Môn toán cao cấp bài tập toán cao cấp lần 1 giả sử một nền kinh tế có 3 loại hang hoá với giá lần lượt là p1, p2, p3

b Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hoá.. Thay các giá trị đã cho của I0, G0 và các hệ thức đã cho ta được hệ cân bằng kinh tế vĩ mô:... Giả sử một nền kinh tế có ba

1 NGUYỄN HUỲNH KIM SƯƠNG

2 TÔ NGUYỄN TƯỜNG VY

3 TRẦN THỊ THÙY LỢI

4 NGUYỄN TIẾN ĐẠT

5. NGUYỄN QUẾ ANH

LỚP: K22406C

MÔN: TOÁN CAO CẤP

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP LẦN

1

BT I.4.1 -> I.4.5*/68,69 SGK

cung cầu của từng loại hàng hoá cho như sau:

Qs1 = 5p1 – 6p2 – 2p3 – 8; Qd1 = -3p1 + 4p2 + 3p2 + 12

Qs2 = -3p1 + 15p2 – 2p3 – 2; Qd2 = p1 – 5p2 + p3 + 8

Qs3 = -4p1 + p2 + 7p3 – 4; Qd3 = p1 + 4p2 – 3p3 + 6 a) Hãy tìm giá cân bằng thị trường của từng loại hàng hoá và điểm cân bằng thị trường

b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hoá

Giải

a) Hệ PTTT xác định điểm căn bằng thị trường là:

{Q s 1=Q d 1

Q s 2=Q d 2

Q s 3=Q d 3

Giải hệ ta được các giá cân bằng từng loại hàng hoá là:

p1=15, p2=5, p3=10

b) Thay các giá cân bằng vào các hàm cung cầu của từng loại hang hoá ta được lượng cung cầu cân bằng là:

Qs1 = Qd1 = 17; Qs2 = Qd2 = 8 ; Qs3 = Qd3 = 11

500 (triệu USD), mức chi tiêu cố định của chính phủ là G0=100 (triệu USD); còn tổng thu nhập quốc dân Y, tổng mức đầu tư chính phủ I, tổng mức tiêu dung dân cư C, và tổng thuế T thoả mãn các điều kiện

C = 160 + 0,3(Y – T); T = 100 + 0,1Y

Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dung và mức thuê ở trạng thái cân bằng kinh tế vĩ mô

Giải

a) Ta có: Y = C + I0 + G0 Thay các giá trị đã cho của I0, G0 và các hệ thức đã cho ta được hệ cân bằng kinh tế vĩ mô:

{C=160+0,3 (Y −T ) Y =C+500+100

T =100+ 0,1Y

Biến đổi để được hệ phương trình 3 ẩn Y, C, T rồi giải hệ ta được

0,1 Y −T =−100

⇔{Y =1000 C=400

T =200

Vậy tổng thu nhập, chi tiêu và thuế ở mức cân bằng lần lượt là:

Y=1000; C=400; T=200

2500 (triệu USD); lượng cung tiền mặt là M0 = 5000 (triệu USD); còn tổng thu nhập quốc dân Y, tổng mức đầu tư chính phủ I, tổng mức tiêu dung dân cư C, lượng cầu tiền mặt và mức lãi suất r thoả mãn các điều kiện

I = 7500 – 250r; C = 2500 + 0,4Y; L = 0,6Y – 1000r

a) Hãy lập phương trình (IS),(LM).

b) Tìm mức thu nhập Y và lãi suất r ở trạng thái cân bằng của thị trường hàng hoá và

tiền tệ

Giải

a) Ta có: Y= C + I + G0 ⇔ Y= (2500 + 0,4Y) + (7500 – 250r ) + 2500

⇔ 250r = 12500 - 0,6Y

Do đó phương trình (IS) là: 250r = 12500 - 0,6Y

Lượng cung cầu tiền tệ cân bằng tức là

L= M0⇔ 0,6Y - 1000r = 5000 ⇔ 1000r = 0,6Y – 5000

Vậy phương trình (LM) là 1000r= 0,6Y – 5000

b) Mức thu nhập Y và lãi suất r ở trạng thái cân bằng là nghiệm của hệ phương trình

