Bài tập nhóm môn toán cao cấp 3

Untitled B À I T Ậ P N H Ó M M Ô N T O Á N C A O C Ấ P 3 G I Ả N G V I Ê N P H Ạ M V Ă N C H Ữ N G Lớp K224021C NHÓM 6 Lê Thị Hồng Nguyễn Thị Quỳnh Hương Nguyễn Đăng Khuê Nguyễn Đỗ Nhật Phi Đoàn Đức V[.]

lOMoARcPSD|12114775 BÀI TẬP NHĨM MƠN: TỐN CAO CẤP GIẢNG VIÊN: PHẠM VĂN CHỮNG Lớp: K224021C NHÓM Lê Thị Hồng Nguyễn Thị Quỳnh Hương Nguyễn Đăng Khuê Nguyễn Đỗ Nhật Phi Đoàn Đức Vương Lê Thanh Xuân Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững VI.9 Xét doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) 𝐶0 = 400, giá thuê đơn vị vốn 𝑤𝐾 = triệu đồng giá thuê đơn vị lao động 𝑤𝐿 = 0,4 triệu đồng Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb-Douglas 𝑄 = 120𝐾 𝐿3 , giá sản phẩm thị trường p = triệu đồng a) Xác định hàm chi phí, doanh thu lợi nhuận doanh nghiệp b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên lợi nhuận cận biên theo lượng vốn theo lượng lao động K = 54, L = 16 c) Tính hệ số co giãn chi phí, doanh thu lợi nhuận theo lượng vốn theo lượng lao đông K = 54, L = 16 Giải a) • Tổng chi phí 𝑇𝐶 = 𝑤𝐾 𝐾 + 𝑤𝐿 𝐿 + 𝐶0 = 2𝐾 + 0,4𝐿 + 400 • Doanh thu 𝑇𝑅 = 𝑝𝑄 = 120𝐾 𝐿3 • Lợi nhuận 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 120𝐾 𝐿3 – 2K – 0,4L – 400 b) Bây ta xác định chi phí cận biên, doanh thu cận biên lợi nhuận cận biên theo lượng vốn theo lượng lao động mức K = 54, L = 16 𝑀𝐶𝐾 (54,16) = 𝑀𝐶𝐿 (54,16)= 0,4 −1 160 𝑀𝑅𝐾 (54,16) = 𝑅′𝐾 = 80𝐾 𝐿3 = −2 3 𝑀𝜋𝐾 (54,16)= 154 𝑀𝑅𝐿 (54,16) = 𝑅′𝐿 = 40 𝐾 𝐿 = 90; 𝑀𝜋𝐿 (54,16) = 89,6 Những giá trị có ý nghĩa sau mức K = 54, L = 16 • Khi tăng K thêm đơn vị từ 54 lên 55 giữ ngun L = 16 chi phí cận biên tăng xỉ triệu đồng • Khi tăng K thêm đơn vị từ 54 lên 55 giữ nguyên L = 16 doanh thu tăng xỉ 53,3 triệu đồng • Khi tăng K thêm đơn vị từ 54 lên 55 giữ nguyên L = 16 lợi nhuận tăng xỉ 51.3 triệu đồng • Khi giữ nguyên K = 54 tăng L thêm đơn vị từ 16 lên 17 chi phí cận biên tăng xỉ 0,4 triệu đồng • Khi giữ nguyên K = 54 tăng L thêm đơn vị từ 16 lên 17 doanh thu tăng xỉ 90 triệu đồng • Khi giữ nguyên K = 54 tăng L thêm đơn vị từ 16 lên 17 lợi nhuận tăng xỉ 89, triệu đồng c) Tại mức K = 54, L = 16 ta được: 𝐾 𝐿 𝐾 20 𝜀𝐶𝐾 (54,16) = 𝐶′𝐾 = 𝜀𝐶𝐿 (54,16) = 𝐶′𝐿 = 0,4 = 0,21% = 0,012% 𝐶 𝐶 𝐾 2𝐾+0,4𝐿+400 𝜀𝑅𝐾 (54,16) = 𝑅′𝐾 = ≈ 0,66% 𝑅 𝐾 𝜀𝜋𝐾 (54,16) = 𝜋′𝐾 = 0,728% 𝜋 𝐿 643 𝜀𝑅𝐿 (54,16)= 𝑅′𝐿 = ≈ 0,33% 𝑅 𝐿 𝜀𝜋𝐿 (54,16) = 𝜋′𝐿 = 0,377% 𝜋 Những giá trị có ý nghĩa sau mức K = 54, L = 16 • Khi tăng K thêm 1% từ 54 lên 54+ 54.(1%) giữ nguyên L =16 chi phí tăng xỉ 0,21% • Khi tăng K thêm 1% từ 54 lên 54+ 54.(1%) giữ nguyên L =16 doanh thu tăng xỉ 0,66% • Khi tăng K thêm 1% từ 54 lên 54+ 54.(1%) giữ nguyên L =16 lợi nhuận tăng xỉ 0,728% • Khi giữ nguyên K = 54 tăng L thêm 1% từ 16 lên 16 + 16.(1%) chi phí tăng xỉ 0.012% • Khi giữ ngun K = 54 tăng L thêm 1% từ 16 lên 16 + 16.(1%) doanh thu tăng xỉ 0.3333% • Khi giữ nguyên K = 54 tăng L thêm 1% từ 16 lên 16 + 16.