Bài tập nhóm 6 môn toán cao cấp chương vi

a Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó b Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 54,

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT

BÀI TẬP NHÓM 6 MÔN TOÁN CAO CẤP

CHƯƠNG VI

Giảng viên: TS Phạm Văn Chững

THÀNH VIÊN

1 Nguyễn Kiều Trinh

2 Trần Thị Minh Phúc

3 Lê Hoàng Anh Thư

4 Nguyễn Duy Niên

5 Vũ Hoàng Yến Nhi

6 Đào Thu Hương

7 Phan Đức Anh

8 Nguyễn Mai Chi

K224070917 (Nhóm trưởng) K224070903

K224070912 K224070897 K224070895 K224070877 K224070856 K224070863

1

VI.9 / trang 281 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C0 = 400, giá thuê một đơn vị vốn là wk = 2 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là wL = 0,4 (triệu đồng).Giả sử

doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Cobb-Douglas Q = 120 K23L

1

3, giá sản phẩm trên thị trường

là p = 1 (triệu đồng)

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó

b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16

Giải

a) Các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận

 Tổng chi phí TC = wkK + wLL + C0 = 2K + 0,4L + 400

 Doanh thu TR = pQ = 1 ×120 K23L

1 3

 Lợi nhuận π = TR – TC = 120 K23L

1 3

−¿ (2K + 0,4L + 400)

b) Tại mức K = 54, L = 16, ta được:

Chi phí cận biên:

MTCK = TC’K = 2

MTCL = TC’L = 0,4

Doanh thu cận biên:

MTRK = TR’K = 80 K−31 L

1

3 = 80.54−13 1613 = 1603 ≈ 53,33

MTRL = TR’L = 40 K23L

−2

3 = 40.5432 16−23 = 90 Lợi nhuận cận biên:

M πK = π ' K = 80. K−13 L

1

3 –2 = 80.54−13 1613 – 2 = 1543 ≈ 51,33

M πL = π ' L = 40. K23L

−2

3 – 0,4 = 40.5432 16−23 – 0,4 = 89,6

c) Tại mức K = 100, L = 20, ta được:

Hệ số co giãn của chi phí:

ε TCK = TC’K.TC K = 2.2 K + 0,4 L+400 K = 2.2.54+0.4 16 +40054 = 135643≈ 0,21 %

ε TCL = TC’L.TC L = 0,4.2 K + 0,4 L+400 L = 0,4 2.54+0.4 16 +40016 = 6438 ≈ 0,012 %

Hệ số co giãn của doanh thu:

ε TRK = TR’K.TR K = 80 K−13 L

1

3 K

120 K

2

3L

1

3 = 80.54−13 1613 54

120.54

2

3 16

1

3 = 23≈ 0.67 %

ε TRL = TR’L.TR L = 40 K23L

−2

120 K

2

3L

1

3 = 40.5432 16−23 16

120.54

2

3 16

1

3 = 13≈ 0,33 %

Hệ số co giãn của lợi nhuận:

ε πK = π ' K. K π = (80 K−13 L

1

120 K

2

3L

1

3−(2 K +0,4 L+ 400) ≈ 7,28 (%)

ε πL = π ' L. π L = (40 K23 L

−2

120 K

2

3L

1

3−(2 K +0,4 L+ 400) ≈ 3,77 (%)

VI

.10/ trang 281 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C 0 200,

giá thuê một đơn vị vốn là W  K 1 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là W  L 0, 2

(triệu đồng) Giả sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Q = K(L+10) và giá sản phẩm trên thị trường là p=0,5 (triệu đồng)

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó

b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động K=100, L=20

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K=100, L=20

Giải:

a) Hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp:

Tổng chi phí:

TC W K W L C   K 

Doanh thu:

TRp Q K L  KL K

Lợi nhuận:

b) Tại mức K=100, L=20, ta được:

Chi phí cận biên:

3

' 1.

