNG CONG THUC VIETE TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC QUẢNG BÌNH - NĂM 2020 DAI HOC DA NANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYEN THI HONG NHAN UNG DUNG CONG THUC VIETE TRONG TOAN SO CAP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu QUẢNG BÌNH - NĂM 2020 LOI CAM ON Trước hết, tôi xin bày tổ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Ngọc Châu, người đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này Tiếp theo tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các giảng viên trong khoa Toán, Trường Dại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập tại khoa Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là các thành viên trong lớp Thạc sỹ Phương pháp Toán sơ cấp K36 Quảng Bình đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này Quảng Hình, ngày 29 tháng 4 năm 2020 Min Học viên Nguyễn Thị Hồng Nhạn LOI CAM DOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các khái niệm và kết quả nêu trong luận văn được tham khảo từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và được chỉ rõ nguồn gốc trích dẫn Quảng Hình, ngày 29 tháng4 năm 2020 Học viên — Nhạn Nguyễn Thị Hồng TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si Tén dé tai: UNG DUNG CONG THUC VIETE TRONG TOAN SO CAP Ngành: — Phuong phép toán sơcấp Họ và tên hoc vién: NGUYEN THI HONG NHAN Nguoi huéng din khoahoc: TS Nguyễn Ngọc Châu Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP- Đại học Đà Nẵng Luận văn: “Ứng dụng công thức Viète trong toán sơ cấp” đã đạt được mục đích và nhiệ m vụ đề ra, cụ thể luận văn đã thực hiện được các vấn dé sau: i 1 Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán sơ cấp có thể giải được bằng công thức Viète, 2 Ứng dụng công thức Viète để giải những lớp bài toán đại số, số học, giải tích, và hình học chương trình toán bậc phổ thông thuộc 3 Đối với mỗi lớp bài toán đều có đề xuất phương pháp giải và nhiều ví dụ minh họa bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình đại số một cách Công thức Viète và các ứng dụng của nó có vai trò quan trọng, mở p r h a o hướng giải quyết cho nhiều toán liên quan đến hàm số, số học, giải thích, lượng giác, hình học ng phú và đa dạng như các bài quan hệ định tính, định định lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một phương trình đại số, Giúp học sinh nhìn nhận các bài toán trong mối quan hệ sinh động của sự rằng buộc giữa biến số và tham sd, giữa hằng và biến, nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán nhằm chứng tỏ sự ứng dụng đa dạng và hiệu quả Hy vọng trong thời gian tới, nội dung của luận vă c n ủa cò c n ông tiếp thứ t c ục V đ i ư è ợ te c t b r ổ ong sun t g oán và họ h c o àn thiện hơn Từ khóa: Công thức Viète, tìm nghiệm, chứng minh, đa thức, tính giá trị Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài Bie ee a TS Nguyén Ngoc Chau Nguyén Thi Hong Nhan INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: THE APPLICATION OF VIETE FORMULA IN ELEMENTARY MATHEMATICS Major: Elementary Mathematics Methods Full name of Master student: NGUYEN THI HON G NHAN Supervisors: PhD Nguyen Ngoc Chau Training institution: The University of Da Nang - University of Science and Education required goals and missions Specifically, it has done the following: The thesis “The application of Vidte formula in elementary mathematics” has achieved all Viéte formula 1 Systematizing and classifying some of the elementary math problems which can be solved by high school program 2 Applying Vitte formula to solve problems of algebra, arithmetics, analytics and geometry in 3 For each type of problem, there are some solving methods as well as examples for solving mathematical Viéte formula and its applications play important roles in Opening up the way mathematical problems, which is related to solutions of algebraic equations such as function, arithmetics, analytics, trigonometry, geometry, helps st u u n d d en e t r s stan to d m d o e r ep e ly abo u u n t de t r h s e ta p n r d obl a e b m o s ut in t t h h e e r s e olutions of algebraic equations B Teaching “Viéte formula and its application in mathematical equations” in high school esides, programs they can lationship between variables and parameters, constant and variables Therefore, the quality of studying mathematics can be improved Hopefilly, in the future, the content of this thesis will continue to be supplemented and improved to demonstrate the diverse and effective application of the Viéte formula in mathematics, mathematical Key v w a o l r ue d , s: Viéte formula, find solutions, mathematical proof, polynomial, calculate Supervior’s confirmation Student 1 ee? PhD Nguyên Ngoc Chau Nguyen Thi Hong Nhan MUC LUC MG DAU 1 1 Các kiến thức chuẩn bị 3 11 Dathứcmộtẩn ee 3 1.1.1 Xây dựng vành đa thức mộtẩn 3 1.1.2 Bậc của đa thức mộtẩn 5 113 Phép cha ecódư co 5 1.1.4 Nghiệm của đa thứcmộtẩn 6 1.2 Đathứcnhiềuẩn c.