(1%) lợi nhuận tăng xỉ 0,377 % Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững VI.10 Xét doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị : triệu đồng) 𝐶0 = 200, giá thuê đơn vị vốn 𝑤𝐾 = triệu đồng giá thuê đơn vị lao động 𝑤𝐿 = 0,2 triệu đồng Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất 𝑄 = 𝐾(𝐿 + 10) giá sản phẩm thị trường p = 0,5 triệu đồng a) Xác định hàm chi phí, doanh thu lợi nhuận doanh nghiệp b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên lợi nhuận cận biên theo lượng vốn theo lượng lao động K = 100,L = 20 c) Tính hệ số co giãn chi phí, doanh thu lợi nhuận theo lượng vốn theo lượng lao đông K = 100, L = 20 Giải a) • Chi phí 𝑇𝐶 = 𝐾 + 0,2𝐿 + 200; • Doanh thu TR = 0,5K(L+10) • Lợi nhuận 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 = 0,5𝐾𝐿 + 4𝐾 − 0,2𝐿 − 200 b) 𝑀𝐶𝐾 (100,20)= 1; 𝑀𝐶𝐿 (100,20) = 0,2; 𝑀𝑅𝐿 = 0,5𝐾 ; 𝑀𝑅𝐾 = 0,5L + 𝑀𝑅𝐾 (100,20) = 15 ; 𝑀𝑅𝐿 (100,20) = 50 ; 𝑀𝜋𝐿 (100,20) = 49,8 ; 𝑀𝜋𝐾 (100,20) = 14 Những giá trị có ý nghĩa sau K = 100 L = 20 • Khi tăng K lên đơn vị từ 100 lên 101 giữ nguyên L = 20 chi phí tăng triệu đồng • Khi tăng K lên đơn vị từ 100 lên 101 giữ nguyên L = 20 doanh thu tăng 15 triệu đồng • Khi tăng K lên đơn vị từ 100 lên 101 giữ nguyên L = 20 lợi nhuận tăng 14 triệu đồng • Khi giữ nguyên K tăng L lên đơn vị từ 20 lên 21 chi phí tăng 0,2 triệu đồng • Khi giữ nguyên K tăng L lên đơn vị từ 20 lên 21 doanh thu tăng 50 triệu đồng • Khi giữ nguyên K tăng L lên đơn vị từ 20 lên 21 lợi nhuận tăng 49,8 triệu đồng 𝑐) 𝜀𝐶𝐿 (100,20)= 𝐶′𝐿 𝐿 𝐶 𝐿 = 76 ≈ 0,013% ; 𝜀𝑅𝐿 (100,20)= 𝑅′𝐿 = ≈ 0,66% 𝑅 𝐿 𝜀𝜋𝐿 (100,20)= 𝜋′𝐿 = 𝜋 219 299 ≈ 0,83% 𝜀𝐶𝐾 (100,20)= 𝐶′𝐿𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 25 76 ≈ 0,32% 299 ≈ 1,17% = 𝜀𝑅𝐾 (100,20) = 𝑅′𝐾 = ≈ 1% 𝑅 𝐾 𝜀𝜋𝐾 (100,20) = 𝜋′𝐾 = 𝜋 350 Những giá trị có ý nghĩa sau K = 100 L = 20 • Khi tăng K lên 1% từ 100 lên 100 + 100.(1%) chi phí tăng xỉ 0,32% • Khi tăng K lên 1% từ 100 lên 100 + 100.(1%) doanh thu tăng xỉ 1% • Khi tăng K lên 1% từ 100 lên 100 + 100.(1%) lợi nhuận tăng xỉ 1,17% • Khi giữ nguyên K tăng L lên 1& từ 20 lên 20 + 20 (1%) chi phí tăng xỉ 0,013% • Khi giữ nguyên K tăng L lên 1& từ 20 lên 20 + 20.(1%) doanh thu tăng xỉ 0,66% • Khi giữ nguyên K tăng L lên 1& từ 20 lên 20 + 20.(1%) lợi nhuận tăng xỉ 0,83% VI.11 Giả sử người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm hữu dụng hai loại hàng 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2)2 (𝑦 + 3)2; đó, x, y khối lượng hai loại hàng hóa a) Tìm hàm hữu dụng biên hệ số co giãn theo loại hàng hóa b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X người mua loại hàng đơn vị khối lượng Giải a) Hàm hữu dụng biên theo loại hàng hóa: 𝑀𝑈𝑥 = 𝑈𝑥′ = 2(𝑥 + 2)(𝑦 + 3)2 𝑀𝑈𝑦 = 𝑈𝑦′ = 2(𝑥 + 2)2 (𝑦 + 3) Hệ số co giãn theo loại hàng hóa: Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững 𝑥 2(𝑥 + 2)(𝑦 + 3)2 𝑥 2𝑥 𝜀𝑥 = = = 𝑈 (𝑥 + 2)2 (𝑦 + 3)2 𝑥+2 2(𝑥 + 2) 2𝑦 (𝑦 + 3)𝑦 𝑦 = 𝜀𝑦 = 𝑈𝑦′ = 𝑦+3 (𝑥 + 2)2 (𝑦 + 3)2 𝑈 b) Mỗi loại hàng đơn vị khối lượng, ta có: x = 3; y=3 (đơn vị khối lượng) Giá trị hữu dụng biên theo X là: 𝑀𝑈𝑥 = 2(3 + 2)(3 + 3)2 = 360 