TCK K

TCL L

Doanh thu cận biên:

TRK K

TRL L

Lợi nhuận cận biên:

K K

L L









c) Tại mức K=100, L=20, ta được:

Hệ số co giãn của chi phí:

TCK K

TCL L

TC

TC





Hệ số co giãn của doanh thu:

TRK K

TRL L

TR

TR







Hệ số co giãn của lợi nhuận là:

K K

L L













VI.11/ trang 282 Giả sử một người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm

hữu dụng của hai loại hàng này là U(x, y) = (x + 2)2 + (y + 3)2; trong đó x, y lần lượt là khối lượng hai loại hàng hóa đó

a) Tìm hàm hữu dụng biên và hệ số co giãn theo từng loại hàng hóa

b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng hóa 3 đơn vị khối lượng

Giải

a)

 Hữu dụng biên theo X:

MUX = U’x = 2(x + 2) = 2x + 4

 Hữu dụng biên theo Y:

MUY = U’y = 2(y + 3) = 2y + 6

 Hệ số co giãn theo X:

εUx = MUX.U x = x (2 x+ 4 )

(x+ 2)2+(y+3)2=

2 x2

+4 x

(x +2)2+(y +3)2

 Hệ số co giãn theo Y:

 εUy = MUY.U y = y (2 y +6 )

(x+ 2)2+(y+ 3)2=

2 y2+6 y

(x +2)2+(y +3)2

b) Giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng hóa 3 đơn vị khối lượng:

MUX (3, 3) = 2.3 + 4 = 10

VI.12/ trang 282 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng

hoá X, Y lần lượt là 50 USD và 200 USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x + 30)y; x

≥ 0, y ≥ 0 (x,y là sản lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu

hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 1850 USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 50x + 200y = 1850 (USD) Do

đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại với điều kiện của hàm lợi ích

U = (x + 30)y; x ≥ 0, y ≥ 0;

với điều kiện

50x + 200y = 1850 (*)

⇔ x + 4y – 37 = 0

 Đặt φ(x, y) = x + 4y – 37, xét hàm Lagrange

L = L(x, y) = U + λφ(x, y) = (x + 30)y + λ(x + 4y – 37)

 Các đạo hàm riêng của L và φ:

L ' x=y+ λ , L' y=x +30+4 λ , L' ' xx=0, L ' ' yy=0, L' 'xy=1; x ≥ 0, y ≥ 0

φ ' x=1, φ 'y=4; x ≥ 0, y ≥ 0

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được

5

{ L' x=0

L ' y=0

φ ( x , y )=0

⇔{x +30+4 λ=0 y+ λ=0

x +4 y – 37=0

⇔{λ=−67

8

x=7

2

y=67

8

Ta được nhân tử duy nhất λ=−67

8 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(72,

67

8 )

 Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và λ

H=|L' ' xx L ' ' xy φ ' x

L '' xy L ' ' yy φ ' y

φ ' x φ ' y 0|=|0 1 11 0 4

1 4 0|=8>0

Như vậy là, trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M

(72,

67

8 ) với Umax = (72+30)678 =

4489 16

 Kết luận vấn đề của kinh tế: Túi hàng (x=7

2, y =

67

8 ) làm tối ưu hóa lợi ích Umax = 448916 trong điều kiện ngân sách (*) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là

´

x=7

2, ´y =

67

8

VI.13 / trang 282 Xét hai loại hàng hoá X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng

hoá X, Y lần lượt là 100 USD và 25 USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = x(y+15); x≥

0, y≥0 (x, y là lượng hàng hoá X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x;y) để tối ưu hoá lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 925 USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải:

Mỗi túi hàng (x ,y) đều phải thoả mãn điều kiện ngân sách: 100x + 25y = 925 (USD)

Do đó, vấn đề tối ưu hoá lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích:

U = x(y+15); x≥0, y≥0; với điều kiện: 100x + 25y = 925 (*) Điều kiện (*) tương ứng với: 4x + y – 37 = 0

 Đặt φ(x, y) = 4x + y – 37 và xét hàm Lagrange:

L = L(x, y) = U + φ(x, y) = x(y+15) + (4x + y – 37); x≥0, y≥0

 Các đạo hàm riêng của L và φ:

+) L ' x = y + 4 +) φ ' x = 4.

+) L ' y = x +  +) φ ' y = 1.

