Bài tập nhóm 6 môn toán cao cấp chương vi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT 3 Lê Hoàng Anh Thư 4 Nguyễn Duy Niên 5 Vũ Hoàng Yến Nhi 6 Đào Thu Hương

VI.9 / trang 281 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C0 = 400, giá thuê một đơn vị vốn là wk = 2 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là wL = 0,4

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó

b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K = 54, L = 16.

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao

.10/ trang 281 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là C 0 200,

giá thuê một đơn vị vốn là W K 1 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là W L 0, 2

(triệu đồng) Giả sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất Q = K(L+10) và giá sản phẩm trên thị trường là p=0,5 (triệu đồng).

a) Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó.

b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động K=100, L=20.

c) Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng

VI.11/ trang 282 Giả sử một người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm

hữu dụng của hai loại hàng này là U(x, y) = (x + 2)2 + (y + 3)2; trong đó x, y lần lượt là khối lượng hai loại hàng hóa đó.

a) Tìm hàm hữu dụng biên và hệ số co giãn theo từng loại hàng hóa.

b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X khi người đó mua mỗi loại hàng hóa 3 đơn vị khối

VI.12/ trang 282 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng

hoá X, Y lần lượt là 50 USD và 200 USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x + 30)y; x

≥ 0, y ≥ 0 (x,y là sản lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu

hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 1850 USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y.

Mỗi túi hàng (x, y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 50x + 200y = 1850 (USD) Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại với điều kiện của hàm lợi ích

Ta được nhân tử duy nhất λ=−67

8 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(72,

8 ) làm tối ưu hóa lợi ích Umax = 448916 trong điều kiện ngân sách (*) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là

VI.13 / trang 282 Xét hai loại hàng hoá X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng

hoá X, Y lần lượt là 100 USD và 25 USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = x(y+15); x≥

0, y≥0 (x, y là lượng hàng hoá X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x;y) để tối ưu hoá lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 925 USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y.

Mỗi túi hàng (x ,y) đều phải thoả mãn điều kiện ngân sách: 100x + 25y = 925 (USD) Do đó, vấn đề tối ưu hoá lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi ích:

U = x(y+15); x≥0, y≥0; với điều kiện: 100x + 25y = 925 (*) Điều kiện (*) tương ứng với: 4x + y – 37 = 0.

 Đặt φ(x, y) = 4x + y – 37 và xét hàm Lagrange:

L = L(x, y) = U + φ(x, y) = x(y+15) + (4x + y – 37); x≥0, y≥0  Các đạo hàm riêng của L và φ:

 Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và Vì L ' 'xx = 0 = L ' 'yy; L ' 'xy = 1 và φ 'x = 4φ 'y = 1 (hằng số không phụ thuộc vào x, y, ) nên ta được:

 Kết luận vấn đề của kinh tế: Túi hàng (x = 4.625; y = 18.5) làm tối ưu hoá lợi ích

Umax = 154.9375 (USD) trong điều kiện ngân sách (*) Ở đây, lượng cầu Marshall tương

ứng chính là ´x = 4.625; ´y = 18.5.

VI.14 / trang 282 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng

hóa X, Y lần lượt là 500 và 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U = (x + 4)(y +5); x ≥ 0, y ≥ 0 (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 4 (triệu đồng) Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y.

Mỗi túi hàng (x,y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 500x + 400y = 4000 (nghìn đồng) Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm

 Kết luận vấn đề của Kinh tế: Túi hàng (x=4, y=5) làm tối ưu hóa lợi ích Umax= 80 (nghìn đồng) trong điều kiện ngân sách 4 (triệu đồng).

Lượng cầu Marshall tương ứng chính là ´x=4, ´y =5

VI.15./trang 283 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x ( x≥0, y≥0 ) trên

hai loại hàng hóa X, Y(x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Đơn giá của từng loại hàng là p1 = 4USD, p2 = 9USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợ ích cố định U0 = 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng.

Với mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 4x + 9y; x ≥ 0, y ≥ 0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 4x + 9y cực tiểu với điều kiện U(x,y) = 12xy + 8y = 10800; x ≥ 0, y≥ 0.