𝑈𝑥′ VI.12 Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 50USD 200USD Giả sử hàm lợi ích cho 𝑈 = (𝑥 + 30)𝑦; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ (x,y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng 1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng X, Y Giải Mỗi túi hàng (x, y) phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 50𝑥 + 200𝑦 = 1850 (USD) Do đó, vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích: 𝑈 = (𝑥 + 30)𝑦; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0; với điều kiện: 50𝑥 + 200𝑦 = 1850 (1) Điều kiện (1) tương ứng với 50𝑥 + 200𝑦 − 1850 = Đặ𝑡 𝜑(𝑥, 𝑦) = 50𝑥 + 200𝑦 − 1850 xét hàm Lagrange: 𝐿 = 𝐿 (𝑥, 𝑦) = 𝑈 + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 30)𝑦 + 𝜆(50𝑥 + 200𝑦 − 1850); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ Các đạo hàm riêng L 𝜑: 𝐿′𝑥 = 𝑦 + 50𝜆 𝐿′′𝑥𝑥 = 𝐿′′𝑦𝑦 = 𝜑𝑥′ = 50 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ ′ ′′ ′ 𝐿𝑦 = 𝑥 + 30 + 200𝜆 𝐿𝑥𝑦 = 𝜑𝑦 = 200 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ Lập hệ phương trình xác định điểm dừng giải hệ ta được: 𝑥= ′ 𝐿𝑥 = 𝑦 + 50𝜆 = 67 ′ 𝐿 = 𝑦= { ⇔ { 𝑥 + 30 + 200𝜆 = ⇔ 𝑦 50𝑥 + 200𝑦 − 1850 = 67 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝜆= − 400 { 67 67 Ta điểm dừng M ( , ) ứng với nhân tử λ = − Lúc đó, Hessian sau: 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′ H = | 𝑥𝑦 φ′𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 φ′𝑥 𝐿′′ý𝑦 φ′𝑦 | = | 50 φ′𝑦 200 50 200| = 20 000 > 0 400 67 Như vậy, điều kiện (1), hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M ( , ) với 67 4489 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 = ( + 30) 16 67 4489 Kết luận vấn đề Kinh tế: Túi hàng (𝑥 = , 𝑦 = ) làm tối ưu hóa lợi ích 𝑈𝑚𝑎𝑥 = điều kiện ngân sách (1) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng là: 𝑥̅ = ; 𝑦̅ = 67 16 VI.13 Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 100USD 25USD Giả sử hàm lợi ích cho 𝑈 = 𝑥(𝑦 + 15); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ (x,y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng 925USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng X, Y Giải Mỗi túi hàng (x, y) phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 100𝑥 + 25𝑦 = 925 (USD) Do đó, vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích: 𝑈 = 𝑥(𝑦 + 15); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0; với điều kiện: 100𝑥 + 25𝑦 = 925 (1) Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững Điều kiện (1) tương ứng với 100𝑥 + 25𝑦 − 925 = Đặ𝑡 𝜑(𝑥, 𝑦) = 100𝑥 + 25𝑦 − 925 xét hàm Lagrange: 𝐿 = 𝐿 (𝑥, 𝑦) = 𝑈 + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑦 + 15) + 𝜆(100𝑥 + 25𝑦 − 925); 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ Các đạo hàm riêng L 𝜑: 𝐿′𝑥 = 𝑦 + 15 + 100𝜆 𝐿′′𝑥𝑥 = 𝐿′′𝑦𝑦 = 𝜑𝑥′ = 100 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ ′ ′′ ′ 𝐿𝑦 = 𝑥 + 25𝜆 𝐿𝑥𝑦 = 𝜑𝑦 = 25 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ Lập hệ phương trình xác định điểm dừng