+) L ' ' xx = 0 = L ' ' yy

+) L ' ' xy = 1 Với: x ≥0, y≥0

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:

L ' y=0

φ ( x , y )=0

↔ { y+4=0 x+¿0

4 x + y – 37=0 ↔ {¿−4.625.

x=4.625

y =18.5

Ta được nhân tử chung duy nhất ¿−4.625 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(4.625; 18.5)

 Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và Vì L ' ' xx = 0 = L ' ' yy; L ' ' xy = 1 và φ ' x = 4

φ ' y = 1 (hằng số không phụ thuộc vào x, y, ) nên ta được:

H = |L ' ' xx L ' ' xy φ ' x

L ' ' xy L ' ' yy φ ' y

φ ' x φ ' y 0| = |0 1 41 0 1

4 1 0| = 8 > 0

Như vậy là, trong điều kiện (*), hàm lợi ích đạt duy nhất 1 cực đại điều kiện tại M(4.625; 18.5) với U max = 4.625(18.5+15) = 154.9375.

 Kết luận vấn đề của kinh tế: Túi hàng (x = 4.625; y = 18.5) làm tối ưu hoá lợi ích

U max = 154.9375 (USD) trong điều kiện ngân sách (*) Ở đây, lượng cầu Marshall tương

ứng chính là ´x = 4.625; ´y = 18.5

VI.14 / trang 282 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng

hóa X, Y lần lượt là 500 và 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho bởi

U = (x + 4)(y +5); x ≥ 0, y ≥ 0 (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 4 (triệu đồng) Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y

Giải

Mỗi túi hàng (x,y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 500x + 400y = 4000 (nghìn đồng) Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích: U = (x + 4)(y +5); x ≥ 0, y ≥ 0

Với điều kiện: 500x + 400y = 4000  5x + 4y = 40

 Đặt φ(x,y) = 5x + 4y – 40

L = L(x,y) = U + λφ(x,y) = (x + 4)(y +5) + λ(5x + 4y – 40); x ≥ 0, y ≥ 0

 Các đạo hàm riêng:

L’x = y + 5(λ + 1)

L’y = x + 4(λ + 1)

L”x2 = L”y = 0

L”xy = 1

φ’x= 5, φ’y=4

7

 Hệ phương trình xác định điểm dừng:

{ L '❑x=0

L ' y=0

φ ( x , y )=0

 { x+4 ( λ+1)=0 y+5 ( λ +1)=0

5 x +4 y – 40=0

 {λ=−2 x=4 y=5

Ta được nhân tử λ=−2 và điểm dừng M(4, 5)

 Ta tính Hessian:

H = |L ” xx L } rsub {xy } # φ’ x ## {L xy L xy '' φ ’ y

φ ’ x φ ’ y 0 | = |0 11 0

4 5

4 5

0| = 40 > 0 Vậy hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M(4, 5) với Umax = (4+4) (5+5)=80

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x=4, y=5) làm tối ưu hóa lợi ích Umax= 80 (nghìn đồng) trong điều kiện ngân sách 4 (triệu đồng)

Lượng cầu Marshall tương ứng chính là ´x=4, ´y =5

VI.15./trang 283 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x ( x≥0, y≥0 ) trên

hai loại hàng hóa X, Y(x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Đơn giá của từng loại hàng

là p1 = 4USD, p2 = 9USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợ ích cố định U0 =

10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng

Giải:

Với mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 4x + 9y; x ≥ 0, y ≥ 0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 4x + 9y cực tiểu với điều kiện U(x,y)

= 12xy + 8y = 10800; x ≥ 0, y≥ 0

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có

 Điều kiện 12xy + 8x =10800 <=> 12xy + 8x - 10800 = 0

Hàm điều kiện φ = 12xy + 8x - 10800

 Hàm Lagrange: L = 4x + 9y + λ( 12xy + 8x - 10800)

 Các đạo hàm riêng của L và φ

L’

x= 4 + λ(12y + 8)

L’

y= 9 + 12λx

L’’

xx= 0 = L’’

yy, L’’

xy= 12λ ; x ≥ 0, y≥ 0

φ’

x= 12y + 8, φ’

y = 12x ; x ≥ 0, y≥ 0

 Ta tìm điểm dừng

{ L ' x = 0 ¿ { L ' y =0 ¿¿¿¿

Như vậy ta chỉ có duy nhất một điểm dừng M(45,

58

3 ) ứng với nhân từ Lagrange duy nhất λ =

−1

60

 Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(45,

58

3 ) và λ =

−1

60 , ta có L’’

xx= L’’

yy = 0, L’’

xy=

12

−1

60 =

−1

5 , φ’

x= 240, φ’

y = 540;