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có  Điều kiện 12xy + 8x =10800 <=> 12xy + 8x - 10800 = 0

Hàm điều kiện φ = 12xy + 8x - 10800

3 ) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 354 USD Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là

x¿=45, y¿=58

3 Lúc đó chi phí C = 354USD nhỏ nhất.

VI.16 / trang 283 Giả sử người tiêu dùng cóhàm lợi ích U = xy + 2y; x ≥ 0, y ≥0 trên hai loại hàng hóa X, Y (x, y là lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá của từng loại hàng là p1 = 18USD, p2 = 8USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 1800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng.

Bài làm

Với mỗi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng là C = 18x + 8y; x ≥ 0, y ≥0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 18x + 8y cực tiểu với điều kiện U(x,y) = xy + 2y = 1800; x ≥ 0, y ≥0.

Giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange, ta có  Điều kiện xy + 2y = 1800  xy + 2y – 1800 = 0.

9

 Do đó M(26,2843; 63,2843) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 979,3918 USD Kết luận vấn đề kinh tế: túi hàng (x=26,2843, y=63,2843) làm tối ưu hóa chi phí Cmin = 979,3918 USD.

Lượng cầu Hick tương ứng là ^x=26,2843, ^y=63,2843

Vậy với mức sản lượng Q1, Q2 tương ứng M (450049 ;148,697¿ thì lợi nhuận đạt cực đại.

VI.18 / trang 283 Một xí nghiệp sản xuất đọc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu của

hai loại sản phẩm này và hàm tổng chi phí như dưới đây.

Vậy mức sản lượng của từng loại hàng hóa để công ty có lợi nhuận cực đại là Q1=882 29 ;

Q2=1157 29

VI.19 / trang 283 Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = U(Q1;Q2) = Q1.Q2 + Q1 + 2Q2 của hai lượng cầu hai loại hàng hoá tiêu dùng Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu của hai loại hàng hoá đó để tối đa hoá lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hoá đó lần lượt là 2 USD, 5 USD và thu nhập dành cho tiêu dùng là 51 USD.

 Bài toán tối ưu hoá lợi ích tiêu dùng với ràng buộc ngân sách được chuyển về bài toán cực trị điều kiện sau: Tìm cực đại của hàm lợi ích U = U(Q1;Q2) = Q1.Q2 + Q1 + 2Q2; với

Ta được nhân tử chung duy nhất ¿−3 và điểm dừng duy nhất tương ứng là M(13; 5)  Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M và VìL ' 'Q1 = 0 = L ' 'Q2; L ' 'Q1Q2 = 1 và φ 'Q1 = 2; φ 'Q2 = 5 (hằng số không phụ thuộc vào Q1, Q2, ) nên ta được:

Umax = 13.5 + 13 + 2.5 = 88 USD trong điều kiện ngân sách này.

VI.20 / trang 283 Cho hàm lợi ích U = U(Q1, Q2) = Q10.6 Q20.25 của hai lượng cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu của hai loại hàng hóa đó để tối đa hóa lợi ích biết rằng giá bán hai loại hàng hóa đó lần lượt là 8USD, 5USD và thu nhập dành cho

 Kết luận: Vậy lượng cầu phù hợp với thu nhập là Q1 = 60 và Q2 = 40

VI.21/ trang 284 Một công ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu đối

với hai loại hàng đó lần lượt là Q1= 65 - 2P1, Q2=50 - P1 - P2; Pi là giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ i (i=1,2) Hãy xác định mức sản lượng Q1,Q2 để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại biết rằng

thì lợi nhuận đạt cực đại.

VI.22/ trang 284 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = Q(K, L) cho như dưới đây với a,

b là hai hằng số dương cho trước Tùy thuộc vào a, hãy đánh giá hiệu quả của quy mô sản xuất của doanh nghiệp đó.

Hiệu quả của quy mô sản xuất doanh nghiệp:

 Nếu  1 2 thì hiệu quả sản xuất của doanh nghiệp giảm theo quy mô  Nếu  1 2 thì hiệu quả sản xuất của doanh nghiệp không đổi theo quy mô  Nếu  1 2 thì hiệu quả sản xuất của doanh nghiệp tăng theo quy mô d) Q3KL3

Rõ ràng Q xác định với mọi K>0, L>0 Hơn nữa ta có