giải hệ ta được: 13 𝑥= 𝐿′𝑥 = 𝑦 + 15 + 100𝜆 = 𝑥 + 25𝜆 = { 𝐿′𝑦 = ⇔ { ⇔ { 𝑦 = 11 13 100𝑥 + 25𝑦 − 925 = 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝜆= − 13 50 13 Ta điểm dừng M ( , 11) ứng với nhân tử λ = − 50 Lúc đó, Hessian sau: 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 φ′𝑥 H = |𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′ý𝑦 φ′𝑦 | = | 100 φ′𝑥 φ′𝑦 25 100 25 | = 5000 > 0 13 Như vậy, điều kiện (1), hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M ( , 11) với 13 (11 + 15) = 169 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 13 Kết luận vấn đề Kinh tế: Túi hàng (𝑥 = , 𝑦 = 11) làm tối ưu hóa lợi ích 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 169 điều kiện ngân sách (1) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng là: 𝑥̅ = 6,5; 𝑦̅ = 11 VI 14 Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 500 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích cho U = (x+4)(y+5); x≥0; y≥0 (x, y lượng hàng hóa X,Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x,y) để tối ưu hóa lợi ích điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng (triệu đồng) Xác định lượng cầu Marshall X,Y Giải: Gọi x, y hàng hóa X, Y mà người cần mua để tối đa hóa lợi ích Khi chi phí cần dùng m = 500x + 400y Lưu ý rằng, tính theo đơn vị nghìn đồng ngân sách tiêu dùng triệu tương đương với m = 500x + 400y = = 4000 Vấn đề kinh tế đặt xác định x, y (không âm) để tối đa hóa lợi ích Ta đưa tốn cực trị điều kiện sau: Tìm cực đại của: U = (x+4)(y+5) ; x ≥ 0, y ≥ Với điều kiện 500x + 400y = 4000 Ta có 500x + 400y = 4000  5x + 4y = 40 (1) Do đó, hàm điều kiện φ = φ(x, y) = 5x + 4y – 40 Rõ ràng U, φ khả vi liên tục đến cấp miền phẳng xác định x ≥ 0, y ≥ nên ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange Ta lập hàm Lagrange : L = L(x, y) = U +λφ = (x+4)(y+5) + λ(5x + 4y – 40); x≥0, y≥0 Các đạo hàm riêng cấp 1, L đạo hàm riêng cấp φ sau L’x = y + + 5λ; L’y = x + + 4λ; x≥0, y≥0 L’’xx = 0; L’’yy = 0; L’’xy = 1; x≥0, y≥0 φ’x = 5; φ’y = 4; x≥0, y≥0 Ta tìm điểm dừng nhân tử Lagrange Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững 𝐿′𝑋 = 𝑦 + + 5λ = 𝑥=4 { 𝐿′𝑦 = ⇔ {𝑥 + + 4λ = ⇔ { 𝑦 = 5𝑥 + 4𝑦 = 40 λ = −2 φ(x, y) = Ta điểm dừng M (4,5) ứng với nhân tử λ = -3 Lúc đó, Hessian sau: 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 φ′𝑥 H = |𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′ý𝑦 φ′𝑦 | = |1 4| = 40 > φ′𝑥 φ′𝑦 Như điều kiện (1), hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M( 17,5) với Umax = 80 USD • Kết luận vấn đề kinh tế: Túi hàng ( x= 4; y =5) làm tối ưu hóa lợi ích Umax =80 USD điều kiện ngân sách (1) Ở lượng cầu Marshall tương ứng 𝑥̅ = 4; 𝑦̅ = VI 15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x ≥ 0; y ≥ 0) hai loại hàng hóa X, Y (x, y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá loại hàng hóa p1= USD, p2 = USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí xác định lượng cầu Hick tương ứng Giải: Gọi x, y lượng hàng hóa