H=|

L''xx L''xy ϕ ' x

L''xy L''yy ϕ ' y

ϕ ' x ϕ ' y 0

|

=

|

−1

|=−51840<0

 Do đó M(45,

58

3 ) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 354 USD

Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là

x¿=45, y¿=58

3 Lúc đó chi phí C = 354USD nhỏ nhất

VI.16 / trang 283 Giả sử người tiêu dùng cóhàm lợi ích U = xy + 2y; x ≥ 0, y ≥0 trên hai loại hàng hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá của từng loại hàng là p1 = 18USD, p2 = 8USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 1800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng

Bài làm

Với mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 18x + 8y; x ≥ 0, y ≥0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 18x + 8y cực tiểu với điều kiện U(x,y) = xy + 2y = 1800; x ≥ 0, y ≥0

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có

 Điều kiện xy + 2y = 1800  xy + 2y – 1800 = 0

9

Hàm điều kiện φ = xy + 2y – 1800.

 Hàm Langrange: L = 18x + 8y + λ(xy + 2y – 1800)

 Các đạo hàm riêng của L và φ

L ' X = 18 + λy, LY

'

= 8 + λ(x + 2); x ≥ 0, y ≥0

L ' ' XX = 0 = LYY

' '

, LXY ' '

= λ; x ≥ 0, y ≥0

φ x ' = y, φy

'

= x + 2; x ≥ 0, y ≥0

 { L X

' =0

L Y ' =0

φ(❑x , y)=0

 {8+ λ ( x+2 )=0 18+ λy=0

xy+2 y =1800  {x=26,2843 y=63,2843

λ=−√2

5

Như vậy ta chỉ có duy nhất một điểm dừng M(26,2843; 63,2843) ứng với nhân từ

Lagrange duy nhất λ=−√2

5 L' ' XX = 0 = LYY ' ' , LXY' '

= −√2

5 , φx'

=63,2843, φ' y =28,2843;

 Kiểm tra điều kiện cực trị tại điểm M(26,2843; 63,2843) và λ=−√2

5 , ta có LXX

' '

= 0 =

LYY ' ' , LXY' '

= −√2

5 , φx'

=26,2843 , φ' y =65,2843;

H = |L ' ' XX L XY '' φ ' x

LXY ' ' LYY ' ' φy '

φ ' x φ ' y 0| = | 0 −√2

−√2

 Do đó M(26,2843; 63,2843) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 979,3918 USD Kết luận vấn đề kinh tế: túi hàng (x=26,2843, y=63,2843) làm tối ưu hóa chi phí

Cmin = 979,3918 USD

Lượng cầu Hick tương ứng là ^x=26,2843, ^y=63,2843

hàm cầu lần lượt là

Q1 = 280 - 25P1 + 15P2, Q2 = 420 + 15P1 - 25P2 Giả sử tổng chi phí xác định bởi

C = 40Q1 + 180Q2 + Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hóa để tối đa hóa lợi nhuận

Ta có:

 Q1 = 280 - 25P1 + 1

5P2  25P1 - 15P2 = 280 – Q1

 Q2 = 420 + 15P1 - 25P2  15P1 - 25P2 = Q2 – 420

=> {52P1−1

5P2=280 – Q1

1

5 P1−2

5P2=Q2– 420

=> {P1=4900

25

6 Q1−5

3Q2

P2=5600

5

4Q1−10

3 Q2

Ta có: R = P1Q1 + P2Q2

= (49003 −

25

6 Q1−5

3Q2)Q1+(56003 −

5

4Q1−10

3 Q2)Q2

= 49003 Q1 + 56003 Q2 - 256 Q1 - 103 Q1Q2 - 103 Q2

Π = TR – C

=47803 Q1 + 50603 Q2 - 316 Q12 - 133 Q1Q2 - 133 Q22

Bài toán quy về bài toán cực trị tìm Q1, Q2 để hàm cực đại π’’Q1 = 0 => Q1 = 450049

π’’Q2 = 0 => Q1 = 148,697

{ π ' ' Q 1=−31

π ' ' Q 2=−26

π ' ' Q 1 Q 2=−13

Ta có:

∆= AC−B2=637

9 >0 ; A<0 Suy ra π đạt cực đại tại M (450049 ;148,697¿

Hàm số chỉ có một điểm dừng M(450049 ;148,697¿

11

Vậy với mức sản lượng Q1, Q2 tương ứng M (450049 ;148,697¿ thì lợi nhuận đạt cực đại