ố.V 7 1.2.1 Xây dựng vành đathứcnẩn ĩ 1.2.2 Bậc của đa thức nhềuẩn 8 123 Đathức đốixứng «2226e5 e e2 as2 e b5ees 8 1.2.4 Cong thtic Viete 2 2, 10 1.3 Một số định lí về hàm liên tục 10 1.44 Day truy hồi và đa thức đặc trưng 11 1.5 Một số công thức lượng giác và các bất đẳng thức quen biết 11 1.5.1 Công thức lượng giác 11 1.5.2 Các bất đẳng thức quenbiết 12 2 _ Những ứng dụng của công thức Viète 14 2.1 Ứng dụng công thức Viète trong đại số và số học 14 2.1.1 Các bài toán về đa thức, phương trình đại số 2.1.2 Các bài toán về đathức 21.3 Giải hệ phương trình 2.1.4 Chứng minh bất đẳng thức 2.1.5 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 2.1.6 Ứng dụng công thức Viète trong số học 2.2 Ứng dụng công thức Viète trong giải tích 2.2.1 Các bài toán liên quan đến giao điểm của đồ thị hàm số với một đường thẳng 2.2.2 Các bài toán cực trị của hàm số 2.23 Các bài toán về tiếp tuyến 2.3 Ứng dụng công thức Viète trong lượng giác và hình học KÊT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO) MO DAU 1 Ly do chon dé tai Đa thức là một trong các khái niệm cơ bản của đại số nói riêng và của toán học nói chung Bài toán tìm nghiệm của đa thức, của phương trình đại số bằng căn thức đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong nhiều thế kỷ Trong quá trình tìm lời giải cho bài toán này, nhiều tính chất về nghiệm của đa thức đã được phát hiện Một trong những tính chất đó là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ tử của đa thức, nó được thể hiện bằng một công thức nổi tiếng - Công thức Viètc Ung dụng của công thức Vièềte khá phong phú và hiệu quả Trong chương trình toán bậc phổ thông, học sinh được học công thức Viète đối với phương trình bậc hai Với các trường chuyên lớp chọn, học sinh còn được học công thức Viète đối với phương trình bậc ba, tuy nhiên thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định Với mục đích tìm hiểu và hệ thống hóa những ứng dụng của công thức Viète trong chương trình toán phổ thông, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “ Ứng dựng công thức Viète trong toán sơ cắp” 2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu, nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète trong giải toán sơ cấp - Hệ thống và phân loại các dạng toán sơ cấp có thể giải được bằng công thức Viète - Dịnh hướng việc ứng dụng công thức Viète cho từng lớp bài toán 3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu - Đa thức, phương trình đại số - Công thức Viète và các ứng dụng trong toán sơ cấp - Các dạng toán bậc phổ thông được giải bằng công thức Viète 4 Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có nội dung liên quan đến 1 đề tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu về công thức Viète - Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, của chuyên gia và của các đồng nghiệp 5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Công thức Viète và các ứng dụng của nó có vai trò quan trọng, mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình đại số một cách phong phú và đa dạng, như các bài toán liên quan đến hàm số, số học, giải tích, lượng giác, hình học Việc dạy công thức Viète và các ứng dụng của nó trong chương trình toán bậc phổ thông có ý nghĩa đặc biệt là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm của một phương trình đại số, nêu được quan hệ định tính, định lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một phương trình đại số, giúp học sinh nhìn nhận các bài toán trong mối quan hệ sinh động của sự ràng buộc giữa biến số và tham số, giữa hằng và biến, nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán 6 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được chia thành hai chương: Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về đại số, giải tích và lượng giác đủ để làm tiền đề cho chương sau Chương 2 Những ứng dụng của công thức Viète Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng của công thức Viète trong giải toán sơ cấp