X, Y mà người cần mua để tối đa hóa lợi ích Khi chi phí cần dùng 𝐶 = 4𝑥 + 9𝑦 ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ Vấn đề kinh tế trở thành tốn cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để 𝐶 = 4𝑥 + 9𝑦 ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ cực tiểu với điều kiện U (x; y) = 12xy + 8x = 10800 Giải toán phương pháp Lagrange, ta có: Điều kiện 12xy + 8x = 10800 12xy + 8x – 10800 = Hàm điều kiện là: φ (x,y) = 12xy + 8x – 10800 Rõ ràng U, C, ϕ khả vi liên tục đến cấp miền phẳng xác định x ≥ 0; y ≥ nên ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange Ta lập hàm Lagrange L = L (x,y) = C + λϕ = 4𝑥 + 9𝑦 + λ ( 12xy + 8x – 10800) x≥0; y≥0 Các đạo hàm riêng L φ: L’x = + 12𝑦λ + λ L’’xx = L’’yy = L’y = + 12𝑥λ L’’xy = 12λ φ’x = 12y +8 φ’y = 12x Ta tìm điểm dừng nhân tử Lagrange: 𝑥 = 45 58 𝐿′𝑋 = 12y λ + λ + = 𝑦= 𝐿′𝑦 = ⇔ 12𝑥 λ + = ⇔ 8𝑥 + 12𝑥𝑦 − 10800 = φ(x, y) = λ= − { { { 60 58 Như có điểm dừng M(45; ) ứng với nhân tử λ = - Kiểm tra điều kiện cực trị điểm M(45; 58 ) λ = - , ta có L’’xx = L’’yy = , L’’xy = -0,2; φ’x =240; φ’y = 540 60 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 φ′𝑥 −0,2 240 H = |𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′ý𝑦 φ′𝑦 | = |−0,2 540| = −51840 < 240 540 φ′𝑥 φ′𝑦 Do M(45; • 58 60 ) điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 354 USD Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng 𝑥̅ = 45; 𝑦̅ = phí C = 354 USD nhỏ Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) 58 Lúc chi lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững VI 16 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = xy + 2y; x ≥ 0; y ≥ hai loại hàng hóa X, Y (x, y lượng hàng hóa tương ứng) Giá loại hàng p1=18 USD, p2= USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 1800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí xác định lượng cầu Hick tương ứng Giải: Gọi x, y hàng hóa X, Y mà người cần mua để tối đa hóa lợi ích Khi chi phí cần dùng C= 18x + 8y ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ Vấn đề kinh tế trở thành tốn cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để 𝐶 = 18𝑥 + 8𝑦 ; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ cực tiểu với điều kiện U (x; y) = 𝑥𝑦 + 2𝑦 = 1800 Giải toán phương pháp Lagrange, ta có: Điều kiện 𝑥𝑦 + 2𝑦 = 1800 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800 Hàm điều kiện φ ( x,y) = 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800 Rõ ràng U, φ khả vi liên tục đến cấp miền phẳng xác định x ≥ 0, y ≥ nên ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange Ta lập hàm Lagrange: L = L(x, y) = C +λϕ = 18x + 8y = 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800 Các đạo hàm riêng L φ: L’x = 18y + yλ; L’y = + xλ + 2λ; x≥0, y≥0 L’’xx = L’’yy = 0; L’’xy = λ; x≥0, y≥0 φ’x = y; φ’y = x +2 x≥0, y≥0 Ta tìm điểm dừng nhân tử Lagrange 𝑥 = 20√2 − 𝐿′𝑋 = 18 + yλ = 𝑦 = 45√2 𝐿′𝑦 = ⇔ + λ( x + 2) = ⇔ −√2 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 1800 = φ(x, y) = λ= { { { Như có điểm dừng M(20√2 − 2; 45√2 ) ứng với nhân tử λ = Kiểm tra điều kiện cực trị điểm M(20√2 − 2; 45√2 ) λ = φ’x =45√2 ; φ’y = 20√2 −√2 −√2 −√2 , ta có L’’xx = L’’yy = , L’’xy = −√2 ; 45√2 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 𝜑′𝑥 | H = |𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′ý𝑦 𝜑′𝑦 | = || −√2 20√2| = -1018,2 < 𝜑′𝑥 𝜑′𝑦 45√2 20√2 Do M(20√2 − 2; 45√2 ) điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 982,2 USD • Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng 𝑥̅ = 20√2 − 2; 𝑦̅ = 45√2 Lúc chi phí C = 982,2 USD nhỏ VI.17 Một công ty sản xuất độc quyền hai loại hàng hoá với hàm cầu là: 1 Q1 = 280 − 𝑃1 + 𝑃2 , Q2 = 420 + 𝑃1 − 𝑃2 5 5 Giả sử tổng chi phí xác định bởi: C = 40Q1 + 180Q2 + Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng loại hàng hoá để tối đa hố lợi nhuận Giải Vì ta cần tìm mức sản lượng loại hàng hóa để tối đa hố lợi nhuận nên biểu diễn P theo Q: Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững 𝑄1 = 280 − 𝑃1 + { 𝑄2 = 420 + 𝑃1 − 𝑃 2 𝑃 −10 𝑃1 = −5 ⟹{ 𝑃2 = 𝑄1 − 𝑄1 − 𝑄2 + 10 𝑄2 + 4900 5600 (Q1, Q2 ≥ 0) Doanh thu R lợi nhuận π doanh nghiệp cho bởi: R = P1Q1 + P2Q2 = π=R–C= −10 Q12 - −13 13 Q1 - Q2 3 - 10 Q22 - 10 13 Q1Q2 + 13 Q1Q2 + 3 Q1Q2 + 4780 4900 Q1 + Q1 + 3 5060 5600 Q2 Q2 ; Q1, Q2 ≥ Vấn đề xác định mức tiêu thụ sản phẩm doanh nghiệp thị trường để tối ưu hoá lợi nhuận quy toán cực trị (tự do) Tìm Q1, Q2 khơng âm làm cực đại hàm: π=R–C= −13 Q12 - 13 Q22 - 4780 Q1 + 5060 Q2 ; Q1, Q2 ≥ Ta đặt: π 1’= π𝑄1 ’; π2’ = πQ2’; π11’’= πQ1Q1’’; π12’’= πQ1Q2’’; π22’’= πQ2Q2’’ Khi đó, đạo hàm riêng cấp 1, π sau −26 13 4780 −26 π1’= Q Q ; Q π =A 12+ 1, Q2 ≥ 11’’= π2’= −26 3 13 Q2 - Q1 + 3 5060 ; Q1, Q2 ≥ 𝑄1 = 𝜋′ = Ta tìm điểm dừng { 1′ ⟺{ 𝜋2 = 𝑄2 = ∆ = AC – B2 = >0 13 1780 =C −13 =B 13 1500 1780 Ta điểm dừng M( 169 1500 π22’’= −26 π12’’= ; 13 13 ) Tại điểm dừng ta tính 1500 1780 Do π đạt cực đại M ( 13 ; 13 ) với πmax = 207 394, 8718 VI.18 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu sản phẩm hàm tổng chi phí đây: 1230−5𝑃1 +𝑃2 1350+𝑃1 −3𝑃2 QD1 = Q1 = ; QD2 = Q2 = ; TC = Q12 + Q1Q2 + Q22 14 14 Tìm mức sản lượng loại hàng hố để cơng ty có lợi nhuận cực đại Giải: Vì ta cần tìm mức sản lượng loại hàng hóa để cơng ty có lợi nhuận cực đại nên biểu diễn P theo Q: Q1 = { Q2 = 1230−5P1 +P2 14 1350+P1 −3P2 14 ⟹{ 𝑃1 = −3𝑄1 − 𝑄2 + 360 (Q1, Q2 ≥ 0) 𝑃2 = −𝑄1 − 5𝑄2 + 570 Doanh thu R lợi nhuận π doanh nghiệp cho R = P1Q1 + P2Q2 = -3Q12 – 5Q22 – 2Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 π = R – TC = -4Q12 - 6Q22 - 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 (Q1, Q2 ≥ 0) Vấn đề xác định mức tiêu thụ sản phẩm doanh nghiệp thị trường để tối ưu hoá lợi nhuận quy toán cực trị (tự do) Tìm Q1, Q2 khơng âm làm cực đại hàm: π = R – TC = -4Q12 - 6Q22 - 3Q1Q2 + 360Q1 + 570Q2 (Q1, Q2 ≥ 0) Ta đặt: π 1’= π𝑄1 ’; π2’ = πQ2’; π11’’= πQ1Q1’’; π12’’= πQ1Q2’’; π22’’= πQ2Q2’’ Khi đó, đạo hàm riêng cấp 1, π sau π1’= -8Q1 - 3Q2 + 360; Q1, Q2 ≥ π11’’= -8 = A π12’’= -3 = B π2’= -12Q2 – 3Q1 + 570; Q1, Q2 ≥ π22’’= -12 = C ′ 𝜋 =0 𝑄 = 30 Ta tìm điểm dừng { 1′ ⟺{ 𝑄 𝜋2 = = 40 Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững Ta điểm dừng M(30; 40) Tại điểm dừng ta tính được: ∆ = AC – B2 = 87 > Do π đạt cực đại M(30; 40) với πmax = 16800 VI.19 Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = U(Q1, Q2) = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 hai lượng cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu hai loại hàng hóa để tối đa hóa lợi ích biết giá bán hai loại hàng hóa 2USD, 5USD thu nhập dành cho tiêu dùng 51USD Giải: Mỗi lượng cầu (Q1,Q2) phải thỏa mãn điều kiện 2Q1 + 5Q2 = 51 Do vấn đề tối đa hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích U = U(Q1, Q2) = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 ; x ≥ 0, y ≥ Đặt hàm điều kiện φ(Q1,Q2) = 2Q1 + 5Q2 − 51 Xét hàm Lagrange : L = Q1Q2 + Q1 + 2Q2 + (2Q1 + 5Q2 − 51) Các đạo hàm riêng L φ : φ’Q1 = x ≥ 0, y ≥ L’Q1 = Q2 + + 2; L’’Q12 = L’’Q22 = 0; L’Q2 = Q1 + + 5; L’’Q1Q2 = 1; φ’Q2 = Ta tìm điểm dừng : 𝐿′𝑄1 = 𝑄2 + + 2 = 𝑄1 = 13 𝑄 + + 5 =  { { 𝐿′𝑄2 =  { 𝑄2 = 2𝑄 + 5𝑄 − 51 =  = −3 𝜑(𝑄1 , 𝑄2 ) = Ta nhân tử  = −3 điểm dừng tương ứng M(13,5) Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M  𝐿′′ 𝑄1 𝑄1 𝐿′′ 𝑄1 𝑄2 𝜑 ′ 𝑄1  H = |𝐿′′ 𝑄1 𝑄2 𝐿′′ 𝑄2 𝑄2 𝜑 ′ 𝑄2 | = |1 5| = 20 > 𝜑 ′ 𝑄1 𝜑 ′ 𝑄2 Do U đạt cực đại M(13,5) với Umax = 88 Kết luận : Q1 = 13, Q2 = doanh nghiệp tối đa hóa lợi ích với Umax = 88 VI.20 Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = U(Q1, Q2) = Q10,6 Q20,25 hai lượng cầu hai loại hàng hóa tiêu dùng Q1, Q2 Hãy xác định lượng cầu hai loại hàng hóa để tối đa hóa lợi ích biết giá bán hai loại hàng hóa 8USD, 5USD thu nhập dành cho tiêu dùng 680USD Giải: Mỗi lượng cầu (Q1,Q2) phải thỏa mãn điều kiện 8Q1 + 5Q2 = 680 Do vấn đề tối đa hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích U = U(Q1, Q2) = Q10,6 Q20,25 ; x ≥ 0, y ≥ Đặt hàm điều kiện φ(Q1,Q2) = 8Q1 + 5Q2 − 680 Xét hàm Lagrange : L = Q10,6 Q20,25 + (8Q1 + 5Q2 − 680) Các đạo hàm riêng L φ : φ’Q1 = x ≥ 0, y ≥ L’’Q12 = 0,24Q1-1,4Q20,25 ; L’Q1 = 0,6Q1-0,4Q20,25 + 8; φ’Q2 = L’’Q22 = −0,1875Q10,6Q2-1,75 ; L’Q2 = 0,25Q10,6Q20,75 + 5; Ta tìm điểm dừng : 𝐿′𝑄1 = 0,6𝑄1−0,4 𝑄20,25 + 8 = 𝑄1 = 60 0,6 0,75  {0,25𝑄1 𝑄2 { 𝐿′𝑄2 = + 5 =  { 𝑄2 = 40  = −0,037 8Q1 + 5Q2 − 680 = 𝜑(𝑄1 , 𝑄2 ) = Ta nhân tử  = −0,037 điểm dừng tương ứng M(60,40) Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M  Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững 𝐿′′ 𝑄1 𝑄1 𝐿′′ 𝑄1 𝑄2 𝜑 ′ 𝑄1  H = |𝐿′′ 𝑄1 𝑄2 𝐿′′ 𝑄2 𝑄2 𝜑 ′ 𝑄2 | = 0,41556 > 𝜑 ′ 𝑄1 𝜑 ′ 𝑄2 Do U đạt cực đại M(60,40) với Umax = 29,33 Vậy Q1 = 60, Q2 = 40 doanh nghiệp tối đa hóa lợi ích với Umax = 29,33 VI.21 Một công ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu hai loại hàng 𝑄1 = 65 − 2𝑃1 , 𝑄2 = 50 − 𝑃1 − 𝑃2 ; 𝑃𝑖 giá đơn vị hàng hóa thứ i (i=1, 2) Hãy xác định mức sản lượng 𝑄1,𝑄2 để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại biết hàm chi phí kết