VI.18 / trang 283 Một xí nghiệp sản xuất đọc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu của

hai loại sản phẩm này và hàm tổng chi phí như dưới đây

Q D1 = Q1 = 1230−5 P1+P2

14 ; Q D2 = Q2 = 1350+P1−3 P2

14 ; TC = Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại

Bài làm

 Ta có Q1 = 1230−5 P1+P2

14  5P1 - P2 = 1230 – 14Q1

Q2 = Q2 = 1350+P1−3 P2

14  -P1 + 3P2 = 1350 – 14Q2

 {5 P1−P2=1230−14 Q1

−P1+3 P2=1350−14 Q2 {P1=−3 Q1−Q2+363

P2=−Q1−5 Q2+570

 Ta có: R = P1Q1 + P2Q2

= −3 Q12−5 Q22−2 Q1Q2 + 363 Q1 + 570 Q2

 Ta có: π = R – C = −4 Q12−6 Q22−3 Q1Q2 + 363 Q1 + 570 Q2

{π Q ' 1=−8 Q1−3 Q2+363

π Q ' 2=−12 Q2−3 Q1+570

{ π Q1

' '=−8

πQ ' '2=−12

π Q ''1Q2=−3

 Ta tìm điểm dừng

{π Q ' 1=−8 Q1−3 Q2+363=0

π Q ' 2=−12 Q2−3 Q1+570=0  {Q1=882

29

Q2=1157 29

→ M(88229 , 115729 )

 Ta có A = π Q ' '1=−8; B = π Q ' '1Q2=−3; C = π Q ' '2=−12

o Δ = AC – B2 = (-8×-12) – (-3)2 = 87 ¿ 0

o A ¿ 0

Suy ra: π có cực đại tại M(88229 , 115729 )

Vậy mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại là Q1=882

29 ;

Q2=1157

29

VI.19 / trang 283 Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = U( Q1;Q2) = Q1.Q2 + Q1 + 2Q2 của hai lượng cầu hai loại hàng hoá tiêu dùng Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu của hai loại hàng hoá

đó để tối đa hoá lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hoá đó lần lượt là 2 USD, 5 USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51 USD

Giải:

 Bài toán tối ưu hoá lợi ích tiêu dùng với ràng buộc ngân sách được chuyển về bài toán cực trị điều kiện sau: Tìm cực đại của hàm lợi ích U = U(Q1;Q2) = Q1.Q2 + Q1 + 2Q2; với điều kiện: 2Q1 + 5Q2 = 51 (*)

 Đặt φ(Q1;Q2) = 2Q1 + 5Q2 – 51 và xét hàm Lagrange:

L = L(Q1;Q2) = U + φ¿) = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 + (2Q1 + 5Q2 – 51)

= Q1.Q2 + (2+1)Q1 + (5+2)Q2 - 51; Q1≥0, Q2≥0

 Các đạo hàm riêng của L và φ :

+) L ' Q1 = Q2 + 2 + 1 +) φ ' Q1 = 2

+) L ' Q2 = Q1 + 5 + 2 +) φ ' Q2 = 5

+) L ' ' Q1 = 0 = L ' ' Q2

+) L ' ' Q1Q2 = 1 Với: Q1≥0, Q2≥0

 Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:

{ L' Q1=0

L ' Q2=0

φ(Q1;Q2)=0

↔ { Q2+2+1=0

Q1+5+2=0

2Q1+5 Q2– 51=0

↔ { ¿−3

Q1=13

Q2=5

Ta được nhân tử chung duy nhất ¿−3 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(13; 5)

 Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và VìL ' ' Q1 = 0 = L ' ' Q2; L ' ' Q1Q2 = 1 và φ ' Q1 = 2; φ ' Q2 = 5 (hằng số không phụ thuộc vào Q1, Q2, ) nên ta được:

H = | L' ' Q1 L' ' Q1Q2 φ' Q1

L ' ' Q1Q2 L ' ' Q

φ ' Q1 φ ' Q2 0 | = |0 1 21 0 5

2 5 0| = 20 > 0 Như vậy, lượng cầu của hai loại hàng hoá Q1, Q2 để tối đa hoá lợi ích là (13; 5) với

13