{(IS)

Vậy thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng Y= 55000/3; r=6

I.4.4 Giả sử một quốc gia có ba ngành kinh tế với ma trận số đầu vào là

A=[0.1 0.3 0.20.4 0.2 0.3

a) Giải thích ý nghĩa của hệ số 0.4 ở dòng 2, cột 1 của ma trận đầu vào

b) Tìm hệ số tỷ phần gia tăng a0j của từng ngành ( j = 1,2,3 ) Giải thích ý nghĩa của

hệ số a02

c) Tìm đầu ra cho mỗi ngành biết cầu cuối của mỗi ngành lần lượt là 50, 850, 400 d) Tìm cầu cuối của mỗi ngành biết đầu ra của mỗi ngành lần lượt là 300, 400, 400

Giải:

a) Hệ số a21=0,4 có nghĩa là để sản xuất ra 1 USD giá trị hàng hóa của ngành 1 cần chi ra 0,4USD mua hàng hóa của ngành 2

b)

a01=1-(0.1+0.4+0.3)=0.2

a02=1-(0.3+0.2+0.2)=0.3

a03=1-(0.2+0.3+0.3)=0.2

Ý nghĩa hệ số a03=0.2 là tỷ phần giá trị gia tang trong tổng giá trị hàng hóa của ngành 3 là 20% Nói cách khác, trong sản xuất của mình, ngành 3 đã tạo ra 20% giá trị gia tang sau khi đã trừ ra mọi chi phí

c) Theo giả thiết ta có cầu cuối: B=(b1, b2, b3)t= (50,850,400)t Do đó, đầu ra X=

(x1, x2, x3)t là nghiệm của hệ phương trình:

(I-A)X=B

x2

x3)=(85050

Với I là ma trận đơn vị cấp 3 Giải hệ ta được đầu ra mỗi ngành: {x1=1227.27

d) Vì đầu ra X=(x1, x2, x3)t là (300,300,400)t nên cầu cuối B=(b1, b2, b3)t xác định bởi

hệ thức:

B= (I-A)X

b2

b3)=(7080

Vậy cầu cuối của mỗi ngành lần lượt là: 70,80,110

I.4.5* Giả sử một nền kinh tế có ba ngành: nông nghiệp, công nghiệp và dịch vụ Biết

mỗi ngành dịch vụ tạo ra giá trị gia tăng bằng 30% tổng sản phẩm của mình Ngoài ra, để sản xuất một đơn vị đầu ra của mình, ngành nông nghiệp cần sử dụng 20% giá trị của ngành mình, 30% giá trị của ngàng công nghiệp, 30% giá trị của dịch vụ, ngành công nghiệp cần sử dụng 40% giá trị của mình, 10% giá trị của nông nghiệp, 30% giá trị của dịch vụ còn ngành dịch vụ cần 20% giá trị của ngành mình, 30% giá trị của công nghiệp a) Lập ma trận hệ số đầu vào

b) Xác định tỷ phần trăm gia tăng của các ngành nông nghiệp và công nghiệp

c) Tìm đầu ra của mỗi ngành biêt cầu cuối lần lượt là 400, 850, 50

Giải:

a) Giả sử các ngành số 1,2,3 lần lượt là nông nghiệp công nghiệp ,dịch vụ

Theo giả thiết:

Lại có: a03=0,3

Vậy ma trận hệ số đầu vào là:

b)

a01=1-(0.1+0.4+0.3)=0.2

a02=1-(0.2+0.3+0.3)=0.2

c)Theo giả thiết ta có cầu cuối: B=(b1, b2, b3)t= (400,850,50)t Do đó, đầu ra X=

(x1, x2, x3)t là nghiệm của hệ phương trình:

(I-A)X=B

x2

x3)=(400850

Với I là ma trận đơn vị cấp 3 Giải hệ ta được đầu ra mỗi ngành: {x1=1255.56

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I I.8 Giải và biện luận hệ theo tham số thực m

a){ x1−x2+2 x3+x4−2 x5=1

Giải

Ma trận mở rộng của hệ như sau:

3

4

−2

−3

3 5

1 −2

5 6

−1

8

m]

BĐSC: [1 −1 22 −1 1

3

4

−2

−3

3 5

1 −2

5 6

−1

−3|16

8

m]d4→ d4−(d1+d3)

3 0

−2 0

3 5 −1

8

d3→d3−(d1+d2)

0 0

0 0

0 1 0

1

d2→d2−2d1

→ [1 −1 2 1 −20 1 −31 5

0 0

0 0

0 1 0

1

Ma trận cuối cùng có dạng bậc thang, ba dòng đầu khác không, dòng cuối tuỳ thuộc m, khối bên trái chỉ có 3 dòng khác không ( không phụ thuộc m ) Suy ra:

Rank(A) = 3(với mọi m); rank([A∨B]) = {3 khim=9 ; 4 khi m≠ 9.

Theo định lý Kronecker-Capelli, ta có:

(Hệ có nghiệm)  rank(A) = rank([A∨B]) = 3  m = 9

 Khi m ≠ 9, hệ đã cho vô nghiệm

 Khi m = 9, hệ có nghiệm Lại vì rank(A) = rank([A∨B]) = 3 < 5 (số ẩn) nên hệ có

vô số nghiệm phụ thuộc 5 – 3 = 2 ẩn tự do Thay m = 9 vào ma trận bậc thang cuối cùng Từ ma trận này ta viết được hệ mới tương đương với hệ đã cho, ta được nghiệm tổng quát của hệ (phụ thuộc hai tham số a, b tuỳ ý) khi m = 9

{x− y +2 z +t−2 u=1 y−3 z +t +5u=4

t=1  {y=3 a−5 b+3 x=a−3 b+3

z=a u=b t=1

b){ x1−2 x2+3 x3+x4−2 x5=1

Giải

Ma trận mở rộng của hệ như sau:

3

4

−5

−7

2 5

1 −2

5 6

−1

4

m]

BĐSC: [1 −22 −3 −13

3

4

−5

−7

2 5

1 −2

5 6

−1

4

m] d4→ d4−(d1+d3)

3 0

−5 0

2 0

1 −2

5 0

−1

4

d3→d3−(d1+d2)

0 0

0 0

0 0

1 −2

1 0

0

1

d2→d2−2d1

→ [1 −20 1 −73

0 0

0 0

0 0

1 −2

1 0

0

1

Ma trận cuối cùng có dạng bậc thang, ba dòng đầu khác không, dòng cuối tuỳ thuộc m, khối bên trái chỉ có 3 dòng khác không ( không phụ thuộc m ) Suy ra:

Rank(A) = 3(với mọi m); rank([A∨B]) = {3 khim=5; 4 khi m≠ 5.

Theo định lý Kronecker-Capelli, ta có:

(Hệ có nghiệm)  rank(A) = rank([A∨B]) = 3  m = 5

 Khi m ≠ 9, hệ đã cho vô nghiệm

 Khi m = 9, hệ có nghiệm Lại vì rank(A) = rank([A∨B]) = 3 < 5 (số ẩn) nên hệ có

vô số nghiệm phụ thuộc 5 – 3 = 2 ẩn tự do Thay m = 5 vào ma trận bậc thang cuối cùng Từ ma trận này ta viết được hệ mới tương đương với hệ đã cho, ta được nghiệm tổng quát của hệ (phụ thuộc hai tham số a, b tuỳ ý) khi m = 5

{x−2 y+3 z +t−2 u=1 y −7 z+t +5 u=0

t=1  {x=11a−8 b−2 y=7 a−5 b−1

z=a u=b t=1

I.9 Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất sau đây:

a) { x1−2 x2+4 x3+3 x4=0

Giải

Lập ma trận hệ số A rồi BĐSC, ta được:

−2

−3 2 4

0

1 −6 −2

0

1 −6 −2

Ta thấy rank(A) = 3 < 4 (số ẩn) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số

{x1−2 x2+4 x3+3 x4=0

x2−6 x3−2 x4=0

−43 x3−9 x4=0  { x4=a

x3=−9

x2=32

x1=−29

Một nghiệm cơ bản là { x4=1

x3=−9 13

x2=32 43

x1=−29 43

b) { x1−x2−x3−2 x4+2 x5=0

x1+3 x2−2 x3+x4+3 x5=0

Lập ma trận hệ số A rồi BĐSC, ta được:

1

2

3

3

−3 1

5

0

4 4

5

−1

1 3

1

0

4 0

5

−6

1 2

1

Ta thấy rank(A) = 3 < 4 (số ẩn) nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số

{x1−x2−x3−2 x4+2 x5=0

−6 x3+2 x4=0  { x x45==b a

x3=1

x2=−2

1

x1=5

9

(a, b € ®))

Một nghiệm cơ bản là { a=1 b=0

x3=1 3

x2=−2 3

x1=5 3

và { x x54=1=0

x3=0

x2=−1 4

x1=−9 4

I.10 Xét một thị trường gồm hai loại hàng hoá với hàm cung, hàm cầu và giá của chúng

thoả mãn các điều kiện sau:

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường

b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hoá

Giải

a) Hệ phương trình xác định giá cân bằng là

{Q s 1=Q d 1

Q s 2=Q d 2  {−1+3 p1=10−2 p1+2 p2

 {3 p1+2 p1−2 p2=11

 {5 p1−2 p2=11

 { p1=62

19

p2=101 38

Vậy giá cân bằng mỗi loại là p1=62

38

(6219 , 10138 ) là điểm cân bằng thị trường

b) Lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hoá

Q s 1=Q d 1=167

19

Q s2=Q d 2=391

38

I.11 Xét một thị trường gồm ba loại hàng hóa Biết các hàm cung và hàm cầu như sau:

Qs1= -15 + 8p1 - p2 - p3 ; Qs2 = -10 - p1 + 12p2 - p3;

Qs3 = -6 - p1 -p2 + 10p3 ; Qd1 = 20 - 4p1 + 3p2;

Qd2= 40 + 2p1 - 6p2 + p3 ; Qd3 = 30 + 2p2 - 6p3

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường

b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa

Giải

{Q s 1=Q d 1

Q s 2=Q d 2

Q s 3=Q d 3



{ 12 p1−4 p2−p3=35



Điểm cân bằng của thị trường là ( p1, p2, p3 ) = ( 4.48 ; 3.88 ; 3.26 )

c) Thay các giá cân bằng vào các hàm cung cầu của từng loại hàng hóa ta được lượng cung cầu cân bằng là :

Qs1 = Qd1 = -15 + 8 x 4,48 - 3,88 - 3,26 = 13,7

Qs2 = Qd2 = -10 - 4,48 + 12 x 3,88 - 3,26 = 28,82

Qs3 = Qd3 = 30 + 2 x 3,88 -6 x 3,26 = 18,2

T = 12 + 0,3Y Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng

Giải



{ Y =C+I0+G0

C=50+0,6(Y −T )

T =12+0,3 Y



{Y =50+0,6 (Y −T )+800+55 C=50+0,6(Y −T )

T =12+0,3 Y



{C=0,6 Y −0,6 T +50 0,4 Y +0,6T =905

T =12+0,3Y



{C=0,6 Y −0,6 (12+0,3 Y )+50 0,4 Y +0,6(12+0,3 Y )=905

T =12+0,3Y



{Y =1547,93 C=692,93

T =476, 379

Vậy tổng thu nhập, chi tiêu và thuế ở mức cân bằng lần lượt là:

Y = 1547,93 ; C= 692,93 ; T =476,379

1.13 Xét mô hình IS-LM với G0=75; M0=8160; I = 50 - 25r; C = 40 + 0,5Y và L= 28Y -

400r

a) Xác định các phương trình (IS), (LM)

b) Xác định mức thu nhập và lãi suất cân bằng

Giải

a) Ta có

Y = C + I + G0  Y = 40 + 0,5Y + 50 - 25r + 75  25r = 165 - 1/2 Y ( IS )

Do đó phương trình ( IS ) là 25r = 165 - 1/2 Y

Lượng cung cầu tiền tệ cân bằng, tức là:

L = M0  28Y - 400r = 8160 400r = 28Y - 8160 ( LM )

b) Mức thu nhập Y và lãi suất r ở trạng thái cân bằng là nghiệm của hệ phương trình

{(IS)

Vậy mức thu nhập cân bằng Y=300 và lãi suất cân bằng r=3/5.

I.14 Trong mô hình Input - Output biết ma trận hệ số đầu vào của ba ngành là A=

0,1 0 0,2) và cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 40, 60 và 80 Hãy xác định đầu ra của mỗi ngành

Giải

Theo giả thiết ta có cầu cuối B = (b1,b2,b3)t = (40,60,80)t Do đó, đầu ra X = (x1,x2,x3)t là nghiệm của hệ phương trình

(I - A)X = B(−

x2

x3) = (4060

I là ma trận đơn vị cấp 3

Ta được đầu ra mỗi ngành x1 = 82,75 x2 = 131,03 x3 = 110,34

I.15 Cho ba ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là

a) Xác định hệ số tỷ phần gia tăng của mỗi ngành

b) Xác định đầu ra của mỗi ngành biết nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 40,

60, 80

Giải

a)

a01 = 1 - (0,4 + 0,2 + 0,3) = 0,1

a02 = 1 - (0,2 + 0,3 + 0) = 0,5

a03 = 1 - (0,2 + 0,4 + 0,1) = 0,3

b) Theo giả thiết ta có cầu cuối B = (b1,b2,b3)t = (40,60,80)t Do đó, đầu ra X = (x1,x2,x3)t

là nghiệm của hệ phương trình

(I - A)X = B(−

x2

x3) = (4060

{0,6 x1−0,2 x2−0,2 x3=40

I là ma trận đơn vị cấp 3

Ta được đầu ra mỗi ngành x1 = 194,2 x2 = 228,99 x3 = 153,62

I.16 Giả sử một nền kinh tế có ba ngành: nông nghiệp, công nghiệp và dịch vụ Biết rằng

để sản xuất một đơn vị đầu ra; ngành công nghiệp cần sử dụng 10% giá trị của ngành mình, 30% giá trị của công nghiệp, 30% giá trị của dịch vụ; ngành công nghiệp cần sử dụng 20% giá trị của ngành mình, 60% giá trị của nông nghiệp, 10% giá trị của dịch vụ; ngành dịch vụ cần 10% giá trịn của ngành mình, 60% giá trị của công nghiệp, không sử dụng giá trị của nông nghiệp

a) Lập ma trận hệ số đầu vào cho nền kinh tế này

b) Xác định mức sản xuất đầu ra của mỗi ngành để thỏa mãn nhu cầu cuối cùng là 10,8,4

Giải

a)

Nông nghiệp: ngành 1

Công nghiệp: ngành 2

Dịch vụ: ngành 3

+ Ngành 1: a11 = 0.1; a21 = 0.3; a31=0.3

+ Ngành 2: a12=0,6 ; a22= 0,2 ; a32 = 0,1

+ Ngành 3: a13= 0; a23= 0,6; a33= 0,1

Ma trận hệ số đầu vào cho nền Kinh tế này

b)

Theo giả thiết ta có cầu cuối B = (b1,b2,b3)t = (10,8,4)t Do đó, đầu ra X = (x1,x2,x3)t là nghiệm của hệ phương trình

(I - A)X = B(−0,90,3 −0,60,8 −0,60

x2

x3) = (108

I là ma trận đơn vị cấp 3

Ta được đầu ra mỗi ngành x1 = 38,15 x2 = 40,56 x3 = 21,67