hợp C=2Q21 + Q1 Q2 + Q22 + 20 Giải Ta có: 𝑄1 = 65 − 2𝑃1 ⇔ 𝑃1 = 32,5 − 0,5𝑄1 𝑄2 = 50 − 𝑃1 − 𝑃2 ⇔ 𝑃2 = 17,5 + 0,5𝑄1 − 𝑄2 Doanh thu R lợi nhuận π doanh nghiệp: R = 𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 = 32,5𝑄1 − 0,5𝑄12 + 17,5𝑄2 + 0,5𝑄1 𝑄2 − 𝑄22 π = R − C = 32,5𝑄1 − 2,5𝑄12 + 17,5𝑄2 − 0,5𝑄1 𝑄2 − 2𝑄22 − 20 Vấn đề xác định mức sản lượng 𝑄1, 𝑄2 để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại quy toán cực trị (tự do) Tìm 𝑄1,𝑄2 khơng âm làm cực đại hàm π = R − C = 32,5𝑄1 − 2,5𝑄12 + 17,5𝑄2 − 0,5𝑄1 𝑄2 − 2𝑄22 − 20 ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ Để tiện ta đặt: 𝜋1′ = 𝜋𝑄1 , 𝜋2′ = 𝜋𝑄2 , 𝜋11 = 𝜋𝑄1𝑄1 , 𝜋12 = 𝜋𝑄1𝑄2 , 𝜋22 = 𝜋𝑄2𝑄2 Khi đạo hàm riêng cấp 1, π sau 𝜋1′ = −5𝑄1 − 0,5𝑄2 + 32,5 𝜋2′ = −0,5𝑄1 − 4𝑄2 + 17,5 ′′ ′′ ′′ 𝐴 = 𝜋11 = −5, 𝐵 = 𝜋12 = −0,5, 𝐶 = 𝜋22 = −4 485 𝑄1 = 𝜋 ′ = −5𝑄1 − 0,5𝑄2 + 32,5 = 79 Điểm dừng { 1′ ⇔{ 285 𝜋2 = −0,5𝑄1 − 4𝑄2 + 17,5 = 𝑄2 = 79 485 285 Ta điểm dừng M ( Mà A=-5 < nên M( , 79 , 79 ) Tại điểm dừng ta tính ∆= AC − B2 = 19,75 > ) điểm cực đại 485 285 79 79 485 285 Do π đạt cực đại M( Kết luận: Khi tiêu thụ 𝑄1 = 485 79 79 , 79 ) với giá trị cực đại πmax = 111,33 sản phẩm thị trường thứ nhất, 𝑄2 = doanh nghiệp tối ưu hóa lợi nhuận cực đại 285 79 sản phẩm thị trường thứ hai, VI.22 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = Q(K, L)cho với α, β hai số dương cho trước Tùy thuộc vào α, đánh giá hiệu quy mô sản xuất doanh nghiệp a) Q = 2K 3α − 3K α L2α + 4L3α b) Q = 4K 3α − 2K 2α Lα + 3L3α c) Q = 2K α L2β d) Q = 3K α+β L3α Giải 3α α 2α 3α a) Ta có: Q = Q(K, L) = 2K − 3K L + 4L , Q xác định với K>0, L>0 Q = Q(tK, tL) = 2(tK)3α − 3(tK)α (tL)2α + 4(tL)3α = t 3α Q(K, L) Do Q = Q(K, L) hàm (dương) bậc 3α Từ suy ra: Downloaded by Vu Vu (quangchinhlas199@gmail.com) lOMoARcPSD|12114775 BTTCC3_Nhóm 6_GV: Phạm Văn Chững ⚫ ⚫ ⚫ Nếu < α < hiệu sản xuất doanh nghiệp giảm theo quy mơ Nếu α = hiệu sản xuất doanh nghiệp không đổi theo quy mô Nếu α > hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mô b) Ta có: Q = Q(K, L) = 4K 3α − 2K 2α Lα + 3L3α , Q xác định với K>0, L>0 Q = Q(tK, tL) = 4(tK)3α − 2(tK)2α (tL)α + 3(tL)3α = t 3α Q(K, L) Do Q = Q(K, L) hàm (dương) bậc 3α Từ suy ra: ⚫ Nếu < α < hiệu sản xuất doanh nghiệp giảm theo quy mô ⚫ ⚫ Nếu α = hiệu sản xuất doanh nghiệp khơng đổi theo quy mơ Nếu α > hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mơ c) Ta có: Q = Q(K, L) = 2K α L2β , Q xác định với K>0, L>0 Q = Q(tK, tL) = 2(tK)α (tL)2β = t α+2β Q(K, L) Do Q = Q(K, L) hàm (dương) bậc α + 2β Từ suy ra: ⚫ Nếu < α + 2β < ⇔ − 2β < α < − 2β hiệu sản xuất doanh nghiệp giảm theo quy mô ⚫ ⚫ Nếu α + 2β = ⇔ α = − 2β hiệu sản xuất doanh nghiệp không đổi theo quy mô Nếu α + 2β > ⇔ α > − 2β hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mơ d) Ta có: Q = Q(K, L) = 3K α+β L3α , Q xác định với K>0, L>0 Q = Q(tK, tL) = 3(tK)α+β (tL)3α = t 4α+β Q(K, L) Do Q = Q(K, L) hàm (dương) bậc 4α + β Từ suy ra: ⚫ ⚫ ⚫ Nếu < 4α + β < ⇔ −𝛽 Nếu 4α + β = ⇔ α = Nếu 4α + β > ⇔ α >